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紧扣新教材核心考点，采用经典素材、经典设问

活页作业本

一福建RJ一数学

八年级上册

教师用书

”第十三章三角形

索引

13.2 与三角形有关的线段 313.2.1 三角形的边13.2.2 三角形的中线、角平分线、高

小专题1三角形的中线、角平分线、高线的运用 解题技巧专练

13.3三角形的内角与外角

13.3.1 三角形的内角 9
第1课时 三角形的内角和 9
第2课时 直角三角形的两个锐角互余 11
周测(13.1～13.3.1) 周测小卷1
13.3.2 三角形的外角 13
小专题2三角形的角平分线、高线的夹角模型 多维变式专练15
小专题3利用数学思想方法求角度 解题技巧专练16
小专题4 三角形中内、外角平分线的常见模型 模型构建专练17
章末复习(一） 三角形 19

福建考点针对练 \diamondsuit 核心素养提升练

数学活动 搭等边三角形、多边形的三角剖分/P21
综合与实践 确定匀质薄板的重心位置/P22

“新教材 新趋势

周测(第十三章) 周测小卷3

第十四章全等三角形

14.1全等三角形及其性质· 23

14.2三角形全等的判定 25

13.1 三角形的概念

第1课时 用“SAS”判定三角形全等 25
第2课时 用“ASA"或“AAS"判定三角形全等 27
第3课时 用“SSS”判定三角形全等 29
第4课时 三角形全等的判定与尺规作图 31
第5课时 用“HL”判定直角三角形全等 33
小专题5判定三角形全等的基本思路 解题技巧专练35
小专题6全等三角形的基本模型 模型构建专练37
周测 ( 1 4 . 1 { ~ } 1 4 . 2 ) （204号 周测小卷5
14.3角的平分线 39
第1课时 角的平分线的性质， 39
第2课时 角的平分线的判定 41

名校经典题索引

1.人大附中校本经典题

P12T12 P24T10 P38T5 P39T6
P52T9 P69T1 P116T13 P129T6

2.清华附中校本经典题

P4T13 P16T1 P27T4 P86T11
P124T15

3.北京四中校本经典题

P10T14 P24T12 P33T4 P53T5
P104T13 P126T8

教材变式索引

P1T2 P1T8 P2T13 P4T9
P5T5 P9T3 P9T9 P11T6
P13T8 P13T9 P23T4 P31T6
P32T7 P40T9 P41T5 P49T4
P59T7 P68T11 P75T4 P77T9
P82T11 P89T6 P115T6 P116T15
P117T7 P122T3 P126T12P133T4
P134T6

小专题7构造全等三角形的常用辅助线 解题技巧专练43

章末复习(二) 全等三角形 45

福建考点针对练 \diamondsuit 核心素养提升练

新教材新趋势

信息技术应用 探究三角形全等的条件/P47数学活动 利用全等设计图案、用全等三角形证明拼图猜想/P48周测(第十四章) 周测小卷7

第十五章轴对称

15.1 图形的轴对称 49

15.1. 1 轴对称及其性质 49
15.1.2 线段的垂直平分线 51
第1课时 线段的垂直平分线的性质与判定 51
第2课时 作轴对称图形的对称轴 53

15.2 画轴对称的图形 54

第1课时 画轴对称的图形 54
第2课时 用坐标表示轴对称 55

周测 ( 1 5 , 1 ~ 1 5 , 2 ) （2号 周测小卷9

15.3 等腰三角形 57

15.3.1等腰三角形 57
第1课时 等腰三角形的性质 57
第2课时 等腰三角形的判定 59

小专题8角平分线 + 平行线 等腰三角形——教材P81练习T2变式

模型构建专练6

小专题9分类讨论思想在等腰三角形中的应用… 解题技巧专练62

小专题10 构造等腰三角形的常用方法 解题技巧专练63

15.3.2等边三角形 65
第1课时 等边三角形的性质与判定 65
第2课时 含 { 3 0 } ^ { \circ } 角的直角三角形的性质 67

小专题11 等腰三角形中常见的手拉手模型 多维变式专练69

周测(15.3) 周测小卷11
章末复习(三) 轴对称 71

福建考点针对练 \diamondsuit 核心素养提升练

新教材新趋势

探究与发现 三角形中边与角之间的不等关系/P73
数学活动 美术字与轴对称、等腰三角形中相等的线段/P74

第十六章整式的乘法

16.1 幂的运算 75
16. 1. 1 同底数幂的乘法 75
16.1.2 幂的乘方与积的乘方 77

小专题12 幂的运算法则的运用 分类强化专练79

16.2 2整式的乘法 81
第1课时 单项式与单项式相乘 81
第2课时 单项式与多项式相乘 82
第3课时 多项式与多项式相乘 83

索引

方法指导索引

P7\~8 三角形的中线、角平分线、高线的运用
P43\~44 构造全等三角形的常用辅助线
P62 分类讨论思想在等腰三角形中的应用
P93 完全平方公式的变形教材P118习题T7的变式与运用
P122 教你解决“ x ± { / { 1 } { x } } 型问题--教材P145习题T12的变式与运用
P138 由分式方程根的情况确定字母的取值范围

课标理念题索引

4.过程性学习

P87T9 P94T5 P95T3 P108T13

7.跨学科

P56T10

第4课时 同底数幂的除法 85
第5课时单项式除以单项式 86
第6课时多项式除以单项式 87
周测（16 . 1 ~ 1 6 . 2 ) 1 周测小卷13
16.3乘法公式… 89
16.3.1平方差公式 89
16.3.2完全平方公式 91
第1课时完全平方公式… 91
小专题13完全平方公式的变形- -教材P118习题T7的变式与运用 多维变式专练93
第2课时 添括号法则 94
小专题14 整式的化简与求值 分类强化专练95
周测(16.3) 周测小卷15
章末复习(四) 整式的乘法 ： 97

福建考点针对练 \diamondsuit 核心素养提升练

新教材 新趋势

阅读与思考 杨辉三角/P99
数学活动 月历中的奥秘、和为定值的两数积的规律/P101

三”第十七章 第十七章因式分解

17.1用提公因式法分解因式 101
第1课时直接利用提公因式法分解因式（一） 101
第2课时直接利用提公因式法分解因式(二) 102
17.2用公式法分解因式 103
第1课时运用平方差公式分解因式 103
第2课时 运用完全平方公式分解因式 105
第3课时 综合运用公式法分解因式… 107
小专题15 因式分解及其应用… 重点强化专练109

章末复习（五) 因式分解· 111

福建考点针对练 \diamondsuit 核心素养提升练

?新教材新趋势

阅读与思考 x ^ { 2 } + ( p + q ) x + p q 型式子的因式分解/P113
数学活动 个位数字是5的两位数的平方规律、利用因式分解生成密码/P114

周测(第十七章) 周测小卷17

三”第十八章分式

18.1分式及其基本性质 11J
18.1.1从分数到分式 115
18.1.2 分式的基本性质 117
第1课时分式的基本性质 117
第2课时分式的约分和通分 119
小专题16 分式约分求值的几种常用方法 解题技巧专练121
小专题17 教你解决 \mathbf { \dot { } } x ± { / { \mathbf { 1 } } { x } } \mathbf { \dot { } } "型问题——教材P145习题 T12的变式与运用 多维变式专练122
18.2分式的乘法与除法· 123
第1课时 分式的乘法与除法 123
第2课时 分式的乘方及乘除混合运算 125
周测(18. 1 ~ 1 8 . 2 ) 周测小卷19
18.3分式的加法与减法… 127
第1课时分式的加法与减法… 127
第2课时分式的混合运算 129
小专题18分式的化简与求值… 分类强化专练131
18.4整数指数幂… 133
第1课时负整数指数幂 133
第2课时用科学记数法表示绝对值小于1的数 134
周测(18.3～18.4）· · 周测小卷21
18.5分式方程· 135
第1课时分式方程及其解法 135
小专题19 分式方程的解法 重点强化专练137
小专题20 由分式方程解的情况确定字母的取值范围 解题技巧专练138
第2课时 分式方程的实际应用一 一工程问题、行程问题 139
第3课时 分式方程的实际应用 -购买问题及其他问题 141
章末复习(六) 分式· 143

福建考点针对练 \diamondsuit 核心素养提升练

新教材 新趋势

阅读与思考 容器中的水能倒完吗/P145
数学活动 探究 x ^ { 2 } + { / { 1 } { x ^ { 2 } } } 取值的规律/P146

周测(第十八章) 周测小卷23

”专题复习

专题复习（一） 与三角形有关的计算与证明… 147
专题复习(二) 整式的乘法与因式分解 149
专题复习(三) 分式的化简求值… 151
专题复习(四) 解分式方程… 152
专题复习(五) 分式方程的实际应用… 153
专题复习(六) 材料阅读题… 155
专题复习(七) 作图题… 157
专题复习(八) 代数推理题· 159
专题复习(九) 几何(或代几)综合探究题… 161

《02课堂本》（另册）

■”附赠福建标准卷

单元测试(一) 三角形 测试卷1
单元测试(二) 全等三角形 测试卷3
单元测试(三) 轴对称 测试卷5
期中测试 测试卷7
单元测试(四) 整式的乘法 测试卷9
单元测试(五) 因式分解 测试卷11
单元测试(六) 分式· 测试卷13
期末测试· 测试卷15

第十三章 三角形

13.1 三角形的概念

基础题

知识点1 三角形及其相关概念

1.下面是小强用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是 C

2.（教材P4习题T1变式)如图所示，以BC为边的三角形共有 (C

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

第2题图

第3题图

第4题图

第6题图

第7题图

3.如图，在 \triangle A B C 中， \angle B 的对边是AC，在 \triangle A B D 中， \angle B 的对边是AD，在 \triangle A C D 中，边A C 的对角是 ∠ADC

4.如图所示.

(1)图中共有 5 个三角形，它们是 \triangle B E D , \triangle A E D , \triangle A C D , \triangle A B D , \triangle A B C . (2)线段 A D 是 \bigtriangleup ABD, \bigtriangleup （204号 ACD \bigtriangleup ADE 的边. ( 3 ) \angle B 是 \bigtriangleup （204号 BED, \bigtriangleup ABD · \bigtriangleup （204号 ABC 的角.

知识点2 三角形的分类

5.用 A 表示等边三角形， B 表示等腰三角形，C表示三边都不相等的三角形，则下列四个分类图中，能正确表示它们之间的关系的是 (B）

6.如图，在 \triangle A B C 中， A B { = } A C , A D { = } C D { = } C B ，则图中等腰三角形共有 (D）

A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

7.(教材P3练习T2变式)如图，在 \triangle A B C 中， \angle B A C 是锐角， A D \perp B C ，垂足为 D ，点 E 在线段BD上，则图中的锐角三角形有_ \triangle B A C , \triangle E A C _；直角三角形有_ \triangle A B D , \triangle A C D , \triangle A E D _；钝角三角形有 \triangle A B E

8.（教材P3练习T1变式）如图， A B { = } B C { = } C A { = } D A ，且 B D = C D ，找出图中的等腰三角形和等边三角形.

解：等腰三角形 : \Delta A B C , \Delta D A B , \Delta D A C , \Delta B D C （20等边三角形： \triangle A B C

易错点 对三角形的分类不清晰致错

9.下列说法：

① 三角形按边分类可分为三边都不相等的三角形、等腰三角形和等边三角形；
② 等边三角形是特殊的等腰三角形；
③ 等腰三角形是特殊的等边三角形；
④ 有两边相等的三角形一定是等腰三角形.
其中正确的个数是

（ B ）

A.1 B.2 C.3 D.4

中档题

D.若△ABC的三边长是 { \mathbf { \Psi } } _ { a , b , c } ，且满足 | a - b | + | a - c | = 0 ，则 \triangle A B C 是 （ D

）

A.钝角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形

11.已知有一条公共边的两个三角形称为一对"共边三角形”,则图中以BC为公共边的"共边三角形”有3对.

第11题图

第12题图

12.A华师二附中校本经典题6个点按如图所示的方式放置，相邻两点的距离相等.把这些点作为三角形的顶点，可以画5个等边三角形.

13.(教材P3例变式)如图，在 \triangle A B C 中 \scriptstyle A B = A C , B E = A E = D E = A D = C D . （2

(1)写出以点 C 为顶点的三角形.
(2)写出以 _ { A B } 为边的三角形.
(3)找出图中的等腰三角形和等边三角形.
解：(1)以点 C 为顶点的三角形是△ABC，△AEC， \triangle A D C
(2)以 A B 为边的三角形是 \triangle A B C \triangle A B D \triangle A B E
(3)等腰三角形是 \triangle A B C , \triangle A B E , \triangle A E D , \triangle A C D ; 等边三角形是AED.

综合题

14. A石家庄外国语校本经典题 找规律，填空：

(1)请按照下列要求数出三角形的个数.

图1

图2

图3

① 边 B C 上有1个点(图1)，三角形的个数为 3
② 边 B C 上有2个点(图2)，三角形的个数为 6
③ 边 B C 上有3个点(图3)，三角形的个数为 10

(2)当边BC上有 \mathbf { \Psi } _ { m } 个点(不含 ^ { } | B , C | 两点)时，图形中三角形的个数为 (m+1)(m+2)2

13.2 与三角形有关的线段

13. 2. 1 三角形的边

基础题

知识点1 三角形的三边关系

1.（2024·福州期中)下列三条线段的长度，可以构成三角形的是 B

A.2,4,6 B.3,5,7 C.4,5,10 D.3,3,8

1.(2023·福建)若某三角形的三边长分别为 ^ { 3 , 4 , m } ，则 \mathbf { \Psi } _ { m } 的值可以是 B

A. 1 B.5 C.7 D.9

3.新考向开放性问题如图，人字梯的支架 A B , A C 的长度都为2米(连接处的长度忽略不计)，则^ { B , C } 两点之间的距离可以是2,答案不唯一米.(只需写出一个满足条件的值即可)

第3题图

第4题图

第7题图

4.如图，线段 _ { A B } 和线段 A C 是 \triangle A B C 的两条边，点 D 在线段 A B 上，点 E 在线段 A C 上，将 \triangle A B C 沿 D E 所在直线裁去一个角得到四边形DBCE，则四边形 DBCE 的周长小于（填“大于”"等于"或“小于") \triangle A B C 的周长，理由是三角形两边之和大于第三边 一

5.已知一个三角形的一边长为 9 \ {cm } ,另一边的长为 3 \ {cm } ，第三边的长为 x cm.

(1)求 x 的取值范围.
(2)当第三边的长为偶数时，该三角形的周长为 2 0 ~ {cm } 或 2 2 ~ { {cm } } （2解：∵三角形的一边长为 9 \ {cm } ，另一边的长为 3 \ {cm }
\therefore 9 - 3 < x < 9 + 3 ，即 6 { < } x { < } 1 2

知识点2 三角形的稳定性

6.下列图形具有稳定性的是 (D）

7.(2024·厦门外国语学校期中)我国建造的港珠澳大桥全长 5 5 ~ { k m } ，集桥、岛、隧于一体，是世界最长的跨海大桥.如图，这是港珠澳大桥中的斜拉索桥，可以推断出斜拉索桥中运用的数学原理是三角形具有稳定性

易错点 没有验证是否满足三角形的三边关系致错

8.已知等腰三角形的一边长为 8 \ {cm } ，另一边长为 9 \ {cm } ，则该等腰三角形的周长为_ 2 5 \ {cm } 或 2 6 \cm 一【变式1】已知等腰三角形的一边长为4,另一边的长为8,则该等腰三角形的周长为_20

【变式2】若等腰三角形的一边长等于 6 ~ {cm } ，周长等于 2 8 ~ {cm } ，则其他两边的长分别为11 cm,11 cm

中档题

9.(教材P9习题T2变式)在长度分别为 { 2 \cm , 3 \cm , 4 \cm , 5 \cm } 的线段中任意选择三条，将它们首尾顺次相接，组成的三角形有 (C)

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

0.如图，为使由五根木棒组成的架子不变形，至少还要在架子上钉上的木棒根数是

A.0 B.1
C.2 D.5
11.已知 { \mathbf { \Psi } } _ { a , b , c } 是一个三角形的三条边长，化简 | a + c - b | - | a - b - c | = \quad 2 a - 2 b
12.若等腰三角形的周长为 1 6 ~ {cm } ，则腰长 x 的取值范围为_ 4 \ {cm } { < } x { < } 8 \ {cm }

13. A清华附中校本经典题数学课本第21页复习题的第3题如下：

如图1，填空：

由三角形两边的和大于第三边，得 A B + A D > BD, P D + C D > PC.将不等式左边、右边分别相加，得 A B + A D + P D + C D > （204号 B D + \bot P C ，即 A B + A C > （204号 B P + P C （204号

(1)补全上面步骤.(2)如图2，过点 P 作直线交 ^ { A B , A C } 于点 M , N . 仿照图1的方法，求证： A B + A C > P B + P C . 号

解：在 \triangle A \bar { M } \bar { N } 中 , A M + A N > M N
在 \triangle M P B 中， M P + M B > P B
在 \triangle N P C 中 , N P + N C > P C
将三个不等式相加，得 A M + A N + M B + M P + M P + N C > M P + N P + P B
+ P C , 即 A B + A C > P B + P C （20号

图1

图2

综合题

14. A华师二附中校本经典题在平面内，分别用3根、4根、5根、6根火柴首尾顺次相接（不能折断，且需全部用完)，能搭成什么形状的三角形呢？小明通过尝试，发现用3根、5根、6根火柴分别可以搭成一些三角形，如下表所示：

现在请你与小明一起继续尝试，并回答下列问题：

(1)用4根火柴能搭成三角形吗？

（2)用8根、12根火柴分别能搭成几种不同形状的三角形？请画出它们的示意图.

解：(1)4根火柴不能搭成三角形.(2)8根火柴能搭成1种三角形 ^ { ( 3 , 3 , 2 ) } ，如图所示：

等腰三角形

12根火柴能搭成3种不同的三角形 ( 4 , 4 , 4 ; 5 , 5 , 2 ; 3 , 4 , 5 ) ，如图所示：

13.2.2三角形的中线、角平分线、高

基础题

知识点1 三角形的中线与重心

1.如图， A D 是 \triangle A B C 的中线，则 D 是线段 BC的中点， B D { = } C D { = } { / { 1 } { 2 } } . BC \begin{array} { r l r } { S _ { \Delta A B D } = } & { { } \ S _ { \Delta A C D } } & { = } \end{array} 一 \underline { s } _ { \triangle A B C } ·若 { S _ { \triangle A B D } = 5 } ，则 S _ { \triangle A B C } = \underline { { { 1 0 } } }

第1题图

第3题图

第4题图

第6题图

2.已知三角形的三条中线交于一点，下列结论： ① 这一点在三角形的内部； ② 这一点有可能在三角形的外部； ③ 这一点是三角形的重心.其中正确的是_ ① ③ .(填序号)

3.如图， A D 是 \triangle A B C 的中线， A E 是 \triangle A B D 的中线.若 D E { = } 3 ~ {cm } ，则 E C = { ~ \mathfrak ~ { ~ \circ ~ } ~ } （204号 cm.

知识点2 三角形的角平分线

4.如图， B D 是 \triangle A B C 的角平分线.已知 \angle A B C = 6 0 ^ { \circ } ，则 \angle D B C = 3 0 ^ { \circ }

5.（教材P10习题T8变式)如图， A D 是 \triangle A B C 的角平分线， D E / / A C ，交 _ { A B } 于点 E , D F / / A B ，交A C 于点 F .图中 \angle 1 与 \angle 2 有什么关系？为什么？

解： \angle 1 = \angle 2 理由：
\because D E / / A C , \therefore \angle 1 = \angle D A C .
0 \therefore D F / / A B , \therefore \angle 2 = \angle B A D . （20号
\because A D 是 \triangle A B C 的角平分线 \therefore \angle B A D = \angle D A C . \angle 1 = \angle 2 .

知识点3 三角形的高

6.如图， A D 是 \triangle A B C 的边BC上的高，则 A D 与 BC的位置关系是 A D \bot B C ， \angle A D B = \angle \underline { { \phantom { r } { A D C } } } = \underline { { 9 0 } } ^ { \circ } .

7.(2024·厦门外国语学校期末)如图，用三角板作 \triangle A B C 的边 A B 上的高，下列三角板的摆放位置正确的是 (B)

8.如图，在 \triangle A B C 中， \angle A C B = 9 0 ^ { \circ }

(1)图中边 B C 上的高为 A C ，边 A C 上的高为 BC(2)画出边 A B 上的高 C D
(3)若 B C = 3 , A C = 4 , A B = 5 ，求边 _ { A B } 上的高 C D 的长.解：(2)如图所示.
\begin{array} { l } { { ( 3 ) \because S _ { \triangle { A B C } } = \displaystyle / { 1 } { 2 } A C * B C = \displaystyle / { 1 } { 2 } A B * C D , } } \\ { { \therefore C D = \displaystyle / { A C * B C } { A B } = \displaystyle / { 4 x 3 } { 5 } = 2 . 4 . } } \end{array} （204号

9.如图，已知 \triangle A B C ，试作出 \triangle A B C 的三条高.

解：如图 , A E , B F , C G 分别为 \triangle A B C 的三条高，

思考：

(1)从图中可以看出，钝角三角形有2条高在三角形的外部，1条高在三角形的内部.
(2)延长 \triangle A B C 的三条高，发现三条高所在的直线交(填"交"或"不交")于一点.

中档题

10.下图是甲、乙、丙三位同学的折纸示意图（折叠后点 C 落到点 C ^ { \prime } 处）

甲

丙

(1)折出的 A D 是 B C 边上的中线的是 丙(2)折出的 A D 是 B C 边上的高的是 甲(3)折出的 A D 是 \angle B A C 的平分线的是 乙

11.如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点 A , B , C , D , E , F , G 均在小正方形的顶点上，则 \triangle A B C 的重心是 （B)

A.点 G （204号 B.点 D C.点 E （204号 D.点 F

12.如图，在 \triangle A B C 中， A E 是边 B C 上的中线， A D \perp B C 交 B C 于点 D , F 为 A B 的中点，连接 E F . 已知 A D { = } 6 , \triangle A B C 的面积为24.

(1)求 C E 的长.

(2)若 A E { = } 7 ，求 \triangle A E F 与 \triangle B E F 的周长差.
解 : ( 1 ) : : A D \bot B C , A D = 6 , : : / { 1 } { 2 } B C x 6 = 2 4 .
： \triangle A B C 的面积为 2 4 , 0 , B C = 8
∵AE是边 B C 上的中线 , \therefore C E = B E = { / { 1 } { 2 } } B C = 4 .
(2)∵点 F 为 _ { A B } 的中点 \begin{array} { r } { { ~ o ~ o ~ } A \varPsi = \varmathbb { B } \varPsi . } \end{array}
\therefore C _ { \triangle A F F } - C _ { \triangle B E F } = ( A E + A F + E F ) - ( B E + B F + E F ) = A E - B E = 7 - 4 = 3 , \qquad \forall 1 <= A E = 4 . 5 . 即△AEF与 \triangle B E F 的周长差为3.

综合题

13. A石家庄外国语校本经典题如图，在 \triangle A B C 中， A B { = } A C , B E 是腰 A C 上的中线.

(1)若 A B { > } B C ，则 \triangle A B E 的周长与 \triangle B E C 的周长之差为 \underline { { A B - B C } }

(2)若 \triangle A B C 的周长为 2 0 \ {cm } , B E 将 \triangle A B C 分成周长差为 4 \ {cm } 的两部分，求 \triangle A B C 的边长.
解：设 A B = x {cm } , B C = y {cm } . \left\{ { \begin{array} { l } { 2 x + y = 2 1 } \\ { x - y = 4 , } \end{array} } \right. ， \left\{ { \begin{array} { l } { x = 8 } \\ { y = 4 . } \end{array} } \right.
① 当 x > y 时，根据题意，得 解得（20号
： \triangle A B C 的三边长分别为 ^ { 8 } { ~cm } , 8 { ~cm } , 4 { ~cm }
（20 ② 当 x { < } y 时，根据题意，得 \left\{ { \begin{array} { l } { 2 x + y = 2 0 } \\ { y - x = 4 , } \end{array} } \right. 解得 \scriptstyle \left\lceil x = { / { 1 6 } { 3 } } \right\{ \scriptstyle | { y = { / { 2 8 } { 3 } } } . 的三边长分别为 / { 1 6 } { 3 } / { 1 6 } { 3 } 28
* \triangle A B C cm cm cm.3

小专题1三角形的中线、角平分线、高线的运用

类型1利用中线解决面积问题

1.如图， A D 是 \triangle A B C 的中线， E 是 A D 的中点，连接 B E , C E . 若 \triangle A B C 的面积是8，则阴影部分的面积为 (B

A.2 B.4 C.6 D.8

第1题图

第2题图

第4题图

2.如图，在 \triangle A B C 中，已知 _ { D , E , F } 分别为 B C , A D , C E 的中点.

(1)若 S _ { \triangle A B C } = 1 ，则 \begin{array} { r l } { S _ { \triangle B E F } = } & { { } / { 1 } { 4 } } \end{array} (2)若 S _ { \triangle B F C } = 1 ，则 S _ { \triangle A B C } = \underline { { { 4 } } }

3.【转化思想】如图， D , E 分别是 \triangle A B C 的边 A B , B C 上的点， A D = 2 B D , B E = C E ，设 \triangle A D F 的面积为 S _ { 1 } , \triangle C E F 的面积为 S _ { 2 } .若 S _ { \triangle A B C } = 6 ，求 S _ { 1 } { - } S _ { 2 } 的值.

第5题图

解 \begin{array} { r } { { ~ \Lambda ~ } ^ { \circ } , { B } { E } = \mathbb { C } \mathbb { E } , S _ { \Delta A B C } = 6 } \end{array}
\therefore S _ { \triangle A E C } = / { 1 } { 2 } S _ { \triangle A B C } = / { 1 } { 2 } x 6 = 3 . （20号
∵ AD=2BD,S△ABc=6,
\therefore S _ { \triangle A C D } = { / { 2 } { 3 } } S _ { \triangle A B C } = 4 .
\therefore S _ { 1 } - S _ { 2 } = ( S _ { \Delta A C D } - S _ { \Delta A F C } ) - ( S _ { \Delta A E C } - S _ { \Delta A F C } ) = S _ { \Delta A C D } - S _ { \Delta A E C } = 4 - 3 = 1 ,

在三角形中，若遇到三角形的中线，就能得到两条相等的线段；三角形的任意一条中线能把三角形分成面积相等的两部分.

方法指导

类型2三角形角平分线的应用

4.(1)如图 1 , A D 是 \triangle A B C 的角平分线，则 \angle B A C = 2 \angle B A D (2)如图2,三角形的三条角平分线相交于一点，交点在三角形的内部

5.如图， A D 为 \triangle A B C 的角平分线， D E / / A B 交 A C 于点 E .若 \angle B A C = 1 0 0 ^ { \circ } ，则 \angle A D E = { \bf 5 0 ^ { \circ } }

6.如图， A D 是 \triangle A B C 的角平分线， P 为 A D 上一点， P M / / A C 交 _ { A B } 于点 M , P N / / A B 交 A C 于点N .求证： P A 平分 \angle M P N

证明： \stackrel { \circ \circ } { \circ } A D 是 \triangle A B C 的角平分线，
\therefore \angle B A D = \angle C A D .
∵ PM// AC,PN// AB,
\therefore \angle A P M = \angle P A N , \angle A P N = \angle P A M .
（20号 \begin{array} { r } { { ~ \Lambda ~ } ^ { \circ } , \angle A P M = \angle A P N . } \end{array} （204号
∴PA平分 \angle M P N

类型3 三角形高线的应用题型1等面积法在三角形高线问题中的应用

7.【教材母题】（教材P1O习题T7)如图，在 \triangle A B C 中，若 A B { = } 2 , B C { = } 4 ，则 \triangle A B C 的高 A D 与 C E 的比是1:2.(提示：利用三角形的面积公式)

第7题图

变式题图

【变式】 如图， A B \bot B D 于点 B , A C \bot C D 于点 c ，且 A C 与 B D 相交于点 E .已知 A E = 5 , D E = 2 .C D { = } { / { 9 } { 5 } } ，则 \vert A B 的长为 / { 9 } { 2 }

方法指导

在三角形的两条边和这两条边上的高这四个量中，已知其中的三个量，可用等面积法求第四个量.

8.如图，在 \triangle A B C 中， A B = A C , D E \bot A B , D F \bot A C , B G \bot A C 垂足分别为 \varepsilon , F , G . 求证： D E + D F = BG.

证明：连接 A D
（20号 { ~ ^ { o } ~ } S _ { \Delta A B C } = S _ { \Delta A B D } + S _ { \Delta A D C } ,
\therefore { / { 1 } { 2 } } A C * B G = { / { 1 } { 2 } } A B * D E + { / { 1 } { 2 } } A C * D F . 叉∵AB=AC,:DE+DF=BG.

方法指导

遇到垂线时，先观察垂线在不在某个三角形中，若不在，需要连接辅助线，将垂线放到一个三角形中去，然后利用三角形的面积进行换算.

题型2分类讨论思想在高线问题中的应用

9.已知 A D 是 \triangle A B C 的高， \angle B A D = 6 0 ^ { \circ } \angle C A D = 2 0 ^ { \circ } ，则 \angle B A C = 8 0 ^ { \circ } { \ �lfloor { 4 0 ^ { \circ } } }

10.已知 _ { A D , A E } 分别是 \triangle A B C 中边 B C 上的高和中线，且 A D { = } 6 , E D { = } 3 , C D { = } 2 ，求 \triangle A B C 的面积

解：如图1，当高 _ { A D } 在 \triangle A B C 的内部时，则 \scriptstyle { E C = E D + C D = 5 , \therefore B C = 2 E C = 1 0 . }
\therefore S _ { \Delta A B C } = / { 1 } { 2 } x 1 0 x 6 = 3 0 : （20
如图2，当高 _ { A D } 在 \triangle A B C 的外部时，则 \scriptstyle { \mathbb { E } } C = { \mathbb { E } } D - C D = 1 , \therefore B C = 2 , E C = 2
\therefore S _ { \triangle A B C } = / { 1 } { 2 } x 2 x 6 = 6 .

图1

图2

方法指导

涉及三角形高的问题时，如果题目没有给出图形，一定要画出图形，然后分类讨论.

13.3 三角形的内角与外角

13.3.1 三角形的内角

第1课时 三角形的内角和

基础题

知识点1 三角形的内角和定理

1.(教材P16习题T1变式)写出下列图形中 x 的值：

1.(2024·福州长乐区期中)如果一个三角形的三个内角的度数之比为 2 : 3 : 5 ，那么这个三角形是（B

A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法判断

3.(教材P13练习T2变式)如图，点 \mathbf { \nabla } _ { E } , D 分别在 A B A C 上.若 \angle B = 3 0 ^ { \circ } \angle C = 5 5 ^ { \circ } ，则 \angle 1 + \angle 2 的 度数为 (A)

A. 8 5 ^ { \circ } （204号 B.80° C. 7 5 ^ { \circ } （20 D. { 7 0 } ^ { \circ }

第3题图

第6题图

第7题图

第8题图

第9题图

4.(教材P16习题T3变式)已知在 \triangle A B C 中， \angle B 比 \angle A 大 { 2 0 } ^ { \circ } \angle C 比 \angle B 大 { 2 0 } ^ { \circ } ，则 \angle A = 4 0 ^ { \circ } 5.为了证明“三角形的内角和是 1 8 0 ^ { \circ } ，林老师给出了如图所示的作辅助线的方法，请利用图形证明三角形的内角和是 { 1 8 0 } ^ { \circ } ：

证明：DE//BC,DF//AC,
:∠B=∠EDA,∠A=∠FDB,∠C=∠DFB=∠EDF. 根据平角的定义，得 \angle F D B + \angle E D A + \angle E D F = 1 8 0 ^ { \circ } \therefore \angle A + \angle B + \angle C = 1 8 0 ^ { \circ } . （20

知识点2 三角形的内角和定理与三角形的角平分线、平行线的综合

6.(教材P12例1变式)如图，在 \triangle A B C 中， A D 平分∠BAC, \angle B = 7 0 ^ { \circ } \angle B A D = 3 0 ^ { \circ } ，则 \angle C 的度数为 (D）

A. 3 5 ^ { \circ } （204号 { B } , 4 0 ^ { \circ } （204 C. 4 5 ^ { \circ } （204号 { { D } } . { 5 0 } ^ { \circ }

7.(2023·徐州)如图，在 \triangle A B C 中，若DE//BC,FG//AC, \angle B D E = 1 2 0 ^ { \circ } \angle D F G = 1 1 5 ^ { \circ } ，则 \angle C = 55

知识点3 三角形的内角和定理的应用

8.A华师二附中校本经典题如图，这是一个建筑工地的三角形支撑架 A B C ，它的上部 \angle A C B 被一个长方形钢架遮挡，测量得 \angle A = 6 0 ^ { \circ } \angle B = 8 0 ^ { \circ } ，则被遮挡的 \angle A C B 的度数为 (B)

A. { 3 0 } ^ { \circ } （204号 \boldsymbol { { B } } . 4 0 ^ { \circ } （204号 { C } . 5 0 ^ { \circ } （204号 { { D } } . { 6 0 } ^ { \circ }

9.（教材P12例2变式)如图， B 岛在 A 岛的南偏西 5 5 ^ { \circ } 方向， B 岛在 C 岛的北偏西 { { 6 0 } ^ { \circ } } 方向， C 岛在 A 岛的南偏东 { 3 0 } ^ { \circ } 方向，则从 B 岛看 ^ { A , C } 两岛的视角 \angle A B C 的度数为 6 5 ^ { \circ }

中档题

0.如图，在 \triangle A B C 中， P 是 \triangle A B C 三条角平分线的交点，则 \angle P B C + \angle P C A + \angle P A B = (D

A.45° B.120° C.180° D. 9 0 ^ { \circ } （204号

第10题图

第11题图

第12题图

11.A北师大附属实验校本经典题如图，在 \triangle A B C 中， \angle A = 7 0 ^ { \circ } , \angle C = 3 0 ^ { \circ } , B D 平分 \angle A B C 交 A C 于点 D , D E / / A B ，交 B C 于点 E ，则 \angle B D E 的度数是 (B

A. { 3 0 } ^ { \circ } （204号 { B } , 4 0 ^ { \circ } （204号 { C } . 5 0 ^ { \circ } （204号 D.60°

12.(2023·十堰)将一副三角板按如图所示的方式放置( \angle C = 3 0 ^ { \circ } \angle D = 4 5 ^ { \circ } ，点 A 在 D E 上，点 F 在 B C 上.若 \angle E A B = 3 5 ^ { \circ } ，则 \angle D F C = 1 0 0 ^ { \circ }

13.(教材P22复习题T5变式)如图， \angle B = 4 2 ^ { \circ } , \angle 1 - 1 0 ^ { \circ } = \angle A , \angle A C D = 6 4 ^ { \circ } 求证： A B / / C D

证明 \therefore \angle B = 4 2 ^ { \circ } , \angle 1 - 1 0 ^ { \circ } = \angle A , \angle B + \angle 1 + \angle A = 1 8 0 ^ { \circ } （204 \therefore 4 2 ^ { \circ } + \angle 1 + \angle 1 - 1 0 ^ { \circ } = 1 8 0 ^ { \circ } 业
（204号 \angle 1 = 7 4 ^ { \circ }
（20号 \angle A = 6 0 ^ { \circ }
\therefore \angle D C A = \angle A . （204号
:AB // CD.

14. A|北京四中校本经典题如图，在 \triangle A B C 中， O 是 \triangle A B C 角平分线的交点.已知 \angle A B C = 6 0 ^ { \circ } \angle A C B = 8 0 ^ { \circ } ，求 \angle B O C 的度数.

综合题

15. A|石家庄外国语校本经典题如图， \triangle A B C 是一张纸片，把 \angle C 沿 D E 折叠，使点 C 落在点 C ^ { \prime } 的位置.

(1)当 \angle C = 4 5 ^ { \circ } 时，求 \angle 1 + \angle 2 的度数.(2)若 \angle C = α ，请直接写出 \angle 1 + \angle 2 的度数.（用含 α 的代数式表示）

角 \ell : ( 1 ) *s { \_ { C } } = 4 5 ^ { \circ } , { \_ { C D E } } + { \_ { C E D } } + { \_ { C } } = 1 8 0 ^ { \circ } , （204
\therefore \angle C D E + \angle C E D = 1 8 0 ^ { \circ } - 4 5 ^ { \circ } = 1 3 5 ^ { \circ } .
由折叠可知， \angle C D E = \angle C ^ { \prime } D E \angle C E D = \angle C ^ { \prime } E D
\therefore \angle C ^ { \prime } D E + \angle C ^ { \prime } E D = \angle C D E + \angle C E D = 1 3 5 ^ { \circ }
\therefore \angle 1 + \angle 2 = 3 6 0 ^ { \circ } - ( \angle C D B + \angle C B D ) - ( \angle C ^ { \prime } D E + \angle C ^ { \prime } E D ) = 3 6 0 ^ { \circ } - 1 3 5 ^ { \circ } - 1 3 5 ^ { \circ } = 9 0 ^ { \circ } .
(2） \angle 1 + \angle 2 = 2 0 .

第2课时直角三角形的两个锐角互余

基础题

知识点1 直角三角形的两个锐角互余

1.如图，在 { R t } \triangle A B C 中， \angle C = 9 0 ^ { \circ } \angle B = 5 6 ^ { \circ } ，则 \angle A 的度数为 A

A.34° B.44° C. 1 2 4 ^ { \circ } （204号 D. 1 3 4 ^ { \circ }

第1题图

第2题图

第7题图

2.如图，某同学将一块三角板叠放在直尺上，则 \angle 1 + \angle 2 =

（ C ）

A.60° { B } , 7 5 ^ { \circ } { ~ C ~ . ~ } 9 0 ^ { \circ } （204号 D.105°

3.（1)一个直角三角形的两个锐角相等，则这两个相等的锐角的度数为 4 5 ^ { \circ } （204号(2)在 \triangle A B C 中，已知 \angle A = 9 0 ^ { \circ } ，且 \angle B - \angle C = 2 0 ^ { \circ } ，则 \angle C 的度数为 3 5 ^ { \circ }

4 A|北师大附属实验校本经典题已知：如图，在 { R t } \triangle A B C 中， \angle A C B = 9 0 ^ { \circ } C D \bot A B ，垂足为 D . 习证： \angle A = \angle D C B

证明：在 \mathbf { R t } \triangle A B C 中 \angle A C B = 9 0 ^ { \circ }
（20 \circ \angle A = 9 0 ^ { \circ } - \angle B .
:CD⊥AB,
（204号 \therefore \angle C D B = 9 0 ^ { \circ }
\therefore \angle D C B = 9 0 ^ { \circ } - \angle B .
（20号 \therefore \angle A = \angle D C B .

知识点2有两个角互余的三角形是直角三角形

5.已知 \angle A = 3 7 ^ { \circ } \angle B = 5 3 ^ { \circ } ，则 \triangle A B C 为

（ C ）

A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.以上都不对

6.（教材P14练习T2变式)如图， E 是 \triangle A B C 的边 A C 上的一点，过点 E 作 E D \perp A B ，垂足为 D 若\angle 1 = \angle 2 ，则 \triangle A B C 是直角三角形吗？为什么？

解： \triangle A B C 是直角三角形.理由如下：： * _ { E D \perp A B }
{ \bf \Pi } ^ { \circ } \angle A D E = 9 0 ^ { \circ } , \Delta A D E 是直角三角形.（204号 \therefore \angle 1 + \angle A = 9 0 ^ { \circ } .
又： \angle 1 = \angle 2 ，
\angle 2 + \angle A = 9 0 ^ { \circ } . （20号
： \triangle A B C 是直角三角形.

易错点 直角三角形中的直角顶点不确定导致漏解

7.如图，已知 \angle A O D = 3 0 ^ { \circ } , C 是射线 O D 上的一个动点.在点 \mid C \mid 运动的过程中，当△AOC恰好是直角三角形时， \angle A 的度数为 { 6 \mathbf { 0 } } ^ { \circ } 或 9 0 ^ { \circ }

中档题

8.（2023·厦门思明区期末)如图所示的是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Cobb 角 \angle O 的大小，需将 \angle O 转化为与它相等的角，则图中与 \angle O 相等的角是 (B)

A. \angle B E A B. \angle D E B （204号 C. \angle E C A D.∠ADO

第8题图

第9题图

第11题图

9.将一副三角板按如图所示的位置摆放，其中 O , E , F 在直线 \mathbf { \xi } _ { l } 上，点 B 恰好落在边 D E 上.若 \angle 1 = { 2 0 } ^ { \circ } \angle A = 4 5 ^ { \circ } \angle A O B = \angle D E F = 9 0 ^ { \circ } ，则 \angle A B E 的度数为 (B)

A. { 6 0 } ^ { \circ } （204号 { B } , 6 5 ^ { \circ } （204 { { ~ C ~ } } . 7 0 ^ { \circ } D.75°

10.下列条件： { 1 } \angle A + \angle B = \angle C ; { 2 } \angle A : \angle B : \angle C = 1 : 2 : 3 : { 3 } \angle A = 9 0 ^ { \circ } - \angle B ; { 4 } 3 \angle A = 2 \angle B =\angle C ，其中能确定 \triangle A B C 是直角三角形的有 (C)

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

11.如图，在 \triangle A B C 中， \angle A C B = 9 0 ^ { \circ } ，将 \triangle A B C 沿 C D 折叠，使点 B 恰好落在边 A C 上的点 E 处.若\angle A = 2 4 ^ { \circ } ，则 \angle E D C = 6 9 ^ { \circ }

12. A|人大附中校本经典题如图1，在 \triangle A B C 中， A D \bot B C 于点 D , C E \bot A B 于点 E (1)猜测 \angle 1 与 \angle 2 的大小关系，并说明理由.

(2)如图2，如果 \angle A B C 是钝角，其余条件不变，(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由，

解： ( 1 ) \angle 1 = \angle 2 . 理由如下：
1 \because A D \bot B C , C E \bot A B , \therefore \triangle A B D 和 \triangle B C \mathbb { E } 都是直角三角形.\therefore \angle 1 + \angle B = 9 0 ^ { \circ } , \angle 2 + \angle B = 9 0 ^ { \circ } , \therefore \angle 1 = \angle 2 .
(2)(1)中的结论仍然成立.理由如下：
· \therefore A D \bot B C , C E \bot A B , \therefore \angle D = \angle E = 9 0 ^ { \circ } . （204号
\therefore \angle 2 + \angle A B D = 9 0 ^ { \circ } , \angle 1 + \angle C B E = 9 0 ^ { \circ } .
又： \angle A B D = \angle C B E , \therefore \angle 1 = \angle 2 . （204号

图1

图2

综合题

13.【分类讨论思想】已知 B D 为 \triangle A B C 的角平分线， \angle A B C = 6 0 ^ { \circ } \angle C D B = 1 1 0 ^ { \circ } , E 为线段 B C 上一点.当 \triangle D C E 为直角三角形时，求 \angle B D E 的度数.

解：BD为 \triangle A B C 的角平分线 \angle A B C = 6 0 ^ { \circ } , \therefore \angle D B C = 3 0 ^ { \circ }
\gtrsim \because \angle D B C + \angle C D B + \angle C = 1 8 0 ^ { \circ } , \angle C D B = 1 1 0 ^ { \circ } , \therefore \angle C = 4 0 ^ { \circ } .
如图1，当 \angle E D C = 9 0 ^ { \circ } 时，则 \angle B D E = 1 1 0 ^ { \circ } - 9 0 ^ { \circ } = 2 0 ^ { \circ }
如图2，当 \angle C E D = 9 0 ^ { \circ } 时，则 \angle E D C = 9 0 ^ { \circ } - \angle C = 9 0 ^ { \circ } - 4 0 ^ { \circ } = 5 0 ^ { \circ } .
\therefore \angle B D E = 1 1 0 ^ { \circ } - 5 0 ^ { \circ } = 6 0 ^ { \circ } ,
综上所述， \angle B D E 的度数为 2 0 ^ { \circ } 或 { 6 \mathbf { 0 } } ^ { \circ }

图1

图2

周测 ( 1 3 . 1 { ~ } 1 3 . 3 . 1 ) （204号

温馨提示

学生用书单独成册

（时间：40分钟满分：100分）

一、选择题(每小题4分，共32分）

1.下列长度的三根小木棒能构成三角形的是（B）

车 _ { { A . ~ 7 ~cm , 4 ~cm , 2 ~cm } } （20 { B . 5 ~cm , 5 ~cm , 6 ~cm } 1\begin{array} { r l r } { { C . ~ 3 ~cm } , 4 ~ {cm } , 8 ~ {cm } } & { { } } & { { D . ~ 2 ~cm } , 3 ~ {cm } , 5 ~ {cm } } \end{array} （204号

2.在数学课上，同学们在练习画边 A C 上的高时，画出的以下四个图形中正确的是（C）

3.椅子是一种日常生活家具，现代的椅子追求美观时尚，一些椅子被赋予了更多科技，使人类的生活更加方便.下列椅子的设计中利用了“三角形稳定性”的是 (C)

4.在 \triangle A B C 中，若 \angle A = \angle B - \angle C ，则 \triangle A B C 是 （ B ）

A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.不确定

5.如图， \triangle A B C 为直角三角形， \angle A C B = 9 0 ^ { \circ } C D \bot A B ，则图中所有与 \angle 1 互余的角是（C）

A. \angle B
B. \angle A
C. \angle B C D 和 \angle A D. \angle B C D

6.若等腰三角形的周长为 1 0 \ {cm } ,其中一边长为2 \ {cm } ，则该等腰三角形的底边长为 （A）

A. 2 \ {cm } （204号 B. 4 ~ { {cm } } （204号 { C } . 6 \ {cm } （204号 D. 8 \ {cm }

7.如图，在 \triangle A B C 中， B { \cal F } 平分 \angle A B C , C F 平分\angle A C B \angle A = 7 0 ^ { \circ } ，则 \angle F = (A)

A. 1 2 5 ^ { \circ } （204号 B.130° C.135° D. { { 1 4 0 } ^ { \circ } }

第7题图

第8题图

8.如图，将 \triangle A B C 沿 D E , H G , E F 翻折，三个顶点均落在点 o 处.若 \angle 1 = 1 1 9 ^ { \circ } ，则 \angle 2 的度数为 （B）

A. 5 9 ^ { \circ } （2 （204号 { B } , 6 1 ^ { \circ } （204号 { C } . 6 9 ^ { \circ } （2 D. 7 1 ^ { \circ }

二、填空题(每小题4分，共24分）

9.如图，在 \triangle A B D 中， \angle A 的对边是 BD

第9题图

第10题图

10.如图所示的是用一副三角板拼成的图案，则\angle A E C 的度数为 7 5 ^ { \circ } （20号

11.如图，经测量， B 处在 A 处的南偏西 { 6 0 } ^ { \circ } 的方向， C 处在 A 处的南偏东 { 2 0 } ^ { \circ } 方向， B E 为正北方向，且 \angle C B E = 1 0 0 ^ { \circ } ，则 \angle A C B 的度数是 { 6 0 } ^ { \circ } （2

第11题图

第12题图

12.如图，在 \triangle A B C 中， A D 为边 B C 上的中线，D E \bot A B 于点 E , D F \bot A C 于点 F , A B = 3 0A C = 4 D F { = } 1 . 5 ，则 D E = 2

13.如图，已知点 A , B , C 在直线 a 上，点 D , E 在直线 b 上.以点 A , B , C , D , E 中的任意三点作为三角形的顶点，可以组成的三角形共有9个.

14.已知 B D , C E 是 \triangle A B C 的高，且 B D , C E 所在直线相交所成的4个角中，有一个角的度数是 4 5 ^ { \circ } ，则 \angle B A C 的度数为 1 1 3 5 ^ { \circ } \lesseqqgtr sqrt [ 4 ] { 5 } ^ { \circ } （204号

三、解答题（共44分）

15.(8分)如图， A B = B C = A C , A D = C D , A C 与 B D 相交于点 O

(1)写出以 _ { A B } 为边的三角形，(2)找出图中的等腰三角形和等边三角形.

解： ( bf { 1 } ) bf { \nu } _ { A B } 为边的三角形有\triangle A B C , \triangle A B D , \triangle A B O . (2)图中的等腰三角形有 \triangle A B C \triangle A C D ; 等边三角形有 \triangle A B C

16.(10分)如图， A D 是 \triangle A B C 的高， A E , B F 是\triangle A B C 的角平分线，且 \angle C B F = 3 0 ^ { \circ } ：

(1)求 \angle B A D 的度数.
(2)若 \angle A F B = 7 0 ^ { \circ } ，求 \angle D A E 的度数.
解：(1)由题意可知， \angle A B C =
2 \angle C B F = 6 0 ^ { \circ } ：
： { \bf \nabla } _ { * } { \bf { A } } D { \bf \nabla } 是 \triangle A B C 的高，
（204号 \therefore \angle A D B = 9 0 ^ { \circ }
\therefore \angle B A D = 1 8 0 ^ { \circ } - \angle A B D - \angle A D B = 3 0 ^ { \circ } .

(2)由题意可知， \angle B A C = 1 8 0 ^ { \circ } - \angle A F B - \angle A B F =
1 8 0 ^ { \circ } - 3 0 ^ { \circ } - 7 0 ^ { \circ } = 8 0 ^ { \circ } .
： \mathbf { \nabla } _ { A E } 平分 \angle B A C
\therefore \angle B A E = / { 1 } { 2 } \angle B A C = 4 0 ^ { \circ } .
\therefore \angle D A E = \angle B A E - \angle B A D = 4 0 ^ { \circ } - 3 0 ^ { \circ } = 1 0 ^ { \circ } .

17.（12分)实践教育：为提高学生火灾逃生能力，学校组织学生进行模拟逃生演练，需要制作若干个铁质三角形框架模拟火灾中坍塌的环境.

数据收集：设计小组成员到建材市场收集数据如下表所示.

数据应用：设计小组需要制作两边长分别为2米和4米，第三边长为奇数的不同规格的三角形框架.

(1)根据市场能购买到的铁条制作满足上述条件的三角形框架，共有2种制作方案.

(2)若(1)中每种规格的框架各制作一个，则购买铁条共需多少钱？

解：当三角形框架的边长为 2 , 3 , 4 . 时，所需费用为 6 （204号 + 8 + 1 0 = 2 4 ( 元 )
当三角形框架的边长为2，4，5时，所需费用为 ^ { 6 + } 1 0 + 1 5 = 3 1 ( \bar { π } ) .
\begin{array} { r } { \phantom { / { 1 } { 2 } } 0 2 4 + 3 1 = 5 5 ( π ) . } \end{array} （204号
答：购买铁条共需55元.

18.(14分)如图1，将三角板 ( \triangle M P N , \angle M P N = 9 0 ^ { \circ } 放置在 \triangle A B C 上（点 P 在 \triangle A B C 内），三角板的两边 P M , P N 恰好经过点 B 和点C ，我们来探究 \angle A B P 与 \angle A C P 是否存在某种数量关系.

（1）特例探究：若 \angle A = 5 0 ^ { \circ } ，则 \angle P B C + \angle P C B = 9 0 ^ { \circ } ， \angle A B P + \angle A C P = { 4 0 } ^ { \circ }

(2)类比探究：探究 \angle A B P + \angle A C P 与 \angle A 之间的数量关系.

(3)变式探究：如图2，改变三角板的位置，使点 P 在 \triangle A B C 外，三角板的两边 P M =P N 仍恰好经过点 B 和点 C ，探究\angle A B P \angle A C P \angle A 之间的数量关系.

图1
图1

图2
图2

9 9 / ( 2 ) / ( \angle P B C + \angle P C B ) + ( \angle A B P + \angle A C P ) +
\angle A = 1 8 0 ^ { \circ }
\therefore 9 0 ^ { \circ } + ( \angle A B P + \angle A C P ) + \angle A = 1 8 0 ^ { \circ } .
\therefore \angle A B P + \angle A C P = 9 0 ^ { \circ } - \angle A . （204号
(3)设 \scriptstyle A B 交 P C 于点 0
∵∠AOC=∠POB，∠ACO+∠A+∠AOC=∠P+
\angle P B O + \angle P O B = 1 8 0 ^ { \circ }
\therefore \angle A C O + \angle A = \angle P + \angle P B O
即 \angle A C P + \angle A = 9 0 ^ { \circ } + \angle A B P .
\therefore \angle A C P - \angle A B P = 9 0 ^ { \circ } - \angle A . （204号

13.3.2 三角形的外角

基础题

知识点1 三角形的外角

1.如图，在 \angle 1 , \angle 2 , \angle 3 中，是 \triangle A B C 外角的是

（ C ）

A. \angle 1 （204号 B. \angle 2 , \angle 3 （204号 C.∠1,∠3 D. \angle 1 , \angle 2 , \angle 3

第1题图

第2题图

第3题图

知识点2 三角形的外角的性质

2.(2024·厦门外国语学校期中)如图， \angle A C D 是△ABC的外角.若 \angle A C D = 1 2 0 ^ { \circ } \angle B = 4 0 ^ { \circ } ，则\angle A = (C)

{ { A } } . { 4 0 } ^ { \circ } { B } . 7 0 ^ { \circ } （204号 { { C } } . 8 0 ^ { \circ } { { D } } . 9 0 ^ { \circ }

.（教材P17习题T6变式)如图， A B / / C D . 若 \angle A = 6 5 ^ { \circ } \angle E = 3 8 ^ { \circ } ，则 \angle C 的度数为 A

A. 2 7 ^ { \circ } （204号 { B } , 3 7 ^ { \circ } （204号 （204号 { { C } } . 3 8 ^ { \circ } （204号 \mathsf { D } . 4 7 ^ { \circ }

4.（2023·莆田期末)如图1所示的是一路灯的实物图，图2所示的是该路灯的平面示意图.已知\angle M A C = 5 0 ^ { \circ } \angle A C B = 2 0 ^ { \circ } ，则图2中 \angle C B A 的度数为 3 0 ^ { \circ }

图1 图2

第5题图

第4题图

第6题图

第7题图

5.如图，已知直线 l _ { 1 } , l _ { 2 } , l _ { 3 } 两两相交，且 l _ { 1 } \perp l _ { 3 } .若 \angle α = 5 0 ^ { \circ } ，则 \angle β 的度数为 \underline { { \underline { { 1 } } } } \underline { { 4 0 } } ^ { \circ } （20号

6.如图， A D 是 \angle B A C 的平分线， \angle B A C = 1 1 0 ^ { \circ } \angle A D C = 8 0 ^ { \circ } ，则 \angle B 的度数是 2 5 ^ { \circ } （204号

7.如图，已知 A D 是 \triangle A B C 的高， A E 平分 \angle B A C , \angle B = 2 8 ^ { \circ } \angle A C D = 5 8 ^ { \circ } ，则 \angle A E D 的度数为 4 3 ^ { \circ }

8.(教材P17习题T8变式)如图，已知 D 为 \triangle A B C 的边 B C 延长线上一点， D F \bot A B 于点 F ，且交 A C 于点 E E , \angle A = 3 0 ^ { \circ } \angle D = 5 5 ^ { \circ } 求：

第9题图

( 1 ) \_ A C D 的度数.

( 2 ) \angle F E C 的度数.

解 : ( 1 ) : : D F \ " \ " \ " { \smile } A B , : : \angle B F D = \angle A F E = 9 0 ^ { \circ } , : : \angle B = 9 0 ^ { \circ } - \angle D = 3 5 ^ { \circ } .
\therefore \angle A C D = \angle B + \angle A = 3 5 ^ { \circ } + 3 0 ^ { \circ } = 6 5 ^ { \circ } .
( 2 ) \angle F E C = \angle A + \angle A F E = 3 0 ^ { \circ } + 9 0 ^ { \circ } = 1 2 0 ^ { \circ } 。

知识点3 三角形的外角和

归纳：三角形的外角和等于 3 6 0 ^ { \circ }

9.(教材P15例4变式)如图， \angle B A E , \angle C B F , \angle A C D 是 \triangle A B C 的三个外角.若 \angle A C D = 1 2 5 ^ { \circ } ，则 \angle B A E + \angle C B F = 2 3 5 ^ { \circ } \quad .

中档题

10. A|北师大附属实验校本经典题如图，在 . \triangle A B C 中，点 D 在边 A C 上(不与端点重合),连接 B D ，则 \angle 1 \angle 2 , \angle 3 的大小关系是 （ A

A. \angle 1 < \angle 2 < \angle 3 B. \angle 1 < \angle 3 < \angle 2 C. \angle 3 < \angle 2 < \angle 1 D. \angle 2 < \angle 1 < \angle 3

第10题图

第11题图

第12题图

第13题图

11.新考向情境素材如图，这是一台起重机的工作简图，前后两次吊杆位置 O P _ { 1 } O P _ { 2 } 与吊绳的夹角分别是 { 3 0 } ^ { \circ } 和 { 7 0 } ^ { \circ } ，则吊杆前后两次的夹角 \angle P _ { 1 } O P _ { 2 } = (C)

A. { 6 0 } ^ { \circ } （204号 { { B } } . 5 0 ^ { \circ } （204号 （204号 { C . 4 0 } ^ { \circ } （204号 D. { 3 0 } ^ { \circ }

12.如图所示，在 \triangle A B C 中， D 是边 B C 上一点， \angle 1 = \angle 2 , \angle 3 = \angle 4 , \angle B A C = 6 3 ^ { \circ } ，则 \angle D A C = 2 4 ^ { \circ } 13.如图，在 \triangle A B C 中， \angle A B C = 4 0 ^ { \circ } \angle A C D = 7 6 ^ { \circ } , I B E 平分 \angle A B C , C E 平分 \triangle A B C 的外角 \angle A C D 则 \angle E = \underline { { \ 1 8 ^ { \circ } } }

14. A石家庄外国语校本经典题如图，在 \triangle A B C 中， D 为 A C 延长线上一点， E 为边 _ { A B } 上一点，连接D E 交 B C 于点 F .已知 \angle B C D = 9 2 ^ { \circ } \angle A = 2 7 ^ { \circ } \angle B E D = 4 4 ^ { \circ }

(1)求 \angle B 的度数.
（2）求 \angle B F D 的度数.
解 : ( 1 ) \because \angle B C D = 9 2 ^ { \circ } , \angle A = 2 7 ^ { \circ } , \angle B C D \therefore △ABC的外角，
\therefore \angle B C D = \angle A + \angle B ,
\therefore \angle B = \angle B C D - \angle A = 6 5 ^ { \circ } . （2号
0 2 ) \phantom { A } _ { \circ } ^ { \circ , \circ } \triangle B \overline { { \mathbb { F } } } \overline { { \mathbb { D } } } 是 \triangle \mathbb { B } \mathbb { E } \mathbb { F } 的外角，
\therefore \angle B F D = \angle B + \angle B E D = 6 5 ^ { \circ } + 4 4 ^ { \circ } = 1 0 9 ^ { \circ } .

综合题

15.如图，在 \triangle A B C 中， \angle A C B > \angle B , A D 平分 \angle B A C , P 为线段 A D 上的任意一点， E P \bot A D 交直线 B C 于点 E ：

(1)若 \angle B = 3 6 ^ { \circ } \angle A C B = 7 8 ^ { \circ } ，则 \angle E = \angle 1 ^ { \circ } (2)当点 P 在线段 A D 上运动时，求证： \angle E { = } / { 1 } { 2 } ( \angle A C B { - } \angle B ) 证明 \therefore \angle B + \angle B A C + \angle A C B = 1 8 0 ^ { \circ } , s = \angle B A C = 1 8 0 ^ { \circ } - ( \angle B + \angle A C B ) , \because A D 平分 \angle B A C , \therefore \angle B A D = / { 1 } { 2 } \angle B A C = 9 0 ^ { \circ } - / { 1 } { 2 } ( \angle B + \angle A C B ) . （204号\begin{array} { r l } & { \therefore \angle A D C = \angle B + \angle B A D = \angle B + 9 0 ^ { \circ } - / { 1 } { 2 } ( \angle B + \angle A C B ) = 9 0 ^ { \circ } - / { 1 } { 2 } ( \angle A C B - \angle B ) , \quad β = 1 , } \\ & { \stackrel { , , } { \ast } \angle B E \bot A D , \dot { \varepsilon } \ast \angle D P E = 9 0 ^ { \circ } , \dot { \varepsilon } \ast \angle A D C + \angle E = 9 0 ^ { \circ } , } \\ & { \therefore \angle E = 9 0 ^ { \circ } - \angle A D C = / { 1 } { 2 } ( \angle A C B - \angle B ) , } \end{array}

小专题2三角形的角平分线、高线的夹角模型

【母题】 A|清华附中校本经典题如图，在 \triangle A B C 中， A D 是高， A E 是角平分线.

(1)若 \angle B = 3 2 ^ { \circ } \angle C = 6 0 ^ { \circ } ，求 \angle D A E 的度数.
(2)若 \angle C - \angle B = 1 8 ^ { \circ } ，求 \angle D A E 的度数. 解 \begin{array} { r } { \iota _ { : } ( \mathbb { 1 } ) \stackrel { \circ \circ } { \circ } \angle B = 3 2 ^ { \circ } , \angle C = 6 0 ^ { \circ } , \stackrel { \circ } { \circ } \angle B A C = 1 8 0 ^ { \circ } - \angle B - \angle C = 8 0 ^ { \circ } , } \end{array} ： A \mathbb { E } 是 \triangle A B C 的角平分线，
:∠EAC=½∠BAC=44°.
： A D / / B 是高 { \therefore \angle A D C = 9 0 ^ { \circ } }
A \therefore \angle C = 6 0 ^ { \circ } , \therefore \angle D A C = 9 0 ^ { \circ } - \angle C = 3 0 ^ { \circ } .
\therefore \angle D A E = \angle E A C - \angle D A C = 4 4 ^ { \circ } - 3 0 ^ { \circ } = 1 4 ^ { \circ } .
（204号 ( 2 ) \because \angle C - \angle B = 1 8 ^ { \circ } , \therefore \angle C = 1 8 ^ { \circ } + \angle B .
\therefore \angle B A C = 1 8 0 ^ { \circ } - \angle B - \angle C = 1 8 0 ^ { \circ } - \angle B - ( 1 8 ^ { \circ } + \angle B ) = 1 6 2 ^ { \circ } - 2 \angle B . ∵AE是 \triangle A B C 的角平分线 , \therefore \angle E A C = / { 1 } { 2 } \angle B A C = 8 1 ^ { \circ } - \angle B . （204号
\begin{array} { c c c } { \because \angle A D C = 9 0 ^ { \circ } , \circ ^ { \circ } , \angle D A C = 9 0 ^ { \circ } - \angle C = 9 0 ^ { \circ } - ( 1 8 ^ { \circ } + \angle B ) = 7 2 ^ { \circ } - \angle B , } \end{array} （204号 \therefore \angle D A E = \angle E A C - \angle D A C = ( 8 1 ^ { \circ } - \angle B ) - ( 7 2 ^ { \circ } - \angle B ) = 9 ^ { \circ } .

变式角度1 高线在三角形外部，与三角形的角平分线经过三角形的同一个顶点

1.如图，在 \triangle A B C 中， \angle B = 2 0 ^ { \circ } \angle A C B = 1 1 0 ^ { \circ } , A A E 平分 \angle B A C , A D \perp B D 于点 D ，则 \angle D A E 的度数为 4 5 ^ { \circ } （20

变式角度2垂线在三角形内部，与三角形的角平分线交于任意一点

2.如图，在 \triangle A B C 中， \angle B { < } \angle C , A D 平分 \angle B A C , E 为 A D （不与点 A , D 重合)上任意一点， E F \bot B C 于点 F . 若 \angle B = 4 6 ^ { \circ } \angle D E F = 1 4 ^ { \circ } ，求 \angle C 的度数.

解 : \stackrel { \circ \circ } { \circ } \underline { { \mathbb { E } } } \underline { { \mathbb { F } } } \perp B C , \stackrel { \circ } { \circ } \angle \underline { { \mathbb { E } } } \underline { { \mathbb { F } } } \underline { { D } } = 9 0 ^ { \circ } , \stackrel { \circ } { \circ } \angle D \underline { { \mathbb { E } } } \underline { { \mathbb { F } } } + \angle \underline { { \mathbb { E } } } \underline { { D } } \underline { { \mathbb { F } } } = 9 0 ^ { \circ } ,
： \angle D E F = 1 4 ^ { \circ } , \therefore \angle E D F = 9 0 ^ { \circ } - \angle D E F = 7 6 ^ { \circ } ∴∠ADB=∠DEF+∠EFD=104°.， * \angle B = 4 6 ^ { \circ } , \therefore \angle B A D = 1 8 0 ^ { \circ } - 4 6 ^ { \circ } - 1 0 4 ^ { \circ } = 3 0 ^ { \circ } . （2号
\because A D 平分 \angle B A C , \therefore \angle B A C = 2 \angle B A D = 2 x 3 0 ^ { \circ } = 6 0 ^ { \circ } .
\therefore \angle C = 1 8 0 ^ { \circ } - \angle B - \angle B A C = 1 8 0 ^ { \circ } - 4 6 ^ { \circ } - 6 0 ^ { \circ } = 7 4 ^ { \circ } .

变式角度3垂线在三角形外部，与三角形角平分线的延长线(或反向延长线)交于任意一点

3.如图，在 \triangle A B C 中，点 D , E 在边 B C 上， A D 平分 \angle B A C , F 为 D A 延长线上一点， F E \bot B C \angle B = 3 5 ^ { \circ } \angle C = 6 5 ^ { \circ } ，则 \angle D F E 的度数为 \underline { { \mathbb { 1 } } } 5 ^ { \circ } （20号

4.如图，在 \triangle A B C 中， A E 平分 \angle B A C ( \angle C > \angle B ) , F 为 A E 延长线上的一点，且F D \bot B C 于点 D .请猜想 \angle E F D 与 \angle B , \angle C 之间的数量关系，并加以证明.

解 : \angle E F D = / { 1 } { 2 } ( \angle C - \angle B ) . 证明： \because A E 平分 \therefore \angle B A C , \therefore \angle B A E = / { 1 } { 2 } \angle B A C = / { 1 } { 2 } ( 1 8 0 ^ { \circ } - \angle B - \angle C ) = 9 0 ^ { \circ } - / { 1 } { 2 } ( \angle B + \angle C ) . \begin{array} { r l } & { \because \angle A E C = \angle B + \angle B A E , \therefore \angle A E C = \angle B + 9 0 ^ { \circ } - / { 1 } { 2 } ( \angle B + \angle C ) = 9 0 ^ { \circ } + / { 1 } { 2 } ( \angle B - \angle C ) . } \\ & { \therefore \angle D E F = \angle A E C = 9 0 ^ { \circ } + / { 1 } { 2 } ( \angle B - \angle C ) . } \\ & { \therefore \angle E F D = 9 0 ^ { \circ } - [ 9 0 ^ { \circ } + / { 1 } { 2 } ( \angle B - \angle C ) ] = / { 1 } { 2 } ( \angle C - \angle B ) . } \end{array}

小专题3 利用数学思想方法求角度

类型1 方程思想

A|清华附中校本经典题如图，在△ABC中，∠C=∠ABC= \angle C = \angle A B C = / { 3 } { 2 } \angle A , B D 是边 A C 上的高.求 \angle D B C （204号的度数.

解：设 \angle A = x ^ { \circ } ，则 \angle C = \angle A B C = / { 3 } { 2 } x ^ { \circ }
， \angle A + \angle C + \angle A B C = 1 8 0 ^ { \circ } ，即 x + / { 3 } { 2 } x + / { 3 } { 2 } x = 1 8 0 ，解得 \scriptstyle x = 4 5 5
\therefore \angle A = 4 5 ^ { \circ } , \angle C = 6 7 . 5 ^ { \circ } . （20号
BD是边 A C 上的高，
： \angle B D C = 9 0 ^ { \circ }
\therefore \angle D B C = 9 0 ^ { \circ } - \angle C = 2 2 . 5 ^ { \circ } . （204号

【变式】如图，在 \triangle A B C 中，若 B D 是 \triangle A B C 的角平分线，且 \angle 1 = \angle A \angle 2 = \angle C ，则\angle A 的度数为 3 6 ^ { \circ } （20

类型2 整体思想

2 A|石家庄外国语校本经典题如图， \angle E C A , \angle D A C 分别是 \triangle A B C 的两个外角.

(1)若 \angle B = 5 0 ^ { \circ } ，求 \angle E C A + \angle D A C 的度数.
(2)若 \angle B = α ，请用含 α 的代数式表示 \angle E C A + \angle D A C 的度数.(直接写出结果)解 : ( 1 ) ^ { \circ \circ } \angle E C A = \angle B + \angle B A C , \angle D A C = \angle B + \angle A C B ,
且 \angle B + \angle B A C + \angle A C B = 1 8 0 ^ { \circ }
\therefore \angle E C A + \angle D A C = \angle B + \angle B A C + \angle B + \angle A C B = \angle B + ( \angle B + \angle B A C + \angle A C B ) = 5 0 ^ { \circ } + 1 8 0 ^ { \circ } 1 8 0 ^ { \circ } = 2 3 0 ^ { \circ }
( 2 ) \angle E C A + \angle D A C = 1 8 0 ^ { \circ } + α . （20

3.小明把一副含 4 5 ^ { \circ } , 3 0 ^ { \circ } 的直角三角板按如图所示的方式摆放，其中 \angle C = \angle F = 9 0 ^ { \circ } , \angle A = 4 5 ^ { \circ } .\angle D = 3 0 ^ { \circ } ，则 \angle α + \angle β = 210°

第3题图

第4题图

第5题图

第7题图

类型3 转化思想

4.如图， \angle A + \angle B + \angle C + \angle D + \angle E 的度数为 { 1 8 0 } ^ { \circ } （20号

5.小慧一笔画成了如图所示的图形，若 \angle A = 6 0 ^ { \circ } ，则 \angle B + \angle C + \angle D + \angle E 的度数为 （B）

A. { 1 8 0 } ^ { \circ } （204号 B.240° （204号 { { C } } . 2 7 0 { } ^ { \circ } D. 3 0 0 ^ { \circ }

类型4 分类讨论思想

6. A|石家庄外国语校本经典题 | \triangle A B C 的一个内角为 { 4 0 } ^ { \circ } ，且 \angle A = \angle B ，则 \angle C 的外角是_ { 8 0 } ^ { \circ } 或 \underline { { 1 4 0 } } ^ { \circ } （20

7.如图，在 \triangle A B C 中， \angle C = 9 0 ^ { \circ } \angle B = 3 4 ^ { \circ } ，点 M , N 分别在边 A B , B C 上,将△BMN沿MN折叠，使点 B 落在直线 A C 上的点 \boldsymbol { B ^ { \prime } } 处.当 \triangle A B ^ { \prime } M 为直角三角形时， \angle B N M 的度数为_ 7 3 ^ { \circ } 或101°

小专题4三角形中内、外角平分线的常见模型

模型归纳

【模型1】 两内角平分线的夹角

【模型3】两外角平分线的夹角

【模型2】一内角平分线与一外角平分线的夹角

【条件】 BP平分 \angle A B C C P 平分 \angle A C B

【结论】 \angle P = 9 0 ^ { \circ } + { / { 1 } { 2 } } \angle A

【条件】 BP平分∠ABC， C P 平分 \angle A C D

【结论】 \angle P { = } / { 1 } { 2 } \angle A

【条件】 B P 平分 \angle D B C , C P 平分 \angle B C E

【结论】 \angle P = 9 0 ^ { \circ } - { / { 1 } { 2 } } \angle A

模型探究

母题 两内角平分线的夹角

【例】（教材P22复习题T8节选)如图， \triangle A B C 的 \angle A B C 和 \angle A C B 的平分线 B E C F 相交于点G.求证:∠BGC=90°+1

证明：BE, C _ { \varepsilon } ^ { { F } } 分别是 \angle A B C , \angle A C B 的平分线 \therefore \angle G B C + \angle G C B = / { 1 } { 2 } ( \angle A B C + \angle A C B ) L\therefore \angle B G C = 1 8 0 ^ { \circ } - ( \angle G B C + \angle G C B ) = 1 8 0 ^ { \circ } - { / { 1 } { 2 } } ( \angle A B C + \angle A C B ) . 又： \angle A B C + \angle A C B = 1 8 0 ^ { \circ } - \angle A , （204号\therefore \angle B G C = 1 8 0 ^ { \circ } - / { 1 } { 2 } ( 1 8 0 ^ { \circ } - \angle A ) = 9 0 ^ { \circ } + / { 1 } { 2 } \angle A .

变式角度1一内角平分线与一外角平分线的夹角

【变式1】如图所示， P 是 \triangle A B C 的内角 \angle A B C 和外角 \angle A C D 的平分线的交点，试探究 \angle P 与\angle A 之间的数量关系.

解： \because \triangle A B C 的内角平分线 B P 与外角平分线 C P 交于点 { P } _ { γ }
\therefore \angle P B C = / { 1 } { 2 } \angle A B C , \angle P C D = / { 1 } { 2 } \angle A C D .
又： \angle A C D = \angle A + \angle A B C , \angle P C D = \angle P + \angle P B C ,
\begin{array} { l } { { \displaystyle { \stackrel { \circ } { \circ } } / { 1 } { 2 } ( \angle A + \angle A B C ) = \angle P + / { 1 } { 2 } \angle A B C , } } \\ { { \displaystyle { \stackrel { \circ } { \circ } } \angle P = / { 1 } { 2 } \angle A . } } \end{array}

变式角度2 两外角平分线的夹角

【变式2】如图所示， P 是 \triangle A B C 的两个外角 \angle E B C 和 \angle F C B 的平分线的交点，试探究 \angle P 与\angle A 之间的数量关系.

解 \therefore \angle E B C = \angle A C B + \angle A _ { 1 } , \therefore \angle E B C + \angle P C B = \angle A C B + \angle A + \angle B C B = 1 8 0 ^ { \circ } + \angle A _ { 1 } B C ,
： B P , C P 分别是/EBC， \angle F C B 的平分线，
\scriptstyle : \ < P B C = / { 1 } { 2 } { L } E B C , { L } P C B = / { 1 } { 2 } { L } F C B .
（20号 \therefore \angle P B C + \angle P C B = / { 1 } { 2 } ( \angle E B C + \angle P C B ) = / { 1 } { 2 } ( 1 8 0 ^ { \circ } + \angle A ) = 9 0 ^ { \circ } + / { 1 } { 2 } \angle A .
\therefore \angle P = 1 8 0 ^ { \circ } - ( \angle P B C + \angle P C B ) = 1 8 0 ^ { \circ } - ( 9 0 ^ { \circ } + / { 1 } { 2 } \angle A ) = 9 0 ^ { \circ } - / { 1 } { 2 } \angle A .

变式角度3 三等分线

【变式3】如图,已知 \angle P B C = / { 1 } { 3 } \angle D B C , \angle P C B = / { 1 } { 3 } \angle E C B ，试探究 \angle B P C 与 \angle A 之间的数量关系.

解 \therefore \angle B B C = \angle A C B + \angle A , \therefore \angle D B C + \angle B C B = \angle A C B + \angle A + \angle B C B = 1 8 0 ^ { \circ } + \angle A .
（20号 \because \angle P B C = / { 1 } { 3 } \angle D B C , \angle P C B = / { 1 } { 3 } \angle E C B ,
\therefore \angle P B C + \angle P C B = / { 1 } { 3 } ( \angle D B C + \angle E C B ) = / { 1 } { 3 } ( 1 8 0 ^ { \circ } + \angle A ) .
\therefore \angle B P C = 1 8 0 ^ { \circ } - ( \angle P B C + \angle P C B ) = 1 8 0 ^ { \circ } - { / { 1 } { 3 } } ( 1 8 0 ^ { \circ } + \angle A ) = 1 2 0 ^ { \circ } - { / { 1 } { 3 } } \angle A .

模型识别与运用

1.(2024·厦门九中期中)如图，在 \triangle A B C 中， \angle A B C , \angle A C B 的平分线 B O , C O 相交于点 _ { O , C E } 为\triangle A B C 的外角 \angle A C D 的平分线， B O 的延长线交 C E 于点 E , \angle 1 = 6 0 ^ { \circ } ，则 \angle 2 的度数为_ 3 0 ^ { \circ } （20

第1题图

第3题图

第4题图

2.在图1、图2、图3中， \angle A = 5 0 ^ { \circ } \angle 1 = \angle 2 \angle 3 = \angle 4 ，则 \angle O _ { 1 } + \angle O _ { 2 } + \angle O _ { 3 } = 2 0 5 ^ { \circ } \quad .

图1

图2

图3

3.如图， \triangle A B C 的两条内角平分线 B O , C O 相交于点 O ，两条外角平分线 B P , C P 相交于点 P .已知 \angle B O C = 1 2 0 ^ { \circ } ，则 \angle P = 6 0 ^ { \circ }

4.如图，在 \triangle A B C 中， \angle A B C , \angle A C B 的三等分线分别对应交于点 E , D . 若 \angle E = 9 0 ^ { \circ } ，则 \angle B D C 的度数为 (D）

A. { 1 2 0 } ^ { \circ } （204号 B.125° C.130° D.135°

章末复习（一） 三角形

福建考点针对练

考点1 三角形的概念

1.如图，在 \triangle A B C 中， A B = B C = A C , B D \bot A C 垂足为 D ，点 E 在边 B C 的延长线上，且有 C E { = } C D D B = D E .

(1)以点 C 为顶点的三角形有 \triangle A B C , \triangle C B D , \triangle C D E ；以CD为边的三角形有 \Delta C B D , \Delta C D E (2)图中的等腰三角形有 \triangle A B C , \triangle C D E , \triangle B D E ；等边三角形有△ABC(3)图中的直角三角形有 \Delta A B D , \Delta C B D ;钝角三角形有 \triangle C D E , \triangle B D E

考点2 三角形的三边

2.(2024·厦门双十中学期中)下列生活实物图形中，没有运用三角形的稳定性的是 (D

3.小明想做一个三角形的框架，他有两根长度分别为 4 ~ { {cm } } 和 6 ~ {cm } 的细木条，需要将其中一根木条分为两段.若不考虑损耗和接头部分，则可以分成两段的是 (B)

A. 4 \ {cm } 的木条 B. 6 ~ { {cm } } 的木条 C.两根都可以 D.两根都不行

4. 新考向开放性问题(2023·福州十六中期末)如果一个三角形的两边长分别为2和4,那么第三边长可能是4,答案不唯一

考点3三角形的中线、角平分线、高

5.(2024·福州平潭一中期中)如图， A D , A E , A F 分别是 \triangle A B C 的中线、角平分线、高，则下列各式错误的是 (D)

A. B C = 2 C D { B } . \angle B A E = / { 1 } { 2 } \angle B A C \quad { C } . \angle A F B = 9 0 ^ { \circ } \qquad { D } . A E = C E

第5题图

第6题图

第7题图

6.(2024·厦门外国语学校期末)如图，在 \triangle A B C 中， A B = 1 0 , A C = 8 , A D 为边 B C 上的中线.若\triangle A C D 的周长为22，则 \triangle A B D 的周长是24·

7.(2024·厦门思明区期末)如图，在 \triangle A B C 中， A D 是高， B E 是角平分线， A D , B E 相交于点 O =\angle A B C = 5 0 ^ { \circ } ，则 \angle A O B = 1 1 5 ^ { \circ }

考点4三角形的内角与外角

8.(2024·厦门海沧区期中)给定下列条件，能判定 \triangle A B C 是直角三角形的是 B

A. \angle A = \angle B = \angle C B \angle A + \angle B = \angle C C \therefore \angle A : \angle B : \angle C = 1 : 1 : 3 L \scriptstyle * \angle C = 2 \angle A = 4 \angle B

9.（2023·聊城)如图，分别过△ABC的顶点 A , B 作 A D / / B E . 若 \angle C A D = 2 5 ^ { \circ } . \angle E B C = 8 0 ^ { \circ } ，则 \angle A C B 的度数为 (B

A. 6 5 ^ { \circ } （204 B. 75° C.85° D.95°

第9题图

第10题图

第11题图

第12题图

10.(2023·福州仓山区期中)如图，在 \triangle A B C 中， \angle A = 6 0 ^ { \circ } \angle B = 5 0 ^ { \circ } ，点 E 在 A C 上，点 D 在 B C 的延长线上.若 \angle D = 2 0 ^ { \circ } ，则 \angle C E D 的度数为_ 5 0 ^ { \circ }

11.(2023·福州连江县期末)如图，在 \triangle A B C 中， D , E 分别是边 A B 和 A C 上的两点，连接DE.若\angle A = n ^ { \circ } ，则 \angle 1 + \angle 2 的度数为_ \left( 1 8 0 + n \right) ^ { \circ } _（用含 n 的式子表示).

12.(2024·厦门集美中学期中)如图，这是可调节躺椅的示意图(数据如图)， A E 与 B D 的交点为 C ，且\angle C A B , \angle C B A , \angle E 保持不变.为了舒适，需调整 \angle D 的大小，使 \angle E F D = 1 1 0 ^ { \circ } ，则图中 \angle D 应减少（填"增加"或"减少”） 1 0 ^ { \circ }

13.(2023·福州文博中学期末)如图， C E 是 \triangle A B C 的外角 \angle A C D 的平分线，且 C E 交 B A 的延长线于点 E . (1)若 \angle B = 4 2 ^ { \circ } \angle E = 2 5 ^ { \circ } ，求 \angle B A C 的度数.

(2)请写出 \angle B A C , \angle B , \angle E 三个角之间存在的等量关系，并写出证明过程，

解 : ( 1 ) : : / E C D = \angle B + \angle E , \angle B = 4 2 ^ { \circ } , \angle E = 2 5 ^ { \circ } , \therefore \angle E C D = 6 7 ^ { \circ } .
∵CE平分 \angle A C D , \therefore \angle A C E = \angle E C D = 6 7 ^ { \circ }
\therefore \angle B A C = \angle A C E + \angle E = 6 7 ^ { \circ } + 2 5 ^ { \circ } = 9 2 ^ { \circ } . （204号
(2)结论： \angle B A C = \angle B + 2 \angle E . （2号
证明 \because \angle B A C = \angle A C E + \angle E , \angle E C D = \angle A C E = \angle B + \angle E ,
\therefore \angle B A C = \angle B + \angle E + \angle E = \angle B + 2 \angle E . （2号

核心素养提升练《

14. 新考向 数学文化（2023·株洲)《周礼·考工记》中记载：“半矩谓之宣(xuan)，一宣有半谓之樨(zhu)……"意思是:“…直角的一半的角叫作宣，一宣半的角叫作"(1宣 = / { 1 } { 2 } 矩，1 \ c = / { 1 } { 2 } 宣，1矩 { \bf \Lambda } = 9 0 ^ { \circ } . ）

问题：图1为中国古代一种强弩图，图2为这种强弩图的部分组件的示意图.若 \angle A = 1 矩， \angle B = 1，则 \angle C = \angle 2 2 . 5 ^ { \circ } （204号

图1

图2

数学活动 搭等边三角形、多边形的三角剖分

1.【综合与实践】搭等边三角形请根据上述材料，画出相应的示意图，并完成下表

2.已知：把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段(这些线段不在多边形内部相交)划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分.如图所示的是七边形的三角剖分的几种方法.

(1)请画出六边形的一种三角剖分方法，并指出能剖分出多少个三角形？

(2)对于一个 n 边形的一种三角剖分，若这些三角形的内角总和是 { 1 ~ 8 0 0 } ^ { \circ } ，求 n 的值.

(3)一个多边形，往往有多种方法进行三角剖分.记 n 边形三角剖分的方法数为 D _ { n } ，则当 n { >=slant } 3 时， / { D _ { n + 1 } } { D _ { n } } { = } / { 4 n - 6 } { n } . 6.已知D=1,求五边形的三角剖分方法数 D _ { 5 } ·

解：(1)如图所示(答案不唯 ^ - )，能剖分出4个三角形，

(2)由题意可知， n 边形可三角剖分
为 ( n { - } 2 ) 个三角形，这些三角形的内角总和为 ( n -
2 ) x 1 8 0 ^ { \circ }
： ( n - 2 ) x 1 8 0 = 1 8 0 0 ，解得 n = 1 2

(3)将 \scriptstyle n = 3 代 \scriptstyle * { / { D _ { n + 1 } } { D _ { n } } } = { / { 4 n - 6 } { n } } 4n-6中，得/ { D _ { 4 } } { D _ { 3 } } = / { 4 x 3 - 6 } { 3 } = / { 1 2 - 6 } { 3 } = / { 6 } { 3 } = 2 . \stackrel { \circ \circ } { \circ } D _ { 3 } = 1 , \stackrel { \circ } { \circ } D _ { 4 } = 2 D _ { 3 } = 2 x 1 = 2 . 将 n { = } 4 代 \scriptstyle * { / { D _ { n + 1 } } { D _ { n } } } = { / { 4 n - 6 } { n } } 中，得\begin{array} { l } { { \displaystyle / { D _ { 5 } } { D _ { 4 } } = / { 4 x 4 - 6 } { 4 } = / { 1 6 - 6 } { 4 } = / { 1 0 } { 4 } = / { 5 } { 2 } . } } \\ { { \displaystyle \because D _ { 4 } = 2 , \therefore D _ { 5 } = / { 5 } { 2 } D _ { 4 } = / { 5 } { 2 } x 2 = 5 . } } \end{array} 综上所述，五边形的三角剖分方法数 D _ { 5 } 关

综合与实践 确定匀质薄板的重心位置

类型1确定简单平面图形的重心位置

1.对于一个形状规则的匀质长方形薄板，其重心位置在 （B）

A.长方形的任意一个顶点处B.长方形两条对角线的交点处C.长方形的一条边上
D.长方形的外部

2.如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点 A , B , C , D , E , F , G 在小正方形的格点上，则 \triangle A B C 的重心是 (A)

A.点 D （204号 B.点 E （204号 C.点 F （20 D.点 G

3. 新考向综合与实践发现与探究：三角形三条中线的交点叫三角形的重心.重心是个物理名词.从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心.如图1，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心 o 处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态.为什么会平衡呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案.如图 2 , A D 是 \triangle A B C 的中线， \triangle A C D 与 \triangle A B D 等底等高，面积相等，记作 S _ { \triangle A C D } { = } S _ { \triangle A B D } 如图3，若 \triangle A B C 的三条中线 A D , B E , C F 相交于点 G ，则 G D 是 \triangle G B C 的中线，利用上述结论可得 S _ { \triangle G C D } = S _ { \triangle G B D } ，同理 S _ { \triangle G B F } = S _ { \triangle G A F } ，{ \cal S } _ { \triangle G A E } = { \cal S } _ { \triangle G C E } ：

图1

图2

图3

图4

(1)如图3,若设 { \cal S } _ { \triangle α c D } = x , { \cal S } _ { \triangle G B F } = y , { \cal S } _ { \triangle G A E } = z ，猜想 x , y , z 之间的数量关系，并证明你 的猜想.

(2)由(1)可知，被三条中线分成的六个三角形面积相等.如果 \triangle A B C 的面积为m ,那么用含有 \mathbf { \Psi } _ { m } 的式子表示 \triangle B G C 的面积为 { / { 1 } { 3 } } m B G : G E { = } \quad \underline { { { 2 : \mathbb { 1 } } } } \quad .

(3)如图 4 , \triangle A B C 的两条中线 B D , C E 相交 于点 G ，点 G 是 \triangle A B C 的重心， B D = 6 . C E { = } 9 , B D \bot C E 求四边形 A E G D 的面积.

解：(1)猜想 \scriptstyle : x = y = z
证明：由题意可知 \scriptstyle , S _ { \Delta G D } = S _ { \Delta G B D } = x , S _ { \Delta G B F } = S _ { \Delta A G F } =
y , S _ { \Delta G A E } = S _ { \Delta G C E } = z ,
\because S _ { _ { \bigtriangleup S { \bigtriangleup B } D } } = S _ { _ { \bigtriangleup A C D } } , \therefore 2 y + x = 2 z + x . \ \therefore y = z .
0 \begin{array} { r } { \dot { ~ } S _ { \Delta C B E } = S _ { \Delta A B E } \dot { ~ } , \dot { ~ } \dot { ~ } \dot { ~ } x + \dot { ~ } z = 2 y + \dot { ~ } z _ { 0 } \dot { ~ } \dot { ~ } x = y , } \end{array} * { x } = y = z ,
(3)∵点 { G } 是 \triangle A B C 的重心，
∴由(2)可知 , B G : G D { = } C G : G E { = } 2 : 1 . ^ { \circ } B D = 6 , C E = 9 , ^ { \circ } , B G = 4 , C G = 6 ,
（20 \stackrel { \scriptscriptstyle { C S D } } { { ~ \ i ~ } } \underline { { { B D } } } \perp \stackrel { \scriptscriptstyle { C E } } { { ~ \ i ~ } } , \stackrel { \circ } { { ~ \ i ~ } } δ _ { \Delta B O C } = / { 1 } { 2 } \underline { { B } } G * G G = / { 1 } { 2 } x 4 x 6 = 1 2 , （204号
由(2)可知， S _ { \Delta A B C } = 3 S _ { \Delta B G C } = 3 6 ， { \cal S } _ { \triangle B E G } = { \cal S } _ { \triangle C D G } =
/ { 1 } { 2 } S _ { \triangle B G C } = 6 .
\begin{array} { r } { { ~ \stackrel { \circ } { ~ \circ ~ } ~ } S _ { \varpi ; \ D ; \ B ; A E G D } = 3 6 - 6 - 6 - 1 2 = 1 2 . } \end{array}

类型2确定平面组合图形的重心位置

4.物体受重力作用的作用点叫作这个物体的重心.例如：一根均匀的木棒，重心是木棒的中点；一块均匀的三角形木板，重心就是这个三角形木板三条中线的交点；等等.(1)你认为平行四边形的重心位置在哪里？(2)现有如图所示的一块均匀模板，请只用无刻度直尺和铅笔画出它的重心.

解：(1)平行四边形的重心位于两条对角线的交点处，(2)如图，把模板分成两个长方形，连接各自的重心；把模板重新分成两个长方形，得到连接各自重心的第二条线段，两条线段的交点 G 即为重心.

周测（第十三章）

温馨提示

学生用书单独成册

（时间：40分钟满分：100分）

一、选择题(每小题5分，共30分）

1.下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（C）

A.1,2,3 B.1,2,4
C.2,3,4 D.2,2,4

2.下面四个图形中，线段 A D 是 \triangle A B C 的高的是 （ D

3.有一个厚薄均匀的三角形硬纸板，在硬纸板上选一点，在这个点上钻一个小孔，通过小孔系一条线将三角形硬纸板吊起，若三角形硬纸板处于平衡状态，则这一点可能是 (A)

A.点 N （204号 B.点M C.点 P （204号 D.点 Q （204号

第3题图

第4题图

4.如图， A B = B C = C D = D A = B D ，则图中的等腰三角形有 (C）

A.2个 B.3个 C.4个 D.5个

5.如图，这是嘉禾同学在珠海航展上观察到的带底座的无人机简易模型，其中 A B / / E F , C G \perp EF.若 \angle A C D = 1 0 5 ^ { \circ } ， \angle B = 6 9 ^ { \circ } ，则 \angle A + \angle B D C 的度数是 (C)

A. 1 5 ^ { \circ } （204号 B.21° （204号 { { C } } . 3 6 ^ { \circ } （204号 D. 4 8 ^ { \circ }

6.如图，在 \triangle A B C 中， \angle A = 2 0 ^ { \circ } ，沿 B E 将此三角形翻折， B A ^ { \prime } 交 A C 于点 D ，又沿 B D 再一次翻折，点 C 落在 B E 上的点 C ^ { ' } 处，此时 \angle C ^ { \prime } D B = 7 4 ^ { \circ } ，则原三角形的 \angle C 的度数为 (D)

A. 2 7 ^ { \circ } （204号 { B } , 5 9 ^ { \circ } （20 （204号 { C } . 6 9 ^ { \circ } （204号 D. 7 9 ^ { \circ }

第6题图

第7题图

二、填空题(每小题5分，共30分）

7.平板电脑是我们日常生活中经常使用的电子产品，它的很多保护壳还兼具支架功能，有一种如图所示，平板电脑放在它上面就可以很方便地使用了，这是利用了三角形具有稳定性

8.如果将一副三角板按如图的方式叠放，那么\angle A E C 的度数为 7 5 ^ { \circ } （204号

第8题图

第10题图

9.三角形中一个内角 α 是另一个内角 β 的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中 α 称为“特征角”，如果一个“特征三角形”的“特征角"为 { 6 0 } ^ { \circ } ，那么这个“特征三角形”是直角三角形.(填"锐角""直角"或"钝角")

10.如图，在 \triangle A B C 中， D 是 B C 上的一点，D C = 2 B D ， E 是 A C 的中点， { \cal S } _ { \triangle A B C } \ = 2 0 ~ {cm ^ { 2 } } ，则 \begin{array} { r l } { S _ { \triangle A D E } = } & { { } / { 2 0 } { 3 } \quad {cm } ^ { 2 } } \end{array}

11.如图， \angle M O N { = } 8 0 ^ { \circ } ，点 A , B 在 \angle M O N 的两条边上运动， \angle O A B 和 \angle O B A 的平分线交于点 C ，则在点 A , B 的运动过程中， \angle B C A 的度数为 { 1 3 0 } ^ { \circ } （204号

第11题图

第12题图

12.如图，在 \triangle A B C 中， \angle A B C = 9 0 ^ { \circ } , D 为 A C 延长线上一点， \angle B A E = 3 \angle E A C \angle B C E = 3 \angle E C D ，则 \angle A E C 的度数为 2 2 . 5 ^ { \circ } （20号

三、解答题（共40分）

13.(8分)如图，在 \triangle A B C 中， D , E 分别是 B C .A C 上的点，连接 B E , A D 交于点 F ：

(1)图中共有多少个以 _ { A B } 为边的三角形？并把它们列出来.
（2）除 \triangle A B F 外，以点 F 为顶点的三角形还有哪些？

解： ( 1 ) \Vdash { A B } 为边的三角形有4个： \triangle A B F , \triangle A B D , \triangle A B E \triangle A B C (2)除 \triangle A B F 外，以点 F 为顶点的三角形还有△BDF， \triangle A E F

14.（10分）如图，在 \triangle A B C 中， A D 是边 B C 上的中线， \triangle A B D 的周长比 \triangle A D C 的周长多2，且 A B 与 A C 的长的和为10.

(1)求 A B , A C 的长.
(2)求边 B C 的长的取值范围.
解： ( 1 ) \because A D 是边BC上的中
线， \therefore B D = C D
由题意，得 ( A B + A D + B D ) -
( A C + A D + C D ) = A B - A C = \angle
2 , A B + A C = 1 0 , \therefore A B = 6 , A C = 4 , 4号
( 2 ) \because A B { = } 6 , A C { = } 4 ,
\therefore 6 - 4 < B C < 6 + 4 即 2 < B C < 1 0

15.（10分)某初中数学小组在学习了“三角形外角和”后，就证明问题进行了探讨：

如图， \angle 4 , \angle 5 , \angle 6 是 \triangle A B C 的三个外角.求证： \angle 4 + \angle 5 + \angle 6 = 3 6 0 ^ { \circ } ：

(1)该小组的明明进行了如下的证明，请你补充完整.

证明： \angle 4 是 \triangle A B C 的一个外角，
： * \angle 4 = \angle 2 + \angle 3
同理， \angle 5 = \angle 1 + \angle 3 , \angle 6 = \angle 1 + \angle 2
： \therefore \angle 4 + \angle 5 + \angle 6 = 2 ( \angle 1 + \angle 2 + \angle 3 )
\therefore \angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = 1 8 0 ^ { \circ }
\therefore \angle 4 + \angle 5 + \angle 6 = 2 x 1 8 0 ^ { \circ } = 3 6 0 ^ { \circ } .

(2)事实上，还有另外一种证明方法，请给该小组展示出来.

证明： \because \angle 4 + \angle 1 = 1 8 0 ^ { \circ }
\angle 5 + \angle 2 = 1 8 0 ^ { \circ } , \angle 6 +
\angle 3 = 1 8 0 ^ { \circ }
∴∠4+∠5+∠6=3X
1 8 0 ^ { \circ } - ( \angle 1 + \angle 2 + \angle 3 ) .
： \angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = 1 8 0 ^ { \circ }
\therefore \angle 4 + \angle 5 + \angle 6 = 3 x 1 8 0 ^ { \circ } - 1 8 0 ^ { \circ } = 3 6 0 ^ { \circ } 。 （20

16.（12分）如图， A D 为 \triangle A B C 的高， A E , B F 为\triangle A B C 的角平分线， \angle C B F { = } 3 2 ^ { \circ } \angle A F B { = } 7 2 ^ { \circ } (1)求 \angle D A E 的度数.(2)若 G 为线段 B C 上任意一点，当 \triangle G F C 为直角三角形时，求 \angle B F G 的度数.

解： ( 1 ) \because B F 平分 \angle A B C
\therefore \angle A B C = 2 \angle C B F = 6 4 ^ { \circ } . （2号
\because A D 为 \triangle A B C 的高，
\angle A D B = 9 0 ^ { \circ }
\therefore \angle B A D = 1 8 0 ^ { \circ } - 9 0 ^ { \circ } - 6 4 ^ { \circ } B DE C
= 2 6 ^ { \circ } ：
： \scriptstyle * \angle A F B = \angle C B F + \angle C , \therefore \angle C = 7 2 ^ { \circ } - 3 2 ^ { \circ } = 4 0 ^ { \circ } .
\therefore \angle B A C = 1 8 0 ^ { \circ } - \angle A B C - \angle C = 7 6 ^ { \circ } . （204号
AE平分 \angle B A C , \therefore \angle B A E = / { 1 } { 2 } \angle B A C = 3 8 ^ { \circ } . （204号
\therefore \angle D A E = \angle B A E - \angle B A D = 3 8 ^ { \circ } - 2 6 ^ { \circ } = 1 2 ^ { \circ } , （2
(2)分两种情况讨论：
① 当 \angle F G C = 9 0 ^ { \circ } 时，则 \angle B F G = \angle F G C - \angle F B C =
9 0 ^ { \circ } - 3 2 ^ { \circ } = 5 8 ^ { \circ }
② 当 \angle G F C = 9 0 ^ { \circ } 时，则 \angle F G C = 9 0 ^ { \circ } - 4 0 ^ { \circ } = 5 0 ^ { \circ } , （204号
\therefore \angle B F G = \angle F G C - \angle E B F = 5 0 ^ { \circ } - 3 2 ^ { \circ } = 1 8 ^ { \circ } .
综上所述， \angle B F G 的度数为 5 8 ^ { \circ } 或 \mathbb { 1 } 8 ^ { \circ }