题帮高中数学选择性必修第三册配人教A版

发布时间:2023-10-24 | 杂志分类:其他
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题帮高中数学选择性必修第三册配人教A版

!\"# %&'(!!\" 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 ######### \"帮练基础\"帮练综合\"! !\"! !!\"\"!!$ 排列与组合 ############################## ! #\"! !!$\"!!$!\" 排 列 ############################# ! #\"! !!$\"!!$!$ 排列数 ######################## \"帮练基础\"! #\"! !!$\"!!$!% 组 合 ############################# ! %\"! !!&\"!!$!& 组合数#################### &... [收起]
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题帮高中数学选择性必修第三册配人教A版
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第4页

!\"# %&'(

!!\" 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 ######### \"帮练基础\"帮练综合\"! !\"! !!\"\"

!!$ 排列与组合 ############################## ! #\"! !!$\"

!!$!\" 排 列 ############################# ! #\"! !!$\"

!!$!$ 排列数 ######################## \"帮练基础\"! #\"! !!$\"

!!$!% 组 合 ############################# ! %\"! !!&\"

!!$!& 组合数#################### \"帮练基础\"帮练综合\"! %\"! !!&\"

!!\" 与 !!$ 综合过关############### \"帮练易错\"帮练疑难\"帮练提升\"! '\"! !()\"

!!% 二项式定理 ############################## ! !(\"! !(*\"

!!%!\" 二项式定理 ###################### \"帮练基础\"! !(\"! !(*\"

!!%!$ 二项式系数的性质############### \"帮练基础\"帮练综合\"! !#\"! !(#\"

专题 \" 二项式定理与杨辉三角 ################### \"帮练难点\"! !%\"! !(%\"

突破高考 ######################## \"帮练真题\"帮练好题\"! !$\"! !($\"

第六章综合测试 ############################### ! ()\"! !('\"

第六章测试诊断性练习 ############################ ! (*\"! !*(\"

!)# *+,-./01

'!\" 条件概率与全概率公式 ######################### ! (#\"! !*(\"

'!\"!\" 条件概率 ####################### \"帮练基础\"! (#\"! !*(\"

'!\"!$ 全概率公式################## \"帮练基础\"帮练综合\"! (%\"! !*#\"

'!$ 离散型随机变量及其分布列 ################## \"帮练基础\"! ('\"! !*%\"

'!% 离散型随机变量的数字特征 ####################### ! *!\"! !*$\"

'!%!\" 离散型随机变量的均值 ################# \"帮练基础\"! *!\"! !*$\"

'!%!$ 离散型随机变量的方差############# \"帮练基础\"帮练综合\"! **\"! !*'\"

'!\" ( '!% 综合过关 ############### \"帮练易错\"帮练疑难\"帮练提升\"! *$\"! !#(\"

'!& 二项分布与超几何分布 ######################### ! #!\"! !#\"\"

'!&!\" 二项分布 ####################### \"帮练基础\"! #!\"! !#\"\"

'!&!$ 超几何分布################## \"帮练基础\"帮练综合\"! #*\"! !#%\"

'!) 正态分布 ########################## \"帮练基础\"! #%\"! !#&\"

'!& 与 '!) 综合过关############### \"帮练易错\"帮练疑难\"帮练提升\"! #'\"! !#'\"

第5页

突破高考 ######################## \"帮练真题\"帮练好题\"! \"\"\"! !\"*\"

第七章综合测试 ############################### ! %)\"! !\"$\"

第七章测试诊断性练习 ############################ ! %#\"! !%)\"

第六!七章滚动测试 ############################# ! %\"\"! !%!\"

第六!七章滚动测试诊断性练习 ######################## ! %'\"! !%*\"

!2# 34&567%08

*!\" 成对数据的统计相关性 #################### \"帮练基础\"! $)\"! !%#\"

*!$ 一元线性回归模型及其应用 ############## \"帮练基础\"帮练综合\"! $*\"! !%\"\"

*!% 列联表与独立性检验 ##################### \"帮练基础\"! $&\"! !%$\"

*!\" ( *!% 综合过关 ################### \"帮练易错\"帮练疑难\"! &!\"! !%&\"

专题 $ 概率与统计的综合应用 ################### \"帮练难点\"! &$\"! !$(\"

突破高考 ######################## \"帮练真题\"帮练好题\"! '!\"! !$#\"

第八章综合测试 ############################### ! '$\"! !$$\"

第八章测试诊断性练习 ############################ ! !)*\"! !&)\"

&9:; :<7%;=>?@A

################################# \"帮练基础\"! !)\"\"! !&!\"

模块综合测试 ############################### ! !)'\"! !&(\"

模块测试诊断性练习 ############################ ! !!*\"! !&\"\"

第6页

第六章 计数原理

!

!\"# %&'(

#!! !\"#$%&'()!*+$%&'(

! \"##$

本节重要知识点归纳

知识点 # 分类加法计数原理

知识点 % 分步乘法计数原理

分类加法计数原理的应用!知识点 #\"

!\"#%&%'$广东佛山荣山中学高二期中%\"&书架

的第 # 层放有 ( 本不同的计算机书!第 % 层放

有 ' 本不同的动漫书!第 ' 层放有 % 本不同的

地理书!从书架上任取 # 本书!不同的取法共有

\" #

)!#& 种 *!%( 种 +!, 种 -!#% 种

$\"#%&%'$甘肃武威六中高二期中%\"&现有 ' 幅

不同的油画!( 幅不同的国画!$ 幅不同的水彩

画!从这些画中选一幅布置房间!则不同的选法

共有 \" #

)!$ 种 *!#% 种 +!%& 种 -!.& 种

%\"#%&%'$河北衡水高二期中联考%\"&甲工厂有

/& 名工人!乙工厂有 .& 名工人!丙工厂有 0& 名

工人!现从中选取 # 人参加技术培训!则不同的

选法有 种\"

&\"#%&%'$广东江门台山一中高二月考%\"\"&跳

格游戏$如图 . ## 所示!人从格外只能进入第 #

格$在格中每次可向前跳 # 格或 % 格!那么人从

格外跳到第 . 格可以有 种跳法\"

图 . ##

分步乘法计数原理的应用!知识点 %\"

'\"#%&%'$广东台山一中期中%\"&从标号分别为

#!%!' 的三个红球和标号分别为 #!% 的两个白

球中取出不同颜色的两个小球!不同的取法共

有 \" #

)!$ 种 *!. 种 +!#& 种 -!%& 种

#\"#%&%'$北京房山区高二期中统考%\"\"&数学

课外活动小组的 ( 名同学和他们的 % 位辅导老

师排成一排照相合影!要求 % 位老师不排在两

端!不同的排法为 \" #

)!0%& 种 *!%// 种

+!,. 种 -!(/ 种

(\"#%&%'$江苏徐州高二期中统考%\"\"&有 ( 名

学生报名参加数学%物理%化学竞赛!每人限报

一科!不同的报名方法种数为 \" #

)!/# *!.( +!%( -!(

)\"#\"\"&从集合&&!#!%!'!$!0!##'中任取三个

不同元素分别作为直线方程 $%&'(&)*& 中

的 $! '! )! 所 得 直 线 经 过 坐 标 原 点 的 有

条\"

*\"#\"\"\"&如图 . #% 所示的是某城市中 +!,两

地间整齐的道路网!若规定只能向东或向北两

个方向沿图中矩形的边前进!则某人从 +地经

过 $地到 ,地有 种不同的走法\"

图 . #%

!+\"#\"\"\"&从 -%!&!'!( 这四个数中选三个不

同数作为函数 .\"%# */%% &0%&1的系数!则可

组成 个不同的二次函数!其中偶函数

有 个\"\"用数字作答#

两个计数原理在代数计数中的应用!知

识点 #%%\"

!!\"#\"\"&用数字 '!.!, 组成四位数!各数位上的

数字允许重复!且数字 ' 至多出现一次!则可

以组成的四位数的个数为 \" #

)!/# *!(/ +!'. -!%(

第7页

数学 选择性必修第三册 #人教 \"&

$

!$\"#%&%'$山东省实验中学高二期中%\"\"\"&设

集合 $*& -#!&!#'!集合 '*&&!#!%!''!定

义 $#'*&\"%!(# 2%$$%'!($$&''!则 $

#'子集的个数是 \" #

)!$% *!%#& +!%$ -!#&

!%\"#%&%'$东北师大附中周测%\"\"& 用 &!#!%!

'!(!$ 可以组成无重复数字且能被 $ 整除的五

位数有 个\"\"用数字作答#

两个计数原理在几何图形计数中的应

用!知识点 #%%\"

!&\"#%&%%$黑龙江哈尔滨三中高二期中%\"\"&

'多选(已知集合 $*& -#!%!'!('!3!4$$!则

对于方程%%

3

&(%

4 *# 的说法正确的是 \" #

)!可表示 ' 个不同的圆

*!可表示 . 个不同的椭圆

+!可表示 ' 个不同的双曲线

-!表示焦点位于 %轴上的椭圆有 ' 个

!'\"#\"\"&如果把两条异面直线看作(一对)!那

么在五棱锥的棱所在的直线中!异面直线有

\" #

)!#$ 对 *!%$ 对

+!'& 对 -!%& 对

!#\"#\"\"&从正方体的 . 个面中选取 ' 个面!其中

有 % 个面不相邻的选法共有 \" #

)!%& 种 *!#. 种 +!#% 种 -!/ 种

两个计数原理在涂色中的应用!知识点#%%\"

!(\"#\"\"&如图 . #' 所示的为我国数学家赵爽在

为*周髀算经+作注时验证勾股定理的示意图!

现在提供 $ 种颜色给其中 $ 个小区域涂色!规

定每个区域只涂一种颜色!相邻区域颜色不相

同!则不同的涂色方案共有 \" #

)!#%& 种 *!%.& 种

+!'(& 种 -!(%& 种

图 . #' 图 . #(

!)\"#%&%%$山东师大附中高二月考%\"\"\"&现有

红%黄%蓝三种颜色!对如图 . #( 所示的正五

角星的内部涂色\"分割成六个不同区域#!要求

每个区域涂一种颜色且相邻部分\"有公共边的

两个区域#的颜色不同!则不同的涂色方法有

\" #

)!(/ 种 *!.( 种

+!,. 种 -!#(( 种

!*\"#\"\"\"&如图. #$ 所示!要给地图上 $!'!)!5

四个区域分别涂上 ( 种不同颜色中的某一种!允

许同一种颜色使用多次!但相邻区域必须涂不同

的颜色!不同的涂色方案有 种\"

图 . #$

#建议用时 '$ 分钟& ! \"##.

!\"#%&%'$江苏南通高三期末& 在中华传统文化

里!建筑%器物%书法%诗歌%对联%绘画几乎无不

讲究对称之美\"如图 . #. 所示的是清代诗人黄

柏权的*茶壶回文诗+!其以连环诗的形式展现!

%& 个字绕着茶壶成一圆环!无论顺着读还是逆

着读!皆成佳作\"数学与生活也有许多奇妙的联

系!如 %&%& 年 &% 月 &% 日\"%&%&&%&%#被称为世

界完全对称日\"公历纪年日期中数字左右完全

对称的日期#\"数学上把 %&%&&%&% 这样的对称

数叫回文数!如 ##!%(%!$%%$ 都是回文数!则用

&!#!%!'!(!$ 这些数字构成的所有三位数的回

文数中能被 ' 整除的个数是 \" #

图 . #.

)!/ *!#& +!## -!#'

$\"三角形的三边长均为整数!且最长的边为##!则

这样的三角形有 \" #

)!%$ 个 *!%. 个

+!'% 个 -!'. 个

%\"#%&%'$河北邯郸九校高二期中联考&有序数对

\"/!0#满足 /!0$ { -#

% ! -#!&!% } !且使关于 %

的方程 /%% &%%&0*& 有实数解!则这样的有

序数对\"/!0#的个数为 \" #

)!#$ *!#( +!#' -!#&

第8页

第六章 计数原理

%

&\"已知某超市为顾客提供四种结账方式$现金%支

付宝%微信%银联卡\"若顾客甲只会用现金结账!

顾客乙只会用现金和银联卡结账!顾客丙与甲%

乙结账方式不同!顾客丁用哪种结账方式都可

以\"若甲%乙%丙%丁购物后依次结账!则他们结

账方式的组合共有 \" #

)!'. 种 *!'& 种 +!%( 种 -!%& 种

'\"#%&%'$宁波北仑中学高二期中&我们把各个数

位上的数字之和为 / 的三位数称为(幸运数)!

例如(#0&!''%!/&&) 都是(幸运数)!则(幸运

数)的个数为 \" #

)!'$ *!'. +!'0 -!'/

#\"#%&%%$湖南长沙长郡中学高二月考& '多选(

有一项活动!需在 ' 名老师%/ 名男同学和 $ 名

女同学中选部分人员参加\"下列选项正确的有

\" #

)!若只需一人参加!有 #/ 种不同的选法

*!若需老师%男同学%女同学各一人参加!有

#%& 种不同的选法

+!若需一名老师%一名女同学参加!有 %( 种不

同的选法

-!若需一名老师%一名同学参加!有 ', 种不同

的选法

(\"甲与其他四位同事各有一辆私家车!车牌尾数

分别是 ,!&!%!#!$!为遵守当地某月 $ 日至 , 日

$ 天的限行规定\"奇数日车牌尾数为奇数的车

通行!偶数日车牌尾数为偶数的车通行#!五人

商议拼车出行!每天任选一辆符合规定的车!但

甲的车最多只能用一天!则不同的用车方案种

数为 \"

)\"#%&%'$广西南宁二中模拟&中国古代哲学用五

行(金%木%水%火%土)来解释世间万物的形成和

联系!如图 . #0 所示!现有 ' 种不同的颜色给

五(行)涂色!要求相邻的两(行) 不能同色!则

不同的涂色方法共有 种\"

图 . #0

*\"在一个三位数中!若十位数字小于个位和百位

数字!则称该数为(驼峰数)!比如(#&%) ($(.)

为(驼峰数)\"由数字 #!%!'!( 可构成无重复数

字的 ( 驼 峰 数) 有 个! 其 中 偶 数 有

个\"

!+\"#%&%%$北京人大附中高二月考&用 4 种不同

的颜色为两块广告牌着色!如图 . #/ 所示!要

求在!!\"!#!$四个区域中相邻\"有公共边

界#的区域不用同一种颜色\"

\"##若 4 *.!为甲着色时共有多少种不同的方法,

\"%#若为乙着色时共有 #%& 种不同的方法!求

4 的值\"

图 . #/

第9页

数学 选择性必修第三册 #人教 \"&

&

#\"$ ,-)./

#\"$\"% \" #

#\"$\"$ \"#$

! \"##0

本节重要知识点归纳

知识点 # 排列的有关概念

知识点 % 排列数与排列数公式

知识点 ' 排列的应用

排列的有关概念!知识点 #\"

!\"#%&%'$浙江嘉兴当湖高级中学高二阶段考试%

\"&'多选(下列问题属于排列问题的是 \" #

)!从 . 人中选 % 人分别去游泳和跳绳

*!从 #& 人中选 % 人去游泳

+!从班上 '& 名男生中选出 $ 人组成一个篮

球队

-!从数字 $!.!0!/ 中任取三个数组成没有重复

数字的三位数

$\"#\"& 从集合&'!$!0!,!##' 中任取两个元素!

!相加可得多少个不同的和, \"相除可得多少

个不同的商, #作为椭圆%%

/% &(%

0% *#\"/ 6&!06

&#中的 /!0!可以得到多少个焦点在 %轴上的椭

圆方程, $作为双曲线%%

/% -(%

0% *#\"/ 6&!06&#

中的 /!0!可以得到多少个焦点在 %轴上的双曲

线方程,

上面四个问题属于排列问题的是 \" #

)!!\"#$ *!\"$

+!\"# -!!$

排列数与排列数公式!知识点 %\"

%\"#%&%'$北京大兴区高二期中%\"&若 )%

4 *#%!

则 4 等于 \" #

)!% *!' +!( -!$

&\"\"\"#%&%( 1%&%' 1%&%% 1- 1%&&% 等于

\" #

)!)%#

%&%( *!)%%

%&%(

+!)%'

%&%( -!)%(

%&%(

'\"#\"\"&'多选(下列各式中与排列数 )3

4 相等的

是 \" #

)! 4.

\"4 -3#.

*!4\"4 -##\"4 -%#/-/\"4 -3#

+!4)3

4 -#

4 -3&#

-!)#

4)3-# 4 -#

#\"\"\"\"#不等式 )%

4 -# -4 70 的解集为 \" #

)!&42-# 24 7$' *!&#!%!'!('

+!&'!(' -!&('

用列举法解决排列问题!知识点 '\"

(\"#%&%'$吉林长春东北师大附中期末模拟%\"&

杜牧*羊栏浦夜陪宴会+的诗句中(球来香袖依

稀暖!酒凸觥心泛滟光)描述的是唐代酒宴上的

助兴游戏(击鼓传花)!也称传彩球\"游戏规则

为$鼓响时!众人开始依次传花!至鼓停为止!此

时花在谁手中!谁就上台表演节目\"甲%乙%丙三

人玩击鼓传花!鼓响时!第 # 次由甲将花传出!

每次传花时!传花者都等可能地将花传给另外

两人中的任何一人!经过 ( 次传递后!花又在甲

手中的可能传递方式的方法数为 \" #

)!( *!. +!/ -!#,

)\"#%&%%$湖南长沙长郡中学高二期末%\"& 甲%

乙%丙三人排成一排照相!甲不站在排头的所有

排列种数为 \" #

)!. *!( +!/ -!#&

无限制条件的排列问题!知识点 '\"

*\"#%&%%$河南郑州一中高二月考%\"&. 名学生

排成两排!每排 ' 人!则不同的排法种数为

\" #

)!'. *!#%& +!0%& -!%(&

!+\"#%&%'$山东济南高二期中统考%\"&小明和妹

妹跟着父母一家四口到游乐园游玩!购票后依

次入园!则这 ( 个人的入园顺序的种数是

\" #

)!( *!. +!#% -!%(

第10页

第六章 计数原理

'

!!\"#%&%'$山东济南四中高二联考%\"&小明收集

了五枚不同的铜钱!准备将其串成精美的挂件

\"如图 . #, 所示#!根据不同的排放顺序!不同

的串法有 种\"

图 . #,

元素的!在\"与!不在\"问题!知识点 '\"

!$\"#%&%'$广东江门台山一中高二月考%\"&某班

举行了由 . 名学生参加的(弘扬中华文化)演

讲比赛!决出第 # 名到第 . 名的名次\"没有并

列名次#\"甲%乙两名参赛者去询问成绩!回答

者对甲说$(很遗憾!你和乙都没有得到冠军)0

对乙说$(你当然不会是最差的)\"从回答分析!

. 人的名次排列情况可能有 \" #

)!%#. 种 *!%(& 种

+!%// 种 -!'/( 种

!%\"#%&%'$北京模拟%\"&有甲%乙%丙%丁%戊 $ 名

同学站成一排参加文艺汇演!若甲不站在两

端!则不同排列方式共有 \" #

)!#(( 种 *!0% 种

+!'. 种 -!%#. 种

!&\"#%&%'$黑龙江哈尔滨三中高二期中%\"&为推

动校园体育建设!落实青少年体育发展促进工

程!哈三中举行了春季趣味运动会!某班派出

甲%乙等 / 名学生参加 / 1%&& 米接力赛!其中

甲只能跑第 # 棒或第 / 棒!乙只能跑第 0 棒或

第 / 棒!那么不同棒次安排方案种数为\" #

)!0%& *!#((&

+!%#.& -!%//&

!'\"#%&%%$广东深圳中学高二月考%\"\"&三个女

生和五个男生排成一排\"

\"##如果女生必须全排在一起!有多少种不同

的排法,

\"%# 如果女生必须全分开!有多少种不同的

排法,

\"'#如果两端都不能排女生!有多少种不同的

排法,

\"(#如果两端不能都排女生!有多少种不同的

排法,

元素的!相邻\"或!不相邻\"问题!知识点'\"

!#\"#\"\"&一排 . 个座位坐了 % 个三口之家\"若每

家人坐在一起!则不同的坐法种数为 \" #

)!#% *!'. +!0% -!0%&

!(\"#\"\"&. 名同学和 # 名老师去参观(伟大征程

111庆祝中国共产党成立 #&& 周年特展)!参

观结束后他们排成一排照相留念\"若老师站在

正中间!甲%乙两同学相邻!则不同的排法共有

\" #

)!%(& 种 *!#,% 种 +!#%& 种 -!,. 种

!)\"#%&%'$广东高州中学高二期中%\"\"&我国第

一艘航母(辽宁舰)在某次舰载机起降飞行训

练中!有 $ 架歼 %& 飞机准备着舰\"如果甲%乙

两机必须相邻着舰!而丙%丁两机不能相邻着

舰!那么不同的着舰方法有 \" #

)!#/ 种 *!%( 种 +!'. 种 -!(/ 种

排列的综合问题!知识点 '\"

!*\"#%&%%$重庆实验中学高二期末%\"\"&一条铁

路有 4 个车站!为适应客运需要!新增了 3个

车站!且 36#!客运车票增加了 .% 种!则原有

多少个车站, 现在有多少个车站,

第11页

数学 选择性必修第三册 #人教 \"&

#

#\"$\"& % &

#\"$\"' %&$

! \"##/

本节重要知识点归纳

知识点 # 组合的有关概念

知识点 % 组合数与组合数公式

知识点 ' 组合的应用

拓展知识点 排列与组合的综合应用

组合的有关概念!知识点 #\"

!\"#%&%%$上海川沙中学高二月考%\"& '多选(给

出下面几个问题!其中是组合问题的有 \" #

)!由 #!%!'!( 构成的含有 % 个元素的集合个数

*!五个队进行单循环比赛的比赛场次数

+!由 #!%!' 组成两位数的不同方法数

-!由 #!%!' 组成的无重复数字的两位数的个数

$\"#%&%%$天津耀华中学高二月考%\"&下列问题

中! 组 合 问 题 有 ! 排 列 问 题 有

\"\"填序号#

!从 #!'!$!, 中任取两个数相加!所得不同

的和0

\"平面内有 #& 个点!以其中每 % 个点为端点的

线段的条数0

#从甲%乙%丙三名同学中选两名同学参加不同

的两项活动\"

组合数的计算!知识点 %\"

%\"#\"&若 )'

3 *.+(

3!则 3等于 \" #

)!, *!/

+!0 -!.

&\"#\"\"&'多选(已知 4!3$(#!且 4 63!则

\" #

)!+3

4 *+4 -3 4

*!)3&# 4 6)3

4

+!)3

4 6+3

4

-!+3

4 &+3-# 4 *+3

4 &#

'\"#%&%'$黑龙江大庆铁人中学高二期中%\"&若

)%

%4 *)%

')%

4!+%

, *+%%

, !则 %&4 * \"

#\"#%&%%$山东济南外国语学校高二期末%\"\"&

已知 +(

4!+$

4!+.

4 成等差数列!求 +#%

4 的值\"

简单的组合问题!知识点 '\"

(\"#%&%%$北京五中高二月考%\"&某乒乓球队有

, 名队员!其中有两名种子选手!现要选 $ 名队

员参加运动会!种子选手都必须在内!则不同的

选法有 \" #

)!+$

, 种 *!)'

0 种 +!+'

0 种 -!+$

0 种

)\"#%&%%$浙江长兴中学高二期末%\"&若已知集

合 8*&#!%!'!('!则集合 8的子集中含有 % 个

元素的子集个数为 \"

*\"#%&%'$广东湛江二十一中高二期中%\"&从甲%

乙等 . 名同学中随机选 ( 名参加社区服务工

作!则甲%乙都入选的情况有 种\"

有限制条件的组合问题!知识点 '\"

!+\"#\"&. 名同学到甲%乙%丙三个场馆做志愿者!

每名同学只去 # 个场馆!甲场馆安排 # 名!乙

场馆安排 % 名!丙场馆安排 ' 名!则不同的安

排方法共有 \" #

)!#%& 种 *!,& 种 +!.& 种 -!'& 种

!!\"#%&%%$浙江诸暨二中高二期中%\"\"&某校开

设, 门课程供学生选修!其中 $!'!)三门由于

上课时间相同!至多选一门\"学校规定!每位同

学选修 ( 门!共有多少种不同的选修方案\"用

数字作答#,

第12页

第六章 计数原理

(

!$\"#%&%%$江苏盐城中学高二月考%\"\"& 现有

#& 件产品!其中有 % 件次品!任意抽出 ' 件

检查\"

\"##恰有 # 件是次品的抽法有多少种,

\"%#至少有 # 件是次品的抽法有多少种,

与几何有关的组合!知识点 '\"

图 . ##&

!%\"#\"&如图. ##& 所示!'+9,

的边 9+ 上有四 个点 $# !

$%!$' !$( !9,上有三个点

'# !'%!'' !则以 9!$# !$%!

$' !$( !'# !'%!'' 中三点为

顶点的三角形的个数为 \" #

)!'& *!(% +!$( -!$.

!&\"#\"&一个圆的圆周上有 / 个点!连接任意两点

画出弦\"如果有一对弦不相交且没有共同的端

点!我们称它们为一组(自由弦对)!则此圆中

的(自由弦对)总数为 \" #

)!0& *!#(& +!%#& -!%/&

!'\"#\"\"& 平面内有 . 条直线!其中没有两条平

行!也没有三条交于一点!则共有 个

交点\"\"用数字作答#

组合中的分组#分配问题!知识点')拓展知识点\"

!#\"#\"&%&%# 年是(十四五)开局之年!(三农)工

作重心转向全面推进乡村振兴\"某县现招录了

$ 名大学生!其中 ' 名男生!% 名女生!计划全

部派遣到 $!'!)三个乡镇参加乡村振兴工

作!每个乡镇至少派遣 # 名大学生!乡镇 $只

派 % 名男生!则不同的派遣方法种数为\" #

)!, *!#/ +!'. -!$(

!(\"#\"&徐州市政有五项不同的工程被三个公司

中标!每项工程有且只有一个公司中标!且每

个公司至少中标一项工程!则共有中标方案

\" #

)!#&& 种 *\"'$ 种

+\"#/& 种 -\"#$& 种

!)\"#\"\"&某校开展(学史明理%学史崇德%学史

力行)活动\"由 ( 位思政教师组成宣讲团!面向

高中三个年级的学生进行党史宣讲\"若要求高

一年级安排 % 位教师!高二%高三年级各安排 #

位教师!则不同的安排方案种数为 \"

\"结果用数字作答#

排列与组合的综合应用!拓展知识点\"

!*\"#%&%'$广东广州番禺中学高二期中%\"&立德

学校于三月份开展学雷锋主题活动!某班级 $

名女生和 % 名男生!分成两个小组去两地参加

志愿者活动!每小组均要求既要有女生又要有

男生!则不同的分配方案有 \" #

)!%& 种 *!( 种 +!.& 种 -!/& 种

$+\"#%&%'$广东深圳外国语学校高二月考%\"&

%&%% 年我校初升高学生访校活动期间!需安排

甲%乙%丙%丁四名志愿者去慧阅读中心%智创

中心和学生发展中心参与讲解工作!要求每个

中心至少一人!则甲%乙被安排到同一个中心

的概率为 \"

$!\"#%&%%$辽宁东北育才中学高二月考%\"\"&已

知 #& 件不同产品中有 ( 件是次品!现对它们

进行一一测试!直至找出所有 ( 件次品为止\"

\"##若恰在第 $ 次测试!才测试到第一件次品!

第 #& 次才找到最后一件次品!则这样的不

同测试方法数是多少,

\"%#若恰在第 $ 次测试后!就找出了所有的 (

件次品!则这样的不同测试方法数是多少,

第13页

数学 选择性必修第三册 #人教 \"&

)

#建议用时 '$ 分钟& ! \"#%&

!\"#%&%'$河北石家庄部分学校高二期中联考&编

钟是中国古代重要的打击乐器!是钟的一种\"编

图 . ###

钟兴起于周朝!盛于春

秋战国直至秦汉\"如图

. ### 所示!某仿古双

层编钟模型摆件由 #%

枚大小不同的编钟组

成!若将这 #% 枚编钟

重新悬挂!上层 $ 枚!

下层 0 枚!且要求每层的编钟左边都比右边的

大!则不同的悬挂方法有 \" #

)!.0% 种 *!0%/ 种

+!0,% 种 -!/&& 种

$\"将 $ 名学生分配到两个不同的志愿者值勤点!

每个值勤点至少安排 % 名学生!那么不同的安

排方法种数为 \" #

)!#& *!%& +!'& -!(&

%\"在航天员进行的一项太空实验中!要先后实施

. 个程序!其中程序 $只能出现在第一步或最

后一步!程序 '!)实施时必须相邻!则实验顺

序的编排方法共有 \" #

)!%( 种 *!,. 种

+!#%& 种 -!#(( 种

&\"某班班会准备从含甲%乙%丙的 0 名学生中选取

( 人发言!要求甲%乙两人至少有一个发言!且

甲%乙都发言时丙不能发言!则甲%乙两人都发

言且发言顺序不相邻的概率为 \" #

)!%

#0 *!'

#. +!'

%. -!'

%/

'\"#%&%%$河北唐山开滦二中高二下期末& '多

选(现有 ' 名男生和 ( 名女生!在下列不同条件

下进行排列!则 \" #

)!排成前后两排!前排 ' 人后排 ( 人的排法共

有 $(&& 种

*!全体排成一排!甲不站排头也不站排尾的排

法共有 '.&& 种

+!全体排成一排!女生必须站在一起的排法共

有 $0. 种

-!全体排成一排!男生互不相邻的排法共有

#((& 种

#\"#%&%'$河北衡水中学高二期末& '多选(第 %(

届冬奥会于 %&%% 年 % 月 ( 日在中国北京市和

张家口市联合举行!甲%乙等 $ 名志愿者计划到

高山滑雪%自由式滑雪%短道速滑和花样滑冰 (

个比赛区从事志愿者活动!则下列说法正确的

有 \" #

)!若短道速滑赛区必须安排 % 人!其余各安排

# 人!则有 .& 种不同的方案

*!安排这 $ 人排成一排拍照!若甲%乙不相邻!

则有 (/ 种不同的排法

+!若每个比赛区至少安排 # 人!则有 %(& 种不

同的方案

-!已知这 $ 人的身高各不相同!若安排 $ 人拍

照!前排 % 人!后排 ' 人!前后排互不影响!且

后排 ' 人中身高最高的站中间!则有 (& 种不

同的排法

(\"#%&%%$广东广州奥林匹克中学高二期中&阅读

名著!品味人生!是中华民族的优良传统\"学生

李华计划在高一年级每周一至周五每天阅读半

个小时中国四大名著$*红楼梦+ *三国演义+

*水浒传+及*西游记+!其中每天阅读一种!每

种至少阅读一次!则每周不同的阅读计划共有

种\"用数字作答#\"

)\"#%&%%$山东淄博六中高二月考&从甲%乙等 /

名志愿者中选 $ 人参加周一到周五的社区服

务!每天安排一人!每人只参加一天\"若要求甲%

乙两人至少选一人参加!且当甲%乙两人都参加

时!他们参加社区服务的日期不相邻!那么不同

的安排种数为 \"用数字作答#\"

*\"将标有 #!%!'!(!$!. 的 . 个形状%大小均相同

的小球放入 $!'!)三个盒子中!每个盒子放两

个小球!其中 # 号小球不放入 $盒子中!% 号小

球和 ' 号 小 球 都 不 放 入 '盒 子 中! 则 共 有

种不同的放法\"\"用数字作答#

!+\"#%&%'$北京西城区高二期末&从( 男' 女共0

名志愿者中!选出 ' 人参加社区义务劳动\"

\"##共有多少种不同的选择方法,

\"%#若要求选中的 ' 人性别不能都相同!求共

有多少种不同的选择方法\"

第14页

第六章 计数原理

*

#\"! ) #\"$ 1/23

! \"#%&

对主体元素认识不清致误

!\"五名应届毕业生报考三所高校!每人报且仅报

一所院校!则不同的报名方法的种数是 \" #

)!+'

$ *\")'

$ +\"$' -\"'$

$\"某班 ( 名学生报名参加学校运动会中的三项体

育比赛! 每人限报一项! 不同的报名方法有

种0如果他们争夺这三项比赛的冠军!

且不并列!则获得冠军的可能性有 种\"

分类标准不明确致误

%\"某台小型晚会由 . 个节目组成!演出顺序有如

下要求$节目甲必须排在前两位!节目乙不能排

在第一位!节目丙必须排在最后一位\"该台晚会

节目演出顺序的编排方案共有 \" #

)!'. 种 *\"(% 种 +\"(/ 种 -\"$( 种

&\"中国古代的五音!一般指五声音阶!依次为$宫%商%

角%徵%羽!如果把这五个音阶全用上!排成一个 $

个音阶的音序!且要求宫%羽两音阶在角音阶的同

侧!可排成这样的不同音序的种数为 \" #

)!#%& *\",& +\"/& -\".&

图 . ##%

'\"#%&%%$山东枣庄一中高二月考&

如图 . ##% 所示!某广场圆形花坛

内有五个花池!有五种不同颜色的

花卉可供栽种!每个花池内只能栽

种同种颜色的花卉!相邻两池的花

色不同!则不同的栽种方案共有 \" #

)!#/& 种 *!%(& 种 +!'.& 种 -!(%& 种

混淆均匀分组和非均匀分组的计算

#\"某班有 $& 人!从中选 #& 人均分为 % 组\"即每组

$ 人#!一组打扫教室!一组打扫操场!那么不同

的选派方法有 \" #

)!+#&

$&/+$

#&种 *\"

+#&

$&/+$

#&

% 种

+\"+#&

$&/+$

#&/)%

% 种 -\"+$

$&/+$

($/)%

% 种

(\"将 . 名人员安排到 ' 个社区进行卫生督导!. 人

中有 ( 名(专家)和 % 名(助手)!# 名(助手)至

少需要 # 名(专家)进行工作传授!每个社区至

少需要 # 名(专家)!且 % 名(助手)不能分配到

同一 个 社 区! 则 不 同 的 分 配 方 案 种 数 是

\"

)\"有 . 本不同的书按下列分配方式分配!共有多

少种不同的分配方式,

\"##分成每组都是 % 本的三组0

\"%#分给甲%乙%丙三人!每人 % 本\"

出现重复计数致误

*\"某市春雨小区有 ' 个不同的住户家里供暖出现

问题!负责该小区供暖的供热公司共有 ( 名水

暖工!现要求这 ( 名水暖工都要分配出去!且每

个住户家里都要有人去检查!则分配方案共有

\" #

)!#% 种 *\"%( 种 +\"'. 种 -\"0% 种

!+\"某医院有内科医生 #% 名!外科医生 / 名!现选

派 $ 名参加社区志愿者医疗队\"

\"##甲%乙两人至少有一人参加!有多少种

选法,

\"%#队中至少有一名内科医生和一名外科医生!

有多少种选法,

第15页

数学 选择性必修第三册 #人教 \"&

!+

! \"#%#

排列组合的综合应用

!\"某次联欢会要安排' 个歌舞类节目%% 个小品类

节目和 # 个相声类节目的演出顺序!则同类节

目不相邻的排法种数是 \" #

)!0% *\"#%& +\"#(( -\"#./

$\"#%&%%$山东枣庄高二下期末&从 # 30 这七个

数字中选 ' 个数字!组成无重复数字的三位数!

其中偶数的个数为 \" #

)!%#& *!#%& +!,& -!($

%\"#%&%%$安徽安庆二中高二下期末& 教育部于

%&%% 年开展全国高校书记校长访企拓岗促就

业专项行动!某市 ( 所高校的校长计划拜访当

地的甲%乙两家企业!若每名校长拜访 # 家企

业!每家企业至少接待 # 名校长!则不同的安排

方法共有 \" #

)!/ 种 *!#& 种 +!#( 种 -!%& 种

计数原理与排列组合的综合应用

&\"若把单词(456746)的字母顺序写错了!则可能

出现的错误写法的种数为 \" #

)!#0, *\"#/# +\"#,' -\"%&$

'\"若一个四位数的各位数字相加和为 #&!则称该

数为(完美四位数)!如(%&#0)\"那么用数字 &!

#!%!'!(!$!.!0 组成的无重复数字且大于 %&#0

的(完美四位数)个数为 \" #

)!0# *\".. +\"$, -\"$'

#\"从 . 名男生%% 名女生共 / 名学生中选出队长 #

人!副队长 # 人!普通队员 % 人组成 ( 人服务

队! 要 求 服 务 队 中 至 少 有 # 名 女 生! 共 有

种不同的选法\"\"用数字作答#

#建议用时 (& 分钟& ! \"#%%

!\"#%&%'$广东广州番禺中学高二期中&哥德巴赫

猜想作为数论领域存在时间最久的未解难题之

一!自 #0(% 年提出至今!已经困扰数学界长达

三个世纪之久\"哥德巴赫猜想是(任一大于 % 的

偶数都可写成两个质数的和)!如 #( 8' 9##\"

根据哥德巴赫猜想!拆分 %% 的所有质数记为集

合 $!从 $中随机选取两个不同的数!其差大于

/ 的概率为 \" #

)!#

$ *!%

$ +!'

$ -!(

$

$\"#%&%'$山东潍坊高二期末&某大学派遣甲%乙%

丙%丁%戊%己六位同学参加 $!'!)三个企业的

调研工作!每个企业去 % 人!且甲去 '企业!乙

不去 )企业!则不同的派遣方案共有 \" #

)!(% 种 *!'& 种 +!%( 种 -!#/ 种

%\"#%&%% $湖北襄阳五中高二月考& 为了宣传

%&%% 年北京冬奥会和冬残奥会!某学校决定派

小明和小李等 $ 名志愿者将两个吉祥物安装在

学校的体育广场!每人参与且只参与一个吉祥

物的安装!每个吉祥物都至少由两名志愿者安

装\"若小明和小李必须安装相同的吉祥物!则不

同的分配方案种数为 \" #

)!. *!/ +!#& -!#%

&\"#%&%%$辽宁本溪高级中学高二期末& (学习强

国)学习平台是由中宣部主管!以深入学习宣传

习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内

容!立足全体党员%面向全社会的优质平台!现日

益成为老百姓了解国家动态%紧跟时代脉搏的热

门 )::\"该款软件主要设有(阅读文章)(视听学

习)两个学习板块和(每日答题)(每周答题)(专

项答题)(挑战答题)四个答题板块\"某人在学习

过程中!(阅读文章)与(视听学习)两大学习板

块间最多隔 # 个答题板块的学习方法有 \" #

)!#,% 种 *!%(& 种

+!('% 种 -!$%/ 种

'\"#%&%%$福建泉州七中高二期末& '多选( 某学

生想在物理%化学%生物%政治%历史%地理%技术

这七门课程中选三门作为选考科目!下列说法

正确的是 \" #

)!若任意选择三门课程!选法总数为 +'

0 种

*!若物理和化学至少选一门!选法总数为 +#

%+%

$ 种

+!若物理和历史不能同时选!选法总数为\"+'

0

-+#

$ #种

-!若物理和化学至少选一门!且物理和历史不

能同时选!选法总数为\"+#

%+%

$ -+#

$ #种

#\"#%&%%$浙江宁波镇海中学高二期末& '多选(

为弘扬我国古代的(六艺文化)!某夏令营主办

单位计划利用暑期开设(礼) (乐) (射) (御)

(书)(数)六门体验课程!每周一门!连续开设

六周!则下列说法正确的是 \" #

)!某学生从中选 % 门课程学习!共有 #$ 种选法

*!课程(乐)(射)排在不相邻的两周!共有 %(&

种排法

第16页

第六章 计数原理

!!

+!课程(御) (书) (数) 排在相邻的三周!共有

#(( 种排法

-!课程(礼)排在第一周!课程(数)不排在最后

一周!共有 ,. 种排法

(\"#%&%'$福建厦门一中高二期末&从 &!#!'!$!

0!, 这五个数中!每次取出两个不同的数分别

记为 $!'!则方程 $%&'(*& 所表示的不同直

线共有 条\"

图 . ##'

)\"如图 . ##' 所示!在排成 ( 1(

方阵的 #. 个点中!中心位置 (

个点在某圆内!其余 #% 个点在

圆外\"从 #. 个点中任选' 点!作

为三角形的顶点!其中至少有

一个顶点在圆内的三角形共有

个\"

*\"#%&%'$广东佛山顺德一中高二期中&为了迎接

期中考试!某同学要在周日上午安排五个学科

的复习工作!为提高复习效率!数学学科的复习

时间不安排在早晨第一科!并且数学和物理两

科的复习时间不连在一起!那么五个学科复习

时间 的 顺 序 安 排 共 有 种 \" 用 数 字

作答#\"

!+\"#%&%%$四川外国语大学附属外国语学校高二

期中& 已知函数 (*.\" %# 的定义域是 $*

{%2#(%(0!%$(}!值域为 '*&&!#'\"

\"##定义域中有且仅有 ( 个元素对应的函数值

是 #!这样的函数 .\"%#共有多少个,

\"%#满足题设条件的函数 .\"%#共有多少个,

!!\"#%&%%$广东大埔虎山中学高二月考&有编号

分别为 #!%!'!( 的四个不同的盒子和四个不

同的小球!现把四个小球都逐个随机放入盒子

里\"\"用数字作答#

\"##求恰有一个盒子没放球的概率0

\"%#若四个盒子都有球!且编号为 # 的小球不

能放入编号为 # 的盒子中!有多少种不同

的放法,

\"'#若没有一个盒子空着!且球的编号与盒子

的编号不全相同!有多少种不同的放法,

第17页

数学 选择性必修第三册 #人教 \"&

!$

#\"% 4567(

#\"&\"% '()*+

! \"#%'

本节重要知识点归纳

知识点 # 二项式定理

知识点 % 二项展开式的通项

二项式定理的正用#逆用!知识点 #\"

!\"#%&%'$北京通州区高二期中统考%\"&二项式

\"%&%#' 的展开式为 \" #

)!%' &.%% &.%&/ *!%' &.%% &#%%&/

+!%' &#%%% &.%&/ -!%' &#%%% &#%%&/

$\"#%&%' $江苏宿迁高二期中统考%\"& 设 4$

(#!化简 +&

4 &+#

4.# &+%

4.% &+'

4.' &- &+4

4.4

等于 \" #

)!.4 *!.4 -#

+!04 -!04 -#

%\"#%&%%$江苏灌云高级中学高二期中%\"\"&化

简$\"%-##$ &$\"%-##( &#&\"%-##' &#&\"%-

##% &$\"%-##\"

求展开式的特定项或项的系数!知识点 %\"

&\"#\"& 槡%

% -%

槡 ( %)

#&

的展开式的中间一项是\" #

)!-%$% *!%$%

+!#&$% -!

/(&

%

'\"#\"&二项式 %%-# ( %)

.

的展开式中常数项是

\" #

)!-#.& *!#.&

+!-%& -!%&

#\"#\"&在 %%&

# ( %)

.

的展开式中!含 %( 的项的系

数为 \" #

)!#.& *!#,%

+!#/( -!#/.

(\"#%&%%$山东济南一中高二期中%\"\"& '多选(

对于二项式 #

%( &%) ' 4

\"4$(##!下列判断正确

的有 \" #

)!存在 4$(#!展开式中有常数项

*!对任意 4$(#!展开式中没有常数项

+!对任意 4$(#!展开式中没有 %的一次项

-!存在 4$(#!展开式中有一次项

含参数问题!知识点 %\"

)\"#%&%%$河北保定一中高二期中%\"& 若\"# 9

槡%#( */ &0槡%\"/!0均为有理数#!则 / &0等于

\" #

)!'' *!%,

+!%' -!#,

*\"#%&%' $江苏江浦高级中学高二期中%\"&

(

槡%-#

%%) 4

的展开式中!第 ' 项与第 $ 项的二

项式系数相等!则展开式的常数项为 \" #

)!-' *!'

+!-#$

( -!

#$

(

第18页

第六章 计数原理

!%

!+\"#\"\"& 若 %-%

( %% )

4

的展开式共有 0 项!则常

数项等于 \"

!!\"#%&%%$四川泸县一中高二期中%\"\"&若\"%&

/##& 的 展 开 式 中! %0 的 系 数 为 #$! 则 / *

\"\"用数字填写答案#

几个多项式积展开式中特定项$系数%

问题!知识点 %\"

!$\"#%&%'$河北衡水中学期末%\"&在\"# ;%&%%#

/\"# 9%#/ 的展开式中!含 %( 项的系数是

\" #

)!#% *!%#

+!(% -!/(

!%\"#%&%%$浙江衢州高二期末%\"\"&多项式\"%%

&##\"%&## \"%&%# \"%&'#的展开式中 %' 的

系数为 \" #

)!. *!/

+!#% -!#'

!&\"#%&%%$新高考全国!%\"\"& ( # ; ) (

%

\"%&(#/

的展开式中 %%(. 的系数为 \"用数字

作答#\"

三项式展开式中特定项$系数%问题!知

识点 %\"

!'\"#%&%'$广东东莞模拟统考%\"& 在 ( %&

#

%-

()

#&

的展开式中!%'(0 的系数为 \" #

)!-#%& *!#%&

+!.& -!-.&

!#\"#%&%%$江苏阜宁中学高二期中%\"\"& '多

选(关于多项式 %&

#

% ( - ) %

(

的展开式!下列结

论中正确的有 \" #

)!各项系数之和为 &

*!各项系数的绝对值之和为 %$.

+!存在常数项

-!含 %项的系数为 -(&

二项式定理的应用!知识点 #%%\"

!(\"#%&%% $吉林长春东北师大附中高二月考%

\"\"&已知 % 1#&#& &/\"&(/ 7###能被 ## 整

除!则实数 / 的值为 \" #

)!0 *!/

+!, -!#&

!)\"#%&%'$江苏镇江高二期中统考%\"\"&今天是

第一天\"星期一#!则第 %'&天是星期 \"

!*\"#%&%%$上海建平中学高二月考%\"\"\"&已知

数列&/4 '\"4 为正整数#是首项为 /# !公比为 :

的等比数列\"

\"##求和$/# +&

% -/%+#

% &/'+%

%!/# +&

' -/%+#

' &

/'+%

' -/(+'

' 0

\"%#由\"##的结果归纳概括出关于正整数 4 的

一个结论!并加以证明\"

第19页

数学 选择性必修第三册 #人教 \"&

!&

#\"&\"$ '(),$-./

! \"#%(

本节重要知识点归纳

知识点 二项式系数的性质

二项展开式的系数$和%问题

!\"#\"&在\" / &0# 4的二项展开式中!与第 ;项的

二项式系数相同的项是 \" #

)!第\"4 -;#项 *!第\"4 -;-##项

+!第\"4 -;&##项 -!第\"4 -;&%#项

$\"#%&%%$山东师大附中高二期中%\"\"&若\"% ;

%##&展开式中二项式系数和为 $!所有项系数和

为 '!一次项系数为 )!则 $&'&)等于

\" #

)!(&,$ *!(&,0 +!-(&,$ -!-(&,0

%\"#%&%%$重庆江津中学高二月考%\"\"& '多选(

已知 #

槡%

-/% ( ) % 4

\"/ 7%#的展开式中第 ' 项的二

项式 系 数 为 ($! 且 展 开 式 中 各 项 系 数 和 为

#&%(!则下列说法正确的是 \" #

)!/ *#

*!展开式中偶数项的二项式系数和为 $#%

+!展开式中第 . 项的系数最大

-!展开式中的常数项为 ($

&\"#%&%%$辽宁省实验中学高二月考%\"&若\"%&

'(# 4的展开式中各项系数的和等于\"0/ &0##&

的展 开 式 中 二 项 式 系 数 的 和! 则 4 的 值 为

\"

'\"#%&%% $ 西北工业大学附属中学高二月考%

\"\"&已知\"%% -%%-'##& */& &/# \"%-## &

/%\"%-##% &- &/%& \"%-##%&\"

\"##求 /% 的值0

\"%#求 /# &/' &/$ &- &/#,的值0

\"'#求 /& &/% &/( &- &/%&的值\"

展开式的项的系数问题

#\"#%&%'$福建三明高二期中联考%\"\"& 若 ( '%

-#

%) 4

\"4$(##的展开式中各项系数和为 .(!

则其展开式中的常数项为 \" #

)!-$(& *!$(& +!-#'$ -!#'$

(\"#\"\"&一个教室有五盏灯!一个开关控制一盏

灯!每盏灯都能正常照明!那么这个教室能照明

的方法有 \" #

)!%( 种 *!%$ 种 +!'# 种 -!'% 种

)\"#%&%%$浙江%\"\"& 已知多项式\"%&%# \"%-

##( */& &/#%&/%%% &/'%' &/(%( &/$%$ !则 /%

* !/# &/% &/' &/( &/$ * \"

展开式的系数或二项式系数最值问题

*\"#%&%'$黑龙江齐齐哈尔八中阶段考试%\"& ( %

&槡%

%)

/

的展开式中!二项式系数最大的项是

\" #

)!第 ' 项 *!第 ( 项

+!第 $ 项 -!第 . 项

!+\"#%&%'$江西师大附中模拟%\"\"& 若 ( %%% -

#

%) 4

的展开式中有且仅有第五项的二项式系

数最大!则展开式中系数最大的是 \" #

)!第二项 *!第三项 +!第四项 -!第五项

!!\"#%&%%$北京十二中高二月考%\"\"& '多选(

关于\"/ -0##&的说法!正确的是 \" #

)!展开式中的二项式系数之和为 #&%(

*!展开式中的第 . 项的二项式系数最大

+!展开式中第 $ 项或第 0 项的二项式系数

最大

-!展开式中第 . 项的系数最小

!$\"#%&%% $ 北京理工附中高二期末%\" \"& 在

%%-/

'

槡 ( %)

(

的二项展开式中!常数项是 /!则实

数 / 的值是 !第 项的二项式

系数最大\"

第20页

第六章 计数原理

!'

#建议用时 (& 分钟& ! \"#%$

!\"#%&%%$河北衡水高二联考&已知 4$(#!则(4

6,) 是( #

%-' ( %)

4

展开式中的二项式系数之

和为 #&%()的 \" #

)!充分不必要条件

*!必要不充分条件

+!充要条件

-!既不充分也不必要条件

$\"已知\"# 9%# 4的展开式中第 ( 项与第 / 项的二

项式系数相等!则奇数项的二项式系数和为

\" #

)!%, *!%#& +!%## -!%#%

%\"#%&%'$福建三明高二期中联考& 在\"%%-##$

的展开式中!若二项式系数最大值为 4!则 +%

% &

+%

' &+%

( &- &+%

4 等于 \" #

)!#/& *!#.$ +!#%& -!$$

&\"#%&%%$河北衡水滏运中学高二期中& \"%%-##

/\"%-%#/\"%-'#/\"%-(#/\"%-$#的展开

式中!含 %( 项的系数是 \" #

)!-%/ *!%/ +!%, -!-%,

'\"# %&%% $ 辽 宁 沈 阳 高 二 期 末 & 在 二 项 式

槡%&

#

% / #

(

槡 ( %)

4

的展开式中!前三项的系数成

等差数列!把展开式中所有的项重新排成一

列!则有理项互不相邻的概率是 \" #

)!$

#% *!#

' +!#

( -!$

#.

#\"#%&%' $山东日照高二期末联考& 已知\"% ;

%#%&%' */& &/# \"%&## &/%\"%&##% &- &/%&%'

/\"%&##%&%' !则 2/& 2&2/# 2&2/% 2&- &

2/%&%' 2等于 \" #

)!%(&(. *!# +!%%&%' -!&

(\"'多选(在\"%%-##/ 的展开式中!下列说法正确

的有 \" #

)!展开式中所有奇数项的二项式系数和为 #%/

*!展开式中所有项的系数和为 %/

+!展开式中二项式系数最大的项为第五项

-!展开式中含 %' 的项的系数为 -((/

)\"'多选(对任意实数 %!有\"%%-'#0 */& &/# \"%

-## &/%\"%-##% &- &/0 \"%-##0 !则下列结

论成立的是 \" #

)!/& *-#

*!/% */(

+!/& -/# &/% -- &/. -/0 *-'0

-!2/& 2&2/# 2&- &2/0 2*'0

*\"#%&%'$山东潍坊高二期末&若\"%&## 4 的展开

式中第 $ 项的二项式系数最大!则自然数 4 的

值可以为 \"只写一个即可#\"

!+\"#%&%%$甘肃天水一中高二月考& 已知函数

.\"%# *#&%&'<=>%在 %*& 处的切线与直线 4%

-(*& 平行!则\"# 9%&%%#\"# ;%# 4 展开式中

含 %% 项的系数为 \"

!!\"#%&%%$浙江杭州高级中学高二月考&杨辉三

角在我国最早由贾宪在*释锁算书+中提出!后

来南宋数学家杨辉在所著的*详解九章算法+

中进行了详细说明\"杨辉三角中的三角形数表

是自然界和谐统一的体现\"杨辉三角是二项式

系数在三角形中的一种几何排列\"其中蕴含着

二项式系数的性质!例如递推性质 +<

4 &# *

+<-# 4 &+<

4\"在 槡%-% ( %)

.

的展开式中!第三项和

第四项的二项式系数和为 !常数项为

\"

!$\"#%&%'$河南洛阳高二期中& 已知二项式 ( #

%

&%%) 4

\"

\"##若展开式中第 $ 项%第 . 项%第 0 项的二项

式系数成等差数列!求展开式的第 / 项0

\"%#若展开式中前三项的二项式系数的和等于

0,!求展开式中系数最大的项\"

第21页

数学 选择性必修第三册 #人教 \"&

!#

89 ! 4567():;<=

! \"#%.

!\"#%&%'$福建漳州教学质量检测&已知 ( %&% 9

#

%) 4

\"4$(##的展开式中常数项为 %&!则 4 等

于 \" #

)!' *!( +!$ -!.

$\"#%&%'$河南襄城高中联考&已知 ( /%-#

) %

,

展开式中的常数项是 .0%!则 / 等于 \" #

)!', *!%, +!% -!#

%\"(杨辉三角)揭示了二项式系数在三角形中的一

种几何排列规律!最早在中国南宋数学家杨辉

#%.# 年所著的*详解九章算法+一书中出现!欧

洲数学家帕斯卡在 #.$( 年才发现这一规律!比

杨辉要晚五百年左右\"(杨辉三角)是中国数学

图 . ##(

史上 的 一 个 伟 大 成

就!激发起一批又一

批数学爱好者的探究

欲望\"如图 . ##( 所

示!在由二项式系数

所构成的(杨辉三角)

中!第 #& 行中从左至

右第 $ 与第 . 个数的比值为 \" #

)!$

. *!.

$ +!%

' -!#

图 . ##$

&\"'多选( (杨辉三角) 是

中国古代数学杰出的研

究成果之一\"如图 . ##$

所示 !由(杨辉三角)的

左腰上的各数出发!引

一组平行线!从上往下

每条线上各数之和依次

为$#! #! %! '! $! /! #'!

-!则 \" #

)!在第 4\"4)$#条斜线上!各数自左往右先增

大后减小

*!在第 , 条斜线上!各数之和为 $$

+!在第 ## 条斜线上!最大的数是 +'

0

-!在第 4 条斜线上!共有%4 &# 9\" -## 4

( 个数

'\"#%&%%$江苏泰州中学高二阶段考试& '多选(

若二项式 %-# ( % )

4

展开式中所有项的系数之和

为 /4!所有项的系数绝对值之和为 04!二项式

系数之和为 14!则 \" #

)!/4 704 714

*!

04

/4

&

/4

04

)

#&

'

+!对任意 4$(#均有 /4 &04(14

-!存在 4$(#使得 /4 &04 614

#\"若\"<=>%&%#$ 的展开式中 %' 的系数为 %!则

<=>%%* \"

(\"#%&%%$安徽滁州高二下期末&如图 . ##. 所示

的杨辉三角中!从第 % 行开始!每一行除两端的

数字是 # 以外!其他每一个数字都是它肩上两

个数字之和!在此数阵中!若对于正整数 4!第

%4 行中最大的数为 %!第\"%4 &##行中最大的数

为 (!且 #'%*0(!则 4 的值为 \"

图 . ##.

)\"#%&%%$辽宁本溪高级中学高二月考&在下面两

个条件中任选一个条件!补充在后面问题中的

横线上!并完成解答\"条件!$(展开式中所有项

的系数之和与二项式系数之和的比值为 .()0

条件\"$(展开式中前三项的二项式系数之和为

%%)\"问题$已知二项式\"# 9'%# 4 !若

\"填写序号#$

\"##求展开式中系数最大的项0

\"%#求\"# 9'%# 4\"# ;%#$ 中含 %% 项的系数\"

第22页

第六章 计数原理

!(

>?@A

本章数学素养归纳

素养点 % 逻辑推理 素养点 ' 数学建模

素养点 $ 数学运算 素养点 . 数据分析

! \"#%0

排列与组合的综合应用

!\"#经典$全国&&生物实验室有 $ 只兔子!其中

只有 ' 只测量过某项指标!若从这 $ 只兔子中

随机取出 ' 只!则恰有 % 只测量过该指标的概

率为 \" #

)!%

' *!'

$ +!%

$ -!#

$

$\"#经典$全国'&我国古代典籍*周易+用(卦)

描述万物的变化\"每一(重卦)由从下到上排列

的 . 个爻组成!爻分为阳爻(111) 和阴爻(1

图 . ##0

1)!如图 . ##0 所示的就是一重

卦\"在所有重卦中随机取一重卦!

则该重卦恰有 ' 个阳爻的概率是

\" #

)!$

#. *!

##

'% +!

%#

'% -!

##

#.

%\" #%&%%$新高考全国\"&有甲%乙%丙%

丁%戊 $ 名同学站成一排参加文艺汇演!若甲不

站在两端!丙和丁相邻!则不同排列方式共有

\" #

)!#% 种 *!%( 种 +!'. 种 -!(/ 种

&\"#经典$全国&& 安排 ' 名志愿者完成 ( 项工

作!每人至少完成 # 项!每项工作由 # 人完成!

则不同的安排方式共有 \" #

)!#% 种 *\"#/ 种 +\"%( 种 -\"'. 种

'\"#经典$浙江&若从 #!%!'!-!, 这 , 个整数中

同时取 ( 个不同的数!其和为偶数!则不同的取

法共有 \" #

)!.& 种 *!.' 种 +!.$ 种 -!.. 种

#\"#%&%'$全国甲&现有 $ 名志愿者报名参加公益

活动!在某一星期的星期六%星期日两天!每天从

这 $ 人中安排 % 人参加公益活动!则恰有 # 人在

这两天都参加的不同安排方式共有 \" #

)!#%& 种 *!.& 种 +!'& 种 -!%& 种

(\"#%&%'$新高考全国!&某学校开设了 ( 门体育

类选修课和 ( 门艺术类选修课!学生需从这 /

门课中选修 % 门或 ' 门课!并且每类选修课至

少选修 # 门!则不同的选课方案共有

种\"用数字作答#\"

二项式定理的应用

)\"#%&%'$北京& ( %%-#

%)

$

的展开式中 %的系数

为 \" #

)!-/& *!-(& +!(& -!/&

*\" #经典$全国'& %&(%

( %) \"%&(#$ 的

展开式中 %'(' 的系数为 \" #

)!$ *!#& +!#$ -!%&

!+\" #经典$全国(& \"# 9%%% # \"# 9%#(

的展开式中 %' 的系数为 \" #

)!#% *\"#. +\"%& -\"%(

!!\"#经典$全国(& %% &

% ( %)

$

的展开式中 %( 的

系数为 \" #

)!#& *\"%& +\"(& -\"/&

!$\"#经典$全国(&\"%&(#\"%%-(#$ 的展开式中

%'(' 的系数为 \" #

)!-/& *\"-(& +\"(& -\"/&

!%\"#经典$全国'& # 9

#

( %% ) \"# 9%#. 的展开式中

%% 的系数为 \" #

)!#$ *\"%& +\"'& -\"'$

!&\"#%&%% $北京& 若\"%%-# #( */(%( &/'%' &

/%%% &/#%&/& !则 /& &/% &/( 等于 \" #

)!(& *!(# +!-(& -!-(#

!'\"#%&%'$天津&在 ( %%' -#

%)

.

的展开式中!%%

的系数为 \"

!#\" #经典$天津& 在 %&

%

( %% )

$

的展开式

中!%% 的系数是 \"

第23页

数学 选择性必修第三册 #人教 \"&

!)

!(\" #经典$浙江&设\"# 9%%#$ */& &/#%

&/%%% &/'%' &/(%( &/$%$ !则 /( * 0

/# &/' &/$ * \"

!)\"#经典$浙江& 在二项式\"槡% 9%#, 的展开式

中!常数项是 !系数为有理数的项的

个数是 \"

!*\"#经典$浙江&已知多项式\"%-##' &\"%&##(

*%( &/#%' &/%%% &/'%&/( ! 则 /# *

!/% &/' &/( * \"

$+\"#经典$江苏&设\"# 9%#4 */& &/#%&/%%% &-

&/4%4!4)(!4$(#\"已知 /

%

' *%/%/(\"

\"##求 4 的值0

\"%#设\"# 9槡'# 4 */ &0槡'!其中 /!0$(#!求

/% -'0% 的值\"

! \"#%/

!\" #%&%'$河北石家庄部分学校高二期

中联考&由数字 #!%!'!$ 组成一个没有重复数

字的四位数!下列结论错误的是 \" #

)!可以组成 %( 个数

*!可以组成 #/ 个奇数

+!可以组成 #& 个偶数

-!可以组成 #/ 个比 %&&& 大的数

图 . ##/

$\" #%&%'$安徽合肥六校

联盟高二期中&如图 . ##/ 所示!

一圆形信号灯分成 $!'!)!5四块

灯带区域!现有 ( 种不同的颜色供

灯带使用!要求在每块灯带里选择 # 种颜色!且

相邻的 % 块灯带选择不同的颜色!则不同的信

号种数为 \" #

)!/( *!(%

+!(/ -!%(

%\" #%&%' $江苏镇江一中高二下期末&

%-% ( %)

/

的展开式中 %% 的系数是 \" #

)!-+'

/ =%' *!+'

/ =%'

+\"-+'

/ -!+'

/

&\" #%&%'$山东滨州高二下期末& 高考

期间!为保证考生能够顺利进入某考点!交管部

门将 $ 名交警分配到该考点周边三个不同路口

疏导交通!每个路口至少 # 人!至多 % 人!则不

同的分配方案共有 \" #

)!.& 种 *!,& 种

+!#%$ 种 -!#$& 种

'\" #%&%'$吉林长春东北师大附中高二

期末模拟&已知 ( % ;#

%)

%'

*/& &

/#

%

&

/%

%% &- &

/%%

%%% &

/%'

%%' !则/&

%%% &

/#

%%# &- &

/%#

% &/%%等于 \" #

)!-# *!& +!# -!%

第24页

第六章 计数原理

!*

#\" #%&%'$河北保定高二下期末& '多

选(甲%乙%丙%丁%戊五人并排站成一排!下列说

法正确的是 \" #

)!如果甲%乙必须相邻且乙在甲的右边!那么

不同的排法有 %( 种

*!最左端只能排甲或乙!最右端不能排甲!则不

同的排法共有 #/ 种

+\"甲%乙不相邻的不同排法有 0% 种

-!甲%乙%丙按从左到右的顺序排列的不同排

法有 %& 种

(\" #%&%'$北京通州区高二期中统考&

已知\"%-%# \"%&##$ */& &/#%&/%%% &/'%' &

/(%( &/$%$ &/.%. ! 则 /& * 0 /$ *

\"

)\" #%&%'$广东深圳外国语学校高二期

末&小明和爸爸%妈妈%爷爷%奶奶一同参加*中

国诗词大会+的现场录制!$ 人坐成一排\"若小

明的父母至少有一人与小明相邻!则不同的坐

法种数为 \"

*\" #%&%'$湖北武汉外国语学校高二下期

末&#%.& 有 个不同的正因数\"\"用数字

作答#

!+\" # %&%' $ 山 西 运 城 高 二 期 末 &

%&

# ( %) \"# 9%#$ 的展开式中含 %% 项的系数

是 \"\"用数字作答#

!!\" #%&%'$山东枣庄高二期末& 数学

家波利亚说$(为了得到一个方程!我们必须把

同一个量以两种不同的方法表示出来!即将一

个量算两次!从而建立相等关系)这就是算两

次原理!又称为富比尼原理\"由等式\"# 9%# 3

/\"# 9%# 4 *\"# 9%# 3&4利用算两次原理可得

+&

3+;

4 &+#

3+;-# 4 &+%

3+;-% 4 &- &+;

3+&

4 *

\"

!$\" # %&%' $ 山东聊城高二 期 末& 已 知

\"'%-## 4 的展开式中第 ( 项和第 . 项的二项

式系数相等\"

\"##求展开式中 %% 的系数0

\"%#若\"'%-## 4 */& &/#%&/%%% &- &/4%4!

求 % 4 /& &% 4 -# /# &- &%/4 -# &/4 的值\"

第25页

数学 选择性必修第三册 #人教 \"&

$+

BCD1/EF

#时间 #%& 分钟 满分 #$& 分& ! \"#%,

一!单项选择题#本大题共 / 小题%每小题 $ 分%共

(& 分&

!\"#%&%%$四川绵阳普明中学高二期末&+,

#& &+/

#&

等于 \" #

)!($ *!$$

+!.$ -!以上都不对

$\"#%&%%$天津市实验中学高二期中&以一个正方

体的顶点为顶点的四面体的个数为 \" #

)!0& *!.( +!$/ -!$%

%\"#%&%'$全国甲&某校文艺部有 ( 名学生!其中

高一%高二年级各 % 名!从这 ( 名学生中随机选

% 名组织校文艺汇演!则这% 名学生来自不同年

级的概率为 \" #

)!#

. *!#

' +!#

% -!%

'

&\"#%&%%$河北唐山开滦二中高二下期末&某学校

有四个优秀的同学甲%乙%丙%丁获得了保送到

哈尔滨工业大学%东北林业大学和哈尔滨医科

大学 ' 所大学的机会!若每所大学至少保送 #

人!且甲同学要求不去哈尔滨医科大学!则不同

的保送方案共有 \" #

)!%( 种 *!'. 种 +!(/ 种 -!.( 种

'\"#%&%%$福建德化一中高二期末&要为 $ 名志愿

者和他们帮助的 % 位老人拍照!要求排成一排!

% 位老人相邻但不排在两端!不同的排法共有

\" #

)!#((& 种 *!,.& 种

+!0%& 种 -!(/& 种

#\"#%&%'$江苏泰州中学高二期中&学校每天安排

四项社团活动供学生自愿选择参加\"学校规定$

\"##每位学生最多选择 # 项社团活动0

\"%#每位学生每项一周最多选择 # 次\"学校提供

的安排如下$

时间 周一 周二 周三 周四 周五

社团

活动

音乐%

足球%

篮球%

书法

口语%

足球%

书法%

绘画

口语%

足球%

科技%

篮球

口语%

足球%

篮球%

书法

篮球%

足球%

书法%

科技

若某学生在一周内共选择了足球%篮球%书法

' 项!则不同的选择方案共有 \" #

)!'. 种 *!', 种 +!(% 种 -!$& 种

(\"#%&%'$山东枣庄高二期末&现将甲%乙%丙%丁

( 位老师安排到 $!'!)三所学校工作!要求每

所学校都有人去!每人只能去一所学校!则甲%

乙两人至少有 # 人到 $学校工作的分配方案种

数为 \" #

)!#% *!%% +!%( -!%.

图 . ##,

)\"#%&%%$辽宁建平实验中学高

二期中& 如图 . ##, 所示!用

五种不同的颜色给图中的 $!

'!)!5!>!?六个不同的点涂

色!要求每个点涂一种颜色!

且图中每条线段的两个端点

涂不同的颜色!则不同的涂色

方法共 \" #

)!#%(& 种 *!'.& 种

+!#,%& 种 -!%.( 种

二!多项选择题#本大题共 ( 小题%每小题 $ 分%共

%& 分\"全部选对的得 $ 分%部分选对的得 % 分%

有选错的得 & 分&

*\"#%&%%$山东省实验中学高二月考&若 +3-#

/ 6

'+3

/ !则 3的取值可能是 \" #

)!. *!0 +!/ -!,

!+\"#%&%%$南京师大附中高二期中&甲%乙%丙%丁

四名同学和一名老师站成一排合影留念\"若老

师站在正中间!则下列选项中恰有 / 种不同站

法的是 \" #

)!甲%乙都不与老师相邻

*!甲%乙都与老师相邻

+!甲与老师不相邻!乙与老师相邻

-!甲%乙相邻

!!\"#%&%%$北京四中高二月考&在 #&& 件产品中!

有 ,/ 件合格品!% 件不合格品!从这 #&& 件产

品中任意抽出 ' 件!则抽出的 ' 件产品中

\" #

)!至多有 # 件不合格品的抽法种数为 +#

%+%

,/

*!都是合格品的抽法种数为 +'

#&&

+!至少有 # 件不合格品的抽法种数为 +#

%+%

,/

&+%

%+#

,/

-!至少有 # 件不合格品的抽法种数为 +'

#&&

-+'

,/

!$\"# %&%% $ 河 北 邢 台 一 中 高 二 月 考& 二 项 式

%-/ ( %)

/

的展开式中 %% 的系数是 -0!则其中

真命题的序号是 \" #

)!/ *#

%

第26页

第六章 计数原理

$!

*!展开式中含 %. 项的系数是 -(

+!展开式中含 %-#项

-!展开式中常数项为 (&

三!填空题#本大题共( 小题%每小题$ 分%共 %& 分&

!%\"#%&%'$湖南长沙长郡中学高二期末& \"%-

###&的展开式的第 . 项的系数是 \"

!&\"#%&%'$山东威海高二期末&有甲%乙%丙%丁%

戊 $ 名同学站成一排合影留念!若甲和乙相

邻!则不同的排法共有 种 \" 用数字

作答#\"

!'\"#%&%%$重庆南开中学高二期末&早在 ## 世纪

中叶!我国宋代数学家贾宪在其著作*释锁算

书+中就给出了二%三%四%五%六次幂的二项式

系数表\"已知\"/%-##. 的展开式中 %' 的系数

为 -#.&!则实数 / * !展开式中各项

系数之和为 \"用数字作答#\"

!#\"#%&%%$河北石家庄高二下期末&据文献记载!

*百家姓+成文于北宋初年!下表记录了*百家

姓+开头的 %( 大姓氏$

赵 钱 孙 李 周 吴 郑 王 冯 陈 褚 卫

蒋 沈 韩 杨 朱 秦 尤 许 何 吕 施 张

下表记录 %&%# 年中国人口最多的前 #% 大

姓氏$

#$李 %$王 '$张 ($刘 $$陈 .$杨

0$赵 /$黄 ,$周 #&$吴 ##$徐 #%$孙

从*百家姓+开头的 %( 大姓氏中随机选取 ' 个

姓氏!则这 ' 个姓氏至多有 % 个是 %&%# 年中

国人 口 最 多 的 前 #% 大 姓 氏 的 概 率 为

\"\"用最简分数表示#

四!解答题#本大题共 . 小题%第 #0 小题 #& 分%第

#/ 3%% 小题各 #% 分%共 0& 分&

!(\"#%&%'$江苏扬州高二期中统考&计算$

\"##()%

( &$)'

$ 0 \"%#

)'

#&)0

0

#&. \"

!)\"#%&%%$湖北南漳一中高二月考&已知集合 $

*& %2# 2@=A%%7'!%$(# '!'*& (!$!.!

0!/'\"

\"##从 $&'中取出 ' 个不同的元素组成三位

数!则可以组成多少个,

\"%#从集合 $中取出 # 个元素!从集合 '中取

出 ' 个元素!可以组成多少个无重复数字

且比 (&&& 大的自然数,

!*\"#%&%%$河北石家庄高二期末&中华文化源远流

长!为了让青少年更好地了解中国的传统文化!

某培训中心计划利用暑期开设(围棋) (武术)

(书法)(剪纸)(京剧)(刺绣)六门体验课程\"

\"##若体验课连续开设六周!每周一门!求(京

剧)和(剪纸)课程排在不相邻的两周的所

有排法种数0

\"%#现有甲%乙%丙三名学生报名参加暑期的体

验课程!每人都选两门课程!甲和乙有一门

共同的课程!丙和甲%乙的课程都不同!求

所有选课的种数0

\"'#计划安排 $!'!)!5!>五名教师教这六门

课程!每名教师至少任教一门课程!教师 $

不任教(围棋)课程!教师 '只能任教一门

课程!求所有课程安排的种数\"

第27页

数学 选择性必修第三册 #人教 \"&

$$

$+\"#%&%%$山东枣庄高二下期末&若 %-/ ( %)

4

\" /

$)!/*&!4$(##的展开式中只有第 ( 项的

二 项 式 系 数 最 大! 且 展 开 式 中 的 常 数 项

为 -%&\"

\"##求 4!/ 的值0

\"%#若 /&%%&%% &/#%%&%# \"# ;%# &/%%%&%& \"# ;

%#% &- &/%&%# %\"# ;%#%&%# &/%&%% \"# ;

%#%&%% */!求 /# &/% &/' &- &/%&%%\"

$!\"#%&%% $江苏扬中二中高二期中& 在二项式

#

%%( &槡%)

4

的展开式中! \"给出下列条

件$!若展开式前三项的二项式系数和等于

(.0\" 所有奇数项的二项式系数和为 %$.0

#若展开式中第 0 项为常数项\"

试在上面三个条件中选择一个补充在上面的

横线上!并且完成下列问题$

\"##求展开式中二项式系数最大的项0

\"%#求展开式中的常数项\"\"备注$如果多个条

件分别解答!按第一个条件计分#

$$\"#%&%%$山东淄博市实验中学高二期末&平面

上有, 个点!其中( 个点在同一条直线上\"( 个

点之间的距离各不相等#!此外任何三点不

共线\"

\"##过每两点连线!可得几条直线,

\"%#以每三个点为顶点作三角形!可作几个三

角形,

\"'#以一点为端点!作过另一点的射线!这样的

射线可作出几条,

\"(#分别以其中两点为起点和终点!最多可作

出几个向量,

第28页

第六章 计数原理

$%

BCDEFGHIJK !

+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

+

+

++

+

++

+

++

+

++

+

++

+

++

++

+

++

+

+

+

++

++

+

+

+

+

++

++

+

+

+

+

+

+

+

++

+

++

+

+

++

+

+

+

+

+

++

+

+

+

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

+

+

+

+

+

+

++

+

++

+

+

+

+

++

+

+

+

++

+

++

+

+

+

+

+

+

+

+

++

++

+

+

+

+

+

++

+

++

+

++

+

+

++

+

+

++

+

++

+

++

,

, ,

,

\"#'%

对应试题号 举一反三 反 思

\"%& 第 / 题!

'易错题(

\"%& 第 #% 题!

'易错题(

\"%# 第 #( 题!

'易错题(

\"%% 第 %# 题!

'易错题(

图 . #%&

!\"#%&%%$江苏南京江宁高级中学高二期末&

如图 . #%& 所示!给 0 条线段的 $ 个端点涂

色!要求同一条线段的两个端点不能同色!现

有 ( 种不同的颜色可供选择!则不同的涂色

方法种数为 \" #

)!%( *!(/ +!,. -!#%&

$\"#%&%%$江苏宿迁中学高二期末& '多选(已知 /%-# ( %)

4

\" /

6&#的展开式中只有第 . 项的二项式系数最大!若展开式

中所有项的系数和为 #!则正确的结论是 \" #

)!4 *#&

*!/ *%

+!展开式中常数项为 /&.(

-!展开式中含 %. 的项为 ##$%&%.

%\"#%&%%$上海中学东校高二期末&%&%% 年北京冬奥会组委

会要从小张%小赵%小李%小罗%小王%小刘共计六名志愿者

中选派四人分别从事翻译%导游%礼仪%司机四项不同工作!

若其中小张和小赵只能从事前两项工作!其余四人均能从

事这四项工作!则不同的选派方案共有 种\"

&\"#%&%%$广东东莞高二下期末&在!/% *#(!\"+&

4 &+#

4 &+%

4

&- &+4

4 *.(!#/& &/# &/% &- &/4 *.& 这三个条件中

任选一个!补充在下面问题中!并解答补充完整的题目\"

问题$已知\"# 9%# 4 -\"# 9%#% */& &/#%&/%%% &- &/4%4

\"4$(##!且 \"只需填序号#\"

\"##求 4 的值0

\"%#求展开式中含 %的奇数次幂项的系数之和\"

注$如果选择多个条件分别解答!按第一个解答计分\"

第30页

!\" !\"#$%#$&

参考答案与提示

!\"# %&'( !!!!!!!!!!!!!!!!!!! !!\"

!\"# 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 !!!!!!!!! !!\"

!\"% 排列与组合 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !!#

!\"#与 !\"% 综合过关!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !$%

!\"& 二项式定理 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !$&

专题 # 二项式定理与杨辉三角 !!!!!!!!!!!!!! !$'

突破高考 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !$#

第六章综合测试 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !$(

第六章测试诊断性练习 !!!!!!!!!!!!!!!!!! !&$

!)# *+,-./01!!!!!!!!!!!!!!! !&$

'\"# 条件概率与全概率公式 !!!!!!!!!!!!!!!! !&$

'\"% 离散型随机变量及其分布列 !!!!!!!!!!!!!! !&'

'\"& 离散型随机变量的数字特征 !!!!!!!!!!!!!! !&#

'\"#('\"& 综合过关 !!!!!!!!!!!!!!!!!!! !)$

'\") 二项分布与超几何分布 !!!!!!!!!!!!!!!! !)\"

'\"* 正态分布 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !)*

'\")与 '\"* 综合过关!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !)(

突破高考 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !\"&

第七章综合测试 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !\"#

第七章测试诊断性练习 !!!!!!!!!!!!!!!!!! !'%

第六\"七章滚动测试 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !'!

第六\"七章滚动测试诊断性练习 !!!!!!!!!!!!!!! !'&

!2# 34&567%08 !!!!!!!!!!!!! !')

+\"# 成对数据的统计相关性 !!!!!!!!!!!!!!!! !')

+\"% 一元线性回归模型及其应用 !!!!!!!!!!!!!! !'\"

+\"& 列联表与独立性检验 !!!!!!!!!!!!!!!!! !'#

+\"#(+\"& 综合过关 !!!!!!!!!!!!!!!!!!! !'*

专题 % 概率与统计的综合应用 !!!!!!!!!!!!!! !#$

突破高考 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !#)

第八章综合测试 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !##

第八章测试诊断性练习 !!!!!!!!!!!!!!!!!! !*%

&9:; :<7%;=>?@A !!!!!!!!!!! !*!

模块综合测试 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !*$

模块测试诊断性练习 !!!!!!!!!!!!!!!!!!! !*\"

第31页

参考答案与提示

!!\"

附录

!\"#$%&'

第六章 计数原理

!!\" 分类加法计数原理与分步乘法计数原理

!帮练基础\"

!!\"!提示\"根据题意从书架上任取 # 本书#由分类加法

计数原理#得共有 $ %& %' ()$种%不同的取法!&

$!*!提示\"从油画中选#有 & 种不同的选法'从国画中

选#有 $ 种不同的选法'从水彩画中选#有 + 种不同的

选法!根据分类加法计数原理#得共有 & %$ %+ (#'

$种%不同的选法!&

%!'#,!提示\"根据分类加法计数原理#得不同的选法有

-, %., %/, ('#,$种%!&

&!-!提示 \"先从格外跳到第 # 格#只有 # 种跳法#之后\"

每次向前跳 # 格#有唯一的跳法'仅有一次跳 ' 格#其

余每次向前跳 # 格#有 $ 种跳法'有两次跳 ' 格#其余

每次向前跳 # 格#有 & 种跳法!根据分类加法计数原

理#得共有 # %$ %& (-$种%跳法!&

\"!*!提示\"根据分步乘法计数原理得不同的取法共有 &

0' (.$种%!&

'!*!提示\"由题意#得任选一名学生站首位#有 $ 种排

法'剩下的 & 名学生中选一名站末位#有 & 种排法'其

余 $ 人站剩下的 $ 个位置'由分步乘法计数原理#得

共有 $ 0& 0$ 0& 0' 0# ('--$种%排法!&

(!1!提示\"需分四步进行#每一步中每名同学都有数

学(物理(化学三种科目可报#由分步乘法计数原理可

得共有 & 0& 0& 0& (&$ \"-#$种%!&

)!&,!提示\"本题就是给 ##$#%赋值!首先要清楚直线

过原点的条件#即 %\",#所以下面只需安排 ##$!从

##'#&#+#/### 这. 个数中任取' 个作为 ##$的值#分

为两步\"第一步取一个数作为 ##有 . 种'第二步从剩

下的 + 个数中取一个数作为 $#有 + 种!所以由分步

乘法计数原理#得所求直线的条数为 . 0+ (&,!&

*!#-!提示\"从 &地经过 #地到 '地分两步!第 # 步#从

&到 ##有 & 种走法'第 ' 步#从 #到 '#有 . 种走法!

根据分步乘法计数原理可得从 &地经过 #地到 '地

共有 & 0. (#-$种%不同的走法!&

#名师点评$ !#\" 能用分步乘法计数原理解决的问

题具有如下特点#!完成一件事需要经过 ) 个步骤$

缺一不可%\"完成每一步都有若干种方法%#把各个

步骤的方法数相乘$就可以得到完成这件事的所有方

法数!!'\"利用分步乘法计数原理应注意#!要按事件

发生的 过 程 合 理 分 步$ 即 分 步 是 有 先 后 顺 序 的%

\"&步'与&步' 之间是连续的(不间断的(缺一不可

的$但也不能重复(交叉%#若完成某件事情需 ) 步$

则必须依次完成这 ) 个步骤后$这件事情才算完成!

!+!#- .!提示\"由题意#一个二次函数对应着 *#+#,$ *

!,%的一组取值#* 的取法有 & 种#+的取法有 & 种#

,的取法有 ' 种#由分步乘法计数原理知#可组成 &

0& 0' (#- 个不同的二次函数'若二次函数为偶函

数#则 +\",#故其中偶函数有 & 0' (.$个%!&

#素养点评$ 本题以二次函数的奇偶性为载体$

考查分步乘法计数原理的应用$体现了逻辑推理和

数学建模的核心素养!

!!!*!提示\"根据题意#数字 & 至多出现一次#分 ' 种情

况讨论\"!数字 & 不出现#此时四位数的每个数位都

可以为 . 或 )#都有 ' 种情况#则此时四位数有 ' 0'

0' 0' (#.$个%'\"数字 & 出现 # 次#则数字 & 出现

的情况有 $ 种#剩下的三个数位#可以为 . 或 )#都有

' 种情况#此时四位数有 $ 0' 0' 0' (&'$个%!故有

#. %&' ($-$个%四位数!&

!$!*!提示\"因为 #\") -##,##*#$\"),###'#&*#所以 #

\"$\") -##,###'#&*###$\"),##*#又 #$$\"

)$.#/% 0.%##$#/%#\"$*#所以 .有 ' 种情况#/

有 + 种情况#由分步乘法计数原理可得 #$$的元素

个数为 ' 0+ (#,#所以 #$$子集的个数是 '#,!&

!%!'#.!提示\"由题意#先分类再分步!能被 + 整除\"当末

位是 , 时#五位数的个数是 + 0$ 0& 0' (#','当末

位是 + 时#首位不能是 ,#五位数的个数是 $ 0$ 0&

0' ().#由分类加法计数原理#得共有 #', %). (

'#.$个%!&

!&!1*2!提示\"当 1\") 2, 时#方程 .'

1 3/'

) \"# 表示

圆#故有 & 个#选项 1正确'当 1!) 且 1#) 2, 时#

方程.'

1 3/'

) \"# 表示椭圆#故有 & 0' (.$个%#选项

*正确'若椭圆的焦点在 .轴上#则 12) 2,#当 1\"

$ 时#) \"'#&'当 1\"& 时#) \"'#即焦点位于 .轴上

的椭圆共有 ' %# (&$个%#选项 2正确'当 1) 4,

时#方程.'

1 3/'

) \"# 表示双曲线#故有 & 0# %# 0&

(.$个%#故 \"错误!&

#素养点评$ 本题以圆锥曲线方程为载体$考查

两个计数原理的应用$体现了逻辑推理和数据分析

的核心素养!

!\"!1!提示\"五棱锥的侧棱都相交于一点#底面五条边

都在同一平面上#所以五棱锥的每条侧棱与底面不

与其相交的三边所在直线都是异面直线#所以五棱

锥的 #, 条直线中#异面直线共有 & 0+ (#+$对%!&

!'!\"!提示\"正方体共有 #' 条棱#每条棱对应两个相邻

面#与这两个面不都相邻的面有 ' 个#共有 '$ 组#每

组中包含两条棱#故有 '$ 3' (#'$种%!&

第32页

数学 选择性必修第三册 !人教 \"\"

!!'

!(!2!提示\"当上下(左右三角形颜色分别相同时#涂色

方案有 + 0$ 0& (.,$种%'当上下三角形颜色相同(

左右三角形颜色不同时#涂色方案有 + 0$ 0& 0' (

#',$种%'当上下三角形颜色不同(左右三角形颜色

相同时#涂色方案有 + 0$ 0& 0' (#',$种%'当 + 个

区域颜色都不相同时#涂色方案有 + 0$ 0& 0' 0# (

#',$种%!由分类加法计数原理得所有不同的涂色方

案共有 ., %& 0#', ($',$种%!&

图 #

!)!\"!提示\"根据题意#假设正五角星的

区域为 ##$#%#5#6#7#如图 # 所示#

先对 #区域涂色#有 & 种涂色方法#

再对 $#%#5#6#7这 + 个区域进行涂

色#因为 $#%#5#6#7这 + 个区域都

与 #相邻#所以每个区域都有 ' 种涂色方法#所以共

有 & 0' 0' 0' 0' 0' (). 种涂色方法!&

!*!$-!提示\"方法 #\"按 #&$&%&5的顺序分步涂色!

第 # 步#涂 #区域#有 $ 种不同的涂法'第 ' 步#涂 $

区域#从剩下的 & 种颜色中任选 # 种颜色#有 & 种不

同的涂法'第 & 步#涂 %区域#再从剩下的 ' 种不同

颜色中任选 # 种颜色#有 ' 种不同的涂法'第 $ 步#

涂 5区域#从与 $#%区域不同的 ' 种不同颜色中任

选 # 种#有 ' 种不同的涂法!根据分步乘法计数原

理#共有 $ 0& 0'' \"$- 种不同的涂法!方法 '\"按所

用颜色的多少分类涂色!第 # 类\"用三种颜色#则 ##

5区域所涂颜色相同#有 $ 0& 0' ('$ 种不同的涂

法'第 ' 类\"用四种颜色#有 $ 0& 0' 0# ('$ 种不同

的涂法!根据分类加法计数原理#得共有 '$ %'$ ($-

种不同的涂法!&

#规律方法$ 求解涂色!种植\" 问题一般直接利用

两个计数原理求解#!按区域的不同以区域为主分

步计数$用分步乘法计数原理分析%\"以颜色!种植

作物\"为主分类讨论$适用于&区域(点(线段'问题$

用分类加法计数原理分析!

!帮练综合\"

!!*!提示\"构成能被 & 整除的三位数回文数\"当三位数

的三个数位上的数字都相同时#分别为 ####'''#&&&#

$$$#+++#共有 + 个'当三位数的三个数位上的数字有

两个相同时#分别为 #$##'+'#&,&#$#$#+'+#共有 +

个!所以满足题意的回文数共有 #, 个!&

$!2!提示\"## 是最长边#另一边长是 ## 时\"第三边长可

能是 ####,#)#-#/#.#+#$#&#'###共 ## 个'另一边长

是 #, 时\"第三边长可能是 #,#)#-#/#.#+#$#&#'#共 )

个'同理#) 时\")#-#/#.#+#$#&#共 / 个'- 时\"-#/#.#

+#$#共 + 个'/ 时\"/#.#+#共 & 个'. 时\".#即 # 个!一

共有 # %& %+ %/ %) %## (&.$个%!&

%!1!提示\"!当 * \", 时#有 .\"- +

' 为实数#则 +\"

-#

' # -##,#'#有 $ 种'\"当 *!, 时#方程有实数解#

所以 $\"$ 4$*+',#所以 *+(#!当 * \"-#

' 时#+\"

-#

' # -##,#'#有 $ 种'当 * \"-# 时#+\"-#

' # -##

,#'#有 $ 种'当 * \"' 时#+\"-#

' # -##,#有 & 种!所

以#有序数对$*#+%的个数为 $ %$ %$ %& (#+!&

&!2!提示\"当甲和乙都用现金结账时#丙有 & 种方式#

丁有 $ 种方式#共有 & 0$ (#' 种方式'当乙用银联卡

结账#甲用现金结账时#丙有 ' 种方式#丁有 $ 种方

式#共有 ' 0$ (- 种方式!综上#共有 #' %- (', 种结

账方式组合!&

\"!*!提示\"当首位数字为 # 时#后两位相加为 /#共有 -

种'当首位数字为 ' 时#后两位相加为 .#共有 / 种'当

首位数字为 & 时#后两位相加为 +#共有 . 种'当首位

数字为 $ 时#后两位相加为 $#共有 + 种'当首位数字

为 + 时#后两位相加为 &#共有 $ 种'当首位数字为 .

时#后两位相加为 '#共有 & 种'当首位数字为 / 时#后

两位相加为 ##共有 ' 种'当首位数字为 - 时#后两位

相加为 ,#共有 # 种!故共有 # %' %& %$ %+ %. %/ %

- (&. 个数!&

'!*2!提示\"对于 1\"有三类#& 名老师中选一人#有 & 种

选法'- 名男同学中选一人#有 - 种选法'+ 名女同学

中选一人#有 + 种选法!由分类加法计数原理知#有 &

%- %+ (#.$种%选法!故 1错误!对于 *\"分三步\"第

# 步选老师#有 & 种选法'第 ' 步选男同学#有 - 种选

法'第 & 步选女同学#有 + 种选法!由分步乘法计数原

理知#共有 & 0- 0+ (#',$种% 选法!故 *正确!对于

\"\"选一名老师再选一名女同学#共有 & 0+ (#+$种%

选法#故 \"错误!对于 2\"可分两类#每一类又分两步!

第 # 类# 选一名老师再选一名男同学# 有 & 0- (

'$$种%选法'第 ' 类#选一名老师再选一名女同学#共

有 & 0+ (#+$种%选法!由分类加法计数原理知#共有

'$ %#+ (&)$种%选法#故 2正确!&

(!-,!提示\"+ 日至 ) 日#日期尾数分别为 +#.#/#-#)#有

& 天是奇数日#' 天是偶数日!第一步#安排偶数日出

行#每天都有 ' 种选择#共有 ' 0' ($$种%用车方案'

第二步#安排奇数日出行#分两类#第一类#选 # 天安

排甲的车#另外 ' 天安排其他车#有 & 0' 0' (#'

$种%用车方案#第二类#不安排甲的车#每天都有 ' 种

选择#共有 '& \"-$种%用车方案#共计#' %- (',$种%

用车方案!根据分步乘法计数原理可知#不同的用车

方案种数为 $ 0', (-,!&

)!&,!提示\"设 & 种不同的颜色分别为 *#+#,#对于+火(

土,两个位置有 & 0' (. 种不同的涂色方法#不妨设

+火(土,两个位置分别为 *#+#$#% 若+金, 位涂色为

*#则有\"!若+水,位涂色为 +#则+木,位涂色为 ,#共

# 种涂色方法'\"若+水, 位涂色为 ,#则+木, 位涂色

为 +#共 # 种涂色方法!故共 ' 种涂色方法' $'% 若

+金,位涂色为 ,#则有\"!若+水,位涂色为 *#则+木,

位涂色为 +或 ,#故共 ' 种不同的涂色方法'\"若+水,

第33页

参考答案与提示

!!(

位涂色为 +#则+木, 位涂色为 ,#共 # 种涂色方法!故

共 & 种涂色方法!综上所述#共有 . 0$' %&% \"&, 种

不同的涂色方法!&

*!- +!提示\"十位上的数为 # 时#有 '#&#'#$#&#'#&#$#

$#'#$#&#共 . 个#十位上的数为 ' 时#有 &'$#$'&#共 '

个#所以共有 . %' (- $ 个%!偶数为 '#$#&#'#&#$#

$#'#&'$#共 + 个!&

!+!解\"完成着色这件事#共分为四个步骤#可以依次考

虑为!#\"###%这四个区域着色时各自的方法数#

再利用分步乘法计数原理确定出总的方法数!于是

有\"$#%为!区域着色时有 . 种方法#为\"区域着色

时有 + 种方法#为#区域着色时有 $ 种方法#为%区

域着色时有 $ 种方法#依据分步乘法计数原理#得不

同的着色方法有 . 0+ 0$ 0$ ($-,$种%! $'%由题

意知#为!区域着色时有 ) 种方法#为\"区域着色时

有$) -#% 种方法#为#区域着色时有$ ) -'% 种方

法#为%区域着色时有$) -&%种方法#由分步乘法计

数原理可得不同的着色方法数为 )$ ) -#% $ ) -'%

$) -&%!8)$) -#% $ ) -'% $ ) -&% \"#',#8$ )' -

&)%$)' -&) 3'% -#', (,#即$ )' -&)%' 3'$ )' -

&)% -#', (,!8)' -&) -#, (, 或 )' -&) 3#' (

,$舍去%!8) \"+!

!!$ 排列与组合

#!$!% 排 列

#!$!$ 排列数

!帮练基础\"

!!12!提示\"对于 1#选出的 ' 人有分工的不同#是排列

问题'对于 *#与顺序无关#不是排列问题'对于 \"#与

顺序无关#不是排列问题'对于 2#从数字 +#.#/#- 中

任取三个数组成没有重复数字的三位数#各数位上的

数字有顺序性#是排列问题!&

$!*!提示\"9加法满足交换律#8!不是排列问题'

9除法不满足交换律#8\"是排列问题'若方程 .'

*' 3

/'

+' \"#$* 2,#+2,% 表示焦点在 .轴上的椭圆#则必

有 * 2+#故#不是排列问题'在双曲线 .'

*' -/'

+' \"#$ *

2,#+2,%中不管 * 2+还是 * 4+#方程均表示焦点在

.轴上的双曲线#且是不同的双曲线#故%是排列

问题!&

%!\"!提示\"1'

) \")$) -#% \"#'#解得 ) \"$ 或 ) \"-&!由

于 )'' 且 )%&$#故 ) \"$!&

&!\"!提示\"由排列数公式得 1'&

','$ (','$ 0','& 0',''

0- 0$','$ 4'& %#% (','$ 0','& 0','' 0- 0

',,'5&

\"!12! 提示\"对于 1#由排列数公式知 11

) \" ).

$) -1%.

#

1正确'对于 *#)$) -#%$) -'%/-/$) -1% \"113# )

!11

) #*错误'对于 \"# )11

) -#

) -13# \"

) : $) -#%.

$) -1-#%.

) -13# \"

$) -1%).

$) -13#%.

! 11

) #\"错误'对于 2#1#

)11-# ) -# \") :

$) -#%.

$) -# 413#%. \") :$) -#%.

$) -1%. \" ).

$) -1%. \"11

) # 2

正确!&

#方法技巧$ 应用排列数公式计算(化简与证明的

技巧#!#\"排列数公式有两种形式$一种是连乘的形

式$另一种是阶乘的形式$若要计算含有数字的排列

数的值$常用连乘的形式进行计算$而要对含有字母

的排列数的式子进行变形或作有关的论证时$一般用

阶乘的形式!!'\" 解题时要灵活地运用如下变式#

!)) \")!) -#\")%\"11

) \")11-# ) -# %#)*)) \"! ) 3

#\") -))%%) -#

)) \" #

!) -#\") -#

))

!

'!\"!提示\"由 1'

) -# -) 4/#得$) -#%$) -'% -) 4/#整

理得 )' -$) -+ 6,#解得 -# 6) 4+#由题意可知 ) -

#''#即 )'&#且 )%&$#所以 ) \"& 或 ) \"$#即原不

等式的解集为)&#$*!&

(!*!提示\"画树状图如图 ' 所示#所以最后传回甲手中

有 . 种方法!&

图 '

图 &

)!*!提示\"画树状图如图 & 所示#故

组成的排列为丙甲乙#丙乙甲#乙甲

丙#乙丙甲#共 $ 种!&

*!\"!提示\"因为 . 人排两排#没有什

么特殊要求的元素#所以排法种数

为 1.

. \"/',!&

!+!2!提示\"四人四个位置#排法有 1$

$ \"'$$种%!&

!!!#',!提示\"不同的串法种数即为 + 个不同铜钱的全

排列#即 1+

+ \"#',!&

!$!2!提示\"由题意可知#甲和乙都不是冠军#所以冠军

有 $ 种可能性#乙不是最后一名#所以最后一名有 $

种可能性#所以 . 人的名次排列情况可能有 $ 0$ 0

1$

$ \"&-$$种%!&

第34页

数学 选择性必修第三册 !人教 \"\"

!!)

!%!*!提示\"甲不在两端#则其余四人中选出两人分别

站在两端#剩下三人三个位置全排列#所以排列方式

共有 1'

$1&

& \"/'$种%!&

!&!\"!提示\"当甲跑第 - 棒时#乙只能跑第 / 棒#其余 .

人跑其余棒#共有 1.

. \"/', 种'当甲跑第 # 棒时#先

安排乙#有 1#

' \"' 种方案#再安排其余 . 人有 1.

. \"

/', 种#由分步乘法计数原理知共有 1#

'1.

. \"' 0/',

(#$$, 种#根据分类加法计数原理可知#共有 /', %

#$$, ('#., 种安排方案!&

!\"!解\"$#%$捆绑法%因为三个女生必须排在一起#所以

可以先把她们看成一个整体#这样同五个男生合在

一起共有六个元素#排成一排有 1.

. 种不同的排法#

对于其中的每一种排法#三个女生之间又有 1&

& 种不

同的排法!因此共有 1.

./1&

& \"$&', 种不同的排法!

$'%$插空法% 要保证女生全分开#可先把五个男生

排好#每两个相邻的男生之间留出一个空位#这样共

有四个空位#加上两边男生外侧的两个位置#共有六

个位置#再把三个女生插入这六个位置中#只要保证

每个位置至多插入一个女生#就能保证任意两个女

生都不相邻#由于五个男生排成一排有 1+

+ 种不同排

法#对于其中任意一种排法#从上述六个位置中选出

三个让三个女生插入都有 1&

. 种排法#因此共有 1+

+

/1&

. \"#$$,, 种不同的排法! $&%方法 #\"$位置分

析法%因为两端都不能排女生#所以两端只能挑选五

个男生中的两个#有 1'

+ 种不同的排法#对于其中的

任意一种不同的排法#其余六个位置都有 1.

. 种不同

的排法#所以共有 1'

+/1.

. \"#$$,, 种不同的排法!方

法 '\"$间接法%三个女生和五个男生排成一排共有

1-

- 种不同的排法#从中扣除女生排在首位的 1#

& /

1/

/ 种排法和女生排在末位的 1#

& /1/

/ 种排法#但两

端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情况时被

扣去一次#在扣除女生排在末位的情况时又被扣去

一次#所以还需加回来一次#由于两端都是女生有

1'

&/1.

. 种不同的排法#所以共有 1-

- -'1#

& /1/

/ 3

1'

&/1.

. \"#$$,, 种不同的排法!方法 &\"$元素分析

法%从中间六个位置挑选三个让三个女生排入#有

1&

. 种不同的排法#对于其中的任意一种排法#其余

五个位置又都有 1+

+ 种不同的排法#所以共有 1&

. /

1+

+ \"#$$,, 种不同的排法! $$%方法 #\"$位置分析

法%因为只要求两端不都排女生#所以如果首位排了

男生#那么末位就不再受条件限制了#这样可有 1#

+

/1/

/ 种不同的排法'如果首位排女生#有 1#

& 种排

法#那么末位就只能排男生#这样可有 1#

& /1#

+ /1.

.

种不同的排法#因此共有 1#

+ /1/

/ 31#

& /1#

+ /1.

. \"

&.,,, 种不同的排法!方法 '\"$间接法% 三个女生和

五个男生排成一排共有 1-

- 种不同的排法#从中扣除

两端都是女生的排法 1'

& /1.

. 种#就得到两端不都

是女生的排法种数!因此共有 1-

- -1'

& /1.

. \"&.,,,

种不同的排法!

!'!\"!提示\"根据题意#先将 ' 个三口之家的成员进行全

排列#有 1&

&1&

& \"&. 种情况#再对 ' 个三口之家整体

进行全排列#有 1'

' \"' 种情况#则有 &. 0' (/' 种不

同的坐法!&

!(!*!提示\"共有 / 个人#老师在正中间#则老师左右各

& 人#所以甲(乙相邻在老师左右共有 - 种情况#剩下

$ 人全排列即可#所以不同的排法共有 - 01$

$ \"

#)'$种%!&

#规律方法$ 排队问题的解题策略#!合理归类$要

将题目大致归类$常见的类型有特殊元素(特殊位

置(相邻问题(不相邻问题等$再针对每一类采用相

应的方法解题!\"恰当结合$排列问题的解决离不开

两个计数原理的应用$解题过程中要恰当结合两个

计数原理!#正难则反$这是一个基本的数学思想$

巧妙应用排除法可起到事半功倍的效果!

!)!*!提示\"将甲(乙捆绑#与除丙(丁外的另外一架飞

机进行全排列#有 1'

' /1'

' 种方法# 而后将丙(丁进

行插空#有 & 个空#有 1'

& 种方法#故共有 1'

' /1'

' /

1'

& \"'$ 种方法!&

!*!解\"由题意可知#原有车票的种数是 1'

) #现有车票的

种数是 1'

) 31#所以 1'

) 31 -1'

) \".'#即$ ) 31%/$ )

31-#% -)$ ) -#% \".'#所以 1$') 31-#% \".'

(' 0&##因为 14') 31-##且 )''#1#)%&$#所

以 1\"'#

{') 31-# (&##

解得 1\"'#

{) \"#+#

故原有 #+ 个车站#

现有 #/ 个车站!

#!$!' 组 合

#!$!( 组合数

!帮练基础\"

!!1*!提示\"集合中元素具有无序性#1选项是组合问

题#单循环比赛没有顺序问题#*选项是组合问题#\"#

2选项与顺序有关#不是组合问题!&

$!!\" #!提示\"对于!#两个数的和与顺序无关#故

是组合问题!对于\"#两点为端点的线段与顺序无关#

故是组合问题'对于##选出的同学参加不同的活动#

与顺序有关#故是排列问题!&

#疑难突破$ 排列(组合辨析切入点#!组合的特点

是只选不排$即组合只是从 ) 个不同的元素中取出

1!1()\"个不同的元素即可!\"只要两个组合中的元

素完全相同$不管顺序如何$这两个组合就是相同的

组合!#判断组合与排列的依据是看是否与顺序有

关$与顺序有关的是排列问题$与顺序无关的是组合

问题!

%!\"! 提 示\" 由 已 知 得 1$ 1 -# % $ 1 -' % \". 0

1$1-#%$1-'%$1-&%

$. #解得 1\"/!&

第35页

参考答案与提示

!!*

&!12!提示\"由于 )#1%&$#且 ) 21#利用组合数的性

质#可得 \"1

) \"\") -1 ) #故 1正确'当 ) \"#,#1\") 时#

113# ) \"11

) #故 *错误'当 1\"# 时#11

) \"\"1

) #故 \"错误'

\"1

) 3\"1-# ) \" ).

1. $) -1%. 3 ).

$1-#%. $) -13#%. \"

). $) -13#% 31/).

1. $) -13#%. \" ). $) 3#%

1. $) -13#%. \"

$) 3#%.

1. $) 3# 41%. \"\"1

) 3# #故 2正确!&

\"!' 或 +!提示\"由 1'

') \"1'

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) #可得 ')$') -#% \".)$ )

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) #可得

.\"'.或 .\") 4'.#解得 .\", 或 .\"&#所以 .3) \"'

或 .3) \"+!&

'!解\"由已知得 '\"+

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) #所以 ' 0 ).

+. $) -+%. \"

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.. $) -.%.

#整理得 )' -'#) 3)- (,#

解得 ) \"/ 或 ) \"#$#要求 \"#'

) 的值#故 )'#'#所以 )

\"#$#所以 \"#'

) \"\"#'

#$ \"\"'

#$ \"#$ 0#&

' 0# \")#!

(!\"!提示\"只需再从其他 / 名队员中选 & 人#即 \"&

/ 种

选法!&

)!.!提示\"由于集合中的元素具有无序性#因此含有 '

个元素的子集个数与元素顺序无关#是组合问题#共

有 \"'

$ \"1'

$

1'

'

\"$ 0&

' 0# \".$个%!&

*!.!提示\"除了甲(乙之外还有 $ 名同学#从中再选 ' 名

同学#所以甲(乙都入选的情况有 \"'

$ \".$种%!&

!+!\"!提示\"首先从 . 名同学中选 # 名去甲场馆#方法数

有 \"#

. 种'然后从其余 + 名同学中选 ' 名去乙场馆#

方法数有 \"'

+ 种'最后剩下的 & 名同学去丙场馆!故

不同的安排方法共有 \"#

./\"'

+ \". 0#, (.,$种%!&

!!!解\"这里 ##$#%三门课程+至多选一门,#即 ##$#%

三门课程都不选#或 ##$#%这三门课程恰好选一

门#所以分两类完成\"第 # 类###$#%三门课程都不

选#有 \"$

. 种不同的选修方案'第 ' 类###$#%三门课

程恰好选修一门#有 \"#

& :\"&

. 种不同的选修方案!故

共有 \"$

. 3\"#

& :\"&

. \"/+ 种不同的选修方案!

!$!解\"$#%从 ' 件次品中任取 # 件#有 \"#

' 种抽法'从 -

件正品中任取 ' 件#有 \"'

- 种抽法!由分步乘法计数

原理可 知# 共 有 \"#

' :\"'

- \"+. 种 不 同 的 抽 法!

$'%方法 #\"含 # 件次品有 \"#

' :\"'

- 种抽法'含 ' 件次

品有 \"'

' :\"#

- 种抽法!由分类加法计数原理知#共有

\"#

' :\"'

- 3\"'

' :\"#

- \"+. %- (.$$种%不同的抽法!方

法 '\"从 #, 件产品中任取 & 件有 \"&

#,种抽法#不含次

品有 \"&

- 种抽法#所以至少有 # 件是次品有 \"&

#, -\"&

-

\".$$种%抽法!

#规律方法$ 有限制条件的抽!选\"取问题$主要有

两类#!&含'与&不含' 问题$其解法常用直接分步

法$即&含'的先取出$&不含' 的可把所指元素去掉

再取$分步计数!\"&至多' &至少'问题$其解法常有

两种思路#一是直接分类法$但要注意分类要不重不

漏%二是间接法$注意找准对立面$确保不重不漏!

!%!*!提示\"方法 #\"利用间接法#先在 - 个点中任取 &

个点#再减去三点共线的情况#因此#符合条件的三

角形的个数为 \"&

- -\"&

$ -\"&

+ \"$'!方法 '\"直接法#若

选点 ;#则三角形个数为 \"#

&\"#

$ \"#''若不选点 ;#则

三角形个数为 \"'

&\"#

$ 3\"#

&\"'

$ \"#' %#- (&,!故所有三

角形的个数为 #' %&, ($'!&

!&!*!提示\"因为顺次连接一组+自由弦对,的两条弦的

$ 个端点构成的四边形是圆内接四边形#并且这个

四边形的每一组对边都是一组+自由弦对,#从而得

到每个圆内接四边形都有两组+自由弦对,#从圆周

上 - 个点中任取 $ 点可以构成 \"$

- 个圆内接四边形#

所以圆中的+自由弦对,总数为 '\"$

- \"' 0/, (#$,!&

!\"!#+!提示\"根据题意#平面内有 . 条直线#其中没有两

条平行#也没有三条交于一点#则任意两条直线确定

一个交点#则共有 \"'

. \"#+ 个交点!&

!'!*!提示\"乡镇 #派 ' 名男生有 \"'

& \"& 种方法#然后剩

下 & 人派给乡镇 $#%#有 \"'

&1'

' \". 种方法#故共有 &

0. (#- 种方法!&

!(!2!提示\"若五项工程分为三组#每组的工程数分别

为 &#####则不同的分法有 \"&

+ \"#,$种%#故不同的中

标方案有 #,1&

& \".,$种%!若五项工程分为三组#每

组的工程数分别为 '#'###则不同的分法有 #

' \"'

+\"'

&

\"#+$种%#故不同的中标方案有 #+1&

& \"),$种%!故

不同中标方案共有 ., %), (#+,$种%!&

#易错点津$ 将五项不同的工程分为三组$&$#$#

和 '$'$# 都是部分均匀分组$注意不要重复$如 '$'$

# 分组中由于计数重复了一倍$故应除以 '$这是本

题中的易错点(疑难点$解题时要注意避免重复$这

是计数问题中常犯的错误!

!)!#'!提示\"根据题意#要求高一年级安排 ' 位教师#则

高一有 \"'

$ \". 种安排方案'高二(高三年级各安排 #

位教师#则高二(高三年级有 1'

' \"' 种安排方案#故

共有 . 0' (#' 种不同的安排方案!&

!*!\"!提示\"+ 名女生分为两组## 和 $ 或 ' 和 &#两名男

生分为两组#每组各 # 人#则分组方案有 \"#

+\"#

' 3

\"'

+\"#

' \"&,$种%#两组分别分配到两地#所以总的分

配方案有$\"#

+\"#

' 3\"'

+\"#

' %1'

' \".,$种%!&

$+!#

. !提示\"安排甲(乙(丙(丁四名志愿者去慧阅读中

心(智创中心和学生发展中心参与讲解工作#要求每

个中心至少一人#则样本点总数为 \"'

$1&

& \"&.$个%#

甲(乙被安排到同一个中心的样本点有 \"'

'1&

& \".

$个%#所以甲(乙被安排到同一个中心的概率为 <\"

.

&. \"#

. !&

第36页

数学 选择性必修第三册 !人教 \"\"

!$+

$!!解\"$#%先排前 $ 次测试#只能取正品#有 1$

. 种不同

测试方法#再从 $ 件次品中选 ' 件排在第 + 和第 #,

的位置上测试#有 \"'

$1'

' \"1'

$ 种测试方法#再排余下

$ 件的测试位置#有 1$

$ 种测试方法!所以共有不同

测试方法 1$

./1'

$/1$

$ \"#,&.-,$种%! $'%第 + 次

测试的产品恰为最后一件次品#另 & 件在前 $ 次中

出现#从而前 $ 次有一件正品出现#所以共有不同测

试方法 \"#

.\"&

$1$

$ \"+/.$种%!

!帮练综合\"

!!\"!提示\"由题意可知#选出 + 枚编钟挂在上层即可#其

排列顺 序 确 定# 所 以 不 同 的 悬 挂 方 法 有 \"+

#' \"

/)'$种%!&

$!*!提示\"将 + 名学生分配到两个不同的志愿者值勤

点#每个值勤点至少安排 ' 名学生#则一个值勤点 '

名#另一个值勤点 & 名# 共有安排方法 \"&

+\"'

'1'

' \"

',$种%!&

%!*!提示\"由题意知程序 #只能出现在第一步或最后

一步#8从第一个位置和最后一个位置中选一个把 #

排列#有 1#

' \"' 种编排方法#9程序 $和 %实施时必

须相邻#8把 $和 %看成一个元素#同除 #外的 & 个

元素排列#注意 $和 %之间还有一个排列#共有 1$

$1'

'

\"$- 种编排方法#根据分步乘法计数原理知共有 ' 0

$- (). 种编排方法!&

&!\"!提示\"根据题意#分 ' 种情况讨论#若甲(乙其中一

人参加#有 \"#

'\"&

+1$

$ \"$-, 种情况#若甲(乙两人都参

加#则丙不能参加#有 \"'

'\"'

$1$

$ \"#$$ 种情况#其中甲(乙

相邻的有 \"'

'\"'

$1&

&1'

' \"/' 种情况#则甲(乙两人都发言

且顺序不相邻的概率为 <\"#$$ 4/'

$-, %#$$ \"&

'.!&

\"!*\"2!提示\"从 / 人里面抽 & 人站在前排且全排列#有

\"&

/1&

& 种#剩余 $ 人在后排全排列#有 1$

$ 种#则共有

\"&

/1&

&1$

$ \"+,$,$种%#故 1错误'甲不站排头也不站排

尾#所以先排甲#除排头和排尾的位置剩余 + 个位置

任选一个#则有 \"#

+ 种#剩余 . 人全排列#有 1.

. 种#则

共有 \"#

+1.

. \"&.,,$种%#故 *正确'因为女生必须站在

一起#则先将女生捆绑在一起且全排列#有 1$

$ 种#再

将捆绑的女生与男生一起全排列#有 1$

$ 种#则共有

1$

$1$

$ \"+/.$种%#故 \"正确'先将女生全排列#有 1$

$

种#此时共产生 + 个空#由于男生互不相邻#则 & 个男

生插空即可#有 1&

+ 种#则共有 1$

$1&

+ \"#$$,$种%#故 2

正确!&

'!1\"2!提示\"15由题意#先选两人到短道速滑赛区有

\"'

+ 种排法#其余各安排 # 人有 1&

& 种排法#则有 \"'

+1&

&

(., 种不同的方案#故正确'*5由题意#先排甲(乙之

外的三人有 1&

& 种排法#再从产生的 $ 个空中选 ' 个

将甲(乙排上有 1'

$ 种排法#则有 1&

&1'

$ (/' 种不同的

排法#故错误'\"5先选 ' 人排在某个赛区有 $\"'

+ 种排

法#其余 & 人全排列#则有 $\"'

+1&

& ('$, 种不同的方

案#故正确'25先从 + 人中选 ' 人排在前排有 1'

+ 种排

法#剩余 & 人排在后排#由于后排 & 人中身高最高的

站中间有 1'

' 种排法#则共有 1'

+1'

' ($, 种不同的排

法#故正确5&

(!'$,!提示\"将周一至周五分为 $ 组#每组至少 # 天#共

有 \"'

+ :\"&

& \"#, 种分组方法'将四大名著安排到 $ 组

中#每组 # 种名著#共有 1$

$ \"'$ 种分配方法'由分步

乘法计数原理可得不同的阅读计划共有 #, 0'$ (

'$,$种%!&

)!+,$,!提示\"根据题意#分两种情况讨论#若只有甲(乙

其中一人参加#有 \"#

'\"$

.1+

+ \"&.,,$种%'若甲(乙两人

都参加#有 \"'

'1&

.1'

$ \"#$$,$种%!则不同的安排种数

为 &.,, %#$$, (+,$,!&

*!'/!提示\"若将 # 号小球放入 $盒子中#再从 $#+#. 号

小球中选 # 个放入 $盒子中#剩下 $ 个小球分别放入

##%两个盒子中#共有 \"#

&\"'

$ \"#- 种放法'若将 # 号小

球放入 %盒子中#再从 $#+#. 号小球中选 ' 个放入 $

盒子中#然后从剩下的 & 个小球中选 # 个放入 %盒子

中#最后 ' 个放入 #盒子中#共有 \"'

&\"#

& \") 种放法!所

以共有 #- %) ('/ 种不同的放法!&

!+!解\"$#%从 $ 男 & 女共 / 名志愿者中#选出 & 人参加

社区义务劳动#不同的选择方法种数为 \"&

/ \"&+!

$'%选中 & 人都是男生的选择方法种数为 \"&

$ \"$#选

中 & 人都是女生的选择方法种数为 \"&

& \"##所以若

选中的 & 人性别不能都相同#不同的选择方法种数

为 &+ 4$ 4# \"&,!

!!\"与 !!$ 综合过关

!帮练易错\"

!!2!提示\"由题意知每个人有 & 种报名方法#结合分步

乘法计数原理可得不同的报名方法的种数是 &+!&

#易错点津$ 解决此类问题关键在于弄清楚要以谁

为主来研究问题$弄清楚哪类元素必须用完$就以它

为主进行分析!此类问题容易把计数原理(排列(组合

混淆!

$!-# '$!提示\"$ 名学生中任意一名均可报其中的任

意一项#所以每个学生都有 & 种报名方法#$ 名学生

都报了比赛项目才能完成这件事情#故报名方法种数

为 & 0& 0& 0& (&$ \"-#!因为每个比赛项目只有一个

冠军#由于限报一项#每一名学生都只能获得其中的

一项冠军#所以每个项目获得冠军可能情况种数是

1&

$ \"$ 0& 0' ('$!&

#易错点津$ 本题第一个问题中$要求所有学生必须

选比赛项目$比赛项目可以剩余$不同的学生可以参

加相同的比赛项目$故应以学生为主!第二个问题中$

因为每个比赛项目只有一个冠军$由于限报一项$所

以相当于从 $ 人中选 & 人的排列$本题两种情形容易

混淆出错!

%!*!提示\"分以下两类\"第一类是甲排在第一位#丙排

在最后一位#则乙可在中间四个位置任选一个来放

置#有 \"#

$1&

& \"'$$种%'第二类是甲排在第二位#丙排

在最后一位#则乙可在中间三个位置任选一个来放

置#有 \"#

&1&

& \"#-$种%!综上所述#由分类加法计数原

理可知#共有 '$ %#- ($'$种%编排方案!&

#易错点津$ 利用有限制条件的元素优先排列的原

第37页

参考答案与提示

!$!

则来确定分类标准$本题中节目甲(乙(丙有限制$而

且甲的安排影响乙的安排$所以对甲进行分类讨论!

&!\"!提示\"若+角,在两端#则+宫(羽,一定在+角,的同

侧#此时有 '1$

$ \"$-$种%'若+角,在第二或第四个位

置#则有 ' 01&

& :' ('$$种%'若+角,在第三个位置#

则有 ' 01'

' :1'

' \"- $ 种%!故 共有 $- %'$ %- (

-,$种%!&

#易错点津$ 计数原理应用的关键问题是合理地分

类与分步$分类要按同一个标准进行$做到不重不漏!

本题中宫(羽(角三个音阶有限制$而且&角'的位置影

响宫(羽的选择$故对&角'的位置进行分类讨论!解决

此类问题还要避免出现分类混乱的情况!

\"!2!提示\"若 + 个花池栽了 + 种颜色的花卉#方法有 1+

+

种'若 + 个花池栽了 $ 种颜色的花卉#则 '#$ 两个花

池栽同一种颜色的花'或者 &#+ 两个花池栽同一种颜

色的花#方法有 '1$

+ 种'若 + 个花池栽了 & 种颜色的

花卉#方法有 1&

+ 种!所以不同的栽种方案有 1+

+ 3'1$

+

31&

+ \"$',$种%!&

#易错点津$ 本题容易忽略按照所选花色的种数进

行分类计数导致漏解出错!解答排列(组合应用题要

从&分析' &分辨' &分类' & 分步' 的角度入手#!分

析#就是找出题目的条件(结论$哪些是&元素'$哪些

是&位置'%\"分辨#就是辨别是排列还是组合$对某些

元素的位置有无限制等%#分类#就是将较复杂问题

中的元素分成互相排斥的几类$然后逐类解决$分类

讨论的原则是&不重复$不遗漏'$注意运用&类类相

加'计数原理%%分步#就是把问题转化成几个互相联

系的步骤$而每一步都是简单的排列(组合问题$然后

逐步解决$注意运用&步步相乘'计数原理!

'!1!提示\"由题意#先分组#可得\"#,

+,/\"+

#,

' #再一组打扫

教室#一 组 打 扫 操 场# 可 得 不 同 的 选 派 方 法 有

\"#,

+,/\"+

#,

' /1'

' \"\"#,

+,/\"+

#, $种%!&

#易错点津$ 注意平均分配中的组合数相乘$本身就

是有序平均分组$本题易错选 \"!在分组时$通常有三

种类型#!不均匀分组%\"均匀分组%#部分均匀分组!注

意各种分组类型中$不同分组方法的求解!

(!'#.!提示\"根据题意#可先把 $ 名+专家,分为人数为

'#### 的三组#再分配到 & 个社区#共有\"'

$\"#

'\"#

#

1'

'

/1&

&

种分法#然后把 ' 名+助手, 分配到 & 个社区中的 '

个#有 1'

& 种分法#所以共有\"'

$\"#

'\"#

#

1'

'

/1&

& /1'

& \"'#.

$种%不同的分配方案!&

#易错点津$ 对于非完全均匀分组$先确定人数最多

的一组$再进行均匀分组$对于均匀分组$组与组之间

没有顺序$忽略这一点就会重复计数$这是易错点!

)!解\"$#%分配方式有\"'

.\"'

$\"'

'

1&

&

\"#+$种%! $'%在$#%的

基础上再分配#故分配方式有\"'

.\"'

$\"'

'

1&

&

/1&

& \"\"'

.\"'

$\"'

'

\"),$种%!

#易错点津$ 不同元素的分配问题$往往是先分组再

分配!在分组时$通常有三种类型#!不均匀分组%

\"均匀分组%#部分均匀分组!注意各种分组类型中$

不同分组方法的求解!

*!\"!提示\"分两步完成\"第一步#将 $ 名水暖工按 '####

分成三组#其分法有\"'

$/\"#

'/\"#

#

1'

'

种'第二步#将分好

的三组分配到 & 个家庭#其分法有 1&

& 种!所以满足条

件的分配方案有\"'

$/\"#

'/\"#

#

1'

'

/1&

& \"&.$种%!&

#易错点津$ 解答此类问题易出现重复计数的错误$

如先从$ 名水暖工中选出& 名分配到 & 个住户$有 1&

$

种分法$再将余下的 # 名水暖工分配到任一住户$有 &

种分法$由分步乘法计数原理得$共有 &1&

$ \"/'!种\"

分配方案!这种解法看似正确$其实出现了重复计数$

如记 $ 名水暖工为 #$'$&$$$记 & 个住户为 #$$$%$若

取出的 & 名水暖工为 #$'$&$分别分配到 #$$$%& 个

住户$则 $ 号水暖工分配到住户时$其中一种方式为

#$$ 到了 #住户$'$& 分别在 $$%住户%若取出的 & 名

水暖工为 $$'$&$分别分配到 #$$$%& 个住户$则 # 号

水暖工分配到住户时$其中也有一种方式为 #$$ 到了

#住户$'$& 分别在 $$%住户$故出现重复计数!避免

重复计数的办法就是先选后排$先把 $ 名水暖工分成

& 组$再分配到 & 个住户!

!+!解\"$#%分两类\"甲(乙中有一人参加#甲(乙都参加#

共有 \"#

'\"$

#- 3\"'

'\"&

#- \".)&.$种%! $'%方法 #$直接

法%\"至少有一名内科医生和一名外科医生的选法可

分四类\"一内四外'二内三外'三内二外'四内一外!

所以共有 \"#

#' \"$

- 3\"'

#' \"&

- 3\"&

#'\"'

- 3\"$

#' \"#

- \"#$.+.

$种%!方法 '$间接法%\"由总数中减去五名都是内科

医生和五名都是外科医生的选法种数#得 \"+

', -\"+

#'

-\"+

- \"#$.+.$种%!

#易错点津$ 对于有条件的组合问题$可能遇到含

某个!些\"元素与不含某个!些\"元素的问题$也可能

遇到&至多'或&至少'的问题$此类问题要注意分类

处理或间接计算$切记不要因为&先取再后取'产生

顺序造成计数错误!选择恰当分类标准$避免重复遗

漏$出现&至少(至多'型问题$注意间接法的运用!

!帮练疑难\"

!!*!提示\"将所有的安排方法分成两类#第一类\"歌舞

类节目中间不穿插相声节目#有 1&

&1'

'1#

' \". 0' 0' (

'$$种%'第二类\"歌舞类节目中间穿插相声节目#有

1&

&1#

'1#

'1#

$ \". 0' 0' 0$ ().$种%!根据分类加法计

数原理#得共有 ). %'$ (#',$种%不同的排法!&

$!\"!提示\"先确定个位数字#从 '#$#. 中任选一个作为

个位数字#有 \"#

& 种方法#再确定十位和百位数字#有

1'

. 种方法#由分步乘法计数原理#知满足条件的偶数

有 \"#

&1'

. \"& 0. 0+ (),$个%!&

第38页

数学 选择性必修第三册 !人教 \"\"

!$$

%!\"!提示\"分两种情况#第一种\"# 家企业接待 # 名校

长## 家企业接待 & 名校长#共有 \"#

$1'

' \"- 种方法'第

二种\"每家企业均接待 ' 名校长#共有 \"'

$\"'

' \". 种方

法#所以共有 - %. (#$$种%!&

&!1!提示\"将 . 个字母排成一排#可分三步进行\"第一

步\"排 7#8#共有 1'

. \"&, 种排法'第二步\"排两个 9#共

有 \"'

$ \". 种排法'第三步\"排两个 :#共有 # 种排法!所

以将 . 个字母排成一排共有 &, 0. 0# (#-, 种排法!

可能出现的错误写法有 #-, 4# (#/)$种%!&

\"!1!提示\"根据题意#四个数字相加和为 #, 的情况有\"

! ,###&#.#\" ,###$#+## ,###'#/#% ,#'#&#+#

& ##'#&#$#共 + 种情况!故分 + 种情况讨论\"!四个

数字为 ,###&#. 时#千位数字可以为 & 或 .#有 ' 种情

况#将其余 & 个数字全排列#安排在百位(十位(个位

上#有 1&

& \".$种%情况#此时有 ' 0. (#'$个%符合题

意的+完美四位数,'\"四个数字为 ,###$#+ 时#千位

数字可以为 $ 或 +#有 ' 种情况#将其余 & 个数字全排

列#安排在百位(十位(个位上#有 1&

& \".$种%情况#此

时有 ' 0. (#'$个%符合题意的+完美四位数,'#四

个数字为 ,###'#/ 时#千位数字为 / 时#将其余 & 个

数字全排列#安排在百位(十位(个位上#有 1&

& \".

$种% 情况# 千位数字为 ' 时# 有 ',/##'#,/#'#/,#

'/,##'/#,#共 + 种情况#此时有 . %+ (##$个% 符合

题意的+完美四位数,'%四个数字为 ,#'#&#+ 时#千

位数字可以为 ' 或 & 或 +#有 & 种情况#将其余 & 个数

字全排 列# 安 排 在 百 位( 十 位( 个 位 上# 有 1&

& \"

.$种%情况#此时有 & 0. (#-$个%符合题意的+完美

四位数,'&四个数字为 ##'#&#$ 时#千位数字可以为

& 或 $ 或 '#有 & 种情况#将其余 & 个数字全排列#安

排在百位(十位(个位上#有 1&

& \".$种% 情况#此时有

& 0. (#-$个%符合题意的+完美四位数,!故共有 #'

%#' %## %#- %#- (/# $ 个% 符合题意的+ 完美四

位数,!&

'!..,!提示\"分两步#第一步#选出 $ 人#由于至少有 #

名女生#故有 \"$

- -\"$

. \"++ 种不同的选法'第二步#从

$ 人中选出队长(副队长各 # 人#有 1'

$ \"#' 种不同的

选法!根据分步乘法计数原理知共有 ++ 0#' (.., 种

不同的选法!&

#疑难突破$ !#\" 解计数原理与排列组合综合问题

要遵循两个原则#!按元素!或位置\" 的性质进行分

类%\"按事情发生的过程进行分步!具体地说$解排列

组合问题常以元素!或位置\"为主体$即先满足特殊元

素!或位置\"$再考虑其他元素!或位置\"!

!'\"不同元素的分组分配问题$往往是先分组再分配!

在分组时$通常有三种类型#!不均匀分组%\"均匀分

组%#部分均匀分组!注意各种分组类型中$不同分组

方法的求解!

!帮练提升\"

!!*!提示\"由题意可知 '' (& %#) (+ %#/ (## %###

8集合 #\")&#+#####/##)*#8从 #中随机选取两个

不同的数#样本点总数 ) \"\"'

+ \"#,#其差大于 - 包含

的样本点有$&##/%#$&##)%#$+##/%#$+##)%#共 $

个#8所求概率 <\"$

#, \"'

+ !&

$!2!提示\"由题意可知#若乙与甲同组去 $企业#其余 $

人的分配方法种数为 \"'

$\"'

' '若乙与甲不同组#则其余

$ 人中选 # 人与甲同组#有 \"#

$ 种#剩下 & 人中选 # 人

与乙同组去 #企业#有 \"#

& 种#方案数为 \"#

$\"#

&!8不同

的派遣方案种数为 \"'

$\"'

' 3\"#

$\"#

& \"#-!&

%!*!提示\"若小明和小李两人一组#则有 1'

' \"' 种分配

方法#若小明和小李再加 # 人三人一组#则有 \"#

&1'

' \"

. 种分配方法#故不同的分配方案种数为 ' %. \"-!&

&!\"!提示\"由题知#两大学习板块间最多隔 # 个答题板

块#分为 ' 种情况#隔 # 个答题板块#有 \"#

$1'

'1$

$ \"#)'

$种%'或者不隔答题板块#即 1'

'1+

+ \"'$,$种%#则共

有 #)' %'$, ($&'$种%!&

\"!1\"!提示\"对于 1中#若任意选择三门课程#选法总数

为 \"&

/ 种#故 1正确'对于 *中#物理和化学至少选一

门#分两类#第一类\"若物理和化学选一门#有 \"#

' 种方

法#其余两门从剩余的 + 门中选 ' 门#有 \"'

+ 种选法#

故有 \"#

'\"'

+ 种选法'第二类\"物理和化学都选有 \"'

' 种

方法#其余一门从剩余的 + 门中选 # 门#有 \"#

+ 种方

法#故有 \"'

'\"#

+ 种选法#由分类加法计数原理知#总数

为$\"#

'\"'

+ 3\"'

'\"#

+ %种选法#故 *错误'对于 \"中#若物

理和历史不能同时选#选法总数为 \"&

/ -\"'

'\"#

+ \"$\"&

/ -

\"#

+ %种#故 \"正确'对于 2#若物理和化学至少选一门#

且物理和历史不能同时选#选法总数为$\"#

'\"'

+ 3\"'

'\"#

+

-\"#

+ %种#故 2错误!&

'!1\"2!提示\"对于 1#. 门中选 ' 门共有 \"'

. \"#+ 种选

法#故 1正确'对于 *#利用间接法#课程+乐, +射,排

在相邻的两周时#把这两个看成一个整体#有 1'

' 种排

法#然后全排列有 1+

+ \"#', 种排法#根据分步乘法计

数原理#+乐,+射,相邻的排法共有 1'

'1+

+ \"'$, 种#没

有限制条件时共有 1.

. \"/', 种排法#故+乐, +射, 排

在不相邻的两周有 1.

. -1'

'1+

+ \"$-, 种排法#故 *错

误'对于 \"#课程+御, +书, +数,排在相邻的三周#即

把这三个当作一个整体#有 1&

& \". 种排法#然后全排

列有 1$

$ \"'$ 种排法#根据分步乘法计数原理#得共有

1&

&1$

$ \"#$$ 种排法#故 \"正确'对于 2#先特殊后一

般#先把+礼, 排在第一周#再排+数,#有 \"#

$ \"$ 种排

法#再把剩下 $ 个全排列#有 1$

$ \"'$ 种排法#根据分步

乘法计数原理#得共有 \"#

$1$

$ \"). 种排法#故2正确!&

(!',!提示\"根据题意#可分 #\",#$\", 和 #$!,#三种

情况讨论\"当 #\", 时#可表示 # 条直线'当 $\", 时#

可表示 # 条直线'当 #$!, 时##有 + 种选法#$有 $

种选法#可表示 + 0$ (', 条不同的直线#其中 #\"##

$\"& 与 #\"&#$\")#表示同一条##\"&#$\"# 与 #\"

)#$\"& 表示同一条#由分类加法计数原理知#一共可

表示 # %# %', 4' (', 条不同的直线!&

第39页

参考答案与提示

!$%

)!&#'!提示\"根据题意#分 & 种情况讨论\"!取出的 & 个

点都在圆内#有 \"&

$ \"$$种%取法'\"在圆内取 ' 点#圆

外 #' 点中取 # 点#因为构成三角形的三个点不共线#

所以有 \"'

$\"#

#, \".,$种% 取法'#在圆内取 # 点#圆外

#' 点中取 ' 点#有 \"#

$ $\"'

#' -$% \"'$-$种%取法!则至

少有一个顶点在圆内的三角形有 $ %., %'$- (

&#'$个%!&

*!+$!提示\"根据物理复习时间的安排分为以下两类\"第

一类#物理安排在第一科复习#第二科不能为数学#数

学安排在后面三科里有 & 种安排方法#其余三科有

1&

& 种安排#共有 & 01&

& \"#-$种%'第二类#物理不安

排在第一科复习#因为第一科也不能安排数学#故第

一科可安排其余三科中的一科#有 & 种安排方法#剩

下四科中数学和物理采用插空法#有 1'

'1'

& 种安排#

共有 & 01'

'1&

& \"&.$种%#故共有 #- %&. (+$$种% 安

排方法!&

!+!解\"$#%定义域中有且仅有 $ 个元素对应的函数值是

##另 & 个元素对应 ,#所以这样的函数 =$.%共有 \"$

/

\"&+$个%! $'%#\").0#(.(/#.%&*#将 #中 /

个元素分为两组#分别对应 , 和 ##则有$\"#

/ 3\"'

/ 3

\"&

/ % :1'

' \"#'.$个%!

!!!解\"$#% 每个球都有 $ 种放法#故有 $ 0$ 0$ 0$ (

'+. 种不同的放法#选出一个盒子为空#再从 $ 个小

球中选两个作为一个元素#同另外两个元素在三个

位置全排列#则共有 \"#

$\"'

$1&

& \"#$$ 种不同的放法#

故所求概率为#$$

'+. \")

#.! $'% 先放 # 号球#有 & 种

放法#其余三个球在三个位置全排列#有 \"#

&1&

& \"#-

种不同的放法! $&% 每个盒子不空#共有 1$

$ \"'$

种放法#故没有一个盒子空着#且球的编号与盒子的

编号不全相同有 '$ 4# ('& 种不同的放法!

!!% 二项式定理

#!'!% 二项式定理

!帮练基础\"

!!*!提示\"$.3'%& \"\",

&.& 3\"#

&.' :' %\"'

&.:'' 3\"&

& :

'& \".& 3..' 3#'.3-!&

$!\"!提示\"\",

) 3\"#

).# 3\"'

).' 3\"&

).& 3- 3\")

).) \"$# %

.% ) \"/)!&

%!解\"原式 \"\",

+ $.-#%+ 3\"#

+ $.-#%$ 3\"'

+ $.-#%& 3

\"&

+ $.-#%' 3\"$

+ $.-#% 3\"+

+ $.-#%, -# (!$.-#%

3#&+ -# (.+ -#!

&!1! 提 示\"槡.

' -'

槡 ( .)

#,

的 展 开 式 的 通 项 为 >?3# \"

\"?

#,槡. ( ) '

#, 4?

-'

槡 ( .)

?

#?\",###'#-##,#共 ## 项#则

中间一项是第 . 项#即 >. \"\"+

#,槡. ( ) '

+

-'

槡 ( .)

+

\"

-\"+

#, \"-'+'!&

\"!1! 提 示\" 由 题 意 得 展 开 式 的 通 项 为 >?3# \"

\"?

. $'.%. 4?/ -# ( .)

?

\"$ -#% ?'. 4?\"?

... 4'?#令 . 4

'?\",#得 ?\"&#所以常数项为 >$ \"$ -#%& :'& :\"&

.

\"-#.,!&

#规律方法$ 求!* 3+\" ) 展开式的特定项的常见题

型及处理措施#!求第 ?项!>?\"\"?-# ) *) -?3# +?-#!

\"求常数项!对于常数项$隐含条件是字母的指数为

,!即 , 次项\"!#求有理项!对于有理项$一般是根据

通项公式所得到的项$其所有的字母的指数恰好都是

整数的项!解这类问题必须合并通项公式中同一字母

的指数$根据具体要求$令其属于整数$再根据数的整

除性来求解!%求整式项$求二项展开式中的整式项$

其通项公式中同一字母的指数应是非负整数$求解方

法与求有理项一致!

'!*!提示\"二项式 '.3# ( .)

.

的展开式的通项为 >?3#

\"\"?

. $'.%. 4? #

( .)

?

\"\"?

.'. 4?.. 4'?#当 ?\"# 时#>' \"

\"#

. :'+ :.$ \"#)'.$ #.$ 的系数为 #)'!&

(!12!提示\"二项式 #

.( 3.) & )

的展开式的通项为 >?3#

\"\"?

).$?-) #由通项可知#当 ) \"$?$?%&$ % 和 ) \"$?

-#$ ?% &$ % 时#展开式中 分 别存 在常 数 项 和 一

次项!&

)!*! 提 示\" 9 $ # %槡' %$ \"\",

$ $槡' %, 3\"#

$ $槡' %# 3

\"'

$ $槡'%' 3\"&

$ $槡'%& 3\"$

$ $槡'%$ \"#/ %#' 槡' (* 3

+槡'#8* \"#/#+\"#'#8* 3+\"')!&

*!2! 提示\"由题意得 \"'

) \"\"$

) #所以 ) \". #所以其展

开 式 的 通 项 为 >@3# \"\"@

. $槡.%. 4

( @ - #

'.)

@

\"

\"@

. ( -#

' )

@

.& 4&

' @#令 & 4&

' @\",)@\"'#所以展开式

的常数项为 >& \"\"'

. ( -#

' )

'

., \"#+

$ !&

!+!.,!提示\"因为 .-'

( .' )

)

的展开式共有 / 项#所以 )

\".# .-'

( .' )

.

的 展 开 式 通 项 为 >@3# \"

\"@

... 4@ -'

( .' )

@

\"$ -'% @\"@

... 4&@$@%&#@(.%#由 .

4&@\", 得 @\"'#展开式的常数项为 >& \"$ -'%'\"'

.

\".,!所以常数项等于 .,!&

!!!#

' !提示\"二项展开式的通项为 >?3# \"\"?

#, .#, 4?*?#

当#, 4?\"/ 时#?\"&#>$ \"\"&

#, *&./ #则 \"&

#, *& \"#+#故

* \"#

' !&

#素养点评$ 本题考查利用二项式定理的通项求

参数$解题过程中要运用方程思想$体现了逻辑推

理和数学运算的核心素养!

第40页

数学 选择性必修第三册 !人教 \"\"

!$&

!$!\"!提示\"原式可化为$# %.%- -.$# %.%- 3.' $# %

.%- #所以含 .$ 项的系数为 \"$

- -\"&

- 3\"'

- \"$'!&

!%!\"!提示\"原式 \".' $.3#%$.3'%$.3&% 3$.3#%/

$.3'%$.3&%#所以展开式中含 .& 的项包含 .' $.

3#%$.3'%$.3&%中含 .& 的项的系数为 # 0' %'

0& %# 0& (## 和$.3#% $.3'% $.3&%中含 .& 的

项的系数为 ##故含 .& 项的系数和为 ## %# (#'!&

!&!-'- ! 提 示\" 因 为 # 4/

( .) $.3/%- \"$.3/%- -

/

.$.3/%- #所以 # 4/

( .) $.3/%- 的展开式中含

.'/. 的 项 为 \".

-.'/. - /

.\"+

-.&/+ \" -'-.'/. # 故

# 4/

( .)$.3/%- 的展开式中 .'/. 的系数为 -'-!&

#名师点评$ 对于几个多项式积的展开式中的特

定项问题$一般都可以根据因式连乘的规律$结合组

合思想求解$但要注意适当地运用分类方法$以免重

复或遗漏!

!\"!1!提示\"由二项展开式的通项公式#可得 >?3# \"\"?

#, ( .3

#

.)

#, 4?

$ -/%?#故只有 >- \"\"/

#, ( .3#

.)

&

$ -/%/

包含 .&// #又 ( .3#

.)

&

展开式的通项为 A13# \"

\"1

& .& 4

( 1 #

.)

1

\"\"1

& .& 4'1#故当 1\", 时#.&// 的

系数为$ -#%/\"/

#,\",

& \"-#',!&

!'!1*\"!提示\"对于 1#令 .\"##代入多项式#可得各项

系数之和为$# %# 4'%$ \",#故 1正确'对于 *#取多

项式 .3#

. ( 3 ) ' $

#令 .\"##代入多项式可得$# %#

%'%$ \"'+.#所以原多项式各项系数的绝对值之和

为 '+.#故 *正确'对于 \"#多项式可化为 [ ( .3

#

.) - ] '

$

# 则展开式的通项为 >@3# \"\"@

$ ( .3

#

.)

$ 4@

/$ -'% @#当 $ 4@\",#'#$#即 @\"$#'#, 时#

.3# ( .)

$ 4@

有常数项#且当 @\", 时#常数项为 \",

$\"'

$

\".#当 @\"' 时#常数项为 \"'

$ :' 0$ -'%' \"$-#当 @

\"$ 时#常数项为$ -'%$ \"#.#故原多项式的展开式

的常数项为 . %$- %#. (/,#故 \"正确'对于 2#当 @

\"# 时#展开式中含 .的项为 \"#

$\"#

&.$ -'%# \"-'$.#

当 @\"& 时#含 .的项为 \"&

$.$ -'%& \"-&'.#故原多

项式 的 展 开 式 中 含 .的 项 的 系 数 为 -+.# 故

2错误!&

!(!\"!提示\"由于 ' 0#,#, 3* \"' 0$## 4#%#, 3*#' 0

#,#, 3*$,(* 4##%能被 ## 整除#又根据二项展开

式可知#' 0$## 4#%#,被 ## 除的余数为 '#从而可知

' %* 能被 ## 整除#可知 * \")!&

!)!一!提示\"因为 '&, \"-#, \"$/ %#%#, \"\",

#, //#, /#,

3\"#

#,//)/## 3- 3\")

#,//#/#) 3\"#,

#,//, /##, #

所以 '&,除以 / 的余数为 ##即第 '&,天是星期一!&

#规律方法$ 利用二项式定理可以解决求余数和整

除的问题$通常需将底数化成两数的和或差的形式$

且这种转化形式与除数有密切的关系!

!*!解\"$#%*#\",

' -*'\"#

' 3*&\"'

' \"*# -'*#B3*#B' \"*# $#

4B%' # *# \",

& -*'\"#

& 3*&\"'

& -*$\"&

& \"*# -&*# B3

&*#B' -*#B& \"*# $# 4B%&! $ ' % 归纳概括的结论

为\"若数列)*) *是首项为 *# #公比为 B的等比数列#

则*#\",

) -*'\"#

) 3*&\"'

) -*$\"&

) 3- 3$ -#% ) *) 3# /

\")

) \"*# $# 4B% ) #) 为正整数!证明如下\"*#\",

) -*'\"#

)

3*&\"'

) -*$\"&

) 3- 3$ -#% ) *) 3# /\")

) \"*# \",

) -

*#B\"#

) 3*#B'\"'

) -*# B&\"&

) 3- 3$ -#% ) *# B) \")

) \"

*# !\",

) -B\"#

) 3B'\"'

) -B&\"&

) 3- 3$ -#% ) B) \")

) & \"

*# $# 4B% )!

#!'!$ 二项式系数的性质

!帮练基础\"

!!2!提示\"第 ?项的二项式系数是 \"?-# ) #由于 \"?-# ) \"

\") -?3# ) #故第$) -?3'%项的二项式系数与第 ?项的

二项式系数相同!&

$!\"!提示\"由$' 4.%#, 展开式的通项为 >@3# \"\"@

#, /

'#, 4@/$ -.% @\"$ -#% @/'#, 4@\"@

#, /.@#得一次项系

数 %\"$ -#%#/')/\"#

#, \"-+#',#二项式系数和 #\"

'#, \"#,'$#令 .\"##得所有项的系数和 $\"$' 4#%#,

\"##所以 #3$3%\"-$,)+!&

%!*\"2!提示\"由题意知 \"'

) \")$) -#%

' \"$+#所以 ) \"#,

$负值舍去%#又展开式中各项系数之和为 #,'$#所以

$# 4*%#, \"#,'$#所以 * \"-##故 1错误'偶数项的

二项式系数和为 #

' :'#, \"#

' :#,'$ (+#'#故 *正

确'

#

槡.

3. ( ) ' #,

展开式的二项式系数与对应项的系数

相同#所以展开式中第 . 项的系数 \"+

#, 最大#故 \"正

确'

#

槡.

3. ( ) ' #,

的 展 开 式 的 通 项 为 >@3# \"\"@

#, /

.-#

' $#, 4@% /.'@\"\"@

#, .

+@

' 4+ #令 +@

' -+ (,#解得 @\"'#

所以常数项为 \"'

#, \"$+#故 2正确!&

&!+!提示\"$/* 3+%#,的展开式中二项式系数的和为 \",

#,

3\"#

#, 3- 3\"#,

#, \"'#, #令$.3&/% )中 .\"/\"##则由

题设知 $) \"'#, #即 '') \"'#, #解得 ) \"+!&

\"!解\"9$.' -'.-&%#, \"*, 3*# $.-#% 3*' $.-#%' 3

- 3*', $.-#%', #令 .-# (C#展开式化为$C' -$%#,

\"*, 3*#C3*'C' 3- 3*', C',!$#% *' \"\")

#, $ -$%) \"

第41页

参考答案与提示

!$\"

-$) :#,! $'%令 C\"##得 *, 3*# 3*' 3- 3*', \"

&#, #令 C\"-##得 *, -*# 3*' -- 3*', \"&#, #8*# 3

*& 3*+ 3- 3*#) \",! $&% 由$'% 得 *, 3*' 3*$ 3

- 3*', \"&#,!

'!1!提示\"由题意知 ( &.-#

.)

)

$)%&$ %的展开式中

各项系数和为$& 4#% ) \"') \".$#解得 ) \".#则 ( &.-

#

.)

.

的 展 开 式 通 项 为 >?3# \"\"?

. / $ &.%. 4?

(

/

-#

.)

?

\"\"?

./&. 4?/$ -#% ?/.. 4'?$?\",###'#

-#.%#令 . 4'?\",#可得 ?\"&#因此#展开式中的常

数项为 >$ \"\"&

./&&/$ -#%& \"-+$,!&

(!\"!提示\"方法 #\"$计数原理%由分步乘法计数原理得#

所有可能情形共有 '+ \"&'$种%#其中五盏灯都熄灭

的有 # 种#故五盏灯能照明的有 &' 4# (&#$种%!方

法 '\"$二项式系数的性质%依题意#该教室能照明需 +

盏灯至少有一盏亮#得 \"#

+ 3\"'

+ 3\"&

+ 3\"$

+ 3\"+

+ \"'+ -#

(&#$种%!&

#易错点津$ 根据分步乘法计数原理共有 '+ 种状

态$容易忽略全部都熄灭的状态!

)!- 4'!提示\"含 .' 的项为\"./\"&

$/./$ -#%& 3'/

\"'

$/.'/$ -#%' \"-$.' 3#'.' \"-.' #故 *' \"-'令 .

\",#即 ' (*, #令 .\"##即 , (*, 3*# 3*' 3*& 3*$ 3

*+ #8*# 3*' 3*& 3*$ 3*+ \"-'!&

*!\"!提示\"由题设知展开式中通项 >@3# 对应二项式系

数为 \"@

- #所以二项式系数最大的项为第 + 项!&

!+!*!提示\"由题意得 )

' 3# (+#解得 ) \"-#则 ( '.' -

#

.)

-

的 展 开 式 通 项 为 >?3# \"\"?

- $ '.' %- 4?

(

/

-#

.)

?

\"\"?

- :'- 4?:$ -#% ?:.#. 4&?$?\",###'#

&#$#+#.#/#-%#当 ?为奇数时#系数为负数#当 ?为

偶数时#系数为正数#所以展开式中系数最大时#?为

偶数#由展开式通项可知 ># \"\",

-'-.#. \"'+..#. #>&

\"\"'

-'..#, \"#/)'.#, # >+ \"\"$

-'$.$ \"##',.$ # >/ \"

\".

-''.-' \"##'.-' #>) \"\"-

-',.-- \".-- #所以展开式

中系数最大的是第三项!&

!!!1*2!提示\"根据二项式系数的性质进行判断#由二

项式系数的性质知\"二项式系数之和为 ') #故 1正

确'当 ) 为偶数时#二项式系数最大的项是中间一

项#故 *正确#\"错误'2也是正确的#因为展开式中

第 . 项的系数是负数#且二项式系数最大#所以是系

数中最小的项!&

!$!-# &!提示\" '.-*

&

槡 ( .)

$

的二项展开式中#常数项

是 -#因为二项展开式通项为 >?3# \"\"?

$ $'.%$ 4?/

-*

&

槡 ( .)

?

\"\"?

$/'$ 4?/$ -*% ?/.$ 4$

& ?#所以当 ?\"&

时为常数项#代入可得 \"&

$/'$ 4&/$ -*%& \"-#解得

* \"-##由二项式定理可知共有 + 项#则根据二项式

系数可知第 & 项的二项式系数最大!&

!帮练综合\"

!!*!提示\"依题意得 ') \"#,'$#解得 ) \"#,!由 ) \"#, 可

得 ) 2)#所以必要性成立'反之#取 ) \"###符合 ) 2)#

但 #

.-& ( .)

##

的二项式系数之和不为 #,'$#即不符

合 ) \"#,# 因 此 充 分 性 不 成 立# 故 + ) 2) , 是

+ #

.-& ( .)

)

展开式中的二项式系数之和为 #,'$,的

必要不充分条件!&

$!1!提示\"由题意得 \"&

) \"\"/

) #解得 ) \"#,#故奇数项的

二项式系数和为 ')!&

%!*!提示\"在$'.-#%+ 的展开式中#二项式系数最大值

为 \"'

+ \"\"&

+ \"#, ()#9\"1

) 3\"1-# ) \"\"1

) 3# #8\"'

' 3\"'

& 3

\"'

$ 3- 3\"'

#, \"\"&

& 3\"'

& 3\"'

$ 3- 3\"'

#, \"\"&

$ 3\"'

$ 3-

3\"'

#, \"\"&

+ 3\"'

+ 3- 3\"'

#, \"\"&

. 3\"'

. 3- 3\"'

#, \"\"&

/ 3

\"'

/ 3- 3\"'

#, \"\"&

- 3\"'

- 3- 3\"'

#, \"\"&

) 3\"'

) 3\"'

#, \"

\"&

#, 3\"'

#, \"\"&

## \"## 0#, 0)

# 0' 0& \"#.+!&

&!2!提示\"由题意知含 .$ 的项由一个括号里的常数项

与其他四个括号里的一次项相乘组成#即 -#/./.

/./.# -'/'./././.# -&/'./././.# -$/

'./././.# -+/'./././.#故含 .$ 项的系数是

-.$ -$.$ -..$ --.$ -#,.$ \"-').$!&

\"!1!提示\"9 槡.3 #

' $

槡 ( .)

)

的展开式中前三项的系数为

##\"#

)/ #

' #\"'

) / #

$ #8\"#

) \"# %\"'

) / #

$ #8) -# (

)$) -#%

- #9) 2##8) \"-#8>@3# \"\"@

- / #

'@.

#. 4&@

$ #@\"

,###'#-#-#当 @\",#$#- 时为有理项#从而概率为

1.

.1&

/

1)

)

\"+

#'!&

'!1! 提示\"令 C\".3##可得 .\"C-##则 ! ' 4$ C-

#%&','& \"$ & 4C%','& \"*, 3*#C3*'C' 3- 3

*','&/C','& #二项式$& 4C%','& 的展开式通项为 >@3#

\"\"@

','&/&','& 4@/$ -C% @#则 *@\"\"@

','& /&','& 4@/

$ -#% @$,(@(','& 且 @%&%!当 @为奇数时#*@4,#

当 @为偶数时#*@2,#因此#0*, 030*# 030*' 03- 3

0*','& 0\"*, -*# 3*' -- -*','& \"$ & %# %','& \"

'$,$.!&

(!1\"2!提示\"在$'.-#%- 的展开式中#所有奇数项的

二项式系数和为 '- 4# \"#'-#故选项 1正确'令 .\"##

得所有项的系数和为$' 4#%- \"##故选项 *错误'展

开式中二项式系数最大的为 \"$

- #它是展开式中的第 $

%# (+ 项#故选项 \"正确'展开式中含 .& 的项为

\"+

- $'.%& $ -#%+ \"-$$-.& #系数为 -$$-#故选项 2

正确!&

第42页

数学 选择性必修第三册 !人教 \"\"

!$'

)!1\"2!提示\"因为$'.-&%/ \"*, 3*# $.-#% 3*' $.-

#%' 3- 3*/ $.-#%/ #令 C\".-##则 .\"C3##所以

$'C-#%/ \"*, 3*#C3*'C' 3- 3*/C/ #其中$'C-#%/

的展 开 式 的 通 项 为 >?3# \"\"?

/ $ 'C%/ 4?$ -# % ? \"

\"?

/'/ 4?$ -#% ?C/ 4?#令 / 4?\"'#得 ?\"+#所以 >. \"

\"+

/'' $ -#%+C' \"--$C' #所以 *' \"--$#故 *错误'令

C\",#则$ -#%/ \"*, \"-##故 1正确'令 C\"-##则 *,

-*# 3*' -- 3*. -*/ \"$ -&%/ \"-&/ #故 \"正确'

因为 *, 4,#*# 2,#*' 4,#-#*. 4,#*/ 2,#所以 0*, 0

30*# 03- 30*/ 0\"-*, 3*# -*' 3*& -*$ 3*+ -

*. 3*/ \"&/ #故 2正确!&

*!/ 或- 或)$填一个即可%!提示\"第五项二项式系数最

大#若第四(第五项二项式系数相同且最大#则展开式

有 - 项'若只有第五项最大#则展开式有 ) 项'若第

五(第六项二项式系数相同且最大#则展开式有 #,

项!所以 ) 可以为 / 或 - 或 )!&

!+!&. ! 提示\"由函数 =$ .% 的解析式#得=D$.% \"#, 4

&;<7 .#则 =D$,% \"#,!由题意#得 ) \"=D$,% \"#,#则

$# %.3.' % $# 4.% ) \"$ # %.3.' % $# 4.%#, \"

$# 4.%#, 3.$# 4.%#, 3.' $# 4.%#, #$# 4.%#,展开

式的通项为 >@3# \"\"@

#, /##, 4@/ $ -.% @\"\"@

#, /

$ -#% @/.@#所以含 .' 项的系数为 \"'

#, /$ -#%' 3

\"#

#,/$ -#%# 3\",

#,/$ -#%, \"$+ 4#, %# (&.!&

!!!&+ .,!提示\"在 槡.-' ( .)

.

的展开式中#第三项的

二项式系数为 \"'

. \"#+#第四项的二项式系数为 \"&

. \"

',#所以第三项和第四项的二项式系数和为 &+'其通

项为 >@3# \"\"@

. $槡.%. 4@ -' ( .)

@

\"$ -'% @\"@

..& 4&

' @#@

\",###-#.#令 & 4 &

' @\",#得 @\"'# 所以 >& \"

$ -'%'\"'

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时#展开式的第 - 项为 >- \"\"/

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中第 ?3# 项 的 系 数 最 大# 由 于 ( #

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中系数最大的项为第 ## 项#且 >## \"( #

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专题 \" 二项式定理与杨辉三角

!帮练难点\"

!!1!提示 ( \" .3' %#

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%!1!提示\"由题意可知#第 #, 行的数就是二项式$ * 3

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从左至右第 + 与第 . 个数的比值为\"$

#,

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#,

\" #,.

$. :.. :

+. :+.

#,. \"+

. !&

&!1\"!提示\"15由定义以及图中规律可知#都是自左往

右先增大后减小#故 1正确'*5由题意#根据+杨辉三

角,定义继续往下写三行#由图可知#第 ) 条斜线上#

各数之和为 # %#, %#+ %/ %# (&$#故 *错误'\"5第

## 条斜线上#最大的数是 &+ (\"&

/ #故 \"正确'25由图

知每条斜线上数的个数为 ####'#'#&#&#-#符合

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$ #故 2错误!&

\"!1*\"!提示\"由题意得\"令 .\"##可得 *) \" #

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( ' )

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( ' )

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所以 E$ )% \"&) 3#

&) 的最小值为 E$#% \"#,

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3*)

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,)

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$ \"##即 *) 3+)(,) #故 \"正

确#2错误!&

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第43页

参考答案与提示

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+ #因此 >?;''\"'>?;' '-#

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') \"

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). /$) 3#%.

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0') 3#

) 3# #8#&$) 3#% \"/$') 3#%#解得 ) \".!&

)!解\"若选条件!#令 .\"##可得展开式中所有项的系数

和为 $) #而二项式系数和为 ') #所以$)

') \"') \".$#解得

) \".#若选条件\"#由前三项的二项式系数和为 '' 可

得 \",

) 3\"#

) 3\"'

) \"''#解得 ) \".!$#%设展开式中系数最

大的项为第$@3#%项#则满足

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\"@

./&@'\"@-# . /& { @-# #

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'

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#

&

@'

#

/ 4@ { #

解得#/

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$ #又 ,(@(.#@%&#

所以 @\"+#即展开式中系数最大的项为 >. \"\"+

. /

$&.%+ \"#$+-.+! $ ' % 在 $# %&.% ) $# 4.%+ \"

$# %&.%./$# 4.%+ 中#含 .' 项的系数为 \"'

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&' 3\"#

. :& 0\"#

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突破高考

!帮练真题\"

!!*!提示\"

\"'

& :\"#

'

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+

\".

#, \"&

+ !&

$!1!提示\"由题知#每一爻有 ' 种情况#一重卦的 . 爻有

'. 种情况#其中 . 爻中恰有 & 个阳爻的情况有 \"&

. 种#

所以该重卦恰有 & 个阳爻的概率为\"&

.

'. \"+

#.!&

%!*!提示\"因为丙和丁相邻#所以先把丙和丁捆绑#看

成一个元素#连同乙(戊看成三个元素排列#有 1&

& \"

&. 种排列方式'又甲不在两端#所以甲在此三个元素

的中间两个位置任选一个位置插入#有 ' 种插空方

式'注意到丙和丁两人的顺序可交换#有 ' 种排列方

式#故安排这 + 名同学站一排共有 &. :' 0' ('$ 种

不同的排列方式!&

#素养点评$ 由于丙和丁相邻$因此利用& 捆绑

法'处理%由于甲不站两端$因此用&插空法' 安排

甲!本题体现了逻辑推理和数学运算的核心素养!

&!2!提示\"先把 $ 项工作分成 & 份#有\"'

$\"#

'\"#

#

1'

'

种情况#

再把 & 名志愿者排列#有 1&

& 种情况#故不同的安排方

式共有\"'

$\"#

'\"#

#

1'

'

/1&

& \"&.$种%!&

\"!2!提示\"$ 个数之和为偶数可分三类\"$ 个数均为偶

数#' 个数为偶数 ' 个数为奇数#$ 个数均为奇数!因

此共有 \"$

$ 3\"'

$/\"'

+ 3\"$

+ \"..$种%取法!&

'!*!提示\"不妨记五名志愿者分别为 *#+#,#G#H#假设 *

连续参加了两天公益活动#再从剩余的 $ 人中抽取 '

人各参加星期六与星期日的公益活动#共有 1'

$ \"#'

种安排方式#同理\"+#,#G#H连续参加了两天公益活

动#也各有 #' 种安排方式#所以恰有 # 人在这两天都

参加的不同安排方式共有 + 0#' (.,$种%!

(!.$!提示\"$#%当从 - 门课中选修 ' 门#则不同的选课

方案有 \"#

$\"#

$ \"#.$种%'$'%当从 - 门课中选修 & 门#

!若体育类选修课中选 # 门#则不同的选课方案有

\"#

$\"'

$ \"'$$种%'\"若体育类选修课中选 ' 门#则不同

的选课方案有 \"'

$\"#

$ \"'$$种%!综上所述#不同的选课

方案共有 #. %'$ %'$ (.$$种%!&

)!2! 提示 ( \" '.- #

.)

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的展开式的通项为 >@3# \"

\"@

+ $'.%+ 4

( @ -#

.)

@

\"$ -#% @'+ 4@\"@

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\"# 得 @\"'#所以 ( '.-#

.)

+

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为$ -#%''+ 4'\"'

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*!\"!提示\"$.3/%+ 的展开式的通项为 >?3# \"\"?

+.+ 4?/?

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( .)的各项与$.3/%+ 的

展开式的通项的乘积可表示为 .>?3# \".\"?

+.+ 4?/?\"

\"?

+.. 4?/?和 /'

.>?3# \"/'

.\"?

+.+ 4?/?\"\"?

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.>?3# \"\"?

+.. 4?/?中#令 ?\"&#可得 .>$ \"\"&

+.&/& #该

项中 .&/& 的系数为 #,#在/'

./>?3# \"\"?

+.$ 4?/?3'中#

令 ?\"##可得 /'

.>' \"\"#

+.&/& #该项中 .&/& 的系数为

+#所以 .&/& 的系数为 #, %+ (#+!&

#素养点评$ 本题求 .&/& 的系数分为 .>?3# \".\"?

+

*.+ 4?/?\"\"?

+.. 4?/?和 /'

.>?3# \"\"?

+.$ 4?/?3' $体现

了逻辑推理的核心素养%再利用二项展开式的通项

即可求出 ?$再代入即可求出 .&/& 的系数$体现了

数学运算的核心素养!

!+!1!提示\"由题意可知含 .& 的项为 #/\"&

$ /#/.& 3

'.'/\"#

$/#&/.\"#'.& #所以系数为 #'!&

#素养点评$ 本题利用乘法分配律和二项式定理

的通项求得 .&的系数$体现了逻辑推理和数学运算

的核心素养!

!!!\"!提示\"由展开式知 >?3# \"\"?

+ $.' %+ 4? '

( .)

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\"

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中 .&/&的系数为 \"&

+ :'' :$ -#%& \"-$,'当 ?\"'

时#/$'.-/%+ 的展开式中 .& /& 的系数为 \"'

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$ -#%' \"-,!故所求展开式中 .&/&的系数为 -, 4$,

($,!&

第44页

数学 选择性必修第三册 !人教 \"\"

!$)

!%!\"!提示\"$# %.%.的二项展开式通项为 >?3# \"\"?

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( .' )$# %.%. 的展开式中含 .' 的项的来源有两

部分#一部分是 # 0\"'

..' \"#+.' #另一部分是 #

.' \"$

..$

\"#+.' #故 # %#

( .' ) $# %.%. 的展开式中含 .' 的项

为 #+.' 3#+.' \"&,.' #其系数是 &,!&

!&!*!提示\"令 .\"##则 *$ 3*& 3*' 3*# 3*, \"##令 .\"

-##则 *$ -*& 3*' -*# 3*, \"$ -&%$ \"-##故 *$ 3

*' 3*, \"# %-#

' \"$#!&

!\"!.,! 提示\"展开式的通项为 >?3# \"\"?

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.

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!'!#,!提示\"因为 .3'

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的展开式的通项为 >?3# \"

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( .' )

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+%#令 + 4&?\"'#解得 ?\"##所以 .' 的系数为 \"#

+ :'

\"#,!&

#素养点评$ 本题利用二项展开式的通项即可求

出 ?$再代入即可求出 .' 的系数$体现了数学运算

的核心素养!

!(!-, #''!提示\"$# %'.%+ 的展开式的通项为 >?3# \"

\"?

+ $'.% ?\"'?\"?

+.?#令 ?\"$#则 >+ \"'$\"$

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故 *$ \"-,'当 .\"# 时#*, 3*# 3*' 3*& 3*$ 3*+ \"

&+!#当 .\"-# 时#*, -*# 3*' -*& 3*$ -*+ \"-#

!#! -\"得 '*# 3'*& 3'*+ \"&+ 3##8*# 3*& 3*+

\"#''!&

#素养点评$ 本题利用二项展开式的通项即可求

出 ?$再代入即可求出 *$ $利用赋值法即可求出 *#

3*& 3*+ $体现了数学运算的核心素养!

!)!#. 槡' +!提示\"$槡' %.%) 的展开式的通项为 >?3#

\"\"?

) $槡'%) 4?.?$?\",###'#-#)%#可得常数项为 >#

\"\",

) $槡'%) \"#. 槡'#因为系数为有理数#所以 ?\"##

&#+#/#)#即 >' #>$ #>. #>- #>#, 的系数为有理数#共

+ 个!&

!*!+ #,!提示\"$.-#%& \".& -&.' 3&.-##$.3#%$ \"

.$ 3$.& 3..' 3$.3##所以 *# \"# %$ (+#*' \"-&

3. (&#*& \"& %$ (/#*$ \"-# %# (,#所以 *' 3*&

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) \" )$) -#%

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)$) -#%

' :)$) -#%$) -'%$) -&%

'$ #解得 ) \"+!

$'%由$#%知 ) \"+#则$# %槡&% ) \"$# %槡&%+ \"\",

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+ $槡&%& 3\"$

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+ $槡&%+ \"

* 3+槡&!方法 #\"因为 *#+%&$#所以 * \"\",

+ 3&\"'

+ 3

)\"$

+ \"/.#+\"\"#

+ 3&\"&

+ 3)\"+

+ \"$$#从而 *' -&+' \"

/.' -& 0$$' \" -&'!方 法 '\" $ # 4槡& %+ \"\",

+ 3

\"#

+ $ -槡&% 3 \"'

+ $ -槡& %' 3 \"&

+ / $ -槡&%& 3

\"$

+ $ -槡&%$ 3\"+

+ $ -槡&%+ \"\",

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+ /$槡&%'

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+ $槡&%& 3\"$

+ $槡&%$ -\"+

+ $槡&%+!因为 *#+%&$#

所以$# 4槡&%+ \"* -+槡&!因此 *' -&+' \"$* 3+槡&%$*

-+槡&% \"$# %槡&%+ :$# 4槡&%+ \"$ -'%+ \"-&'!

!帮练好题\"

!!\"!提示\"对于 1#可以组成 1$

$ \"'$ 个四位数#1正确'

对于 *#若组成奇数#其个位数字有 & 种情况#剩下的

位置任意排列#有 &1&

& \"#- 个奇数#*正确'对于 \"#

若组成偶数#其个位数字有 # 种情况#剩下的位置任

意排列#有 1&

& \". 个偶数#\"错误'对于 2#要求四位

数比 ',,, 大#其千位数字可以为 '#&#+#有 & 种情况#

剩下的位置任意排列#有 &1&

& \"#- 个符合题意的四位

数#2正确!&

$!1!提示\"按照使用了多少种颜色分三类计数\"第一

类\"使用 $ 种颜色#有 1$

$ \"'$ 种'第二类\"使用 & 种颜

色#必有 ' 块区域同色#有 \"&

$\"#

&\"#

'1'

' \"$- 种'第三

类\"使用 ' 种颜色#必然是 #与 %同色#且 $与 5同

色#有 \"'

$1'

' \"#' 种#所以不同的信号种数为 '$ %$-

%#' (-$!&

%!1!提示 ( \" .-'

.)

-

的展开式通项为 >@3# \"\"@

-.- 4@

/ ( -'

.)

@

\"$ -'% @\"@

-.- 4'@#@%&#@(-#令 - 4'@\"

'#解得 @\"&#于是 >$ \"$ -'%&\"&

-.' \"-\"&

- :'&.' #所

求系数为 -\"&

- :'&!&

&!*!提示\"分两步进行分析\"先将 + 名交警分成 ##'#'

三组#有\"#

+\"'

$\"'

'

1'

'

\"#+ 种分组方法'再将分好的三组全

排列#对应 & 个路口#有 1&

& \". 种情况#则共有 #+ 0.

(), 种分配方案!&

#素养点评$ 本题考查计数原理以及排列(组合等

知识$对于部分均匀分组问题$先进行分组$通常先

确定与其他组元素个数不同的一组$再将其余元素

均匀分组$注意组与组之间没有顺序$故需要做除

法运算$最后进行分配$考查了逻辑推理与数学运

算的核心素养!

第45页

参考答案与提示

!$*

\"!2!提示\"由 ( ' 4#

.)

'&

\"*, 3*#

.3*'

.' 3- 3*''

.'' 3

*'&

.'& #得*'&

.'& \">'$ \"\"'&

'& /', / ( -#

.)

'&

\"- #

.'& #则

*'& \"-##令 .\"#

' #得 , (*, 3'/*# 3''/*' 3- 3

'''/*'' 3''&/*'& #等式左右两边同时除以 ''' #得 ,

(*,

''' 3*#

''# 3- 3*'#

' 3*'' 3'*'& #所以 *,

''' 3*#

''# 3-

3*'#

' 3*'' \", 4$ -'% \"'!&

'!1\"2!提示\"对于 1#甲(乙必须相邻且乙在甲的右边#

将甲(乙看成一个整体#与丙(丁(戊全排列#有 1$

$ \"

'$ 种排法#故 1正确'对于 *#若甲站在最左端#乙和

丙(丁(戊全排列#有 1$

$ \"'$ 种排法#若乙站在最左

端#甲不站在最右端#甲有 & 种位置#其余 & 人全排

列#有 &1&

& \"#- 种排法#故共有 '$ %#- ($' 种排法#

故 *错误'对于 \"#先将丙(丁(戊三人排成一排#再将

甲(乙安排在空位中#有 1&

&/1'

$ \"/' 种排法#故 \"正

确'对于 2#甲(乙(丙(丁(戊五人全排列有 1+

+ \"#',

种排法#甲(乙(丙全排列有 1&

& \". 种排法#则甲(乙(

丙按从左到右的顺序排列的排法有#',

. \"', 种#故 2

正确!&

(!-' &!提示\"令 .\",#则$, 4'%$, %#%+ \"-' (*, #

即 *, \"-''由二项展开式得含 .+ 的项为 -'\",

+.+ 3

.\"#

+.$ \"&.+ #则 *+ \"&!&

)!-$!提示\"方法 #\"$直接法%根据题意#分 & 种情况讨

论\"!若小明的父母只有 # 人与小明相邻且父母不相

邻时#先在其父母中选一人与小明相邻#有 \"#

' \"' 种

情况#将小明与选出的家长看成一个整体#考虑其顺

序有 1'

' \"' 种情况#当父母不相邻时#需要将爷爷(奶

奶进行全排列#将整体与另一个家长安排在空位中#

有 1'

' :1'

& \"#' 种安排方法#此时有 ' 0' 0#' ($- 种

不同的坐法'\"若小明的父母只有 # 人与小明相邻且

父母相邻时#将父母及小明看成一个整体#小明在一

端#有 ' 种情况#考虑父母之间的顺序#有 ' 种情况#

则这个整体内部有 ' 0' ($ 种情况#将这个整体与爷

爷(奶奶进行全排列#有 1&

& \". 种情况#此时有 $ 0.

('$ 种不同的坐法'#小明的父母都与小明相邻#即

小明在中间#父母在两边#将 & 人看成一个整体#考虑

父母的顺序#有 1'

' \"' 种情况#将这个整体与爷爷(奶

奶进行全排列#有 1&

& \". 种情况#此时共有 ' 0. (#'

种不同的坐法!则一共有 $- %'$ %#' (-$ 种不同的

坐法!方法 '\"$间接法%对 + 人进行全排列#不同坐法

有 1+

+ \"#', 种'考虑小明与父母都不相邻#先将爷爷(

奶奶进行全排列#有 1'

' 种坐法#形成 & 个空位#再考

虑小明与父母的坐法#分两种情况讨论\"!若小明与

父母三人互不相邻#则在 & 个空位中三人进行全排

列#不同坐法有 1&

& 种'\"若小明的父母相邻#小明与

父母不相邻#则在 & 个空位中选两个位置#不同坐法

有 1'

&1'

' 种!则 + 人坐一排小明与父母都不相邻的坐

法有 1'

' $1&

& 31'

&1'

' % \"&. 种#所以小明的父母至少有

一人 与 小 明 相 邻 的 不 同 坐 法 共 有 #', 4&. (

-$$种%!&

#素养点评$ 本题考查计数原理中&相邻'问题的

解法$由于涉及&至少' 这一条件$故可以利用直接

法求解$也可以通过间接法转化为&不相邻'问题求

解$两种方法都需要进行分类讨论$考查了逻辑推

理与数学运算的核心素养!

*!&.!提示\"将 #'., 分解因数#然后根据分步乘法计数

原理计算!因为 #'., ('' :&' :+ 0/#第一步#' 可以

取 ', #'# #'' #共 & 种#第二步#& 可以取 &, #&# #&' #共 &

种#第三步#+ 可以取 +, #+# #共 ' 种#第四步#/ 可以取

/, #/# #共 ' 种#所以一共有 & 0& 0' 0' (&. 种取法#

对应 &. 个不同的正因数!&

!+!#+!提示\"因为$# %.%+ 的展开式的通项为 >@3# \"

\"@

+.@#所以 .3# ( .)$# %.%+ 的展开式中含 .' 项的

系数为 \"#

+ 3\"&

+ \"+ %#, \"#+!&

!!!\"?

13) !提示\"因为$# %.% 1 $# %.% ) \"$\",

1 3\"#

1.3

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1.' 3- 3\"1

1.1% $\",

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).3\"'

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所以 \",

1\"?

) 3\"#

1\"?-# ) 3\"'

1\"?-' ) 3- 3\"?

1\",

) 是展开

式中 .?的系数#而$# %.% 13)展开式中 .?的系数为

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13) #所以 \",

1\"?

) 3\"#

1\"?-# ) 3\"'

1\"?-' ) 3- 3\"?

1\",

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!$!解\"$#%因为$&.-#% ) 的展开式中第 $ 项和第 . 项

的二项式系数相等#所以 \"&

) \"\"+

) #解得 ) \"-!$&.-

#%- 的展开式的通项为 >?3# \"\"?

- $&.%- 4?$ -#% ?\"

\"?

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\".#所以 .' 的系数为 \".

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' #得 & 0#

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第六章综合测试

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!!*!提示\"\")

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#, \"\"#

#, 3\"'

#, \"\"'

## \"++!&

$!\"!提示\"从正方体的 - 个顶点中任取 $ 个#共有 \"$

- \"

/, 个#正方体有 . 个面和 . 个对角面所对应的 $ 个顶

点不能组成四面体!故以一个正方体的顶点为顶点的

四面体共有 /, 4#' (+-$个%!&

第46页

数学 选择性必修第三册 !人教 \"\"

!%+

%!2!提示\"依题意#从这 $ 名学生中随机选 ' 名组织校

文艺汇演#样本点总数有 \"'

$ \".$个%#其中这 ' 名学

生来自不同年级的样本点有 \"#

'\"#

' \"$$个%#所以这 '

名学生来自不同年级的概率为 $

. \"'

& !&

&!1!提示\"每所大学至少保送 # 人#且甲同学要求不去

哈尔滨医科大学#先考虑甲去的学校有 ' 种情况#对

甲去的学校分类讨论\"若甲去的学校只有 # 人保送#

则另外 & 人去两所学校共有 \"'

&1'

' 种'若甲去的学校

有 ' 人保送#则另外 & 人去 & 所学校共有 1&

& 种!则不

同的保送方案共有 ' 0$\"'

&1'

' 31&

& % \"'$$种%!&

\"!*!提示\"从 + 名志愿者中选 ' 人排在两端有 1'

+ 种排

法#' 位老人的排法有 1'

' 种#其余 & 人和老人排法有

1$

$ 种#共有 1'

+1'

'1$

$ \")., 种不同的排法!&

'!*!提示\"由题意得足球周一至周五均有#篮球周一(

周三(周四(周五有#书法周一(周二(周四(周五有#若

周三选择篮球#则书法和足球可从剩余的四天中进行

选择#选择方案有 1'

$ \"#'$种%#若周一(周四(周五三

天中有 # 天选择篮球#不妨周一选择篮球#则书法从

周二(周四(周五三天中选择 # 天#再从剩余 & 天中选

择 # 天选择足球#故有 1#

&1#

&1#

& \"'/ $种% 方案#故不

同的选择方案共有 #' %'/ (&)$种%!&

(!*!提示\"若甲乙两人中的 # 人到 #学校工作#有 \"#

'

种选择#其余 & 人到另外两个学校工作#先将 & 人分

为两组#再进行排列#安排种数为 \"'

&1'

' #故有 \"#

'\"'

&1'

'

\"#'$种%'若甲乙两人中的 # 人到 #学校工作#有 \"#

'

种选择#丙丁中一人也到 #学校工作#有 \"#

' 种选择#

其余 ' 人到另外两个学校工作#有 1'

' 种选择#故有

\"#

'\"#

'1'

' \"-$种%'若安排甲乙 ' 人都到 #学校工作#

其余丙丁 ' 人到另外两个学校工作#有 1'

' \"'$种%!

故由分类加法计数原理#得共有 #' %- %' (''$种%

分配方案!&

)!\"!提示\"由于 #和 6或 7可以同色#$和 5或 7可以

同色#%和 5或 6可以同色#所以当五种颜色都选择

时#选法有 \"#

&\"#

'1+

+ 种'当五种颜色选择四种时#选法

有 \"$

+\"#

& :& 01$

$ 种'当五种颜色选择三种时#选法有

\"&

+ :' 01&

& 种!所以不同的涂色方法共 \"#

&\"#

'1+

+ 3

\"$

+\"#

& :& 01$

$ 3\"&

+ :' 01&

& \"#)',$种%!&

, %- %% %$

*\" \"2 \"2 1*

*!*\"!提示\"根据题意#对于 \"1-# - 2&\"1

- #有 ,(1-#(

- 且 ,(1(-#则有 #(1(-#若 \"1-# - 2&\"1

- #则有

-.

$1-#%. /$) 41%. 2& 0 -.

1. /$- 41%.

#变形可

得 12'/ 4&1#解得 12

'/

$ !综上#

'/

$ 41(-#则 1\"

/ 或 -!&

!+!\"2!提示\"对于 1#甲(乙只能站左(右两端#有 ' 种站

法#丙(丁在老师相邻两边#有 ' 种站法#所以有 ' 0'

\"$ 种站法#不符合'对于 *#同 1一样#有 $ 种站法#

不符合'对于 \"#甲站两端#有 ' 种站法#乙与老师相

邻#有 ' 种站法#丙(丁站剩下位置#有 ' 种站法#所

以有 ' 0' 0' (- 种站法#\"符合'对于 2#甲(乙要么

都在老师左边#要么都在老师右边#且甲(乙还可以

相互交换#有 ' 0' 种站法#丙(丁站剩下两个位置#

有 ' 种 站 法# 所 以 共 有 ' 0' 0' (- 种 站 法#

2符合!&

!!!\"2!提示\"对于 1#分两种情况\"!抽出的& 件产品都

是合格品#抽法种数为 \"&

)- '\"抽出的 & 件产品中有

# 件不合格品#抽法种数为 \"#

'\"'

)-!所以抽法种数为

\"&

)- 3\"#

'\"'

)-!故 1错误#*错误!对于 \"#分两种情

况\"!抽出的 & 件产品中有 # 件不合格品#抽法种数

为 \"#

'\"'

)- '\"抽出的 & 件产品中有 ' 件不合格品#抽

法种数为 \"'

'\"#

)-!所以抽法种数为 \"#

'\"'

)- 3\"'

'\"#

)-!故

\"正确!对于 2#用+排除法,#知抽法种数为 \"&

#,, -

\"&

)- #故 2正确!&

!$!1*!提示\"二项式 .-* ( .)

-

的展开式的通项为 >@3#

\"\"@

-.- 4@ -* ( .)

@

\"$ -*% @\"@

-.- 4'@#令 - 4'@\"'#解

得 @\"&#所以展开式中 .' 的系数为$ -*%&\"&

- \"-/#

解得 * \" #

' # 故 1正 确' 二 项 式 .-* ( .)

-

即 为

.-# ( '.)

-

#展开式的通项为 >@3# \" -# ( ' )

@

\"@

-.- 4'@!

令 - 4'@\".#解得 @\"##所以展开式中含 .. 项的系

数是 -#

' \"#

- \"-$#故 *正确'- 4'@\"-##解得 @\"

)

' #不为整数#故展开式中不含 .-#项#故 \"错误'令

- 4'@\",# 解 得 @\"$# 所 以 展 开 式 中 常 数 项 为

-# ( ' )

$

\"$

- \"&+

- #故 2错误!&

!%!-'+'!提示\"展开式的通项为 >@3# \"\"@

#,.#, 4@$ -#%@$@

\",###'#-##,%#令 @\"+#所以 >. \"\"+

#,.+ :$ -#%+

\"-\"+

#,.+ #所以$.-#%#, 的展开式的第 . 项的系数

是 4\"+

#, \"-'+'!&

!&!$-!提示\"甲(乙(丙(丁(戊 + 名同学站成一排合影留

念#若甲和乙相邻#则甲(乙看成一个整体#与其余 &

人进行全排列#甲(乙二人局部进行全排列#所以不

同的排法有 1'

'1$

$ \"$-$种%!&

!\"!' #!提示\"由于$ *.-#%. 展开式的通项为 >?3# \"

\"?

./*. 4?/.. 4?/$ -#% ?#令 . 4?\"&#解得 ?\"&#

故$*.-#%. 展开式中 .& 的系数为 \"&

./*& $ -#%& \"

-#.,#解得 * \"'#故$ *.-#%. \"$'.-#%. #展开式

中各项系数之和为$' 4#%. \"#!&

!'!

$-+

+,.

!提示\"既是 ','# 年中国人口最多的前 #' 大姓

氏#也是0百家姓1 的前 '$ 大姓氏的是\"赵(李(周(

吴(王(陈(杨(张(孙#共 ) 个#故由间接法可得所求

概率为 # 4\"&

)

\"&

'$

\"$-+

+,.

!&

第47页

参考答案与提示

!%!

!(!解\"$#%$1'

$ 3+1&

+ \"$ 0$ 0& %+ 0+ 0$ 0& (&$-!

------------------ !+ 分\"

$'%

1&

#,1/

/

#,. \"#, 0) 0- 0/.

#,. \"#! ++++ !#, 分\"

!)!解\"由 # 6@?A'.4&#得 ' 6.4-#

又 .%&$#所以 .的取值为 &#$#+#.#/#

即 #\")&#$#+#.#/*! +++++++++ !' 分\"

$#%易得 #\"$\")&#$#+#.#/#-*#从 #\"$中取出 &

个不同的元素#可以组成的三位数有 1&

. \"#',$个%!

++++++++++++++++++ !+ 分\"

$'%若从集合 #中取出的元素是 &#则 & 不能是千位

上的数字# 满足题意的自然数有 \"&

+ / \"#

& / 1&

& \"

#-,$个%' ++++++++++++++ !- 分\"

若从集合 #中取出的元素不是 &#则满足题意的自

然数有 \"#

$\"&

$1$

$ \"&-$$个%!++++++ !#, 分\"

所以满足题意的自然数共有 #-, %&-$ (+.$$个%!

++++++++++++++++++ !#' 分\"

!*!解\"$#%第一步#先将另外四门课程排好#有 1$

$ 种情

况'第二步#将+京剧,和+剪纸, 课程分别插入 + 个

空隙中#有 1'

+ 种情况#所以+京剧,和+剪纸,课程排

在不相邻的两周的排法有 1$

$ :1'

+ \"$-,$种%!

++++++++++++++++++ !$ 分\"

$'%第一步#先将甲和乙的不同课程排好#有 1'

. 种

情况'第二步#将甲和乙的相同课程排好#有 \"#

$ 种情

况'第三步#因为丙和甲(乙的课程都不同#所以丙的

排法有 \"'

& 种情况!因此所有选课种数为 1'

. :\"#

$ :

\"'

& \"&.,! ++++++++++++++ !- 分\"

$&%!当教师 #只任教 # 门课程时#先选教师 #任教

的课程#有 \"#

+ 种#再从剩下 + 门课程中选教师 $任

教的课程#有 \"#

+ 种#接下来剩余 $ 门课程中必有 '

门课程为同一名教师任教#有 \"'

$1&

& 种#所以当教师

#只任 教 # 门 课 程 时# 所 有 课 程 安 排 的 种 数 为

\"#

+\"#

+\"'

$1&

& \"),,! ++++++++++ !#, 分\"

\"当教师 #任教 ' 门课程时#先选教师 #任教的 '

门课程#有 \"'

+ 种#接下来剩余 $ 门课程全排列#有

1$

$ 种#所以当教师 #任教 ' 门课程时#所有课程安

排的种数为 \"'

+1$

$ \"'$,!

综上所述#所有课程安排的种数为 ),, %'$, (##$,!

---------------- !#' 分\"

$+!解\"$#%由题意得 ) \".! ++++++++ !' 分\"

展 开 式 的 通 项 为 >?3# \" \"?

... 4? -* ( .)

?

\"

\"?

. $ -*% ?.. 4'?#?\",###-#.! +++++ !$ 分\"

令 . 4'?\",#得 ?\"&!+++++++++ !+ 分\"

由题意得 \"&

. $ -*%& \"-',#即 -',*& \"-',!

++++++++++++++++++ !. 分\"

解得 * \"#! +++++++++++++ !/ 分\"

$'% 方法 #\"# (! .3$ # 4.%&','' \"\",

','' .','' 3

\"#

',''.','# $# 4.% 3\"'

','' .',', $ # 4.%' 3- 3

\"','# ',''.$# 4.%','# 3\"','' ','' $# 4.%','' # +++ !) 分\"

又 *,.','' 3*#.','# $# 4.% 3*'.',', $# 4.%' 3- 3

*','' $# 4.%','' \"##

所以*

',''

I\",

*I\"\",

','' 3\"#

','' 3- 3\"','# ','' 3\"','' ','' \"'',''!

所以*

',''

I\"#

*I\"*

',''

I\",

*I-*, \"'','' -#! ++++ !#' 分\"

方法 '\"由$#%知 *,.','' 3*#.','# $# 4.% 3*'.',', $#

4.%' 3- 3*','' $# 4.%','' \"#!

令 .\"#

' #得 *, ( ) #

'

',''

3*# ( ) #

'

','#

:( # 4 ) #

' 3

*' ( ) #

'

',',

:( # 4 ) #

'

'

3- 3*','' ( # 4 ) #

'

',''

\"

## +++++++++++++++++ !) 分\"

即 *, ( ) #

'

',''

3*# ( ) #

'

',''

3*' ( ) #

'

',''

3- 3

*','' ( ) #

'

',''

\"#!

上式两边同乘 '',''得*

',''

I\",

*I\"'',''! +++ !## 分\"

由 *,.','' 3*#.','# $# 4.% 3*'.',', $# 4.%' 3- 3

*','' $# 4.%','' \"##

令 .\"##得 *, \"#!

所以*

',''

I\"#

*I\"*

',''

I\",

*I-*, \"'','' -#! ++++ !#' 分\"

$!!解\"$#%若选择!\"因为展开式前三项的二项式系数

和等于 $.#++++++++++++++ !& 分\"

所以 \",

) 3\"#

) 3\"'

) \"$.#即)$) -#%

' 3) 3# ($.#

即 )' 3) -), (,#即$) 3#,%$) -)% \",#

解得 ) \") 或 ) \"-#,$舍去%! +++++ !. 分\"

若选择\"\"因为所有奇数项的二项式系数和为 '+.#

所以 \",

) 3\"'

) 3\"$

) 3- \"'+.#即 ') -# \"'+.#

解得 ) \")! +++++++++++++ !. 分\"

若选择#\"展开式的通项为 >@3# \"\"@

) ( ) #

'

) -@

/

.-$) -@% /.

@

' \"\"@

)'@-).

&@-')

' # ++++++ !& 分\"

则有&@-')

' \",#所以 ) \"&

' @#

因为展开式中第 / 项为常数项#即 @\".#

所以 ) \")!

所以展开式中二项式系数最大的项为第 + 项和第 .

项# +++++++++++++++++ !+ 分\"

>+ \"\"$

) ( ) #

'

+

.-+ .' \".&

#. .-& #>. \"\"+

) ( ) #

'

$

.-$ .

+

'

\".&

- .-&

' !++++++++++++++ !. 分\"

$'%展开式的通项为 >@3# \"\"@

) ( ) #

'

) 4@

.-$) 4@% .

@

'

\"\"@

)/'@-).

&@-#-

' #令&@-#-

' \",#得 @\".# + !- 分\"

展开式中常数项为第 / 项#常数项为 >/ \"\".

) :' -&

\"'#

' !+++++++++++++++ !#' 分\"

第48页

数学 选择性必修第三册 !人教 \"\"

!%$

$$!解\"$#%\"'

) -\"'

$ 3# (&#$条%!++++++ !& 分\"

$'%\"&

) -\"&

$ \"-,$个%!+++++++++ !. 分\"

$&%不共线的五点可连得 1'

+ 条射线#共线的四点

中#外侧两点各可作出 # 条射线#内部两点各可作出

' 条射线#而在不共线的五点中取一点#共线的四点

中取一点而形成的射线有 \"#

$\"#

+1'

' 条#故共有 1'

+ 3'

0# %' 0' %\"#

$\"#

+1'

' \"..$条%射线!+++ !) 分\"

$$%任意两点之间#可有方向相反的 ' 个向量#则可

有 1'

) \"/'$个%向量!+++++++++ !#' 分\"

第六章测试诊断性练习

!!\"!提示\"若 ##5颜色相同#先涂 6有 $ 种涂法#再涂

##5有 & 种涂法#再涂 $有 ' 种涂法#%只有 # 种涂

法#共有 $ 0& 0' 0# ('$$种% 涂法'若 ##5颜色不

同#先涂 6有 $ 种涂法#再涂 #有 & 种涂法#再涂 5有

' 种涂法#当 $和 5颜色相同时#%有 ' 种涂法#当 $

和 5颜色不同时#$#%只有 # 种涂法#共有 $ 0& 0'

0$' %#% \"/'$种%涂法#根据分类加法计数原理可

得#共有 '$ %/' ().$种%涂法!&

$!1*2!提示\"由题意知\"当 .\"# 时#$* -#% ) \"##又展

开式 中 只 有 第 . 项 的 二 项 式 系 数 最 大# 即

\"+

) 2\"$

) #

\"+

) 2\".

) { #

所以

#

+ 2

#

) -$

#

#

) -+ 2

#

. { #

可得 ) 6) 4## 且 ) %

&$#即 ) \"#,#1正确!所以$* -#%#, \"##又 * 2,#所

以 * \"'#*正确'由 '.-# ( .)

#,

的展开式通项为 >@3#

\"\"@

#, $'.%#, 4@ -# ( .)

@

\"$ -#% @'#, 4@\"@

#,.#, 4'@#故当

@\"+ 时#常数项为 >. \"$ -#%+'+\"+

#, \"--,.$#\"错误'

当 @\"' 时 >& \"$ -#%''-\"'

#,.. \"##+',.. #2正确!&

%!#$$!提示\"当小张和小赵都不选派时#有 1$

$ \"'$$种%

方案#当小张和小赵只选派 # 人时#有 \"#

'1#

'1&

$ \").

$种%方案#当小张和小赵都选派时#则有 1'

'1'

$ \"'$

$种%方案#所以不同的选派方案共有 '$ %). %'$ (

#$$$种%!&

&!解\"$#%选择条件!\"由题意得$# %.%' \"# %'.3.'

中含 .' 的项为 .' #$# %.% ) 中含 .' 的项为 \"'

).' #所

以 *' \"\"'

) -# (#$#即)$) -#%

' -# (#$#整理得 )' -)

-&, (,#$) -.%$) 3+% \",#解得 ) \".!选择条件\"\"

由 \",

) 3\"#

) 3\"'

) 3- 3\")

) \".$#得 ') \".$#解得 ) \".!

选择条件#\"令 .\"# 得$# %#% ) -$# %#%' \"*, 3*#

3*' 3- 3*) \".,#即 ') \".$#解得 ) \".! $'%方法

#\"由$#%得$# %.%. -$# %.%' \"*, 3*#.3*'.' 3-

3*... #令 .\"# 得 '. -'' \"*, 3*# 3*' 3*& 3*$ 3*+

3*. #令 .\"-# 得 , (*, -*# 3*' -*& 3*$ -*+ 3

*. #两式相减得 '$*# 3*& 3*+ % \".$ 4$ (.,#所以 *#

3*& 3*+ \"&,#所以展开式中含 .的奇数次幂项的系

数和为 &,!方法 '\"由$#% 得$# %.%. -$# %.%' \"*,

3*#.3*'.' 3- 3*... #由题意得$# %.%' \"# %'.

3.' 中含 .的项为 '.#$# %.%. 中含 .的项为 \"#

..#

含 .& 的项为 \"&

..& #含 .+ 的项为 \"+

..+ #所以 *# 3*& 3

*+ \"\"#

. -' %\"&

. 3\"+

. \". 4' %', %. (&,#所以展开式

中含 .的奇数次幂项的系数之和为 &,!

第七章 随机变量及其分布

&!\" 条件概率与全概率公式

*!%!% 条件概率

!帮练基础\"

!!2!提示\"由条件概率公式得 <$$0#% \"<$#$%

<$#% \"

'

#+

#

+

\"

'

& !&

$!2!提示\"方法 #\"$缩减样本空间法%把一枚质地均匀

的硬币先后投掷两次#样本空间 (\")$正正%#$ 正

反%#$反正%#$反反%*#9事件 #\")第一次出现正

面* \")$正正%#$正反%*#$\")第二次出现正面* \"

)$正正%#$反正%*#8#$\")两次都是正面* \")$正

正%*#则<$$0#% \")$#$%

)$#% \"#

' !方法 '\"$条件概率定

义法% 9<$#% \" #

' # <$ #$% \" #

$ # 8 <$ $0#% \"

<$#$%

<$#% \"#

' !&

%!*!提示\"抛掷红(黄两枚骰子共有 . 0. (&. 个样本

点#其中红色骰子的点数为 $ 或 . 的有 #' 个样本点#

此时两枚骰子点数之积大于 ', 包含 $ 0.#. 0$#. 0

+#. 0.#共 $ 个样本点#故所求概率为 #

& !&

&!&

$ !提示\"因为 <$#% \",!'#<$$% \",!$#<$#$% \"

,!##所以利用条件概率公式#得 <$#0$% 3<$$0#% \"

<$#$%

<$$% 3<$#$%

<$#% \",!#

,!$ 3,!#

,!' \"&

$ !&

\"!#

+ !提示\"记事件 #为+取出的两个球编号之和为偶

数,#事件 $为+' 号球被取出,#则 <$#% \"\"'

+ 3\"'

+

\"'

#,

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',

$+ \"$

) #<$#$% \"\"#

$

\"'

#,

\"$

$+ #得 <$$0#% \"<$#$%

<$#% \"

$

$+

$

)

\"#

+ #即在取出的两个球编号之和为偶数的条件

下#' 号球被取出的概率为 #

+ !&

'!'

&

&

+ !提示\"<$#0$% \"<$##$%

<$$% \"'

& #<$$0#% \"

<$##$%

<$#% \"&

+ !&

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