【2023秋季】第5次课作业

发布时间:2023-10-20 | 杂志分类:其他
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【2023秋季】第5次课作业

2 / 2吴老师图解(1)①x = 2 .思路&图解由题知抛物线过点(0, 3) −和(4, 3) − ,根据图像的对称性知,对称轴为0 4 22x+= = .备注:或将(0, 3) − ,(4, 3) −代入解析式,求得a ,b,再利用对称轴方程求得.(1)②a =−2 .思路&图解如图,1)由题知m  0,则2m m , 且a  0,抛物线上距离对称轴越远点的纵坐标越小, 当x = 2时,max y = 5;当x m = −2 2时,min y = −1,2)由题知22bxa= − =,则b a =−4,即抛物线的解析式为2y ax ax = − − 4 3, 将点(2,5)代入解析式得4 8 3 5 a a − − = ,解得a =−2 .备注:本题没让求m的值,故x m = −2 2对应min y = −1没有作用!(2)532−   − t .思路&图解如图,已知a  0,抛物线上距离对称轴越远点的纵坐标越小,反之越大,1)当3 1 y y =时,有52t =−,故当3 1 y y 时,有52t − ,2)同理,当1 2 y y 时... [收起]
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【2023秋季】第5次课作业
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第1页

1 / 2

(2022-2023 三帆中学九上期中)★★★

26.在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线

2

y ax bx a = + −  3( 0).

(1)若抛物线过点

(4, 3) − .

①求该抛物线的对称轴;

②已知

m  0

,当

2 2 2 − + m x m

时,−1 5 y

,求

a

的值;

(2)若

1 A y ( 4, ) − , 2 B y ( 2, ) − , 3 C y ( 1, ) −在抛物线上,且满足

3 1 2 y y y   .当抛物线对称轴

为直线 x=t 时,直接写出 t 的取值范围.

第2页

2 / 2

吴老师图解

(1)①

x = 2 .

思路&图解

由题知抛物线过点

(0, 3) −和

(4, 3) − ,根据图像的对称性知,对称轴为

0 4 2

2

x

+

= = .

备注:或将

(0, 3) − ,(4, 3) −代入解析式,求得

a ,b

,再利用对称轴方程求得.

(1)②

a =−2 .

思路&图解

如图,

1)由题知

m  0,则

2m m ,

a  0

,抛物线上距离对称轴越远点的纵坐标越小,

x = 2

时,

max y = 5

;当

x m = −2 2

时,

min y = −1,

2)由题知

2

2

b

x

a

= − =

,则

b a =−4

,即抛物线的解析式为

2

y ax ax = − − 4 3,

将点

(2,5)

代入解析式得

4 8 3 5 a a − − = ,解得

a =−2 .

备注:本题没让求

m

的值,故

x m = −2 2

对应

min y = −1

没有作用!

(2)

5

3

2

−   − t .

思路&图解

如图,已知

a  0

,抛物线上距离对称轴越远点的纵坐标越小,反之越大,

1)当

3 1 y y =

时,有

5

2

t =−

,故当

3 1 y y 

时,有

5

2

t − ,

2)同理,当

1 2 y y 

时,有

t −3.

综上所述:

5

3

2

−   − t .

m

2+m

2-2m

2m

x=2

x=t

y1 y2 y3

–4 –3 –2 –1 0

第3页

1 / 3

(2023 东城一模)★★★☆

26.已知抛物线

2

y ax ax = − 2 ( 0) a .

(1)求该抛物线的顶点坐标(用含 a 的式子表示);

(2)当

a  0

时,抛物线上有两点

( 1, ) − s ,( , ) kt

,若

s t 

时,直接写出 k 的取值范围;

(3)若

1 A m y ( 1, ) − , 2 B m y ( , ), 3 C m y ( 3, ) +

都在抛物线上,是否存在实数 m,使得

1 3 y y 

2  − y a

恒成立?若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由.

第4页

2 / 3

吴老师图解

(1)

(1, ) −a .

思路&图解

将抛物线的解析式化为顶点式

2

y a x a = − − ( 1)

,即顶点坐标为

(1, ) −a .

备注:或将

2

1

2 2

b a

x

a a

= − = − =

代入解析式求得.

(2)

−   1 3 k .

思路&图解

如图,

1)由

a  0

知,抛物线上距离对称轴越远的点的纵坐标越大,

2)点

( 1, ) − s

关于对称轴

x =1

的对称点为

(3, )s ,

s t 

,则

−   1 3 k .

(3)

1

0

2

−   m .

分析

本题的关键是对“ −a

”的理解——顶点的纵坐标!

由(1)知顶点坐标为

(1, ) −a

,又因为

1 3 y y  2  − y a

恒成立,说明抛物线只能开口向

下,即

a  0

,且仅需考虑

1 3 y y  2  y

就行啦…

思路一:对称性比远近

思路&图解

1)由(1)知顶点的纵坐标为 −a

,且

1 3 y y  2  − y a

恒成立,

抛物线只能开口向下,即

a  0 ,−a

为函数值的最大值,

抛物线上距离对称轴越远的点的纵坐标越大,

2)易求得抛物线的对称轴为

x =1,

3)如图,

1 3 y y 

时,有

1 3 1

2

m m − + +

,解得

m  0 ,

3 2 y y 

时,有

3

1

2

m m+ +

,解得

1

2

m − .

综上所述:

1

0

2

−   m .

x=1

(-1,s) (3,s)

m-1 m m+3

y1 y2 y3

第5页

3 / 3

思路二:代数“硬算”

思路&图解

1)由(1)知顶点的纵坐标为 −a

,且

1 3 y y  2  − y a

恒成立,

抛物线只能开口向下,即

a  0 ,−a

为函数值的最大值,

2)

2

1

y a m a m = − − − ( 1) 2 ( 1) ,

2

2

y am am = − 2 ,

2

3

y a m a m = + − + ( 3) 2 ( 3),

3)①若

1 3 y y 

,则

2 2

a m a m a m a m ( 1) 2 ( 1) ( 3) 2 ( 3) − − −  + − + ,

解得

m  0

(提示:

a  0

,注意变不等号方向),

②若

3 2 y y 

,则

2 2

a m a m am am ( 3) 2 ( 3) 2 + − +  − ,

同理,解得

1

2

m − .

综上所述:

1

0

2

−   m .

第6页

1 / 2

(2022 朝阳一模)★★★☆

26.在平面直角坐标系 xOy 中,点( 2,0) − , 1 ( 1, ) − y , 2 (1, ) y , 3 (2, ) y 在抛物线 2 y x bx = +

+c 上.

(1)若 1 2 y y = ,求 3 y 的值;

(2)若 213 yyy < < ,求 3 y 的取值范围.

第7页

2 / 2

吴老师图解

(1) 3 y = 0 .

思路&图解

将( 2,0) − 代入解析式得042 =− +b c ,化简得c b = − 2 4 ,

∴抛物线的解析式为 2 y x bx b =++− 2 4,

若 1 2 y y = ,则抛物线的对称轴为 1 1 0

2

x

− + = = ,即 0

2

b − = ,解得b = 0,

∴抛物线的解析式为 2 y x = − 4 ,

将 x = 2 代入得 3 y =−= 440 .

备注:或可根据对称轴为 x = 0 ,知点( 2,0) − 与 3 (2, ) y 对称,得到 3 y = 0 .

(2) 3 −< < 4 0 y .

分析

由(1)知抛物线解析式为 2 y x bx b =++− 2 4 ,

将 x = 2 代入得 3 y bb b =+ + −= 42 2 44 ,故只要求出b 的范围即可!

而利用抛物线图象的对称性以及 1 y , 2 y , 3 y 的大小关系,我们可以先确定对称轴的范

围,从而求出b 的范围,最后便可得出 3 y 的取值范围!

思路&图解

1)由(1)知抛物线解析式为 2 y x bx b =++− 2 4,即 a = >1 0,

∴抛物线上距离对称轴越远的点的纵坐标越大,反之越小,

2)如图,令抛物线的对称轴为 x t = ,则:

当 2 1 y y = 时,t = 0,故当 2 1 y y < 时,t > 0,

当 1 3 y y = 时, 1

2

t = ,故当 1 3 y y < 时, 1

2

t < ,

1 0

2

< <t ,

3)对称轴为 x = 2

b

t = − ,即 1 0

2 2

b

<− < ,解得 −< < 1 0 b ,

4)将 x = 2 代入得 3 y bb b =+ + −= 42 2 44 ,

∴ 3 −< < 4 0 y .

x=t

y1 y2 y3

–2 –1 0 1 2

第8页

1 / 2

(2022-2023 清华附中九下月考·3 月)★★★★

26.已知抛物线

2

y ax a x = + − (6 2) ( 0) a 

,点

( 3, ) − m ,( 1, ) − n , 0

( , ) x t

在该抛物线上.

(1)若 m=n,t  0

,求

0

x

的取值范围;

(2)若存在

0

0 1 x

,使得

n t m  

,求 a 的取值范围.

备注:改编自·2022-2023 朝阳九上期末

第9页

2 / 2

吴老师图解

(1)

0

x −4

0

x  0 .

思路&图解

m n =

知,抛物线的对称轴为

3 ( 1) 2

2

x

− + −

= = − ,

且抛物线过原点,故抛物线与

x

轴的另一交点为

( 4,0) − ,

 0

x −4

0

x  0 .

(2)

1 2

3 3

  a .

说明

本题与[2022-2023 朝阳九上期末]一样,关键在于“存在”两字!解题思路上可以用“对

称性比远近”(含参)或“代数硬算”来解决…

吴老师只给出第一种思路,想用“代数硬算”的同学请参考[朝阳期末].

提示:

n a = − + 5 2, m a = − + 9 6, 2

0 0 0 t x x a x = + − ( 6 ) 2 .

思路&图解

1)由题知

a  0

,则抛物线上距离对称轴越远的点的纵坐标越大,

2)易求得抛物线的对称轴为

6 2

2

a

x

a

= − ,

3)对于

n t m   :

①当

n t 

时,有

0 6 2 1

2 2

a x

a

− − +

−  ( 0) a 

,整理得

0

2

5

a

x

+

②当

t m

时,有

0 6 2 3

2 2

a x

a

− − +

−  ( 0) a 

,整理得

0

2

3

a

x

+

0 0

2 2

5 3

a

x x

 

+ +

4)当

0

x = 0

时,

2 2

5 3

  a

;当

0

x =1

时,

1 1

3 2

  a ,

综上所述:

1 2

3 3

  a .

备注:由于是存在

0

0 1 x

,使得

n t m  

,故我们应把 a 能取到的值都算上!

x=-2

(-4,0) (0,0)

x0

m n t

-3 -1 0 1

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