考编制 金标尺

判断推理

第一节 判断推理必背36条

一、图形推理必背12条

第1条：移动规律

常见移动方向：

① 行移动、列移动、对角线移动；
② 顺时针方向移动、逆时针方向移动；
③ 内圈移动、外圈移动（常见于16宫格和25宫格）。
常见移动步数：① 恒等移动（如11111）；
② 等差移动（如12345）；

【经典例题】

从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性（）。

【解析】平移。观察题干，每个图形中间的黑块都保持不动，周围的方块都围绕中间的黑块顺时针移动，每次移动一格，只有B项满足此规律。故本题答案为B项。

第2条：对称性

对称性常见六种考法： ① 轴对称与中心对称； ② 对称轴的数量； ③ 对称轴的方向;④ 对称轴的旋转； ⑤ 对称轴与原图形的关系； ⑥ 多条对称轴之间的关系。① 轴对称与中心对称：图 ①③⑥ 为中心对称图形，图 ②④⑤ 为轴对称图形。

② 对称轴的数量：图 ①②⑥ 对称轴数量为1，图 ③④⑤ 对称轴数量为3。

③ 对称轴的方向：第一组图形对称轴为竖直方向，第二组图形对称轴为向左倾斜45度，答案为A项。

④ 对称轴的旋转：黑方块对称，对称轴方向逆时针旋转45度，答案为A项。

⑤ 对称轴与原图形的关系：题干图形都只有1条对称轴，且对称轴与原图形中一条线是重合的（即对称轴与原图形的关系），答案为D项。

⑥ 多条对称轴之间的关系：图形都由两部分组成，两部分的对称轴分别呈现重合、相交45度以及平行（即多条对称轴之间的关系），答案为C项。

第3条：叠加

叠加常见三种考法：

考法一：黑白颜色叠加，分为四种情况黑 ^+ 黑、白 ^+ 白、黑 ^+ 白、白 ^+ 黑，注意黑 ^+ 白和白 ^+ 黑，颜色顺序不同，是两种不同的叠加情况。

考法二：线条叠加，线条进行去同存异、去异存同叠加运算。

考法三：旋转叠加，图形既考查线条的叠加，同时图形也要进行旋转（或翻转）。

第4条：封闭性

封闭性注意两个要点：

要点一：封闭与开放之分、全封闭与半封闭之分如首先数字8和6都是封闭图形，数字7是开放图形。8和6进行二级辨析，8是

全封闭图形，6是半封闭图形。

要点二：封闭图形数与面个数区别

如图形1988，一共含有3个封闭图形，5个面。

第5条：小元素标记

小元素如圆、三角形等，常放置在图形的点、线、角、面上，小元素代表一定的意义，即小元素标记作用。

【经典例题】

把下面六个图形分为两类，使每一类图形都有各自的共同规律或特征，分类正确的一项是（）。

A. ①③④ ， ②⑤⑥ B. ①③⑥ ， ②④⑤ c ①②③, ④⑤⑥ D.①③5, 2④6

【解析】小元素标记作用。题干图形都由一个小白圈和一个三角形组成，小白圈都放在三角形角的位置，考虑小元素的标记作用。观察发现，图 ①③④ 中小白圈挨着的是三角形中最大的角，图 ②⑤⑥ 中小白球挨着的是三角形中最小的角。故本题答案为A项。

第6条：元素代换

元素代换即1个元素等于几个其他元素，经代换后，图形呈现某种规律。
什么样的题常考代换：题干只有2种元素且个数较多，常考代换。
怎样求出代换规律：2倍中间图形 \mathbf{\Sigma}=\mathbf{\Sigma} 前图 ^+ 后图，因为题干图形经常是等差数列。

【经典例题】

从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性（ ）。

【解析】元素代换。题干只有三角形和正方形两种元素，且个数较多，考虑元素代换规律。对于题干前三个图形，利用公式2倍中间图形 \mathbf{\Sigma}=\mathbf{\Sigma} 前图 ^+ 后图进行计算，2(2\bigtriangleup+\bigsqcup)=3\bigsqcup+3\bigsqcup+2\bigtriangleup ，计算得到 \bigtriangleup=2 。代入题干进行换算可得，正方形的数量分别为：3、5、7、9，则？处应该为11个三角形，B项符合。故本题答案为B项。

第7条：笔画数

考查笔画数考点时，命题人会在题干和选项图形中给出明显的提示图，提醒考生考查笔画数规律。

笔画数规律，常见4类提示图：

（1）日、田、五角星及其变形图
如下图第一行图2，第二行图2以及选项B。
（2）多圆相切、相交
如下图选项C，为多圆相交。
（3）多个含有端点图形如第一行图1，第二行图1以及第三行图2。
（4）明显的一笔画如第一行图1以及选项D。

第8条：面

面即图形封闭区域的个数，常见四种考法。

考法一：面的总个数考法二：特定形状面的个数，经常考查三角形面的个数

如下图所示，第一组图形三角形面的个数为1、2、3，呈现等差数列规律。

考法三：最大面、最小面具有某种规律

如下图所示：图 ①③⑤ 最小面和图形外侧相似，图 ②④⑥ 最大面和图形外侧相似。

考法四：相同面的个数

第9条：线

线条数考法多样，主要有以下考法：

常规规律：

考法一：直线的数量

考法二：曲线的数量

考法三：直线数 ± 曲线数

考法四：平行线的数量

考法五：图形内部的线条数

考法六：图形外部的线条数

考法七：内部的线条数 ± 外部的线条数

非常规规律：

考法八：直线和元素的加、减、乘、除如下图所示，图 ①③⑥ 线条数和元素求和为8，图 ②④⑤ 线条数和元素求和为10。

考法九：线条数和面、点的关系

第10条：点

公务员《行测》考试中对于点的考查，常考查的是图形的交点数，极少考查图形的端点数。图形的交点常见4种考法。

考法一：总交点考法二：直线和曲线的交点考法三：图形内部的交点考法四：图形内外的交点

如下图所示，图 ①⑤⑥ 内外交点个数为6，图 ②③④ 内外交点个数为7。

第11条：角

公务员《行测》考试中角的考查概率较低，如果考角，大概率考查图形的直角个数。

第12条：截面

1.立方体截面

（1）三角形是斜着切成的，不能截成直角和钝角三角形。

（2）梯形是斜着切成的。

2.圆锥、圆台截面问题

（1）圆锥可以截成圆、三角形、半圆形和椭圆；

（2）圆台可以截成圆、梯形、半圆形和椭圆。

二、类比推理必背12条

第1条：种属关系与组成关系

种属关系：XX是XX的一种，松树：树木，唐诗：诗组成关系：XX是XX的组成部分，发动机：飞机，轮胎：汽车

【经典例题】

蔬菜：白菜（）

A.南瓜：丝瓜 B.土豆：马铃薯 C.苹果：水果 D.水果：荔枝

【解析】种属关系。题干逻辑关系：白菜是蔬菜的一种，二者为种属关系。A项，南瓜和丝瓜为并列关系，都是蔬菜的一种，与题干逻辑关系不一致，排除；B项，土豆和马铃薯为全同关系，与题干逻辑关系不一致，排除；C项，苹果是水果的一种，二者为种属关系，但与题干顺序相反，与题干逻辑关系不一致，排除；D项，荔枝是水果的一种，二者为种属关系，与题干逻辑关系一致，当选。故本题答案为D项。

第2条：交叉关系

交叉关系：二者都不能完全包含对方，有相互交叉的部分。往往通过分类标准不一致，识别交叉关系。

如，川菜：素菜：凉菜，国有企业：化工企业：大型企业

【经典例题】

花瓶：瓷器（）

A.电视机：电器 B.中药：植物C.画作：诗篇 D.桌子：八仙桌

【解析】交叉关系。题干逻辑关系：花瓶和瓷器都在描述物品，花瓶是按照物品的用途分类的，瓷器是按照物品的材质分类的，分类标准不一致，有些花瓶是瓷器，有些瓷器是花瓶，二者为交叉关系。

A项，电视机是电器的一种，二者为种属关系，与题干逻辑关系不一致，排除；B项，有些中药是植物，有些植物是中药，二者为交叉关系，与题干逻辑关系一致，
当选；C项，画作和诗篇是两种不同的艺术创作，二者为并列关系，与题干逻辑关系不一
致，排除；D项，八仙桌是桌子的一种，二者为种属关系，与题干逻辑关系不一致，排除。故本题答案为B项。

第3条：反对并列与矛盾并列

并列关系：在同一属概念之中存在同层次的种概念。
反对并列关系：二者之外还有第三者，左边：右边。
矛盾并列关系：非此即彼，没有第三者，有限：无限。

【经典例题】

冠军：亚军：季军（

A.优秀：良好：及格 B.非常满意：满意：一般满意C.状元：榜眼：探花 D.第一：第二：第三

【解析】并列关系。题干逻辑关系：冠军、亚军、季军三者为并列关系，且分别是第一名、第二名、第三名的别称。A项，优秀、良好、及格三者为并列关系，但并非是第一名、第二名和第三名的别称，与题干逻辑关系不一致，排除；B项，非常满意、满意、一般满意三者为并列关系，但并非是第一名、第二名和第三名的别称，与题干逻辑关系不一致，排除；C项，状元、榜眼、探花三者为并列关系，且分别是科举考试中的第一名、第二名和第三名的别称，与题干逻辑关系一致，当选；D项，第一、第二、第三，三者为并列关系，但并非是别称，与题干逻辑关系不一致，排除。故本题答案为C项。

第4条：成语常见考法

成语不仅会考察近义、反义关系，而且需注意成语的程度轻重、感情色彩、位置对应等。

（1）近义关系，如旗开得胜：马到成功，水到渠成：瓜熟蒂落；① 近义 ^+ 程度加深，如天生丽质：倾国倾城，标新立异：独树一帜② 近义 ^+ 感情色彩，如陈词滥调：老生常谈，八面玲珑：面面俱到

（2）反义关系，如家喻户晓：默默无闻
反义 ^+ 感情色彩，如雪中送炭：火上浇油，锦上添花：落井下石
（3）前后位置对应，成语没有近义反义时，拆分成语看
如愚公移山：郑人买履，拔苗助长：饮止渴

第5条：语法关系

主谓结构：主语 ^+ 谓语，如狮子：奔跑
主宾结构：主语 ^+ 宾语，如青蛙：害虫
动宾结构：动词 ^+ 支配对象，如读：书
偏正结构：形容词 ^+ 名词，如图书馆：汗牛充栋，副词 ^+ 动词，如激烈：争吵

【经典例题】

森林：郁郁葱葱（

A.法庭：庄严肃穆 B.校园：勤奋好学C.餐桌：饕餮大餐 D.公园：嬉戏玩闹

【解析】偏正关系。题干逻辑关系：郁郁葱葱可以修饰森林，二者为偏正关系。
A项，庄严肃穆可以修饰法庭，二者为偏正关系，与题干逻辑关系一致，当选；
B项，勤奋好学可以形容学生，但不能修饰校园，与题干逻辑关系不一致，排除；
C项，餮大餐指丰盛的大餐，但不能修饰餐桌，与题干逻辑关系不一致，排除；
D项，嬉戏玩闹可以形容人，但不能修饰公园，与题干逻辑关系不一致，排除。
故本题答案为A项。

第6条：逻辑顺承关系

逻辑顺承关系：按照事件发生的先后顺序进行排序。当选项都是顺承关系时，往往比较主体的个数。如下单：付款：送货，买票：乘车：到达。

【经典例题】

上市：停牌：退市（

A.水洗：熨烫：干洗 B.写书：出书：编纂C.听题：抢答：得分 D.谱曲：演唱：伴舞

【解析】顺承关系。题干逻辑关系：股票先上市，再停牌，最后退市，三者为逻辑
顺承关系。A项，水洗和干洗为不同的洗涤方式，二者为并列关系，与题干逻辑关系不一致，
排除；B项，先写书，再编纂，最后出书，词语顺序错误，与题干逻辑关系不一致，排除;C项，先听题，再抢答，最后得分，三者为逻辑顺承关系，与题干逻辑关系一致，
当选；D项，先谱曲，再演唱，伴舞与前两者无先后顺序，与题干逻辑关系不一致，排除。故本题答案为C项。

第7条：因果关系

因果关系：两个事件存在因果联系，如伤心：哭泣。当选项都是因果关系时，二级辨析考虑必然因果和或然因果。

【经典例题】

竞争：淘汰（

A.惊吓：失色 B.疏忽：失算C.亏损：失信 D.判断：失误

【解析】因果关系。题干逻辑关系：竞争可能会导致淘汰，二者为或然因果逻辑关系。A项，惊吓必然会导致失色，否则不能称之为惊吓，二者为必然因果关系，与题干逻辑关系不一致，排除；

B项，疏忽必然会导致失算，二者为必然因果关系，与题干逻辑关系不一致，排除；

C项，亏损和失信之间无明显因果关系，与题干逻辑关系不一致，排除；D项，判断可能会导致失误，二者为或然因果关系，且竞争和判断都是客观中性的描述，与题干逻辑关系一致，当选。故本题答案为D项。

第8条：充分条件与必要条件关系

充分条件关系：一个事件足以使另一个事件发生，如下雨：地湿必要条件关系：一个事件的发生必须以另一个事件为基础，如氧气：燃烧

【经典例题】

网购：上网（

A.读书：书本 B.喝水：烧水C.练字：写字 D.唱歌：歌唱

【解析】必要条件关系。题干逻辑关系：上网是网购的必要条件，二者都是动词，为必要条件关系。

A项，没有书本也可以读书，比如电子书，书本不是读书的必要条件，与题干逻辑
关系不一致，排除；B项，喝水的必要条件不是烧水，不烧水也能喝水，与题干逻辑关系不一致，排除；C项，写字是练字的必要条件，二者都是动词，为必要条件关系，与题干逻辑关系
一致，当选；D项，唱歌的必要条件不是歌唱，两词为近义词，与题干逻辑关系不一致，排除。故本题答案为C项。

第9条：属性关系

属性关系：事物具有的性质，如月亮：圆。属性关系进行二级辨析时考虑必然属性和或然属性，如液体一定具有流动性，饮料可能是冷的。

【经典例题】

花椒：麻（

A.月亮：圆 B.水泥：硬 C.饮料：冷 D.火焰：热

【解析】属性关系。题干逻辑关系：花椒一定是麻的，麻是花椒的必然属性，二者
为必然属性对应关系。A项，月亮有圆有缺，圆不是月亮的必然属性，与题干逻辑关系不一致，排除；B项，水泥是粉状材料，加水搅拌后才会逐渐硬化，硬不是水泥的必然属性，与题
干逻辑关系不一致，排除；C项，饮料有冷的，也有不冷的，所以冷不是饮料的必然属性，排除；D项，火焰温度很高，能散发出光和热，所以热是火焰的必然属性，与题干逻辑关
系一致，当选。故本题答案为D项。

第10条：原材料对应关系

原材料对应关系：一个事物是另一个事物的原材料，如纸张：剪纸。原材料对应关系进行二级辨析时，考虑必然原材料和或然原材料关系。

【经典例题】

火药：鞭炮：二踢脚（

A.乌铁：刀具：三棱刀 B.红砖：建筑：四合院C.清水：白酒：五粮液 D.杉木：乐器：六弦琴

【解析】原材料对应关系。题干逻辑关系：火药是制作鞭炮必需的原材料，两者为原材料对应关系，二踢脚是鞭炮的一种，二者为种属关系。

A项，乌铁不是制作刀具必需的原材料，刀具的原材料可以硬质合金、金属陶瓷等，与题干逻辑关系不一致，排除；B项，红砖不是建筑必需的原材料，建筑的原材料可以是纯木材等，与题干逻辑关系不一致，排除；C项，清水是制作白酒必需的原材料，五粮液是白酒的一种，与题干逻辑关系一致，当选;D项，杉木不是制作乐器必需的原材料，乐器的原材料可以是金属等，与题干逻辑关系不一致，排除。

故本题答案为C项。

第11条：物理变化与化学变化

物理变化：物体只是外形的变化，并不涉及化学性质变化。
化学变化：物体发生化学变化。

【经典例题】

泥土：烧：陶瓷（

A.粮食：发酵：白酒 B.玉石：雕刻：饰品 C.学生：学习：人才 D.煤炭：燃烧：热能

【解析】对应关系。题干逻辑关系：泥土通过烧成为陶瓷，发生了化学变化。A项，粮食通过发酵成为白酒，也发生了化学变化，与题干逻辑关系一致，当选；B项，玉石经过雕刻成为饰品，但是发生的是物理变化，与题干逻辑关系不一致，排除；C项，学生主动学习，成为人才，没有发生化学变化，与题干逻辑关系不一致，排除；D项，不能说“煤炭经过燃烧成为热能”，与题干逻辑关系不一致，排除。故本题答案为A项。

第12条：功能对应关系

功能对应关系：事物具备的功能，如冰箱：制冷

【经典例题】

金钱：购物（）

A.邻居：亲戚 B.轮船：运输C.学校：人才 D.蛋糕：生日

【解析】对应关系。题干逻辑关系：金钱可以用来购物，二者为功能对应关系。A项，有的邻居是亲戚，有的亲戚是邻居，二者为交叉关系，与题干逻辑关系不一致，排除；B项，轮船的功能是运输，二者为功能对应关系，与题干逻辑关系一致，当选；C项，学校的功能是培养人才，而不是人才，与题干逻辑关系不一致，排除；D项，蛋糕的功能是庆祝生日，而不是生日，与题干逻辑关系不一致，排除。故本题答案为B项。

三、逻辑推理必背10条

第1条：直言命题推出关系

必然性推出关系

可能性推出关系

（1）所有必然推出有些 （1）有些可能推出所有（2）所有必然推出某个 （2）有些可能推出某个（3）某个必然推出有些 （3）某个可能推出所有

【经典例题】

北京市某公司发现有年收人在12万元以上的人员未申报缴纳个人所得税。
如果上述断定为真，则以下哪项不能确定真假（）。1.北京市某公司所有年收入在12万元以上的人员都未申报缴纳个人所得税。
Ⅱ.北京市某公司所有年收入在12万元以上的人员都申报缴纳了个人所得税。
Ⅲ.北京市某公司有年收入在12万元以上的人员申报缴纳了个人所得税。
IV.北京市某公司年收入在12万元以上的小李申报缴纳了个人所得税。

A.I、Ⅱ、Ⅲ和IV B.I、Ⅲ、ⅣC.I和Ⅲ D.I和IV

【解析】推出关系。题干给出有些为未纳税，即至少有一人未纳税，具体多少人并不明确。

I所有人都未申报缴纳是可能的，不能确定真假；
\mathbb{I} 所有人都申报缴纳是不可能的，一定错误，能够确定真假；
Ⅲ有的未申报，不能推出有的申报，不能确定真假；
IV有的未缴纳，不能推出小李是否缴纳，不能确定真假。
故本题答案为B项。

第2条：直言命题真假关系图

下反对

① “所有是”与“有些不是”、“有些是”与“所有不是”同时出现，二者为矛盾关系，两个句子必然一真一假。

② “所有是”与“所有不是”同时出现，二者为上反对关系，两个句子必有一假，可能同假。

③ “有些是”与“有些不是”同时出现，二者为下反对关系，两个句子必有一真，可能同真。

【经典例题】

郝大爷过马路时不幸摔倒昏迷，所幸有小伙子及时将他送往医院救治。郝大爷病情稳定后，有4位陌生的小伙陈安、李康、张幸、汪福来医院看望他。郝大爷问他们究竟是谁送他来医院，他们回答如下：

陈安：我们4人都没有送您来医院。

李康：我们4人有人送您来医院。

张幸：李康和汪福至少有一人没有送您来医院。

汪福：送您来医院的不是我。

后来证实上述4人有两人说真话，两人说假话。

根据以上信息，可以得出哪项？（

A.说真话的是李康和和张幸 B.说真话的是陈安和张幸C.说真话的是李康和汪福 D.说真话的是张幸和汪福【解析】真假话问题。翻译题干： ① 陈安：所有不是； ② 李康：有些是； ③ 张幸：一李康或一汪福； ④ 汪

福：一汪福。

①② 为矛盾命题，必有一真一假。已知两人说真话，两人说假话，则 ③④ 也是一真一假。假设 ④ 汪福说真话，则 ③ 张幸的话也为真，与题意不符，故假设错误，汪福一定说假话。④ 汪福说的为假话，得到是汪福送郝大爷来医院，此时 ③ 张幸的话为真话， ② 李康的话也为真话。

故本题答案为A项。

第3条：联言命题推理规则

（1）p且α，表示两个都要满足，全真才真，一假即假。（2）p且q成立，能够推出p成立，也能推出q成立。（3）－p能够否定p且q，－q能够否定p且 q（4）p且q的矛盾命题为－p或－qo

第4条：相容选言命题推理规则

（1）p或q，表示两个至少满足一个，一真即真，全假才假。（2）p或α，否定p，能够推出α一定是成立的，即否一推一。（3）p或α，肯定p，不能确定α是否成立，即肯定一部分，不能确定另一部分。（4）p或q的矛盾命题为－p且－αo

【经典例题】

“小孙并非既会游泳又会打网球”根据以上表述，下列哪项断定必然为真？（）

A.如果小孙不会打网球，那么他一定会游泳B.如果小孙会打网球，那么他一定不会游泳C.小孙既不会游泳，也不会打网球D.小孙会游泳，但不会打网球

【解析】翻译推理。翻译题干：并非既会游泳又会打网球，即一（游泳且网球），展开后得到：一游泳或一网球。

A项，不会打网球，满足了一网球，但游泳的情况不能确定，排除；B项，如果会打网球，则不满足“－网球”，根据否一推一，可推出一定不会游泳，必然为真，可以推出，当选；C项，只是“或”关系中的一种可能性，可能为真，但不是必然为真，不能必然推出，排除；D项，只是“或”关系三种可能性中的一种，可能为真，但不是必然为真，不能必然推出，排除。

故本题答案为B项。

第5条：不相容选言命题推理规则

（1）要么p，要么α，表示只能满足而且必然其一。（2）要么p，要么q，满足p，能够推出不满足q（3）要么p，要么α，不满足p，能够推出满足 q。（4）要么p，要么q的矛盾命题为（p且 \mathbf{q} ）或（－p且-q)

【经典例题】

即将毕业时，某班要评选优秀毕业生，班级内部进行讨论中。
班长：要么李雪被评为优秀毕业生，要么王磊被评为优秀毕业生。
团支书：我不同意。

以下哪项准确表达了团支书的意见？（）

A.李雪和王磊都被评为优秀毕业生
B.李雪和王磊都不能评为优秀毕业生
C.要么李雪和王磊都被评为优秀毕业生，要么李雪和王磊都不能评为优秀毕业生
D.李雪被评为优秀毕业生，王磊不能评为优秀毕业生

【解析】翻译推理。“要么，要么”表示二者只能选其一，其反面包含了两种可能性，李雪和王磊都被评为优秀毕业生或者李雪和王磊都不被评为优秀毕业生。A、B两项都只涉及到其中一种可能性，排除；C项，包含了两种可能性，当选；D项，表述的是班长的意见，而非团支书的意见，排除。故本题答案为C项。

第6条：假言命题必记翻译规则

（1）只要A，就会B。如果A，那么B。若A，则B。
翻译为： \mathbf{A}\to\mathbf{B} 。
（2）只有A，才能B。
翻译为： \mathbf{B}\longrightarrowA 。
（3）除非A，否则B。
翻译为：一 \mathbf{-B}\longrightarrowA 。
（4）没有A，就没有 ~B~ 0翻译为： \mathbf{B}\longrightarrowA 。
（5）为了A，必须B。
翻译为： A\toB 。
（6）A的关键／前提／必要条件是B。
翻译为： A\longrightarrowB 。
（7）A是B的关键／前提／必要条件。
翻译为： \mathbf{B}\longrightarrowA 。

第7条：假言命题常考推理规则

题干：p→q正确选项：

① 肯前必肯后： p\longrightarrowq
②否后必否前：－α→-P
③ 否前或肯后：－p或 q
不确定情况：
① 否前不确定： -rm{p}{\rightarrow}?
② 肯后不确定： {\bf q}\to^{±} ？
矛盾命题：p且－q

【经典例题】

某考生正在填报志愿，有法律、管理、经济、金融、审计和会计6个专业是考虑填报的专业，但是综合各方面因素，有如下的考虑：

如果填报法律专业，那么就不填报管理专业，但要填报会计专业；
只有不填报审计专业时，才填报金融或经济专业；
如果不填报经济专业，那么也不填报会计专业；
法律专业一直是自已想读的专业，一定要填。
由此可以推出该考生（）。

A.填报了金融和经济专业B.管理专业和经济专业都没填报C.填报了法律专业，还填报了金融专业D.填报了会计专业，但没填报审计专业

【解析】翻译推理。翻译题干:

① 法律专业 \rightarrow 一管理专业且会计专业；
② 金融或经济专业 \xrightarrow{} 一审计专业；
③ 一经济专业 \rightarrow 一会计专业；
④ 一定填报法律专业。

根据 ④① 可以得出：考生填报法律、会计专业，不填报管理专业。

填报了会计，根据 ③ 否后必否前，那也应该填报了经济专业，再根据 ② 得出：考生没有填报审计专业。

综合上述结论为：考生填报了法律、会计、经济专业，没有填报管理、审计专业，金融专业不确定。只有D项符合。

故本题答案为D项。

第8条：削弱、加强力度比较

（1）当方式不同，力度比较：削弱论点 > 削弱论证关系（拆桥） > 削弱论据

加强论点 > 加强论证关系（搭桥） > 加强论据

（2）当削弱方式相同，力度比较：
整体削弱 > 部分削弱
必然削弱 > 可能削弱

【经典例题】

一项对3.7万名年龄在49至75岁之间的某国男性进行的跟踪调查发现，10年中，这些男性里有近2000人得过中风，那些经常食用巧克力的受调查者与少量食用甚至不食用巧克力的人相比，患中风的风险要低不少。研究人员推测，经常食用巧克力可降低中风风险。

以下哪项如果为真，最能支持上述研究人员的推测？（）

A.研究发现，经常食用巧克力可调节低血糖患者体内的血糖含量B.研究人员对女性的类似调查结果与上述研究结果基本一致C.巧克力含有黄酮类化合物，而它具有预防中风的功效D.在此项调查中，得过中风的男性患者中部分人有经常食用巧克力的习惯【解析】加强型推理。论点：经常食用巧克力可降低中风风险。

A项，血糖含量的高低与中风无关，无关选项，排除；B项，对女性的调查结果和男性基本一致，补充新的论据，能够加强，保留；C项，解释了巧克力可以降低中风风险的原因，能够加强，保留；D项，指出常吃巧克力反而得了中风，削弱选项，排除。比较B、C两项，C项是解释原因加强了论点，B项加强了论据，C项加强力度比项大。

故本题答案为C项。

第9条：翻译推理式前提型推理题

解题步骤：

（1）翻译：翻译论点、论据；
（2）排除：论点当中的名词，如果论据没有，选项一定要有；
（3）代人：代人选项。

【经典例题】

有些鸟会飞，所以有些会飞的是会跑的。
为使上述推理成立，需要补充的前提是（）。

A.有些鸟是会跑的 B.所有的鸟都不会跑C.所有会跑的都是鸟 D.没有鸟不会跑

【解析】前提型推理。翻译题干： ① 有的鸟 \rightarrow 飞， ② 有的飞 \rightarrow 跑。

要由 ① 得到 ② ，需要构建“鸟”和“跑”之间的联系，优先考虑搭桥。对 ① 进行换位得有的飞 \rightarrow 鸟，则需建立鸟 \rightarrow 跑即可，D项意为所有鸟都会跑，当选。故本题答案为D项。

四、定义判断必背2条

第2条：关键词法必备思维

1.关键词的特点：

① 关注定义本身的关键词语，拆分定义本身；② 定义中的关键词往往是修饰性的词语，关键词本身必须清楚明确；③ 选项当中也含有关键词。2.关键词法的作用：优先用来排除错误选项，而不是证明某选项正确。3.什么样的选项是错误选项：选项与任何一个关键词矛盾，一定错误，一错即错；选项长度有限，没有完全体现关键词，也可能是对的，难题往往不会体现所有关键词。4.先排除，后比较。若选项与关键词都不矛盾，则选择体现关键词多、更加符合定义本质的选项。

第二节 判断推理12个易错点

易错点1：平面类图形推理，不同题型，怎样才算是有规律？

题型一：递推型图形推理

递推型图形推理，也叫做顺推式，也叫做一条式，要求考生根据前几个图形连续变化的规律，推出下一幅图形。

绝大多数题型，以下列三种情况算作规律。

① 连续变化型（12345）

② 共同规律型（11111），

③ 奇偶交替型（12121）

极少数题型，以下列两种情况算作规律，概率极低，基本可以忽略不计。

④ 周期循环型（123123）

⑤ 中间对称型（12321）

典型错误看图角度，如下所示。

错误1:

错误2：

题型二：类比型图形推理

类比型图形推理，即第一组给出3个图形，根据第一组图形的规律，求出第二组图形的规律。

常见两种看图角度，算作规律：

类型一（第一组有共同规律，用于第二组）：

类型二（第一组没有共同规律，但可以和第二组位置一一对应。以封闭性和开放性为例）：

极少数题型：在公务员《行测》考试中，有极少数类比型题目出现直接求和。

题型三：九宫格型图形推理

九宫格图形推理，应该优先横向看。在公务员《行测》考试中 90% 以上九宫格题目都是横向看。当横向无规律时，可考虑列向看，极少考查米字看图、〇型看图以及S型看图。

题型四：分组型图形推理

分组型图形推理，要求将图形分为两组，每一组图形具有各自共同的规律。

公务员《行测》考试都是以两组图形满足共同的数值为分组标准，称为A、B型。如下图所示，图 ①②⑥ 对称轴数量为1，图 ③④⑤ 对称轴数量为3，可将图形分为两组。

极少数题目，以三个图形满足A，另外三个图形不满足A为规律，称为A、一A型。图 ①②③ 对称轴数量为4，图 ④⑤⑥ 对称轴数量不是4，可将图形分为两组。

一般而言，优先将A、B型作为规律，确实没有规律，才能将 A、一A型当作规律。

【经典例题1】

从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性（

【解析】对称性。题干图形形态规整，考虑对称性规律。观察发现题干图形都只有1条对称轴，且对称轴方向依次逆时针旋转45度，则？处图形对称轴方向应该为竖直方向，只有A项符合。故本题答案为A项。

注意：本题若考虑面的数量，则面的数量分别为3、3、4、4、5，有部分考生认为？处选五个面的图形，因而选择了C项，然而334455不是规律。

【经典例题2】

从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性（ ）。

【解析】封闭图形数。观察第一组图形，均由数字构成，首先考虑封闭区域数，分别为2、3、2，没有明显规律。再考虑封闭图形数，第一组图形中的封闭图形数均为2。第二组前两个图形的封闭图形数为3，则问号处应选一个封闭图形数为3的图形。故本题答案为C项。

注意：本题若通过封闭区域数求和,第一组求和为7,第二组求和也为7,则答案选B,然而求和为7，不是典型规律，因此B项不如C项好。

易错点2：图形具有多个规律，规律比较，哪个更强？

平面类图形推理，一道题目可能同时具备多个规律，哪个规律更强呢？

首先绝大多数复合规律考题，单一规律不能确定唯一答案，需要进行第二次比较，结合其他规律最终锁定唯一答案，即考查复合规律，规律之间是不矛盾的。

【经典例题1】

从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性（

【解析】面。元素组成相似，考虑样式规律。观察发现，题干均为轴对称图形，排除A项；再观察发现，题干图形都是曲线图形、直线图形交替出现，因此？处应填入一个直线图形，排除B项；C、D中面不同，考虑数面，依次为0、1、2、3、4，因此？处应填入一个面数量为5的图形，只有C选项符合。故本题答案为C项。

【经典例题2】

从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性（ )。

【解析】面。图形组成元素凌乱，考虑数量类规律。无典型的笔画数，优先数面数量。九宫格优先横向看，前两行面数量依次为2、3、4，和为9，第三行前两幅图面数量为2、4，故？处应填入面数量为3的图形，选项的面数量依次为2、5、7、3，D项符合。故本题答案为D 项。

【解析二】第一行中，第一个图形有一组平行线，第二个图形有两组平行线，第三个图形有三组平行线；第二行同样满足此规律，因此第三行的？处也应有三组平行线，只有D项符合。

注意：本题两个单一都能指向唯一答案，且答案一致，因此两种角度皆可。

若同一道题具有多个规律，而不同规律指向不同答案。此时考生需要注意，需要对规律的强弱进行比较，一般而言，数量类规律 > 样式类规律 > 位置类规律。

【经典例题3】

从所给的四个选项中,选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性（)。

【解析】线。图形较为凌乱，考虑数量规律。题干图形均为直线，线条数分别为1、2、3、4、5、？，构成等差数列规律，则？处应选择直线线条数为6的图形。四个选项的线条数分别为4、5、6、3。故本题答案为C项。

注意：本题同时具有封闭性规律，题干图形都为开放图形，若根据封闭性规律，则答案为D项。然而线条数规律一定不是偶然的，命题人必然想考查数量类规律，力度强于封闭性规律。

易错点3：对称性，只知对称性，不知画对称轴

对称性常见六种考法： ① 轴对称与中心对称； ② 对称轴的数量； ③ 对称轴的方向；④ 对称轴的旋转； ⑤ 对称轴与原图形的关系； ⑥ 多条对称轴之间的关系。

对称性考法多样，一旦发现题干图形都是对称图形，一定要画出图形的对称轴，考虑对称性的细化考法，否则容易产生错误。

【经典例题】

从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性（ ）。

【解析】对称性。题干图形形态规整，考虑对称性规律。画出图形的对称轴，发现题干图形都有3条对称轴，选项对称轴的数量分别为1、3、2、2，只有B项符合。故本题答案为B项。

注意：本题有部分考生只发现了对称性，并没有画出对称轴，发现选项也都为轴对称图形，继续寻找其他规律。观察发现题干图形为直线曲线混合图形、纯直线图形、直线曲线混合图形、纯直线图形，则？处选择直线曲线混合图形，只有A项符合。看似非常合理，然而规律组合为对称 ^+ 曲直，并没有都是3条对称轴的数量规律严谨。因此为了避免对称性题目出现错误，务必画出题干图形的对称轴，考虑对称性的各种细化考法。

易错点4：定义判断，提问方式是非不分

对于定义判断，题干提问方式常见两种：

根据上述定义，下列属于XXX的是（）。

根据上述定义，下列不属于XXX 的是（）。

很多考生容易看错提问方式，将“不属于”看成“属于”，答案马上出错。甚至部分考生将“不属于”三个字做了标记，依然选错了答案，考生务必引起重视。

易错点5：读不懂定义，真的做不对题吗？

在考试的高压状态下，每道题目答题时间有限，定义判断部分题目很难做到快速读懂， 30% 左右的定义判断即使反复阅读也不一定能明确具体意思。

定义判断一定需要读懂才能做对吗？读不懂定义，真的做不对题吗？

答案是否定的。考生需要明白，命题人也知道考生不可能在1-2分钟内，完全明白一个定义。因此定义判断考查的不是考生是否完全明白一个定义，而是快速抓住要点的能力。即使没有明白定义，只要抓住定义的要点即关键词，选项一旦与关键词矛盾，即可排除选项，选出唯一答案。

因此考生不必过于担心定义判断读不懂题目，阅读题干时应以抓住关键词为目的。

【经典例题】

融资性租赁是指出租人根据承租人对出卖人（供货商）的选择，向出卖人购买租赁物，提供给承租人使用，承租人支付租金的一种租赁方式。经营性租赁是指出租人将自已经营的租赁资产进行反复出租给不同承租人使用，由承租人支付租金，直至资产报废或淘汰为止的一种租赁方式。

根据上述定义，下列哪项不属于融资性租赁？（）

A.某医院引进核磁共振设备，经设备供应商推荐，与租赁公司甲签订合同，医院
支付部分保证金，并在租赁期内按月向甲支付租金B.甲公司向某远洋运输公司租赁配备有操作人员的船舶，约定在租期内听候甲公
司调遣，不论是否经营，均按天支付租赁费用C.甲公司与乙公司签订了冲压设备租赁合同，约定乙公司向甲公司指定的丙公同
订购该设备，甲公司按期支付租金D.甲企业为增加资金流动性，将价值6000万元的设备转让给租赁公司。再以3年
3600万元的价格回租

【解析】多定义。题干给出两个定义，融资性租赁强调：出租人根据承租人对出卖人（供货商）的选择；经营性租赁强调：出租人将自己经营的租赁资产进行反复出租给不同承租人使用。

A项，租赁公司（出租人）向设备供应商（出卖人）购买租赁物，提供给医院（承租人），符合定义，排除；

B项，甲（承租人）向远洋运输公司（出租人）租赁船舶，但是并没有提到出卖人，只有两类人，不符合定义，当选；

C项，乙公司（出租人）向丙公司（出卖人）购买设备，提供给甲公司（承租人），符合定义，排除；

D项，租赁公司（出租人）向甲企业（出卖人）购买设备，提供给甲企业（承租人），符合定义，排除。

故本题答案为B项。

易错点6：多定义判断，究竟应该看几个定义？

多定义判断，题干中同时给出多个定义，一般为两个定义，有时也为三个或更多定义。提问方式，往往为哪个选项符合其中一个定义。

那么提问方式只是其中一个定义，考生需要阅读题干中多个定义，还是只是其中一个定义？

针对以上问题，其实需要分情况而定：

首先，多定义判断题干的多个定义之间必然是有共同点，也有区别。在学习定义判断的初期阶段，如果只看其中一个定义，因为并不明确定义间的区别以及共同点，很容易选择到另一个定义，产生错误。因此建议初学多定义判断，重点在于找到两个定义之间的区别。

其次，考试中如果多定义判断题干较为简单，明确易懂，且时间较为紧张，此时只看其中一个定义也是可行的。

易错点7：类比推理，我找到的规律，是不是规律？

类比推理初学阶段很容易产生一个现象：明明觉得自己找到的规律很有道理，自己很满意，然而答案给出规律和自己的不一样。之所以产生这种现象，是因为初学类比推理，考生并不知道考试中，哪些规律是类比推理的常考规律，往往找到了一些极为偏颇的角度。

为了避免这种现象的产生，考生应熟知类比推理的常考规律，主动往这些规律思考，就更容易选出正确答案。

类比推理常考规律如下：

种属关系、组成关系、并列关系、反对并列关系、矛盾并列关系、交叉关系、主谓关系、主宾关系、动宾关系、偏正关系、近义关系、反义关系、比喻关系、象征关系、因果关系、顺承关系、目的关系、必要条件关系、充分条件关系、属性对应关系、原材料对应关系、功能对应关系、物理变化、化学变化、地点对应关系、工具对应关系、主体主动与被动关系等。

易错点8：类比推理，横向、纵向辨析的顺序？

类比推理，如左右：上下，命题人优先考查的是冒号前后两个词语的关系，因此一定要优先横向观察两个词语的关系，而不能直接用“左右”和选项的第一个词语进行对比，“上下”和选项的第二个词进行对比，只有当横向不能确定唯一答案时，再考虑纵向对比，即先横向，再纵向。

同时，横向观察两个词语没有关系时，再考虑把两个词语拆开来看，即先整体，后拆分。如左右：上下，一定优先观察到左右和上下为并列关系，而不是左和右为反义关系，上和下为反义关系。

因此类比推理的观察顺序为先横向，再纵向，先整体，后拆分。

【经典例题】

左右之于（ ）相当于（ ）之于早晚

A.高低；内外 B.多少；迟早 C.长短；大小 D.上下；快慢

【解析】并列关系。代入选项逐一验证。

A项，左右表示方向，高低表示位置，二者为并列关系，但内外表示空间，早晚表示时间，二者不是并列关系，前后逻辑关系不一致，排除；

B项，左右表示方向，多少表示数量，二者无明显逻辑关系，迟早表示时间，早晚也表示时间，二者为近义关系，前后逻辑关系不一致，排除；

C项，左右表示方向，长短表示长度，二者无明显逻辑关系，大小表示体积，早晚表示时间，二者无明显逻辑关系，前后逻辑关系不一致，排除；

D项，左右表示方向，上下也表示方向，二者为并列关系，早晚和快慢均表示时间，二者为并列关系，前后逻辑关系一致，当选。

故本题答案为D项。

注意：本题不能直接把左右看成反义关系，早晚看成反义关系，应该优先整体观察。

易错点9：类比推理，词语的顺序

类比推理三种题型：两词型、三词型以及对当型，三种题型中都常见一种错误，词语顺序的错误。

如题干为孤本：书籍，二者为种属关系，选项为长方形：正方形，正方形是长方形的一种，二者也是种属关系，但词语前后的顺序是错误的。一旦词语顺序错误，选项即为错误选项。

因此考生务必重视类比推理词语的顺序。

易错点10：削弱（加强）型推理，只知论点，不知其他

削弱（加强）型推理，论点是论证的关键，找准论点有助于快速排除无关选项。

那么，削弱（加强）型推理能不能只看论点呢？部分考生因为做题不熟、考试时间紧张等原因，在答题时，只能有精力去找论点分析论点。此类考生削弱（加强）型推理的正确率必然不高，并且不够稳定。

任何一道削弱（加强)型推理，论证过程必然分为三个方面，论点、论据以及论证方式。因此只看论点，就漏掉了对于论据以及论证方式的考查，很容易产生错误。考生努力的方向应该是快速找到论点，分析题干的论证结构，只有这样才能稳定地提高正确率。

易错点11：翻译推理，用语感翻译，用常识推理

翻译推理，即首先将题干汉语翻译为逻辑语言，随后以此为依据对选项进行推理。

考生在初学阶段，往往感觉翻译特别绕，喜欢用语感、生活经验去理解。然而生活经验和逻辑是有差别的，部分逻辑用语和生活中表达的意思不一样。如“有些”在逻辑中表示至少有一个，可能是所有，而生活中“有些”表示整体中间的一部分，不能是所有。所以用语感和生活经验去理解逻辑是会发生错误的，并且耗时耗力。

因此在翻译推理的学习过程中，考生一方面应牢记翻译推理的相关规则，同时找准易错点，进行强化练习。翻译推理初学难度较大，因为规则并不熟悉，一旦熟记翻译推理相关规则，题目的正确率可以达到很高的程度。

易错点12：智力推理，排序问题，取舍不当

智力推理题，即题干中给出若干限定性条件，一般3-7个，并不涉及逻辑知识，要求考生根据条件推理出相应答案。在中小学数学教材后的智力冲浪板块常有涉及，也称朴素逻辑，一般考查排列组合问题。

考生在解答此类问题时往往出现两种极端情况，一是觉得难度较大直接放弃，二是觉得此类题目较为有意思，长时间做题不忍放弃，上述两种情况都是不可取的。考生应根据题目的难度制定合理的答题策略，按照所学的方法和技巧尝试解答此类问题，但当单题答题时间超过2分钟后，应果断放弃，解答其他题目。若其他题目解答完后仍有时间，才可以回头思考此题。

四川公务员 《行测》

数量关系

抢分指南

考编制 金标尺

数量关系

第一节 必背基础结论和公式

一、数字特性

1.奇偶特性

（1）和差同性。（ a+b ）和（a-b）的奇偶性相同。例如：3x+4y和 3x-4y，结果的奇偶性相同。（2）奇反偶同。 a±b{=c} ，若c是奇数，则a、 \mathbf{b} 奇偶性相反；若c是偶数，则a、b奇偶性相同。（3）乘积特性：一偶则偶，全奇才奇。例如：2a一定为偶数；若3a是奇数，则a一定是奇数。

2.倍数特性

（1）整除型：若 \scriptstyle\mathbf{A}=\mathbf{B}x\mathbf{C} （B、C均是整数），则A是B、C的倍数；如 143= 11x13 ，143为11和13的倍数。

（2）余数型：若 \scriptstyle\operatorname{y=ax+b} ，则（ \mathbf{y}{-b} ）一定是a的倍数；如 \Deltay=5x+3\Delta ，则（ y{-}3 )一定是5的倍数。（a、x、b均是整数）。

【经典例题】

车间领到一批电影票和球票发放给车间工人，电影票是球票数的2倍。如果每个工人发3张球票，则富余2张，如果每个工人发7张电影票，则缺6张，问车间领到多少张球票？（）

【点拨】

设工人共有x人，球票有张，根据“如果每个工人发3张球票，则富余2张”可得： y=3x+2 ，则（ y{-}2 ）是3的倍数，即球票总张数-2是3的倍数。

（3）比例型：若 (A)/(B){=}(C)/(D) （A、B均是整数），且 (~C~)/(~D~) 是最简分数，则A是C的倍数，B是D的倍数，（ A{+}B )是( C+D ）的倍数，（A-B）是（C-D）的倍数。如 \scriptstyle{(\mathtt{H})/(\ Z)}={(7)/(4)} 甲为7的倍数，乙为4的倍数，（甲 +Z ）为11的倍数，（甲－乙）为3的倍数。

（4）方程型：若 ax+by=c ，且未知项系数与常数项有公因子，则可直接判定 \mathbf{x} y的倍数（a、b、x、y均是整数）；如 3x+2y=9 ， \mathbf{\sigma}_{\mathbf{X}} 的系数3与常数项9有公因子3， 那么y一定为3的倍数。

【经典例题】

某人花400元购买了若干盒樱桃。已知甲、乙、丙三个品种的樱桃单价分别为28元/盒、32元／盒和33元／盒，问他最多购买了多少盒丙品种的樱桃？（）

【点拨】

设他分别买了甲、乙、丙三个品种的樱桃x盒、y盒、z盒，根据题干可得： 28x+ 32y+33z=400 ，未知项系数28和32与常数项400有公因子4，则 z 一定为4的倍数。

二、计算问题

1.等差数列

（1）通项公式： a_{n}=a_{1}+(n-1)d=a_{m}+(n-m)d

（2）求和公式： S_{n}={(n(a_{1}+a_{n}))/(2)}=n a_{1}+{(n(n{-}1))/(2)}d=n a_{{\scriptscriptstyle{q}}}

（3）性质：若m+n=p+q，则am+a,=αp+ag

【经典例题】

a_{n} 是一个等差数列， a_{3}+a_{7}-a_{10}=8 ， a_{\scriptscriptstyle11}-a_{\scriptscriptstyle4}=4 ，则数列前13项之和是？（）

【点拨】

两式相加，即 (a_{3}+a_{7}-a_{10})+(a_{11}-a_{4})=(a_{3}+a_{11})-(a_{4}+a_{10})+a_{7}=12 ，又 \boldsymbol{a}_{n} 是一个等差数列，根据等差数列性质可知： a_{3}+a_{11}=a_{4}+a_{10} ，所以有 a_{7}=12 。 S_{13}=13xa_{7} 。

2.等比数列

（1）通项公式： a_{n}=a_{1}q^{n-1}=a_{m}q^{n-m}

（2）求和公式：S,=α(-q" S_{n}={(a_{1}(1-q^{n}))/(1-q)}(q\neq1)

（3）性质：若m+n=p+q，则am×a,=a,×ag

3.平方差公式： a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)

4.完全平方公式： (a± b)^{2}=a^{2}±2a b+b^{2}

三、工程问题

1.基础公式：工作总量 \mathbf{\sigma}=\mathbf{\sigma} 工作效率 x 工作时间（w=pt）。

2.常考模型

（1）多人型
识别：出现N个人或者N台机器。
步骤： ① 赋值每个人或者每台机器的效率为1;② 根据问题进行求解。

【经典例题】

A、B两个体育馆里有一些羽毛球需要收纳起来放到篮子里归类，已知A馆需要收纳的球的总数是B馆的4倍。一个小队去收纳这些羽毛球，开始一起捡A馆的球10分钟，后来留下12人继续收纳，其余人去收纳B馆的球，这样又过了10分钟，两个馆的羽毛球全部收纳好了。则这个小队共有（）人。

【点拨】

赋值每个人每分钟的效率都为1，设总人数有x人，根据A馆的球数是B馆的4倍列方程： {(10x+12x10)/(10x(x-12))}=4. 。

（2）时间型

识别：给出多个完工时间。

步骤： ① 设工作总量为完工时间的公倍数；② 根据工作效率 \mathbf{\Sigma}=\mathbf{\Sigma} 工作总量 / 工作时间求出各自效率;③ 根据问题进行求解。

【经典例题】

一项工程由甲、乙、丙三队各自单独完成各需要15天、30天、45天，现三队合作，轮流休息（最多两支队伍同时休息）。中途甲队休息了2天，乙队休息了4天，丙队休息了9天，则三支队伍完成这项工程用了（）天。

【点拨】

设工作总量为90（15，30，45的公倍数），则甲的效率 =90/15=6 ，乙的效率=90/30=3 ，丙的效率 =90/45=2 。

（3）效率型

识别：给出效率比。

步骤： ① 根据效率比赋值效率；② 根据工作总量 \mathbf{\Sigma}=\mathbf{\Sigma} 工作效率 x 工作时间求出工作总量；③ 根据问题进行求解。

【经典例题】

一项工作，甲、乙合作20小时可以完成，已知甲与乙的效率比为 5:4 ，则甲单独完成这项工作需要（）小时完成。

【点拨】

赋值甲、乙的效率分别为5、4，则工作总量 =(5+4)x20{=}180 0

四、容斥问题

1.二者容斥

（1）总数 \scriptstyle=A+B- 两者都满足 ^+ 两者都不满足

（2）只满足 \A=A-\ 两者都满足

【经典例题】

一个班级有50人，在业余时间里，班级里有32人学了跳舞，30人学了唱歌，另有3人既没学唱歌也没学跳舞。则班级里只学了跳舞的有（）人。

【点拨】

根据公式：总数 =\operatorname{A+B-} 两者都满足 ^+ 两者都不满足，可知 50=32+30- 两者都 满足 +3 ，解得两者都满足 =15 ，再根据公式：只满足 A=A- 两者都满足解出所求。

2.三者容斥

（1）总数 =A+B+C-A\capB-B\capC-A\capC+A\capB\capC+^{(3)/(2)} 都不满足

【经典例题】

对39种食物中是否含有甲、乙、丙三种维生素进行调查，结果如下：含甲的有17种，含乙的有18种，含丙的有15种，含甲、乙的有7种，含甲、丙的有6种，含乙、丙的有9种，三种维生素都不含的有7种，则三种维生素都含的有多少种？（）

【点拨】

设三种维生素都含的有 \mathbf{x} 种，根据公式可列式： 17+18+15-7-6-9+{x}+7= 39。

（2）总数 =A+B+C- 只满足两项 -2x 满足三项 ^+ 都不满足

【经典例题】

某机关开展红色教育月活动，三个时间段分别安排了三场讲座。该机关共有139人，有42人报名参加第一场讲座，51人报名参加第二场讲座，88人报名参加第三场讲座，三场讲座都报名的有12人，只报名参加两场讲座的有 30人。问没有报名参加其中任何一场讲座的有多少人？（）

【点拨】

设没有报名的人数为 ~\boldmath~x~ ，根据公式可列式： 42+51+88-30-2x12+x=139 0

（3）总数 \mathbf{\Sigma}=\mathbf{\Sigma} 只满足一项 ^+ 只满足两项 ^+ 满足三项 ^+ 都不满足

五、经济利润问题

1.基本公式

（1）利润 \mathbf{\sigma}=\mathbf{\sigma} 售价－成本利润
（2）利润率 \c= 成本
（3）售价 \mathbf{\sigma}=\mathbf{\sigma} 成本 x ( ^{1+} 利润率) \mathbf{\sigma}=\mathbf{\sigma} 成本 ^+ 利润
（4）成本 \mathbf{\Sigma}=\mathbf{\Sigma} 售价 / ( ^{1+} 利润率) \mathbf{\Sigma}=\mathbf{\Sigma} 售价－利润
（5）售价 \mathbf{\Sigma}=\mathbf{\Sigma} 定价 x 折扣率
（6）利息 \mathbf{\Sigma}=\mathbf{\Sigma} 本金 x 利率 x 存期
（7）总成本 \mathbf{\Sigma}=\mathbf{\Sigma} 单件成本 x 数量；总售价 \mathbf{\Sigma}=\mathbf{\Sigma} 单件售价 x 销量；总利润 \mathbf{\Sigma}=\mathbf{\Sigma} 单件利润 x 销量 \mathbf{\Sigma}=\mathbf{\Sigma} 总售价－总成本。

2.分段计费

识别：多种计费方式分段计算。
步骤： ① 先分段：按不同计费方式分段计算；② 后汇总：整理所有分段，再求和。

3.利润极值

识别：题干问到最大利润或者最大收入。

步骤： ① 设涨价或者降价 \mathbf{\boldsymbol{x}} 次；② 根据总利润（收入） \mathbf{\Sigma}=\mathbf{\Sigma} 单件利润（收入） x 销量，列出一元二次函数；③ 求解最值：对于一元二次函数 \scriptstyle\operatorname{y=ax}^{2}+\operatorname{bx}+c ，当 \mathbf{x}=-(\mathbf{b})/(2\mathbf{a)} 时，y取得最值。

【经典例题】

某商店以400元的价格进购一批音箱，按480元定价售出，每天可售出8台，若每降价10元，每天能多售出4台。若要每天取得最大利润，应将音箱定价（）。

【点拨】

设降价了 ~\boldmath~x~ 次，总利润为y，则降价了 10x 元，每天能多售出 _4x 台，根据总利润 \mathbf{\Sigma}=\mathbf{\Sigma} 单件利润 x 销量可得： ^y= （80-10x）（ 8+4x ）。

六、几何问题

1.几何公式

（1）平面图形

（2）立体图形

【经典例题】

在边长30厘米的正立方体甲上取下一个边长为12厘米的正方体乙，甲表面积最少可增加（）平方厘米。

【点拨】

由于甲、乙均为正立方体，则乙每个面的表面积均相等，设乙的每个面的面积为a平方厘米。因此在甲上取出正方体乙后，甲原表面积减少3a平方厘米，与此同时，乙又给甲表面积增加3a平方厘米，则此时甲的表面积增加 -3a+3a=0 平方厘米。

2.三角形的性质

（1）三角形内角和为 180° ；（2）两边之差<第三边 \angle 两边之和;（3）直角三角形的性质：勾股定理：在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜力长的平方。设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b，斜边长度是c，则有：a^{2}+b^{2}=c^{2} 。

3.相似图形

对应角相等，对应边成比例的两个图形为相似图形。

性质： ① 每组对应边有相同比例关系；② 相似图形面积之比是相似比的平方。

七、行程问题

1.核心公式：路程 \mathbf{\Sigma}=\mathbf{\Sigma} 速度 x 时间， \mathsf{s}=\mathsf{v}\mathsf{t} o

2.常考题型

1）相遇追及问题① 相遇公式： \mathbf{S}_{\hat{\imath}\parallel}=\left(\mathbf{\sigma}_{V_{1+V_{2}}}\right)\mathbf{\sigma}x\mathbf{t} ② 追及公式： {\bf{S}}_{Z}={\bf{\left({{\ v}_{1}}-{{\ v}_{2}}\right)}}\ x{\bf{t}} ③ 环形相遇公式： {\bf S}_{\mathtt{F B}}=\left(\mathbf{\Delta}_{V_{1+V_{2}}}\right)\mathbf{\Delta}x\mathtt{t=n} 圈( \mathbf{\Pi}_{~n~} 为相遇次数)④ 环形追及公式： \mathbf{S}_{\vec{z}\vec{z}}=\left(\mathbf{\sigma}_{\mathbf{V}_{1}-\mathbf{V}_{2}}\right)\mathbf{\sigma}x\mathbf{t}=\mathbf{n} 圈（ \mathbf{\Pi}_{\mathbf{n}} 为追及次数)

【经典例题】

小王和小李在学校操场上匀速跑步，环形操场跑道长度400米，二人从同一位置背对背开始跑步，首次相遇时距离出发点位置120米，若二人一开始从出发点同向而行，则速度更快的人首次追上另一人时已经跑了（）米。

【点拨】

通过第一次环形相遇的距离得出速度之比，结合第二次环形追及路程差为一整圈400米，得出两人跑的距离。

（2）多次相遇问题（两端、相向而行）第 \mathbf{\Pi}_{~n~} 次相遇时总路程 S_{n}=\Gamma(2n-1 ） x 第一次相遇时的路程 \mathbf{\Sigma}=\left(\ 2n{-}1\ \right)\ x\mathbf{S}_{1} 第 \mathbf{\Pi}_{~n~} 次相遇时总时间 \Deltat_{n}=\Omega\left(\Omega2n{-}1\right. ） x 第一次相遇时的耗时 \mathbf{\tau}=\left(\ 2n{-}1\ \right)\mathbf{\tau}x\mathbf{t}_{1}

（3）流水行船问题
顺水速度 \mathbf{\sigma}=\mathbf{\sigma} 船速 ^+ 水速
逆水速度 \mathbf{\Sigma}=\mathbf{\Sigma} 船速－水速
船速 \mathbf{\Sigma}=\mathbf{\Sigma} （顺水速度 ^+ 逆水速度） /2
水速 \mathbf{\Sigma}=\mathbf{\Sigma} （顺水速度－逆水速度） /2

3.其他特殊公式

（1）平均速度 \mathbf{\Sigma}=\mathbf{\Sigma} 总路程 / 总时间

（2）等距离平均速度 ={(2v_{1}v_{2})/(v_{1)+v_{2}}} 2（v、v分别表示两段相等距离的不同速度）

（3）火车完全过桥路程（车头上桥至车尾离桥） \mathbf{\Sigma}=\mathbf{\Sigma} 桥长 ^+ 车长火车完全在桥上路程（车尾上桥至车头离桥） \c= 桥长－车长

八、排列组合

1.计数原理：分类用加法；分步用乘法。

区分方法：每种情况都能独立完成任务用分类，反之用分步。

分类：从家到公司，公交车有4条路线，地铁有2条路线，则从家到公司共有4+2=6 条不同路线可选择。

分步：从甲地到丙地每天有直达班车5班，从丙地到乙地每天有直达班车3班，则从甲地到乙地共有 5x3=15 种不同的乘车法。

2.计算方法

(1)排列数的计算（从总体中选出部分，且排序，例如从7人中选出3人分别去扫地、拖地、擦地，即 {\bf A}_{7}^{3} ): {\bf A}_{n}^{m}=nx\left(n-1\right)x\left(n-2\right)x\left(n-3\right)x*sx\left(n-m+1\right)\circ

【例如】 A_{7}^{3}=7x6x5=210 o

（2）组合数的计算（从总体中选出部分，无顺序，例如从5人中选出3人打扫卫生，即C）：C"= C_{\mathfrak{n}}^{\mathfrak{m}}=(\mathbf{A}_{\mathfrak{n}}^{\mathfrak{m}})/(\mathbf{A)_{\mathfrak{m}}^{\mathfrak{m}}}=(\mathbf{n}x(\mathbf{n}-1)x(\mathbf{n}-2)x(\mathbf{n}-3)x\dotsx(\mathbf{n}-\mathbf{m}+1))/(\mathbf{m)x(\mathbf{m}-1)x(\mathbf{m}-2)x(\mathbf{m}-3)x\dotsx1} 组合数的运算技巧： C_{\mathfrak{n}}^{\mathfrak{m}}=C_{\mathfrak{n}}^{\mathfrak{n}-\mathfrak{m}} 【例如】C²=C= \mathbf{C}_{7}^{3}=\mathbf{C}_{7}^{4}=(7x6x5)/(3x2x1)=35 0

3.环形排列：n个人排成一个圈，共有 {\bf A}_{{ n-1}}^{{ n-1}} 种不同排列方式。

4.常用方法

（1）捆绑法（针对要求元素相邻问题）

步骤： ① 将要求相邻的元素捆绑成一个大元素；② 将大元素和其他元素进行整体排序；③ 考虑大元素间内部有无顺序。

（2）插空法（针对要求元素不相邻问题）

步骤： ① 将其他没有要求的元素排序；② 将要求不相邻的元素插人到其他元素所形成的间隙或两端。
注意： ① 两端位置是否能插人； ② 插人的元素有无顺序。

（3）隔板法（针对相同元素分堆问题）

模型：把n个相同元素，分给 ~m~ 个不同的对象，每个对象至少分一个，共有 \mathbf{C}_{n-l}^{m-l} 种分配方式。

【经典例题】

将8个苹果分给三个小朋友，每个小朋友至少分一个，有多少种不同的分配方案？（）

【点拨】

苹果是相同元素，小朋友是不同对象，且每人至少一个，符合模型，直接套用公式：C_{8-1}^{3-1}=C_{7°}^{2}

变型：把 \ensuremath{\mathbf{n}} 个相同元素，分给 ~m~ 个不同的对象，每个对象至少分a个，则先给每个对象分（a-1）个，再用模型解题。

【经典例题】

单位复印了30份学习资料发放给3个部门，每个部门至少发放9份材料。问：共有多少种不同的发放方法？（）

【点拨】

先给每个部门发放 9-1=8 份学习资料，共发放了 8x3=24 份，还余下6份，此时问题转化成了把6份资料发放给3个部门，每个部门至少发放1份。

（4）错位重排（针对元素不回到自己原位的问题）

模型：有N封信和N个信封，如果每封信都不在自己的信封里，则对应的方法数如下：

九、概率问题

1.古典概率

满足条件的方法数
计算公式：概率 \c= 总方法数
反向求解概率公式：满足条件的概率 =1- 不满足条件的概率

2.多次独立重复试验概率公式

某一试验独立重复 \mathbf{\Pi}_{~n~} 次，其中每次试验中，事件 A 发生的概率为p，那么事件 A出现 ~m~ 次的概率为P (\operatorname{A})=\mathbf{C}_{n}^{m}x\mathbf{p}^{m}x(1-\mathbf{p})^{n-m} 。

【经典例题】

某人抛3次硬币，有2次正面朝上的概率为？（）

【点拨】

抛1次硬币，正面朝上、反面朝上的概率均为 (1)/(2) 因此3次有2次正面朝上的概率=C_{3}^{2}x((1)/(2))^{2}x(1)/(2)\circ

十、溶液问题

1.基本公式

（1）溶液 \mathbf{\Sigma}=\mathbf{\Sigma} 溶质 ^+ 溶剂

溶质质量
（2）浓度=溶液质量
（3）溶质质量 \mathbf{\Sigma}=\mathbf{\Sigma} 溶液质量 x 浓度

2.多次蒸发或稀释问题

解题核心：赋值不变量溶质，根据浓度算出总的溶液质量进行计算。

3.多次倒水问题

模型：每次倒掉溶液的 (a)/(b) ，用水加满，一共倒N次，则最后的溶液浓度 \mathbf{\Sigma}=\mathbf{\Sigma} 初始浓度 x\left(1-(a)/(b)\right)^{N}(

【经典例题】

从一瓶浓度为 52% 的酒精溶液中倒出 /13 加满纯净水，再倒出 /13 又加满纯净水,此时酒精溶液的浓度是多少？（）

【点拨】

根据模型直接求解：最终浓度 =52%x(1-(1)/(3)) 2

4.溶液混合问题

解题核心：根据混合前后溶质总质量不变列方程求解。

【经典例题】

小刘将130克含糖 5% 的糖水与含糖 9% 的另一杯糖水混合，配成含糖为 6.4% 的糖水，则需要加入含糖 9% 的糖水（）克。

【点拨】

设加入 9% 的糖水 \mathbf{x} 克，根据溶质总量不变可列方程： 130x5%+9%x=(130+x) x6.4% 。