践行新理念 契合新教材 全面落实核心素养

·物理观念·科学探究

选择性必修 第二册

／物理

第一章 安培力与洛伦兹力

1磁场对通电导线的作用力·
\circ 重难专题 \mathbf{1} 安培力作用下导体的运动与平衡问题2磁场对运动电荷的作用力·
\circ 重难专题2洛伦兹力与现代科技· 103带电粒子在匀强磁场中的运动· 13
\circ 重难专题3带电粒子在有界匀强磁场中的运动 16
\circ 重难专题4带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界和多解问题 184质谱仪与回旋加速器 21
\circ 重难专题5带电粒子在组合场中的运动 24
\circ 重难专题6带电粒子在叠加场中的运动 27
\circ 本章整合 30

第二章 电磁感应

1 楞次定律 33
\circ 重难专题7楞次定律的应用 38
2法拉第电磁感应定律 41
\circ 重难专题8电磁感应中的电路、电荷量问题 46
\circ 重难专题9电磁感应中的图像问题 49
→ 》重难专题10电磁感应中的动力学问题· 53
\circ 重难专题11电磁感应中的能量和动量问题· 56
3涡流、电磁阻尼和电磁驱动 59
4互感和自感 63
\circ 本章整合 69

1 物理

第三章 交变电流

1 交变电流 73
2交变电流的描述 78
\circ 重难专题12交变电流规律的应用 82
3变压器 85
\circ 重难专题13变压器的综合问题· 88
4电能的输送 91
\circ 本章整合 95

第四章 电磁振荡与电磁波

1电磁振荡 98
2电磁场与电磁波 102
3无线电波的发射和接收 105
4电磁波谱 107
\circ 本章整合 109

第五章 传感器

认识传感器2常见传感器的工作原理及应用 111
3利用传感器制作简单的自动控制装置 115

第一章 安培力与洛伦兹力

1磁场对通电导线的作用力

学习目标：1.通过实验，认识安培力，探究安培力的方向与电流方向、磁感应强度的方向之间的关系，体会相互作用观。2.会根据磁感应强度的定义式推导安培力的公式 F=I l B\sinθ ，并会进行有关计算。3.知道磁电式电流表的基本构造及测量电流大小、确定电流方向的基本原理。

要点一

安培力的方向

1.影响因素：安培力的方向与 方向、方向有关。

2.左手定则

(1)伸开左手，使拇指与其余四个手指
并且都与手掌在同一个
(2)让磁感线从掌心垂直进入，并使四指指向的方向。
(3) 所指的方向就是通电导线在磁场中所受安培力的方向。

3.安培力方向的特点：不管电流方向与磁场方向是否垂直，安培力的方向总是垂直于磁场方向和电流方向所决定的 ，即总有 {\boldsymbol{F}}\bot{\boldsymbol{I}} 和 \boldsymbol{F}\bot\boldsymbol{B} 。

例题 \bullet ［2024淮安涟水统测]下列各图表示通电直导线在匀强磁场中所受安培力的情况，其中磁感应强度 B 、电流I、安培力 F 三者之间的方向关系不正确的是（

规律方法

应用左手定则的两个要点

(1)在判断安培力方向时，首先要确定磁场和电流所确定的平面，然后再根据左手定则判断出安培力的具体方向。(2)当电流方向跟磁场方向不垂直时，安培力的方向仍垂直于电流与磁场所决定的平面，所以仍可用左手定则来判断安培力的方向，判断时需要对磁感应强度进行分解，取其垂直于电流方向的分量。

对点演练1

[2023江苏高二期中]赤道上一带有尖顶的建筑物如图所示，高耸的尖顶实质是避雷针，当带有负电荷的乌云经过避雷针上方时，避雷针开始放电形成瞬时电流，乌云所带负电荷通过避雷针流入大地。则地磁场对避雷针的作用力的方向为（）

A.正东 B.正西 C.正南 D.正北

要点二

安培力大小的分析与计算

知识必备·固基础

如图甲、乙、丙所示，导线中电流为 I ，导线长度为L，磁场的磁感应强度为 B 。

1.如图甲所示，磁场方向和电流方向垂直时： F=

2.如图乙所示，磁场方向和电流方向平行时： F=

3.如图丙所示，通电导线与磁感应强度方向成θ 角时： F=

夹角影响安培力的大小

易错辨析

(1)在磁感应强度为 B 的匀强磁场中放置长为1的一

段导线，当通过电流为 I 时，它所受安培力为 I l B 。（）

(2)一通电导线放在某处不受安培力作用，则该处的磁感应强度一定为零。 （）

(3）若磁感应强度一定，在导线的长度和电流也一定的情况下，导线平行于磁场方向时，安培力最小；导线垂直于磁场方向时，安培力最大。 （）

要点深化·提能力

两种特殊情况下安培力的计算

(1)电流方向与磁场方向夹角为 θ 。

如图甲所示，当电流方向与磁场方向夹角为 θ 时，安培力大小为 \boldsymbol{F}=I l B\sinθ 。从图中可以看出B\sinθ 是磁感应强度垂直于电流方向的分量，也可以理解为 \boldsymbol{F}=I B l\sinθ ，式中 l\sinθ 为导线在垂直于磁场方向的平面上的投影，即所谓的“有效长度”。

拓展：如果导线是弯曲的，则导线投影在与磁场垂直的平面上的长度即为“有效长度”，如图乙所示，即可以将通电导线 M N 等效为 M^{\prime}N 。

(2)导线为折线，折线所在平面与磁场垂直。

如图丙所示的导线为折线，其有效长度就是线段 A C ，且电流是由 A 直接流向 c ，导线所受安培力 F=B I L_{A C} 。 B 是外加磁场的磁感应强度，不必考虑导线自身产生的磁场对外加磁场的影响。

拓展：如图丁所示，各导线有效长度为首尾连线，即电流流人端为首、电流流出端为尾的长度，且等效电流方向是由首流到尾。

注意：电荷在电场中一定会受到静电力作用，但是通电导线在磁场中不一定受安培力作用。当电流方向与磁场方向平行时，通电导线不受安培力作用。

例题 [2024连云港期中]如图所示，一质量为 \mathbf{\Psi}_{m} 、长为 L 的导体棒，被两根细绳竖直悬挂起来，导体棒处于水平静止状态，匀强磁场的方向垂直于导体棒斜向下，且与竖直方向成 θ 角，磁感应强度大小为 B ，导体棒通以大小为 I 的电流时，导体棒受到的安培力大小为（）

A. {{F}=}B I L B. \scriptstyle{F=B I L\sinθ}
C. F{=}B I L\cos{θ} D. \scriptstyle{F=B I L\tanθ}

例题 \boldsymbol{\wp} 如图所示，一段通以恒定电流的软导线处于匀强磁场中，导线两端位于同一高度。现将导线左端固定，右端水平向右缓慢移动。则磁场对通电导线的作用力（）

A.变小 B.不变C.变大 D.先变大后变小例题4 [2024淮安期中]如图所示，由4根相同导体棒连接而成的正方形线框ABCD固定于匀强磁场中，线框平面与磁感应强度方向垂直， A,B 与直流电源两端相接，已知线框受到的安培力合力大小为 F ，则导体棒CD受到的安培力大小为（）

要点三 磁电式电流表

1.组成与结构

写出图中磁电式电流表各部件的名称

① ，② ，③
④ ，?

2.工作原理

磁电式电流表中磁场分布如图所示，通电线圈在磁场中受到安培力作用而发生偏转。被测电流越大，线圈偏转的角度就越大；被测电流的方向不同，线圈偏转的方向就不同，但在不同位置时安培力总是垂直于线圈平面。

3.磁场特点

两磁极间装有极靴，极靴中间有铁质圆柱，使极靴与圆柱间的磁场都沿半径方向，线圈转动时，所受安培力的方向总与线圈平面垂直，使表盘刻度均匀。

4.灵敏度

(1)电流表的灵敏度：在通人相同电流的情况下，指针偏转角度的大小反映电流表的灵敏度。偏角越大，灵敏度越高。

(2)提高灵敏度的方法：如果要提高磁电式电流表的灵敏度，就要使在相同电流下导线所受的安培力增大，可通过增加线圈的匝数、增大永磁体的磁感应强度、增加线圈的面积和减小转轴处摩擦等方法实现。

易错辨析

(1)磁电式电流表内不是匀强磁场。 （）(2)磁电式电流表的线圈无论转到什么位置，它的平面都跟磁感线垂直。 ）(3)磁电式电流表指针偏转角与电流大小成正比。（ ）(4)磁电式电流表中电流方向改变时，指针的偏转方向改变。 ）

例题6 [2024宿迁期中]如图甲为磁电式电流表的结构，图乙为极靴和铁质圆柱间的磁场分布，线圈 it{a},it{b} 两边通以图示方向电流，线圈两边所在处的磁感应强度大小相等。则下列选项正确的是（ ）

A.该磁场为匀强磁场
B.线圈将逆时针转动
C.线圈转动过程中受到的安培力逐渐变大D.图示位置线圈 a 边受安培力方向竖直向上

重难专题 1 安培力作用下导体的运动与平衡问题

通电导线在磁场中受安培力作用时可能处于两种状态：一种是导线在安培力与其他力的共同作用下运动状态发生变化，表现为导线位置改变或形状变化；另一种则是导线所受合力为0，导线处于平衡状态。

的电流时， a 对地面的压力恰好为0。已知长直导线 \scriptstyle a 的质量为 m ,当地的重力加速度为 g 。如果长直导线 b 的电流改为垂直于纸面向外，大小不变，则 \scriptstyle a 对地面的压力为（ ）

A.0 B. mg C.2mg D. 3mg

一、安培力作用下导体的运动方向的判断 角度2电流元法

通电导线在磁场中受到安培力，如果合力不为0，则运动状态发生变化。不管是电流还是磁体，对通电导线的作用都是通过磁场来实现的。因此，要判定通电导线在安培力作用下的运动，首先必须要清楚导线所在位置的磁场分布情况，然后根据左手定则分析出安培力的方向，再结合其他力分析合力，进一步分析导线的运动状态。由于导线所受安培力比较复杂，我们常常用一些特殊的方法来分析，在实际操作过程中，往往采用以下五种方法：

角度1结论法

例题 [2023连云港阶段练 ⑧b习如图所示，两根同一竖直方向平行放置的长直导线 \mathbf{\nabla}_{a} 77777777 F和 b 中通有大小不同、方向均垂直于纸面向里例题② 如图所示，把轻质导电线圈用绝缘细线悬挂在磁铁N极附近，磁铁的轴线穿过线圈的圆心且垂直线圈平面。当线圈内通以图中方向的电流后，线圈的运动情况是

A.线圈向左运动
B.线圈向右运动
C.从上往下看顺时针转动D.从上往下看逆时针转动

角度3电流元法与特殊位置法的结合

例题 \boldsymbol{\wp} 如图，接通开关K的瞬间，用丝线悬挂于一点、可自由转动的通电直导线 |A B| 将（）

A.A端向上，B端向下，悬线张力不变B.A端向下，B端向上，悬线张力不变C.A端向纸外，B端向纸内，悬线张力变小D.A端向纸内，B端向纸外，悬线张力变大

角度4等效法

例题 ±b{\varrho} [2024南通高二检测]如图所示，将通电线圈（电流方向沿图中箭头方向)悬挂在磁体N极附近，磁体处于水平位置和线圈在同一平面内，且磁体的轴线经过线圈圆心，线圈将( ）

A.转动同时靠近磁体B.转动同时离开磁体C.不转动，只靠近磁体D.不转动，只离开磁体

角度5转换研究对象法

例题 \wp ［2024扬州期中]物理实验小组的同学研究通电直导线在磁场中受力情况的小实验，装置如图所示，台秤上放一光滑平板，其左边固定一轻质挡板，一轻质弹簧将挡板和一条形磁铁连接起来，此时台秤读数为 F_{1} 现在磁铁上方中心偏左位置固定一导体棒，当导体棒中通人方向垂直纸面向里的电流后，台秤读数为 F_{2} ,则以下说法正确的是（）

A.弹簧长度将变长
B.弹簧长度将不会变化 C. F_{1}{<}F_{2}
D. F_{2}{<}F_{1}

二、安培力作用下导体的平衡和加速

通电导体棒在磁场中的平衡问题是一种常见的力电综合问题，这类题目的难点是题图往往具有立体性，安培力的方向不易确定等。因此解题时一定要先把立体图转化为平面图，通过受力分析建立各力的平衡关系。

1.问题实质：受力平衡问题

安培力作用下的平衡问题与力学中的平衡问题分析方法是相同的，只不过多了安培力，关键仍是受力分析。

2.问题突破口：视图转换与降维作图

对于安培力作用下的力学问题，导体中的电流方向及其受力方向往往分布在三维空间的不同方向上，这时应画受力图 \rightarrow 三维图 转换为>二维平面图，即通过画俯视图、部面图、侧视图等，将立体图转换为平面受力图。

立体图

平面图

在剖面图中，垂直于剖面方向的电流可用“ ⑧ ”或“ \odot "表示，垂直于剖面方向的磁场可用“ x ”或“，”表示，但垂直于剖面方向的力不能用\Phi^{:}x\Phi ”或“·”表示。

3.求解安培力作用下导体棒平衡或加速问题的基本思路

特别提示：求解关键(1)电磁问题力学化；(2)立体图形平面面化。

角度1安培力作用下导体的平衡问题

例题 ±b{o} 如图所示,两平行金属导轨的距离L=0.~4~m~ ，金属导轨所在的平面与水平面夹角 θ{=}37° ,在导轨所在平面内，分布着磁感应强度 B_{1}{=}0.5~T~ 、方向垂直于导轨平面向上的匀强磁场。金属导轨的一端接有电动势 E{=}4.5~V~ 、内阻 r{=}0.50~\Omega 的直流电源。现把一个质量 m=0.04~kg 的导体棒 a b 放在金属导轨上，导体棒恰好静止，导体棒与金属导轨垂直、且接触良好，导体棒与金属导轨接触的两点间的电阻 R=2.5\ \Omega 。金属导轨的其它电阻不计， g 取 10~m/s^{2} ，已知 sin37°=0.6,\cos{37°}=0.8 。求：

(1)导体棒受到的摩擦力的大小和方向；
(2)若磁感应强度的方向不变而大小可以变化，要使导体棒能静止，求磁感应强度 B 的取值范围。
(3)如果磁场的大小方向可变，棒保持静止且与导轨的摩擦力为0，磁场沿什么方向时磁感应强度最小，最小值为多少？

角度2安培力作用下导体的加速问题

例题 \wp 如图所示，光滑的平行导轨倾角为 θ ，处在磁感应强度为 B ,竖直向下的匀强磁场中，导轨中接人电动势为 E 、内阻为 \boldsymbol{r} 的直流电源。电路中有一阻值为 R 的电阻，其余电阻不计，将质量为 \mathbf{\nabla}_{m} 、长度为 \mathbf{\xi}_{l} 的导体棒垂直导轨由静止释放，求导体棒在释放瞬间的加速度的大小。

对点演练

电磁炮是利用电磁发射技术制成的一种先进的武器。如图为试验所采用的电磁轨道，该轨道长7.5~m~ ，宽 1.5~m~ ,若发射质量为 50~g 的炮弹，炮弹从轨道左端由静止开始加速，当加路中的电流恒为20A时，最大速度可达 3~km/s 。轨道间所加磁场为匀强磁磁场，不计空气及摩擦阻力。下列说法正确的是（ >

A.磁场方向竖直向下
B.磁场方向水平向右
C.磁感应强度的大小为 1x10^{3} T
D.电磁炮的加速度大小为 3{x}10^{3}~m/s^{2}

2 磁场对运动电荷的作用力

学习目标:1.知道洛伦兹力的方向与电荷运动方向及磁感应强度方向的关系。2.知道洛伦兹力公式的推导过程，会应用公式计算洛伦兹力的大小。3.知道电视显像管的基本构造和工作原理。

要点一

洛伦兹力的方向和大小

知识必备·固基础

一、洛伦兹力

1.定义： 在磁场中受到的力称为洛伦兹力,宏观上表现为安培力。

2.方向

(1)判定方法：左手定则
掌心- 一磁感线垂直穿人掌心；
四指—指向 的运动方向；拇指- 一指向正电荷所受洛伦兹力的方向。

负电荷受力的方向与正电荷受力的方向相反

(2)方向特点:F⊥B,F⊥。 即 F 垂直于B和U决定的平面

3.带电粒子在磁场中受到洛伦兹力的条件只有带电粒子的运动方向与磁场方向才会受到洛伦兹力。

二、洛伦兹力的大小

1.安培力与洛伦兹力的关系导线中电荷定向移动时所受洛伦兹力的在宏观上表现为通电导线在磁场中受到的安培力。

2.洛伦兹力的计算公式

\begin{array}{r l}{F=}&{{}}\end{array} 。其中 q 为带电粒子的电荷量，单位为库仑(C)； \boldsymbol{v} 为带电粒子运动的速度，单位为米每秒 (m/s) ” B 为磁场的磁感应强度，单位为特斯拉(T)； θ 为带电粒子运动的方向与磁感应强度方向的夹角。

易错辨析

(1)洛伦兹力的方向在特殊情况下可能与带电粒子的速度方向不垂直。 （）

(2)用左手定则判断洛伦兹力方向时，“四指的指向”与电荷定向移动方向相同 （）

(3)运动电荷在某处不受洛伦兹力的作用，则该处的磁感应强度一定为零 （）(4)两运动电荷在同一磁场中运动的速度大小相同，所受洛伦兹力不一定相同 （）(5)电荷运动的速度越大，它所受的洛伦兹力一定也越大。 （）(6)同一电荷，以相同大小的速度进入磁场，速度方向不同时，洛伦兹力的大小也可能相同。 （）

导学探究

如图所示，磁场的磁感应强度垂直纸面向里，大小为 B ，磁场中有一段通电导线，横截面积为 s ，单位体积中含有的自由电荷数为 n ，每个自由电荷的电荷量为 q ,且定向运动的速率都是 \boldsymbol{v} 。

(1)图中一段长度为vt的导线中的自由电荷数是
多少？导线中的电流为多大？(2)图中一段长度为 \mathit{\Delta}_{v t} 的导线在磁场中所受安培
力多大?(3)每个自由电荷所受洛伦兹力多大？

要点深化·提能力

1.决定洛伦兹力方向的三个因素

电荷的电性(正、负）、速度方向、磁感应强度的方向是决定洛伦兹力方向的三个因素。当电性一定时，其他两个因素决定洛伦兹力的方向。如果只让三个因素中一个因素相反，则洛伦兹力方向必定相反；如果同时让三个因素中两个因素相反，则洛伦兹力方向将不变。

2.F.B.v 三者方向间的关系

(1)电荷运动方向和磁场方向间没有因果关系，B 与 \boldsymbol{v} 不一定垂直，两者关系是不确定的。(2)电荷运动方向和磁场方向确定洛伦兹力方向。(3)F\bot B,F\bot v ,即 F 垂直于 B 和 \boldsymbol{v} 所决定的平面。注意：(1)利用左手定则判断洛伦兹力方向时，左手四指的指向应与电荷的运动方向相同；拇指所指方向与正电荷受力方向相同，与负电荷受力方向相反，所以要特别注意电荷的电性。(2)当 \boldsymbol{v} 与 B 不垂直时，要对速度进行分解，根据垂直于磁场方向的分速度判断洛伦兹力的方向，如图所示。

u与B垂直

v与B不垂直

3.洛伦兹力的大小

公式： F=q v B\sinθ,θ 为电荷运动的方向与磁场方向的夹角。
(1)当 θ{=}90° ，即电荷运动方向与磁场方向垂直时，洛伦兹力最大， F=q v B 。
(2)当 θ{=}0° 或 θ=180° ,即电荷运动方向与磁场方向平行时， F{=}0 。
(3)当 \scriptstyle v=0 ，即电荷在磁场中静止时， F{=}0 。

4.洛伦兹力的特点

(1)洛伦兹力的方向随电荷运动方向的变化而变化。但无论怎样变化，洛伦兹力都与运动方向垂直。
(2)洛伦兹力永不做功，它只改变电荷的运动方向，不改变电荷的速度大小。

5.洛伦兹力与安培力的关系

例题 ① [2024无锡期中]如图所示，电子射线管放在U形磁铁的N极和S极之间，射线管的P 和 Q 两极分别接在直流高压电源的正极和负极，此时荧光屏上显示的电子束运动径迹将 （）

A.向上偏转 B.向下偏转 C.不发生偏转 D.先向上偏转后向下偏转

对点演练1

[2024淮安期中]如图所示是某种粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的轨迹，匀强磁场的方向垂直纸面向里，从垂直纸面方向向里看（正视），可能是哪种粒子的运动（）

A.中子顺时针运动 B.中子逆时针运动C.质子顺时针运动 D.电子顺时针运动

对点演练2

[2022江苏扬州练习]如图所示，用细线吊一个质量为 \mathbf{\nabla}_{m} 的带电绝缘小球，小球处于匀强磁场中，空气阻力不计。小球分别从A点和 B 点向最低点 O 运动，当小球两次经过 O 点时（ ）

A.小球的速度相同B.细线所受的拉力相同C.小球所受的洛伦兹力相同D.小球的向心加速度相同

要点二 电子束的偏转

1.电视机显像管由 和构成。

2.显像管原理

(1)电子枪发射电子。
（2）电子束在磁场中偏转。
(3)荧光屏被电子束撞击发光。

3.电子束在荧光屏上的移动规律(1)电子束在荧光屏上从左至右扫描一行之后迅速返回，再扫描下一行，直到荧光屏的下端。(2)电子束从最上一行到最下一行扫描一遍叫作_ _，电视机中的显像管每秒要进行场扫描。由于人的“视觉暂留”，我们感到整个荧光屏都在发光。

例题 电视显像管原理示意图（俯视图)如图所示，电流通过偏转线圈，从而产生偏转磁场，电子束经过偏转磁场后运动轨迹发生偏转，不计电子的重力，图中 O 点为荧光屏的中心，若调节偏转线圈中的电流，使电子束打到荧光屏上的 A 点，则此时（

A.电子经过磁场速度增大B.偏转磁场的方向水平向右C.偏转磁场的方向垂直于纸面向里D.偏转磁场的方向垂直于纸面向外

要点三

洛伦兹力的动力学问题

1.带电体在匀强磁场中速度发生变化时洛伦兹力往往随之变化，并进一步导致弹力、摩擦力的变化，带电体将在变力作用下做变加速运动。

2.利用牛顿运动定律和平衡条件分析各物理量的动态变化时要注意弹力为0的临界状态，此状态是弹力方向发生改变的转折点。

例题 \Theta [2022江苏扬州练习]质量为 m 、电荷量为 q 的小物块，从倾角为 θ 的光滑绝缘斜面上由静止下滑，整个斜面置于方向水平向里的匀强磁场中，磁感应强度为 B ，如图所示。若带电小物块下滑后某时刻对斜面的作用力恰好为0，下面说法正确的是（ ）

A.小物块一定带正电
B.小物块在斜面上运动时做匀加速直线运动
C.小物块在斜面上运动时做加速度增大、而速度也增大的变加速直线运动
D.小物块在斜面上下滑过程中，小物块对斜面压力为0时的速率为

对点演练3

[2024淮安涟水高二模拟测试]如图，足够长的绝缘杆竖直放置，其所在区域同时存在水平向左的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场。一质量为 \mathbf{\Psi}_{m} ，电荷量为一 q 的小圆环套在杆上(环内径略大于杆的直径)无初速加速下滑。圆环与杆接触面粗糙，圆环电荷量不变，圆环的速度随时间变化关系的图像是（）

重难专题2 洛伦兹力与现代科技

一、速度选择器

1.装置

如图所示，两极板间存在匀强电场和匀强磁场，二者方向互相垂直，带电粒子从左侧射入，不计粒子重力。

2.原理

由于带电粒子所受重力可忽略不计，粒子在两板间同时受到静电力和洛伦兹力，只有当二力平衡时，粒子才不发生偏转，沿直线从两板间穿过，即粒子能够沿直线匀速通过速度选择器的条件是 q E=q v B ,即 \scriptstyle v={(E)/(B)}
。
特点：速度选择器只选择速度（大小、方向），而不选择粒子的质量和电荷量。

3.对粒子速度的选择作用

(1)由 \scriptstyle v={(E)/(B)} 可知，速度选择器只能选择特定速度的粒子，而对粒子的质量、电荷量大小及所带电荷的电性无要求。
(2)当 >时,粒子向 F& 方向偏转,FE& 做负功，粒子的动能减小，电势能增大。
(3)当 v{<}(E)/(B) 时,粒子向 F电 方向偏转,F电 做正功，粒子的动能增大，电势能减小。

例题 ±b{θ} [2024 无锡期中]在如图所示的水平平行金属板器件中，电场强度 E 和磁感应强度 B 相互垂直，某一不计重力的带负电粒子以水平速度 \mathit{\Delta}_{v} 从左侧 P 孔进人后恰能沿直线运动，下列说法正确的是（）

B.若粒子速度大于 \boldsymbol{\upsilon} ,粒子将向上偏
C.若粒子从右侧 Q 孔以水平速度 \boldsymbol{v} 射人，粒子仍能沿直线运动
D.若粒子的电荷量增大后，以相同的水平速度\boldsymbol{v} 从左侧 P 孔进入，粒子也将沿直线运动

二、磁流体发电机

1.原理

如图所示，等离子体喷人磁场，正、负离子在洛伦兹力的作用下发生偏

转而聚集在A、B板上，产生电势差，它可以把其他形式的能通过磁场转化为电能。

2.磁流体发电机的各物理量

(1)电源正、负极判断：根据左手定则可判断出图中B板是发电机的正极。
(2)电源电动势 U ：设A、B平行金属板的面积为 S ,两极板间的距离为 d ，磁场磁感应强度为B ,等离子体的电阻率为 \rho ,喷人极板间的速度为 \boldsymbol{v} ，板外电阻为 R 。当正、负离子所受静电力和洛伦兹力平衡时，两极板间的最大电势差为U (即电源电动势)，则 q\ {(U)/(d)}{=}q v B 即 {\cal U}=B d v 。(3)电源内阻:r=p。
(4)回路电流： I{=}(U)/(r{+)R}
。

例题？[2024苏州期末]如图所示是磁流体发电机的示意图，两平行金属板 A,B 与电阻 R 相连，板间有一强磁场，现将等离子体（即高温下电离的气体，含有大量正、负带电粒子)喷入磁场，下列说法正确的是（）

A.粒子速度大小 v={(B)/(E)}

A. B 板的电势低于 A 板电势 B. R 中有从 b 到 a 的电流

C.若只增大磁感应强度， R 中电流不变D.若只增大两板间距， R 中电流减小

三、电磁流量计

1.工作原理

如图所示，圆形导管直径为 d ,由非磁性材料制成，导电液体在管中向左流动，导电液体中的自由电荷(正、负离子)在洛伦兹力作用下会发生纵向偏转，使得 it{a},it{b} 间出现电势差，形成电场，当自由电荷所受的静电力和洛伦兹力平衡时， it{a},it{b} 间的电势差就保持稳定，只要测得圆形导管直径 d ，平衡时 it{a},it{b} 间的电势差 U ，磁感应强度 B 等有关量，即可求得液体流量 Q （即单位时间流过导管某一截面的导电液体的体积)。

2.电磁流量计各物理量间的关系

(1)导管的横截面积:s=d。
(2)导电液体的流速：自由电荷所受的静电力和洛伦兹力平衡时有 q v B=q E=q\ (U)/(d) 可得 v= (U)/(B d) 。

(3)液体流量： Q=S v=(π d^{2})/(4)*(U)/(B d)=π(d U)/(4B)\circ (4)a,b 端电势高低的判断：根据左手定则可得\varphi_{a}<\varphi_{b} 。

例题 \Theta [2024南通海安高二月考门某暗访组在某化工厂的排污管末端安装了如

图所示的流量计，测量管由绝缘材料制成，将测量管水平放置，其长为 L ，直径为 D ,左、右两端开口，匀强磁场方向竖直向下，在前、后两个内侧面 (a,c) 固定有金属板作为电极。污水充满管口从左向右流经测量管时， \smash{a_{\perp}c} 两端电压为U ，显示仪器显示污水流量为 Q （单位时间内排出的污水体积）。则下列说法正确的是（）

A.a侧电势比 \boldsymbol{c} 侧电势低
B.若污水中正离子较多,则 \mathbf{\nabla}_{a} 侧电势比 \mathbf{\Psi}_{c} 侧电 势高；若污水中负离子较多，则 a 侧电势比 \boldsymbol{c} 侧电势低
C.污水中离子浓度越高，显示仪器的示数将越大
D.污水流量 Q 与 U 成正比，与 L 无关

四、霍尔效应

1.工作原理

如图所示，高为 h 、宽为 d 的导体（自由电荷是电子或正电荷)置于匀强磁场

（磁感应强度为 B )中，当电流通过导体时，在导体的上表面 A 和下表面 A^{\prime} 之间产生电势差，这种现象称为霍尔效应，此电压称为霍尔电压。

2.电势高低的判断

如图，导体中的电流 I 向右时，根据左手定则可得，若自由电荷是电子，则下表面 A^{\prime} 的电势高。若自由电荷是正电荷，则下表面 A^{\prime} 的电势低。

3.霍尔电压

导体中的自由电荷（电荷量为 q )在洛伦兹力作用下偏转， A,A^{\prime} 间出现电势差，当自由电荷所受静电力和洛伦兹力平衡时， A,A^{\prime} 间的电势差(U)就保持稳定,由quB=q q v B=q(U)/(h),I=n q v S,S= hd,联立解得 U{=}(B I)/(n q d){=}k\ (B I)/(d),k{=}(1)/(n q) 称为霍尔系数。

例题 ±b{\varrho} ［2024扬州期末]如图所示，通人电流为I 的导体板放在磁感应强度为 B 的匀强磁场中，电流与磁场方向垂直时，导体板上、下面 A 、A 间产生一定的电势差 U_{H} ,这种现象称为霍尔效应。导体板中自由电子电荷量为 \mathbf{\Psi}_{e} ，导体板的宽度为 d ，厚度为 h ，下列说法正确的是( ）

A.仅改变 {\cal I},{\cal U}_{H} 与 h 成正比
B.仅改变 d,U_{H} 与 d 成正比
C.电势差稳定后，电子受到的洛伦兹力大小为(e U_{H})/(d)
D. A^{\prime} 面电势比 A 面电势高

对点演练

半导体内导电的粒子一“载流子”有两种：自由电子和空穴（空穴可视为能自由移动带正电的粒子)，以空穴导电为主的半导体叫 P 型半导体，以自由电子导电为主的半导体叫 N 型半导体，如图为检验半导体材料的类型和对材料性能进行测试的原理图，图中一块长为 a 、宽为 b 、厚为 \mathbf{\Psi}_{c} 的半导体样品板放在沿 y 轴正方向的匀强磁场中，磁感应强度大小为 B 。当有大小为I、沿 x 轴正方向的恒定电流通过样品板时，会产生霍尔电势差U_{H} ，若每个载流子所带电量的绝对值为 \boldsymbol{\mathscr{e}} ，下列说法中正确的是( ）

A.如果上表面电势低，则该半导体为 P 型半导体B.如果上表面电势低，则该半导体为 N 型半导体C.其它条件不变，增大 \mathbf{\Psi}_{c} 时， U_{H} 增大D.样品板在单位体积内参与导电的载流子数目为 n{=}(I B)/(c U_{H)}

3带电粒子在匀强磁场中的运动

学习目标:1.理解带电粒子初速度方向和磁场方向垂直时，带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动。2.会根据洛伦兹力提供向心力推导半径公式和周期公式。3.会解决带电粒子在匀强磁场中运动的基本问题。

要点一

速度与磁场垂直的带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动

知识必备·固基础

模型特点

(1)轨迹

带电粒子垂直于磁场方向进入磁场后，洛伦兹力
总是与粒子的运动方向垂直，只改变粒子速度的,不改变粒子速度的 _。由于粒
子的速度大小不变，粒子在匀强磁场中所受洛伦
兹力的大小也不改变，洛伦兹力对粒子起到了的作用。所以沿着与磁场垂直的方向射
入磁场的带电粒子，在匀强磁场中做

(2)半径

一个电荷量为 q 的粒子,在磁感应强度为 B 的匀
强磁场中以速度 \boldsymbol{v} 运动，那么带电粒子所受的洛
伦兹力 F= ,由洛伦兹力提供向心力得，由此可解得圆周运动的半径 r= 。从这个结果可以看出，粒子在匀强磁
场中做匀速圆周运动的半径与它的质量、速度成
正比，与电荷量、磁感应强度成反比。

人，可得 T= ，带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期跟轨道半径和运动速度无关。

导学探究

如图所示，可用洛伦兹力演示仪观察运动电子在磁场中的偏转。

(1)不加磁场时，电子束的运动轨迹如何？加上磁场时，电子束的运动轨迹如何？

(3)周期匀速圆周运动的周期 T{=}(2π r)/(v) 将 r= 代

(2)如果保持出射电子的速度不变，增大磁感应强度，轨迹圆半径如何变化？如果保持磁感应强度一变，增大出射电子的速度，轨迹圆半径如何变化？

要点深化·提能力

1.理论分析

2.定量计算

例题 ±b{\mathscr{v}} [2024镇江期中]质子和 α 粒子(其质量为质子的4倍，电荷量为质子的2倍)在同一个匀强磁场中做半径相同的匀速圆周运动，那么质子与 α 粒子的动量大小之比为（ ）

A.1:1 B.1:2
C.2:1 D.1:4

对点演练

[2024镇江期中]如图所示，显像管中有一电子枪，工作时它能发射高速电子，偏转线圈通以偏转电流后在虚线区域内产生偏转磁场，电子经过偏转磁场后撞击荧光屏上的 A 点发光。下列说法正确的是（ ）

A.偏转磁场方向垂直纸面向里
B.电子经过偏转磁场的过程中动能不断增大
C.电子经过偏转磁场区域的轨迹是抛物线
D.发光点从 A 向 B 点运动的过程中，偏转电流先减小后增大

要点二

分析带电粒子在磁场中做圆周运动的一般思路

带电粒子在有界磁场中运动是最基本、最常见的情景与题型，基本分析思路如下：

1.画轨迹：初步确定洛伦兹力方向与圆心。2.找圆心：两个位置洛伦兹力所在直线的交点。3.定半径：通过巧妙构建特殊三角形（如等边三角形、直角三角形)用三角函数或勾股定理求半径。

4.求圆心角：运动轨迹所对应圆心角。

例题？如图所示，长方形区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场， A B 边长为 l,A D 边足够长，一质量为 \mathbf{\Psi}_{m} 、电荷量大小为 q 的粒子从 B C 边上的 O 点以初速度 \boldsymbol{v}_{0} 垂直于 B C 方向射入磁场，粒子从 A 点离开磁场，速度方向与直线\mathbf{\nabla}A B 夹角成 {30}° ,不计粒子重力。求：

(1)粒子的电性和 O B 的长度；(2)磁场的磁感应强度大小 B (3)粒子在磁场中经历的时间。

对点演练2

[2024南京期末]如图所示，上下板足够长，间距为 d 。一质量为 \mathbf{\Psi}_{m} 、电荷量为 +q 的粒子(不计重力)，从下极板上的 A 点以速度 \boldsymbol{v} 沿与极板成 {60}° 角、垂直磁场的方向射入磁场区域。若要使粒子不打在上极板，则磁场的磁感应强度 B 应满足（）

A. 0{<}B{<}(3m v)/(2q d)
B.0<B mu qd 3mu
C.B> 2qd
D. B>mu qd

对点演练3

一个重力不计的带电粒子以大小为 \boldsymbol{v} 的速度从坐标为 (0,L) 的 a 点，平行于 x 轴射人感应强度大小为 B 、方向垂直纸面向外的圆形匀强磁场区域，并从 x 轴上的 b 点射出磁场，射出磁场时的速度方向与 x 轴正方向的夹角为 {60}° ，如图所示。

(1)求带电粒子在磁场中运动的轨迹半径；(2)求粒子从 a 点运动到 b 点的时间；(3)其他条件不变，要使该粒子恰从 O 点射出磁场，求粒子的入射速度大小。

要点三

“电偏转”与“磁偏转”的比较

例题

\spadesuit 如图所示,abcd 是一个α
边长为 L 的正方形区域，内部
存在着沿ad方向的匀强电场。
位于ad边中点 S 处的粒子源，a--
不断地沿着垂直ad边的方向发射质量为 m

电荷量为 q 的带电粒子。粒子的初速度为 \boldsymbol{v} ，经电场作用后恰好从 \mathbf{\Psi}_{c} 点射出。撤去电场，在该区域内加一方向垂直于纸面的匀强磁场，带电粒子恰好从 b 点射出。带电粒子的重力和粒子之间的相互作用力均可忽略。

(1)求匀强电场的电场强度大小 E (2)求匀强磁场的磁感应强度大小 B (3)定性比较带电粒子通过电场区域和磁场区 域的时间的大小，并说明依据。

重难专题3 带电粒子在有界匀强磁场中的运动

一、带电粒子在磁场中的运动的分析方法

分析带电粒子在有界磁场中的运动有四个关键步骤，即“画轨迹、找圆心、求半径、定圆心角”。其中找圆心求半径、定圆心角是核心部分，定圆心角的目的是求时间(或者速度、磁场)。

1.两种方法定圆心

方法一：已知人射点、人射方向、出射点、出射方向时，可通过人射点和出射点作垂直于人射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨迹的圆心，如图甲所示。方法二：已知人射方向、人射点、出射点的位置时，可以通过人射点作人射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨迹的圆心，如图乙所示。

2.利用几何知识求半径

利用平面几何关系，求出轨迹圆的可能半径（或圆心角），求解时注意以下几个重要的几何特点：

(1)粒子速度的偏向角 (\varphi) 等于圆心角 (α) ，并等于 _{A B} 弦与切线的夹角（弦切角 θ )的2倍(如图所示),即 \scriptstyle{\varphi=_{α}=2θ=_{\omega t}} 。

（2)直角三角形的应用（勾股定理）
找到 \mathbf{\nabla}A B 的中点 C ，连接 O 点 C 点，则 \triangle A O C ，\triangle B O C 都是直角三角形。

3.求时间的两种方法

方法一：由运动弧长计算， \scriptstyle t={(l)/(v)}(l 为弧长)。方法二：由旋转角度计算， t{=}(α)/(360)T 或 t{=}(α)/(2π)T,

4.带电粒子在有界磁场中运动的几个结论

(1)直线边界：进出磁场具有对称性，如图所示。

(2)平行边界：存在临界条件，如图所示。

(3)圆形边界：沿径向射入必沿径向射出，如图所示。(4)当速度 \scriptstyle{\boldsymbol{v}} 一定时，弧长越长，带电粒子在有界磁场中运动的时间越长；当速率 \boldsymbol{v} 变化时，圆心角越大，运动的时间越角度1直边界

例题！如图，在 (0{<=slant}x{<=slant}L )区域内存在匀强磁场，方向垂直于纸面向外。一所带电荷量为 + q 、质量为 m 的粒子从 y 轴上 P 点，以速度 \boldsymbol{v} 沿x 轴的正方向射入磁场，从磁场右边界上某点离开磁场，并轴上的 Q(2L,0) 点，此时速度方向与 x 轴正方向的夹角为 45° 。不计粒子的重力，求粒子穿过磁场右边界时的纵坐标值和磁场磁感应强度的大小。

对点演练1

[2024南京期末]如图所示，OACD是一长为O A=L 的矩形,其内存在垂直纸面向里的匀强磁场，一质量为 \mathbf{\Psi}_{m} 、带电量为 q 的粒子从 o 点以速度 \boldsymbol{v}_{0} 垂直射人磁场，速度方向与 O A 的夹角为 α ，粒子刚好从 A 点射出磁场，不计粒子的重力，则（）

A.粒子一定带正电B.矩形磁场的宽度最小值为 (L(1-\cosα))/(\sinα) C.粒子从 o 到 A 所需的时间为 (2α L)/(v_{0)} D.匀强磁场的磁感应强度为 (2m v_{0}\sinα)/(q L)

角度2圆形边界

例题② 如图所示，一半径为 R 的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一负电荷从 A 点正对着圆心 O 的方向射人磁场，从 C 点射出时速度方向改变了 θ 角，重力不计。则带电粒子做匀速圆周运动的半径为

R 0
A. B. Rtan 0 2 tan 2 0 R
C. Rsin D. 2 0 sin 2

对点演练2

[2022江苏无锡练习]如图所示，圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，三个质量和电荷量都相同的带电粒子a、b、c,以不同的速率对准圆心 O 沿着 A O 方向射入磁场，运动轨迹如图所示，其中 \angle A Oa=90° ， \angle A O b=120° \angle A O C=150° 。若带电粒子只受磁场力的作用，则下列说法正确的是（ ）

A.三个粒子都带负电荷
B.b粒子的速率是a粒子速率的2倍
C.c粒子在磁场中运动的时间最长
D.三个粒子在磁场中运动的时间之比为 3:2:1

重难专题4带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界和多解问题

一、带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题

解决带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题的关键，通常以题目中的“恰好”“最大”“至少”等为突破口，寻找临界点，确定临界状态，根据匀强磁场边界和题设条件画好轨迹，建立几何关系求解。

1.刚好穿出或刚好不能穿出尔强磁场的条件是带电粒子在匀强磁场中运动的轨迹与边界相切。
2.当以一定的速率垂直射人匀强磁场时，运动的弧长越长，圆心角越大，则带电粒子在有界匀强磁场中的运动时间越长。
3.比荷相同的带电粒子以不同的速率 \boldsymbol{v} 进人磁场时，圆心角越大，运动时间越长。
4.在圆形磁场中，当带电粒子运动轨迹的半径大于磁场的半径，且人射点和出射点为磁场直径的两个端点时，轨迹对应的圆心角最大（所有弦长中直径最长)。

例题 ① 如图所示，宽为 d 的带状区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为 B ，一质量为 \mathbf{\Psi}_{m} 、电荷量为 \boldsymbol{\mathscr{e}} 的质子从 A 点出发，与边界成 {60}° 角进人匀强磁场。

\scriptstyle v={(B e d)/(2m)} (1)当 时,求出质子的轨迹半径及轨迹最远点至 M N 的距离，并画出轨迹图；\ v={(2e d B)/(3m)} (2)当 时，求出质子的轨迹半径及轨迹最远点至 M N 的距离，并画出轨迹图；\scriptstyle v={(2{√(3)}e d B)/(3m)} (3)当 时，求出质子的轨迹半径，并画出轨迹图。(4)若质子从左边界飞出磁场，求质子的速度范围。

解题规律

刘题

如图所示，在平面直角坐标系 {}_{x O y} 的第一、二象限内，存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为 B ，大量质量为 m 、电荷量为 q 的相同粒子从 y 轴上的 P(0,L) 点，以相同的速率在纸面内沿不同方向先后射入磁场。若沿 x 轴正方向射入时，粒子垂直 x 轴离开磁场，不计粒子的重力及粒子间的相互作用，则：

(1)求粒子运动的半径；
(2)① 尝试画出以不同速度方向射入磁场的粒子的轨迹；所有粒子的轨迹圆心位置特点是什么？
② 找出粒子在磁场中运动时间最短的轨迹，并求出最短时间。
③ 通过画轨迹，找出粒子离开磁场的位置的范

围，左边离 O 点和右边离 O 点的最远距离各为多少？

解题规律

对点演练

如图所示，在足够大的屏M N 的上方有磁感应强度为 B 的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里， P 为屏上一小孔， P C 与 M N 垂直，一束质量为 \mathbf{\Psi}_{m} 、电荷量为 q 的负粒子(不计重力)以相同的速率 \boldsymbol{v} 从 P 人射人磁场区域，粒子人射方向在与磁场垂直的平面内，且分散在与P C 夹角为 θ 的范围内,则在屏 M N 上被粒子打

中区域的长度为（

A. (2m v)/(q B) B.(2m v\cosθ)/(q B) I \therefore{(2m v(1-\sinθ))/(q B)} D. 2mv(1-cos 0) qB

例题 \otimes 如图所示,半径为 R 的圆形区域内存在着磁感应强度为B 的匀强磁场，方向垂直于纸面向里，一带负电的粒子（不计重力)沿水平方向以速度 \boldsymbol{v} 正对圆心人射，通过磁场区域后速度方向偏转了 {60}° 。求：

(1)求粒子的比荷 特9 (q)/(m)
(2)粒子在磁场中的运动时间 \mathbf{\Psi}_{t}
(3)如果保持速度的大小和方向不变，欲使粒子
通过磁场区域后速度方向的偏转角度最大，则
需将粒子的入射点沿圆弧上平移的距离 d 为
多少？

例题 ±b{\varrho} 如图所示,宽度为 d 的有界匀强磁场，磁感应强度为B,M M^{\prime} 和 N N^{\prime} 是它的两条边界线，现有质量为 \mathbf{\nabla}_{m} 、电荷量为q 的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入，粒子重力不计，要使粒子不能从边界N N^{\prime} 射出，粒子人射速率 \boldsymbol{v} 的最大值可能是

A. (q B d)/(m) B.((2+√(2))q B d)/(m) C.(q B d)/(2m) D.~(2q B d)/(m)

二、带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题

带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于多种因素的影响，使问题形成多解。多解形成的原因一般包含四个方面：

例题 \bullet [2024扬州期中]如图所示，直线MN与水平方向成 {60}° 角， M N 的右上方存在垂直纸面向外的匀强磁场，左下方存在垂直纸面向里的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小均为 B 。一粒子源位于MN上的 a 点，能水平向右发射不同速率、质量为m 、电荷量为 q\left(q>0\right) 的同种粒子（重力不计，粒子间的相互作用不计)，所有粒子均能通过M N 上的 b 点，已知 a b=L ,则粒子的速度可能是（）

A *^{({√(3)}q B L)/(m)} \begin{array}{c}{{B.{(√(3)q B L)/(2m)}}}\\ {{D.{(√(3)q B L)/(4m)}}}\end{array} C.(√(3)q B L)/(3m)

4质谱仪与回旋加速器

学习目标：1.知道质谱仪的构造及工作原理，会确定粒子在磁场中运动的半径，会求粒子的比荷。2.知道回旋加速器的构造及工作原理，知道交变电流的周期与粒子在磁场中运动的周期之间的关系，知道决定粒子最大动能的因素。.

要点一

1.组成：

2.原理：粒子由静止被加速电场加速，根据动能定理可得 {(1)/(2)}m v^{2}=. ,由此可知 \scriptstyle v= 又由于粒子在磁场中只受洛伦兹力的作用，做匀速圆周运动的半径 r= ，得 r= 。可见 q 相同而 m 不同的粒子， r 不同，因而被分开，打在照相底片D的不同地方。

3.应用：测量带电粒子的质量和分析

质谱仪

例题 ① [2024连云港期末]具有速度选择器的质谱仪原理如图所示， A 为粒子加速器，加速电压为 U_{1} B 为速度选择器，磁场与电场正交，磁感应强度为 B_{1} ，电场强度为 E;C 为偏转分离器，磁感应强度为 B_{2} ，三种粒子 {}_{1}^{1}H,{}_{1}^{2}H,{}_{2}^{4} He分别由静止经 A 加速进入 B 中，已知 _{1^{2}H} 通过B 进人 C 中在磁场中做半径为 R 的圆周运动最终打在 D 点。下列说法正确的是（）

由 (q)/(m)=(2U)/(B^{2)r^{2}} 结合圆周运动的半径 \boldsymbol{r} ,算出离子的比荷”。

4.质谱仪最初是由汤姆孙的学生 设计的。他用质谱仪发现了氛-20和氢-22，证实了 的存在。

易错辨析

(1)质谱仪中的加速电场使粒子获得速度。（ ）(2)质谱仪中的磁场使带电粒子偏转打在照相底片上。（）(3)利用质谱仪可以测得带电粒子的比荷。 ( ）(4)在某一质谱仪中，若不同粒子飘入加速电场后到达底片的不同点，它们的质量一定不同。 （）

A. ^1H 能通过 B 进人 C 中打在 D 点左端B. ^{4}_{2}He 能通过 B 进人 C 中打在 D 点左端C.该装置能够测量出 ^1H 的质量D.该装置能够测量出 ^{4}_{2}He 的比荷

例题 {63} [2024扬州期中]如图所示为某种质谱仪工作原理示意图，离子从电离室 A 中的小孔S_{1} 飘出(初速度不计)，经电压为 U 的加速电场加速后，通过小孔 S_{2} ，从磁场上边界垂直于磁场方向进人磁感应强度为 B 的匀强磁场中，运动半个圆周后打在照相底片 D 上并被吸收形成谱线.照相底片 D 上有刻线均匀分布的标尺（图中未画出），可以直接读出离子的比荷。若比荷为 k 的离子落在标尺 a 处，比荷为 \boldsymbol{k}_{b} 的离子落在标尺 b 处。求：

(1)落在标尺 \scriptstyle a 处的离子在磁场中运动的半径多大；

(2)a,b 谱线之间的间隔为 \Delta d 多大，并通过计算说明标尺上各刻线对应比荷的值不是均匀变

化的。

要点二

回旋加速器

知识必备·固基础

1.多级加速器

(1)各加速区的两极板用独立电源供电。(2)要获得高能量的粒子，加速器装置要

2.回旋加速器

(1)构造：如图所示， D_{1} D_{2} 是
两个中空的 ,D
形盒的缝隙处接 电
源。D形盒处于中。

接交流电源

(2)原理：交变电流的周期和粒子做圆周运动的周期 ,粒子在做圆周运动的过程中一次一次地经过D形盒缝隙，两盒间的电势差一次一次地改变正负，粒子就会被一次一次地加速。

(3)周期：粒子每经过一次加速，其轨道半径就大一些，但粒子做圆周运动的周期 O

易错辨析

(1)回旋加速器工作时，电场必须是周期性变化的。( ）

(2)回旋加速器中，磁场的作用是改变粒子速度的方向，便于多次加速。 （）

要点深化·提能力

1.回旋加速器利用磁场使带电粒子做回旋运动，粒子在磁场中运动时不会加速，能量不会增加，能量增加是在电场中加速得到的。

(3)粒子在回旋加速器中加速次数的多少是由磁场决定的。 （）

(4)回旋加速器中的电场和磁场交替对带电粒子做功。（）

导学探究

回旋加速器的原理图如图所示，已知D形盒的半径为 R ，匀强磁场的磁感应强度为 B ，交流电源的周期为 T ，若用该回旋另速器来加速质子，设质子的质量为 \mathbf{\Psi}_{m} ,电荷量为 q 。

请思考：

(1)回旋加速器中磁场和电场分别起什么作用？质子每次经过狭缝时，动能的增加量是多少？(2)对交流电源的周期有什么要求？(3)带电粒子获得的最大动能由哪些因素决定？

不同的粒子加速时周期取决于粒子比荷和磁感应强度（即T= \displaystyle T=(2π m)/(q B)) ←

2.交变电流周期和粒子做圆周运动的周期相等，粒子每经过一次D形盒缝隙被加速一次，一个周期内被加速两次。电场电压大小影响加速的次数 n,\ n 满足n q U{=}(1)/(2)m{v_{m}}^{2} ←!

3.粒子在回旋加速器中的最大动能与电场的电压大小无关。由 q v_{m}B{=}(m{v_{m}}^{2})/(R) E_{km}={(1)/(2)}m{v_{m}}^{2} 立解得Ekm= E_{km}={(q^{2}B^{2}R^{2})/(2m)} 电场的电压大小只影响加速次数，而不会影响最大动能，即粒子获得的最大动能由磁感应强度 B 和D形盒的半径R 决定，与加速电压无关。

带电粒子在电场中加速4.粒子运动的总时间时间很短，忽略不计粒子在磁场中运动一个周期，被电场加速两次，每次动能增加 q U ,加速次数 n=(E_{km})/(q U) ,则粒子在磁场中运动的总时间 t={(n)/(2)}T={(E_{km})/(2q U)} (2π m)/(q B)=(π B R^{2})/(2U)\circ

例题 \wp [2024扬州期末如图所示为回旋加速器示意图，质子源置于盒的圆心附近，不计质子通过D形盒狭缝的时间，则（ ）

A.仅增大加速电压，质子运动时间变长B.仅增大加速电压，质子获得的最大动能不变C.仅增大磁感应强度，质子运动时间变长D.仅增大磁感应强度，质子获得的最大动能增大例题 ±b{\varrho} 1932年，劳伦斯和利文斯设计出了回旋加速器。回旋加速器的工作原理如图所示,置于高真空中的D形金属盒半径为 R ，两盒间的间距为 d ,磁感应强度为 B 的匀强磁场与盒面垂直。 A 处粒子源产生的粒子，质量为 \mathbf{\Psi}_{m} 、电荷量为 +q ,在加速器中被加速,加速电压为 U 。加速过程中不考虑相对论效应和重力作用。

(1)求交变电场的频率；
(2)求粒子第2次和第1次经过两D形盒间狭缝后轨道半径之比；
(3)求粒子从静止开始加速到出口处在电场和磁场中运动所需的总时间 t 。

对点演练

[2024南京期末回旋加速器是将半径为 R 的两个D形盒置于磁感应强度为 B 的匀强磁场中，两盒间的狭缝很小，两盒间接电压为 U 的高频交流电源。电荷量为 q 的带电粒子从粒子源 A 处进人加速电场(初速度为零)，若不考虑相对论效应及粒子所受重力，下列说法正确的是（ ）

A.增大狭缝间的电压 U ,粒子在D形盒内获得的最大速度会增大
B.粒子第一次在 D_{2} 中运动时间大于第二次在 D_{2} 中的运动时间
C.粒子第一次与第二次在 D_{2} 磁场中运动的轨道半径之比为 1:3
D.若仅将粒子的电荷量加倍,则交流电源频率应变为原来的2倍

温馨提示请完成分层作业4质谱仪与回旋加速器

重难专题5 带电粒子在组合场中的运动

1.组合场概念：电场与磁场各自位于一定的区域内且不重叠；或在同一区域，电场、磁场分时间段或分区域交替出现。
2.分析带电粒子在组合场中运动的方法要注意带电粒子在各种场中运动的性质，然后按不同类的运动特征选择(确定)不同的分析方法。

注意在不同场中运动分界处隐含的条件：速度大小关系、方向关系(轨迹的几何关系）。带电粒子在电场和磁场的组合场中运动，实际上是将粒子在电场中的加速与偏转，跟在磁场中的偏转两种运动有效组合在一起，有效区别电偏转和磁偏转，寻找两种运动的联系和几何关系是解题的关键。当带电粒子连续通过几个不同的场区时，粒子的受力情况和运动情况也发生相应的变化，其运动过程则由几个不同的运动阶段组成。

角度1先电场再磁场

例题 ① 如图所示,在竖直面上某区域内左侧存在宽度 a b=0,\ 75L 匀强电场，场强 E= (16m{v_{0}}^{2})/(9e L) ，方向竖直向上，右侧存在一有界匀强磁场，宽度 b c=L ,方向垂直纸面向外， b e 为电场与磁场的分界线。一质量为 \mathbf{\nabla}_{m} 、电荷量为 \mathbf{\Psi}_{e} 的电子(重力不计)从 \scriptstyle a 点沿 a b 方向以初速度\scriptstylev_{0} 射人电场，从 b e 边上的 g 点进人磁场。（已知 \sin37°=0.6,\cos37°=0.8)

(1)求 g 点到 b 点的距离；
(2)要使电子从 b c 边射出磁场,求磁感应强度大小的范围。

解题规律

带电粒子在电场中有两种特殊情形：一是加速(或减速)，二是偏转，通常说成“类平抛”。

(1)粒子先在电场中做加速直线运动，然后进入磁场做圆周运动。如图甲、乙所示，在电场中利用动能定理或运动学公式求粒子刚进入磁场时的速度。

(2)粒子先在电场中做类平抛运动，然后进入磁场做圆周运动。如图丙、丁所示，在电场中利用类平抛运动知识求粒子刚进入磁场时的速度。

各物理量的关系： L=v_{0}t,h=(1)/(2)a t^{2}= {(q{E t}^{2})/(2m)},v_{y}=a t,v=√({v_{0)}^{2}+{v_{y}}^{2}},\tanα={(v_{y})/(v_{0)}}\circ

这里存在一隐含细节：在电场中运动的末速度是从电场中进入磁场时的初速度，需要求出在电场中运动时末速度的大小与方向。

对点演练1

[2024连云港期中]如图所示， {}_{x O y} 平面内， x 轴下方充满垂直于纸面向外的匀强磁场， x 轴上方充满竖直向下的匀强电场(图中未画出)，其他部分无电场。从 P 点水平向右向电场内发射一个比荷为 (q)/(m) 的带电粒子,粒子的速度大小为 \boldsymbol{v}_{0} ,仅在电场中运动时间 \mathbf{\Psi}_{t} ，从 x 轴上的 N 点与 x 轴正方向成α 角(未知)斜向下进人磁场，之后从原点 O 第一次回到电场。已知 P N 两点间的电势差 U_{P N}= (3m{v_{0}}^{2})/(2q) ,忽略边界效应,不计粒子受到的重力。求：

(1)粒子第一次通过 N 点的速度大小 \boldsymbol{v} 及角度 α (2)匀强电场的电场强度大小 E 及匀强磁场的磁感应强度大小 B ；
(3)粒子从 P 点发射求第5次通过 x 轴时的位置x 和时间 t^{'} 。

角度2先磁场再电场

例题 {63} [2024连云港期末]如图所示,平面直角坐标系 x O y 中第一象限内有磁场和电场的边界线，线上点的坐标满足直线方程 \scriptstyle{y={(4)/(3)}x-{(5)/(6)}} （坐标点的单位为国际单位)。线左侧存在方向垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B ,线右侧存在方向沿 x 轴正方向的匀强电场坐标原点 O 处有一粒子源，能沿 x 轴方向发射出质量为 m 、电荷量为 q 、速率不同的带正电粒子。某粒子通过直线上点 P(1,(1)/(2)) ,再经 \mathbf{\Psi}_{t} 时间垂直经过 x 轴，不计粒子重力和粒子间相互影响。求：

(1)粒子从 O 运动到 P 的时间 t_{1}
(2)粒子通过 P 处的速度大小 \boldsymbol{v}
(3)匀强电场的场强大小 E 及能进人电场的粒子的速率范围。

解题规律

“五步”突破带电粒子在组合场中的运动问题

对点演练2

[2024淮安涟水高二模拟测试]如图所示，在 x 轴上方存在匀强磁场，磁感应强度为 B ，方向垂直于纸面向里。在 x 轴下方存在匀强电场，方向与 x 轴负方向成 45° 角。一个质量为 \mathbf{\Psi}_{m} 、电荷量为 q ：重力不计的带正电粒子从 y 轴上的 a\left(h,0\right) 点沿y 轴正方向以某初速度开始运动，一段时间后，粒子沿平行电场线方向进人电场，且粒子沿电场线移动的最大距离为 h 。求：

(1)粒子在磁场中运动的轨迹半径 \boldsymbol{r} 和初速度大小 \scriptstylev_{0} ；
(2)匀强电场的电场强度大小 E
(3)粒子从开始运动到第三次经过 x 轴的时间 t 。

三、先磁场再磁场

例题 \boldsymbol{\wp} [2024无锡期末]在 {}_{x O y} 平面内， y{>=slant}0 ，5~cm 和 y{<}0 的范围内存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度 B 均为 1.0T 一质量 m=1.6x10^{-15}kg. 带电荷量 q=1.\ 6x 10^{-7}~C~ 的带正电粒子，从坐标原点 O 以初速度{\tau^{{v=5.0x10^{5}{m/s}}}} 沿与 x 轴成 30° 角的方向斜向上射出，经磁场偏转后到第一次斜向上穿过 x 轴时，恰好通过 Q 点，如图所示，重力不计，求：

(1)带电粒子在匀强磁场中运动的轨道半径；(2)Q 点的坐标和带电粒子从 O 点运动到 Q 点所用的时间；
(3)粒子从 O 点开始运动到第 n 次斜向下穿过x 轴时所经过的路程？

重难专题6 带电粒子在叠加场中的运动

一、叠加场

“叠加场”是指在某区域同时存在不同的场，这些场可以是电场、磁场、重力场。它们以不同的形式组合，可能是磁场和重力场叠加，可能是电场和重力场叠加，也可能是电场和磁场叠加，或者重力场、电场与磁场三者共同叠加，这种情境也叫“复合场”。当然有时也会存在接触面，有弹力或摩擦力存在的情境。

二、基本分析思路

1.弄清叠加场的组成。
2.进行受力分析。
3.确定带电粒子的运动状态，注意运动情况和受力情况的结合。
4.画出粒子运动轨迹，灵活选择不同的运动规律。(1)当带电粒子做匀速直线运动时，根据受力平衡列方程求解。(2)当带电粒子做匀速圆周运动时，一定是静电力和重力平衡，洛伦兹力提供向心力，应用平衡条件和牛顿运动定律分别列方程求解。(3)当带电粒子做复杂曲线运动时，一般用动能定理或能量守恒定律求解。

三、带电粒子在三种场中的特点

角度1带电粒子在叠加场中的直线运动

例题 ① 如图所示，某空间存在水平向右的匀强电场和垂直纸面方向的匀强磁场（图中未画出)，一质量为 \mathbf{\Psi}_{m} 的带正电粒子恰能以速度 \boldsymbol{v} 沿图中虚线所示的轨迹做直线运动，粒子的运动轨迹与水平方向的夹角为 {60}° ，匀强电场的电场强度大小为 E ,重力加速度大小为 g ，下列说法正确的是（）

A.匀强磁场的方向垂直纸面向外
B.匀强磁场的磁感应强度大小为 (E)/(v\sin{60)°}
C.粒子的电荷量为Etan 60°
D.若粒子运动过程中磁场突然消失，则粒子可能做匀减速直线运动

角度2带电粒子在叠加场中的圆周运动

例题？ [2024淮安涟水高二模拟测试如图所示，匀强电场的电场强度为 E ，方向竖直向下，匀强磁场的磁感应强度为 B ，方向垂直于纸面向里。一质量为 \mathbf{\Psi}_{m} 的带电小球在竖直平面内做匀速圆周运动，则带电小球（ ）

A.带正电荷
B.沿圆周逆时针运动C.电荷量为 (m g)/(E)
D.运动的速率为

规律总给三步"解决叠加场问题

例题 ⑧ 如图所示,直角坐标系 {}_{x O y} 位于竖直平面内， y 轴竖直向上，第Ⅲ、IV象限内有垂直于坐标平面向外的匀强磁场，第IⅣ象限同时存在方向平行于 y 轴的匀强电场(图中未画出)，一质量为 \mathbf{\Psi}_{m} 、带电量绝对值为 q 的小球从 x 轴上的 A 点由静止释放，恰好从 P 点垂直于 y 轴进人第IⅣ象限，然后做圆周运动，从 Q 点以速度 \boldsymbol{v} 垂直于 x 轴进人第工象限，重力加速度为 g ，不计空气阻力。则（）

外。一个质量为 m=5x10^{-6}~kg 、带电荷量为q=2x10^{-5}~C~ 的带电小球，从距 M N 的高度为h 的 O 点由静止开始下落，进人 ~I~ 区域后，恰能做匀速圆周运动，取 g=10\ m/s^{2} 。求：

(1)试判断小球的电性并求出电场强度 E 的大小；
(2)若带电小球能进入区域Ⅱ，则 h 应满足什么条件？
(3)若想带电小球运动一定时间后恰能回到 O 点： h 应该等于多少？

A.小球从 A 点到 P 点做圆周运动B.电场方向可能竖直向上C. O 点到 P 点距离大于 *(v^{2})/(2g) D.小球在第IⅣ象限运动的时间为 (π v)/(4g) 例题 \boldsymbol{\wp} 如图空间区域工、Ⅱ有匀强电场和匀强磁场， M N,P Q 为工区域的上下边界，I区域高度 d=0.15\ m,1 \mathbb{I} 区域的范围足够大。匀强电场方向竖直向上；I、Ⅱ区域的磁感应强度大小均为 B=5~T~ ,方向分别垂直纸面向里和向角度3带电粒子在叠加场中的一般曲线运动例题 \bullet 如图所示,在竖直面内建立坐标系x O y ，水平 x 轴下方存在水平向里的匀强磁场，磁感应强度大小为 B_{0} 。质量为 m 、电荷量为 + q 的带电小球在 O 点静止释放，小球的运动曲线如图所示。已知皮曲线在最低点的曲率半径为该点到 x 轴距离的2倍，重力加速度为 g 。求：

(1)小球运动到任意位置 P(x,y) 处的速率 \boldsymbol{v} 。(2)小球在运动过程中第一次下降的最大距离y_{{m}} 。

(3)若磁场为非匀强磁场，方向水平向里，磁感应强度大小随 \boldsymbol{v} 方向均匀增大，关系为 B= (B_{\circ}y)/(d) d。( (B_{0} 和 d 已知)求小球在运动过程中第一次下降的最大速度。

规律方法

这种题型中带电体一般做变加速运动，基本不会利用牛顿运动定律分析运动过程，更多的是采用动能定理分析，其中洛伦兹力一定不做功。另一方面，在运动过程中某点或某时刻运动时往往要用到牛顿运动定律分析受力情况。

例题 ⑥ ［2025南京市六校联合体期中]亥姆霍兹线圈是一对平行的完全相同的圆形线圈。如图所示，通电后线圈间形成平行于中心轴线O_{1}O_{2} 的匀强磁场，磁感应强度大小为 B 。沿O_{1}O_{2} 建立 x 轴，一足够大的圆形探测屏垂直于 x 轴放置，其圆心 P 点位于 x 轴上。粒子源从 x 轴上的 O 点以垂直于 x 轴的方向竖直向上持续发射初速度大小为 {\boldsymbol{v}}_{0} 的粒子。已知粒子带正电，比荷为 k ,不计粒子重力和粒子间相互作用，整个运动过程中，粒子未离开磁场或电场。

(1)求粒子做圆周运动的半径 \boldsymbol{r}
(2)若在线圈间再加上沿 x 轴正方向的匀强电场，电场强度大小为 E ，沿 x 轴方向左右调节探测屏，求粒子打在探测屏上的点距探测屏圆心 P 点的最远距离 D
(3)在第(2)问情境下，沿 x 轴方向左右调节探测屏，若粒子恰好打在探测屏的圆心 P 点，求粒子到达 P 点时的速度大小 \boldsymbol{v} 。

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安培力

大小： F{=}\mathbb{D}

方向：左手定则—伸开左手，使拇指与其余四个手指垂直，并且都与手掌在同一个平面内；让磁感线从掌心垂直进人，并使 ② 指向电流的方向，这时 ③ 所指的方向就是通电导线在磁场中所受安培力的方向

特点：安培力垂直于 B 、垂直于 I ，垂直于 I 与 B 决定的平面应用：磁电式电流表的工作原理大小： F=\underline{{④}}

洛伦兹力

方向：左手定则—伸开左手，使拇指与其余四个手指垂直，并且都与手掌在同一个平面内；让磁感线从掌心垂直进人，并使 ⑤ 指向正电荷运动的方向，这时 ⑥ 扬旨的方向就是运动的正电荷在磁场中所受洛伦兹力的方向

特点：洛伦兹力垂直于 B 、垂直于 \boldsymbol{v} ，垂直于 \scriptstyle{v} 与 B 决定的平面；洛伦兹力对运动电荷不做功，洛伦兹力只改变粒子速度的方向，不改变速度的大小

应用：显像管电视机的工作原理
当 \scriptstyle v=0 时，带电粒子 ⑦
当 v//B 时，带电粒子做 ⑧
当 \boldsymbol{v}\bot\boldsymbol{B} 时，带电粒子做 ⑨
根据牛顿第二定律可知 q v B=m{(v^{2})/(r)} ,得半径 r{=}(m v)/(B q)
周期： T=(2π r)/(v)=(2π m)/(B q)
(1)圆心的确定：两条半径的交点
(2)半径的确定：物理方法 \scriptstyle* q v B=m{(v^{2})/(r)} ；数学方法- ;数学方法—几何关系
(3)运动时间的确定： t={(α)/(360^{\circ)}}T={(α)/(2π)}T
当 \boldsymbol{v} 与 B 夹角为 θ (锐角)时，带电粒子做等距螺旋线运动

综合训练

1.（2023江苏卷）如图所示，匀强磁场的磁感应强度为 B 。“L” a形导线通以恒定电流I,放置在 1 B磁场中。已知 a b 边长为2l,与 \overline{{b^{normal{L}normal{L}}}} 磁场方向垂直， b c 边长为L，与磁场方向平行。该导线受到的安培力为（ ）

A. 0 B. BIl C. 2BIl D.√(5)B I l

2.某小型医用回旋加速器，最大回旋半径为0.5{~m~} ，磁感应强度大小为 1.12~T~ ，质子加速后获得的最大动能为 1.5{x}10^{7}~eV ,根据给出的数据，可计算质子经该回旋加速器加速后的最大速率约为（忽略相对论效应， 1\ eV=1. 6x {10}^{\ensuremath{-}19} J（）

A. 3.6{x}10^{6}~m/s B.1.2{x}10^{7}~m/s {C.5.4{x10^{7}~m/s}\qquad}{D.2.4{x10^{8}~m/s}}

3.如图甲，直导线 M N 被两等长且平行的绝缘轻绳悬挂于水平轴 \omega^{\prime} 上,其所在区域存在方向垂直指向 \omega^{\prime} 的磁场，与 \omega^{\prime} 距离相等位置的磁感应强度大小相等且不随时间变化，其截面图如图乙所示。导线通以电流 I ，静止后，悬线偏离竖直方向的夹角为 θ 。下列说法正确的是（）

A.当导线静止在图甲右侧位置时，导线中电流方向由 N 指向 M
B.电流 I 增大,静止后，导线对悬线的拉力不变
C. tan θ 与电流 I 成正比
D. sin θ 与电流 I 成正比

4.如图所示， A B C 为竖直平面内的光滑绝缘轨道，其中 _{A B} 为倾斜直轨道， B C 为与 \mathbf{\nabla}A B 相切的圆形轨道，并且圆形轨道处在匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向里。质量相同的甲、乙、丙三个小球中，甲球带正电、乙球带负电、丙球不带电。现将三个小球在轨道 A B 上分别从不同高度处由静止释放，都恰好通过圆形轨道的最高点,则（）

A.经过最高点时，三个小A球的速度相等 Xxxxxxxxxx
B.经过最高点时,甲球的 B速度最小
C.甲球的释放位置比乙球的低
D.运动过程中三个小球的机械能均保持不变

5.如图所示，在 {}_{x O y} 坐标系的第一、第四象限内存在着两个大小不同、方向相反的有界匀强电场， y 轴和 a b 为其左、右边界，两边界距离为\scriptstyle{l=2.4r} ，第一象限内电场 E_{2} 方向竖直向下，第四象限内电场 E_{1} 方向竖直向上。在 y 轴的左侧有一分布在半径为 r 的圆内的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，其中 O O^{\prime} 是圆的半径。在电场右边界ab上，一电荷量为 +q ,质量为\mathbf{\Psi}_{m} 的不计重力的粒子以初速度 \boldsymbol{v} 从 M 点沿水平方向垂直射入匀强电场， M 点和 x 轴之间的距离为 1.2r ，该粒子通过 x 轴上的 N 点进人上部匀强电场，然后从 y 轴上的 P 点水平射出， P 点坐标为 (0,0,8r) ），经过一段时间后粒子进人磁场区域，该粒子进出磁场时速度方向改变了 90° 。其中 m,+q,v,r 为已知量。求：

(1)第一、第四象限内电场强度的比值 E_{2}:E_{1} (2)磁场的磁感应强度 B 的大小；
(3)该粒子从射人电场到偏转出磁场的全过程运动的总时间。

6.如图所示，在空间建立正交坐标系 x O y z ，空间中存在范围足够大，大小可调节的沿 x 轴正方向的匀强磁场和匀强电场。过 x 轴上 C\left(2L\right) ，0，0)点有平行于 y O z 平面的无限大平面光屏，质量为 \mathbf{\Psi}_{m} ,电荷量为 q\left(q>0\right) 的粒子从坐标原点 O 沿 z 轴正方向以初速度 \scriptstyle v_{0} 射入该空间中，不计粒子重力。

(1)若空间只存在如图所示的电场，粒子打在光屏上的 P 点， C P=4L ,求此电场的电场强度 E 的大小;(2)若空间内只存在如图所示的磁场，粒子经过段时间到达坐标为 (0,-L,√(3)L )的位置，求此磁场的磁感应强度 B_{0} 的大小；(3)若电场和磁场同时存在，已知磁场磁感应强度为 B ，粒子第一次回到 x 轴上并经过 A\left(L ，0,0)点，求电场强度 E 的大小；(4)若空间中电磁场与(3)相同，粒子在 O 点时的速度 \scriptstyle v_{0} 在 x O z 平面内并与 x 轴正方向夹角为 为60°,且= 且 {\boldsymbol{v}}_{0}={(q B L)/(π m)} ,求粒子打到光屏上时的位置坐标。

专项提升

1.带电粒子的发散

如图甲所示，圆形匀强磁场圆心为 O ，从 P 点有大量质量为 m 、电荷量为 q 的正粒子，以大小相等的速度 \boldsymbol{v} 沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果正粒子轨迹圆半径与有界圆形磁场半径相等。则所有粒子射出磁场的方向平行。

2.带电粒子的会聚

如图乙所示，大量的同种带正电的粒子，速度大小相同，平行人射到圆形匀强磁场区域，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等 (R-r) ，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点 B 点射出。

1楞次定律

学习目标：1.通过实验探究，归纳出判断感应电流方向的规律——楞次定律。2.理解楞次定律，并能够熟练应用楞次定律判断感应电流的方向。3.掌握右手定则，能够熟练应用右手定则判断感应电流的方向。

要点一

实验：探究影响感应电流方向的因素

一、实验原理

1.由电流表指针的 与的关系，找出感应电流的方向。

2.通过实验，观察、分析原磁场方向和磁通量的变化，记录 的方向，然后归纳出感应电流的方向与原磁场方向、磁通量变化之间的关系。

二、实验器材

如图所示，除了为确定电流方向与电流表指针偏转方向关系的干电池、滑动变阻器、开关、电流表外，还需要
及导线。

三、进行实验

1.把干电池、滑动变阻器、电流表和开关连成闭合 回路，观察电流方向与电流表指针偏转方向的 关系并记录下来。

2.把线圈和电流表连成一个回路。

3.利用如图甲、乙、丙、丁所示的装置进行实验操作,并填好实验现象记录表格。

(1)线圈内磁通量增大时的情况

(2)线圈内磁通量减小时的情况

四、数据分析与实验结论

1.当穿过线圈的磁通量增大时，感应电流的磁场与磁体磁场的方向是 的，磁通量的增大。

2.当穿过线圈的磁通量减小时，感应电流的磁场与磁体磁场的方向是 的，磁通量的减小。

3.实验结论

感应电流具有这样的方向，即感应电流的磁场总要 引起感应电流的

五、注意事项

1.确定电流方向与电流表指针偏转方向的关系时，要用试触法并注意减小电流，防止电流过大或通电时间过长损坏电流表。

2.电流表选用零刻度在中间的灵敏电流计。

3.实验前设计好表格，并明确线圈的绕线方向。

4.按照控制变量的思想进行实验。

5.完成一种操作后，等电流计指针回零后再进行

下一步操作。

例题 ±b{θ} [2024扬州期中]我们可以通过实验探究电磁感应现象中感应电流方向的决定因素和遵循的物理规律。以下是实验探究过程的一部分。

(1)如图甲所示，当磁铁的N极向下运动时，发现电流计指针偏转，若要探究线圈中产生感应电流的方向，必须知道(2)如图乙所示，闭合开关后，线圈 A 相当于条形磁铁，下端为_极（填“N"或“S")；实验中发现闭合开关瞬间，电流计指针向左偏。电路稳定后，若向右移动滑动触头，此过程中电流计指针向 偏转（填“左"或“右”)，此时线圈B中感应电流的方向 （从上向下看，填“逆时针"或“顺时针”)；若将线圈 A 抽出，此过程中电流计指针向 偏转(填“左"或“右”)。

要点二 楞次定律及其理解

知识必备·固基础

1.楞次定律

感应电流具有这样的方向，即感应电流的总要阻碍引起感应电流的磁通量的变化。

-→阻碍不是阻止

2.适用情况电磁感应现象。

易错辨析

(1)感应电流的磁场只是阻碍原磁通量的增大。 (

(2)由楞次定律知，感应电流的磁场一定与引起感应电流的磁场方向相反。 （）

导学探究

如图是磁悬浮的原理示意图，图中 A 是圆柱形磁体，B是用高温超导材料制成的超导圆环。将超导圆环 B 水平放在磁体 A 上，它就能在磁力的作用下悬浮在磁体 A 上方的空中。

(1)在 B 放入磁场的过程中， B 中会产生感应电流吗？当稳定后，感应电流会消失吗？(2)若A的N极朝上，在 B 放入磁场的过程中，B中感应电流的方向如何？（从上往下看）

要点深化·提能力

1.因果关系：感应电流的效果总是与引起感应电流的原因相对抗，感应电流的磁场方向与引起感应电流的磁场方向可能相同，也可能相反。

2.楞次定律中“阻碍”的含义

例题？ 条形磁铁位于线圈 L NS O的正上方，灵敏电流计 G 、电容 C 与线圈 L 连成如图所示的电路。现使磁铁从静止开始加速下落，在S极接近线圈上端的过程中，流过电流计 G 的电流方向和电容器极板的带电情况，下列说法正确的是（）

A.电流方向 a{\rightarrow}G{\rightarrow}b ,电容器的下极板带正电B.电流方向 a{\rightarrow}G{\rightarrow}b ,电容器的上极板带正电C.电流方向 b{\rightarrow}G{\rightarrow}a ,电容器的下极板带正电D.电流方向 b{\rightarrow}G{\rightarrow}a ,电容器的上极板带正电

规律总结

“四步法”判断感应电流方向

例题 \spadesuit 如图所示,在水平放置的条形磁铁的N极附近，一个闭合线圈竖直向下运动并始终保持水平。在图中位置B，N极附近的磁感线正好与线圈平面平行， A,B 之间和 B,C 之间的距离都比较小。则从上向下看，A到 C 过程中线圈中电流的方向为（ ）

A.一直为顺时针B.一直为逆时针

C.先顺时针后逆时针 D.先逆时针后顺时针

对点演练

如图所示，在磁感应强度大小为 B 、方向竖直向上的匀强磁场中，有一质量为 \mathbf{\Psi}_{m} 、阻值为 R 的闭合矩形金属线框abcd用绝缘轻质细杆悬挂在 O 点，且可绕 O 点摆动。金属线框从右侧某一位置由静止开始释放，在摆动到左侧最高点的过程中，细杆和金属线框平面始终处于同一平面，且垂直于纸面。则线框中感应电流的方向是（）

A. a{\rightarrow}b{\rightarrow}c{\rightarrow}d{\rightarrow}a
B. d\to c\to b\to a\to d
C.先是 d\to_{C}\to_{b}\to_{a}\to_{-d} ，后是 a{\rightarrow}b{\rightarrow}c{\rightarrow}d{\rightarrow}a D.先是 a{\rightarrow}b{\rightarrow}c{\rightarrow}d{\rightarrow}a ，后是 d\to_{C}\to_{b}\to_{a}\to_{\l}d

要点三／对右手定则的理解

知识必备·固基础

1.右手定则 ---左手判力，右手判电伸开右手，使拇指与其余四个手指垂直，并且都与手掌在同一个平面内；让磁感线从进入,并使拇指指向 的方向，这时四指所指的方向就是 的方向。

2.适用范围 电路不闭合时只有感应电动势适用于闭合电路部分导体 产生感应电流的情况。

易错辨析

(1)右手定则和楞次定律都适用于所有电磁感应现象中感应电流方向的判断。 （）

(2)导体棒不垂直切割磁感线时，也可以用右手定则判断感应电流方向。 （）

导学探究

在图中，假定导体棒 A B 向右运动。

(1）我们研究的是哪个闭合电路？

(2)当导体棒 A B 向右运动时，穿过这个闭合电路的磁通量是增大还是减小？

(3)感应电流的磁场应该是沿哪个方向的？(4)导体棒 A B 中的感应电流是沿哪个方向的？

要点深化·提能力

1.因果关系

电磁感应中“右手定则”是用来分析运动导体切割磁感线产生感应电流方向的方法，感应电流是结果，运动是原因。

2.右手定则适用于闭合电路的部分导体切割磁感线产生感应电流的情况。

3.右手定则是楞次定律的一种特殊形式，用右手定则能解决的问题，均可用楞次定律解决。

4.应用右手定则需注意

(1)磁感线必须垂直穿人掌心。
(2)拇指指向导体运动的方向。
(3)四指所指的方向为感应电流的方向。

例题 \boldsymbol{\wp} [2025南京市六校联合体联考］如图所示，闭合矩形金属线框abcd位于磁感应强度为 B 的匀强磁场中，线框平面与磁场垂直，以速度 \boldsymbol{v} 向右匀速运动，cd边未出磁场。下列说法正确的是（）

A.线框中没有感应电流，且 a 点电势等于 b 点电势B.线框中没有感应电流，且 a 点电势不等于 b 点电势C.ab中有向上的电流，且 a 点电势低于 b 点电势D.ab 中有向上的电流，且 a 点电势高于 b 点电势

对点演练2

如图所示，导体棒 |A B| 、CD可在水平光滑轨道上自由滑动，下列说法正确的是（ ）

A.将导体棒CD固定，当导体棒 _{A B} 向左移动时， A B 中感应电流的方向为 B 到 A
B.将导体棒 C D 固定，当导体棒 A B 向右移动时，A B 中感应电流的方向为 A 到 B
C.将导体棒 A B 固定，当导体棒 C D 向左移动时，A B 中感应电流的方向为 A 到 B
D.将导体棒 _{A B} 固定，当导体棒 C D 向右移动时， A B 中感应电流的方向为 A 到 B

要点四

楞次定律、右手定则和左手定则的比较

1.楞次定律与右手定则的区别及联系

2.右手定则和左手定则的区别

例题 匀强磁场区域,磁场方向垂 \Theta 如图所示，一个有界 {}_{b}^{a}\bigsqcup_{1}{}_{c}^{d}
直于纸面向外，一个矩形闭
合导线框abcd沿纸面向右由位置1匀速运动
到位置2。则（ ）
A.导线框进人磁场时，感应电流方向为 a\rightarrow b {\bf{\Pi}}\to_{C}\to_{}d\to_{a}{\bf{\Pi}}
B.导线框离开磁场时，感应电流方向为 a\rightarrow d \scriptstyle\to_{C}\to b\to_{a}
C.导线框离开磁场时，受到的安培力方向为水平向右
D.导线框进人磁场时，受到的安培力方向为水平向左

对点演练3

[2023扬州期中]如图所示，光滑平行金属导轨 P P^{\prime} 和 \boldsymbol{Q}\boldsymbol{Q}^{\prime} 处于同一水平面内， P 和 Q 之间连接一电阻 R ，整个装置处于竖直向下的匀强磁场中。现垂直于导轨放置一根导体棒 M N ，用一水平向右的力 F 拉动导体棒 M N 。下列关于导体棒M N 中感应电流的方向和它所受安培力的方向的说法正确的是（ >

A.感应电流的方向是 N{\rightarrow}M B.感应电流的方向是 M{\rightarrow}N C.安培力的方向为竖直向下D.安培力的方向为水平向右

对点演练4

[2023泰州月考]如图所示，在匀强磁场中放一电阻不计的平行金属轨道，轨道与轨道平面内的圆形线圈 P 相连，要使在同一平面内所包围的小闭合线圈 Q 内产生顺时针方向的感应电流，导线 a b 的运动情况可能是（ ）

A.匀速向右运动B.加速向右运动C.减速向右运动D.匀速向左运动

重难专题 7 楞次定律的应用

在电磁感应中，分析电流方向是基本问题之一，我们通常用楞次定律来分析电流方向。另一方面，我们更多的是利用电流方向再次分析磁场中导体所受安培力方向，并分析在安培力影响下导体将如何运动、导体产生何种变化。在分析这类问题基础上，形成一系列的分析方法与技巧，也就是所谓的推论。

一、感应电流方向判断

1.分析感应电流方向时，我们要分清感应电流是磁场变化引起的，还是线圈面积变化（或有效面积变化)引起的，或是磁场与线圈平面夹角变化引起的。

2.用楞次定律判断

如果直接用楞次定律判断，为了便于记忆，通常总结为“增反减同”。“增反减同”中“增”或“减”是指磁通量的增减，“反”或“同”是感应磁场方向与原磁场方向相反或者相同。因此我们需要明确几个细节：一是磁通量变化，二是原磁场方向。在此基础上分析感应磁场方向，最后利用感应磁场方向逆向分析感应电流方向。这里要注意的是感应磁场是因，感应电流是果。

3.用右手定则判断

该方法只适用于导体切割磁感线产生的感应电流，注意三个要点：
(1)掌心——磁感线穿人。
(2)拇指——指向导体运动的方向。
(3)四指——指向感应电流的方向。
这里运动是因，感应电流是果，注意因果关系。

例题 \bullet [2023无锡模拟]如图所示，若套在条形磁体上的弹性金属线圈工突然缩小为线圈Ⅱ，则线圈（ ）

A.有顺时针方向的感应电流
B.有逆时针方向的感应电流
C.有先逆时针方向后顺时针方向的感应电流
D.无感应电流

例题?如图所示，矩形闭合线圈放置在水平薄板上，有一块蹄形磁体置于薄板的正下方（磁极间距略大于矩形线圈的宽度)。当磁体匀速向右通过线圈正下方时，线圈仍静止不动，关于线圈受到薄板的摩擦力方向和线圈中产生的感应电流的方向（从上向下看)，下列说法正确的是（）

A.摩擦力方向先向右、后向左
B.摩擦力方向先向左、后向右
C.感应电流的方向为先顺时针后逆时针再顺时针
D.感应电流的方向为先顺时针后逆时针

对点演练1

如图所示，磁场垂直于纸面，磁感应强度在竖直方向均匀分布，在水平方向非均匀分布，一铜制圆环用丝线悬挂于 O 点，将圆环拉至位置 \scriptstyle a 后无初速度释放，在圆环从 a 摆向 b 的过程中（）

A.感应电流方向先顺时针后逆时针再顺时针
B.感应电流方向一直是逆时针
C.安培力方向始终与速度方向相反
D.安培力方向始终沿水平方向

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