单元测试(一) 三角形

（时间：120分钟总分：120分）

一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.下列各组数，可能是一个三角形的三边长的是 (C)

A.1,2,4 B.4,5,9 C.4,6,8 D.5,5,11

2.已知在 \triangle A B C 中， \angle A=60° ， \angle C=70° ，则 \angle B 的度数是（A

A. 50° B. 60° C.70° D. 90°

3.过 \triangle A B C 的顶点 A 作边 B C 上的高，以下作法正确的是A

4.从数学角度看下列四幅图片有一个与众不同，该图片是(C)

5.如图，图中三角形有 ( D >

A.3个 B.4个 C.5个 D.6个

6.如图，点 F 是 \triangle A B C 的重心，连接 A F 并延长交BC于点 G ，过点 F 作直线分别交 A B ， A C 于点 D,E ，则下列说法正确的是 （B）

A. \angle B A G=\angle C A G B. B G=C G
C .D F{=}E F
D. B D{=}C E

7.在探究证明“三角形的内角和等于 {180}^{\circ,\prime} 时，飞翔班的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于{180}^{\circ,\prime} 的是 (C)

8.如图，在 5x4 的方格纸中，每个小正方形的边长为1，点 ^{(O,A} ，B 在方格纸的交点（格点）上.建立如图所示的平面直角坐标系，在第四象限内的格点中找点 c ，使 \triangle A B C 的面积为3,则这样的点 c 共有 （B)

A.2个 B.3个 C.4个 D.5个

第8题图

第9题图

第10题图

9.如图， O 是 \triangle A B C 内一点， \angle A=80° ， \angle1=15° ， \angle2=40° ，则\angle B O C= (C)

A.95° B. {120}° C. 135° D.无法确定

10.如图，在 \triangle A B C 中， \angle B=60°,A D 是 \triangle A B C 外角的平分线，D E\bot A C ，则 \angleγ= C

A. 120°-\angleβ B.90°-{(1)/(2)}\angleβ C.60°-{(1)/(2)}\angleβ D.2\angleβ-60°

11.如图，在 \triangle A B C 中， \angle A=75° ， \angle B=65° ,将纸片的一角折叠，使点 c 落在 \triangle A B C 内.若 \angle1=20° ，则 \angle2 的度数为（D）

A. {40}° B. 45° C.50° D.60°

第11题图

第12题图

12.如图，已知 \angle A G B=7° ，一条光线从点 A 出发后射向边 G B ！若光线与边 G B 垂直，则光线沿原路返回到点 A ，此时 \angle A= 90°-7°=83° ；当 \angle A<83° 时,光线射到边 G B 上的点 \boldsymbol{A}_{1} 后，经 G B 反射到线段 A G 上的点 A_{2} ，易知 \angle1=\angle2. 若 A_{1}A_{2}\perp A G ，光线又会沿 A_{2}\rightarrow A_{1}\rightarrow A 原路返回到点 A ，此时 \angle A= 76° .若光线从点 A 出发后，经若干次反射能沿原路返回到点A ,，则锐角 \angle A 的最小度数为 （B）

A.5° B.6° C.7° D. 8°

二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）

13.已知在 \triangle A B C 中， \angle A:\angle B:\angle C=1:3:5 ，则 \triangle A B C 是钝角三角形.

14.边长为 _{3,x,5} 的三条线段首尾顺次相接组成三角形.若 \mathbf{\Psi}_{x} 为整数，则组成三角形的周长的最小值为11

15.如图，在 \triangle A B C 中，已知 D,E,F 分别是 B C,A D,B E 的中点，且 \triangle A B C 的面积为 8~{cm^{2}} ，则 \triangle B C F 的面积为 2cm^{2} ：

图1

第15题图

图3

图2
第16题图

16.已知在 \triangle A B C 中， \angle A=60° ,在图1中， \angle A B C \angle A C B 的平分线交于点 O_{1} ，则可得 \angle B O_{1}C=120°

(1)在图2中，设ABC， \angle A C B 的两条三等分角线分别对应交于点 O_{1},O_{2} ，则 \angle B O_{2}C=100°

(2)在图3中，请猜想，当 \angle A B C,\angle A C B 同时被 n 等分时，(n{-}1) 条等分角线分别对应交于点 O_{1},O_{2},*s,O_{n-1} ，则\angle B O_{n-1}C=60°+{(120°)/(n)} （用含 n 的式子表示).

三、解答题（本大题共8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.（本小题满分8分）如图，在△ABC中， D,E 为边BC上两点，且满足 A B=B E,A C=C D ，连接 A D,A E

(1)写出以 A C 为边的三角形.
(2)找出图中的等腰三角形.

解：（1）以AC为边的三角形有 \triangle A C E \triangle A C D,\triangle A C B (2）图中的等腰三角形有ABE， \triangle A C D

18.（本小题满分7分)如图，在 \triangle A B C 中， A D,A E 分别是边 B C 上的中线和高， .A E{=}3~cm,S_{\triangle A B C}{=}12~cm^{2} ，求 B C 和 D C 的长.

解：由题意，得 S_{\triangle A B C}=(1)/(2)B C* A E=12\cm^{2}
{?}{?}{?}{}{(1)/(2)}B Cx3=12.
： B C=8\cm 费
： A D 是边 B C 上的中线，
\therefore D C=(1)/(2)B C=4\cm.

19.（本小题满分7分)某工程队准备开挖一条隧道，为了缩短工期，必须在山的两侧同时开挖，为了确保两侧开挖的隧道在同一条直线上，测量人员在如图所示的同一高度定出了两个开挖点 P 和 Q ，然后在左边定出开挖的方向线 A P ,为了准确定出右边开挖的方向线 B Q ，测量人员取一个可以同时看到点 A,P,Q 的点 O ，测得 \angle A=28° ， \angle A O C=100° ，那么\angle Q B O 应等于多少度才能确保 B Q 与 A P 在同一条直线上？

解：在 \triangle A O B~\not=~,~\angle Q B O=180°-\angle A-\angle O= 180°-28°-100°=52°
即 \angle Q B O 应等于 52° 时才能确保 B Q 与 \mathbf{\nabla}A\mathbb{P} 在同一条直线上。

20.（本小题满分8分）将一副三角板拼成如图所示的图形，过点C 作 C F 平分 \angle D C E 交 D E 于点 F ：

(1)求证： C F//A B (2)求 \angle D F C 的度数.

解：(1)证明：由三角板
的性质可知， \angle D=
30°,\angle3=45°
\angle D C E=90°
CF平分 \angle D C E ，
\therefore\angle1=\angle2=(1)/(2)\angle D C E=45°.
\therefore\angle1=\angle3.\therefore C F//A B

(2)\angle D F C=180°-\angle1-\angle D=180°-45°-30°=105°.

21.（本小题满分9分）已知 {\mathbf{\omega}}_{a,b,c} 是三角形的三边长.(1)化简： |a-b-c|+|b-c-a|+|c+a-b|. (2)若 a=5,b=4,c=3 ,求(1)中式子的值.解： (1)\because a,b,c 是三角形的三边长，\therefore a-b-c<0,b-c-a<0,c+a-b>0. 原式 \therefore a-b+c-b+c+a+c+a-b=a-b+3c. (2)当 a=5,b=4,c=3 时，原式 =5-4+3x3=10

22.（本小题满分10分）如图所示，在 \triangle A B C 中，已知 A D 是角平分线， \angle B=62° ” \angle C=58° ：(1)求 \angle A D B 的度数.(2)若 D E\bot A C 于点 E ，求 \angle A D E 的度数.

解： (1) 在 \triangle A B C 中 ,\angle B=62°,\angle C=58°
\angle B A C+\angle B+\angle C=180°,
\therefore\angle B A C=180°-\angle B-\angle C=60°.
*_{A D} 是 \triangle A B C 的角平分线，
\therefore\angle B A D=(1)/(2)\angle B A C=30°.
在 \triangle A B D 中 \angle B=62°,\angle B A D=30°
\therefore\angle A D B=180°-\angle B-\angle B A D=88°
2)\because\angle C A D=(1)/(2)\angle B A C=30°,D E\bot A C,
\therefore\angle A E D=90°.\therefore\angle A D E=90°-\angle E A D=60°.

23.（本小题满分11分）新定义：如果一个三角形存在两个内角之差是第三个内角的两倍，那么称这个三角形为关于第三个内角的“差倍角三角形”.例如：在 \triangle A B C 中， \angle A=100° ，\angle B=60° ， \angle C=20° ，满足 \angle A-\angle B=2\angle C ，所以 \triangle A B C 是关于 \angle C 的“差倍角三角形”

(1)若在 \triangle D E F 中， \angle D=110° ， \angle E=40° ， \angle F=30° ，则\triangle D E F 是关于 \angle E 的“差倍角三角形”.

(2)如图，在 \triangle A B C 中， \angle C=30° ， \angle B A C 和 \angle A B C 的平分线相交于点 D .若 \triangle A B D 是关于 \angle A B D 的“差倍角三角形”，求 \angle B A C 的度数.

解： \because\angle B A C 和 \angle A B C 的平分线相交于点 D
\therefore\angle B A D=(1)/(2)\angle B A C,\angle A B D=(1)/(2)\angle A B C.
\therefore\angle C=30°,\therefore\angle B A D+\angle A B D=(1)/(2)(\angle A B C+\angle B A C+\angle C A B+\angle C A B).
\angle B A C=(1)/(2)x(180°-30°)=75°.
\angle D+\angle B A D+\angle A B D=180°,\therefore\angle D=180°-75°=105°,
： \triangle A B D 是关于 \angle A B D 的“差倍角三角形”
\therefore\angle D-\angle B A D=2\angle A B D.\therefore\angle D=2\angle A B D+\angle B A D.
\ddots105°=\angle A B D+75°.\therefore\angle A B D=105°-75°=30°.
\dot{*}\angle B A D=180°-\angle A B D-\angle D=45°.
\therefore\angle B A C=2\angle B A D=2x45°=90°.

24.（本小题满分12分）已知 \angle M O N=40°,O E 平分 \_M O N,A ，^{13,C} 分别是射线 O M,O E,O N 上的动点（点 A,B,C 不与点O 重合），连接 A C 交射线 O E 于点 D .设 \angle O A C=x° ：

(1)如图1,若 A B//O N ，则：①\angle A B O 的度数是 2{\bf0}° ② 当 \angle B A D=\angle A B D 时， x=\underline{{120}} ；当 \angle B A D= \angle B D A 时， x=\underline{{60}}

(2)如图2，若 B A\bot O M ,则是否存在 x 的值，使得 \triangle A D B 中有两个相等的角？若存在，求出 x 的值；若不存在，请说明理由.

图1

图2

解：存在。

① 当点 D 在线段 O B 上时，
若 \angle B A D=\angle A B D ，则 \scriptstyle x=20
若 \angle B A D=\angle B D A ，则 x=35 .
若 \angle A D B=\angle A B D ，则 \scriptstyle x=50
② 当点 p 在射线 B E 上时，
： \angle A B E=110° ，且三角形的内角和为 {180}°
只有当 \angle B A D=\angle B D A=35° ，满足 \triangle A D B 中有两个相等的角。。 \mathbf{\partial}* x=90+35=125 费
综上所述，当 x 的值为20或35或50或125时， \triangle A D B 中有两个相等的角。