目录

第十三章 三角形

13.1 三角形的概念· 1
13.2 与三角形有关的线段 2
13.2.1 三角形的边 2
13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 ··3

13.3 三角形的内角与外角·

13.3.1 三角形的内角

第 1 课时 三角形的内角和 4第2课时 直角三角形的两个锐角互余··· 5

13.3.2 三角形的外角 6

第十四章 全等三角形

14.1 全等三角形及其性质·· 7
14.2 三角形全等的判定· 8

第 1 课时 用“SAS"判定三角形全等8

第2课时 用“ASA”或“AAS”判定三角形全等 9

第3课时 用“SSS”判定三角形全等10

第4课时 三角形全等的判定与尺规作图 11

第5课时用“HL"判定直角三角形全等12

14.3 角的平分线 13

第1课时 角的平分线的性质···…．13
第2课时 角的平分线的判定·…··…·14

第十五章 轴对称 15

15.1 图形的轴对称 15

15.1.1 轴对称及其性质·· 15

第1课时 线段的垂直平分线的性质与判定 16
第2课时 作轴对称图形的对称轴17

15.2 画轴对称的图形 18

第1课时 画轴对称的图形·· .·· 18
第2课时 用坐标表示轴对称·….．19

15.3 等腰三角形 20

15.3.1 等腰三角形 20
第1课时 等腰三角形的性质······ 20
第2课时 等腰三角形的判定·….·…．21

15.3.2 等边三角形 22

第1课时等边三角形的性质与判定

22

第2课时 含 {30}° 角的直角三角形的性质 23

第十六章 整式的乘法 24

16.1 幂的运算 24

16.1.1 同底数幂的乘法· 24
16.1.2 幂的乘方与积的乘方 25

16.2 整式的乘法 26

第 1 课时 单项式与单项式相乘·…：26
第2课时 单项式与多项式相乘·…：27
第3课时 多项式与多项式相乘·…· 28
第4课时 同底数幂的除法·· · 29
第5课时 单项式除以单项式·….·．．30
第6课时 多项式除以单项式·….·…：31

16.3 乘法公式 32

16.3.1 平方差公式 32
16.3.2 完全平方公式 33
第1课时 完全平方公式·· 33
第2课时 添括号法则 34

第十七章 因式分解 35

17.1 用提公因式法分解因式 ......35

第 1 课时 直接利用提公因式法分解因式（一) 35
第2课时 直接利用提公因式法分解因式(二) 36

17.2 用公式法分解因式 37

第 1 课时 运用平方差公式分解因式37

第2课时 运用完全平方公式分解因式38

第3课时综合运用公式法分解因式39

第十八章 分式 40

18.1 分式及其基本性质 40
18.1.1 从分数到分式 40
18.1.2 分式的基本性质 41
第 1 课时 分式的基本性质·· 41
第2课时 分式的约分和通分 42

18.2 分式的乘法与除法 43

第1课时 分式的乘法与除法·…··．43第2课时 分式的乘方及乘除混合运算 44

18.3 分式的加法与减法 45

第1课时 分式的加法与减法······ 45
第2课时 分式的混合运算·· 46

18.4 整数指数幂 47

第1课时 负整数指数幂··· 47第2课时 用科学记数法表示绝对值小于1的数 48

18.5 分式方程 49

第 1 课时 分式方程及其解法······ 49
第2课时 分式方程的实际应用…：50

参考答案 51

第十三章 三角形

13.1 三角形的概念

基础达标

1.下列图形都是由三条线段组成的，其中是三角形的是

2.如图， ①② 均表示三角形的分类，下列判断正确的是

A. ① 对， ② 不对 B. ① 不对， ② 对 C. ①② 都不对 D. ①② 都对

3.如图，图中有 个三角形，以 A D 为边的三角形是

4.如图，已知 A B=B C=C D=D A=O A=O B ” O C=O D ,找出图中的等腰三角形和等边三角形.

13.2 与三角形有关的线段

13.2.1 三角形的边

基础达标

．下列各组长度的线段中，能构成三角形的是 （

A.2,5,8 B.3,3,6
C.3,4,5 D.4,5,9

2.下列图形具有稳定性的是

3.已知 \mathbf{\Psi}_{a},b,c 是一个三角形的三条边长，化简： \mid a+c-b\mid-\mid a-b-c\mid=

4.用一条长为 28~cm 的细绳围成一个等腰三角形.

(1)如果腰长是底边长的3倍，那么各边的长是多少？(2)能围成有一条边为 7\cm 的等腰三角形吗？如果能，请求出另外两边长.

13.2.2 三角形的中线、角平分线、高

基础达标

1.如图，已知△ABC.

(1)若 A E 平分DAC,则AH是△ 的角平分线， A E 是 的角平 分线.

(2)若 A F{=}F C ,则△ABC的中线是(3)若 A D\bot B C ,垂足为 D ,则 A D 是哪些三角形的高？

2.如图,已知△ABC,按下列要求画图或填空：

(1)作 \triangle A B C 的中线 A D ：
(2）作 \triangle A B D 的角平分线 D M
(3)作 \triangle A C D 的高线 C N ：
(4)若 C_{\triangle A D C}-C_{\triangle A D B}=3(C 表示周长),且 A B{=}4 ,则 A C=

13.3 三角形的内角与外角

13.3.1 三角形的内角

第1课时 三角形的内角和

④ 知识生成

三角形的内角和等于

基础达标

1.已知在△ABC中， \angle A=60° ， \angle C=80° ，则 \angle B=

A. {60}° {B}.{30}° {C}.20{}° D. 40°

2.如图,在△ABC中， \angle A=55° ， \angle B=65° ， D E//B C ，则 \angle A E D 的度数为 （ ）

A. 90°
B. 85°
C. {60}°
D. 55°

3.已知在 \triangle A B C 中， \angle A=60° ，且 \angle B:\angle C=2:1 ，则 \angle B 的度数为

4.如图，在△ABC中， \angle C=30° ， \angle B=58° ， A D 平分ZCAB,求 \angle C A D 和 \angle1 的度数.

第2课时直角三角形的两个锐角互余

答题规范

1.如图，在 \triangle A B C 中， \angle B A C=90° ， A D 是边BC上的高.求证： \angle1=\angle B .（请将证明过程

补充完整)
证明： \angle B A C=
90° （已知），.B+ =90° ：
： A D 是边 B C 上的高，
\therefore A D\bot B C
·： \angle A D C=90° > )·在 Rt\triangle A D C 中， \angle1+\angle C= ( ).
· \angle1=\angle B ).

请仿照T1的证明过程完成本题的证明.

2.如图，在 Rt\triangle A B C 中， \angle A C B=90° ， D 是 A B 上一点，且 \angle A C D=\angle B. 求证： C D\bot A B ，

基础达标

1.已知在 Rt\triangle A B C 中， \angle C=90° ， \angle A=61° ，则 \angle B=

A. 61° B.39° C. 29° D.19°

知在△ABC中， \angle B 与 \angle C 互余,则△ABC是 N )

A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.等腰三角形

3.如图，在 \triangle A B C 中， \angle B A C=90° ， A D 是ABC 的高.若\angle B=20° ，则 \angle D A C 的度数为

4.如图，在 \triangle A B C 中， A D 是高， B E 是角平分线， A D,B E 相交于点 F,\angle C=30° ， \angle B F D= {70}° ,求BAC的度数.

13.3.2 三角形的外角

⑨ 知识生成

三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.

如图1 \angle1=\angle C+\angle B

图1

图2

如图 ^{2,P} 是 \triangle A B C 的边 B C 的延长线上一点.若 \angle A=50° ， \angle B=70° ，则 \angle A C B=
又因为 \angle A C B+\angle A C P=
所以 \angle A C P=
所以 \angle A C P=\angle A+\angle B

基础达标

1.如图所示,直接写出 α 的度数.

(1)α=

(2)α=

2.如图， B C//D F ， \angle B=50° ， \angle A=25° ，求 \angle D 的度数.

第十四章 全等三角形

14.1 全等三角形及其性质

基础达标

1.已知两个全等三角形，部分数据如图所示，那么 x 的值是

2.如图， \triangle A B C{\cong}\triangle A D E

对应边： A B= ” B C= ’ A C=

对应角： \angle A= ,B= ， \angle A C B=

第2题图

第3题图

3.如图， \triangle A B C{\cong}\triangle D C B. 若 A C=7,B E=5 ，则 D E=

4.如图，△ADE△BCF， A D{=}8{\ }cm ， C D{=}6~cm ， \angle A=30° ， \angle E=80° ：

(1)求 BD的长.
(2)求BCF 的度数.

14.2 三角形全等的判定

第1课时 用“SAS”判定三角形全等

答题规范

如图， C 是线段 A B 的中点， C D{=}B E,C D//B E

求证： \angle D=\angle E

证明： \because C 是线段 A B 的中点，·. A C=
C D//B E ，
：. \angle A C D= （两直线平行， ）在 和 中，
\angle A C D=
C D{=}B E ，
:.△ S△ ( ).: \angle D=\angle E

基础达标

1.如图，点 B,F,C,E 在同一条直线上， A B{=}D E \scriptstyle{E},\angle B=\angle E,B F=E C. 求证： \triangle A B C{\underline{{\underline{{\circ}}}}} \triangle D E F

2.如图，点 A,B,C,D 在同一条直线上， A B=C D,A E//B F,A E=B F ,那么 C E//D F 吗？请将证明过程补充完整.

证明： \therefore A E//B F,\therefore\angle A= (
A B{=}C D ，
。 * A B+B C=C D+B C( h
即 A C=B D
在 \triangle A C E 和 \triangle B D F 中，
A E{=}B F ，
\ensuremath{\left|A C=B D\right.} ，
"△ACEBDF(
( ）.:.CE // DF( ）.

答题规范

如图， D 是 A B 上一点， D F 交 A C 于点 E,D E{=}F E,F C//A B. 求证： A E{=}C E

方法一

证明： \because F C//A B ，
A =
ZADE 二 Z
( ).在 \triangle A D E 和△CFE中，A=
ADE=
DE=FE,
△ADE△CFE(
·： .A E{=}C E ：

方法二

A证明： \because F C//A B ，. \angle A D E=\angle E F( ).D在ADE和△CFE中，E C ADE=DE=FE,AED= ( ）△ADE△CFE( ).： A E{=}C E ：

基础达标

1.如图， {}*{A B},{C D} 相交于点 O,\angle A=\angle C,O A=O C. 求证： \triangle A O D{\cong}\triangle C O B

2.如图， \angle B A C=\angle D A E=90° ， \angle B=\angle C,A D=A E. 求证：△ABD△ACE.

第3课时 用“SSS”判定三角形全等

答题规范

如图，在ABC中， A B=A C,A D 是边 B C 上的中线.
求证： A D 是ABC的角平分线.
证明：：AD是ABC的边 B C 上的中线，·. B D= {}_{\ P}A B{=}A C
在 和 中： \scriptstyle\angle A D=A D ，IS ( ).
· \scriptstyle*\angle B A D=\angle C A D.\ \therefore A D 是 \triangle A B C 的角平分线.

基础达标

1.如图，点 D,A,E,B 在同一条直线上， \scriptstyle{E F=B C,D F=A C,D A=E B}. 求证： \triangle D E F{\cong} △ABC.

2.如图， A B{=}A D ， B C{=}C D .求证： \angle1=\angle2

第 4课时三角形全等的判定与尺规作图

基础达标

1.如图,在 \angle A O B 外部作射线 \ O C ，使得 \angle B O C=\angle A O B .（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)

2.如图，已知线段 \mathbf{\Delta}_{a} 和 \angleα ,求作△ABC，使得 A B=a ， \angle A=\angle B=\angleα .（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)

第5课时 用“HL”判定直角三角形全等

基础达标

1.如图,已知在 \triangle A B C 和 \triangle D A B 中， \angle C=\angle A B D=90° ， A C=D B ,判断△ABC 和\triangle D A B 是否全等.小萌的解法如下：解： \angle C=\angle A B D=90° ，在 Rt\triangle A B C 和 Rt\triangle D A B 中，\scriptstyle A C=D B,A B=B A ，\therefore{Rt}\triangle A B C{\triangle}{Rt}\triangle D A B({HL}). 小萌的解答过程正确吗？若不正确，请说明理由.

2.如图， \angle A=\angle D=90°,A B=D E,B F=E C. 求证： \triangle A B C{\cong}\triangle D E F ：证明： B{\cal F}=E{\cal C} ，.BF+ =E C+ ，即： *\angle A=\angle D=90°,\therefore\bigtriangleup A B C 和△DEF都是直角三角形.在 Rt\triangle A B C 和 Rt\triangle D E F 中，\scriptstyle|A B=D E ，\thereforeRt\triangle A B C{\triangle}Rt\triangle D E F(HL),

3.【T2变式】如图， C E\bot A B,D F\bot A B,A C=B D,A F=B E. 求证： A C//B D

14.3 角的平分线

第1课时 角的平分线的性质

⑨ 知识生成

如图，将 \angle A O B 对折，再折出一个直角三角形(使斜边在第一条折痕上)，然后展开，可以得出： \angle A O B 的平分线是 ，且点 P 在 上;PD OA,PE OB,PD PE.

基础达标

1.如图， .A D 是△ABC的角平分线， D E\bot A B,D F\bot A C 垂足分别是 E,F,B D{=}C D. 求证： \angle B=\angle C

2.如图，在 Rt\triangle A B C 中， \angle B=90° 。

(1)尺规作图：作 \angle A 的平分线 A P ，交 B C 于点 D .（保留作图痕迹，不写作法，并标明字母)

(2)若 B D{=}2,A C{=}5 ，则 \triangle A C D 的面积为

第2课时 角的平分线的判定

知识生成

如图，点 M 在 \angle A B C 内， M E\bot A B,M F\bot B C ，垂足分别为 E,F ，且 M E{=}M F ，则BM平分 \angle A B C 吗？为什么？

解： B M 平分 \angle A B C. .理由如下：
。： \bullet^{\bullet}M E\bot A B,M F\bot B C,
\therefore\angle\_=\angle\_\=\stackrel{\_}{\_}{\_}{\_}\stackrel{\_}{}\=90°. 在 Rt\triangle B E M 和 Rt\triangle B F M 中，
B M=B M ，
:Rt△BEMRt△BFM( ).:Z \angle1=\angle
BM平分ABC.

基础达标

1.如图,在 \triangle A B C 中， D 是 B C 的中点， D E\bot A B,D F\bot A C ,垂足分别是 E,F,B E= CF.求证： A D 平分ZBAC.

2.如图，在 Rt\triangle A B C 中， \angle C=90°,D 是 A C 上一点， D E\bot A B 于点 \boldsymbol{\mathbf{\mathit{E}}} ，且 D E{=}D C 若\angle A=20° ，求 \angle D B C 的度数.