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一湖南XJ一数学

八年级上

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”第1章因式分解 索引

1. 1 多项式的因式分解

1.2 提公因式法·

第1课时 提单项式因式分解第2课时 提多项式因式分解· 3

1.3 公式法·

第1课时 用平方差公式因式分解 4
第2课时 用完全平方公式因式分解 6

小专题1 因式分解 分类强化专练8

多知道一点十字相乘法与分组分解法一一教材P14—15的变式与运用 9章末复习（一） 因式分解· 10

湖南考点针对练 \diamondsuit 湖南新趋势·新题材·新考法周测（第1章)· 周测小卷1

"第2章分式

2.1 分式的概念及基本性质 2

第1课时 分式· 12
第2课时 分式的基本性质 14

2.2 分式的加法和减法 16

第1课时 同分母分式的加减法 16
第2课时 通分· 18
第3课时 异分母分式的加减法 19

周测 (2,1~2,2) ： 周测小卷3

2.3 分式的乘法和除法 21

第1课时 分式的乘法和除法 21
第2课时 分式的乘方 23

小专题2 教你解决“ \mathbf{\dot{\sigma}}_{x±(1)/(x)} 1”型问题 解题技巧专练24

名校经典题索引

1.人大附中校本经典题

P2T11 P13T20 P45T17 P59T14 P67T6 P71T14 P76T8 P87T4 P88T6 P95T11 P97T11 P109T10 P113T11P120T5等

2.清华附中校本经典题

P7T13 P35T10 P53T13 P66T1P73T11 P94T9 P118T5等

3.北京四中校本经典题 P71T17P105T13P123T12等

4.北师大附属实验校本经典题

P5T19 P53T11 P58T9 P61T13 P62T5 P86T7 P96T6 P106T7 P111T16 P115T12 P117T5等

5.石家庄外国语校本经典题

P15T17 P26T8 P61T16 P63T12 P66T2 P71T16 P72T7 P73T13 P74T3 P75T13 P82T5 P86T2等

6.杭州外国语校本经典题

P56T9等

7.华师二附中校本经典题

P62T3 P70T10 P79T9 P80T1 P96T5 P116例1等

8.兰生复旦校本经典题

P5T15 P43T5 P46T7等

9.教材新增习题变式

P1T7 P3T7 P11T12 P11T13
P20T10 P47T14 P50T5 P53T9
P59T16 P64例1 P67T7 P70T6
P71T18 P83例2 P84例3 P86T4
P87T6 P87T7 P88T5 P88T6
P90T8 P105T15 P111T11 P119T11
P124T5等

微专题索引

P22 微专题1 利用整体思想求值
P43 微专题2 非负性的应用
P63 微专题3 运用“飞镖形”“8字形”求角度
P91 微专题4 角平分线十平行线→等腰三角形 教材P132例3变式
P111微专题5 利用勾股定理解决折叠问题
P123微专题6 与角平分线有关的面积问题

2.4 整数指数幂 2.5

2.4.1 同底数幂的除法 25
2.4.2 零次幂和负整数指数幂 26
2.4.3 整数指数幂的基本性质 27

小专题3分式的运算与化简求值· 分类强化专练28

周测 (2,3~2,4) 周测小卷5
2.5 可化为一元一次方程的分式方程 30
第1课时可化为一元一次方程的分式方程·· 30

小专题4分式方程的解法 重点强化专练32

小专题5由分式方程根的情况确定字母的取值范围

解题技巧专练33
第2课时分式方程的应用 34
小专题6列分式方程解应用题 重点强化专练36
本章易错易混专练 38
章末复习（二）分式 39

湖南考点针对练 \diamondsuit 湖南新超势·新题材·新考法

综合与实践 空瓶换汽水

"第3章二次根式

3.1 二次根式的概念及性质

第1课时 二次根式的概念及性质 42
第2课时 二次根式的化简· 44

3.2 二次根式的乘法和除法 46

第1课时 二次根式的乘法· 46
第2课时 二次根式的除法· 48

3.3 二次根式的加法和减法 50

第1课时 二次根式的加法和减法 50
第2课时 二次根式的混合运算 52

小专题7 二次根式的运算 分类强化专练54

章末复习(三) 二次根式 56

湖南考点针对练 \diamondsuit 湖南新趋势·新题材·新考法周测(第3章) 周测小卷7

"第4章三角形

4.1 认识三角形 58

第1课时 三角形的有关概念及三边关系 58
第2课时 三角形的高线、角平分线和中线 60
第3课时 三角形的内角和与外角 62

索引

课标理念题索引

1.数学文化/传统文化

P35T8 P79T8 P107T15 P111T14 P125T8 P126T15等

2.开放性问题

P42T4 P47T10P67T9 P69T4 P118T3 P129例3等

3.新定义问题

P20T11P47T12P51T13P55T5 P105T16P113T12P126T16等

4.真实情境

P40T14 P59T12 P70T5 P72T3 P78T1 P79T10 P89T11 P93T10 P109T12等

5.阅读理解

P11T13 P15T19 P24T3 P43T15 P49T15 P53T14 P57T14 P98T8等

6.跨学科

P20T9 P57T13 P66T3等

7.综合与实践

P41 P85 P127等

易错点索引

P6 易错点对完全平方公式的特征考虑不全
P12 易错点分式的值为0时忽略分母不能为0
P17 易错点分子相加减时易忽视分数线有括号作用
P19 易错点把解方程中的“去分母”误用到分式运算中
P22 易错点弄错运算顺序导致错误
P30 易错点在解分式方程时忽略各步骤的注意事项而算错
P42 易错点 忽视分式的分母不为零致错
P45 易错点 忽视被开方数不能小于0
P46 易错点 错用乘法法则
P48 易错点 忽视二次根式的被开方数为非负数
P51 易错点 错用运算法则致错
P60 易错点 图形不唯一导致漏解
P62 易错点 没有对三角形进行分类导致漏解
P70 易错点 对应边不确定，未分类讨论致错
P72 易错点 误用“边边角”判定三角形全等
P88 易错点等腰三角形底角、顶角不明确，需要分类讨论
P90 易错点因不明确等腰三角形的腰长和底边长而出错
P107易错点直角不确定导致漏解
P110易错点直角边不确定时漏解

小专题8与三角形有关的角度计算一—教材P94习题T8的运用及拓展· 模型构建专练64

小专题9 利用数学思想方法求角度 解题技巧专练66

4.2 命题与证明 67

4.2.1 定义、命题 67
4.2.2 证明、举反例 68
4.2.3 定理、推论 69

周测 (4,1~4,2) 周测小卷9

1.3 全等三角形 70

4.3.1 认识全等三角形· 70
4.3.2 全等三角形的判定定理(边角边) 72
4.3.3 全等三角形的判定定理（角边角、角角边) 74
4.3. 4 全等三角形的判定定理(边边边) 76
4.3.5 全等三角形的应用···· 78
小专题10 全等三角形的基本模型(一) 模型构建专练80
小专题11 全等三角形的基本模型(二) 模型构建专练81

小专题12全等三角形中常见辅助线的作法——教材P120习题T14的运用及拓展…. 解题技巧专练83

综合与实践 利用三角形全等测距离 8:

4. 4 尺规作图 86

第1课时尺规作图(一) 86
第2课时 尺规作图(二) 87

周测 (4.3~4.4) 周测小卷 ^{11}

4.5 等腰三角形 88

第1课时 等腰三角形的性质 88
第2课时 等腰三角形的判定 90
第3课时 等边三角形的性质与判定 92

4.6 线段的垂直平分线 94

第1课时线段垂直平分线的性质与判定 94
第2课时 尺规作线段垂直平分线及角平分线 96
小专题13 与等腰三角形有关的分类讨论 分类强化专练98
小专题14构造等腰三角形的常用方法 模型构建专练99
小专题15等腰三角形中常见的手拉手模型 多维变式专练101
周测 (4.5~4.6) 周测小卷13
教材变式专练——教材P144探究“将军饮马”问题 103
章末复习(四) 三角形 104

"第5章直角三角形

5.1直角三角形的性质定理 106

第1课时直角三角形的性质和判定 106
第2课时含 {30}° 角的直角三角形的性质及其应用 108

5.2 勾股定理及其逆定理 11C

第1课时 勾股定理 110
第2课时 勾股定理的应用 112
第3课时 勾股定理的逆定理 114

小专题16 方程思想在勾股定理中的运用 解题技巧专练116

小专题17 勾股定理在最短路径中的应用 解题技巧专练117

周测 (5.1~5.2) 周测小卷15

5.3 直角三角形全等的判定· 118

5.4角平分线的性质· 120

第1课时角平分线的性质和判定 12(第2课时角平分线的性质和判定的运用·· 122

小专题18 与角平分线有关的辅助线作法 分类强化专练124

章末复习(五) 直角三角形 125

湖南考点针对练 \diamondsuit 湖南新超势·新题材·新考法

综合与实践 利用拼接探究勾股定理 127

"期末复习

期末复习(一) 因式分解 128
期末复习(二) 分式 .· 131
期末复习(三) 二次根式 135
期末复习(四) 三角形 138
期末复习(五) 直角三角形 143

”《基础题》单独成册

￥ 附赠湖南标准卷

单元测试(一) 因式分解 测试卷1
单元测试(二) 分式 测试卷3
单元测试(三) 二次根式 测试卷5
期中测试 测试卷7
单元测试(四) 三角形 测试卷9
单元测试(五) 直角三角形 测试卷11
期末测试(一) 测试卷13
期末测试(二) 测试卷15

第4章 三角形

4.1 认识三角形

第1课时三角形的有关概念及三边关系

基础题

知识点1三角形的有关概念

1.下面是一位同学用三根木棒拼成的图形，其中符合三角形概念的是 （D）

2.如图，图中有3个三角形，以 A D 为边的三角形有 \rightharpoonup A B D,\triangle A C D ；在 \triangle A B C 中，\angle B 的对边是AC；在 \triangle A C D 中，边 A C 的对角是 ZADC ； \angle C A D 是 \triangle A D C 的内角；以 \angle C 为内角的三角形有 \bigtriangleup A D C, ABC

第2题图

第4题图

知识点2等腰三角形与等边三角形

3.如果 a+2 与3为等边三角形的两边长，那么a 的值为1

4.如图，已知 A B=A C,A D=B D=D E=C E= A E ,则图中共有4个等腰三角形，1个等边三角形.

5.已知等腰三角形ABC的周长为 20\cm ，底边A C=4{~cm} ,求腰长.

解：由题意知：A B{=}B C,A C{+}A B{+}B C{=}20\cm,A C{=}4\cm, 所以 A B=B C={(1)/(2)}x(20-4)=8({cm}).

知识点3三角形的三边关系

6.（2023·衡阳）下列长度的各组线段能组成一个三角形的是 （D

4.1~cm,2~cm,3~cm\quadB.~3~cm,8~cm,5~cm C.4~cm,5~cm,10~cm~{\cal~D.4~cm,5~cm,6~cm}

7.（2023·福建）若某三角形的三边长分别为3，^{4,m} ，则 \mathbf{\Psi}_{m} 的值可以是 （B)

A. 1 B.5 C.7 D. 9

8.如图，在五边形ABCDE中，A C 是它的一条对角线，小颖观察图形得出结论‘ * A B+B C> A C^{\prime\prime} ，她依据的基本事实是三角形两边之和大于第三边

9 A|北师大附属实验校本经典题如果一个三角形的一边长为 5\cm ，另一边长为 2\cm ,设第三边长为 x{~cm} ：

(1)第三边 x 的范围为 3<x<7 (2)当第三边长为奇数时，求出这个三角形的周长，并指出它是什么三角形(按边分类).

解：因为第三边的长为奇数，
所以第三边的长为 5\cm
所以三角形的周长为 5+5+2=12(cm).
因为两条边的长为 5\cm ，另外一条边的长为 2~cm 所以这个三角形是底边和腰不相等的等腰三角形.

易错点 忽视三边关系而出错

10.一个等腰三角形两边的长分别为4和9，那么这个三角形的周长是 (C)

A.13 B.17
C.22 D.17或22

中档题

11.（2023·河北）四边形ABCD的边长如图所示，对角线 A C 的长度随四边形形状的改变而变化.当 \triangle A B C 为等腰三角形时，对角线AC的长为 （B）

A. 2
B.3
C.4
D.5

12. 新考向真实情境为方便劳动技术小组实践教学，需用篱爸围一块三角形空地，现已连接好三段篱笆 A B,B C,C D ，这三段篱笆的长度如图所示，其中篱笆 A B,C D 可分别绕轴BE和 C F 转动.若要围成一个三角形的空地,则在篱笆 C D 上接上新的篱笆的长度可以为 （B）

A. 3~m~ B. 4~m~ C.8~m~ D. 9~m~

13.（2023·邵阳期末）以下列各组长度的线段为边，其中 a{>}3 ,能构成三角形的是（B）

A. 2a+7,a+3,a+4B,5a^{2},6a^{2},10a^{2} C.3a,4a,a D.a-1,a-2,3a-3

14. A|人大附中校本经典题如 图，已知点 A,B 在直线 \scriptstyle a 上，点 \mathbf{\Phi}_{C,D,E} 在直线 it{b} 上.

以点 A,B,C,D,E 中的任意三点作为三角形的顶点，一共可以组成9 个三角形，分别是 \triangle A B C,\triangle A B D,\triangle A B E,\triangle C D A,\triangle C D B, \triangle C E A,\triangle C E B,\triangle D E A,\triangle D E B

15.用一条长为 18~cm 的细绳围成一个等腰三角形，其中一边长为 4~cm ，试求另两边的长，

解： ① 当 4\cm 为底边时：设腰长为 x\cm ，则 2x+4=18 ，解得 x=7. 此时另两边的长分别为 7\cm,7\cm

② 当 4cm 为腰长时：
设底边长为 y\cm ，则 y+4x2=18 ,解得 _{y=10}
因为 4+4<10 ，所以不能组成三角形，舍去，
所以另两边的长为 ^{7}~cm,7~cm

16.（教材P94新增习题T7变式）已知 {\mathbf{\omega}}_{a,b,c} 是三角形的三边长.(1)化简： |a-b-c|+|b-c-a|+|c-a-b| (2)在(1)的条件下，若 a=5,b=4,c=3 ，求这个式子的值.解：(1)因为 a,b,c 是三角形的三边长，所以 a-b-c<0,b-c-a<0,c-a-b<0. 所以原式 =-a+b+c-b+c+a-c+a+b =a+b+c. (2)当 a=5,b=4,c=3 时，原式 =5+4+3=12 费

综合题

17.【分类讨论思想】已知 a,b,c 为 \triangle A B C 的三 边长.

(1)若 ^{b,c} 满足 (b-2)^{2}+\vert c-3\vert=0 ，且 \scriptstyle a 为方程 |a-4|=2 的解，求 \triangle A B C 的周长，并判断 \triangle A B C 的形状；

(2)若 a=5,b=2 ，且 \mid c\mid 为整数，求 \triangle A B C 周 长的最大值和最小值.

解：(1)因为 (b-2)^{2}+\left|c-3\right|=0,
所以 b-2=0,c-3=0 ,解得 b=2,c=3 业
因为 a 为方程 \vert a-4\vert=2 的解，
所以 a-4=±2 ，解得 \scriptstyle a=6 或 \scriptstyle a=2
因为 \scriptstyle a,b,c 为 \triangle A B C 的三边长，
所以 3-2<a<3+2 ，即 1<a<5
所以 \scriptstyle a=6 不符合题意，舍去，
所以 \scriptstyle a=2
所以 \triangle A B C 的周长为 2+2+3=7 ，且 \triangle A B C 是等腰三角形.
(2)因为 a=5,b=2
所以 5-2<c<2+5 ，即 3<c<7
因为 \boldsymbol{\mathbf{\mathit{c}}} 为整数，所以 \boldsymbol{c} 的最小值为4，最大值为6.所以 \triangle A B C 周长的最大值为 5+2+6=13 ，最小值为 5+2+4=11

第2课时三角形的高线、角平分线和中线

基础题

知识点1三角形的高线

1.下列图形中， A D 是 \triangle A B C 的高的是（D

2.如图，已知 {C D\bot A B} 于点 D ， \angle A B C 是钝角，则 ( B ）

A.线段 C D 是 \triangle A B C 的边 A C 上的高线B.线段 C D 是 \triangle A B C 的边 A B 上的高线C.线段 A D 是 \triangle A B C 的边 B C 上的高线D.线段 A D 是 \triangle A B C 的边 A C 上的高线

第2题图

第3题图

3.如图，以 A D 为高的三角形有6个.

4.画出下面三角形三边上的高.

解：如图所示。

知识点2三角形的角平分线

5.三角形的角平分线是 B

A.射线 B.线段C.直线 D.以上都有可能

6.如图，在△ABC中， B D 是 \angle A B C 的平分线，已知 \angle A B C=80° ，则 \angle D B C=40°

第6题图

第7题图

7.如图，在 \triangle A B C 中， B E 平分 \angle A B C,D E// B C ， \angle A B E=35° ，则 \angle D E B=35° \angle A D E=70°\quad.

知识点3三角形的中线和重心

8.如图， A D 是 \triangle A B C 的中线，则 D 是线段BC的中点， B D=C D=(1)/(2)\quad\mathbb{B C}\quad,S_{\triangle A B D}= \underline{{{S_{\triangle A C D}}}}=(1)/(2)\underline{{{S_{\triangle A B C}}}} ·若 S_{\triangle A B D}=5 ，则S_{\triangle A B C}=\_{10}\quad.

第8题图

第10题图

9.已知三角形的三条中线交于一点，下列结论：

① 这一点在三角形的内部； ② 这一点有可能在三角形的外部； ③ 这一点是三角形的重心.其中正确的是_ ①③ _.(填序号)

10.如图， A D 是 \triangle A B C 的中线， A E 是 \triangle A B D 的中线.若 D E{=}3~cm ，则 E C=~bf~{~9~cm~}

易错点 图形不唯一导致漏解

11.在 \triangle A B C 中， B C=6 ，边 B C 上的高 A D=4 ，且 B D{=}2 ，则 \triangle A C D 的面积为_8或16

中档题

12.如图， C D,C E,C F 分别是 \triangle A B C 的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（C）

A. B A=2B F B \angle A C E{=}(1)/(2)\angle A C B C. A E{=}B E D.CD⊥AB

第12题图

第13题图

13. A北师大附属实验校本经典题如图，在 \triangle A B C 中 \scriptstyle A B=2,B C=4 ，则 \triangle A B C 的高 A D 与 C E 的比是 1:2

14.下图所示的是甲、乙、丙三位同学的折纸示意图(折叠后点 c 落到点 C^{\prime} 处).

甲

丙

(1)折出的 A D 是边 B C 上的中线的是 丙 ：(2)折出的 A D 是边 B C 上的高的是 甲(3)折出的 A D 是 \angle B A C 的平分线的是 乙

15.如图， A D 为 \triangle A B C 的中线， B E 为 \triangle A B D 的角平分线.

(1)若 \angle A B E=16° ，求 \angle A B D 的度数；(2)若 \triangle A B C 的面积为 60,B D=10 ，则点 A 到边 B C 的距离为多少？

解：(1)因为 B E 为 \triangle A B D 的角平分线， \angle A B E=
16°
所以 \angle A B D=2\angle A B E=32°.
(2)因为 A D 为 \triangle A B C 的中线， {}_{B D=10} ，
所以 B C=20 ，设点 A 到 B C 的距离为h,则 S_{\Delta A B C}={(1)/(2)}B C* h. 所以h=3 h{=}(2S_{\Delta A B C})/(B C){=}(2x60)/(20){=}6.
答：点 A 到边 B\mathbb C 的距离为6.

16. A石家庄外国语校本经典题如图，在 \triangle A B C 中， A D 是边 B C 上的中线， \triangle A B D 的周长比 \triangle A D C 的周长多2，且 _{A B} 与 A C 的和为10.求 ^{A B,A C} 的长.

解：因为 _{A D} 是边BC上的中线，
所以 B D=C D
所以 \mathbf{C}_{\triangle{A B D}}-\mathbf{C}_{\triangle{A D C}}=(A B+A D+
B D)-(A C+A D+C D)=A B-
A C=2
即 A B-A C=2
又因为 A B+A C=10
所以 A.B{=}6,A C{=}4.

综合题

17.（2024·邵阳大祥区期末改编）如图，在\triangle A B C 中，已知 D,E,F 分别为边 B C,A D ，C E 的中点，且 S_{\triangle A B C}=4~cm^{2} ,求阴影部分的面积.

解：因为 D 是边 B C 的中点，
所以 {\cal S}_{\triangle{A B D}}={\cal S}_{\triangle{A C D}}=(1)/(2){\cal S}_{\triangle{A B C}}=
(1)/(2)x4=2(cm^{2})。
因为 E 是 A D 的中点，
所以S△BDE S_{\triangle B D E}=(1)/(2)S_{\triangle A B D}=1\cm^{2},
S_{\triangle\ c o_{E}}={(1)/(2)}S_{\triangle\ A C D}=1\cm^{2}.
所以 S_{\Delta B E C}=S_{\Delta B D E}+S_{\Delta C D E}=2\cm^{2}.
又因为 F 是 C E 的中点，
所以 S_{\scriptsize~{pqs}}=(1)/(2)S_{\Delta B E C}=1~cm^{2}.

第3课时三角形的内角和与外角

基础题

知识点1三角形的内角和等于 180°

1.在 \triangle A B C 中，若 \angle A=95° ， \angle B=40° ，则 \angle C 的度数为 (C)

A.35° B.40° C.45° D.50°

2.（2024·长沙）如图，在 \triangle A B C 中， \angle B A C=60° \angle B=50°,A D//B C 则 \angle1 的度数为 (C)

A. {50}° B. {60}° C.70° D. {80}°

3. A华师二附中校本经典题如图，按规定，一块模板中 A B,C D 的延长线应相交成 85° 角.因交点不在板上，不便测量，工人师傅连接 A C ，测得 \angle B A C=32° ， \angle D C A=65° ，此时 A B,C D 的延长线相交所成的角是不是符合规定？为什么？

解：不符合规定.理由如下：3门
延长 ^{A B,C D} 交于点 \mathbb{O} 电
因为在 \triangle A O C 中， \angle B A C= ?E F
32°,\angle D C A=65°,
所以 \angle A O C=180°-\angle B A C-\angle D C A=180°-32°-
65°=83°<85°.
所以模板不符合规定.

知识点2三角形按角分类

4.观察如图所示的四个三角形.

其中锐角三角形是 ③ ，直角三角形是①④ ，钝角三角形是 ②

5 A北师大附属实验校本经典题在下面的横线 上分别填人“锐角”“钝角”或“直角”：

(1)如果三角形的三个内角都相等，那么这个三角形是锐角_三角形；
(2)如果三角形的一个内角等于另外两个内角之和,那么这个三角形是直角三角形；
(3)如果三角形的两个内角都小于 {40}° ，那么这个三角形是钝角三角形.

知识点3三角形的外角

6.如图， \angle A=40° \angle C B D 是 \triangle A B C 的外角.若\angle C B D=120° ，则 \angle C 的度数是 （B）

A. 90° B. {80}° C.60° D. {40}°

7.如图，在 \triangle A B C 中， D 是边 B C 的延长线上一点， D F 交 A C 于点 E E,\angle A=35° ， \angle A C D=83° (1)\angle B 的度数为 48° (2)若 \angle D=42° ，求 \angle A F E 的度数.

解：因为 \angle A\mathbb{F}\mathbb{E} 是 \triangle B D\varPsi 的一个外角， \angle B=48° \angle D= 42°
所以 \angle A F E=\angle B+\angle D= 48°+42°=90°

易错点 没有对三角形进行分类导致漏解

8.在 \triangle A B C 中， A D 为边 B C 上的高， \angle A B C= 30°,\angle C A D{=}20° ，则 \angle B A C=80°{\ �lfloor{40°}}

中档题

9.如图， A D 是 \angle C A E 的平分线， \angle B=35° ，\angle D A E=60° ，则 \angle A C D= 95°

10.（2023·株洲期末）如图，在 \triangle A B C 中，\angle A B C 与 \angle A C B 的平分线交于点 P ，已知\angle A=50° ，则 \angle B P C 的度数是 (B)

A. {100}°
B. 115°
C. {120}°
D. {{130}°}

11.（2024·长沙一中广雅中学期末）如图， A D ，A E 分别是 \triangle A B C 的高和角平分线， \angle B= {40}° ， \angle A C B=80° 点 F 在 B C 的延长线上，F G\bot A E ,垂足为 H,F G 与 A B 相交于点 G

(1)求 \angle A G F 的度数；
(2)求 \angle E A D 的度数.解：(1)因为 \angle B=40°,\angle A C B
=80°
所以 \angle B A C=180°-40°-80°
{\bf\tau}={60}° 费
因为 A E 是 \triangle A B C 的角平分线
所以 \angle B A E=(1)/(2)\angle B A C=30°.
因为 F G\bot A E ，
所以 \angle A H G=90° .
所以 \angle A G F=180°-90°-30°=60°
(2)因为 _{A D} 是 \triangle A B C 的高，
所以 \angle A D C=90°
因为 \angle A C B=80° ，
所以 \angle C A D=180°-90°-80°=10°.
因为 \angle B A C=60°,A E 是 \triangle A B C 的角平分线，
所以 \angle C A E{=}(1)/(2)\angle B A C{=}30°.
所以 \angle E A D=\angle C A E-\angle C A D=30°-10°=20°,

综合题

12. A石家庄外国语校本经典题【整体思想】如图，在折纸活动中，小李制作了一张 \triangle A B C 的纸片，点 D,E 分别在边 A B,A C 上，将\triangle A B C 沿着 D E 折叠压平，点 A 与 A^{\prime} 重合.

(1)若 \angle1+\angle2=130° ，则 \angle A=65° (2)猜想： \angle1+\angle2 与 \angle A 的关系为 21+ \angle2=2\angle A

微专题3 运用“飞镖形”"8字形”求角度

以题明法

常用的两个基本图形公式：

飞镖形结论：如图1 ,\angle B O C=\angle B A C+ \angle B+\angle C

推理过程：如图1，连接 A O 并延长至点 \begin{array}{r}{D.}\end{array}

因为 \angle B O D=\angle B+\angle B A D ， \angle C O D= \angle C+\angle C A D+ ，所以 \angle B O C=\angle B O D+ \angle C O D=\angle B A C+\angle B+\angle C.

还可以延长 B O 交 A C 于点 \boldsymbol{\mathbf{\mathit{E}}} 得出此结 论，试试看吧！

图1

8字形结论：如图 2,\angle A+\angle B=\angle C+ \angle D ，

推理过程：如图2，因为 \angle A O C=\angle A+ /B ， \angle A O C=\angle C+ D_，所以 \angle A+ \angle B=\angle C+\angle D

还可以根据 \angle A+\angle B+\angle A O B=\angle C+ \angle D+\angle C O D 得出此结论，试试看吧！

针对训练

1.如图， A B,C D 相交于点 O ,连接 A D,B C. 若 \angle A=43° ， \angle D=57° ， \angle C=37° ，则 \angle B 的度 数为_ 63°

第1题图

第2题图

2.如图， C E 平分 \angle A C D ，交 _{A B} 于点 \boldsymbol{E} .若 \angle A=40° ， \angle B=30° ， \angle B D C=110° ，则 \angle B E C 的度数为 {60}°

3.（教材P94习题T11变式）如图， \angle A+ \angle E B D+\angle C+\angle D+\angle E=180°

小专题8与三角形有关的角度计算

教材P94习题T8的运用及拓展

【模型归纳】

【模型1】双内角平分线夹角

【模型2】双外角平分线夹角

【模型3】一内一外角平分线夹角

【条件】 B P 平分 \angle A B C ，C P 平分 \angle A C B .

【条件】BP平分 \angle D B C ，C P 平分 \angle B C E

【条件】 B P 平分 \angle A B C ，C P 平分 \angle A C D

【结论】 \angle P=90°+{(1)/(2)}\angle A

【结论】 \angle P=90°-{(1)/(2)}\angle A.

【结论】 \angle P=(1)/(2)\angle A.

模型探究

【教材母题】（教材P94习题T8)如图，在\triangle A B C 中， \angle A=40° ， \angle A B C 与 \angle A C B 的平分线相交于点 P ，求 \angle B P C 的度数.

【解答】 在 \triangle A B C 中，
\angle A B C+\angle A C B+\angle A=180°. 因为 B P 平分 \angle A B C,C P 平分
\angle A C B ，所以 \angle A B C=2\angle C B P,\angle A C B=2\angle B C P. 所以 2\angle C B P+2\angle B C P+\angle A=180°. 所以 \angle C B P+\angle B C P+(1)/(2)\angle A=90°.① 在△BCP中 ,\angle C B P+\angle B C P+\angle P=180°.② ②-① ，得 \angle P-(11)/(2)\angle A=90°. 所以 \angle P=(1)/(2)\angle A+90°. 因为 \angle A=40° ，所以 \angle P=(1)/(2)x40°+90°=110°.

针对训练

1.（2024·长沙一中广雅中学期末）如图，已知 C D 和 B E 是 \triangle A B C 的角平分线， \angle A=60° ， 则 \angle B O C=120°

第1题图

第2题图

2.如图，在 \triangle A B C 中， B O,C O 分别平分 \angle A B C ，\angle A C B 若 \angle B O C=110° ，则 \angle A=40°

拓展类型1一个内角平分线与一个外角平分

线的夹角

【例1】（教材P94新增习题T9变式）如图，在 \triangle A B C 中， \angle A=α,E 为 B C 延长线上一点， \angle A B C 与 \angle A C E 的平分线相交于点 D ，求\angle D 的度数.

【解答】 在 \triangle A B C 中，
\angle A C E=\angle A B C+\angle A. 因为 B D 平分ABC，CD
平分 \angle A C E 所以 \angle A B C=2\angle D B C,
\angle A C E=2\angle D C E 所以 2\angle D C E=2\angle D B C+\angle A 所以 \angle D C E=\angle D B C+(1)/(2)\angle A.① 在 \triangle B C D 中 \scriptstyle,\angle D C E=\angle D B C+\angle D,② ②-① ，得 \angle D=(1)/(2)\angle A. 因为 \angle A=a ，所以 \angle D=(1)/(2)α

针对训练

3.如图，在 \triangle A B C 中， \angle A C B 的平分线与外角\angle A B D 的平分线交于点 E ，与边 _{A B} 交于点F .若 \angle E=40° ， \angle B F C=110° ，则 \angle A C B= 60

第3题图

第4题图

4.如图，已知 \triangle A B C 的内角 \angle A=α ，分别作内角 \angle A B C 与外角 \angle A C D 的平分线，两条平分线交于点 A_{1} ，得到 \angle A_{1} \angle A_{1}B C 和 \angle A_{1}C D 的平分线交于点 A_{2} ，得到 \angle A_{2} ；·，依次类推得到 \angle A_{2{~025}} ，则 \angle A_{2025} 的度数是 (a)/(2^{2.025)}

拓展类型2 两个外角平分线的夹角

【例2】如图，在 \triangle A B C 中， \angle B=α ，三角形的外角 \angle D A C 和 \angle A C F 的平分线交于点 E ，求 \angle E 的度数.

【解答】 因为 A E 平分 D
\angle D A C,C E 平分 \angle A C F ，所以 \angle D A C=2\angle E A C, E
\angle A C F=2\angle A C E. 因为 \angle D A C=\angle A C B+\angle B. \angle A C F{=}\angle B A C+\angle B ， B C F 所以 2\angle E A C=\angle A C B+\angle B,① 2\angle A C E=\angle B A C+\angle B.② ①+② ，得 2\angle E A C+2\angle A C E=\angle A C B+\angle B+1
\angle B A C+\angle B 费因为 \angle A C B+\angle B+\angle B A C=180° 所以 2\angle E A C+2\angle A C E=180°+\angle B. \angle E A C+\angle A C E=90°+{(1)/(2)}\angle B. 因为 \angle E A C+\angle A C E+\angle E=180° 所以 180°-\angle E=90°+(1)/(2)\angle B \angle E=90°-(1)/(2)\angle B. 因为 \angle B=α ，所以 \angle E{=}90°-(1)/(2)α

针对训练

5.如图， \triangle A B C 的两条内角平分 线 B O,C O 相交于点 O ，两条外 角平分线 B P,C P 相交于点 P ： 已知 \angle B O C=120° ，则 \angle P={\bf\zeta}{\tilde{D}} {60}°

【例3】如图，在 \triangle A B C 中， \angle B>\angle C ，\angle B A C 的平分线交 B C 于点 D,A E\bot B C 于点E ，设 \angle B=x ， \angle C=y. 试用 x,y 表示 \angle E A D ，并说明理由.

【解答】 因为 \angle B =x,\angle C=y 所以 \angle B A C=180°-x -y_{\ast} 因为 \angle B A C 的平分线交 B C 于点 D ， B E D C 所以 2\angle B A D=2\angle D A C=180°-x-y. 所以 \angle B A D=(1)/(2)(180°-x-y). 在 \mathbb{R}\mathbf{t}\triangle A B E 中 \scriptstyle\angle B A E=180°-90°-x=90°-x 所以 \angle E A D=\angle B A D-\angle B A E=(1)/(2)(180°-x-y) -(90°-x)={(x-y)/(2)}.

变式训练

6.如图，在 \triangle A B C 中， A E 平分BAC， \angle B=40° \angle C=70°,F 为射线 \vert A E 上一点（不与点 \boldsymbol{\mathbf{\mathit{E}}} 重合)，且 F D\bot B C.

图1

图2

图3

(1)若点 F 与点 A 重合，如图1,则 \angle E F D 的度数为 15°

(2)若点 F 在线段 A E 上（不与点 A 重合），如图2，求 \angle E F D 的度数；

（3）若点 F 在 \triangle A B C 外部，如图3，此时\angle E F D 的度数会变化吗？是多少？

解：(2)因为 \angle E A C=35°,\angle C=70° 所以 \angle A E C=180°-70°-35°=75° 费所以 \angle E F D=180°-90°-75°=15° 表(3)因为 \angle D E F=\angle A E C=75° 所以 \angle E F D=180°-75°-90°=15° 费

小专题9 利用数学思想方法求角度

类型1方程思想

方法旧纳

当问题中角度关系较为复杂时，可通过设元，寻找已知与未知间的等量关系，构造方程实现未知向已知的转化.

1. A|清华附中校本经典题如图，在 \triangle A B C 中，\angle C=\angle A B C=(3)/(2)\angle A,B D 是边 A C 上的高.求 \angle D B C 的度数.

解：设 \angle A=x° ，则 \angle C=\angle A B C=
{(3)/(2)}x° 因为 \angle A+\angle C+\angle A B C=180°
所以 x+{(3)/(2)}x+{(3)/(2)}x=180 +x=180,解得x=45.所以 \angle A=45°,\angle C=67.5° 因为 B D 是边 A C 上的高，
所以 \angle C D B=90° .所 \scriptstyle{|X\angle D B C=180°-90°-\angle C=22,5°}.

【变式】（教材P94新增习题T10变式)如图，在 \triangle A B C 中，若 B D 是 \triangle A B C 的角平分线，且/1=\angle A,\angle2=\angle C 则 \angle A 的度数为36°

类型2整体思想

方法旧纳

当题目中的条件或结论是以某几个元素的整体呈现时，则可以将其视为一个整体，运用整体思想求值.

2. A石家庄外国语校本经典题 如图， \angle E C A ， \angle D A C 分别是 \triangle A B C 的两个外角.

(1)若 \angle B=50° ，求 \angle E C A+\angle D A C 的度数； (2)若 \angle B=α ，请用含 α 的代数式表示 \angle E C A+ \angle D A C 的度数.(直接写出结果)

解：（1）因为 \angle E C A=\angle B+ \angle B A C,\angle D A C=\angle B+\angle A C B 又因为 \angle B+\angle B A C+\angle A C B= {180}° ，

所以 \angle E C A+\angle D A C=\angle B+\angle B A C+\angle B+ \angle A C B=\angle B+(\angle B+\angle B A C+\angle A C B)=50°+ 180°=230°
(2)\angle E C A+\angle D A C=180°+α.

3. 新考向 跨学科在探究“进人光线和离开光线夹角与两块镜子夹角的关系”的项目式学习中，创新小组将两块平面镜 A B,B C 竖直放置在桌面上，并使它们镜面间夹角的度数为 α^{(0°}<α< 90°. )，在同一平面内，用一束激光射到平面镜\vert A B 上，分别经过平面镜 A B,B C 两次反射后，进人光线 \mathbf{\Psi}_{m} 与离开光线 n 形成的夹角度数为 β （如图），利用数学和物理知识，得到 β 与 α 的数量关系为 β=180°-20\bar{\it .（提示：人射角 \c= 反射角，即 \angle1=\angle2,\angle3=\angle4)

类型3转化思想

方法归纳

转化思想是把一个未知（待解决）的问题化为已解决的或易于解决的问题来解决.（常常可以运用“8字形”进行导角）

4.如图，A+B+C+/D+E= 180°

第4题图

第5题图

5.小慧一笔画成了如图所示的图形，若 \angle A= {60}° ，则 \angle B+\angle C+\angle D+\angle E 的度数为（B）

A. {180}° B.240° C.270° D. 300°

类型4分类讨论思想

方法旧纳

当图形的形状或位置不明确，可能出现不同情况时，则需要根据可能出现的情况分类讨论求解.

6. \triangle A B C 的一个内角为 {40}° ，且 \angle A=\angle B ，则\angle C 的外角的度数为 {80}° 或 {140}°

7.如图，在 \triangle A B C 中， \angle C= 90° ， \angle B=34° ，点 M,N 分别在边 A B ， B C 上，将\triangle B M N 沿 M N 折叠，使点

B 落在直线 A C 上的点 \boldsymbol{B^{\prime}} 处.当 \triangle A B^{\prime}M 为直角三角形时， \angle B N M 的度数为 73° 或 \boldsymbol{\underline{{101}}}°

4.2 命题与证明

4.2.1 定义、命题

基础题

中档题

■ 知识点1定义与命题

1.（2024·岳阳期中）下列语句中，不是命题的是 (C)

A.两点之间，线段最短
B.在同一个平面内两直线不平行就相交
C.连接 A,B 两点
D.对顶角相等

2.下列语句中，属于定义的是 C

A. x 与 _y 的和等于0吗？
B.作已知角的平分线
C.连接两点的线段的长度，叫作这两点间的 距离
D.图形的平移不改变图形的性质和大小

知识点2真命题与假命题

3.下列命题中，是真命题的是 B

A.邻补角互余
B.两直线平行，内错角相等
C.三角形的三条高线交于一点
D.过一点只能作一条直线与已知直线垂直

4.命题“两个负数的差一定是负数”，它是假命题(填“真”或“假").

知识点3互逆命题

5.命题“同旁内角互补，两直线平行”的逆命题是两直线平行,同旁内角互补

6. A|人大附中校本经典题写出下列命题的条件和结论.(1)若 m=n ，则 m+2=n+2 (2)锐角小于 90° ；(3)等角的余角相等；(4)若 a//b,b//c ，则 \boldsymbol{a}//c 解：(1)条件： m=n 结论 :m+2=n+2 (2)条件：一个角是锐角；结论：这个角小于 90° (3)条件：两个角相等；结论：这两个角的余角也相等。(4)条件 :a//b,b//c 结论： \boldsymbol{a}//c

7.【名校原创】（教材P96新增例1变式）下列各组命题中，不是互逆命题的是 （A）

A.“同一个角的两个邻角是对顶角”与“有公共顶点且相等的两个角是对顶角”
B.“等于同一个角的两个角相等”与“如果两个角相等，那么这两个角等于同一个角”
C.“如果 a^{2}=b^{2} ，那么 {\left|\begin{array}{l}{a}\end{array}\right|}={\left|\begin{array}{l}{b}\end{array}\right|} |”与“如果\left|a\right|=\left|b\right| ，那么 a^{2}=b^{2} ”
D.“同位角相等，两直线平行”与“两直线平行，同位角相等”

8.交换下列命题的条件和结论，其中得到的新命题是假命题的是 (C)

A.两直线平行，内错角相等B.相等的角是对顶角C.所有的直角都是相等的D.若 a=b ，则 a-1=b-1

9. 新考向 开放性问题根据图中所给信息，写出一个真命题：如果 l_{1}//l_{2} 那么 \angle1=\angle3 （答案不唯一）

10.下列各语句中，哪些是命题，哪些不是命题？是命题的，请先将它改写为“如果·…·那么…...”的形式，并判断其是真命题，还是假命题.

(1)同号两数的和一定不是负数；(2)若 \scriptstyle x=2 ，则 10-5x=0 (3)在直线 _{A B} 上任取一点 P ：

解：（1)是命题.改写：如果两个数同号，那么这两个数的和一定不是负数，它是假命题。
(2)是命题.改写：如果 x{=}2 ，那么 10-5x=0. 它是真命题.
(3)不是命题.

4.2.2 证明、举反例

基础题

知识点1举反例

1.（2023·邵阳大祥区期末）对于命题“如果\angle1+\angle2=90° ，那么 \angle1\neq\angle2^{\prime} ，能说明它是假命题的反例是 （A）

A. \angle1=\angle2=45° B. \angle1=50° ， \angle2=50° C \therefore\angle1=50°,\angle2=40° D. \angle1=40° ， \angle2=40°

知识点2 证明

2.如图，下列条件能证明 A D//B C 的是（D）

A. \angle A=\angle C
B. \angle B=\angle D
C. \angle B=\angle C
D. \angle A+\angle B=180°

3.证明：

(1)对于所有的自然数 n,n^{2} 的末位数字都不是2；

(2)对于所有的自然数 n,n^{2}+n 的值都是偶数.证明：(1)因为 0 到9的平方的末位数字 \therefore 能为 ^{0,1} ^{4,5,6,9}
所以对于所有的自然数 n,n^{2} 的末位数字都不是2.(2)因为 n^{2}+n{=}n(n{+}1),
对于所有的自然数 ^{n,n} 与 n+1 中必有一个为偶数，所以对于所有的自然数 n,n^{2}+n 的值都是偶数。

知识点3反证法

4.（教材P99练习T3变式）用反证法证明： a,b 至少有一个为0，应该假设 (A)

A. {\mathbf{\boldsymbol{a}}},{\mathbf{\boldsymbol{b}}} 没有一个为0B.a,b只有一个为0
C. {\boldsymbol{a}},{\boldsymbol{b}} 至多一个为0D.a,b两个都为0

5.用反证法证明“三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于 {{60}°} .”已知： \angle A,\angle B,\angle C 是 \triangle A B C 的内角.

求证： \angle A,\angle B,\angle C 中至少有一个内角小于或等于 {60}°
证明：假设求证的结论不成立，那么三角形中所有角都大于 {60}° ，
所以 \angle A+\angle B+\angle C>180°.
这与三角形的内角和为 {180}° 相矛盾。
所以假设不成立.
所以三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于 {60}° ，

中档题

6.已知命题：“三角形三条高线的交点一定不在三角形的外部.”小再想举一反例说明它是假命题，则下列选项中符合要求的反例是（D）

A.等腰三角形 B.直角三角形C.锐角三角形 D.钝角三角形

7.已知在 \triangle A B C 中， \angle B=\angle C ，求证： \angle B< 90° .下面写出可运用反证法证明这个命题的四个步骤：

① 所以 \angle A+\angle B+\angle C>180° ,这与三角形内角和为 {180}° 矛盾；
② 因此假设不成立.所以 \angle B{<}90°
③ 假设在 \triangle A B C 中， \angle B{>=slant}90°
④ 则 \angle B=\angle C>=90° ，即 \angle B+\angle C>=180° ：这四个步骤正确的顺序应是 ③④①②

8.如图， A B//C D,D E 与 B{\cal F} 相交于点 \boldsymbol{E} ，试探 究 \angle3 与 \angle1,\angle2 之间有何等量关系.并加以 证明.

解： \angle3 与 \angle1,\angle2 之间的
等量关系是 \angle3=\angle1+
\angle2-180°
证明：连接BD.
因为 \angle3 是 \triangle B E D 的外角，
所以 \angle3=\angle D B E+\angle B D E
又因为 A B//C D ，
所以 \angle A B D+\angle B D C=180° 业
所以 \angle3=(\angle1-\angle A B D)+(\angle2-\angle B D C)=\angle1+ \angle2-(\angle A B D+\angle B D C)=\angle1+\angle2-180°

4.2.3 定理、推论

基础题

中档题 《

知识点1定理

1.命题“三角形的内角和等于 180°{}^{,} 是 （C)

A.假命题 B.定义 C.定理 D.基本事实

2.下列说法错误的是 C

A.命题不一定是定理，定理一定是命题
B.定理不可能是假命题
C.真命题是定理
D.经过证明为真的命题叫作定理

3.如图，已知 D E//A C ， \angle A=\angle D E F ，(1)证明： E F//A B (2)利用图形，试证明三角形内角和为 {180}° ，即证明： \angle A+\angle B+\angle C=180°

证明：(1)因为 D E//A C 所以 \angle A=\angle B D E 费因为 \angle A=\angle D E F 所以 \angle B D E=\angle D E F 所以 E F//A B

(2)因为 D E//A C,E F//A B
所以 \angle C=\angle D E B,\angle B=\angle C E F,
因为 \angle D E B+\angle D E F+\angle C E F=180° ， \angle A=
\angle D E F
所以 \angle A+\angle B+\angle C=180° 费

知识点2 互逆定理

4 新考向 开放性问题请写出一组互逆定理：两直线平行，同旁内角互补与同旁内角互补，两直线平行（答案不唯一）

5.下列定理中，没有逆定理的是 ② .(填序号)

① 两直线平行，内错角相等；
② 对顶角相等；
③ 同位角相等，两直线平行.

6.下列说法正确的是 C C

A.如果一个命题是真命题，那么它的逆命题也是真命题
B.任何定理一定有逆定理
C.任何命题一定有逆命题
D.定理一定是命题，但不一定是真命题

7.如图，在 \triangle A B C 中， \angle A=\angle A B C ，直线 E F 分别交 \triangle A B C 的边 A B,A C 和 C B 的延长线于点 D,E,F. 求证： \angle F+\angle F E C=2\angle A

证明：因为在 \triangle C E F 中， \angle C+
\angle F+\angle F E C=180°.
所以 \angle F+\angle F E C=180°-\angle C
=\angle A+\angle A B C.
因为 \angle A=\angle A B C
所以 \angle F+\angle F E C=2\angle A

8.证明：两条平行线被第三条直线所截得的内错角的角平分线互相平行.（要求写出已知和求证)

解：已知：如图 ,A B//C D,E F 交AB A1
于点 E ，交 C D 于点 E,E M 平分 VM
\angle B E F,F N 平分 \angle E F C F D
求证 :E M//F N.
证明：因为 A B//C D(E,40) ，
所以 \angle B E F=\angle E F C （两直线平行，内错角相等）.
因为 _{E M} 平分 \angle B E F,F N 平分 \angle E F C(e,f,e) \scriptstyle\angle M E F={(1)/(2)}\angle B E F,\angle N F E={(1)/(2)}\angle E F C( 角平分
线的定义).
所以 \angle M E F=\angle N F E （等式的性质）
所以 E M//F N 内错角相等，两直线平行）.

温馨提示

周测 (4.1~4.2)

学生用书单独成册

（时间：40分钟满分：100分）

一、选择题（每小题4分，共32分）

1.可以把一个三角形分成面积相等的两部分的线段是 (C)

A.三角形的高 B.三角形的角平分线C.三角形的中线 D.无法确定

2.下列长度的三条线段不能组成三角形的是（A）

A.5,5,10 B.4,5,6
C.4,4,4 D.3,4,5

3.用一块含 {30}° 角的透明直角三角板画已知\triangle A B C 的边 B C 上的高，下列三角板的摆放位置正确的是 （D）

4.在 \triangle A B C 中，下列条件能说明 \triangle A B C 是直角三角形的是 （C）

A. \angle A=35° \angle B=65° B. \angle A=\angle B=\angle C
C. \angle A=\angle B+\angle C D. \angle A=2\angle B=3\angle C

5.下列命题是假命题的是 ( D

A.两点之间，线段最短
B.三角形的任意两边之和大于第三边
C.对顶角相等
D.若 a+b>0 ，则 a>0,b>0

6.如图，分别过 \triangle A B C 的顶点 A,B 作 A D// BE.若 \angle C A D=25° ， \angle E B C=80° ，则 \angle A C B 的度数为 ( B ）

A. 65° B.75° C.85° D.95°

第6题图

第7题图

7.如图所示的是一台起重机的工作简图，前后两次吊杆位置 O P_{1},O P_{2} 与吊绳的夹角分别是 {30}° 和 {70}° ，则吊杆前后两次位置的夹角\angle P_{1}O P_{2}= （C）

A. {60}° B. 50° C.40° D. {30}°

8.如图，在 \triangle A B C 中， B O,C O 分别平分 \angle A B C ，\angle A C B ,且交于点 _{O,C E} 为外角 \angle A C D 的平分线， B O 的延长线交 C E 于点 \boldsymbol{E} ，则以下结论： ①\angle E=(1)/(2)\angle A ： ②\angle B O C=3\angle E ：③\angle B O C=90°+\angle A;④\angle B O C=90°+\angle E. 正确的是 (C)

A. ①②③ B. ①③④
C. ①④ D. ①②④

第8题图

第10题图

二、填空题（每小题4分，共24分）

9.把命题“等角的余角相等”写成“如果·…·，那么·….…"的形式：如果两个角的余角相等，那么这两个角相等

10.如图，以 A B 为边的三角形共有_3个.

11.如图所示，请将 \angle A,\angle1,\angle2 按从大到小的顺序排列： \angle2>\angle1>\angle A\quad.

第11题图

第13题图

12.一个三角形的两边长分别是3和8，周长是偶数，那么第三边的长是7或9·

13.将一副三角板按如图所示的方式放置，点 A 在 D E 上，点 F 在 B C 上.若 \angle E A B=35° ，则\angle D F C=100°

14.如图，在 \triangle A B C 中，\angle A B C=90°,\angle 为 \vert A C\vert 的延长线上一点，

\angle B A E=3\angle E A C ， \angle B C E=3\angle E C D ，则\angle A E C 的度数为 22.5°

三、解答题（共44分）

15.（10分)如图，在 \triangle A B C 中， B E 平分 \angle A B C ，A D 为高，且 \angle A B C=60° ， \angle B E C=75° ，求\angle D A C 的度数.

解：因为 B E 平分 \angle A B C
且 \angle A B C=60°
所以 \angle A B E=\angle E B C=30° ，
所以 \angle C=180°-\angle E B C-
\angle B E C=180°-30°-75°=75°
又因为 \angle C+\angle D A C=90°
所以 \angle D A C=90°-\angle C=90°-
75°=15°

16.（10分)如图，现有以下3句话： ①A B//C D ②\angle B=\angle C;③\angle E=\angle F. 请以其中两句话为条件，第三句话为结论构造命题.(1)你构造的是哪几个命题？(2)你构造的命题是真命题还是假命题？请选择一个加以证明.

解：（1)命题1：条件 ①② ，结论③ ；命题2：条件 ①③ ，结论 ② \*命题3：条件 ②③ ，结论 ① (2)三个命题都是真命题.选择命题1证明：因为 A B//C D 所以 \angle B=\angle C D F, 因为 \angle B=\angle C 所以 \angle C=\angle C D F, 所以 C E//B F. 所以 \angle E=\angle F.

17.（11分)如图， D 为 \triangle A B C 的边 B C 的延长线上一点.

(1)若 \angle A:\angle A B C=3:4,\angle A C D=140°, 求 \angle A 的度数；
(2)若 \angle A B C 的平分线与 \angle A C D 的平分线交于点 M ，过点 C 作 C P\perp B M 于点 P ：试探究 \angle P C M 与 \angle A 的数量关系.解： (1) 因为 \angle A:\angle A B C=3:4
所以设 \angle A=3k \angle A B C=4k
又因为 \angle A C D=\angle A+\angle A B C
=140° ，
所以 3k+4k=140° ，
解得 k=20°
所以 \angle A=3k=60° .
(2)因为 \angle M C D 是 \triangle M B C 的外角，
所以 \angle M=\angle M C D-\angle M B C.
同理可得 ,\angle A=\angle A C D-\angle A B C.
因为 M C,M B 分别平分 \angle A C D \angle A B C
所以 \angle M C D=(1)/(2)\angle A C D,\angle M B C=(1)/(2)\angle A B C. 所以 \angle M=(1)/(2)(\angle A C D-\angle A B C)=(1)/(2)\angle A. 因为 \mathbf{CP\bot}B M
所以 \angle P C M=90°-\angle M=90°-{(1)/(2)}\angle A.

18.（13分)定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的 (1)/(2) ,我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”.例如：在 \triangle A B C 中，如果 \angle A=80° ， \angle B=40° ，那么 \angle A 与 \angle B 互为“友爱角”， \triangle A B C 为“友爱三角形”

(1)如图1， \triangle A B C 是“友爱三角形”，且 \angle A 与 \angle B 互为“友爱角”（ \angle A>\angle B )，\angle A C B=90° ：① 求 \angle A ， \angle B 的度数；② 若 C D 是 \triangle A B C 中边 A B 上的高，则\triangle A C D ， \triangle B C D 都是“友爱三角形”吗？为什么？

(2)如图2,在 \triangle A B C 中， \angle A C B=70° ， \angle A= 66°,D 是边 _{A B} 上一点(不与点 ^{A,B} 重合)，连接 \boldsymbol{C D} ，若 \triangle A C D 是“友爱三角形”，求出\angle A C D 的度数.

图1

图2

解： ①① 因为 \triangle A B C 是“友爱三角形”，且 \angle A 与
\angle B 互为“友爱角” \angle A>\angle B) ，
所以 \angle A=2\angle B
因为 \angle A C B=90°
所以 \angle A+\angle B=180°-90°=90° 即 2B+\angle B=
90°. 所以 \angle B=30°
所以 \angle A=60° 费
②\Delta A C D,\Delta B C D 都是“友爱三角形”
理由：因为 c D 是 \triangle A B C 中边 A B 上的高，
所以 \angle A D C=\angle B D C=90°
因为 \angle A=60° ， \angle B=30°
所以 \angle A C D=30°,\angle B C D=60°
在 \triangle A C D 中 ,\angle A=60°,\angle A C D=30°
所以 \angle A C D=(1)/(2)\angle A
所以 \triangle A C D 为“友爱三角形”
在 \triangle B C D 中 \angle B C D=60°,\angle B=30°
所以 \angle B=(1)/(2)\angle B C D.
所以 \triangle B C D 为“友爱三角形”
(2)因为 \triangle A C D 是“友爱三角形”， D 是边 A B 上一
点(不与点 ^{A,B} 重合)，
所以 \angle A C D=(1)/(2)\angle A 或 \angle A C D=(1)/(2)\angle A D C.
当 \angle A C D=(1)/(2)\angle A A时,ACD= \angle A C D=(1)/(2)\angle A=33°;
当 \angle A C D=(1)/(2)\angle A D C 时，
所以 \angle A+3\angle A C D=180° 即 3\angle A C D=114° 业
所以 \angle A C D=38° 费
综上所述， \angle A C D 的度数为 33° 或 38°

4.3全等三角形

4.3.1 认识全等三角形

基础题

知识点1全等图形与全等三角形

1.下列各组图形中不是全等图形的是 ( B ）

2.如图所示，若将 \triangle A B C 沿 \vert A C\vert 翻折后与 \triangle A D C 重合，则 \triangle A B C{\cong}\quad\triangle A D C ” _{A B} 的对 应边是 _{A D} 一， B C 的对应边是 DC， \angle B C A 的对应角是 DCA

3.如图， \triangle A B F{\cong}\triangle D C E ， \angle A 与 \angle D,\angle B 与\angle C 是对应角，请指出这两个全等三角形中其他对应边和对应角.

解 :A B| 与 D C,B F 与 \mathbb{C}\mathbb{E},A\mathbb{F} 与 D E 是对应边；\angle A F B 与 \angle D E C 是对应角，

知识点2全等三角形的性质

4.如图，已知 \triangle O A B\cong\triangle O C D ， \angle A=30° ， \angle A O B=105° ，则 \angle D=45°

第4题图

第5题图

5. 新考向真实情境为了庆祝“神舟十九号”的成功发射，学校组织了一次火箭模型小制作展示活动.小明计划制作一个如图所示的简易模型，已知该模型满足 \triangle A B D{\cong}\triangle A C E ，点 B 和点 c 是对应点.若 A B=8\ {cm},A D= 3\cm ，则 D C={\underline{{5}}}\quad{cm}. ：

6.（教材P106新增练习T1变 式)如图， \triangle A B C{\cong}\triangle A D E 且 A E//B C ，若 \angle E=40° ，则 \angle C A E=40°

7.如图，已知 \triangle A B C{\cong}\triangle D E F. 求证： A C//D F

证明：因为 \Delta A B C\cong
\triangle D E F
所以 \angle A C B=\angle D F E.
所以 A C//D F

知识点3 图形变化与全等

8.如图，将 \triangle A O B 绕点 o 旋转 {180}° ，得到\triangle C O D ，这时 \triangle A O B{\cong}\triangle COD.这两个三角形的对应边分别是 A O 与CO， O B 与OD,BA与 DC；对应角分别是 \angle A O B 与 ZCOD ， \angle O B A 与 ZODC\angle B A O 与 DCO

第8题图

第9题图

9.如图， \triangle A B C 与 \triangle D B C 关于BC成轴对称， 则 \triangle A B C{\cong} △DBC.若 \angle A C D=160° ，则 \angle B C D=80°

10. A华师二附中校本经典题 如 A D图，已知 A D//B C ， A D= B C ，将 \triangle A B E 沿 A D 方向 B E CF平移，得到 \triangle D C F ，点 B,E,C,F 在同一条直线上.若 A D=7 ， B E=2 ，则 \triangle A B E\cong \triangle D C F \quad E C={bf{5}}

易错点 对应边不确定，未分类讨论致错

11.已知 \triangle A B C 的三边长分别为 3,5,7,\triangle D E F 的三边长分别为 3,3x-2,2x-1. 若这两个三角形全等，则 x= (C)

A. (7)/(3) B.4 C.3 D.4或 (7)/(3)

中档题

12.（2024·长沙长郡教育集团期中）已知图中的两个三角形全等，则 \angleα 的度数是（D）

A. 72°
B. {60}°
C. 58°
D. 50°

13.如图，已知 \triangle E F G{\cong}\triangle N M H ,则下列说法错误的是 （A

A. E G=H G
B. E G//H M
C. \angle F E G=\angle M N H
D. E F{=}N M

14. A人大附中校本经典题如图，在 \triangle A B C 中，A B{=}8\ {cm},B C{=}6\ {cm},A C{=}5\ {cm}. 沿过点 B 的直线折叠这个三角形，使点 c 落在边 A B 上的点 E 处，折痕为 B D ，则 \triangle A E D 的周长为7cm.

第14题图

第15题图

15.如图， \triangle A B C\triangle D E C,\angle A=40°,\angle B=70°, \angle A C E=30° ，则 \angle D C A 的度数为 {4.0}°

16. A石家庄外国语校本经典题如图， \triangle A B C{\cong} \triangle D E F,\angle A=78°,\angle B=35°,B C=18.

(1)写出 \triangle A B C 和 \triangle D E F 的对应边和对 应角； (2)求 \angle F 的度数和边 E F 的长.

解： (1)A B 与 D E,B C 与 E F ，
\mathbf{\nabla}_{A C} 与 D F 是对应边；
\angle A 与 \angle D,\angle B 与 \angle D E F
B E C F\angle A C B 与 \angle F 是对应角。
(2)在 \triangle A B C 中，
因为 \angle A+\angle B+\angle A C B=180° ，
所以 \angle A C B=180°-\angle A-\angle B=180°-78°-35°= 67°
因为△ABCDEF，
所以 \angle F=\angle A C B=67°,E F=B C=18.

17. A北京四中校本经典题如图， \triangle A E C{\cong}\triangle A D B \angle A=50°,\angle A B D=39°. (1)求 \angle D O C 的度数；(2)若 \triangle B E C{\cong}\triangle C D B ，求 \angle1 的度数.

解：(1)因为△AEC△ADB，
所以 \angle A C E=\angle A B D=39°
因为 \angle B D C=\angle A+\angle A B D=
50°+39°=89°
所以 \angle D O C=180°-\angle B D C-
\angle A C E=180°-89°-39°=52°.
(2)因为 \bigtriangleup BEC△CDB，所以 \angle1=\angle E C B
由(1)知， \angle D O C=52°
又因为 \angle D O C=\angle1+\angle E C B
所以 2\angle1=52° 所以 \angle1=26°

综合题

18.（教材P118新增习题T2变式）（2024·岳阳 市岳阳楼区期末改编)如图，已知 \triangle A B D\cong \triangle E B C,A B=3~cm ， B C{=}4.5~cm ，且点 B 在 线段 A C 上.

(1)求 D E 的长；
(2)求证： A C\bot B D
(3)猜想 A D 与 C E 的位置关系，并说明理由.解：(1)因为 \triangle A B D\cong\triangle E B C
所以 B D=B C=4.5~cm,B E \scriptstyle=_{A B}=3\ {cm}.
所以 D E{=}B D{-}B E{=}1.5~cm.
（2）证明：因为 \Delta A B D\cong A \triangle E B C
所以 \angle A B D=\angle E B C.
因为点B在线段AC上，
所以 \angle A B D+\angle E B C=180°. 所以 \angle A B D=\angle E B C=90° 票
所以 A C\bot B D .
(3)A D\bot C E 理由如下：
延长 C\mathbb{E} 交 _{A D} 于点 \varPsi
因为 \Delta A B D\cong\Delta E B C
所以 \angle D=\angle C
因为 \angle C E B=\angle D E F
所以 \angle D F E=\angle C B E=90° 业
所以 A D\bot C E

4.3.2全等三角形的判定定理(边角边)

基础题

知识点边角边

1.如图，要使 \triangle A B C{\cong}\triangle A D C ，只需满足条件 （D

A. A B{=}A D ， \angle B=\angle D B. A B{=}A D ， \angle3=\angle4 C. B C=D C,\angle1=\angle2 D. A B=A D ， \angle1=\angle2

2.如图，已知 \angle A B C=\angle B A D ，只需添加条件B C=A D （只填一个条件），就可以用“边角边"判定 \triangle A B C{\cong}\triangle B A D

第2题图

第3题图

3. 新考向 真实情境在生物实验课上,老师布置了“测量雉形瓶底面内径”的任务.小亮同学想到了以下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒 A D,B C 的中点 O 固定，利用全等三角形的判定与性质，测得点 \mathbf{\Psi}_{C},D 之间的距离 C D= 10\cm ，则 A B 的长度为10 cm.

4.如图，已知 A B\perp B D ，垂足为 B,E D\bot B D ，垂 足为 D ， A B=C D ， B C=D E ， \angle A=25° ，则 \angle E=65°

第4题图

第5题图

5.如图，点 D,E,F,B 在同一条直线上， \angle A= \angle C,A B=C D A E{=}C F 若 B D=10 ， D E= 3.5，则 {D F}=\quad6.5

6.（2024·云南）如图，在 \triangle A B C 和 \triangle A E D 中，\scriptstyle1B=A E,\angle B A E=\angle C A D,A C=A D. 求证：

\triangle A B C{\cong}\triangle A E D.
证明：因为 \angle B A E=\angle C A D
所以 \angle B A E+\angle C A E=\angle C A D+\angle C A D \angle C A E
即 \angle B A C=\angle E A D.
在 \triangle A B C 和 \triangle A E D 中，
\left\{\begin{array}{l l}{{A B=A E,}}\\ {{\angle B A C=\angle E A D,}}\\ {{A C=A D,}}\end{array}\right.
所以△ABCAED（边角边）.

7 A石家庄外国语校本经典题 如图， A B=A C A D{=}A E B D 与 C E 交于点 O. 求证： \angle B= \angle C.

证明：在 \triangle A D B 和 \triangle A E C 中，\left\{\begin{array}{l l}{A B=A C,}\\ {\angle A=\angle A,}\\ {A D=A E,}\end{array}\right.
所以△ADB△AEC(边角边）.所以 \angle B=\angle C.

易错点误用“边边角”判定三角形全等

8.如图， A D 平分 \angle B A C,B D=C D ，则 \angle B 与\angle C 相等吗？为什么？

解：相等.理由：
因为 A D 平分 \angle B A C ”
所以 \angle B A D=\angle C A D
在 \triangle A B D 和 \triangle A C D 中，
{}_{\DeltaA D=A D} ，
\angle B A D=\angle C A D.
\scriptstyle{\left|{B D=C D}\right.} ，
所以 \triangle A B D{\cong}\triangle A C D （边角边）.
所以 \angle B=\angle C
以上解答是否正确？若不正确，请说明理解：不正确.理由：错用“边边角”来证明两个三全等， \angle B A D 不是 B D 与 A D 的夹角， \angle C A D 也不是c D 与 A D 的夹角。

中档题

9.（2023·株洲天元区期末）如图所示， A B= A C,A D=A E,\angle B A C=\angle D A E,\angle1=25 ， \angle2=30° ，则 \angle3=55°

第9题图

第10题图

10.如图， C A 平分 \angle D C B,C B=C D,D A 的延长 线交 B C 于点 E .若 \angle E A C=49° ，则 \angle B A E 的度数为 82°

11. A|清华附中校本经典题如图，已知 \triangle A B C{\cong} \triangle A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime} ， A D ， bf{it{A}}^{\prime}bf{it{D}}^{\prime} 分别是 \triangle A B C ，\triangle A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime} 的中线，则 A D 与 A^{\prime}D^{\prime} 有什么数量关系？证明你的结论.

解 :A D=A^{\prime}D^{\prime}
证明：因为 \triangle A B C\cong
\triangle A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}
所以AB=A'B'，BC=
B D C B' DB^{\prime}C^{\prime} ,\angle B=\angle B^{\prime}
因为 A D,A^{\prime}D^{\prime} 分别是△ABC, \triangle A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime} 的中线，所以 B D{=}(1)/(2)B C,B^{\prime}D^{\prime}{=}(1)/(2)B^{\prime}C^{\prime},
所以 B D=B^{\prime}D^{\prime}
在 \triangle A B D 和 \triangle A^{\prime}B^{\prime}D^{\prime} 中，
\mathbf{\nabla}_{(A B=A^{'}B^{'}}
\angle B=\angle B^{\prime}
\left\vert B D=B^{\prime}D^{\prime}\right.
所以AI B D\cong\triangle A^{\prime}B^{\prime}D^{\prime} （边角边).
所以 A D=A^{\prime}D^{\prime} ，

12.（2023·株洲录口区期末）如图，在 \triangle A B C 中， D 是边 B C 上的一点， \scriptstyle A B=D B,B E 平分\angle A B C ,交边 A C 于点 E ，连接 D E .

(1)求证： \triangle A B E{\cong}\triangle D B E 共
(2)若 \angle A=100° ， \angle C=50° ，求 \angle A E B 的度数.解：（1)证明：因为BE平分\angle A B C
所以 \angle A B E=\angle D B E
在 \triangle A B E 和 \triangle D B E 中，
{\bf\nabla}_{(A B=D B} ，
\scriptstyle\angle A B E=\angle D B E,
B E=B E
所以△ABEDBE（边角边）.
(2)因为 \angle A=100°,\angle C=50°
所以 \angle A B C=180°-\angle A-\angle C=30°.
因为 B E 平分 \angle A B C
所以 \angle A B E=\angle D B E=(1)/(2)\angle A B C=15°.
在 \triangle A B E 中 \angle A E B=180°-\angle A-\angle A B E=180°
-100°-15°=65°

综合题

13. A石家庄外国语校本经典题 如图，在 \triangle A B C 中 .A B{=}A C,P 是平面上的任意一点，将 A P 绕点 A 顺时针旋转得到 A Q ，使 \angle Q A P= \angle B A C ，连接 B Q,C P

(1)如图1，若点 P 在 \triangle A B C 的内部，则BQ与 C P 相等吗？若相等，请给出证明；

(2)如图2，若点 P 在 \triangle A B C 的外部，则BQ 与 C P 相等吗？若相等，请给出证明.

图1

图2

解 :(1)B Q=C P
证明：因为 \angle Q A P=\angle B A C
所以 \angle Q A P-\angle B A P=\angle B A C-\angle B A P, 即 \angle Q A B=\angle P A C.
由旋转的性质，得 A Q=A P
在△AQB和 \triangle A P C 中 \left\{\begin{array}{l l}{AQ=A P,}\\ {\angle Q A B=\angle P A C,}\\ {A B=A C,}\end{array}\right. 所以 \Delta A O B\cong\Delta A P C 边角边).
所以 B Q{=}C P
(2)B Q=C P.
证明：因为 \angle Q A P=\angle B A C 车
所以 \angle Q A P+\angle B A P=\angle B A C+\angle B A P, 即 \angle Q A B=\angle P A C.
由旋转的性质，得 \scriptstyle A Q=A P 费
在 \triangle A Q B 和△APC中， \left\{\begin{array}{l}{{A Q=A P,}}\\ {{\angle Q A B=\angle P A C,}}\\ {{A B=A C,}}\end{array}\right. 所以 \triangle A Q B{\cong}\triangle A P C( 边角边).
所以 B Q=C P

4.3.3全等三角形的判定定理（角边角、角角边)

基础题

知识点1用“角边角”判定三角形全等

1.如图， A B 与CD相交于点 O,\angle A=\angle B ，A O{=}B O ，又因为 \angle A O C= BOD，所以\triangle A O C{\cong}\triangle B O D ,其判定依据是 角边角

第1题图

第2题图

2.如图， A E{=}D F ， \angle A=\angle D ,则只要添加一个条件： \angle E=\angle F ，就能直接利用“角边角”判定 \triangle A C E{\cong}\triangle D B F

3 A|石家庄外国语校本经典题如图所示， A,C ，E,F 四点共线， \angle A=\angle F C D ， A B=C D ，\angle B=\angle D. 求证： \triangle A B E{\cong}\triangle C D F

证明：在 \triangle A B E 和 \triangle c D F
中
\angle A=\angle F C D
\scriptstyle A B=C D ，
\angle B=\angle D
所以 \triangle A B E{\cong}\triangle C D F( 角边角

4.（2024·攀枝花）如图， A B//C D,A E//C F ，B F{=}D E. 求证： A B{=}C D

证明：因为 A B//C D,A E//C
_{C F} ，
所以 \angle B=\angle D,\angle A E B=
\angle C E D .
因为 B F{=}D E ，
所以 B\bar{x}+\bar{x}\bar{x}=D E+\bar{x}\bar{x}. 即 B√(c)=D√(c) 在 \triangle A B E 和 \triangle C D F 中，
\angle B=\angle D E
B E{=}D F ，
\angle A E B=\angle C F D
所以△ABE△CDF（角边角）.
所以 \scriptstyle A B=C D

知识点2用“角角边”判定三角形全等

5.如图，点 _{B,C} 在 A D 上， \scriptstyle\angle A=\angle F B D,C E= D F ，则添加下列一个条件后能直接利用“角角边"判定 \triangle A E C{\overset{\circ}{=}}\triangle B F D 的是 （A）

A. \angle E=\angle F B \scriptstyle\mathbf{\partial}.A E=B F 4 \therefore A C=B D D. A B{=}B C

6.如图，画一条线段 A B ，以 _{A B} 为边作 \triangle A B C 其中 B C=4 ，延长 A C 到点 D ，使得 C D{=}A C 延长 B C 到点 E ，连接 D E. 若 \angle C E D=\angle B ，则C E 的长为 (C)

A.2 B.3 C.4 D.6

第6题图

第7题图

7.如图， A B=A E,\angle A B C=\angle A E D,\angle A C B= \angle A D E. 若 \angle B A E=56° ，则 \angle C A D 的度数为 56°

8.（2024·镇江改编）如图， \angle C=\angle D=90° ， \angle C B A=\angle D A B. (1)求证： \triangle A B C{\cong}\triangle B A D (2)若 \angle D A B=70° ，求 \angle C A B 的度数.

解：（1）证明：在 \triangle A B C 和
\triangle B A D 中，
\angle C=\angle D
\scriptstyle\bigcup{C B A}=\angle D A B,
\mathbf{\ensuremath{\vertAB=BA}} ，
所以△ABCBAD（角角边）
（2）因为△ABCBAD， \angle D A B=70°
所以 \angle C B A=\angle D A B=70°
所以 \angle C A B=180°-\angle C-\angle C B A =180°-90°-70° =20°

中档题

9.如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就画出了另外一个与原来完全一样的三角形，判定这两个三角形全等的依据是角边角

第9题图

第10题图

10.（2024·长沙青竹湖湘一外国语期末）如图，在 \triangle M P N 中， H 是高 M Q 和NR的交点，且 P M{=}H N. 已知 M H{=}2 ， P Q=3 ,则QN的长为_5·

11.如图，在 \triangle A C D 中， \angle C A D=90° ， A C=6 ，A D{=}8,A B//C D,E 是 C D 上一点， B E 交A D 于点 F .若 A B{=}D E ,则图中阴影部分的面积为24

12.如图，在 \triangle A B C 和 \triangle A D E 中， \angle C=\angle E ，\scriptstyle A C=A E ， \angle1=\angle2,A D,B C 相交于点 F ：

(1)求证： \triangle A B C{\cong}\triangle A D E (2)若 A B//D E,\angle D=30° ，求 \angle A F B 的度数

解：(1)证明：因为 \angle1=\angle2
所以 \angle1+\angle C A D=\angle2+
\angle C A D ，
即 \angle C A B=\angle E A D A B在 \triangle A B C 和 \triangle A D E 中，
\angle C=\angle E 费
\scriptstyle{A C=A E} ，
\angle C A B=\angle E A D.
所以 \triangle A B C{\cong}\triangle A D E( （角边角）.
(2)因为 A B//D E ，所以 \angle1=\angle D=30° 。
因为ABCADE，所以 \angle B=\angle D=30°
所以 \angle A F B=180°-\angle1-\angle B=180°-30°-30°=120°.

综合题

13. A石家庄外国语校本经典题 如图， \triangle A B C\cong \triangle A D E,B C 与 D E 相交于点 F ，连接 C D ， \boldsymbol{{\mathit{E B}}} ：

(1)请直接写出图中其他的全等三角形；(2)求证： C F{=}E F

解：（1） \Delta A C D\cong \triangle A E B ， \triangle C D F IS\triangle E B F

（4)证明:ADLC
\triangle A D E ，
所以 A C=A E,A D=A B,\angle C A B=\angle E A D,\angle A C B {\bf\xi}=\angle A E D.
所以 \angle C A B-\angle D A B=E A D-\angle D A B
即 \angle C A D=E A B
在 \triangle A D C 和 \triangle A B E 中，
\scriptstyle\mathbf{1}\mathbf{C}=A E E
\angle C A D=\angle C A B
\scriptstyle\left\lfloor_{A D=A B}\right.
所以△ADC△ABE(边角边）.
所以 D C=B E 家 \angle A C D=\angle A E B.
所以 \angle A C B-\angle A C D=\angle A E D-\angle A E B,
即 \angle D C F=\angle B E F.
在 \triangle D C F 和 \triangle B E F 中
\left\{\begin{array}{l l}{\angle C F D=\angle E F B,}\\ {\angle D C F=\angle B E F,}\\ {D C=B E,}\end{array}\right.

所以△DCF△BEF（角角边）.
所以 C F{=}E F

4.3.4全等三角形的判定定理(边边边)

基础题

知识点1边边边

1.如图，已知 B C=B D ” A C=A D ，则 \triangle A B C 与 \triangle A B D 全等的依据是 ( D

A.边角边 B.角边角 C.角角边 D.边边边

2.如图，已知 A D{=}C B ,若利用“边边边"定理来判定\triangle A B C{\cong}\triangle C D A 则需要添加的条件是（A）

A. A B{=}C D B. A C=A D
C. A C{=}B C D. A B{=}A C

第2题图

第3题图

3.（2024·衡阳期末改编）如图， A B=A D ， C B= \boldsymbol{C D} ， \angle B=30° ，则 \angle D 的度数是 （A）

A. {30}° B.60° C.45° D. 15°

4.如图，下列三角形中，与 \triangle A B C 全等的是③ (填序号).

5.在 \triangle A B F 与 \triangle D C E 中，已知 A B{=}10\cm,B F{=} ~7~cm,A F{=}5~cm,D C{=}10~cm,C E{=}7~cm, 则当\scriptstyle D E={\mathfrak{s}}\ {cm} 时， \triangle A B F{\cong}\triangle D C E.

6.（2024·内江改编）如图，点 A,D,B,E 在同一条直线上， A D=B E,A C=D F B C=E F 求证： \triangle A B C{\cong}\triangle D E F

证明：因为 A D=B E
所以 A D+B D=B E+B D ，
即 A B=D E
在 \triangle A B C 和 \triangle D E F 中，
{\bf\nabla}_{(A B=D E} ，
\scriptstyle\ j_{A C}=D F
\scriptstyle\left\lfloor B C=E F\right. 务
所以△ABC△DEF（边边边）.

7.（2023·西藏）如图，已知 A B=D E,A C=D C C E{=}C B. 求证： \angle1=\angle2

证明：在 \triangle A B C 和 \triangle D E C
中
{\bf\nabla}_{(A B=D E} ，
A C=D C
\scriptstyle\left\lfloor C B=C E\right. ，
所以 \triangle A B C\cong\triangle D E C
(边边边).
所以 \angle A C B=\angle D C E ，
所以 \angle A C B-\angle A C E=\angle D C E-\angle A C E 即 \angle1=\angle2

8. A人大附中校本经典题如图，这是一个平分角的仪器，其中 A B=A D,B C=D C, 将点 A 放在角的顶点， A B 和 A D 沿着角的两边放正，沿 A C 画一条射线 A E,A E 就是角平分线，请说明它的道理.

解：在 \triangle A B C 和 \triangle A D C 中，
\mathbf{\nabla}_{(A B=A D} ，
{\big\angle}B C=D C,
\scriptstyle\left\lfloor A C=A C
所以△ABC△ADC（边边边）.所以 \angle B A C=\angle D A C
即 A E 平分 \angle B A D 业

知识点2三角形的稳定性

9.下列图形不具有稳定性的是 A

A.正方形 B.等腰三角形C.直角三角形 D.钝角三角形

10.（2023·吉林）如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是三角形的稳定性

中档题

11.如图,已知 A B=A C,B D=C D,E 是 A D 上的一点，则下列结论中不成立的是 （D）

A. \angle B A D=\angle C A D
B. \angle B E D=\angle C E D
C. B E{=}C E
D. A E{=}D E

12.如图，点 c,E 分别为\triangle A B D 的边 B D,A B 上两点，且 A E=A D ， C E= C D ， \angle D=70° ,ZECD={150}° ，则 \angle B 的度数为{40}°

13.（2024·岳阳期中）如图， C 为 B E 上一点，A B{=}A C,B E{=}C D.

(1)请补充条件： A E=A D _，并用“边边边"证明 \triangle A B E{\cong}\triangle A C D ：
(2)在(1)的条件下，若 \angle B A C=40° ，求 \angle D A E 的度数；
(3)在(1)的条件下，求证： \angle D C E=\angle B A C
解：(1)补充 :A E=A D 北
证明：在 \triangle A B E 和 \triangle A C D 中，
\mathbf{\nabla}_{C}A\mathbf{E}=A D ，
\scriptstyle A B=A C
B\scriptstyle{\mathbb{E}}=C D ，
所以△ABE△ACD(边边边）
(2)因为 \Delta A B E\cong\Delta A C D
所以 \angle B A E=\angle C A D
因为 \angle B A E=\angle B A C+\angle C A E,\angle C A D=\angle D A E+
\angle C A E ，
所以 \angle D A E=\angle B A C=40° ，
(3)证明：因为 \triangle A B E{\cong}\triangle A C D
所以 \angle B=\angle A C D 费
因为 \angle B A C+\angle B+\angle A C B=\angle D C E+\angle A C D+
\angle A C B=180° ，
所以 \angle D C E=\angle B A C

14.如图， A B=A C,C E 与 B{\cal F} 相交于点 D ，且B D=C D 求证： D E{=}D F ：

证明：连接 A D 业
在 \triangle A B D 和 \triangle A C D 中，
\mathbf{\nabla}_{C}A D=A D
\scriptstyle{\left|{A B=A C}\right.}
scriptstyle\left(B D=C D\right.
所以△ABD△ACD（边边边）.所以 \angle B=\angle C
在 \triangle B D E 和 \triangle C D F 中，
\angle B=\angle C
B D=C D ，
\angle B D E=\angle C D F,
所以 \triangle B D E{\overset{\circ}{=}}\triangle C D F( 角边角）.所以 D E=D F

综合题

15.【初步探索】

(1)如图1，在四边形 A B C D 中， A B=A D \angle B=\angle A D C=90°,E,F 分别是 B C,C D 上的点，且 E F=B E+F D ，探究图中\angle B A E ， \angle E A F ， \angle F A D 之间的数量关系.小王同学探究此问题的方法如下：延长F D 到点 G ，使 D G=B E ，连接 A G ，先证明 \triangle A B E\cong\triangle A D G ，再证明 \triangle A E F\cong \triangle A G F ,可得出结论，他的结论应是\angle B A E+\angle F A D=\angle E A F

【灵活运用】

(2)如图2，若在四边形 A B C D 中， A B{=}A D ，\angle B+\angle D=180°,E,F 分别是 B C,C D 上的点，且 E F=B E+F D ,则（1)中的结论是否仍然成立？并说明理由.

图1

图2

解：结论仍然成立.理由如下：
延长 \mathbf{\Delta}F D 到点 G ，使 D G=B E ，连接AG.
因为 \angle B+\angle A D F=180° ,ADG+/ADF=180°，所以 \angle B=\angle A D G
在ABE和ADG中 \scriptstyle*{\left\{\begin{array}{l l}{A B=A D,}\\ {\angle B=\angle A D G,}\\ {B E=D G,}\end{array}\right.}
所以△ABE△ADG（边角边）.
所以 \angle B A E=\angle D A G,A E=A G.
所以 E F=B E+F D=D G+F D=G F.
\begin{array}{r}{\left\{\begin{array}{l l}{\bar{\boldsymbol{E}}\bar{\boldsymbol{F}}=\boldsymbol{G}\bar{\boldsymbol{F}},}\\ {\bar{\boldsymbol{A}}\bar{\boldsymbol{E}}=\boldsymbol{A}\boldsymbol{G},}\\ {\boldsymbol{A}\bar{\boldsymbol{F}}=\boldsymbol{A}\bar{\boldsymbol{F}},}\end{array}\right.}\end{array}
在 \triangle A E F 和 \triangle A G F 中

所以△AEF△AGF（边边边）.
所以 \angle E A F=\angle G A F=\angle D A G+\angle F A D=\angle B A E +\angle F A D,

4.3.5全等三角形的应用

基础题

知识点 全等三角形的应用

1. 新考向真实情境图1是一乐谱架，利用立杆可进行高度调节，图2是底座部分的平面图，其中支撑杆 A B=A C,E,F 分别为 _{A B} ，A C 的中点， E D,F D 是连接立杆和支撑杆的支架，且 E D=F D ，立杆在伸缩过程中，总有\triangle A E D{\cong}\triangle A F D ，其判定依据是 （B）

图1

图2

A.边角边B.边边边C.角边角D.角角边

2.花瓶一般瓶口较小，内部难以直接测量.如图，为测量花瓶内底的宽，可以将AC，B D 两根木条的中点重合（即 A O{=}C O,B O{=}D O) ，然后将它们的一端同时放人花瓶内底，再充分张开.此时，只需测量点_D与点_C之间的距离，即为该花瓶内底的宽.

3.太阳能热水器（图1)环保节能，安全可靠，维护简单，倍受人们的喜爱.它的支架我们可以看作 Rt\triangle A B C （图2），其中 \angle C=90° ,为增强其牢固性，增加了支架 {D E},A D ，已知 D E\bot A B ，且 \angle D A C=\angle D A E. ，求证： \triangle A D C\cong \triangle A D E ：

图1

图2

证明：在 \mathbf{Rt}\triangle A B C 中， \angle C=90° ，因为 D E\bot A B ，
所以 \angle D E A=\angle C=90°.
在 \triangle A D C 和 \triangle A D E 中，
\angle C=\angle D E A ，
\angle D A C=\angle D A E,
\scriptstyle\left\lfloor A D=A D\right\rceil ，
所以△ADC△ADE（角角边）.

4.绍兴的崧厦素有“中国伞城”之誉称.伞业公司制作的纸伞，其工艺十分巧妙.如图，伞不论张开还是收拢，如果伞柄 A P 始终平分同一平面内两条伞骨所成的 \angle B A C ，就能保证伞圈 D 能沿着伞柄 A P 滑动.已知 A E=A F ，D E{=}D F. 求证：点 D 必定在 A P 上.

证明：在 \triangle A E D 和 \triangle A F D 中，
\scriptstyle(A E=A F
\scriptstyle{(1)/(D E)}=D F
\scriptstyle\left\lfloor A D=A D\right\rceil ，
所以△AED△AFD(边边边）.
所以 \angle D A E=\angle D A F.
所以 _{A D} 平分 \angle B A C
因为伞柄 _{A P} 始终平分同一平面内两条伞骨所成的角 \angle B A C
所以点 D 必定在 A P 上.

5 A石家庄外国语校本经典题要测量河岸两侧A,B 两点之间的距离（如图），小明同学想出了一种方法：可以在 _{A B} 的垂线 B{\cal F} 上取两点\boldsymbol{C},\boldsymbol{D} ，使 C D{=}C B ；再画出 B{\cal F} 的垂线 D E ，使点 A,C,E 在同一条直线上，这时测得的DE的长就是 A B 的长.你认为小明同学得到的结果正确吗？为什么？

解：正确.理由如下：
因为 A B\bot B F,D E\bot B F.
所以 \angle A B C=\angle E D C=90°.
在 \triangle A B C 和 \triangle E D C 中
\angle A B C=\angle E D C,
B C=D C 费
\angle A C B=\angle E C D,
所以△ABC△EDC（角边角）.所以 A B=E D
所以测得的 DE 的长就是 A B 的长

中档题

6.如图，小明与小红玩跷跷板，支点 o 是跷跷板的中点，两人分别坐在跷跷板的两端（即 O F= OG)，点 O 距地面的高度是 60~cm. 当小明从水平位置 C D 上升 15\cm 时，小红距地面的高度是45 cm.

第6题图

第7题图

7.小名用同种材料制成的金属框架如图所示，已知 \angle B=\angle E ， A B=D E ， B{\cal F}=E{\cal C} ，其中\triangle A B C 的周长为 24\cm,C F{=}3\cm ，则制成整个金属框架所需材料的长度为_45 cm.

8. 新考向传统文化风筝又称“纸鸢”“风鸢”等，起源于中国东周春秋时期，距今已有2000多年的历史.如图，这是一款风筝骨架的简化图，需在骨架上面铺上一层布料.已知 A B=A D ， B C=C D ， A C=90~{cm} ，B D{=}60~cm ,则制作这个风筝需要的布料的面积至少为 2~700~cm^{2}

9. A华师二附中校本经典题课间，小明和小聪在操场上突然争论起来，他们都说自已比对方长得高.这时数学老师走过来，笑着对他们说：“你们不要争了，其实你们一样高，瞧瞧地上，你俩的影子一样长！”你知道数学老师为什么能通过他们的影长相等就断定他们的身高相同吗？请运用全等三角形的有关知识说明其中的道理.（已知太阳光线都是平行的，且小明和小聪均直立在地面上)

解：已知：如图， A B\bot a 于点 B,C D\bot a 于点 \mathbf{δ}_{D,A M//}
C N,B M{=}D N.
求证 :A B=C D ，
证明：因为 A B\bot a,C D\bot a 费
所以 \angle A B M=\angle C D N=90°.
因为 A M//C N 所以 \angle A M B=\angle C N D
在 \triangle A B M 和 \bigtriangleup C D N 中，
\angle A B M=\angle C D N.
B M=D N
\angle A M B=\angle C N D,

所以 \triangle A B M{\cong}\triangle C D N(角边角）.所以 A B=C D

综合题

10. 新考向真实情境根据以下素材，探索完成任务.

解：任务 1:\Delta B D\cong\Delta C O E 理由如下：
因为 B D\bot O A,C E\bot O A
所以 \angle B D O=\angle O E C=90°.
又因为 \angle B O C=90° ，
所以 \angle B O D+\angle E O C=90°,\angle B O D+\angle D B O=90°. 所以 \angle D B O=\angle E O C.
在 \triangle{O B D} 和 \triangle C O E 中，
(\angle B D O=\angle O E C,\angle B E C,
\angle D B O=\angle E O C
\scriptstyle\left|O B=C O\right.
所以 \triangle{O B D}\cong\triangle C O E （角角边）.
任务2：设 o A 的延长线与地面交于点 M ，则 D M= {\bf1}\ m
由任务1可知， \triangle O B D\cong\triangle C O E
所以 O E{=}B D{=}1.4~m,O D{=}C E{=}1.8~m.
所以 \scriptstyle{E M=O D+D M-O E=1,8+1-1,4=1,4} (m).
所以小丽距离地面 1.4~m~ 票

小专题 10全等三角形的基本模型(一)

类型1平移模型

1. A华师二附中校本经典题如图， A B=D E ， A C//D F,B C//E F. 求证： \triangle A B C{\cong}\triangle D E F

证明：因为 A C//D F,B C//E F,
所以 \angle A=\angle F D E \angle C B A=
\angle E.
在 \triangle A B C 和 \triangle D E F 中，
(A=FDE,
AB=DE,
\angle C B A=\angle E
所以ABCDEF（角边角）

类型2翻折模型

模型展示

2.如图，在 \triangle A D E 和 \triangle B C F 中， A,C,D,B 四点在同一条直线上， \scriptstyle A C=B D,A E=B F,D E=C F.

(1)求证： \angle E=\angle F (2)若 \angle F=38° ” \angle A=104° ，求 \angle E G C 的度数.

解：(1)证明：因为 \scriptstyle A C=B D E F 所以 A C+C D=B D+C D ，
即 A D=B C
在 \triangle A D E 和 \triangle B C F 中，
(A D=B C A C D B\mathbf{A}\mathbf{E}{=}\mathbf{B}\mathbf{F} ，
\scriptstyle\left|D E=C F\right. ，
所以△ADE△BCF(边边边）.
所以 \angle E=\angle F
(2)由 (1) 知 \Delta A D E\cong\Delta B C F, 所以 \angle E=\angle F=38° \angle A D E=\angle B C F
所以 \angle A D E=180°-\angle E-\angle A=38°.
所以 \angle A D E=\angle B C F=38°
所以 \angle E G C=\angle A D E+\angle B C F=76°.

类型3旋转模型

3.（2023·陕西）如图，在 \triangle A B C 中， \angle B=50° ，\angle C=20° .过点 A 作 A E\bot B C ，垂足为 E ，延长 E A 至点 D ，使 A D=A C ，在边 A C 上截取A F=A B ，连接 D F_{\l} 求证： D F{=}C B

证明：在 \triangle A B C 中 ,\angle B=50°,\angle C
{\bf\Gamma}=2{\bf0}° ，
所以 \angle C A B=180°-\angle B-\angle C=
110°
因为 A E\bot B C ，所以 \angle A E C=90°
所以 \angle D A F{=}\angle A E C+\angle C{=}110°.
所以 \angle D A B=\angle C A B
在 \triangle D A F 和 \triangle C A B 中，
{\bf\nabla}_{(A D=A C)}
\angle D A F=\angle C A B,
\scriptstyle\left\lfloor A F=A B\right
所以△DAFCAB（边角边）.所以

4.如图，在 \triangle A B C 中， D 是边 _{A B} 上一点， E 是边 A C 的中点，过点 C 作 C F//A B ，交 D E 的延长线于点 F

(1)求证： \triangle A D E{\cong}\triangle C F E (2)若 A B{=}A C,C E{=}10,C F{=}14 ，求 D B 的长.

解：(1)证明：因为 E 是边 A C 的中点，
所以 A E{=}C E
因为 C F//A B ，所以 \angle A D E=\angle F.
在 \triangle A D E 和 \triangle C F E 中，
\angle A D E=\angle F,
\angle A E D=\angle C E F,
\scriptstyle\left\lfloor{A E=C E}\right ，
所以 \Delta A D E\cong\Delta C F E( 角角边).
(2)因为 \triangle A D E{\cong}\triangle C F E, 所以 \scriptstyle{A D=C F=14} 因为 E 是边 A C 的中点，所以 A C=2C E=20 ，因为 \scriptstyle A B=A C ，所以 A B=20
所以 D B=A B-A D=20-14=6.

小专题 11全等三角形的基本模型(二)

类型1手拉手模型

模型展示

模型特点： ① 两个顶角相等的等腰三角形（如图，等腰三角形ABC，等腰三角形ADE); ② 将等腰三角形ABC绕着点A旋转； ③ 将两个底角的顶点相连（如图，连接B D,C E ，称为“拉手线”).

注意：左手拉左手，右手拉右手！

结论： ①\triangle A D B{\cong}\triangle A E C ② 拉手线相等： B D{=}C E

1.如图，已知 A B=A C ， A D=A E ， \angle B A C= \angle D A E ，且 B,D,E 三点共线.求证： \angle3= \angle1+\angle2 ：

证明：因为 \angle B A C=\angle D A E 费
所以 \angle D A C+\angle B A D=\angle D A C+
\angle1 ，
所以 \angle B A D=\angle1 电
在 \triangle A B D 和 \triangle A C E 中，
A B=A C
\angle B A D=\angle1 费
\scriptstyle(A D=A E ，
所以△ABD△ACE（边角边）.
所以 \angle A B D=\angle2 电
所以 \angle3=\angle B A D+\angle A B D=\angle1+\angle2.

2.已知在 \triangle A B C 和 \triangle C D E 中， C A=C B,C D= C E,\angle A C B=\angle D C E=α,A E 与 B D 交于点 F. (1)如图1,当 α{=}90° 时，求证：①\triangle A C E{\cong}\triangle B C D; ②A E\perp B D.

(2)如图2,当 α={60}° 时，直接写出 \angle A F B 的度数为 {60}°

(3)如图3，直接写出 \angle A F D 的度数为 180°一α（用含 α 的代数式表示).

图1

图2

图3

证明： ① 因为 \angle A C B=\angle D C E=90°
所以 \angle A C B+\angle B C E=\angle D C E+\angle B C E 即 \angle A C E=\angle B C D
又因为 A C=B C,C E=C D
所以 \Delta A C E\cong\Delta B C D( 边角边).
② 因为△ACEBCD，
所以 \angle C A E=\angle C B D
因为 \angle C A E+\angle E A B+\angle A B C=90° 所以 \angle C B D+\angle E A B+\angle A B C=90°\angle B A C=90° 所以 \angle A E B=90°
所以 A E\bot B D

类型2三垂直模型

模型展示

已知 \scriptstyle A,B,C 三点共线，且 \angle1=\angle2=\angle3=\left\{\begin{array}{l l}{\begin{array}{r l r}\end{array}}\end{array}\right. 90%.

3.如图，在 Rt\triangle A B C 中， \angle A B C=90° ，点 D 在B C 的延长线上，且 B D{=}A B ，过点 B 作 B E\bot A C ，与 B D 的垂线 D E 交于点 E .若 A B=5 ，D E{=}2.2 ，则 C D=2.8

4.如图，在 \triangle A B C 中， \angle A C B=90° ， A C{=}B C ，直线 M N 经过点 C ，且 A D\perp M N 于点 D ， B E\bot M N 于点 E

(1)当直线 M N 绕点 C 旋转到图1的位置时，试问 D E,A D,B E 具有怎样的等量关系？并加以证明；

(2）当直线 M N 绕点 C 旋转到图2的位置时，D E,A D,B E 具有怎样的等量关系？（请直接写出这个等量关系，不需要证明）

图1

图2

解 :(1)D E{=}A D{-}B E.
证明：因为 A D\perp M N,B E\perp M N,
所以 \angle A D C=\angle C E B=\angle A C B=90°
所以 \angle A C D+\angle B C E=\angle C B E+\angle B C E=90°. 所以 \angle A C D=\angle C B E.
在 \triangle A D C 和 \triangle C E B 中，
\angle A D C=\angle C E B,
\angle A C D=\angle C B E
\scriptstyle\left\lfloor_{A C=C B}\right. ，
所以△ADC△CEB（角角边）.
所以 A D=C E,D C=B E.
所以 D E{=}C E{-}C D{=}A D{-}B E.
(2)D E=B E-A D.

类型3一线三等角模型

模型展示

已知 A,P,B 三点共线，且 \angle1=\angle2=\angle3 ，和任意一边相等.

(1)点 P 在线段 A B 上：

(2)点 P 在线段 A B 的延长线上：

5. A石家庄外国语校本经典题（1）如图1，在 \triangle A B C 中， \angle B A C=90° A B{=}A C ，直线 \mathbf{\Psi}_{m} 经过点 A ，B D\perp m,C E\perp m ，垂足分别为 D,E. 求证：D E{=}B D{+}C E

(2)如图2，将(1)中的条件改为：在 \triangle A B C 中，A B{=}A C,D,A,E 三点都在直线 \mathbf{\Psi}_{m} 上，并且有 \angle B D A=\angle A E C=\angle B A C=α ,其中 α 为任意锐角或钝角，请问结论 D E{=}B D+ C E 是否成立？若成立，请给出证明过程；若不成立，请说明理由.

图1

图2

解：(1)证明：因为 B D\perp m,C E\perp m
所以 \angle B D A=\angle A E C=90°
所以 \angle B A D+\angle A B D=90° 费
因为 \angle B A C=90° ，
所以 \angle B A D+\angle C A E=90°
所以 \angle A B D=\angle C A E
又因为 A B{=}C A ，
所以△ADB△CEA（角角边）.
所以 B D=A K,A D=C E
所以 D E{=}A E{+}A D{=}B D{+}C E.
(2)结论 D E=B D+C E 成立。
证明：因为 \angle B D A=\angle B A C=α,
所以 \angle A B D+\angle B A D=\angle C A E+\angle B A D=180°-α. 所以 \angle A B D=\angle C A E
又因为 \scriptstyle\angle B D A=\angle A E C,A B=C A E
所以 \triangle A D B{\cong}\triangle C E A( 角角边).
所以 B D{=}A E,A D{=}C E.
所以 D E{=}A E{+}A D{=}B D{+}C E.

小专题12全等三角形中常见辅助线的作法

教材P120习题T14的运用及拓展

方法1用连接法构造全等三角形

【例1】（教材P120习题T14)如图，已知A B{=}A E ， B C=E D ， \angle B=\angle E,F 是 C D 的中点.求证： A F\bot C D ，

【思路点拨】连接 A C,A D ，利用“边角边”证明 \triangle A B C{\cong}\triangle A E D ，得 A C=A D ，再根据等腰三角形“三线合一”得 A F\bot C D

【解答】 证明：连接 A C AD.在 \triangle A B C 和 \triangle A E D 中，\scriptstyle(A B=A E \angle B=\angle E B C=E D ，所以△ABC△AED(边角边）.所以 \scriptstyle A C=A D 又因为 \varPsi 是 c{\cal D} 的中点，所以 A F\bot C D

方法指导

作辅助线构造全等三角形，把“零乱”的边角关系“集中”到一起，从而使问题得到解决.

变式训练

1.如图， A B=A C,B D=C D,D E\bot A B 于点 E ，D F\bot A C 于点 F .求证： D E{=}D F

证明：连接 A D
在 \triangle A C D 和 \triangle A B D 中，
\scriptstyle\mathbf{A}C=A B ，
C D=B D
\ensuremath{\left\vert A D=A D\right.} ，
所以△ACD△ABD(边边边）所以 \angle C A D=\angle B A D
又因为 D E\bot A E,D F\bot A F,
所以 \angle E=\angle F=90°
在 \triangle D E A 和 \triangle D F A 中，
\angle E=\angle F
\angle E A D=\angle F A D,
\angle A D=\angle A D ，
所以 \triangle D E A{\cong}\triangle D F A( 角角边).所以 D E=D F

方法2用截长法或补短法构造全等三角形

【例2】（教材P120新增习题T15变式）如图， A D//B C 点 E 在线段 _{A B} 上， \angle A D E= \angle C D E,\angle D C E=\angle E C B. 求证： \scriptstyle C D=A D+B C.

【解答】 证明：在 C D 上截取 C F=B C 连接 \mathbb{E}\mathbb{F}.

在△FCE和 \triangle B C E 中， A D\scriptstyle\mathbf{C}E=C B \angle F C E=\angle B C E, E C E{=}C E ， F所以 \bigtriangleup FCE△BCE（边角边）.所以 \angle F E C=\angle B E C. B C 因为 A D//B C ，所以 \angle A D C+\angle B C D=180°, 又因为 \angle A D E=\angle C D E,\angle D C E=\angle E C B, 所以 \angle D C E+\angle C D E=(1)/(2)\left(\angle B C D+\angle A D C\right)=
90° 所以 \angle D E C=180°-(\angle D C E+\angle C D E)=90°. 所以 \angle F E C+\angle D E F=90° ， \angle B E C+\angle A E D=
90° 又因为 \angle F E C=\angle B E C ，所以 \angle D E F=\angle A E D 表在 \triangle F D E 和 \triangle A D E 中，\angle F D E=\angle A D E, D E=D E ，\angle D E F=\angle D E A 所以 \triangle F D E{\cong}\triangle A D E( 角边角）.所以 D F{=}D A 非因为 C D=D F+C F 所以 \scriptstyle C D=A D+B C.

方法指导

证明线段的和、差、倍、分等类似的问题时，一般可采用截长法或补短法.

截长：在长线段中截取一段等于另外两条短线段中的一条，然后证明长线段剩下部分等于另一条短线段；

补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段.一般来说，这类题既可用截长法，也可用补短法.

2.如图，在 \triangle A B C 中， \angle A B C=\angle A C B=40° ，B D 是 \angle A B C 的平分线，延长 B D 至点 E ，使{D E}{=}A D. 求证： B C=A B+C E

因为 B D 平分 \angle A B C ，
所以 \angle A B D=\angle F B D.
在 \triangle A B D 和 \triangle F B D
中
{}_{(A B=F B} ，
\angle A B D=\angle F B D,
B D=B D
所以△ABD△FBD（边角边）.
所以 D F=D A=D E,\angle A D B=\angle F D B.
因为 \angle A C B=\angle A B C=40°
所以 \angle A=180°-\angle A B C-\angle A C B=100°,\angle A B D= \angle F B D=20°
所以 \angle A D B=\angle F D B=180°-\angle A-\angle A B D=60°. 所以 \angle E D C=\angle A D B=60°,\angle F D C=180°-\angle A D B -\angle F D B=60° .
所以 \angle F D C=\angle E D C,
在 \triangle D C E 和 \triangle D C F 中，
D E=D F ，
\angle E D C=\angle F D C,
\ D C=D C.
所以 \Delta D C E\cong\Delta D C F( 边角边).
所以 C F{=}C\mathbb{E}.
所以 B C=B F+C F=A B+C E.

方法3用倍长中线法构造全等三角形

【例3】[教材P151新增习题T18（1）变式]某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请解答下列问题.

【探究与发现】

(1)如图 1,A D 是 \triangle A B C 的中线，延长 A D 至点 E ，使 E D=A D ,连接BE.求证： \triangle A C D\cong \triangle E B D

【变式与应用】

(2)如图 2,E P 是 \triangle D E F 的中线， E F=5 ，D E=3 设 E P=x ，求 x 的取值范围；

【理解与感悟】

解题时，若条件中出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中.

【拓展与延伸】

(3)如图 3,A D 是 \triangle A B C 的中线，点 E,F 分别在 _{A B} ， A C 上，且 D E\bot D F .求证： B E+ C F{>}E F ，

图1

图2

图3

【解答】 解：(1)证明：因为 A D 是 \triangle A B C 的中线，
所以 C D=B D 事
在 \triangle A C D 和 \triangle E B D 中 \scriptstyle\int\sum_{C D=B D,}^{A D=E D,}
所以△ACD△EBD（边角边）.
(2)延长 ER 至点 \varrho ，使 P Q=P E ，连接 \mathbf{\Delta}_{XQ}
因为 \mathbf{E}\mathbf{P} 是 \triangle D E F 的中线，所以 \overline{{F}}\overline{{R}}=\overline{{D}}\overline{{P}} {}_{P}P=D P ，
在△PFQ和 \triangle^{p}D\mathbb{E} 中 \angle F P Q=\angle D P E, \scriptstyle{\left|{P Q=P E}\right.} ，
所以△PFQ△PDE（边角边）.
所以 F Q=D E=3
在 \triangle E F Q 中 ,E F-F Q<Q E<E F+F Q
即 5-3<2x<5+3 所以 \scriptstyle1<x<4
(3)证明：延长 W D 至点 ^{G,} 使 D G=D F 连接BG，EG.
因为 A D 是 \triangle A B C 的中线，所以 D C=D B \scriptstyle(D F=D G
在△DFC和 \triangle D G B 中 \angle C D F=\angle B D G, \scriptstyle{\lfloor D C=D B} 1
所以△DFCDGB（边角边）.所以 B G{=}C F 北
因为 D E\bot D F, 所以 \angle F D E=\angle G D E=90°. \scriptstyle(D F=D G ，
在EDF和 \triangle E D G 中 \angle F D E=\angle G D E, \scriptstyle{\left|{D E=D E}\right.} ，
所以△EDFEDG（边角边）.所以 E F{=}E G
在 \triangle B E G 中 ,B E+B G>E G
所以 B E+C F>B F 费

方法指导

在解决三角形中的问题时，要特别注意题目中出现的中点、中线等条件，这些条件一般都是解题的突破口，当无法直接证得时，常作倍长中线（或作过中点的线段），连接端点，构造全等三角形.

变式训练

3.如图，已知 C D=A B ， \angle B A D=\angle B D A ,AE是△ABD的中线.求证： A C{=}2A E ，

证明：延长 A E 至点F，使
\scriptstyle A E=E F, 连接 B\mathbf{F}
因为 \mathbf{\nabla}A E_{\mathbf{θ}} 是 \triangle A B D 的中
线，所以 B\|=D\| B Ei D C 在 \triangle A D E 和 \triangle F B E 中，
\mathbf{\nabla}_{C}A\mathbf{B}=\mathbf{W}\mathbf{B} 费
\angle A E D=\angle F E B, F
D\mathbb{E}=B\mathbb{E}
所以△ADE△FBE(SAS).
所以 B F{=}D A \angle F B E=\angle A D E.
因为 \angle B A D=\angle B D A ，
所以 \angle A B F=\angle A B D+\angle F B E=\angle A B D+\angle A D B= \angle A B D+\angle B A D=\angle A D C
{}_{(A B=C D}
在 \triangle A B F 和 \triangle C D A 中 \angle A B F{=}\angle C D A
B{\bar{y}}{=}D A ，
所以△ABF△CDA(SAS).所以 \scriptstyle A C=A F 费
因为 A F{=}2A E 所以 A C{=}2A E

综合与实践 利用三角形全等测距离

学科实践

为了测量一条两岸平行的河流宽度，两个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点 B 处，测得河北岸的一棵树底部点 A 恰好在点 B 的正北方向，测量方案如下表：

(1)第一小组的方案灵感来源于古希腊哲学家泰勒斯，他们认为河宽 _{A B} 的长就是线段 E F 的长.你认为第一小组的方案可行吗？如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由；

(2)小明同学提出，在第一小组的方案中，并不一定需要 A B\bot B E,E F\bot B E ，只需要 A B//E F ，小明的想法是否可行？请说明理由；

(3)请根据第二小组设计的测量方案，补全测量示意图，并说明方案的可行性，

解：(1)第一小组的方案可行.
证明：因为 \mathbf{\sigma}_{o} 是 B E 的中点，所以 \scriptstyle O B=O E
因为 A B\perp B E,E F\perp B E 所以 \angle A B O=\angle F E O=90°.
在△ABO和FEO中 \scriptstyle{\left\{\begin{array}{l l}{\angle A B O=\angle F E O,}\\ {O B=O E,}\\ {\angle A O B=\angle F O E,}\end{array}\right.}
所以△ABOFEO（角边角）.所以 A B=F E. 所以河宽 A B 的长就是线段 RE 的长。所以第一小组的方案可行，
(2)小明的想法可行.理由：
因为 A B//E F, 所以 \angle A B O=\angle F E O
在△ABO和△FEO中 \scriptstyle{\left\{\begin{array}{l l}{\angle A B O=\angle F E O,}\\ {O B=O E,}\\ {\angle A O B=\angle F O E,}\end{array}\right.}
所以△ABOFEO（角边角）.所以 \mathbf{A}B=\mathbb{E}\mathbb{F}
即 E F 的距离就是 A B 的长.小明的想法可行。
(3）测量示意图如图3所示。
只要测出 B D 的长度，就能推算出河宽 A B 的长度.理由如下：
因为 A B\bot B C 所以 \angle A B C=\angle D B C=90°.
\scriptstyle\left\{{\begin{array}{l}{\angle A B C=\angle D B C,}\\ {B C=B C,}\\ {\angle A C B=\angle D C B,}\end{array}}\right.
在△ABC和△DBC中
所以 \triangle A B C{\cong}\triangle D B C( （角边角）.所以 A B=D B 业
所以河宽 A B 的长就是线段 D B 的长。

图3

章末复习(四) 三角形

湖南考点针对练

考点1三角形的有关概念

1.（2024·长沙立信中学月考）把一根长为12\cm 的铁丝按下列选项中所标长度剪开，剪成的三段首尾顺次相接可以围成三角形的是（D）

2.如图， C D,C E,C F 分别是 \triangle A B C 的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（C）

A. A B{=}2B F \angle A C E{=}(1)/(2)\angle A C B
C. A E{=}B E
D. C D\bot B E

考点2三角形内外角和

3.（2023·徐州）如图，在 \triangle A B C 中，若 D E// B C,F G//A C ， \angle B D E=120° ， \angle D F G=115° ，则 \angle C=55°

第3题图

第4题图

4.（2024·邵阳新宁县期末）将一副三角板按如图所示的方式叠放在一起，则图中 \angleα 的度数是105°

? 考点3命题与证明

5.（2024·益阳沅江市期中）下列选项中，可以用来说明“若 \vert a\vert>\vert b\vert ，则 a>b ”是假命题的反例是 （B）

A. \begin{array}{r l}{a=-3,b=-4~}&{{}B,a=-4,b=3}\end{array} C \begin{array}{c c}{{a=3,b=4~}}&{{~D.a=4,b=3}}\end{array}

6.（2023·衡阳常宁市期中）命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是两个角相等三角形是等腰三角形，它是真命题（填“真”或“假").

考点4全等三角形的性质与判定

7.（2024·邵阳隆回县期中）如图，点 D,E 分别在线段 A B ， A C 上， C D 与 B E 相交于点 O ，已知 A B{=}A C ,则添加以下选项中的条件，仍不能判定 \triangle A B E{\cong}\triangle A C D 的是 （B）

A. \angle B=\angle C B. B E{=}C D
C. B D{=}C E D. A D{=}A E

第7题图

第8题图

8.（2023·成都）如图，已知 \triangle A B C{\cong}\triangle D E F ，点 B,E,C,F 依次在同一条直线上.若 B C=8 ， C E{=}5 ，则 C F 的长为3

9.（2024·长沙）如图，点 c 在线段 A D 上， A B= A D,\angle B=\angle D,B C=D E. (1)求证： \triangle A B C{\cong}\triangle A D E (2)若 \angle B A C=60° ，求 \angle A C E 的度数.

解：（1）证明：在 \triangle A B C 和
\triangle A D E 中，
{}_{i,B C}=D E ，
\angle B=\angle D ，
\scriptstyle\left\lfloor A B=A D\right\rceil ，
所以 \triangle A B C{\cong}\triangle A D E( 边角边）(2)由(1)得 \rightharpoonup A B C{\cong}\triangle A D E
所以 A C=A E,\angle B A C=\angle D A E=60° 所以 \triangle A C E 是等边三角形.
所以 \angle A C E=60°

考点5 等腰三角形

10.（2024·兰州）如图，在 \triangle A B C 中， A B=A C \angle B A C=130° D A\bot A C 则 \angle A D B= （B

A. {100}° B. 115° C. {{130}°} D.145°

第10题图

第11题图

11.如图， \triangle A B C 为等边三角形， \angle1=\angle2= \angle3 ，则 \angle B E C 的度数为 \underline{{120}}°

12. 新考向真实情境（2024·益阳资阳区期末)如图，小聪和小明玩跷跷板，支点 \mid O 是跷跷板的中点（即 O A=O B ，支柱 O H 垂直于地面，两人分别坐在跷跷板 A,B 两端，当 A 端落地时， \angle A O H=70° ，则 A B 可上下转动的最大角度 \angle A O M=40°

13. A北京四中校本经典题如图，已知点 D,E 在 \triangle A B C 的边 B C 上， A B{=}A C ， A D{=}A E (1)求证： B D{=}C E (2)若 A D{=}B D{=}D E{=}C E 求 \angle B A E 的度数.

解：（1）证明：过点 \boldsymbol{A} 作
A F\bot B C 于点 \varPsi 。
因为 A B{=}A C,A D{=}A E
所以 B{\cal F}=C{\cal F},D{\cal F}=E{\cal F}.
所以 B D{=}C E 电
(2)因为 \ A D=D E{=}A E
所以 \triangle A D E 是等边三角形.
所以 \angle D A E=\angle A D E=60°
因为 A D=B D
所以 \angle D A B=\angle D B A 业
所以 \angle D A B=(1)/(2)\angle A D E=30°.
所以 \angle B A E=\angle B A D+\angle D A E=90°.

? 考点6线段的垂直平分线

14.（2024·凉山州）如图，在 Rt\triangle A B C 中，\angle A C B=90°,D I 垂直平分 A B 交 B C 于点D .若 \triangle A C D 的周长为 50~cm ，则 A C+B C= （C)

A. 25\cm B. 45\cm C.50\cm D. 55~cm

考点7用尺规作三角形

15.［教材P151新增习题T18（1）变式］已知线段 {\mathbf{α}}_{a,b} 和 \mathbf{\Psi}_{m} ，求作 \triangle A B C ，使 B C{=}a ， A C=b ，边 B C 上的中线 A D=m

解：如图， \triangle A B C 即为所求。

16. 新考向新定义问题（2023·岳阳弘毅新华学校期中)问题提出：

(1)我们把两个面积相等但不全等的三角形叫作偏等积三角形,如图1,在 \triangle A B C 中，A C=7 ， B C=9 ， A B=10,P 为 A C 上一点，当 A P=(7)/(2) 时， \triangle A B P 与 \triangle C B P 是偏等积三角形；

问题探究：

(2)如图 2,\triangle A B D 与 \triangle A C D 是偏等积三角形， A B{=}2,A C{=}6 ，且线段 A D 的长度为正整数，过点 C 作 C E//A B 交 A D 的延长线于点 E ，则 A D=\quad3 ；

问题解决：

(3)如图3，四边形ABED是一片绿色花园，C A=C B ， C D=C E ， \angle A C B=\angle D C E= 90°(0°<\angle B C E<90°) \triangle A C D 与 \triangle B C E 是偏等积三角形吗？请说明理由.

图1

图2

图3

解 :\triangle A C D 与 \triangle B C E 是偏等积三角形.
理由：因为 \angle A C B=\angle D C E=90°
所以 \angle A C D+\angle B C E=180°
因为 0°<\angle B C E<90°
所以 \angle A C D{>}90° 北
所以 \angle A C D=\angle B C E
因为 \scriptstyle{C A=C B,C D=C E},
所以 \triangle A C D 与 \bigtriangleup BCE不全等，
作 B E\bot C E 于点 F,A G\bot D C 交 D C 的延长线于点G ，则 \angle G=\angle B F C=90°
因为 \angle E C G=180°-\angle D C E=90°
所以 \angle A C G=\angle B C F=90°-\angle B C G
在 \triangle A C G 和 \triangle B C F 中，
\angle G=\angle B F C
\angle A C G=\angle B C F
\scriptstyle{C A=C B}
所以△ACGBCF（角角边）.
所以 A G=B F
所 \nux(1)/(2)C D* A G=(1)/(2)C E* B F.
所以 \triangle A C D 与 \triangle B C E 面积相等.
所以 \triangle A C D 与 \triangle B C E 是偏等积三角形。

期末复习(四) 三角形

知识结构图

重难点突破

重难点1三角形的边和角

【例1】已知三角形的三条边为互不相等的整数，且有两边长分别为7和9，另一条边长为偶数.

(1)请写出一个符合上述条件的三角形的第三边长；

(2)若符合上述条件的三角形共有 \scriptstyle a 个，求 a 的值.

【解答】 设第三边长是 x, 则 \scriptstyle9-7<x<7+9 ，即2<x<16.

(1)第三边长是4.（答案不唯 - > (2)因为 2{<}x{<}16 ，且 x 为偶数， 所以 x 的值可取 ^{4,6,8,10,12,14} 共六个， 所以 \scriptstyle a=6

方法指导

本题考查了三角形三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边.在运用三角形三边关系判断三条线段能否构成三角形时，并不需要把任意两边相加，然后判断其和是否大于第三边，只需选取较小的两边相加，判断其和是否大于最大边即可.

变式训练

1.已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是 （C)

A. 1 B.2 C.8 D. 11

2.在 \triangle A B C 中，如果 \angle A:\angle B:\angle C=1:1:2 那么 \triangle A B C 的形状是 （D

A.锐角三角形 B.等腰三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形

重难点2全等三角形

【例2】如图,在 Rt\triangle A B C 中， \angle A C B=90° ，点^{D,F} 分别在 A B,A C 上， C F{=}C B. 连接 \boldsymbol{C D} ，将线段C D 绕点 C 按顺时针方向旋转 90°. 后得CE，连接 E F (1)求证： \triangle B C D\cong\triangle F C E (2)若 E F//C D ，求 \angle B D C 的度数.

【解答】 (1)证明：因为 C D 点 c 按顺时针方向旋转 90° 得所以 C D=C E,\angle D C E=90° 费因为 \angle A C B=90° 所以 \angle B C D=90°-\angle A C D=\angle B C E. 在 \triangle B C D 和△FCE中，\scriptstyle{C B=C F} \angle B C D=\angle F C E, |C D=C E ，所以 \bigtriangleup BCD△FCE(边角边）.(2)因为 E F//C D,\angle D C E=90°, 所以 \angle E=180°-\angle D C E=90°. 又因为 \triangle B C D\cong\triangle F C E, 所以 \angle B D C=\angle E. 所以 \angle B D C=90° ，

方法指导

（1）要证三角形全等，至少要有一组“边”的条件，所以一般情况下，我们先找对应边；(2)在有一组对应边相等的前提下，我们通常找任意两组对应角相等即可；在有两组对应边分别相等的前提下，可以求第三组对应边相等，或者求两组对应边的夹角相等，注意必须是夹角；若有三组对应边分别相等，则可以直接根据边边边（SSS)求解.

变式训练

3.（2023·营口）如图，点 A,B,C,D 在同一条直 线上，点 E,F 分别在直线 _{A B} 的两侧，且 A E{=}B F \angle A=\angle B,\angle A C E=\angle B D F.

(1)求证： \triangle A C E{\cong}\triangle B D F (2)若 A B=8,A C=2 ，求 C D 的长.

解：（1）证明：在 \triangle A C E 和\triangle B D F 中，
\angle A C E=\angle B D F,
\angle A=\angle B ，
\scriptstyle\left\lfloor A E=B F ，
所以△ACEBDF（角角边）.(2）由(1)知△ACE△BDF，所以 B D=A C=2
因为 A B=8 ，
所以 C D=A B-A C-B D=4.

重难点3 等腰三角形

【例3】如图，在 \triangle A B C 中， B D 是高， D 是边 A C 的中点，点 E 在边 B C 的延长线上， E D 的延长线交 A B 于点 F ，且 E F\bot A B,\angle E=30°

(1)求证： \triangle A B C 是等边三角形.(2)请判断线段 A D 与 C E 的大小关系，并说明理由.

【解答】 解：(1)证明：因为B D\perp A C D 是边 A C 的中点，所以 B D 垂直平分 A C 所以 \scriptstyle A B=C B 费因为 E F\bot A B ，所以 \angle A B C+\angle E=90° 因为 \angle E=30° ，所以 \angle A B C=60° .所以 \triangle A B C 是等边三角形.\scriptstyle(2)A D=C E 理由如下：因为 \triangle A B C 是等边三角形，所以 \angle A C B=60° 因为 \angle A C B=\angle E+\angle C D E,\angle E=30° 所以 \angle C D E=\angle E=30°. 所以 C D{=}C E 事因为 D 是边 A C 的中点，所以 A D=C D 所以 \mathbf{A}D=\mathbb{C}\mathbb{E} 业

变式训练

4.（2023·江西）将含 {30}° 角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知 \angleα=60° ，点_{B,C} 表示的刻度分别为 ^{1\cm,3\cm} ，则线段A B 的长为2cm.

第4题图

第5题图

5.如图，在 \triangle A B C 中， A B=A C,A D\perp B C 于点D,D E\bot A B 于点 E,B F\bot A C 于点 F,D E= 3\cm ，则 B F{=}\quad6\quadcm.

6.如图，在 \triangle A B C 中，点 E 在 _{A B} 上，点 D 在B C 上， B D=B E ， \angle B A D=\angle B C E,A D 与C E 相交于点 F ，试判断 \triangle A F C 的形状，并说明理由.

解 :\triangle A B C 是等腰三角形.
理由如下：在 \triangle B A D 和
\triangle B C E 中，
\angle B=\angle B
\scriptstyle\angle B A D=\angle B C E,
\scriptstyle\left|B D=B E\right.
所以 \triangle B A D{\cong}\triangle B C E （角角边）.
所以 B A=B C. 所以 \angle B A C=\angle B C A
所以 \angle B A C-\angle B A D=\angle B C A-\angle B C E, 即 \angle F A C=\angle F C A. 所以 A{\mathbb{F}}{=}C F
所以 \triangle A E C 是等腰三角形.

重难点4线段的垂直平分线

【例4】如图，在 \triangle A B C 中， D M,E N 分别垂直平分 _{A B} 和 A C ，交 B C 于点 D,E. 若\triangle A D E 的周长为 24~cm ，求 B C 的长.

【解答】 因为 _{D M} _{E N} 分别垂直平分 \scriptstyle A B 和A C ，

所以 A D=B D,A E=C E
所以 B C=B D+D E+C E=A D+D E+A E
又因为 \triangle A D E 的周长为 A D+D E+A E=24cm
所以 B C=24~cm

方法指导

当题目中出现线段垂直平分线求某些线段或周长的值时，往往要考虑对相等的线段进行适当的转化.

变式训练

7.如图，在 \triangle A B C 中， D E,D F 分别为边 B C ，A B 的垂直平分线，连接 A D,C D 主

(1)若 \angle A B C=40° ，求 \angle A C D 的度数；(2)判断 \angle A B C 与 \angle A C D 之间的数量关系，并说明理由.

解：(1)连接 B D 并延长，交AC
于点 H 。
因为 _{D E,D F} 分别为边BC，AB
的垂直平分线，
所以 D A=D B,D C=D B
所以 \angle D A B=\angle D B A,\angle D C B=\angle D B C.
所以 \angle A D H=\angle D A B+\angle D B A=2\angle D B A,
\angle C D H=\angle D C B+\angle D B C=2\angle D B C,
所以 \angle A D C=2\angle A B C=80°
因为 \scriptstyle D A=D B,D C=D B 务
所以 D A=D C
所以 \angle A C D=\angle C A D=(1)/(2)x(180°-80°)=50°. (2)\angle A B C+\angle A C D=90°
理由如下：因为 \angle A D C+\angle A C D+\angle C A D=180° 所以 2\angle A B C+2\angle A C D=180°
所以 \angle A B C+\angle A C D=90° 业

复习自测《

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.等腰三角形的两边长分别为 4\cm 和 8\cm ，则 它的周长为 ( C

A. 16~cm B. 17\cm C.20\cm D. 16~cm 或 20\cm

2.命题“两条直线相交只有一个交点"的条件是（D

A.两条直线 B.相交C.只有一个交点 D.两条直线相交

3.如图， B D=C D,A E=D E,\triangle A B C 的面积是
4，则 \triangle A B E 的面积是 （C)

A.2 B.0.5C.1 D.无法确定

第3题图

第4题图

4.已知图中的两个三角形全等，则 \angleα 的度数是(A)

A. 72° B. {60}° C.58° D. 5{0}°

5.（2021·益阳）如图，在 \triangle A B C 中， A C>B C 分别以点 A,B 为圆心，以大于 (1)/(2)A B 的长为半径画弧，两弧分别交于点 D,E ，经过点 D,E 作直线分别交 A B,A C 于点 M,N 连接 B N ，下列结论正确的是 （B）

A. A N{=}N C B .A N{=}B N C.M N{=}(1)/(2)B C D.BN平分 \angle A B C

第5题图

第6题图

6.如图，点 B,F,C,E 在同一条直线上， A B// E D,A C//F D ,那么添加下列一个条件后，仍无法判定 \triangle A B C{\overset{\circ}{=}}\triangle D E F 的是 （C)

A. A B=D E B. A C{=}D F C. \angle A=\angle D D .B F{=}E C

7.如图，线段 A C 的垂直平分线交线段 A B 于点D ,\angle A=50° ，则 \angle B D C= （B）

A. {50}° B. {100}° C. {120}° D. {{130}°}

第7题图

第8题图

8.如图， A B=A C ， B D=B C. 若 \angle A=40° ，则\angle A B D 的度数是 （B ）

A. 2{0}° B. {30}° C. 35° D. {40}°

9.如图，在等边三角形ABC中， B D=C E,A D 与B E 相交于点 P ，则 \angle A P E 的度数为 ( B ）

A. 45° B.60° C.55° D. 75°

第9题图

第10题图

10.如图，点 D,E 分别在 \triangle A B C 的边 A C 和 B C 上， A E 与 B D 相交于点 F ,给出下面四个条件： ①\angle1=\angle2 ②A D=B E ③A F=B F ④D F{=}E F ，从这四个条件中选取两个，不能判定 \triangle A B C 是等腰三角形的是 （C）

A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ③④

二、填空题（每小题3分，共18分)

11.（2024·湖南）若等腰三角形的一个底角的度数为 {40}° ，则它的顶角的度数为 100

12.把“全等三角形的对应角相等”改写成“如果…·那么·…·…”的形式是如果两个三角形全等，那么它们的对应角相等

13.如图，若 \triangle O A D\cong\triangle O B C ，且 \angle O=65° \angle C=20° ，则 \angle O A D=95°

第13题图

第14题图

14.如图，若 A B=A C ， B D=C D ， \angle A=80° ， \angle B D C=120° ，则 \angle B=\angle0

15.（2024·内江）如图，在 \triangle A B C 中， \angle D C E= 40°,A E{=}A C,B C{=}B D ，则 \angle A C B 的度数为{100}°

第15题图

第16题图

16.如图，已知 P 是 \triangle A B C 内一点， \angle B P C= {120}° ： \angle A=70° ， B D 是 \angle A B P 的平分线， C E

是 \angle A C P 的平分线， B D 与 C E 交于点 F ，则 \angle B F C=95°

三、解答题（共52分）

17.（6分）（2023·泸州）如图，点 B 在线段 \vert A C\vert 上， B D//C E ， A B=E C ， D B=B C. 求证：A D=E B

证明：因为 B D//C E ，
所以 \angle A B D=\angle C.
在 \triangle A B D 和 \triangle E C B 中，
(A B=B C ，
\angle A B D=\angle E C B
\scriptstyle\left\lfloor D B=B C\right.
所以 \triangle A B D\cong\triangle E C B( 边角边
所以 A D=E B 费

18.（8分）如图，在 \triangle A B C 中， \angle A C B=90°,L D 是 B C 的延长线上一点， E H 是 B D 的垂直平分线， D E 交 A C 于点 F ，求证：点 \boldsymbol{E} 在 A F 的垂直平分线上.

证明：因为 E H 垂直平分 B D
所以 \angle E H B=90°,B E=D E.
所 \angle B E H=\angle D E H.
因为 \angle A C B=90° ，
所以 E H//A C.
所以 \angle B E H=\angle A,\angle D E H
=\angle A E E
所以 \angle A=\angle A F E
所以 A E{=}E F
所以点 E 在 A F 的垂直平分乡

19.（8分）如图，点 D,E 分别在 A C,A B 上.

(1)若 B D=C E,C D=B E ，求证： A B{=}A C (2)分别将“ B D{=}C E^{,} 记为 ① ，“ C D=B E ”记为 ② “ *_{A B=A C}, 记为 ③ .以 ①③ 为条件，以 ② 为结论构成命题1；以 ②③ 为条件，以 ① 为结论构成命题2.命题1不是命题2的逆命题（填“是”或“不是”），命题2是真命题(填“真”或“假”).

证明：连接BC.
因为 B D{=}C E,C D{=}B E,B C{=}C B 所以 \Delta D B C\cong\Delta E C B （边边边).
所以 \angle D C B=\angle E B C.
所以 A B=A C

20.（8分）如图， \angle A=\angle A^{\prime},\angle B=\angle B^{\prime},C D ，C^{\prime}D^{\prime} 分别是 \angle A C B 和 \angle A^{\prime}C^{\prime}B^{\prime} 的平分线，且 C D=C^{\prime}D^{\prime}

(1)用尺规作图，在 \triangle A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime} 中作出 \angle A^{\prime}C^{\prime}B^{\prime} 的平分线 C^{\prime}D^{\prime} ；（不写作法，保留作图痕迹)

(2)求证： \triangle A B C{\cong}\triangle A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}
解： (1) 如图所示。
(2)证明：因为 \angle A+\angle B+\angle A C B=180°,\angle A^{\prime}+ \angle B^{\prime}+\angle A^{\prime}C^{\prime}B^{\prime}=180°,\angle B=\angle B^{\prime},\angle A=\angle A^{\prime}, 所以 \angle A C B=\angle A^{\prime}C^{\prime}B^{\prime} 电
因为 \mathbf{\Lambda}_{C D,C^{\prime}D^{\prime}} 分别是 \angle A C B 和 \angle A^{\prime}C^{\prime}B^{\prime} 的平分线，\angle D C B=(1)/(2)\angle A C B,\angle D^{\prime}C^{\prime}B^{\prime}=(1)/(2)\angle A^{\prime}C^{\prime}B^{\prime}. 所以 \angle D C B=\angle D^{\prime}C^{\prime}B^{\prime} 事
在 \triangle D C B 和 \triangle D^{\prime}C^{\prime}B^{\prime} 中，
\angle B=\angle B^{\prime}
\angle D C B=\angle D^{\prime}C^{\prime}B^{\prime},
\scriptstyle\left\lfloor C D=C^{\prime}D^{\prime}\right.
所以 \Delta D C B\cong\Delta D^{\prime}C^{\prime}B^{\prime}( 角角边).
所以 B C=B^{\prime}C^{\prime}
在 \triangle A B C 和 \triangle A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime} 中，
\angle A=\angle A^{\prime}
\angle B=\angle B^{\prime}
\scriptstyle{\left\lfloor{B C=B^{\prime}C^{\prime}}\right\}
所以 A B C\cong\Delta A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime} (角角边).

21.（10分）（教材P152新增习题T20变式）如图，在 \triangle A B C 中， D 是边 B C 的中点， B E 交A C 于点 E ，交 A D 于点 F ，且 A E=E F. 若_{E F=4,E C=6} ，求线段 B{\cal F} 的长.

解：延长 A D 到点 M ，使 |A D| \mathbf{\chi}=D M 连接BM.
因为 D 是边 B C 的中点，
所以 B D=D C
在 \triangle A D C 和 \triangle M D B 中，
\scriptstyle\mathbf{\Lambda}_{P}C=D B
\angle A D C=\angle M D B,
\scriptstyle\left\lfloor A D=M D\right.
所以△ADC△MDB（边角边）所以 B M=A C,\angle C A D=\angle M. 因为 \mathbf{A}\mathbb{E}{=}\mathbb{E}\mathbb{F} ，
所以 \angle C A D=\angle A F E.
因为 \angle A F E=\angle B F D
所以 \angle B F D=\angle C A D=\angle M.
所以 B\bar{x}=B\bar{M}=A C.
因为 A C=A E+E C=E F+E C=4+6=110 要
所以 B F{=}A C{=}10

22.（12分)如图，在 \triangle A B C 中， B C=A C,\angle A C B= {120}° ，点 D 在线段 _{A B} 上运动（点 D 不与点A,B 重合)，连接 C D ，作 \angle C D E=30° D E 交线段 A C 于点 E ：

(1)当 D E//B C 时， \triangle A C D 的形状是直角三角形(填“锐角"“直角"或“钝角")；
（2）请添加一个条件，使得 \triangle A D E{\cong}\triangle B C D ，并说明理由；
(3)在点 D 运动的过程中， \triangle C D E 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出\angle A E D 的度数；若不可以，请说明理由.A D=B C.
理由：因为 B C=
AC， \angle A C B \c=
\boldsymbol{120°} ，
所以 \angle A=\angle B=30°
因为 \angle B D C=\angle A+\angle A C D,\angle A E D=\angle A C D+ \angle C D E,\angle A=\angle C D E
所以 \angle A E D=\angle B D C.
在 \triangle A D E 和 \triangle B C D 中，
\angle A=\angle B
\angle A E D=\angle B D C,
(A D=B C
所以 \triangle A D E{\cong}\triangle B C D( 角角边).
(3) |\triangle C D E\rrangle 可以是等腰三角形。
理由如下： ① 当 E C=D E 时 \angle C D E=\angle E C D
所以 \angle E C D=\angle C D E=30° 。
因为 \angle A E D=\angle E C D+\angle C D E.
所以 \angle A E D=60°
② 当 C D=D E 时 \angle E C D=\angle C E D
因为 \angle E C D+\angle C E D+\angle C D E=180°
所以 \angle C E D=(180°-30°)/(2)=75° ，
所以 \angle A E D=180°-\angle C E D=105° 费
③ 当 E C=C D 时， \angle C E D=\angle C D E ，
\angle A C D=180°-\angle C E D-\angle C D E=180°-30°-30° =120°
因为 \angle A C B=120°
所以此时，点 D 与点 B 重合，不合题意。
综上所述， \triangle C D E 可以是等腰三角形，此时 \angle A E D 的度数为 {\left.60\right|}° 或 \overline{{105}}° 费