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（2023 朝阳一模）★★★☆

26．在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线

2

y ax m x = + − + (2 6) 1

经过点

(1,2 4) m− ．

（1）求 a 的值；

（2）求抛物线的对称轴（用含 m 的式子表示）；

（3）点

1

( , ) −m y ， 2

( , ) m y ， 3

( 2, ) m y +

在抛物线上，若

2 3 1 y y y 

，求 m 的取值范围．

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吴老师图解

（1）

a =1.

思路&图解

把点

(1,2 4) m−代入解析式得

2 4 2 6 1 m a m − = + − +

，解得

a =1.

（2）

x m = − +3.

思路&图解

由（1）知抛物线的解析式为

2

y x m x = + − + (2 6) 1，



对称轴为

2 6 3

2 2

b m

x m

a

−

= − = − = − + .

（3）

1 2  m .

思路一：对称性比远近

分析

令点

1

( , ) −m y ， 2

( , ) m y ， 3

( 2, ) m y +

分别叫做

A,， B ，C ，

首先，点

B

肯定在点

C

的左侧，而点

A

与点

B ，C

的位置不确定，正常来说，我们要对

点

A

的位置进行分类讨论！

但是，本题有个特殊性，根据点

B

在点

C

的左侧，且

2 3 y y 

可以先求得一个

m

的范围，

根据这个范围我们可以推出点

A

在点

B

的左侧！

所以，本题中

A,， B ，C

三个点是从左向右排列的，无需分类讨论…

思路&图解

1）由（1）知抛物线开口向上，故抛物线上距离对称轴越远的点的纵坐标越大，

2）由（2）知抛物线的对称轴为

x m = − +3，

3）如图，

①当

2 3 y y 

时，有

2

3

2

m m

m

+ +

− + 

，解得

m 1，

②由

m 1

知

−  − m 1

，故

−  m m

，即点

1

( , ) −m y

在点

2

( , ) m y

的左侧，

③当

3 1 y y

时，有

2

3

2

m m

m

− + +

− +

，解得

m 2，



综上所述：

1 2  m .

备注：与之前的同类题不同，本题需注意

3

y

与

1

y

是可以取等的！

-m m m+2

y1 y2 y3

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思路二：代数“硬算”

思路&图解

1）

2 2

1

y m m m m m = − − + = − + + (2 6) 1 6 1，

2 2

2

y m m m m m = + − + = − + (2 6) 1 3 6 1，

2 2

3

y m m m m m = + + − + + = + − ( 2) (2 6)( 2) 1 3 2 7，

2）①当

2 3 y y 

时，有

2 2 3 6 1 3 2 7 m m m m − +  + − ，

整理得

8 8 m 

，解得

m 1，

②当

3 1 y y

时，有

2 2 3 2 7 6 1 m m m m + − − + + ，

整理得

2

m m− − 2 0，解得−1 2 m ，



综上所述：

1 2  m .