45题 45招

解题能力大进阶

题对应一个 核心技巧

一招解决 一类问题

南京师范大学出版社

目录

5招 攻克向量应用中的疑难问题

第1招 万能建系法通解向量数量积问题· 01
第2招 巧“借”平面几何，破解与向量的模有关的最值问题· ·01
第3招 “爪子模型”在向量运算中的辨别与妙用·02
第4招 利用极化恒等式快速求解平面向量问题··03
第5招 妙用奔驰定理，速解三角形“四心”问题·04

4招 速解三角函数与解三角形高频考点

第6招 巧用2定理，速解三角形中角平分线及中线问题04
第7招 妙凑角，求解三角函数求值问题 05
第8招 逆用、变用公式巧解三角恒等变换问题·..··06
第9招 找准图象上关键点，求解三角函数中的参数问题 07

6招 突破数列递推转化与代数变形能力

第10招 利用数列性质速解等差、等比数列通项与求和问题· 08
第11招 万能转化法构造一阶线性递推数列求通项09
第12招 不动点法，速求二阶线性递推数列的通项...··10
第13招 5大核心技法速解数列求和问题·· ·11
第14招 奇偶代换模型妙解分段数列问题· ·12
第15招 放缩法巧破数列不等式的证明问题···13

6招 破解立体几何空间思维与计算力

第16招 抓不变量，巧解动态几何多选题·…. .14
第17招 转化思想，巧解立体几何翻折问题.·15
第18招 巧建模型，速解几何体外接球问题··16
第19招 分析法巧解空间线面位置关系的证明问题18
第20招 等体积法，速破空间点面距问题· 19
第21招 分析图形特征，巧选方法速求空间角与距离问题·· ·20

5招 拆解概率统计数学建模与数据处理

第22招 “五步法”快解随机变量的分布列与期望22
第23招 巧用条件概率、全概率模型速解生活情境问题·· ..23
第24招 利用数列思想巧解概率中的反复操作问题···24
第25招 利用目标数据法巧解决策性问题·..·25
第26招 3大技法破解排列组合问题·· 26

8招 突围解析几何代数化与模型化

第27招 “隐圆法”速解平面几何最值、范围问题···27
第28招 二级结论法秒解圆锥曲线性质问题·…..··28
第29招 构造齐次式法快解椭圆或双曲线的离心率问题
·29
第30招 相关点转化法求轨迹方程· .·30
第31招 特值法破解圆锥曲线中的定点问题·.··31
第32招 设点法解决圆锥曲线中的定直线问题·..·32
第33招 仿射变换法速求椭圆中的面积问题··· .33
第34招 “构造思想法”速破圆锥曲线最值、范围问题
34

9招 突破函数与导数能力进阶与思维跃迁

第35招 “赋值法”速解抽象函数性质问题·.… ..35
第36招 同构巧变形，速破比较大小问题·.…..··36
第37招 引参巧“换元”，搞定嵌套函数零点问题·
.37
第38招 巧借等高线妙解方程中的多根问题·…..·38
第39招 切线法妙解函数与不等式综合问题·….·39
第40招 分割放缩法证明不等式 40
第41招 分离参数法秒杀含参函数零点问题·…..·41
第42招 巧定“界点”，快解函数分类讨论问题…·
·43
第43招 利用对称变换解决极值点偏移问题·…..·45

2招 解码新定义转化与建模思维突破

第44招关键句赋值法，速破“定义类”新定义问题·46
第45招 对比迁移法，速破“拓展类”新定义问题··47

招式拆解

招式演练

试题1 已知 P 是边长为4的正 \triangle A B C 所在平面内一点， \boxed{\overrightarrow{A P}}=λ\overrightarrow{A B}+(2-2λ)\overrightarrow{A C}(λ\in{\bf R}) ，则 \overrightarrow{P A}*\overrightarrow{P C} 的最小值为

解题思路取 A B 的中点 o ,连接 \ O C ,如图，以 A B 的中点 o 为原点， A B 所在直线为 x 轴，\ O C 所在直线为 y 轴，建立平面直角坐标系，（一招制胜“正 \triangle A B C^{\prime\prime} →与正三角形有关→借助底边和底边上的高建系）A 0 B 则 A\left(\ -2,0\right),B\left(2,0\right),C\left(0,2√(3)\right) 。设 P(x,y) ,于是 \overrightarrow{A P}=\left(x+2,y\right) ， \overrightarrow{A B}=(4,0) ， {\overrightarrow{A C}}=(2 ，25),从(x+2,9）=入（4,0)+(22)(2,25),所以+2=4A+44 \left\{\begin{array}{l}{{x=2,}}\\ {{{}}}\\ {{y=4{√(3)}\left(1-λ\right)}}\end{array}\right. 解得 于是PA=，\left(\mathbf{λ}-4,4{√(3)}\left(λ-1\right)\right) 。 \overrightarrow{P C}=(~-2,4√(3)λ-2√(3)) ，从而 \overrightarrow{P A}*\overrightarrow{P C}=8+4√(3)\left(λ-1\right)x2√(3)\left(2λ-1\right)=8+24\left(2λ^{2}-3λ+1\right)=64λ^{2}-11 48(λ-(3)/(4))^{2}+5 所以当 λ=(3)/(4) 时 \overrightarrow{P A}*\overrightarrow{P C} 取得最小值5。

第2招

巧“借”平面几何，破解与向量的模有关的最值问题

招式拆解

向量兼具代数、几何的双重特征，在求解平面向量模的最值问题时，“分析已知条件 \rightarrow 画出图形 \rightarrow 寻找最值"是一种重要的解题方法，其解题思路可以总结为：先确定向量对应的点的轨迹，再根据直线与曲线的位置关系列式，最后解得结果。

应用模型为：

招式演练

试题2 已知向量 ^{a,b} 满足 |{±b a}|=1 ， \vert b\vert={√(3)} ，且 bf{\em a}\perpbf{\em b} ,若向量 bf{\em c} 满足 \mid±b{c}-±b{a}-±b{b}\mid=2\mid±b{a}-±b{b}\mid ，则 \displaystyle{\mid c\mid} 的最大值是

解题思路 如图,设 \overrightarrow{O A}=\mathbf{a},\overrightarrow{O B}=\mathbf{b},\overrightarrow{O C}=\mathbf{c},\overrightarrow{O D}=\mathbf{a}+\mathbf{b} 。连接 A D,B D ,则由 bf{\em a}\perpbf{\em b} 可知四边形OADB为矩形，则 \vert a+b\vert=\vert a-b\vert=2 。由 \left|c-a-b\right|=2\left|a-b\right| ，可得 \mid c-a-b\mid=4 ,连接 \boldsymbol{c D} ，则 \vert\overrightarrow{D C}\vert=4 ,所以点 c 在以点 D 为圆心,4为半径的圆上,所以当 \mathbf{\Sigma}_{O,D,C}^{O,C} 三点共线且 D 在点 o c 之间时， \vert\overrightarrow{O C}\vert=\vert c\vert 取最大值，为 \vert{\overrightarrow{O D}}\vert+\vert{\overrightarrow{D C}}\vert=2+4=6_{\circ} （+一招制胜利用几何思想求解向量模的最值问题的策略： ① 观察已知条件中给定的向量的模、等式或向量的关系（包括数量关系与位置关系），看是否可以借助向量的几何意义进行转化。 ② 如果直接转化不通，可以利用基底法，将目标向量用已知向量表达出来，再进行观察。 ③ 利用几何图形的特点，分析取得最值的特殊位置，进而求解最值)

第3招

“爪子模型”在向量运算中的辨别与妙用

招式拆解

由平面向量基本定理知,若 \overrightarrow{A B},\overrightarrow{A C} 为不共线的两个平面向量,则对于同一平面内的向量 \overrightarrow{A D} ,必存在 x ，{\boldsymbol{y}}\in\mathbf{R} ，使得 \overrightarrow{A D}=x\overrightarrow{A B}+y\overrightarrow{A C} 0

“爪子定理”是平面向量基本定理的拓展,我们将含有形如 \overrightarrow{A D}=x\overrightarrow{A B}+y\overrightarrow{A C} 条件的模型称为“爪子模型”，因其状如“爪子”而得名。

招式演练

试题3在 \triangle A B C 中，点 F 为线段 A C 上任一点(不含端点),若 \overrightarrow{B F}=3x\overrightarrow{B A}+y\overrightarrow{B C} 则 {(3)/(x)}+{(1)/(y)} 的最小值为

A.1 B.4 C.9 D.16

解题思路由题意知 A,C,F 三点共线，则 3x+y=1 ，（一招制胜由 \overrightarrow{B F}=3x\overrightarrow{B A}+y\overrightarrow{B C} 联想“爪子模型”,根 据 F 在线段 A C 上,直接得 3x+y=1 。也可设 \stackrel{\rightarrow}{A F}=λ AC,得 \overrightarrow{B F}=\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{A F}=\overrightarrow{B A}+λ(\overrightarrow{B C}-\overrightarrow{B A})=(1-λ)\overrightarrow{B A}+λ\overrightarrow{B C}, 从而得 3x+y=1-λ+λ=1

且 x>0,y>0 。故 (3)/(x)+(1)/(y)=((3)/(x)+(1)/(y))\left(3x+y\right)=9+1+(3y)/(x)+(3x)/(y)>=slant10+2√((3y)/(x)*(3x)/(y))=16 当且仅当 {(3y)/(x)}={(3x)/(y)} 即， \scriptstyle x=y= (1)/(4) 时,等号成立，（易遗漏:有意识地养成习惯,遇到基本不等式就要验证等号能否取到)故 {(3)/(x)}+{(1)/(y)} 的最小值为16。故选 ~D~ 。

第4招

利用极化恒等式快速求解平面向量问题

招式拆解

招式演练

试题4 已知向量 ^{a,b} 满足 \vert2a+3b\vert=1 ，则 {±b a}*{±b b} 的最大值为

1 \mathbf{B}.{(1)/(24)} C.(1)/(20) 1
12 18

解题思路根据题意作出图形，设 2±b{a}=\overrightarrow{O A},3±b{b}=\overrightarrow{O B} 连接 A B 取 A B 的中点 M ，连接OM，如图 B
所示。（←一招制胜本题设置简洁,但要真正转化运算却要费一番功夫。考虑到向量的几何背3b
景，画出图形，构造三角形和一边的中点，利用极化恒等式，问题即可迎刃而解)
\vert\overrightarrow{O M}\vert=(1)/(2)\vert2a+3b\vert=(1)/(2)\vert 。在△OAB中,利用极化恒等式得2a·3b=OA·OB=IOM1²-IMBI²=
{(1)/(4)}-|{\overrightarrow{M B}}|^{2} 。考虑极端情况，当 ^{A,B} 重合时， \mid\overrightarrow{M B}\mid=0 所以 2a*3b=(1)/(4)-|\overrightarrow{M B}|^{2}<=slant(1)/(4)-0=(1)/(4) ,所以α·b的最大
值为 为4-故选B。（会反思:若想不到利用极化恒等式法求解,本题的思维难点在于如何结合12a+3bl=1将α·b
表达出来,应考虑构造对称平方,a·b=(2a+3b)²_(2aα-3b), 再结合 \left(2a-3b\right)^{2}>=slant0 求出最大值,该构造存在一
定程度的思维量,不及利用极化恒等式简单)

招式拆解

奔驰定理:如图,已知 P 为 \triangle A B C 内一点，则 S_{\triangle P B C}\overrightarrow{P A}+S_{\triangle P A C}\overrightarrow{P B}+S_{\triangle P A B}\overrightarrow{P C}=\bf{0}_{\triangle P B}

这个定理对于利用平面向量解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着重要的作用。其主要推论为 (a,b,c 分别为 \triangle A B C 内角 ^{A,B,C} 的对边)：

招式演练

试题5如图，已知点 P 東在時 \triangle A B C 内 \overrightarrow{P Q}=(1)/(3)\overrightarrow{P A},\overrightarrow{Q R}=(1)/(3)\overrightarrow{Q B},\overrightarrow{R P}=(1)/(3)\overrightarrow{R C} 则 SAC SP

解题思路由 \overrightarrow{Q R}=(1)/(3) QB可得， \overrightarrow{P R}-\overrightarrow{P Q}=(1)/(3)(\overrightarrow{P B}-\overrightarrow{P Q}) ,整理可得 \overrightarrow{P R}=(1)/(3)\overrightarrow{P B}+(2)/(3)\overrightarrow{P Q}=(1)/(3)\overrightarrow{P B}+(2)/(9)\overrightarrow{P A} ,则 -(1)/(2)\overrightarrow{P C}= ↓PB+PA,整理得4P+6B+9P=0，（+”一招制胜）奔驰定理:将已知条件转化为三个向量的和为零向量的形式,建立与奔驰定理的关联)
所以 S_{\triangle A B C}:S_{\triangle P B C}=(4+6+9):4=19:4 。

第6招

巧用2定理，速解三角形中角平分线及中线问题

招式拆解

在处理解三角形问题时，我们常常会遇到角平分线、中线等问题，对于此类问题，我们可以利用如下定理实现快速破题。