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（2023-2024 景山中学九上期中）★★★★

16．如图，在半圆 O 中，直径 AB＝4，C 是半圆上一点，将弧 AC 沿弦 AC 折叠交 AB 于

D，点 E 是弧 AD 的中点．连接 OE，则 OE 的最小值为___________．

E

D

O

A B

C

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吴老师图解

答案：2

2 －2.

分析

如图，先给出一个重要结论：∠CTE＝90°.

下面给出证明思路：

首先，弧的对称本质上是圆的对称！

我们作点 O 关于 AC 的对称点 T，则弧 ADC 是⊙T 的一部分，连接 TA，TC，TE，由对

称知∠1＝∠2，且∠1＝∠3，故∠2＝∠3，即 TC∥AB，

由于点 E 是弧 AD 的中点，故 TE⊥AD（提示：垂径定理的推论），所以，TE⊥TC，即

∠CTE＝90°，那么，这个结论与 OE 长度的最小值有和联系呢？

下面给出 2 个思路，供同学们参考：

思路一：三角形的三边关系

思路&图解

如图，

1）由【分析】知∠CTE＝90°，即△CTE 是等腰直角三角形，易求得 CE＝2

2 ，

2）连接 OC，若点 O，C，E 不共线，那么在△OCE 中有 OE＞CE－OC，即 OE＞2

2

－2；若点 O，C，E 共线，则有 OE＝CE－OC，即 OE＝2

2 －2.

∴综上所述：OE 的最小值为 2

2 －2.

T

O D

A B

C

3

2

1

T

E

D

O

A B

C

2

T 2

E

D

O

A B

C

T

E

D

O

A B

C

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思路二：轨迹思想

思路&图解

如图，

1）由对称知 AT＝AO，故点 T 在：以 A 为圆心，2 为半径的半圆 A 上，

2）若我们假设 AB 是水平的，由【分析】知 TE 是竖直的，且 TE＝2，即点 E 在点 T 正

下方 2 个单位的位置，

3）若要保证点 E 存在，则点 T 应在弧 OR 上（四分之一圆弧），故点 E 在弧 AF 上（以

S 为圆心，2 为半径的圆，其中点 S 在点 A 的正下方 2 个单位的位置），

4）当点 O，E，S 共线时，OE 长度取到最小值 2

2 －2（提示：圆的“穿心线”）.

∴综上所述：OE 的最小值为 2

2 －2.

F

2

S

R

T

E

D

O

A B

C

S F

R

T

E

D

O

A B

C