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名校课堂
名校题好：名校真题完全贴合新教材，更经典
紧扣新教材核心考点，采用经典素材、经典设问
一贵州RJ一数学
八年级上册
教师用书
配套资源全新升级
错题笔记示例
第十三章三角形
索引
13.1 三角形的概念 2
13.2 与三角形有关的线段 4
13.2.1 三角形的边 4
13.2.2三角形的中线、角平分线、高 6
小专题1 三角形的中线、高线的运用 解题技巧专练8
13.3三角形的内角与外角 9
13.3.1三角形的内角 9
第1课时三角形的内角和 9
第2课时直角三角形的两个锐角互余 11
周测(13 .1~13.3.1⟩ ? 周测小卷1
13.3.2三角形的外角 12
小专题2三角形中内、外角平分线的常见模型·模型构建专练15
章末复习(一) 三角形 16
贵州考点针对练 \diamondsuit 新超势·新题型·新情境
新教材新趋势
数学活动1 搭等边三角形/P18
数学活动2 多边形的三角剖分/P18
综合与实践 确定匀质薄板的重心位置/P19
周测(第十三章) 周测小卷3
“第十四章全等三角形
名校经典题索引
P3T14 P11T10 P21T12 P35T6
P36T8 P47T12 P64T1 P70T6
P74T18 P80T8 P107T14 P118T7
2.清华附中校本经典题
P5T13 P14母题 P14T1 P51T16
P62T7 P81T13 P113T17
14.1 全等三角形及其性质· 20
14.2 三角形全等的判定·· 22
第1课时 用“SAS"判定三角形全等· 22
第2课时 用“ASA"或“AAS"判定三角形全等 24
第3课时 用“SSS"判定三角形全等 26
第4课时 三角形全等的判定与尺规作图 28
第5课时 用“HL"判定直角三角形全等 30
3.北京四中校本经典题
P4T7 P21T16 P70T7 P74T17
P80T16P98T10 P114T8
4.北京五中校本经典题
1.人大附中校本经典题
P10T14 P30T4 P48T8 P55T8
5.北师大附属实验校本经典题
P7T11 P7T15 P10T11 P11T4
P12T11 P29T11(2) P45T13 P45T14
P72T8 P83T17 P87T15 P96T12
P104T10 P115T9 P118T8 P130T6
6.华师二附中校本经典题
P3T13 P5T14 P10T8 P31T12
P76T6 P79T16 P83T15(2) P83T16
P130T5
7.石家庄外国语校本经典题
P3T16 P7T16 P10T15 P21T15
P22T3 P35T5 P63T10 P72T12
P74T20 P85T13 P93T16 P96T11
P113T11
8.湖南师大附中校本经典题
P20T9 P26T8 P27T12 P37T12P47T14 P75T6 P79T17 P84T1P87T16 P92T12 P99T7 P117T15P123T11P138【例1】
9.教材新增习题变式
P45T9 P72T5 P73T10 P77T7
P77T12 P84T5 P108T5 P108T6
P115T12 P122T4
小专题3判定三角形全等的基本思路· 解题技巧专练32
小专题4全等三角形的基本模型 模型构建专练34
周测 (14.1~14.2) 周测小卷5
14.3 角的平分线 36
第1课时角的平分线的性质 36
第2课时 角的平分线的判定 38
小专题5构造全等三角形的常用辅助线·... 解题技巧专练40
章末复习(二) 全等三角形
贵州考点针对练 \diamondsuit 新超势·新题型·新情境
周测(第十四章) 周测小卷7
”第十五章轴对称
15.1 图形的轴对称 44
15.1.1 轴对称及其性质 44
15.1.2 线段的垂直平分线 46
第1课时 线段的垂直平分线的性质与判定 46
第2课时 作轴对称图形的对称轴 48
15.2 画轴对称的图形
第1课时画轴对称的图形 49
第2课时 用坐标表示轴对称 。 50
周测(15.1～15.2) 周测小卷9
15.3 等腰三角形 52
15.3.1 等腰三角形 52
第1课时 等腰三角形的性质 52
第2课时 等腰三角形的判定 54
小专题6分类讨论思想在等腰三角形中的应用
解题技巧专练56
小专题7构造等腰三角形的常用方法· 模型构建专练58
15.3.2等边三角形 60
第1课时 等边三角形的性质与判定 60
第2课时 含 {30}° 角的直角三角形的性质 62
小专题8 等腰三角形中常见的手拉手模型····· 多维变式专练64
周测(15.3) 周测小卷11
章末复习(三) 轴对称 66
贵州考点针对练 \diamondsuit 新超势·新题型·新情境
新教材新趋势
综合与实践 最短路径问题/P68
期中复习专题1 与三角形有关的证明 69
期中复习专题2 与三角形有关的探究题 71
”第十六章整式的乘法
16.1 幂的运算 72
16.1.1 同底数幂的乘法 72
16.1.2 幂的乘方与积的乘方 73
小专题9 幂的运算法则的应用· 分类强化专练75
16.2 整式的乘法 76
第1课时单项式与单项式相乘· 76
索引
微专题索引
P13 微专题1运用“飞镖形”“8字形"求角度
P14 微专题2 三角形的角平分线、高线的夹角模型
P14 微专题3 利用数学思想方法求角度
P55 微专题4角平分线十平行线→等腰三角形
P63 微专题5构造含 {30}° 角的直角三角形的常见辅助线作法
P74 微专题6 利用幂的乘方法则比较大小
P101微专题7 利用“十字相乘法”分解因式
P111微专题8 分式约分求值的几种常用方法
P111微专题9 教你解决“ \scriptstyle{(*)/(*)}x±{(1)/(*)} "型问题
P119微专题10利用整体思想求值
贵州特色题型/新考向索引
| 真实情境 | |||
| P10T12 | P12T7 | P20T8 | P22T7 |
| P23T13 | P24T7 | P25T9 | P27T9 |
| P39T12 | P53T12 | P61T10 | P78T7 |
| P83T13 | |||
| 数学/传统/地域文化 | ||
| P16T3 | P17T17 P22T8 | P31T9 |
| P67T13 | P72T11 P127T4 | P128T8 |
| P132T13 | ||
| 开放性问题 | ||
| P32T4 | P32T5 P37T14P39T14 | |
| P42T6 | P106T10P107T15P113T16 | |
| P121T6 | P128T11 P130T8 | P131T9 |
| P132T15 | ||
| 跨学科 | |||
| P13T12 | P17T16 P25T13 P51T11 | ||
| P122T12 | P123T1 P127T3 | ||
| 综合与实践/探究 | |||
| P18 P133 | P19 | P43T12 P71 | |
第2课时 单项式与多项式相乘··. 77
第3课时 多项式与多项式相乘··· 78
第4课时 同底数幂的除法 · 80
第5课时 单项式除以单项式 81
第6课时 多项式除以单项式 82
周测( \left(16.1~16.2\right) 周测小卷13
16.3乘法公式· 84
16.3.1平方差公式· 84
16.3.2 完全平方公式 86
第1课时完全平方公式· 86
小专题10完全平方公式的变形 教材P118习题T7的变式与应用.·. 教材回归专练88
第2课时 添括号法则 89
小专题11 整式的化简与求值··· 分类强化专练90
周测(16.3) 周测小卷15
章末复习(四) 整式的乘法··· 92
贵州考点针对练 \diamondsuit 新超势·新题型·新情境
新教材新趋势
杨辉三角 教材P118“阅读与思考”变式/P94
数学活动1 月历中的奥秘/P95
数学活动2 和为定值的两数积的规律/P95
第十七章 因式分解
.7.1用提公因式法分解因式 96
第1课时直接利用提公因式法分解因式(一) 96
第2课时直接利用提公因式法分解因式(二) 97
.7.2用公式法分解因式· 98
第1课时运用平方差公式分解因式· 98
第2课时运用完全平方公式分解因式 99
第3课时 综合运用公式法分解因式 100
小专题12 因式分解及其应用 重点强化专练102
章末复习(五) 因式分解 103
贵州考点针对练 \diamondsuit 新超势·新题型·新情境
新教材新趋势
数学活动1 个位数字是5的两位数的平方规律/P105
数学活动2 利用因式分解生成密码/P105
周测(第十七章) 周测小卷17
"第十八章分式
18.1分式及其基本性质 10t
18.1.1 从分数到分式 106
18.1.2 分式的基本性质 108
第1课时 分式的基本性质· 108
第2课时分式的约分和通分 109
18.2分式的乘法与除法 112
第1课时分式的乘法与除法··· 112
第2课时分式的乘方及乘除混合运算 114
周测(18. 1~18.2) 周测小卷19
.8.3分式的加法与减法 116
第1课时分式的加法与减法·…· 116
第2课时分式的混合运算·· 118
小专题13分式的化简与求值 分类强化专练120
18.4整数指数幂 122
第1课时负整数指数幂 122
第2课时用科学记数法表示绝对值小于1的数··· 123
周测( 18.3~18.4) 周测小卷21
18.5分式方程 124
第1课时分式方程及其解法 124
小专题14由分式方程根的情况确定字母的取值范围 解题技巧专练126
第2课时分式方程的实际应用 127
小专题15利用分式方程解决其他实际问题 分类强化专练129
章末复习(六) 分式 131
贵州考点针对练 \diamondsuit 新超势·新题型·新情境
新教材新趋势
数学活动 探究x²+↓ x^{2}+{(1)/(x^{2)}} 取值的规律/P133
周测(第十八章) 周测小卷23
"期末复习
期末复习(一) 三角形 134
期末复习(二) 全等三角形 138
期末复习(三) 轴对称 142
期末复习(四) 整式的乘法 146
期末复习(五) 因式分解 149
期末复习(六) 分式 .·. 152
”《基础题》(单独成册）
"附赠贵州标准卷
单元测试(一) 三角形 测试卷1
单元测试(二) 全等三角形 测试卷3
单元测试(三) 轴对称 测试卷5
期中测试 测试卷7
单元测试(四) 整式的乘法 测试卷9
单元测试(五) 因式分解 测试卷11
单元测试(六) 分式 测试卷13
期末测试 测试卷15
错题笔记示例
1.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 40° ，则它的底角为6°. 更正： 65° 或 25°
错因：在画图解题过程中容易按照思维定式只考虑到 高在三角形内部的情况从而漏解 纠正：分高在三角形内部和外部两种情况讨论.
解题思路：(1)当BD在<ABC内部时,如图1;(2)当BD在ABC外部时，如图2.
明确错因，记录错点，再纠正
2.已知 10^{a}=20,100^{b}=50 则 (1)/(2)a+b+(3)/(2) 的值是解题思路： (1) 找到两个已知条件的关联性，可将100变形为10^{2}. 则100可转化为 10^{26}
（2)要求与ab的和相关的式子的值，而ab均在指数位置上，只能将10与 10^{2b} 相乘，得 10^{°}*10^{^{26}}=10^{°}=1000=10^{3}, 再利用整体思想求值.
针对不会做的题，记录关键 解题思路.
3.如图，在平面直角坐标系中,点 ^{A,B} 分别在y轴和x轴上，\angle A B O=60° ,在坐标轴上找一点 P ，使得 \triangle P A B 是等腰三角形，则符合条件的 P 点有（）
A.5个 B.6个 C.7个 D.8个
解题思路：如图所示，分三种情况讨论，① 当 A B=A P 时，以，点A为圆 \boldsymbol{*}\boldsymbol{\le} AB长为半径画孤，与x轴有一个交。点 P_{1} 与y轴有两个交点 P_{2},P_{3}
② 当 A B=B P 时，以点B为圆心，AB长为半径画孤，与x轴有两个交点 P_{1} P_{4}, 其中 \boldsymbol{{\mathsf{P}}}_{1} 与 ① 中重合，与轴有一个交点 \boldsymbol{{\cal P}}_{s}
③ 当 A P=B P 时，画线段AB的垂直平分线，与 x. 轴有一个交点 P_{1} （与 ① 中重合)与y轴有一个交点 P_{6}
针对不会做的题，记录关键解题思路并画出草图，
第十三章 三角形
13.1 三角形的概念
基础题
知识点1三角形及其相关概念
1.下面是小强用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是 (C)
2.（教材P4习题T1变式）如图所示，以 B C 为边的三角形共有 (C)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.如图，在 \triangle A B C 中， \angle B 的对边是_AC_,在\triangle A B D 中， \angle B 的对边是 A D ，在 \triangle A C D 中,边 A C 的对角是 ZADC
4.如图所示.
(1)图中共有_5_个三角 形，它们是 \begin{array}{r}{\underline{{\triangle B E D}},}\end{array} AED, ACD, ABD, △ABC
（2)线段AD是ABD， \bigtriangleup ACD_ADE的边.
(3) \angle B 是 BED \triangle ABD ABC 的角.
知识点2三角形的分类
5.（教材P3图改编）用 A 表示等边三角形， B 表示等腰三角形， C 表示三边都不相等的三角形，则下列四个分类图中，能正确表示它们之间的关系的是 （B）
6.（教材P3例变式）如图，在 \triangle A B C 中， A B= A C,A D{=}C D{=}C B ,则图中等腰三角形共有（D）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
7.观察下面的三角形，并把它们的标号填入相应的圈内.
解：如图所示，
8.（教材P3练习T2变式）如图，在 \triangle A B C 中，\angle B A C 是锐角， A D\bot B C ，垂足为 D ，点 E 在线段 B D 上，则图中的锐角三角形有\triangle B A C,\triangle E A C ;直角三角形有_ \triangle A B D, \Delta A C D,\Delta A E D _;钝角三角形有_ \underline{{\land A\mathbb{B}\mathbb{E}}}
9.（教材P3练习T1变式）如图， A B=B C= C A{=}D A ，且 B D{=}C D ，找出图中的等腰三角形和等边三角形.
解：等腰三角形：ABC,DAB， \triangle D A C
\triangle B D C
等边三角形： :\triangle A B C.
易错点对三角形的分类不清晰致错
10.下列说法：
① 三角形按边分类可分为三边都不相等的三角形、等腰三角形和等边三角形；② 等边三角形是特殊的等腰三角形；③ 等腰三角形是特殊的等边三角形；④ 有两边相等的三角形一定是等腰三角形.其中正确的个数是 （B）
A. 1 B.2 C.3 D. 4
中档题
11.若 \triangle A B C 的三边长是 _{a,b,c} ，且满足 \left|a-b\right|+ \vert a-c\vert=0 ，则 \triangle A B C 是 （D）
A.钝角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等边三角形
12.已知有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以 B C 为公共边的“共边三角形”有3对.
13. A华师二附中校本经典题 6个点按如图所示的方式放置，相邻两点的距离相等.把这些点作为三角形的顶点，可以画_5_个等边三角形.
14. A丨人大附中校本经典题 如图， A B=O A{=} O B{=}O C{=}O D{=}C D 找出图中的等腰三角形和等边三角形.
解：等腰三角形是 \triangle A O B \triangle A O D,\triangle B O C,\triangle C O D 等边三角形是AOB， \triangle C O D
15.（教材P3例变式）如图，在 \triangle A B C 中， A B= \scriptstyle A C,B E=A E=D E=A D=C D. (1)写出以点 C 为顶点的三角形.(2)写出以 A B 为边的三角形，(3)找出图中的等腰三角形和等边三角形.
解：(1)以点 c 为顶点的三角形是 \triangle A B C △AEC,△ADC.
(2)以 A B 为边的三角形是ABC， \triangle A B D \triangle A B E (3）等腰三角形是ABC， \triangle A B E 事 \triangle{A E D} \triangle A C D 等边三角形是 \triangle A E D
综合题
16. A石家庄外国语校本经典题找规律，填空：
(1)请按照下列要求数出三角形的个数.
① 边 B C 上有1个点(图1)，三角形的个数为_3；
② 边 B C 上有2个点（图2)，三角形的个数为_6；
③ 边 B C 上有3个点（图3)，三角形的个数为_10
(2)当边 B C 上有 \mathbf{\Sigma}_{m} 个点（不含 B,C 两点)时，图形中三角形的个数为((m+1)(m+2))/(2)
13.2 与三角形有关的线段
13.2.1 三角形的边
基础题 K
知识点1三角形的三边关系
1.（2024·黔东南期末）以下列各组线段为边，能组成三角形的是 (D)
A.2,3,5 B.3,4,8
C.5,6,11 D. 8,9,10
2.（2024·淮安）用一根小木棒与两根长度分别为 3\cm,5\cm 的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以是 （B)
A. 9\cm B.7 cm C.2 cm D.1 cm
3.如图，线段 A B 和线段 A C 是 \triangle A B C 的两条边，点 D 在线段 A B 上，点 E 在线段
A C 上，将 \triangle A B C 沿DE所在直线裁去一个角得到四边形DBCE，则四边形DBCE的周长小于（填“大于”“等于”或“小于”) \triangle A B C 的周长，理由是_三角形两边之和大于第三边
4.已知一个三角形的一边长为 9\cm ，另一边的长为 3\cm ,第三边的长为 x cm.
(1)求 x 的取值范围.
(2)当第三边的长为偶数时，求该三角形的周长.
(3)若第三边是最长的边，则 x 的取值范围为\scriptstyle\underbrace{\phantom{12}\mathbf{\sigma}S\mathbf{\sigma}X\scriptstyle\sum12} 解：（1）三角形的一边长为 9\cm. ，另一边的长为3~cm ，
\therefore0<x<0+3 即 6{<}x{<}12 费
(2)第三边的长为偶数，且 6{<}x{<}12 ，
： x{=}8 或10.
当 \scriptstyle x=8 时 ^{9+3+x=20} ；当 x{=}10 时 ^{9+3+x=22} 该三角形的周长为 20~{cm} 或 22{~cm},
知识点2三角形的稳定性
5.下列图形具有稳定性的是 （D ）
6.(2024·遵义红汇川区期末)空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是 （A)
A.三角形的稳定性B.两点之间线段最短C.两点确定一条直线D.垂线段最短
易错点没有验证是否满足三角形的三边关系致错
A北京四中校本经典题用一条长为 20\cm 的
细绳围成一个等腰三角形.
(1)如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长分别是多少？
(2)能围成有一边长为 5\cm 的等腰三角形吗？如果能，请求出它的另两边的长.解：（1)设底边长为 x\cm ，则腰长为 2x\cm. 依题意，得
2x+2x+x=20 解得 x=4.
\therefore2x=8.
各边的长分别为 8\cm,8\cm,4. cm.(2) ① 当底边长为 5~cm 时,腰长为 {(20-5)/(2)}{=}7.5(cm) 能构成三角形；
② 当腰长为 5\cm 时，底边长为 20-2x5=10(cm) ： 5+5=10 ,不能构成三角形，故舍去。
能围成有一边长为 5~cm 的等腰三角形，另两边的长分别为 7.5~cm,7.5~cm,
中档题 《
8.（教材P9习题T2变式)在长度分别为 2~cm ：_{3}cm,4cm,5cm 的线段中任意选择三条，将它们首尾顺次相接，组成的三角形有 (C)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
9.如图，为使由五根木棒组成的架子不变形，至少还要在架子上钉上的木棒根数是（C）
A. 0 B.1 C.2 D. 5
10.为方便劳动技术小组实践教学，需用篱笆围一块三角形空地，现已连接好三段篱笆 A B ，B C,C D ，这三段篱笆的长度如图所示，其中篱笆 A B,C D 可分别绕轴BE 和 C F 转动.若要围成一个三角形的空地，则在篱笆 A B 上接上新的篱笆的长度可以为 （D）
11.已知 {}_{a,b,c} 是一个三角形的三条边长，化简|a+c-b|-|a-b-c|=\_2a-2b\_.
12.(1)若等腰三角形的周长为 16~cm ，则腰长 x 的取值范围为 \scriptstyle{\underline{{4\cm}}}<x<8\cm\quad.
(2)在 \triangle A B C 中，若三条边长均为整数，周长为11，且有一条边长为4，则这个三角形最长边可能取值的最大值是5
13.A清华附中校本经典题（1)如图1,填空：由三角形两边的和大于第三边，得 A B+A D> BD_， P D+C D>\underline{{{\cal P}C}} .将不等式左边、右边分别相加，得 A B+A D+P D+C D> B D+P C _，即 A B+A C>B P+P C
(2)如图2,过点 P 作直线交 A B,A C 于点M,N. 仿照图1的方法，求证： A B+A C> P B{+}P C.
证明：在 \triangle A M N 中 ,A M+A N{>}M N
在 \triangle M P B 中 M P+M B>P B 券
在△NPC中 N P+N C>P C 费
将三个不等式相加，得 A M+A N+M B+M P+N P
+N C>M P+N P+P B+P C,
即 A B+A C>P B+P C
综合题 K
14. A华师二附中校本经典题在平面内，分别用3根、4根、5根、6根·…···火柴首尾顺次相接(不能折断，且需全部用完），能搭成什么形状的三角形呢？小明通过尝试，发现用3根、5根、6根火柴分别可以搭成一些三角形，如下表所示：
| 火柴数 | 3 | 5 | 6 |
| 示意图 | 一 | 2 2 1 | 2 |
| 形状 | 等边三角形 | 等腰三角形 | 等边三角形 |
现在请你与小明一起继续尝试，并回答下列问题：
(1)用4根火柴能搭成三角形吗？(2)用8根、12根火柴分别能搭成几种不同形状的三角形？请画出它们的示意图.
解： (1)4 根火柴不能搭成三角形.(2)8根火柴能搭成1种三角形(3，3，2)，如图所示：
等腰三角形
12根火柴能搭成3种不同的三角形（4，4，4；5，5，2；
3，4，5），如图所示：
13.2.2三角形的中线、角平分线、高
基础题
知识点1三角形的中线与重心
1.如图， A D 是 \triangle A B C 的中线，则 D 是线段BC_的中点， B D= C D{=}{(1)/(2)}. BC {\cal S}_{\triangle A B D}= \underline{{S_{M C D}}}=(1)/(2) S_{\Delta A B C} _·若 S_{\triangle A B D}=5 ，则S_{\triangle A B C}=\_{10}\_
2.已知三角形的三条中线交于一点，下列结论：① 这一点在三角形的内部； ② 这一点有可能在三角形的外部； ③ 这一点是三角形的重心.其中正确的是 ①③ _.(填序号)
3.如图， A D 是 \triangle A B C 的中线， A E 是 \triangle A B D 的中线.若 D E{=}3~cm ，则 \scriptstyle{E C=\begin{array}{l}{\boldsymbol{\mathfrak{g}}cm}\end{array}}
知识点2三角形的角平分线
4.如图，在 \triangle A B C 中， A D,C E 是 \triangle A B C 的角平分线， \angle B A C=60° \angle A C E=40° ，则 \angle D A C= 30° \angle B C E=40° ，” \angle A C B=80°
5.如图， D 是 \triangle A B C 的边 B C 上的一点， D E// A C 交 A B 于点 E 若 \angle E D A=\angle E A D ，求证：A D 是 \triangle A B C 的角平分线.
证明： {\bf\Pi}_{\circ\circ}^{\circ\circ}\mathbb{D}\mathbb{E}//A C
\therefore\angle A D E=\angle C A D.
。 \angle E D A=\angle E A D
\begin{array}{r}{~\Lambda~_{\circ}°\angle C A D=\angle E A D.}\end{array}
\therefore A D 是 \triangle A B C 的角平分线。
知识点3三角形的高
6.如图， .A D 是 \triangle A B C 的边 B C 上的高，则 A D 与 B C 的位置关系是 AD⊥BC ， \angle A D B= \angle\underline{{\angle A D C}}=90°
7.如图，用三角板作△ABC的边 A B 上的高，下列三角板的摆放位置正确的是 （B）
8.如图，在 \triangle A B C 中， \angle A C B=90°
(1)图中边 B C 上的高为_AC_,边 A C 上的高为_BC
(2)画出边 A B 上的高 C D
(3)若 B C=3,A C=4 A B=5 ,求边 A B 上的高 C D 的长.解：(2)如图所示。
(3) \because S_{\triangle A B C}={(1)/(2)}A C* B C= {(1)/(2)}A B* C D,
:.CD=AC:BC=43=2.4.
9.如图，已知 \triangle A B C ,试作出 \triangle A B C 的三条高.
解：如图 ,A E,B F,C G 分别为ABC的三条高，
思考：
(1)从图中可以看出，钝角三角形有_2条高在三角形的外部，1条高在三角形的内部.
(2）延长 \triangle A B C 的三条高，发现三条高所在的直线交（填“交"或“不交”)于一点.
易错点1对三角形的中线、角平分线、高的概念理解不清
10.下列说法正确的是 ②④ _.(填序号)
① 三角形的角平分线是射线；
② 三角形的三条角平分线都在三角形的内部，且相交于一点；
③ 三角形的三条高都在三角形的内部；
④ 三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分.
易错点2无法正确找到对应边的高
11. A|北师大附属实验校本经典题 如图，在△ABC中,边BC上的高是_AF_，边 _{A B} 上的高是CE；在\triangle B C E 中,边BE上的高是_CE，边 E C 上的高是 BE；在 \triangle A C D 中，边 A C 上的高是 CD_，边 C D 上的高是AC
中档题
12.如图，在 \triangle A B C 中， \angle1=\angle2,G 为 A D 的中点，连接 B G 并延长，交 A C 于点 E ，过点 C 作 C H\bot A D 于点 H ，延长 C H 交 A B 于点F .下列说法错误的是 （D)
A. A D 是△ABC的角平分线B. C H 是 \triangle A C D 的边 A D 上的高线C. A H 是 \triangle A C F 的角平分线和高线D.BE是 \triangle A B D 的边 A D 上的中线
13.（2024·遵义新蒲新区期末）如图， A D 是\triangle A B C 的中线， E 是 A D 的中点，连接 C E 若 \triangle A B C 的面积为12,则 \triangle A C E 的面积为（D)
A.12 B.8 C.6 D. 3
14.下图是甲、乙、丙三位同学的折纸示意图（折 叠后点 C 落到点 C^{\prime} 处).
(1)折出的 A D 是边 B C 上的中线的是 丙(2)折出的 A D 是边 B C 上的高的是 甲(3)折出的 A D 是 \angle B A C 的平分线的是 乙
15. A|北师大附属实验校本经典题 一个缺角的三角形残片如图所示.
(1)不恢复这个缺角，你能画出边 A B 上的高所在的直线吗？你是如何画的？依据是什么？
(2)小明分别画出 \angle A 和 \angle B 的平分线，两线相交于点 D ，又找到边 A B 的中点 E ，作直线 D E ，小明说他画出了第三个角的平分线所在的直线.你认为他说得对吗？为什么？
解： (\mathbb{1}) 能.如图所示。
① 分别过点 A,B 作三角形的高线 A M,B N,A M 与BN相交于点 ^o .
② 过点 |o\rrangle 作 O E\bot A B, 垂足为 F ；③{0F} 即为边AB上的高所在的直线。
依据 \because A M,B N 是三角形的高线，锐角三角形的三条高线相交于一点
：点 ^o 在边 A B 的高线上.
过点 0 有且只有一条直线与 A B 垂直，
OF为边 A B 上的高所在的直线。
(2)不对.理由：三角形的三条角平分线相交于一点，设缺角的顶点是C，则直线 \mathbb{C D} 是第三个角的平分线所在的直线。
CD与 A B 不一定相交于 A B 的中点E,
小明的说法错误。
综合题
16. A石家庄外国语校本经典题如图，在△ABC中 \scriptstyle A B=A C,B E 是腰 A C 上的中线.
(1)若 A B{\stackrel{\displaystyle>B C}{\displaystyle>B C}} ，则 \triangle A B E 的周长与 \triangle B E C 的周长之差为 A B{-}B C
(2)若△ABE的周长比 \triangle B C E 的周长多2，且A B 与 B C 的和为10,求 A B,B C 的长.
(3)若 \triangle A B C 的周长为 20\cm,B E 将 \triangle A B C 分成周长差为 4\cm 的两部分，求 \triangle A B C 的边长.
解：(2)由 (1) 可知， \triangle A B E 的周
长与 \triangle B C E 的周长之差为 A B
-BC
\therefore A B-B C=2.
又： A B 与 B C 的和为10，即
A B+B C=10 ，
解得 \scriptstyle A B=6,B C=4.
(3)设 A B=x~cm,B C=y~cm。
① 当 x>y 时，根据题意，得
\left\{{\begin{array}{l l}{{2x+y=20}}\\ {{x-y=4,}}\end{array}}\right. 解得 \begin{array}{r}{\{{x=8},}\\ {{y=4}.}\end{array}
e^{-}{\triangle}A B C 的三边长分别为8 cm,8\cm,4\cm
② 当 x{<}y 时，根据题意，得16
[2x+y=20 解得< 3y-x=4, 28y= 3
\~ABC的三边长分别为 cm,3 (16)/(3) M (28)/(3)
小专题1三角形的中线、高线的运用
类型1利用中线解决面积问题
1.如图， A D 是△ABC的中线， E 是 A D 的中点，连接BE，CE.若 \triangle A B C 的面积是8,则阴影部分的面积为 （B）
A.2 B. 4 C.6 D. 8
2.如图，在 \triangle A B C 中，已知 D,E,F 分别为 B C ，_{A D,C E} 的中点.
(1)若 S_{\triangle A B C}=1 ,则 \begin{array}{r l}{S_{\triangle B E F}=}&{{}(1)/(4)}\end{array} (2)若 S_{\triangle B F C}=1 ,则 S_{\triangle A B C}=\overline{{{\cal{4}}*{\cal{4}}}}.
3.【转化思想】如图， D,E 分别是 \triangle A B C 的边A B ， B C 上的点， A D=2B D ， B E=C E ，设\triangle A D F 的面积为 S_{1} ， \triangle C E F 的面积为 S_{2} .若
S_{\triangle A B C}=6 ，求 S_{1}{-}S_{2} 的值.
解： \because B E{=}C E,S_{\triangle B C}{=}6,
.S△uc=S△c=X6=3.
"AD=2BD,SABc =6,
:.S△ACD = S△nC=4.
\begin{array}{r l}&{\therefore S_{1}-S_{2}=(S_{\triangle A D}-S_{\triangle A F C})-(S_{\triangle A C}-S_{\triangle A F C})=S_{\triangle A D}}\\ &{-S_{\triangle A E C}=4-3=1.}\end{array}
归纳
在三角形中，若遇到三角形的中线，就能得到两条相等的线段；三角形的任意一条中线能把三角形分成面积相等的两部分.
类型2三角形高线的应用
题型1等面积法在三角形高线问题中的应用
4.【教材母题】（教材P10习题T7)如图，在 \triangle A B C 中,若 A B{=}2,B C{=}4 则 \triangle A B C 的高 A D 与 C E 的比是_1:2_.(提示：利用三角形的面积公式)
【变式】如图， A B\bot B D 于点 B,A C\bot C D 于点 C ,且 A C 与 B D 相交于点 E .已知 A E{=}5 ，D E{=}2,C D{=}(9)/(5) 号,则 AB的长为 (9)/(2)
归纳
在三角形的两条边和这两条边上的高这四个量中，已知其中的三个量，可用等面积法求第四个量.
5.如图，在 \triangle A B C 中， A B=A C ， D E\bot A B ，D F\bot A C,B G\bot A C ，垂足分别为 E,F,G. 求证： D E+D F{=}B G.
证明：连接 A D/
** S_{\Delta A B C}=S_{\Delta A B D}+S_{\Delta A D C},
\therefore{(1)/(2)}A C* B G={(1)/(2)}A B* D E+ {(1)/(2)}A C* D F.
"AB=AC,DE+DF=BG.
归纳
遇到垂线时，先观察垂线在不在某个三角形中，若不在，需要连接辅助线，将垂线放到一个三角形中去，然后利用三角形的面积进行换算.
题型2分类讨论思想在高线问题中的应用
6.已知 A D 是 \triangle A B C 的高， \angle B A D=60° \angle C A D=20° ，则 \angle B A C=80° 或 {40}°
7.已知 A D,A E 分别是 \triangle A B C 中边 B C 上的高和中线，且 A D{=}6,E D{=}3,C D{=}2 ，求 \triangle A B C 的面积.
解：如图1，当高 _{A D} 在 \triangle A B C 的内部时，则 E C=E D
+C D{=}5,\therefore B C{=}2E C{=}10.
\therefore S_{\triangle A B C}=(1)/(2)x10x6=30;
如图2，当高 A D 在 \triangle A B C 的外部时，则 E C=E D-
C D{=}1,{\therefore}B C{=}2E C{=}2.
~\Lambda~_{\circ}°,S_{\Delta A B C}=(1)/(2)x2x6=6.
归纳
涉及三角形高的问题时，如果题目没有给出图形，一定要画出图形，然后分类讨论.
13.3 三角形的内角与外角
13.3.1 三角形的内角
第1课时三角形的内角和
基础题
知识点1三角形的内角和定理
1.（教材P16习题T1变式)写出下列图形中 x 的值.
2.在一个三角形中，三个内角之比为 1:2:6 则这个三角形的形状是 (A)
A.钝角三角形 B.锐角三角形C.直角三角形 D.无法确定
3.（教材P13练习T2变式)如图，点 E,D 分别在A B,A C 上，若 \angle B=30° ， \angle C=55° ，则 \angle1+\angle2 的度数为 （A）
A. 85°
B. {80}°
C. 75°
D. {70}°
4.（教材P16习题T3变式）在 \triangle A B C 中， \angle B 比 \angle A 大 20°,\angle C 比 \angle B 大 {20}° 求 \triangle A B C 的各内角的度数.
解：设 \angle A=x° ，则 \angle B=\angle A+20°=(x+20)° \angle C=\angle B+20°=(x+20+20)°=(x+40)° \therefore x+x+20+x+40=180 解得 x=40 事\therefore\angle A=40°,\angle B=60°,\angle C=80°
5.为了证明“三角形的内角和是 180^{\circ\bullet} ，林老师给出了如图所示四种作辅助线的方法：
回答下列问题：
(1)图1、图2在证明三角形内角和的过程中应用的数学思想是_A
A.转化思想 B.整体思想C.方程思想 D.数形结合思想(2)请选用图3或图4证明三角形的内角和是{180}°.
解：选择图3，证明 \because D E//B C,D F//A C.
\therefore\angle B=\angle E D A,\angle A=\angle E D B,\angle C=\angle D E B=\angle E D F. 根据平角的定义，得 \angle F D B+\angle E D A+\angle E D F= 180° ，
\angle A+\angle B+\angle C=180°
选择图4，证明：CD//AB，
\angle A=\angle A C D,\angle B+\angle B C D=180°
*\angle B C D=\angle A C B+\angle A C D,
B+/ACB+ACD=180°.
"A+/B+/ACB=180°.
知识点2三角形的内角和定理与三角形的角平分线、平行线的综合
6.（教材P12例1变式）如图，在 \triangle A B C 中， A D 平分 \angle B A C ， \angle B=70° ， \angle B A D=30° ，则 \angle C 的度数为 （D)
A. 35° B. 40° C.45° D. 50°
7.（2022·黔西南）如图，在 \triangle A B C 和 \triangle A D E 中， \angle B A C=\angle D A E=90° ， \angle B=60° ， \angle D= 45° A C 与 D E 相交于点 F .若 B C//A E ，则\angle A F E 的度数为 \underline{{105}}°
知识点3三角形的内角和定理的应用
8. A华师二附中校本经典题 如图，这是一个建筑工地的三角形支撑架ABC，它的上部\angle A C B 被一个长方形钢架遮挡，测量得\angle A=60° \angle B=80° ,则被遮挡的/ACB的度数为 （B）
A. {30}° B. {40}° C. 50° D. {60}°
9.（教材P12例2变式）如图， B 岛在 A 岛的南偏西 55° 方向， B 岛在 C 岛的北偏西 {60}° 方向，C 岛在 A 岛的南偏东 {30}° 方向，则从 B 岛看 A{,}C 两岛的视角 \angle A B C 的度数为 65°
中档题
10.如图，在 \triangle A B C 中， P 是 \triangle A B C 三条角平分线的交点，则 \angle P B C+\angle P C A+\angle P A B=( D)
A. 45° B. {{120}°} C. {180}° D. 90°
11. A北师大附属实验校本经典题如图，在 \triangle A B C 中， \angle A=70° ， \angle C=30° ， B D 平分 \angle A B C 交A C 于点 D,D E//A B ，交 B C 于点 \boldsymbol{\mathbf{\mathit{E}}} ，则\angle B D E 的度数是 （B ）
A. {30}° {B}.{40}° C.50° D. {60}°
12. 新考向真实情境(本课时T8变式)如图，直线 {\mathbf{\Omega}}_{a,b} 相交所成的角跑到画板外面了，某同学发现只要量出画板的边 \mathbf{\xi}_{l} 分别与直线{\mathbf{\omega}}_{a,b} 相交所形成的角的度数就可求得该角.已知 \angle1=71° \angle2=78° ，则直线 {\mathbf{α}}_{a,b} 相交所形成的锐角的度数为 31°
13.（2023·十堰）将一副三角板按如图所示的方式放置 \angle C=30° \angle D=45° ，点 A 在 D E 上，点 F 在 B C 上.若 \angle E A B=35° ，则\angle D F C=100°
14. A北京五中校本经典题如图，在 \triangle A B C 中，O 是 \triangle A B C 角平分线的交点.已知 \angle A B C= {60}° ” \angle A C B=80° ，求 \angle B O C 的度数
解： \because O 是 \triangle A B C 角平分线的交点，
\therefore\angle O B C={(1)/(2)}\angle A B C= {(1)/(2)}x60°=30°
\angle O C B=(1)/(2)\angle A C B=(1)/(2)x80°=40°. \therefore\angle B O C=180°-\angle O B C-\angle O C B=180°-30°- 40°=110°
【拓展变式1】如图,在\triangle A B C 中， B E,C D 为角平分线，且交点为 O. 若\angle B O C=120° ，则 \angle A 的度数为 {60}°
【拓展变式2】试猜想上题中 \angle A 与 \angle B O C 的数量关系：若 \angle A=α ，则 \angle B O C 的度数为90°+(1)/(2)a
综合题
15. A石家庄外国语校本经典题如图， \triangle A B C 是一张纸片，把 \angle C 沿 D E 折叠，使点 C 落在点C^{'} 的位置.
(1)当 \angle C=45° 时，求 \angle1+\angle2 的度数.(2)若 \angle C=α ,请直接写出 \angle1+\angle2 的度数.（用含 α 的代数式表示)
解： (1)\because\angle C=45°,\angle C D E
+\angle C E D+\angle C=180°
： \angle C D E+\angle C E D=180°-
45°=135°
由折叠可知， \angle C D E=^{B} D
\angle C^{\prime}D E,\angle C E D=\angle C^{\prime}E D.
\therefore\angle C^{\prime}D E+\angle C^{\prime}E D=\angle C D E+\angle C E D=135°.
\therefore\angle1+\angle2=360°-(\angle C D E+\angle C E D)-(\angle C^{\prime}D E
+\angle C^{\prime}E D){=}360°{-}135°{-}135°{=}90°
(2)\angle1+\angle2=2a
第2课时直角三角形的两个锐角互余
基础题
? 知识点1直角三角形的两个锐角互余
1.如图，在 Rt\triangle A B C 中， \angle C=90° ， \angle B=56° 则 \angle A 的度数为 (A）
A. 34° B. 44° C. 124° D. 134°
2.如图，某同学将一块三角板叠放在直尺上，则\angle1+\angle2= （C)
A. {60}° B. 75° C. 90° D. 105°
3.（1)一个直角三角形的两个锐角相等，则这两个相等的锐角的度数为 45° (2)在 \triangle A B C 中，已知 \angle A=90° ，且 \angle B 一\angle C=20° ，则 \angle C 的度数为 35°
A|北师大附属实验校本经典题已知：如图，在Rt\triangle A B C 中， \angle A C B=90° ， C D\bot A B ，垂足为D_{*} 求证： \angle A=\angle D C B.
证明：在 \mathbf{Rt}\triangle A B C 中， \angle A C B= 90°
： \angle A=90°-\angle B.
":CD⊥AB,
.\angle C D B{=}90° 年
。 \therefore\angle D C B=90°-\angle B.
\angle A=\angle D C B.
知识点2有两个角互余的三角形是直角三角形
5.（2024·遵义期中）在 \triangle A B C 中， \angle A=20° ，\angle B=70° ，则 \triangle A B C 的形状是 （B)
A.钝角三角形 B.直角三角形C.锐角三角形 D.等边三角形
6.（教材P14练习T2变式）如图， E 是 \triangle A B C 的边 A C 上的一点，过点 E 作 E D\perp A B ，垂足为 D. 若 \angle1=\angle2 ，则 \triangle A B C 是直角三角形吗？为什么？
解 :\Delta A B C 是直角三角形.理~bar~{~BD\perp A B}
。 .\angle A D E{=}90°
。 *\angle1+\angle A=90°.
又： \angle1=\angle2 ，
\therefore\angle2+\angle A=90°
： \angle C=180°-90°=90°. ： \triangle A B C 是直角三角形.
易错点直角三角形中的直角顶点不确定导致漏解
7.如图，已知 \angle A O D=30°,C 是射线 O D 上的一个动点.在点 C 运动的过程中，当 \triangle A O C 恰好是直角三角形时， \angle A 的度数为 {\overline{{^{60}}}}° 或 90°
中档题
8.（教材P21复习题T1变式）下列条件： ①\angle A+ \angle B=\angle C ② ZA:ZB: \angle C=5:3:2 ③\angle A= 90°-\angle B;④\angle A=2\angle B=3\angle C;⑤\angle A= {(1)/(2)}\angle B={(1)/(3)}\angle C. 其中能确定 \triangle A B C 是直角三角形的有 (C)
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
9.如图，在 \triangle A B C 中， \angle A C B=90° ，将 \triangle A B C 沿 C D 折叠，使点 B 恰好落在边 A C 上的点 E 处.若 \angle A=24° ，则 \angle E D C=60°
综合题
10. A|人大附中校本经典题如图1，在 \triangle A B C 中，A D\bot B C 于点 D,C E\bot A B 于点 E.
(1)猜测 \angle1 与 \angle2 的大小关系，并说明理由.
(2)如图2,如果 \angle A B C 是钝角，其余条件不变，(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由.解： (1)\angle1=\angle2. 理由如下：
AD⊥BC,CE⊥AB,
\bigtriangleup A B D 和 \triangle B C E 都是直角三角形.
\therefore\angle1+\angle B=90°,\angle2+\angle B=90°,\therefore\angle1=\angle2。 (2)(1)中的结论仍然成立.理由如下：
AD⊥BC,CE⊥AB,
\angle D=\angle E=90°
2+ABD {\bf\Pi}=90° ， \angle1+\angle C B E=90°.
又： \scriptstyle\mathbf{\dot{\boldsymbol{A}}}\mathbf{\boldsymbol{B}}\mathbf{\boldsymbol{D}}=\_\mathbf{\tilde{\mu}}\mathbf{\boldsymbol{C}}\mathbf{\boldsymbol{B}}{\boldsymbol{E}} ，
\therefore\angle1=\angle2
温馨提示
周测 (13.1~13.3.1)
学生用书单独成册
（时间：40分钟满分：100分）
一、选择题(每小题4分，共32分）
1.下列长度的三根小木棒能构成三角形的是（B）
A. _{7}\cm,4\cm,2\cm B .5\cm,5\cm,6\cm C.3\cm,4\cm,8\cm I ).2\cm,3\cm,5\cm
2.在数学课上，同学们在练习画边 A C 上的高时，画出的以下四个图形中正确的是（C）
3.椅子是一种日常生活家具，现代的椅子追求美观时尚，一些椅子被赋予了更多科技，使人类的生活更加方便.下列椅子的设计中利用了“三角形稳定性”的是 (C)
4.在 \triangle A B C 中，若 \angle A=\angle B-\angle C 则 \triangle A B C 是 ( B >
A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.不确定
5.如图， \triangle A B C 为直角三角形， \angle A C B=90° ，C D\bot A B ，则图中所有与 \angle1 互余的角是（C）
A. \angle B
B. \angle A
C. \angle B C D 和 \angle A D. \angle B C D
6.若等腰三角形的周长为 10\cm ,其中一边长为2\cm ,则该等腰三角形的底边长为 （A)
A. 2\cm B. 4\cm C.6\cm D.8\cm
7.如图，在 \triangle A B C 中， B{\cal F} 平分 \angle A B C,C F 平分\angle A C B \angle A=70° ，则 \angle F= (A)
A. 125° B. 130° C.135° D. {{140}°}
8.如图，将 \triangle A B C 沿 D E,H G,E F 翻折，三个顶 点均落在点 O 处.若 \angle1=119° ，则 \angle2 的度数 为 （B)
A. 59° B.61° {C.69°} D. 71°
二、填空题(每小题4分，共24分）
9.如图，在 \triangle A B D 中， \angle A 的对边是 BD
10.如图所示的是用一副三角板拼成的图案，则\angle A E C 的度数为 75°
11.如图，经测量， B 处在 A 处的南偏西 {60}° 的方向， C 处在 A 处的南偏东 {20}° 方向， B E 为正北方向，且 \angle C B E=100° ，则 \angle A C B 的度数是_ {\overline{{^{60}}}}°
12.如图，在 \triangle A B C 中， A D 为边 B C 上的中线，D E\bot A B 于点 E,D F\bot A C 于点 F,A B{=}3 ，A C{=}4,D F{=}1.5. 则 D E=2
13.如图，已知点 A,B,C 在直线 \mathbf{\Psi}_{a} 上，点 D,E 在直线 b 上.以点 A,B,C,D,E 中的任意三点作为三角形的顶点，可以组成的三角形共有_9_个.
14.已知 B D,C E 是 \triangle A B C 的高，且 B D,C E 所在直线相交所成的4个角中，有一个角的度数是 45° ，则 \angle B A C 的度数为135°或45°
三、解答题（共44分）
15.(8分)如图， \scriptstyle A B=B C=A C,A D=C D,A C 与BD相交于点 O (1)写出以 A B 为边的三角形.(2)找出图中的等腰三角形和等边三角形.
解：（1)以AB为边的三角形有\triangle A B C,\triangle A B D,\triangle A B O.
(2）图中的等腰三角形有\triangle A B C,\triangle A C D; 等边三角形有\triangle A B C.
16.(10分)如图， A D 是 \triangle A B C 的高， A E,B F 是\triangle A B C 的角平分线，且 \angle C B F=30° ，
(1)求 \angle B A D 的度数.
(2)若 \angle A F B{=}70° ，求 \angle D A E 的度数.
解：(1)由题意可知， \angle A B C
=2\angle C B F{=}60°
AD是 \triangle A B C 的高，
\therefore\angle A D B=90° 费
\therefore\angle B A D=180°-\angle A B D
-\angle A D B=30°
(2)由题意可知， \angle B A C=180°-\angle A B F-\angle A F B=
180°-30°-70°=80°.
°A\mathbb{E} 平分 \angle B A C ，
\therefore\angle B A E=(1)/(2)\angle B A C=40°.
\therefore\angle D A E=\angle B A E-\angle B A D=40°-30°=10°.
17.（12分)实践教育：为提高学生火灾逃生能力，学校组织学生进行模拟逃生演练，需要制作若干个铁质三角形框架模拟火灾中坍塌的环境.
数据收集：设计小组成员到建材市场收集数据如下表所示.
| 铁条规格/米 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 价格/(元·根-1) | 6 | 8 | 10 | 15 | 20 |
数据应用：设计小组需要制作两边长分别为2米和4米，第三边长为奇数的不同规格的三角形框架.
(1)根据市场能购买到的铁条制作满足上述条件的三角形框架，共有2种制作方案.
(2)若(1)中每种规格的框架各制作一个，则购买铁条共需多少钱？
解：当三角形框架的边长为 ^{2,3,4} 时，所需费用为 6 +8+10=24( 元 )
当三角形框架的边长为 2,4,5 时，所需费用为 6+ 10+15=31( 元 ).
\therefore24+31=: 55（元）.
答：购买铁条共需55元.
18.（14分)如图1，将三角板（△MPN， \angle M P N= 90° 放置在 \triangle A B C 上（点 P 在 \triangle A B C 内)，三角板的两边 P M,P N 恰好经过点 B 和点C ，我们来探究 \angle A B P 与 \angle A C P 是否存在某种数量关系.
（1）特例探究：若 \angle A=50° ，则 \angle P B C+ \angle P C B=90° ， \angle A B P+\angle A C P= {40}°
(2)类比探究：探究 \angle A B P+\angle A C P 与 \angle A 之间的数量关系.
(3)变式探究：如图2,改变三角板的位置，使点 P 在 \triangle A B C 外，三角板的两边 P M P N 仍恰好经过点 B 和点 C ，探究\angle A B P \angle A C P \angle A 之间的数量关系.
解：(2 )\because(\angle P B C+\angle P C B)+(\angle A B P+\angle A C P)+ \angle A=180° 事
\therefore\angle A O P+\angle A B P+\angle A C P+\angle A=180°。
\therefore\angle A B P+\angle A C P=90°-\angle A.
(3)设 A B 交 P C 于点0.
\because\angle A O C=\angle P O B,\angle A C O+\angle A+\angle A O C=\angle P+ \angle P B O+\angle P O B=180° ，
\therefore\angle A C O+\angle A=\angle P+\angle P B O
即 \angle A C P+\angle A=90°+\angle A B P
\therefore\angle A C P-\angle A B P=90°-\angle A.
13.3.2 三角形的外角
基础题
知识点1三角形的外角
1.图中， \angle1 是 \triangle A B C 的外角的是 （D ）
知识点2三角形的外角的性质
2.如图， B,C,D 三点在同一条直线上， \angle B= 56° ， \angle A C D=120° ，则 \angle A 的度数为（B）
A. 56° B,64° C. {60}° D. 76°
3.(2023·黔西南期末)将一副含 30°,45° 角的三角板按如图所示的方式放置，则 \angleα+\angleβ= (C)
A. {30}° B. {40}° C.45° D. {60}°
4.如图，在 \triangle A B C 中， C E 是外角 \angle A C D 的平分线，且 \angle B=28° ， \angle A C E=62° ，则 \angle B A C 的度数为 ( B）
A. 90° B. 96° C. \boldsymbol{106°} D. 124°
5.如图，已知直线 l_{1},l_{2},l_{3} 两两相交,且 l_{1}\perp l_{3} 若 \angleα=50° ，则 \angleβ 的度数为_ \underline{{140}}°
6.（教材P16习题T1变式)在如图所示的三角形中， x 的值是_60
7. 新考向真实情境如图，这是一台放置在水平桌面上的电脑显示屏，将其侧面抽象成平面几何图形，测得 \angle A C D=120° \angle A B C= 2\angle B A C ，则 \angle A B C=80°
8.如图， D 是 \triangle A B C 的边 B C 上的一点， \angle B= ZBAD, \angle A D C=70° ， \angle B A C=80° 求 \angle C 的度数.
解： \because\angle A D C=\angle B+\angle B A D 又： \angle B=\angle B A D,\angle A D C= 70° ，
\therefore\angle B=\angle B A D=35°.
在 \triangle A B C 中， \angle B=35° \angle B A C=80°
\therefore\angle C=180°-(\angle B+\angle B A C)=180°-(35°+80°)
{}=65°
知识点3三角形的外角和
归纳：三角形的外角和等于 360°
9.(教材P15例4变式)如图， \angle B A E,\angle C B F,\angle A C D 是 \triangle A B C 的三个外角.若 \angle A C D=125° ，则 \angle B A E+ \angle C B F=235°
易错点对三角形的外角的性质理解不清致错
10.下列说法错误的是 ( B
A.一个三角形中至少有两个锐角B.一个三角形中，一个外角大于任意一个内角C.直角三角形的外角不可能是锐角D.若三角形有一个外角为锐角，则这个三角形一定是钝角三角形
中档题
11. A|北师大附属实验校本经典题如图，在△ABC中,点 D 在边 A C 上(不与端点重合),连接BD.则 \angle1,\angle2,\angle3 的大小关系是 （A
A. \angle1<\angle2<\angle3
B. \angle1<\angle3<\angle2
C. \angle3<\angle2<\angle1
D. \angle2<\angle1<\angle3
12. 新考向跨学科如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心 O 的光线相交于点 P ，点 F 为焦点.若 \angle1=155° ， \angle2=30° ，则 \angle3 的度数为(C)
A. 45° B.50° C.55° D. 60°
13.如图，在△ABC中， \angle A B C=40° ， \angle A C D= 76° ,BE平分 \_A B C,C E 平分△ABC的外角\angle A C D ,则 \angle E=18°
14.（教材P17习题T11变式）如图，CE是\triangle A B C 的外角 \angle A C D 的平分线， C E 交 B A 的延长线于点 E
(1)若 \angle B=30° \angle B A C=88° ，求 \angle E 的度数 (2)若 \angle B=\angle E=α ，请直接写出 \angle B A C 的 度数.（用含 α 的代数式表示)
解：（1）： \angle B=30° ，\angle B A C=88° ，
\angle A C D=\angle B+\angle B A C \mathbf{\tau}=118°
CE是 \triangle A B C 的外角\angle A C D 的平分线，
:.ECD=↓ACD=59°.:./E=/ECD-B=29°(2)/BAC=3α.
综合题
15.如图，在 \triangle A B C 中， \angle A C B>\angle B,A D 平分\angle B A C,P 为线段 A D 上的任意一点， E P\bot A D 交直线 B C 于点 E
(1)若 \angle B=36° ， \angle A C B=78° ，则 \angle E= 21°
(2）当点 P 在线段 A D 上运动时，求证：\angle E=(1)/(2)(\angle A C B-\angle B).
证明： \angle B+\angle B A C +\angle A C B=180° ， ： \angle B A C=180°- (\angle B+\angle A C B) \because A D 平分BAC,
\therefore\angle B A D=(1)/(2)\angle B A C=90°-(1)/(2)(\angle B+\angle A C B). \therefore\angle A D C=\angle B+\angle B A D=\angle B+90°-(1)/(2)(\angle B+ \angle A C B)=90°-(1)/(2)(\angle A C B-\angle B).
\because P E\bot A D
\therefore\angle D P E=90°
\therefore\angle A D C+\angle E=90°.
.E=90°-ADC=(<ACB-B).
微专题1 运用“飞镖形”“8字形”求角度
以题明法
常用的两个基本图形公式：
飞镖形结论：如图1， \angle B O C=\angle B A C+\angle B+ ZC.
推理过程：如图1,连接 A O 并延长至点 D.
： \angle B O D=\angle B+ BAD， \angle C O D=\angle C+ ZCAD \because\angle B O C=\angle B O D+\angle C O D= BAC+/B+/C
还可以延长 B O 交 A C 于点 E 得出此结论，试
试看吧！
8字形结论：如图 2,\angle A+\angle B=\angle C+\angle D. 推理过程：如图 2,\because\angle A O C=\angle A+\_ ZB \angle A O C=\angle C+ ZD_,.A+_B ZC+_ZD
还可以根据 \angle A+\angle B+\angle A O B=\angle C+\angle D=\angle \angle C O D 得出此结论，试试看吧！
针对训练
1.如图， A B,C D 相交于点 O ,连接 A D,B C. 若 \angle A=43° ， \angle D=57° ， \angle C=37° ，则 \angle B 的度 数为_ 63°
2.如图， C E 平分 \angle A C D ，交 A B 于点 E_{\ast} 若 \angle A=\dag {40}° \angle B=30° \angle B D C=110° ，则 \angle B E C 的度数 为 {6\mathbf{0}}°
3. A|人大附中校本经典题如图， \angle A+\angle B+ \angle C+\angle D+\angle E=180°
微专题2 三角形的角平分线、高线的夹角模型
【母题】A清华附中校本经典题 如图,在\triangle A B C 中， A D,A E 分别是 \triangle A B C 的角平分线和高线， \angle A B C=α ， \angle A C B=β(α<β) .
(1)若 α{=}35°,β{=}55° ，则 \angle D A E{=}\underline{{{\ }}}{=}\underline{{{\ }}}{=}\underline{{{\ }}}
(2)小明说：“无需给出 α,β 的具体数值，只需确定 β 与 α 的差值，即可确定 \angle D A E 的度数."请通过计算验证小明的说法是否正确.
解： \because\angle A B C=α,\angle A C B=β, \angle B A C=180°-α-β_{\circ} AD平分 \angle B A C 口 BAD =BAC= P DE C
(180°-α-β). \begin{array}{r}{\stackrel{\circ}{\circ}A B E\bot B C,\stackrel{\circ}{\circ}\angle A E B=90°,\stackrel{\circ}{\circ}\angle B A E=90°-α,}\end{array} DAE=BAE-BAD=（90°-α）-
(180°-α-β)=(β-α). DAE的度数
与 α,β 的具体数值无关， 9 和 β 与 ±b{α} 的差值有关。 小明的说法是正确的.
针对训练
1.如图，在 \triangle A B C 中， \angle B=20° ， \angle A C B=\ddag {{110}°},A E 平分 \angle B A C,A D\bot B D 于点 D ，则\angle D A E{=} 45°
2.如图，在 \triangle A B C 中， \angle B<\angle C,A D 平分\angle B A C,E 为 A D （不与点 A,D 重合)上任意一点， E F\bot B C 于点 F. 若 \angle B=46° + \angle D E F= 14° ，则 \angle C=74°
3.如图，在 \triangle A B C 中，点D,E 在边 B C 上， A D 平分 \angle B A C,F 为 D A 延长线上一点， F E\bot B C ，\angle B=35° ， \angle C=65° ，则\angle D F E 的度数为 15°
微专题3 利用数学思想方法求角度
类型1方程思想
? A清华附中校本经典题如图，在△ABC中，\angle C=\angle A B C=(3)/(2)\angle A,B D 是边 A C 上的高.求 \angle D B C 的度数.
解:设A=x°,则C=ABC=量 \angle A+\angle C+\angle A B C=180° 即 x+ (3)/(2)x+(3)/(2)x=180 解得 x=45 ，
\angle A=45° ， \angle C=67.5°
BD是边 A C 上的高，
。 *\angle C D B{=}90°
\therefore\angle D B C=90°-\angle C=22.5°.
类型2整体思想
2 A石家庄外国语校本经典题 如图， \angle E C A ， \angle D A C 分别 是 \triangle A B C 的两个外角.若 \angle B=50° ，则 \angle E C A+ \angle D A C=230°
3.小明把一副含 45°,30° 的直角三角板按如图所示的方式摆放，其中\scriptstyle\angle C=\angle F=90°,\angle A= 45° ， \angle D=30° ，则 \angleα+\angleβ=\angle10° 类型3分类讨论思想
A石家庄外国语校本经典题 \triangle A B C 的一个内角为 {40}° ，且 \angle A=\angle B ，则 \angle C 的外角是{80}° 或 {140}°
5.（2024·贵阳三中期中）如图， A D 是 \triangle A B C 的角平分线， C E 是 \triangle A B C 的高，\angle B A C=60° \angle A C B=
78°,F 为边 A B 上一点，当 \triangle B D F 为直角三角形时，则 \angle A D F 的度数为 {6\mathbf{0}}° 或 18°
小专题2三角形中内、外角平分线的常见模型
模型探究
母题两内角平分线的夹角
【例】（教材P22复习题T8节选）如图，\triangle A B C 的 \angle A B C 和 \angle A C B 的平分线 B E,C F 相交于点 G. 求证： \angle B G C=90°+{(1)/(2)}\angle A
证明：BE， C F 分别是
\angle A B C,\angle A C B 的平分线，<GBC+GCB
(1)/(2)(\angle A B C+\angle A C B). \begin{array}{c}{{\therefore\angle B G C=180°-(\angle G B C+\angle G C B)}}\\ {{=180°-/12(\angle A B C+\angle A C B).}}\end{array} 又 \angle A B C+\angle A C B=180°-\angle A, \therefore\angle B G C=180°-{(1)/(2)}(180°-\angle A)=90°+{(1)/(2)}\angle A.
变式角度1一内角平分线与一外角平分线的夹角
【变式1】如图所示， P 是 \triangle A B C 的内角\angle A B C 和外角 \angle A C D 的平分线的交点，试探究\angle P 与 \angle A 之间的数量关系.
解： \mathbf{\Sigma}_{\circ}°\triangle A B C 的内角平 P
分线 B P 与外角平分线 \boldsymbol{c r}
交于点P, ~\therefore~\angle P B C=(1)/(2)\angle A B C,
\scriptstyle\angle P C D={(1)/(2)}\angle A C D. B C \bar{D} 又： \angle A C D=\angle A+\angle A B C \angle P C D=\angle P+
PBC, \therefore(1)/(2)(\angle A+\angle A B C)=\angle P+(1)/(2)\angle A B C. \therefore\angle P=(1)/(2)\angle A.
变式角度2两外角平分线的夹角
【变式2】如图所示， P 是 \triangle A B C 的两个外角 \angle E B C 和 \angle F C B 的平分线的交点，试探究\angle P 与 \angle A 之间的数量关系.
解： \because\angle E B C=\angle A C B+\angle A, \therefore\angle E B C+\angle F C B=\angle A C B+\angle A+\angle F C B=180° +\angle A.
BP，CP分别是 \angle E B C \angle F C B 的平分线，\therefore\angle P B C=(1)/(2)\angle E B C,\angle P C B =(1)/(2)\angle F C B. \begin{array}{r}{\dot{\mathbf{\eta}}_{\circ\circ}\angle P B C+\angle P C B=(1)/(2)(\angle E B C+\angle F C B)=}\end{array} {(1)/(2)}(180°+\angle A)=90°+{(1)/(2)}\angle A. \therefore\angle P=180°-(\angle P B C+\angle P C B)=180°-(90°+ {(1)/(2)}\angle A)=90°-{(1)/(2)}\angle A.
【拓展】 如图，已知\angle P B C=(1)/(3)\angle D B C,\angle P C B= \scriptstyle{(1)/(3)}\angle E C B ，则 \angle B P C 与 \angle A 之间的数量关系为 \angle B P C=120°-{(1)/(3)}\angle A
模型识别与运用
1.如图，在 \triangle A B C 中， B O,C O 分别平分 \angle A B C ，\angle A C B,C E 为外角 \angle A C D 的平分线，交BO的延长线于点 E ，记 \angle B A C=\angle1 ， \angle B E C= \angle2 ，则下列结论中错误的是 （B）
A. \angle1=2\angle2 B. \angle B O C=3\angle2 C.\angle B O C{=}90°{+}(1)/(2)\angle1 D. \angle B O C=90°+\angle2
2.如图，在 \triangle A B C 中， \angle A B C,\angle A C B 的三等分线分别对应交于点 E,D. 若 \angle E=90° ，则\angle B D C 的度数为 \boldsymbol{135°} ， \angle A 的度数为45°
3.如图， \triangle A B C 的两条内角平分线 B O,C O 相 交于点 O ,两条外角平分线 B P,C P 相交于点 P .已知 \angle B O C=120° ，则 \angle P=60°
章末复习(一) 三角形
贵州考点针对练
考点1三角形的概念
1.如图，在 \triangle A B C 中 \scriptstyle A B=B C=A C,B D\bot A C 垂足为 D ，点 \boldsymbol{\mathbf{\mathit{E}}} 在边 B C 的延长线上，且有\scriptstyle C E=C D,D B=D E.
(1)以点 c 为顶点的三角形有 ABC, △CBD,CDE_；以CD为边的三角形有△CBD,△CDI(2)图中的等腰三角形有 ABC,△CDE,△BDE_；等边三角形有 ABC
(3)图中的直角三角形有_ \Delta A B D,\Delta C B D _;钝角三角形有 CDE,BDE
考点2三角形的边
2.已知三角形两边的长分别是4和10，写出第三边长的一个整数值：_7（或8或9或10或11或12或13）_.(写一个即可)
3. 新考向地域文化)（2024·黔东南期末改编)黔东南州黄平县有世界上唯一一处修建于三个不同历史时期的桥梁群—“重安三朝桥”.如图1,分别为清朝时期的铁索桥、民国时期的钢架桥和新中国时期的曲拱桥.处于中间的钢架桥，侧面有很多钢架结构，示意图如图2所示，其中蕴含的数学原理是三角形具有稳定性
4.（2024·遵义仁怀市期末）已知等腰三角形一边长是5，一边长是11,则它的周长是（B）
A.27或21 B.27
C.21 D. 16
考点3三角形的中线、角平分线、高
5.（2024·黔西南兴铭学校期中）如图，在\triangle A B C 中， A D 是高， A E 是角平分线， A F 是中线，则下列说法错误的是 (C)
A. B{\cal F}{=}{\cal C}{\cal F} B. \angle C+\angle C A D=90°
C. \angle B A F{=}\angle C A F D. S_{\triangle A B C}{=}2S_{\triangle A B F}
6.（2024·黔东南期末）如图， A D,C E 都是\triangle A B C 的中线，连接 E D,\triangle A B C 的面积是20~cm^{2} ，则 \triangle C D E 的面积是 （B）
A. 2.5~cm^{2} B.5\cm^{2} C.7.5~cm^{2} D.10\cm^{2}
考点4三角形的内角与外角
7.在下列条件中，能确定 \triangle A B C 是直角三角形的条件是 (C)
A \angle A+\angle B=2\angle C\quadB.\angle C=\angle B \therefore\angle A+\angle B=\angle C\quad~D.~\angle A-\angle B=90°
8.（2023·聊城）如图，分别过 \triangle A B C 的顶点 A ，B 作 A D//B E. 若 \angle C A D{=}25° ” \angle E B C=80° ，则 \angle A C B 的度数为 （B）
A. 65° B. 75° C.85° D. 95°
9.（2023·黔西南期末联考改编)将一副三角板按照如图方式摆放，点 \mathbf{\Psi}_{C,B,E} 共线， \angle F E B= 65° ，则 \angle E D B 的度数为 （D）
A. 18° B. 15° C. 12° D. {10}°
10.（2024·遵义新蒲新区四校期中联考）如图， B D 是 \angle A B C 的平分线， A D\perp B D 于点 D ， \angle C A D=20° ， \angle C=50° ，则 \angle B A D= （D)
A. {30}°
B. {50}°
C. {60}°
D. {70}°
11.如图，这是可调节躺椅的示意图(数据如图)，A E 与 B D 的交点为 C ，且 \angle C A B \angle C B A ,ZE保持不变.为了舒适，需调整 \angle D 的大小，使\angle E F D=110° ,则图中 \angle D 应减少（填“增加"或“减少”） {\underline{{10}}}°
12.（2024·遵义新蒲新区期末）如图，在 \triangle A B C 中，将 \triangle A B C 沿直线 m 翻折，点 B 落在点 D 的位置，则 \angle1 ， \angle2 ， \angle B 之间的关系为\angle1-\angle2=2\angle B
13.（2024·黔东南期中）如图， A D\bot B C,\angle1= \angle2+4° \angle C=64° ，求 \angle B A C 的度数.
解：AD⊥BC,
\therefore\angle A D B=\angle A D C=90° 费
\therefore\angle1+\angle2=90°
\because\angle1=\angle2+4°,\therefore\angle2+4°+
\angle2=90° ，解得 \angle2=43° 费
\because\angle A D C=90°,\angle C=64°
\therefore\angle D A C=90°-64°=26°.
\therefore\angle B A C=\angle2+\angle D A C=43°+26°=69°.
14.（2023·贵阳云岩区月考）如图所示，在\triangle A B C 中， C E,C F 分别是 \angle A C B 及外角\angle A C D 的平分线，且 C E 交 A B 于点 \boldsymbol{E} ，E F//B C 交 A C 于点 M
(1)判断 E C 与 C F 的位置关系，并说明理由，
解：EC⊥CF.理由如下：
CE，CF分别是 \angle A C B 及 M
外角 \angle A C D 的平分线，
ACE = ACB B C D
\scriptstyle\angle A C F={(1)/(2)}\angle A C D.
\because\angle A C B+\angle A C D=180°,\therefore\angle E C F=\angle A C E+
\angle A C F=(1)/(2)(\angle A C B+\angle A C D)=90°.
:.ECLCF.
(2)若 \angle B=40° ， \angle A=60° ，求 \angle F 的度数.
解 \because\angle A=60°,\angle B=40° \because\angle A C D=\angle A+\angle B=100° CF平分 \angle A C D ，
\therefore\angle F C D=(1)/(2)\angle A C D=50°. "EF //BC,
\therefore\angle F{=}\angle F C D{=}50°.
新趋势·新题型·新情境《
15.（2023·衢州）如图，这是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Cobb角 \angle O 的大小，需将 \angle O 转化为与它相等的角，则图中与 \angle O 相等的角是 （B)
A. \angle B E A B.ZDEB C.ZECA D.ZADO
16. 新考向 跨学科实践小组利用激光笔和平面镜演示平行光的反射实验.如图，一组平行光线 {}_{a,b,c} 经过平面镜反射后得到一组互相平行的反射光线.若 \angle1=\angle2=65° ，则 \angle3 的度数为 \underline{{130}°}
17. 新考向 数学文化（2023·株洲）《周礼·考工记》中记载：“.....半矩谓之宣（xuan），一宣有半谓之（zhu).…..."意思是.....直角的一半的角叫作宣，一宣半的角叫作····（1宜 =(1)/(2) 矩，1橘 =1(1)/(2) 宣，1矩 {\bf\Phi}={90}°{\bf\Phi}, 问题：图1为中国古代一种强弩图，图2为这种强弩图的部分组件的示意图.若 \angle A= 1矩， \angle B=1 ，则 \angle C=22.5°
数学活动
数学活动1搭等边三角形
| 活动 主题 | 搭等边三角形 |
| 素材 准备 | 如图，等长的磁力棒9根. |
| 活动 内容 | 我们知道，三角形有三条边，因此用3根等长的 磁力棒可搭成1个等边三角形，那么如何用最少 的磁力棒，搭出最多的等边三角形呢？ |
| 活动 | 用6根磁力棒最多可搭出多少个等边三角形？ (1)小明在桌面上进行尝试，他搭成了两个等边 三角形(如图1). 图1 图2 图3 他发现两个三角形共用1条边，就能省出1根磁 力棒(如图2).如果能像图3那样，把最远的两个 顶点连起来就太好了！但那根长度不一样，怎么 解决呢？搭成立体结构，就能实现，试一试吧！ |
| 活 动 二 | 用9根磁力棒最多可搭出多少个等边三角形？ (2)小明先搭出如图4所示 的平面结构，发现只有5个 等边三角形.若搭成立体结 构，能否增加等边三角形的 个数？试一试吧！ 图4 |
| 活动一 三 | 忽略磁力棒的粗细（即把磁力棒看作线段)，能否 搭出更多的等边三角形？ (3)小萌尝试把图1中的两个三角形起来，果然 6根磁力棒能产生更多的等边三角形，试一试吧！ (4)借助(1)和(3)的经验，你能用9根磁力棒搭 出更多的等边三角形吗？试一试吧！ |
请根据上述材料，画出相应的示意图，并完成下表
| 序号 | (1) | (2) | (3) | (4) |
| 示意图 | ||||
| 等边三角 形个数 |
数学活动2多边形的三角剖分
已知：把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段(这些线段不在多边形内部相交)划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分.如图所示的是七边形的三角剖分的几种方法，
(1)请画出六边形的一种三角剖分方法，并指出能剖分出多少个三角形.
(2)对于一个 n 边形的一种三角剖分，若这些三角形的内角总和是 {1~800}° ，求 n 的值.
(3)一个多边形，往往有多种方法进行三角剖分.记 n 边形三角剖分的方法数为 D_{n} ,则当n{>=slant}3 时， D=4n-6.已知 Ds=1,求五边 Dn形的三角剖分方法数 D_{5} .
解： (1) 如图所示（答案不唯一），能剖分出4个三角形.
(2)由题意可知,n边形可三角剖分为 (n-2) 个三角形，这些三角形的内角总和为 (n-2)x180° \therefore(n-2)x180=1800, 解得 n{=}12
(3)将 \scriptstyle n=3 代 \scriptstyleλ{(D_{n+1})/(D_{n)}}={(4n-6)/(n)} 得(D_{4})/(D_{3)}=(4x3-6)/(3)=(12-6)/(3)=(6)/(3)=2. \stackrel{\circ\circ}{*}D_{3}=1,\stackrel{\circ}{\circ}\circ D_{4}=2D_{3}=2x1=2. 将 \scriptstyle n=4 代 \scriptstyleλ{(D_{n+1})/(D_{n)}}={(4n-6)/(n)} 得(D_{5})/(D_{4)}{=}(4x4-6)/(4){=}(16-6)/(4){=}(10)/(4){=}(5)/(2). \because D_{4}=2,\therefore D_{5}={(5)/(2)}D_{4}={(5)/(2)}x2=5. .五边形的三角剖分方法数 D_{5}{=}5,
综合与实践 确定匀质薄板的重心位置
活动1确定简单平面图形的重心位置
1.对于一个形状规则的匀质长方形薄板，其重心位置在 （B）
A.长方形的任意一个顶点处B.长方形两条对角线的交点处C.长方形的一条边上
D.长方形的外部
2.如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点 A,B,C,D,E,F,G 在小正方形的格点上，则 \triangle A B C 的重心是 （A）
A.点 D B.点 E C.点 F D.点 G
3.（2024·遵义仁怀市期末）发现与探究：三角形三条中线的交点叫三角形的重心.重心是个物理名词.从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心.如图1，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心 O 处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态.为什么会平衡呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案.如图 2,A D 是 \triangle A B C 的中线， \triangle A C D 与 \triangle A B D 等底等高,面积相等，记作 S_{\triangle A C D}{=}S_{\triangle A B D} 。如图3，若 \triangle A B C 的三条中线 A D,B E,C F 相交于点 G ，则 G D 是 \triangle G B C 的中线，利用上述结论可得 S_{\triangle G C D}=S_{\triangle G B D} ,同理 S_{\triangle G B F}{=}S_{\triangle G A F} ，S_{\triangle G A E}=S_{\triangle G C E}
(1)如图3,设 {\cal S}_{\triangle G C D}=x,{\cal S}_{\triangle G B F}=y,{\cal S}_{\triangle G A E}= z ，猜想 x,y,z 之间的数量关系，并证明你 的猜想.
(2)由(1)可知，被三条中线分成的六个三角形面积相等.如果 \triangle A B C 的面积为m ,那么用含有 \mathbf{\Psi}_{m} 的式子表示 \triangle B G C 的面积为 {(1)/(3)}m B G:G E{=}\quad2:1\quad\quad
(3)如图 4,\triangle A B C 的两条中线 B D,C E 相交 于点 G ，点 G 是 \triangle A B C 的重心， B D=6 C E{=}9,B D\bot C E 求四边形 A E G D 的面积.
解:(1)猜想 \scriptstyle:x=y=z,
证明：由题意可知 \scriptstyle,S_{\Delta a c D}=S_{\Delta G B D}=x,S_{\Delta G B F}=S_{\Delta A G F}=
y,S_{\Delta G A E}=S_{\Delta G C E}=z,
\begin{array}{r}{\circ\circ S_{\Delta A B D}=S_{\Delta A C D}\circ\circ2y+x=2z+x\circ\circ y=z\circ}\end{array}
\therefore S_{\Delta C B E}=S_{\Delta M B E}:\circ.\forall-=2y+z_{\circ}\circ.x=y.
{\nabla}_{\circ}°x=y=z.
(3)点 bf{it{G}} 是 \triangle A B C 的重心，
由(2)可知 {.}B G:G D{\mathop{=}}C G:G E{\mathop{=}}2:\mathbb{1}.
\therefore B D=6,C E=9,\therefore B G=4,C G=6.
\therefore B D\bot C E,\therefore S_{\Delta B O C}=(1)/(2)B G* C G=(1)/(2)x4x6=12.
由(2)可知, S_{\Delta A B C}=3S_{\Delta B C C}=36 ， \begin{array}{r}{S_{\triangle B E G}=S_{\triangle O G}=}\end{array}
(1)/(2)S_{\Delta B G C}=6.
\therefore S_{\substack{\scriptscriptstylesl{m i n g m a l}}}=36-6-6-12=12.
活动2确定平面组合图形的重心位置
4.物体受重力作用的作用点叫作这个物体的重心.例如：一根均匀的木棒，重心是木棒的中点；一块均匀的三角形木板，重心就是这个三角形木板三条中线的交点等等.(1)你认为平行四边形的重心位置在哪里？(2)现有如图所示的一块均匀模板，请只用无刻度直尺和铅笔画出它的重心.
解：(1)平行四边形的重心位于两条对角线的交点处。(2)如图，把模板分成两个长方形，连接各自的重心；把模板重新分成两个长方形，得到连接各自重心的第二条线段，两条线段的交点 \mathbb{G} 即为重心。
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周测(第十三章)
学生用书单独成册
（时间：40分钟满分：100分）
一、选择题（每小题5分，共30分）
1.下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（C）
A.1,2,3 B.1,2,4
C.2,3,4 D.2,2,4
2.如图，在 \triangle A B C 中， A E 是中线， A D 是角平分线， A F 是高，下列结论不一定成立的是（D）
A. B C{=}2C E
B. \angle B A D{=}{(1)/(2)}\angle B A C
C. \angle A F B{=}90°
D. A E{=}C E
3.有一个厚薄均匀的三角形硬纸板，在硬纸板上选一点，在这个点上钻一个小孔，通过小孔系一条线将三角形硬纸板吊起，若三角形硬纸板处于平衡状态，则这一点可能是 (A)
A.点 N B.点 M C.点 P D.点 Q
4.如图， \scriptstyle* A B=B C=C D=D A=B D ,则图中的等腰三角形有 C
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
5.如图所示的是嘉禾同学在珠海航展上观察到的带底座的无人机简易模型，其中 A B//E F C G\bot E F. 若 \angle A C D=105° ， \angle B=69° ，则\angle A+\angle B D C 的度数是 (C)
A. 15° B.21° C. 36° D. 48°
6.如图，在 \triangle A B C 中， \angle A=20° 沿 B E 将此三角形翻折， B A^{\prime} 交 \vert A C\vert 于点 D ，又沿 B D 再一次翻折，点 C 落在 B E 上的点 C^{'} 处，此时 \angle C^{\prime}D B{=}74° 则原三角形的 \angle C 的度数为 （D）
A.27° B. 59° C. 69° D. 79°
二、填空题（每小题5分，共30分）
7.平板电脑是我们日常生活中经常使用的电子产品，它的很多保护壳还兼具支架功能，有一种如图所示，平板电脑放在它上面就可以很方便地使用了，这是利用了三角形具有稳定性
8.如果将一副三角板按如图的方式叠放，那么\angle A E C 的度数为75°
9.三角形中一个内角 α 是另一个内角 β 的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中 α 称为“特征角”，如果一个“特征三角形”的“特征角”为 {60}° ，那么这个“特征三角形”是直角三角形.（填“锐角”“直角"或“钝角”)
10.如图，在 \triangle A B C 中， D 是 B C 上的一点，D C=2B D ， E 是 A C 的中点， S_{\triangle A B C}= 20~cm^{2} ,则 \begin{array}{l l}{{S_{\triangle A D E}=}}&{{{(20)/(3)}\quad{cm^{2}}}}\end{array}
11.如图， \angle M O N{=}80° ，点 A,B 在 \angle M O N 的两条边上运动， \angle O A B 和 \angle O B A 的平分线交于点 C ，则在点 A,B 的运动过程中， \angle B C A 的度数为 {130}°
12.如图，在 \triangle A B C 中， \angle A B C=90°,D 为 A C 延长线上一点， \angle B A E=3\angle E A C \angle B C E= 3\angle E C D ，则 \angle A E C 的度数为_22.5°
三、解答题（共40分）
13.(8分)如图，在 \triangle A B C 中， D,E 分别是 B C ，A C 上的点，连接 B E,A D 交于点 F ：
(1)图中共有多少个以 A B 为边的三角形？并把它们列出来.
(2)除 \triangle A B F 外，以点 F 为顶点的三角形还有哪些?
解： (1)\nux A B 为边的三角形有4个： \Delta A B F,\Delta A B D,\Delta A B E. \triangle A B C (2)除 \triangle A B F 外，以点 F 为顶点的三角形还有BDF， \triangle A\mathbb{E}\mathbb{F}.
14.（10分）如图，在 \triangle A B C 中， A D 是边 B C 上的中线， \triangle A B D 的周长比 \triangle A D C 的周长多2，且 A B 与 A C 的长的和为10.
(1)求 A B,A C 的长.
(2)求边 B C 的长的取值范围.
解： (1)\because A D 是边 B\mathbb C 上的中
线， ~\Lambda~_{\circ~-~B D}°=C D 费
由题意，得 (A B+A D+B D)-
A C+A D+C D)=A B-A C=\_{R}(1)/(\_{D)}
2,A B+A C=10,\therefore A B=6,A C=4,
(2)\because A B=6,A C=4
\therefore6-4<B C<6+4 ，即 \scriptstyle{2<= B C<10} 业
15.（10分)某初中数学小组在学习了“三角形外角和”后，就证明问题进行了探讨：
如图， \angle4,\angle5,\angle6 是 \triangle A B C 的三个外角.求证： \angle4+\angle5+\angle6=360°
(1)该小组的明明进行了如下的证明，请你补充完整.
证明： \angle4 是 \triangle A B C 的一个外角，： *\angle4=\angle2+\angle3
同理， \angle5=\angle1+\angle3,\angle6=\angle1+\angle2. 。 \angle4+\angle5+\angle6=2(\angle1+\angle2+\angle3) \angle1+\angle2+\angle3=180°
\therefore\angle4+\angle5+\angle6=2x180°=360°.
(2)事实上，还有另外一种证明方法，请给该小组展示出来.
证明： \Omega°\angle4+\angle1=180°
\angle5+\angle2=180° ,6+
\angle3=180°
4+5+6=3×
180°-(\angle1+\angle2+\angle3) ，
. \angle1+\angle2+\angle3=180° ，
\therefore\angle4+\angle5+\angle6=3x180°-180°=360°.
16.(12分)如图， A D 为 \triangle A B C 的高， A E,B F 为\triangle A B C 的角平分线， \angle C B F{=}32° \angle A F B{=}72° (1)求 \angle D A E 的度数.(2)若 G 为线段 B C 上任意一点，当 \triangle G F C 为直角三角形时，求 \angle B F G 的度数.
解： (1)\because B F 平分ABC,
\therefore\angle A B C=2\angle C B F=64°.
AD为 \triangle A B C 的高，
\begin{array}{r}{\begin{array}{r l}{~\boldmath~\Omega~_{0}°\rule{0ex}{5ex}}&{{}\angle A D B=90°}\end{array}}\end{array} 身
\angle B A D=180°-90°-64° B DE
{}=26°
\therefore\angle A F B=\angle C B F+\angle C,\therefore\angle C=72°-32°=40°.
\therefore\angle B A C=180°-\angle A B C-\angle C=76°.
AE平分 \angle B A C,\therefore\angle B A E=(1)/(2)\angle B A C=38°.
\therefore\angle D A E=\angle B A E-\angle B A D=38°-26°=12°.
(2)分两种情况讨论：
① 当 \angle F G C=90° 时，则 \scriptstyle\angle B F G=\angle F G C-\angle F B C=
90°-32°=58°
② 当 \angle G F C=90° 时，则 \angle F G C=90°-40°=50°
\therefore\angle B F G=\angle F G C-\angle E B F=50°-32°=18°.
综上所述， \angle B F G 的度数为 58° 或 18°
第十四章 全等三角形
14.1 全等三角形及其性质
基础题
知识点1全等形
1.在下列各组图形中，是全等形的是 （A）
2.下列说法错误的是 ( B >
A.能够完全重合的两个图形叫作全等形B.面积相等的两个图形是全等形C.全等形是形状、大小相同的图形D.平移、翻折、旋转前后的图形是全等形
知识点2全等三角形的概念
3.如图， .\triangle A O C{\cong}\triangle B O D. 点 A 与点 B 点 C 与点 D 是对应顶点，则下列结论中错误的是 (C)
A. \angle A 与 \angle B 是对应角 B. \angle A O C 与 \angle B O D 是对应角 C. α 与 O B 是对应边 D. \ O C 与 O D 是对应边
4.如图，已知 \triangle A B C 与 \triangle E D F 全等，其中点 A 与点 E ，点 B 与点 D 是对应顶点，则对应边为AB和 |\underline{{K D}},A\mathbb{C} 和EF，BC和DF，对应角为A和E,B和D,C和F△ABC△EDF
5.如图，若把 \triangle A B C 绕点 A 旋转一定的角度得到 \triangle A D E ，则图中全等的三角形记为△ABC△ADE， \angle B A C 的对应角为DAE， D E 的对应边为_BC
知识点3全等三角形的性质
6.（教材P31习题T1变式）如图， \triangle A B C\cong \triangle B A D. 若 A B{=}8\cm,B C{=}6\cm,A C{=}4\cm 则\triangle B A D 的周长为 (C)
A. 12\cm B. 15\cm C. 18~cm D.以上都不对
7.已知 \triangle A B C{\cong}\triangle D E F ， \angle A=60° ， \angle E=70° ， 那么 \angle C=50°
8. 新考向真实情境为了庆祝神舟十九号的成功发射，学校组织了一次小制作展示活动，小明计划制作一个如图所示的简易模型，已知该模型满足 \triangle A B D{\cong}\triangle A C E. 点 B 和点 C 是对应顶点.若 A B=8{~cm},A D=3{~cm} ，则D C={\underline{{5}}}\quad{cm}.
9. A湖南师大附中校本经典题 如图， \triangle A B C\cong \triangle A D E 且 A E//B D,\angle A D B{=}42° 求 \angle B A C 的 度数.
解：AE//BD,ADB{}=42° ，
/DAE =/ADB =42°
:△ABC△ADE，
\therefore\angle B A C=\angle D A E=42°.
易错点对应边不确定，未分类讨论致错
10.已知有两个三角形全等，若其中一个三角形的三边长分别为3，5，7，另一个三角形的三边长分别为 3,3a-2b,a+2b ，则 a+b= 5或4.
中档题
11.（2023·黔西南期末）如图，点 B,C,D 在同 一条直线上.若 \triangle A B C\cong\triangle C D E,D E=4 B D{=}13 ，则 A B 的长为 （C)
A. 7 B. 8 C.9 D. 10
12. A人大附中校本经典题 图中的两个三角形全等，则 \angleα= ( B
A. 50° B.55° C. {60}° D. 65°
13.如图，已知 \triangle E F G{\cong}\triangle N M H 则下列说法错误的是 (A)
A. E G=H G B.EG// HM C. \angle F E G=\angle M N H D. E F{=}N M
14.如图， \triangle A O D{\cong}\triangle B O C \angle C O D=40° A D 与 BC相交于点 E,O D 与 B C 相交于点 F ，则 \angle D E C 的度数为_ {40}°
15. A石家庄外国语校本经典题 如图， \triangle A B D\cong △ACE.(1)写出这两个三角形的对应边和对应角.(2)若 \angle A D B=75° ，求 \angle A E B 的度数.
解： (1)\because\triangle A B D{\cong}\triangle A C E, {\bf\Pi}_{0}^{0}*{\bf A}\mathbb{E} 和 A D 是对应边，AC和 _{A B} 是对应边， \mathit{\Delta}\mathit{E}C 和 D B 是对应边， \angle A E C 和
\angle A D B 是对应角， \angle A C E 和 \angle A B D 是对应角， \angle C 和 \angle B 是对应角。
(2)\because\Delta A B D\cong\Delta A C E
\therefore\angle A E C=\angle A D B=75° .
\therefore\angle A E B=180°-\angle A E C=180°-75°=105°.
16. A|北京四中校本经典题（教材P30新增例题变式)如图，△AEC△ADB， \angle A=50° ， \angle A B D= 39° ：(1)求 \angle D O C 的度数.(2)若 \triangle B E C{\cong}\triangle C D B ，求 \angle1 的度数.
解：(1)△AEC△ADB，
\therefore\angle A C E=\angle A B D=39°,
BDC=A+ABD=
50°+39°=89°
. D0C = 180°-BDC -
\angle A C E=180°-89°-39°=52°.
(2):△BEC△CDB,/1=/OCB. 又： \angle D O C=\angle1+\angle O C B 费
\dot{\circ}_{\circ}2\angle1=52° ...1=26°.
综合题
17.如图，已知 \triangle A B D\cong\triangle E B C,A B=3~cm, B C{=}4.5~cm ，且点 B 在线段 A C 上.
(1)求 D E 的长.
(2)求证： A C\bot B D
(3)猜想 A D 与 C E 的位置关系，并说明理由.解： (1)\because\Delta A B D\cong\Delta E B C, \therefore B D=B C=4. 5cm,BE\scriptstyle=A B=3{~cm}.
\therefore D E=B D-B E=1.5cm. （2）证明： \triangle A B D\cong \triangle E B C
\therefore\angle A B D=\angle C B E.
点 B 在线段 \mathbf{\nabla}A\mathbb{C} 上，
\therefore\angle A B D+\angle C B E=180°. \angle A B D=\angle C B E=90° .AC⊥BD.
(3)A D\bot C E. 理由如下：
延长 C\mathbb{E} 交 A D 于点 F 费
△ABD△EBC,
\angle D=\angle C.
\angle C E B=\angle D E F.
\angle D F E=\angle C B E=90°. ..AD⊥CE.
14.2 三角形全等的判定
第1课时用“SAS”判定三角形全等
基础题
知识点1用“SAS"判定三角形全等
1.下图中的全等三角形是 ( D
A. ① 和 ② B. ② 和 ③ C. ② 和 ④ D. ① 和 ③
2.如图， A C,B D 相交于点 O,O B= OD.若用“SAS"判定 \triangle A O B\cong \triangle C O D ,则还需添加的一个条件是_ \scriptstyle O A=O C
3 A石家庄外国语校本经典题 如图， A B{=}A C A D=A E ,BD与CE相交于点 O ，求证： \triangle A E C{\cong}\triangle A D B
证明：在 \triangle A E C 和 \triangle A D B 中，\scriptstyle\mathbf{\partial}_{(A C=A B} ，
\angle A=\angle A
{}^{\stackrel{\triangledown}{}}A E=A D ，
:△AEC△ADB(SAS).
知识点2三角形全等的判定方法“SAS”与性质的综合运用
4.如图， A B 与 C D 相交于点 O. 已知 O A{=}O C O D{=}O B ， \angle A=50° ， \angle B=30° ，则 \angle A O D 的度数为 {\underline{{100}}}°
5.如图，点 D,E,F,B 在同一条直线上， \angle A= \angle C ，且 A B=C D ， A E=C F 若 B D=10 ， D E{=}3.5 ,则 {D F}=\underline{{6.5}}
6.（2024·乐山）如图， A B 是 \angle C A D 的平分线，A C{=}A D. 求证： \angle C=\angle D
证明： \overset{\circ}{\circ}~A~\bar{B} 是 \angle C A D 的平分线\angle C A B=\angle D A B.
在△ABC和 \triangle A B D 中，
1A C=A D
\scriptstyle{\left\{\begin{array}{l l}{C A B=\angle D A B}\end{array}\right.}
AB=AB,
.△ABC△ABD(SAS).
\therefore\angle C=\angle D.
知识点3用“SAS”判定三角形全等解决实际问题
7. 新考向真实情境在生物实验课上，老师布置了“测量锥形瓶内部底面内径”的任务.小亮同学想到了以下这个方案：如图，用螺丝钉将两根小棒 A D,B C 的中点 O 固定，利用全等三角形的性质，测得 \mathbf{\Psi}_{C},D 之间的距离为 10\cm ，则可知道内径 A B 的长度为_10cm.
8. 新考向传统文化开封风筝历史悠久、种类繁多、做工精细、独具特色.每年农历正月至三月的庙会上，各式各样的风筝竞相牵放，景象十分壮观.如图，这是小华制作的风筝，其中 \angle E D H=\angle F D H ， E D=F D ， \angle E H F= {70}° ，则 \angle E H D=35°
?易错点误用“SSA”判定三角形全等
9.如图，在 \triangle A B C 中， A D 平分ZBAC， B D= C D ，则 \angle B 与 \angle C 相等吗？为什么？
解:相等.理由如下：
： A D 平分 \angle B A C ，
：： \scriptstyle*\angle B A D=\angle C A D.
在△ABD和 \triangle A C D 中， B
D
B D{=}C D ，
\scriptstyle{A D=A D} ，
\angle B A D=\angle C A D ，
\therefore\Delta A B D\cong\Delta A C D.
·： \angle B=\angle C
以上解答是否正确？若不正确，请说明理由.解：不正确。理由：错用“SSA”来证明两个三角形全等， \angle B A D 不是 B D 与 |A D| 的夹角， \angle C A D 不是 C D 与 A D 的夹角。
中档题
10.（2024·黔东南期中）如图， A B\bot A C 于点 _{A,A B=A C,A D\bot A E} 于点 A ： .A D{=}A E ，已 知 \angle D=35° ， \angle B=25° ，则 \angle C A E 的度数为 (C)
A. 35°
B. 25°
C. {30}°
D. 45°
11.【整体思想】如图，点 C 在线段 B D 上， \angle B= \angle D=40°,A B=C D,B C=D E ，则 \angle A C E 的 度数是_ {4.0}°
12.茗茗用同种材料制成的金属框架如图所示，已知 \scriptstyle1\angle B=\angle E,A B=D E,B F=E C,\bigtriangleup A B C 的周长为 24\cm,C F{=}3\cm ，则制成整个金属框架所需这种材料的长度为_45_cm.
13. 新考向真实情境图1是安全用电的标识图案，其中蕴含着几何知识.如图2,点 B,D ，C,F 在同一条直线上，且 D C=B F ， A B= E D,A B//E D. (1)请判断 A C 与 E F 的数量关系和位置关系,并说明理由.
(2)若 \angle B=25° 下 \angle E=75° ，求 \angle A C B 的度数
解： (1)A C{=}E F,A C//
EF.理由如下：
"AB//DE,
\angle B=\angle D.
\therefore D C=B F
\therefore D C+C F=B F+ 图1 图2_{C F} ，即 \underline{{W}}=\underline{{W}}\underline{{C}}
在△ABC和 \triangle E D F 中，
{\bf\nabla}_{|{\bf A B}=E D}
\angle B=\angle D
\mid_{B C}=D F
△ABC△EDF(SAS).
{\bf\Sigma}_{\circ}°{AC=}\mathbb{E}\mathbb{F} ,ACB=/EFD...AC//EF.
(2)由(1),得 *\Delta A B C\cong\Delta E D F,\therefore\angle A=\angle E=75° \angle A+\angle B+\angle A C B=180°,\angle B=25°,
\therefore\angle A C B=180°-\angle A-\angle B=80°.
综合题
14.如图，在 \triangle A B C 中， A B=A C=24{~~cm} ，\angle A B C=\angle A C B,B C=16\ {cm},D 为 A B 的中点.点 P 在线段 B C 上以 4~cm/s 的速度由点 B 向点 C 运动，同时点 Q 在线段 C A 上以 a{~cm/s} 的速度由点 C 向点 A 运动.设运动的时间为 \mathbf{\Psi}_{t} S.
(1)填空：{OB}P{=}{\_{4}}t{\_cm}. ②C Q= at cm.（用含 t,a 的代数式表示)
(2)当 \mathbf{\Psi}_{a},t^{\dag} 为何值时，以 D,B,P 为顶点的三角形和以 P,C,Q 为顶点的三角形全等？
解：由题意，得 B D=
AB= 12 cm, BP =
4t~cm,C P{=}(16{-}4t)cm,
{\cal C}Q{=}a t cm. B P C B
。 *\angle B=\angle C 备用图分两种情况讨论：
① 当 B D=C Q,B P=C P 时，
\Delta D B P\cong\Delta Q C P
\scriptstyle*\left\{{\begin{array}{l}{12=a t,}\\ {4t=16-4t}\end{array}}\right. 解得 \begin{array}{r}{\left\{{a=6}\atop{t=2}\right.}\end{array}
② 当 _{B D=C P,B P=C Q} 时 \triangle D B P{\cong}\triangle P C Q, \ensuremath{\boldsymbol{:}}|_{4t=a t,}^{12=16-4t,} {12=16-4t,解得 \begin{array}{c}{{\left(t=1,\right.}}\\ {{\left.a=4.}}\end{array}
综上所述，当 a 的值为 6,t 的值为2或 a 的值为\mathbf{\chi}_{t} 的值为 ^{1} 时， \triangle D P B 与 \triangle P C Q 全等。
第2 课时 用“ASA”或“AAS”判定三角形全等
基础题
知识点1用“ASA”判定三角形全等
1.如图， A E{=}D F \angle A=\angle D ,则只要添加条件：\angle E=\angle F _，就能直接利用“ASA”判定\triangle A C E{\cong}\triangle D B F ，
2.如图，在 \triangle A B C 中， B D 平分 \angle A B C 交 A C 于点 D,E 是边 B C 上一点， \angle A D B=\angle E D B ，\angle C E D=110° ，则 \angle A 的度数为_ 70°
3.（2023·吉林）如图，点 C 在线段 B D 上，在\triangle A B C 和 \triangle D E C 中， \angle A=\angle D,A B=D E \angle B=\angle E. 求证： A C{=}D C ，
证明：在 \triangle A B C 和△DEC中，\angle A=\angle D ，
A B=D E
\angle B=\angle E ，
:.△ABC△DEC(ASA).
\therefore A C=D C.
A|清华附中校本经典题如图，点 D 在 A B 上，点 E 在 A C 上， A B=A C ， \angle B=\angle C. 求证：B D{=}C E.
证明：在 \triangle A B E 和 \triangle A C D 中，
\angle A=\angle A ，
\scriptstyle{A B=A C}
\angle B=\angle C ，
:.△ABE△ACD(ASA).
{\bf\Pi}_{\circ\circ}°A D{=}A E ."AB-AD=AC-AE，即 B D{=}C E,
知识点2用“AAS”判定三角形全等
5.如图，点 _{B,C} 在 A D 上， \scriptstyle\angle A=\angle F B D,C E= D F ，添加一个条件： \angle E=\angle F （答案不唯一），就能直接利用“AAS”判定 \triangle A E C\cong \triangle B F D ，
6.如图，画一条线段 A B ，以 \mathbf{\nabla}A B 为边作 \triangle A B C ，其中 B C{=}4 ，延长 A C 到点 D ，使得 C D{=}A C 延长 B C 到点 E ，连接 D E. 若 \angle C E D=\angle B ，则C E 的长为 （C)
A.2 B.3 C.4 D. 6
7. 新考向真实情境小明利用一根长 3~m~ 的竿子来测量路灯 _{A B} 的高度.他的方法如下：如图，在与地面垂直的路灯 A B 前选一点 P 使 B P{=}3~m~ ，测得 \angle A P B{=}70° ,然后把竖直的竿子 C D(C D=3\ m) 在 B P 的延长线上左右移动，使 \angle C P D=20° ,此时测得 B D=11.2\ m. 请根据以上数据，计算出路灯 A B 的高度.
解：由题意，得 \angle C P D=20°
\angle A P B=70° \angle C D P= \angle A B P=90°
:PAB=180°-/ABP-\angle A P B=20°
\begin{array}{r}{~\boldmath~\Omega~_{\circ}°\angle C P D=\angle P A B.}\end{array}
在△CPD和 \triangle P A B 中，
\angle C P D=\angle P A B,
/CDP=/PBA,
\scriptstyle\left\lfloor C D={\overline{{P B}}}\right.
:.△CPD△PAB(AAS).
\therefore P D=A B.
\because B D=11.2m,B P=3m
\therefore A B=P D=B D-B P=8.2~m. 答：路灯 A B 的高度是 8.2~m.
中档题
8.如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形，则判定这两个三角形全等的依据是_ASA
9. 新考向 真实情境如图，小明与小红玩跷跷板游戏，支点 O 是跷跷板的中点，两人分别坐在跷跷板的两端（即 O F{=}O G) .如果点 O 距地面的距离是 60~cm ，那么当小明从水平位置 C D 上升 15\cm 时，小红距地面的高度是_45_cm.
10.如图，在 \triangle A B C 中， \angle B A C 的平分线 A D 交B C 于点 D ，过点 C 作 C N\bot A D 交 A D 于点H ，交 _{A B} 于点 N .若 A B=5 ， A C=3 ，则B N=2
11.如图，在 \triangle A C D 中， \angle C A D=90° ， A C=6 ，A D{=}8,A B//C D,E 是 C D 上一点， B E 交A D 于点 F .若 A B{=}D E ,则图中阴影部分的面积为24
12.（2024·黔东南期中）如图，在 \triangle A B C 中，\angle B=80° ，将 A B 沿射线 B C 的方向平移至A^{\prime}B^{\prime} ，连接 A A^{\prime} ,设 A^{\prime}B^{\prime} 与 A C 的交点为 O .
(1)若 \boldsymbol{B^{\prime}} 为 B C 的中点，求证： \triangle A O A^{\prime}\cong \triangle C O B^{\prime} ：
证明： \mathbf{\Sigma}_{0}^{0}\mathbf{\Sigma}_{A}^{\prime}\mathbf{\Sigma}B^{\prime} 由 A B 沿射线BC
的方向平移所得，
\therefore A A^{\prime}//B B^{\prime},A A^{\prime}=B B^{\prime}.
\therefore\angle A^{\prime}A O=\angle C.
： B^{\prime} 为BC的中点，
\circ_{_{\circ}B B^{\prime}}={\mathbb{B}}^{\prime}C {~}°\circ A A^{\prime}=B^{\prime}C.
在△AOA'和 \triangle C O B^{\prime} 中，
1\angle A^{\prime}A O=\angle C
AOA'=COB',:.△AOA'△COB'(
*_{A A^{\prime}=C B^{\prime}}
(2)若 A C 平分 \angle B A A^{\prime} ，求 \angle C 的度数.
解： {\bf\Pi}_{\circ}^{\circ\circ}A C 平分 \angle B A A^{\prime}
\therefore\angle B A C=\angle O A A^{\prime}.
又 \angle O A A^{\prime}=\angle C
\therefore\angle B A C=\angle C.
\because\angle B A C+\angle C+\angle B=180°,\angle B=80°,
\therefore\angle C=(180°-80°)/2=50°.
综合题
13. 新考向跨学科小亮同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点 O 处用一根细绳悬挂一个小球 A ，小球 A 可以自由摆动，如图， O A 表示小球静止时的位置.当小明用发声物体靠近小球时，小球从 O A 摆到 O B 位置，此时过点 B 作 B D\bot O A 于点 D ，当小球摆到 α 位置时， O B 与 α 恰好垂直(图中的 A,B,O,C 在同一平面上)，过点 C 作 C E\bot O A 于点 E 测得 B D{=}7~{cm},{OA}{=}15~{cm}.
(1)求证： \angle B O D=\angle C. (2)求 A E 的长.
解：（1）证明：
BD⊥OA,CE」
O A,O B\bot O C
:.BDO=/OEC
{\bf\xi}=\angle B O C=90°.
".BOD+/COE=90°，
\angle C+\angle C O E=90° \therefore\angle B O D=\angle C.
(2)由题意可知， O B{=}O C ，
由(1)可知， {\angle B O D=\angle C}.
在BOD和 \triangleO\mathbb{C}\mathbb{E} 中，
\scriptstyle1\angle B D O=\angle O E C,
\scriptstyle\left\{\angle B O D=\angle C
\scriptstyle{\dot{\mathbf{θ}}}(\mathbf{θ})=\mathbf{\phi}(\mathbf{θ})
:.△BOD△OCE(AAS).
\therefore B D=O E=7~cm.
. *_{O A}=15\cm ，
\therefore A E=O A-O E=15-7=8(cm).
第3课时用“SSS”判定三角形全等
基础题
知识点1用“SSS"判定三角形全等
1.如图，下列三角形中，与△ABC全等的是③ (填序号).
2.如图，在 \triangle A B D 和 \triangle A C D 中，[AB= ACBD= CD\scriptstyle{(A D=A D} ，\therefore\Delta A B D\cong\triangle ACD SSS
3.（2023·云南）如图， C 是 B D 的中点， A B= E D,A C=E C. 求证： \triangle A B C{\cong}\triangle E D C.
证明：C是 B D 的中点，\therefore B C=D C.
在 \triangle A B C 和 \triangle\mathbb{E}\mathbb{D}C 中，\mathbf{\nabla}_{|A B=B D} ，
\scriptstyle\left\{A C=E C\right. ，
\scriptstyle(1)/(B C)=D C
:△ABC△EDC(SSS).
4.如图，点 B,F,C,E 在同一条直线上， A B= DE, A C=D F ， B{\cal F}=E{\cal C}. 求证： \triangle A B C\cong \triangle D E F ，
证明： \because B F{=}E C
C=B F+F C=E C+F C
即 B C{=}\mathscr{E}
在ABC和 \triangleD\mathbb{E}\mathbb{F} 中，{\bf\nabla}_{|{\bf A B}=D E} ，
\scriptstyle{\left⟨ A C=D F\right.}
\scriptstyle*_{B C}=\scriptscriptstyle\mathscr{B F}
..△ABC△DEF(SSS).
知识点2已知三角形的三边，用尺规作三
角形
5.如图，已知线段 a,b ，用尺规作 \triangle A B C 使 \scriptstyle A B=b,B C=A C=a, 、（不写作法，保留作图 痕迹) a b
解：如图所示， \triangle A B C 即为所求。
?知识点3三角形全等的判定方法“SSS"与
性质的综合运用
6.如图，在 \triangle A B C 和 \triangle A D C 中， A B=A D ，B C{=}D C + \angle B=130° ，则 \angle D= 130
7.如图，已知 A B=C D,B C=D A ，下列结论：①\angle B A C=\angle D C A ； ②\angle A C B=\angle C A D ③A B//C D ④B C//D A. 其中正确的是①②③④ _(填序号).
A湖南师大附中校本经典题如图，工人师傅要检查人字梁的 \angle B 和 \angle C 是否相等，但他手边没有量角器，只有一把刻度尺.他是这样操作的： ① 先在 B C 上分别截取 B D,C E ，使B D{=}C E ② 再在 B A 和 C A 上分别截取 B{\cal F} ，C G ，使 B{\cal F}{=}C G ③ 最后量出 D F,E G 的长.若 D F{=}E G ，则说明 \angle B 和 \angle C 是相等的.他的这种做法合理吗？为什么？
解：这种做法合理.理由如下在BDF和△CEG中，
_{(B D=C E} ，
\scriptstyle\left⟨ B F=C G\right.
\scriptstyle{\boldsymbol{*}}_{D F=E G} ，
..△BDF△CEG(SSS).\therefore\angle B=\angle C.
中档题
9. 新考向真实情境图1是一乐谱架，利用立杆可进行高度调节，图2是其底座部分的平面图，其中支撑杆 A B{=}A C ，点 E,F 分别为 A B,A C 的中点， E D,F D 是连接立杆和支撑杆的支架，且 E D=F D ，立杆在伸缩过程中，总有\triangle A E D{\cong}\triangle A F D ,其判定依据是 （B)
A.SAS B. SSS C.ASA D.AAS
10.如图，在 \triangle A B C 和 \triangle D E C 中，已知 A B= DE，还需添加两个条件才能使 \triangle A B C{\cong} \triangle D E C ,则不能添加的一组条件是（C）
A. B C{=}E C \angle B=\angle E B. B C=E C,A C=C D \scriptstyleC,B C=E C,\angle A=\angle D D. \scriptstyle\angle B=\angle E,\angle A=\angle D
11.（2024·内江)如图，点 A,D,B,E 在同一条 直线上， \scriptstyle A D=B E,A C=D F,B C=E F, (1)求证： \triangle A B C{\cong}\triangle D E F (2)若 \angle A=55° ， \angle E{=}45° ，求 \angle F 的度数.
解：(1)证明： \because A D=B E ， c F
\therefore A D+B D=B E+B D ，
即 \scriptstyle A B=D E
在 \bigtriangleup ABC和 \triangle D E\mathbb{F} 中，
A D B E \mathbf{\nabla}_{(A B=D B)} ，
\scriptstyle{\left⟨ A C=D F\right.} ，
\boldsymbol{*}_{B C}=\mathbb{E}\mathbb{F}
.△ABC△DEF(SSS).
(2)由(1)可知 \Delta A B C\cong\Delta D E F
\therefore\angle F D E=\angle A=55°.
又： \angle E=45° ，
\therefore\angle F=180°-(\angle B D E+\angle E)=180°-(55°+415°) {}=80°
12. A|湖南师大附中校本经典题 如图，点 A,D ，C,B在同一条直线上， A D=B C,A E=B F ，C E{=}D F. 求证：(1)A E//B F. (2)D E{=}C F
证明： \scriptstyle(1)\because A D=B C E
\therefore A C=B D 费
在 \triangle A\mathbb{C E} 和 \triangle B D F 中，\scriptstyle|A C=B D ，
\left⟨ A\mathbb{E}{=}\mathbb{B}\mathbb{F}\right
\scriptstyle{\dot{\mathbf{1}}}_{C E=D F}
.△ACE△BDF(SSS).\angle A=\angle B .AE//BF.(2)在 \triangle A D E 和 \triangle B C F 中\scriptstyle|A E=B F
\angle A=\angle B
A D=B C
.△ADE△BCF(SAS).\begin{array}{r}{~\boldmath~\Omega~_{\circ}\supseteq\mathbb{E}=C\mathbb{F}.}\end{array}
综合题
13.如图， A C,B D 相交于点 O ，且 A B=D C A C{=}D B. 求证： O B{=}O C. ：
证明：连接BC.
在 \triangle A B C 和 \triangle D C B 中，
|A B=D C 费
\scriptstyle\left⟨ A C=D B
\scriptstyle{\mid}_{B C=C B} ，
△ABC△DCB(SSS).。 \angle A=\angle D.
在 \triangle A O B 和 \bigtriangleup D O C 中，\angle A O B=\angle D O C
\angle A=\angle D 费
A B=D C
.△AOB△DOC(AAS).{}_{\circ}O B{=}O C
第4课时三角形全等的判定与尺规作图
基础题
知识点1用尺规作一个角等于已知角
1.仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请根据三角形全等的有关知识，说明作出 \angle C P D=\angle A O B 的依据是 （A）
A. SSS B. SAS C.ASA D. AAS
2.小郑在用尺规作 \angle A^{\prime}O^{\prime}B^{\prime}{=}\angle A O B 时，具体的操作步骤如下：
① 作射线 O^{\prime}A^{\prime} 6
② 以点 O 为圆心，以 \spadesuit 为半径作弧,交 O A 于点 C ,交 O B 于点 D
③ 以点 \boldsymbol{O} 为圆心，以 \bigstar 为半径作弧,交 \ O^{\prime}A^{\prime} 于点 C^{\prime} ；
④ 以点 C^{'} 为圆心，以 \blacktriangle 为半径作弧,交前面的弧于点 \boldsymbol{D^{\prime}} ”
⑤ 过点 D^{\prime} 作射线 O^{\prime}B^{\prime} ，则 \angle A^{\prime}O^{\prime}B^{\prime} 就是所要作的角.下列说法不正确的是 （D） ）
A. \spadesuit 表示任意长
B. \bigstar 与 \spadesuit 的长相等
C. \blacktriangle 与线段 C D 的长相等
D. \blacktriangle 与★的长相等
3.如图，已知 \angle B A C ，请以点 E 为顶点，利用直尺和圆规作 \angle D E F ，使得 \angle D E F=\angle B A C 保留作图痕迹，不写作法).
知识点2作一个角等于已知角的运用
4.如图1,已知 \angleα \angleβ ，线段 \mathbf{\Psi}_{m} ，求作 \triangle A B C ，使 \angle A=\angleα 少 \angle B=\angleβ,A B=m.
作法：如图2， ① 作线段 A B=m ② 在 A B 的同旁作 \angle A=\angleα ， \angle B=\angleβ,\angle A 与 \angle B 的另一边交于点 C ，则 \triangle A B C 就是所求作的三角形.这样作图的依据是 (C)
A. SAS B. SSS C. ASA D. AAS
5.下列尺规作图中，不一定能判定直线 \scriptstyle a 平行于直线 b 的是 （C)
6.（教材P40新增例4变式）尺规作图：如图，已知线段 \mathbf{α}_{a} 和 \angle B A C ，在射线 A B 上截取线段A D ，使得 A D=a ，过点 D 作直线 D E//A C ，点 E 在射线 A B 的右侧.（不写作法，保留作图痕迹)
解：如图所示， \angle D E F 即为所求。
解：如图所示 ,D E 即为所求作的直线.
7.（教材P40新增例5变式)如图，已知线段 {\mathbf{\psi}}_{a,b} 和 \angleα ，求作 \triangle A B C ，使得 A B=2a ， A C=b ，\angle B A C=\angleα. （不写作法，保留作图痕迹）
解：如图所示， \triangle A B C 即为所求作的三角形.
中档题
8.利用尺规作 \triangle A B C ，根据下列条件作出的\triangle A B C 不唯一的是 （C)
A. A B{=}7,A C{=}5,\angle A{=}60° B.A C=5,\angle A=60°,\angle C=80° C,A B{=}7,A C{=}5,\angle B{=}30° D. A B{=}7,B C{=}6,A C{=}5
9.(1)如图，已知 \angle O=35° ,观察尺规作图的痕迹，可知 \angle A B C= 70°
(2)如图，已知 D E//A B. 观察尺规作图痕迹，若 \angle C E D=60° ，则 \angle D G A{=}\underline{{60°}}.
10.如图，已知 \angle A O B{=}α ，点 C 为射线 O B 上一点，用尺规按如下步骤作图： ① 以点 O 为圆心，任意长为半径作弧，交 O A 于点 D ，交 O B 于点 F;② 以点 C 为圆心， O D 的长为半径作弧，交 α 于点 F ③ 以点 F 为圆心， D E 的长为半径作弧，交前面的弧于点 G\mathfrak{s}④ 连接C G 并延长交 O A 于点 H ，则 \angle A H C= 2±b{α} ．（用含 α 的代数式表示)
11.尺规作图：
(1)如图，已知 \angleα ， \angleβ, 且 \angle a>\angleβ, 作DEF, 使DEF \fallingdotseq Lα-β.
解：如图， \angle D E F 即为所求作的角。
（2） A北师大附属实验校本经典题如图，已知\angleα 和线段 a ，用尺规作一个三角形，使其一个内角等于 \angleα ,另一个内角等于 2\angleα ,且这两内角的夹边等于 a
解：如图， \triangle A B C 即为所求作的三角形。
综合题
12.(1)已知：如图，线段 c,\angleα. 求作： \triangle A B C ，使B C=c,\angle B=\angle C=\angleα.
(2)比较 \triangle A B C 中 _{A B} ， A C 的大小，并说明理由.
(3)猜想：在一个三角形中，相等的角所对的边_相等
解： (\mathbb{1}) 如图， \triangle A B C 即为所求作的三角形。
(2)A B{=}A C. 理由如下：
过点 A 作 A D\bot B C 于点D.
\therefore\angle A D B=\angle A D C=90°. \angle B=\angle C
在△ABD和 \triangle A C D 中 \angle A D B=\angle A D C, AD=AD,
:△ABD△ACD(AAS).AB=AC.
第5课时用“HL”判定直角三角形全等
基础题
知识点1用“HL”判定直角三角形全等
1.如图， .A B\bot B D,C D\bot B D,A D=B C 则能直接判定 Rt\triangle A B D{\cong}Rt\triangle C D B 的依据是 （A)
A.HL B. ASA C. SAS D. SSS
2.如图， A C\bot B D 于点 P °,A P{=}C P ,添加一个条件，能利用“HL"判定 \triangle A B P{\cong}\triangle C D P 的条件是_ A B=C D
3.如图，在四边形 A B C D 中， C D{=}C B ， \angle B= \angle D=90° ， \angle B A C=55° ，则 \angle B C D 的度数为70°
A北京五中校本经典题如图，小明和小芳以相同的速度分别从点 A,B 同时出发，小明沿A C 行走，小芳沿 B D 行走，并同时到达点 C ，D_{\bullet} 若 C B\bot A B,D A\bot A B ，则 C B 与 D A 相等吗？为什么？
解：相等.理由：
由题意易知 A C=B D 费
： C B\bot A B,D A\bot A B 费
\angle D A B=\angle C B A=90°
在RtDAB和RtCBA中，B D{=}A C
\mathbf{\partial}*\mathbf{AB}=\mathbf{BA} ，
.Rt△DABRt△CBA(HL).\therefore D A=C B
5.如图，点 C,E,B,F 在同一条直线上， A B\bot C F 于点 B,D E\bot C F 于点 E,A C=D F,A B= DE.求证： A C//D F ：
证明：AB \perp CF,DE ⊥
c F ，
\begin{array}{r}{~\boldmath~\Omega~°,\angle A B C=\angle D E F=90°,}\end{array}
在RtABC和RtDEF中，
AC=DF,.Rt△ABCRt△DEF(HL
\scriptstyle\mathbf{\partial}\left(_{A B=D E}\right.
\scriptstyle{~\o~\}\angle C=\angle F,{~\o~\}A C//D F.
知识点2选择适当的方法判定两个直角三角形全等
6.下列说法正确的是 ( D
A.两个锐角对应相等的两个直角三角形全等
B.一个锐角和两条边对应相等的两个三角形全等
C.两条边和其中一条边的对角对应相等的两个三角形全等
D.两条直角边对应相等的两个直角三角形全等
7.如图， A C\bot A B,B D\bot C D ，请添加一个条件，使 \triangle A B C\cong\triangle D C B. 若利用“HL"判定，则添加的条件是_ A B=D C （或 A C=D B 0若利用“AAS”判定，则添加的条件是ABC=DCB(或ACB \c= DBC)
?易错点判定直角三角形全等时“HL”与“SSA”
混淆
8. 新考向过程性学习如图， A D 为 \triangle A B C 的高， E 为 A C 上一点， B E 交 A D 于点 F ，且有B{\cal F}{=}A C,F D{=}C D. 求证： \angle D A C=\angle D B F. 证明： \therefore A D\bot B C ，. \angle A D B=\angle A D C=90° 在 \triangle B F D 和 \triangle A C D 中，\scriptstyle(B F=A C {}°F D{=}C D ， F\angle B D F=\angle A D C ? 五.△BFD△ACD. B D C : \angle D A C=\angle D B F ，
上面的证明过程正确吗？如果不正确，说明错在哪里，并写出正确的证明过程.
解：不正确.三角形全等的判定方法中没有“SSA”正确的证明过程：
":AD⊥BC,
\angle A D B=\angle A D C=90°
在 \mathbb{R}1\triangle\mathbb{B}\mathbb{P} 和 \mathbf{Rt}\triangle A C D 中，
\scriptstyle\int B F=A C
\scriptstyle{\left|\vec{F D}=C D\right.} ，
..Rt△BFDRt△ACD(HL).
/DAC=/DBF.
中档题
9. 新考向 地域文化北盘江第一桥是一架连接云贵的大桥，其侧面示意图如图所示，其中A B\perp C D ，现添加以下条件，仍不能判定\triangle A B C{\cong}\triangle A B D 的是 （A）
A. \angle A B C=\angle A B D B. \angle A C B=\angle A D B
C. A C{=}A D D. B C=B D
10.（2024·遵义汇川中学月考）如图，在 2x2 的方格纸中， \angle1+\angle2=90°
11.（2024·遵义二十四中期末)如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为 (-12,5) ，过点A 作 A B\bot x 轴于点 ^{B,C} 是 x 轴负半轴上一动点， D 是 y 轴正半轴上一动点，且始终保持 C D{=}O A ,则当点 D 的坐标为_(0,12)或（0,5）时， \triangle A B O 与 \triangle{O C D} 全等.
12. A华师二附中校本经典题如图所示，已知Rt\triangle A B C{\cong}Rt\triangle A D E,\angle A B C=\angle A D E= 90°,B C 与 D E 相交于点 F ,连接 \scriptstyle C D,E B (1)请找出图中其他的全等三角形.
(2)求证： C F{=}E F
解： (1)\Delta A C D\cong\Delta A B B
CDF△EBF.
(2)证明：连接 A√(\xi)
Rt△ABCRtADE，
\therefore B C=D E,A D=A B.
在 \mathbb{R}\mathbb{\Delta}\mathbb{A}\mathbb{D}\mathbb{F} 和 \mathbb{R}\mathbb{t}\triangle A\mathbb{B}\mathbb{F} 中，AF=AF,
AD=AB,
.Rt△ADFRt△ABF(HL).\*.DF=BF...CF=EF.
综合题
13.如图，点 P 的坐标为(2,2)，点 A 在 x 轴正半轴上运动，点 B 在 y 轴负半轴上运动，且P A=P B.
(1)求证： \ P A\bot P B.
(2)若点 A 的坐标为(8,0),则点 B 的坐标为(0,-4)
(3)求 O A{-}O B 的值.
解： (1) 证明：过点 \varmathbb{P} 作 \mathbb{P}\mathbb{E}\bot x V
轴于点 E,P F\bot y 轴于点 F ， F 口 P
则 \angle P F O=\angle P E O=90°. h
0 E Ax: \angle F O E=90° ,:.FP //OA. B
\therefore\angle E P F=90° 费
\because P(2,2),\therefore P E=P F{=}2.
在 \mathbb{R}\mathbb{t}\triangle A\mathbb{P}\mathbb{E} 和 \mathbb{R}\mathbb{t}\triangle B P F 中，
\left\{\begin{array}{l l}{P A=P B,}\\ {P E=P F,}\end{array}\right.
".Rt△APERt△BPF(HL).
\begin{array}{r}{~\boldmath~\Omega~_{\circ}°\angle A P E=\angle B P F.}\end{array}
\therefore\angle A P B=\angle A P E+\angle B P E=\angle B P F+\angle B P E= \angle E P F=90° ...PA⊥PB.
(3):Rt△APERt△BPF,
\begin{array}{r}{~\boldmath~\Omega~_{0}°\circ A\mathbb{E}=\mathbb{B}\mathbb{F}}\end{array}
\scriptstyle\therefore{A E=O A-O E=O A-2}
B{\cal F}=O B+O{\cal F}=O B+2
~\i~{~o~~}OA-2=OB+2.
\therefore O A-O B=4.
【拓展设问】如图，若点 B 在 y 轴正半轴上， P A\perp PB，其他条件不变，则O A{+}O B 的值为4
小专题3 判定三角形全等的基本思路
类型1已知两边对应相等
找另一边 \rightarrow SSS已知两边找两边的夹角 \rightarrow SAS找直角 {\scriptstyle\rightarrow}HL 或SAS
1.如图所示， A B=A C,B D=C E,A D=A E. 求证： \triangle A B E{\cong}\triangle A C D
证明： {\stackrel{\circ\circ}{\circ}}{\mathbb{B}}D{=}C{\mathbb{E}} ，
\begin{array}{r}{~\boldmath~\psi~_{\circ}°=B D+D E=C E+D E.}\end{array}
\mathbf{\mu}_{0}°\circ\mathbb{B}\mathbb{E}{=}\mathbf{CD}
在 \triangle A B E 和 \triangle A\mathbb{C D} 中，\scriptstyle\int A\operatorname{\mathbb{E}}=A\operatorname{\mathbb{D}}
\mathbf{\nabla}_{|A B=A C}^{|}
\scriptstyle\left(B E=C D\right.
:.△ABE△ACD(SSS).
2.（2024·云南）如图，在 \triangle A B C 和 \triangle A E D 中，A B{=}A E ,\angle B A E=\angle C A D,A C=A D. 求证：\triangle A B C{\cong}\triangle A E D
证明： \because\angle B A E=\angle C A D
\begin{array}{r}{~/~{~\circ~~{~\angle~B A E+\angle C A E=\angle C A D+\angle}~}}\end{array} \angle C A E ，即 \angle B A C=\angle E A D
在ABC和 \triangle A E D 中，
\rho AB{=}AC
\scriptstyle{\left\{\begin{array}{l l}{{\scriptstyle B A C=\angle E A D}}\end{array}\right.}
\scriptstyle\mathbf{AC}=_{A D} ，
:△ABC△AED(SAS).
3.（2024·黔东南期中）如图， A C=B C,A D\perp C E,B E\bot C E ，垂足分别为 D,E ，且 C D=B E 求证： \triangle B C E{\cong}\triangle C A D.
证明： \because A D\bot C E,B E\bot C E. \therefore\angle E=\angle A D C=90° 事
在 \mathbb{R}^{}\mathbb{\triangle B}\mathbb{C E} 和 \mathbb{R}\mathbf{t}\triangle C A D 中，{\big(}B C{\big)}=C A ，
\scriptstyle{\left({B E=C D}\right.}
..Rt△BCERt△CAD(HL).
4 新考向 开放性问题（2024·遵义四校期中联考)如图， .A B{=}D E,A D{=}C F ,有如下条件：\begin{array}{r}{①\angle1=\angle F;②B C=E F;③\angle A=\angle2;④A B//}\end{array} DE.
(1)在以上条件中选择一个条件： ③ （答案不唯一）（填序号),求证： \triangle A B C{\cong}\triangle D E F (2)在(1)的条件下，若 \angle A=66° ， \angle E=60° ，求 \angle1 的度数.
解：(1)证明： A D=
CF ，
\therefore A D+C D=C F+C D
即 A C=D F
在 \triangle A B C 和 \triangle D E F 中，(A B=D E
\angle A=\angle2 ，
\scriptstyle\mathbf{\backslash}_{A C=D F}
△ABC△DEF(SAS).(2)由(1)知,△ABC△DEF,B=E.
E=60°,:B=60°
\because\angle A=66°
\begin{array}{r}{\phantom{-}(1)/(*)\left(1=180°-\angle A-\angle B=180°-60°-60°=54°\phantom{-}\right.}\end{array}
类型2已知两角对应相等
找夹边 \rightarrow ASA已知两角找任意一个已知角的对边 \rightarrow AAS
5. 新考向开放性问题如图， \triangle A B C 的顶点A,B 和 \triangle D E F 的顶点 D,E 在同一条直线上，且 \angle A=\angle E D F ， \angle C=\angle F ,请再添加一个条件，使得 B C{=}E F ,并说明理由.
解：答案不唯一.例如添加的件为 A C=D F. 理由：
在 \triangle A B C 和 \triangle D E F 中，
\scriptstyle\angle A=\angle E D F.
A C=D F ，
\angle C=\angle F
.△ABC△DEF(ASA).~degree~{~BC=\mathbb{E}F}
6.如图，点 A,C,D,B 在同一条直线上，且 A C= BD \scriptstyle*\angle A=\angle B,\angle E=\angle F. (1)求证： \triangle A D E{\cong}\triangle B C F. (2)若 \angle B C F=75° ，求 \angle C M D 的度数.
解：(1)证明： {\bf\Lambda}^{\circ~o~}A C=B D ，
C O+C D=B D+C D
即 A D=B C
在 \triangle A D E 和 \triangle B C F 中，
\scriptstyle\angle E=\angle F
\angle A=\angle B
\scriptstyle\left\lfloor_{A D=B C}\right.
△ADE△BCF(AAS).
(2):△ADE△BCF,
.： \angle A D E=\angle B C F=75° ，
\therefore\angle C M D=180°-\angle B C F-\angle A D E=30°.
类型3已知一边一角对应相等
7.（2024·黔南期末）如图，已知 C B=D E ，\angle C=\angle E,\angle B A D=\angle C A E,A C 与 D E 交于点 F .求证： \triangle A B C{\cong}\triangle A D E.
证明： \angle B A D=\angle C A E \angle B A D+\angle C A D= \angle C A E+\angle C A D
即 \angle B A C=\angle D A E.
在 \bigtriangleup BAC和 \triangle D A E 中，
\angle B A C=\angle D A E,
\angle C=\angle E ，
\scriptstyle{\big(}B C=D E ，
.△BAC△DAE(AAS).
8.（2024·遵义二十四中期末）如图，点 B,F,C E 在直线 \mathbf{\xi}_{l} 上（点 F,C 之间不能直接测量)，点 A,D 在 \mathbf{\xi}_{l} 的异侧， A B//D E \angle A=\angle D ，测得 A B{=}D E ：
(1)求证： \triangle A B C{\cong}\triangle D E F (2)若 B E{=}10\ m,B F{=}3\ m ，求 F C 的长.
解：(1)证明： \because A B//D E ，
\begin{array}{r}{~\boldsymbol~{~o~~}\angle A B C=\angle D E F.}\end{array}
在△ABC和 \triangle D E F 中，
\angle A B C=\angle D E F,
\scriptstyle A B=D E ，
\angle A=\angle D
△ABC△DEF(ASA).
(2):△ABC△DEF,BC=EF.".BF+FC=EC+FC..BF=EC.~^{circ~B E=10~cm},B F{=}3\cm
{}_{\circ,\overrightarrow{F}}C=10-3-3=4(cm),
9.如图， C B 为 \angle A C E 的平分线， F 是线段 C B 上一点， C A{=}C F \angle B=\angle E ，延长 E F 与线段A C 相交于点 D (1)求证： A B{=}F E (2)若 E D\bot A C,A B//C E ，求 \angle A 的度数
解：（1)证明：CB为 \angle A C E 4
1
的平分线，
F
\therefore\angle A C B=\angle F C E. B
在△ABC和△FEC中，
\scriptstyle\int B=\angle E, E
\angle A C B=\angle F C E
\left\lfloor C A=C\overline{{\mathbb{F}}}
△ABC△FEC(AAS).
{\bf\Pi}_{0}^{0}*{\bf A}B={\mathbb F}{\mathbb E}
(2):AB//CE,../B=FCE.
\therefore\angle E=\angle B=\angle F C E=\angle A C B.
:ED⊥AC,即 \angle C D E{=}90°
\therefore\angle E+\angle F C E+\angle A C B=90°,
即 3\angle A C B=90°
\angle A C B=30°
\therefore\angle B=30° 费
\therefore\angle A=180°-\angle B-\angle A C B=180°-30°-30°= 120°
小专题4全等三角形的基本模型
类型1平移模型
模型展示
沿同一直线（BC)平移可得两三角形重合（ B E{=}C F) ：
1.如图，点 A,B,D,E 在同一条直线上， A B= D E,A C//D F,B C//E F. 求证： B C{=}E F
证明：AC//DF，BC//EF，
\therefore\angle A=\angle F D E,\angle C B A=\angle E.
在△ABC和 \triangle D E F 中，
1\angle C B A=\angle E ，
⟨ A B{=}D E ，
\angle A=\angle F D E
.△ABC△DEF(ASA).BC=E
类型2翻折模型
模型展示
2.如图，在四边形ABCD中， A B=A D ， B C= D C,E 为 A C 上的一点.求证：
(1)A C 平分 \angle D A B ，(2)B E{=}D E ，
证明：（1）在ADC和ABC{}_{\angle A B=A D} ，
中， \scriptstyle\left⟨ A C=A C\right. BC=DC,
.△ABC△ADC(SSS).
BAE \mathop{\left.\sum}\right.= DAE.AC平分 \angle D A B
1A B=A D (2）在ABE和ADE中， BAE=/DAE,AE=AE,.△ABE△ADE(SAS).BE=DE.
类型3旋转模型
题型1一般旋转型
3.如图，在 \triangle A B C 中， A D 是边 B C 上的中线，E,F 为直线 A D 上的点，连接BE， C F ，且B E//C F ：
(1)求证： \triangle B D E{\cong}\triangle C D F. (2)若 A E{=}13,A F{=}7 ，求 D E 的长.
解：(1)证明： \stackrel{\circ\circ}{\circ}A D 是边BC上
的中线， \therefore B D=C D 量
BE/CF,../DBE \c= ZDCF.
在BDE和△CDF中，
\angle D B E=\angle D C E D C \scriptstyle{\left|{B D=C D}\right.} ， E
BDE=/CDF，
△BDE△CDF(ASA).
(2)\stackrel{**}{*}A E=13,A F=7,\therefore E F=A E-A F=13-7=6. 由(1)知，BDE△CDF，
{\bf\Pi}_{0}^{0}*\mathbb{D}\mathbb{E}=\mathbb{D}\mathbb{F}.
\because D E{\mathrel{+}}D F{=}E F{=}6,\therefore D E{=}3.
题型2特殊旋转型—手拉手模型
模型展示
4.已知在 \triangle A B C 和 \triangle C D E 中， C A{=}C B,C D{=}C E +\scriptstyle\angle A C B=\angle D C E=α,A E 与 B D 相交于点 F.
(1)如图1,当 α{=}90° 时，求证：①\triangle A C E{\cong}\triangle B C D. ②A E\perp B D.
(2)如图2,当 α={60}° 时， \angle A F B 的度数为{6\mathbf{0}}°
(3） \angle A F B 的度数为_ ±b{α} _．（用含 α 的式子表示)证明 ①0{*}A C B=\angle D C E=90°
\therefore\angle A C B+\angle B C E=\angle D C E+\angle B C E, 即 \angle A C E=\angle B C D
{}_{|A C=B C}
在ACE和BCD中， \angle A C E=\angle B C D \scriptstyle{\big(}_{C E=C D} ，
△ACE△BCD(SAS).
② 由①知△ACE△BCD，
\angle C A E=\angle C B D
/CAE+/EAB+/ABC=90°
:./CBD+/EAB+/ABC=90°.
\therefore\angle A F B=90°
..AE⊥BD.
类型4一线三等角模型
题型1一般型
模型展示
(1)点 P 在线段 A B 上：
(2)点 P 在线段 A B 的延长线上：
已知 \scriptstyle A,P,B 三点共线，且 \angle1=\angle2=\angle3.
5. A石家庄外国语校本经典题在直线 \mathbf{\Psi}_{m} 上依次 取互不重合的三个点 D,A,E 在直线 \mathbf{\Psi}_{m} 上方有 A B{=}A C ，且满足 \scriptstyle\angle B D A=\angle A E C=\angle B A C=α.
(1)如图1,当 α={60}° 时，猜想线段 D E,B D C E 之间的数量关系是 D B=B D± CE
(2)如图2，当 0°<α<180° 时，问题(1)中结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.
解 :D E=B D+C E 仍然成立.证明如下：
： \scriptstyle\angle B D A=\angle B A C=α
\therefore\angle B A D+\angle E A C=\angle B A D+\angle D B A=180°-α.
\angle D B A=\angle E A C. \angle B D A=\angle A E C
在DBA和EAC中， \angle D B A=\angle E A C, AB=CA,
△DBA△EAC(AAS).BD=AE,AD=CE.
\therefore D E=A E+A D=B D+C E.
题型2特殊一线三等角—三垂直模型
模型展示
已知 \scriptstyle A,B,C 三点共线，且 \angle1=\angle2=\angle3=\dag 90°
6. A|人大附中校本经典题已知在 \triangle A B C 中，\angle A C B=90° ， A C{=}B C ，直线 M N 经过点 C ，且 A D\bot M N 于点 D,B E\bot M N 于点 E
(1)当直线 M N 处在图1的位置时，求证：①\triangle A D C{\cong}\triangle C E B. \scriptstyle{O}D E=A D+B E.
(2)当直线 M N 处在图2的位置时，直接写出D E,A D,B E 之间的数量关系.
解：(1)证明： ①。\Delta D\perp M N,B E\perp M N,
\therefore\angle A D C=\angle C E B=\angle A C B=90°
\therefore\angle A C D+\angle B C E=\angle C B E+\angle B C E=90°.
:ACD \c= CBE.
在 \triangle A D C 和△CEB中，
\angle A D C=\angle C E B
ACD=/CBE,.△ADC△CEB(AAS).
\scriptstyle1_{A C}=C B
② 由 ① 知，△ADC△CEB，
".CE=AD,CD=BE.DE=CE+CD=AD+BE.(2)D E{=}A D{-}B E.
温馨提示
周测 (14.1~14.2)
学生用书单独成册
（时间：40分钟满分：100分）
一、选择题（每小题4分，共28分）
1.下列各组中的两个图形属于全等形的是( B
2.如图，已知△ABC△DEC， \angle A=60° ” \angle B= {40}° ，则 \angle D C E 的度数为 (C)
A.40° B. 60° C. 80° D. {100}°
3.我国传统工艺中，油纸伞的制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识.如图所示的是油纸伞张开状态示意图， A E{=}A F ， G E{=}G F ，则 \triangle A E G{\cong} \triangle A F G 的依据是 （D)
A.SAS B. ASA C. AAS D. SSS
4.根据下列已知条件，不能画出唯一△ABC的是 （B)
A. A B{=}10,B C{=}6,C A{=}5 B. A B=10,B C=6,\angle A=30° C_{*}A B{=}10,B C{=}6,\angle B{=}60° D. A B=10,B C=6,\angle C=90°
5.如图，已知 \angle A O B{=}90° ， \angle A O C=56° ，以点 O 为圆心，以任意长为半径画弧 ① ，分别交 O B ，α 于点 M,N ，再以点 N 为圆心，以 M N 长为半径画弧，交弧 ① 于点 D ，画射线 O D ，则\angle C O D 的度数为 (C)
A. 22° B. 32° C. 34° D. 56°
6.如图，在△ABC中， A D\bot B C,C E\bot A B ，垂足分别是 D,E,A D,C E 交于点 H .已知 A E= C E{=}10,B E{=}6 ，则 C H 的长为 （C)
A.2 B.3 C.4 D.5
7.如图，在 \triangle P A B 中， \angle A=\angle B ，点 M,N,K 分别在 P A,P B,A B 上，且 A M=B K ， B N= AK.若 \angle M K N=40° ，则 \angle P 的度数为（C）
A. {{140}°} B. 90° C. {{100}°} D.110°
二、填空题（每小题5分，共25分）
8.如图， \triangle A O C{\cong}\triangle B O D 则 \angle A 的对应角是 B，边 A C 的对应边是BD
9.如图，点 \mathbf{\Psi}_{E,C} 在 B{\cal F} 上， B E{=}C F \angle A=\angle D= 90° ,请添加一个条件：_ {\underline{{D\mathbb{E}}}}=A\mathbb{C} （答案不唯一），使 \triangle A B C{\cong}\triangle D F E
10.如图， \triangle A B D\cong\triangle A C D,B D,A C 的延长线交 于点 E 若 \scriptstyle A E=7,A B=5,B E=4 ，则△CDE 的周长为_6·
11.如图， \mathbf{\Psi}_{C,E} 分别为 \triangle A B D 的边 B D,A B 上的点 \scriptstyle* A E=A D,C E=C D \angle D=70° ， \angle E C D= {{140}°} ，则 \angle B 的度数为_ 30°
12.如图，在 \triangle A B C 中， \angle A C B{=}90°,A C{=}B C 点 B 的坐标为(1,4),点 C 的坐标为(一2,0),则点 A 的坐标是_ \scriptstyle(-6,3)
三、解答题（共47分）
13.（8分)如图，已知 \triangle A B C{\cong}\triangle A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime},A D ，A^{\prime}D^{\prime} 分别是 \triangle A B C 的边 B C 和 \triangle A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime} 的边 B^{\prime}C^{\prime} 上的高.求证： A D{=}A^{\prime}D^{\prime}
证明： :00\triangle A B C \cong\triangle A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime} ，{}_{\circ}°,B C=B^{\prime}C^{\prime} \begin{array}{r}{±b{S}_{\Delta A B C}=±b{S}_{\Delta A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}}}\end{array} \therefore A D=A^{\prime}D^{\prime}.
,即AD·BC=A'D'·B'C'.
14.（11分)如图， A 为 \triangle A B C 和 \triangle A D E 的公共顶点，已知 \angle B=\angle D,A B=A D ，请添加一个条件，使得 A C=A E. （不添加其他线条和字母)
(1)添加的条件是 \angle C=\angle E 答案不唯一) (2)根据添加的条件，写出证明过程
证明：在 \triangle A B C 和 \triangle A D E 中\angle C=\angle E
\angle B=\angle D
\scriptstyle\left\lfloor_{A B=A D}\right. ，
:.△ABC△ADE(AAS).{\bf\Pi}_{\circ\circ}°A C=A E.
15.(13分)太阳能热水器(图1)环保节能，安全可靠，维护简单，倍受人们的喜爱.它的支架侧面可以看作 Rt\triangle A B C （图2）， \angle C=90° ，为增强其牢固性，增加了 D A,D E 两根支架，已知 D E\bot A B ，且 \scriptstyle A C=A E \angle B=58°
(1)请找出图中的一对全等三角形，并进行证明.
(2)求 \angle A D C 的度数.
解： (1)\triangle A D E{\cong}
\triangle A D C
证明：在 \mathbb{R}\mathbb{\cap A}\mathbb{D}C
和 \mathbf{Rt}\triangle\mathbf{\boldsymbol{ADE}} 中，
AD=AD, 图1 图2AC=AE,
..Rt△ADCRt△ADE(HL).
(2)\because\angle B=58°,\angle C=90°,
\therefore\angle B+\angle B A C=90°.
\therefore\angle B A C=90°-58°=32°.
由(1)知,Rt△ADCRt△ADE，
\therefore\angle D A C=\angle D A E=(1)/(2)\angle B A C=16°.
\therefore\angle A D C=\angle B+\angle D A E=58°+16°=74°.
16.（15分）【问题背景】已知在 \triangle A B C 和 \triangle A D E 中， A B{=}A C,A D{=}A E \angle B A C=\angle D A E= 90° ，
【初步探究】
(1)如图1，当点 D 在 A C 上时，线段 B D,C E 有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出结论.
【拓展延伸】
(2)将图1中的 \triangle A D E 的位置改变一下,如图2？其他条件不变，（1)中的结论是否成立？请说明理由.
解： \scriptstyle(1)B D=C E,B D\bot C E.
(2)成立.理由如下：
\therefore\angle B A C=\angle D A E=90°,\therefore\angle B A D=\angle C A E. 在△ABD和 \triangle A C E 中，
\angle A B=\angle A C
BAD=/CAE,
\scriptstyle{\dot{}}_{A D=A E}
:△ABD△ACE(SAS).
\therefore\angle A B D=\angle A C E,B D=C E.
延长 B D 交AC于点 \underline{{\vec{F}}} ，交 C\mathbb{E} 于点H.
在ABF和 \triangle\mathbb{H}\mathbb{C}\overline{{\mathbb{F}}} 中，
\because\angle A B F{=}\angle H C F,\angle A F B{=}\angle H F C,
:CHF \L= BAF {\bf\Pi}=90° ..BD⊥CE.
14.3 角的平分线
第1课时 角的平分线的性质
基础题
知识点1角的平分线的作法
1.如图，已知 \angle A O B ，求作射线 \ O C ，使 \ O C 平分\angle A O B ，那么作法的正确顺序是 （C)
① 作射线 \ O C ② 在射线 O A 和 O B 上分别截取 O D,O E ，使 O D{=}O E ③ 分别以点 D,E 为圆心，大于 (1)/(2)D E 的长为半径在 \angle A O B 内作弧,两弧相交于点 C.
A. ①②③
B. ②①③
C. ②③①
D. ③①②
2.用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，能说明 \angle A O C=\angle B O C 的依据是（A）
A. SSS B. ASA C.AAS D. SAS
3.（2024·黔东南期中）尺规作图：画一个角的平分线.(保留作图痕迹，不写作法）已知： \angle A O B （如图).求作：射线 \ O C ，使\angle A O C=\angle B O C.
解：如图，射线 α{c} 即为所求作。
知识点2角的平分线的性质
4.如图，在 Rt\triangle A B C 中， \angle C=90° ， \angle A B C 的平分线 B D 交 A C 于点 D .若 C D{=}4~cm ，则点 D 到 A B 的距离是 （B）
A. 5\cm B. 4\cm C.3 cm D. 2\cm
5.如图， O P 平分 \angle A O B,P C\bot O B 于点 ^{C,Q} 是射线 O A 上的一个动点.若 P C{=}4.\ 5 ，则 P Q 的最小值为 (A）
A. 4.5 B.3.5 C.4 D.5
6.如图，在 \triangle A B C 中， \angle C=90° ， A D 平分\angle B A C 交 B C 于点 D,D E\bot A B ，垂足为 E_{\leftarrow} 若 B C{=}4,D E{=}1,6 ，则 B D 的长为_2.4·
7.(2024·遵义余庆县期中)如图，在 \triangle A B C 中，B C{=}9\ {cm},C D 是 \angle A C B 的平分线， D E\bot A C 于点 E,D E{=}2\cm ，则 \triangle B C D 的面积为_9 cm^{2}
8. A|人大附中校本经典题如图，在 \triangle A B C 中，B E{=}C F,A D 平分 \angle B A C,D E\bot A B 于点 E ，D F\bot A C 于点 F .求证： D 是 B C 的中点，
证明： A D 平分BAC,DE⊥A B,D F\bot A C,
： D E=D F ，BED=/CFD=90°
在 \bigtriangleup BDE和 \triangle c D F 中
\scriptstyle\int{B}E=C{\overline{{F}}}
/BED=/CFD,
DE=DF,
.△BDE△CDF(SAS).
\begin{array}{r}{{~\boldmath~\Omega~}_{\circ},D B=D C,}\end{array}
\therefore D 是BC的中点.
知识点3文字命题的证明
9.命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”的已知是一个点在一个角的平分线上，求证是_这个点到这个角两边的距离相等
中档题
10.（2024·毕节织金县期末）如图， A D 是\triangle A B C 中 \angle B A C 的平分线， D E\bot A B 于点E,S_{\Delta A B C}=24,D E=4 A B=7 ，则 A C 的长为_5·
11.（2024·遵义汇川区期末)如图，在 Rt\triangle A B C 中， \angle C=90° ， \angle B=40° ，以点 A 为圆心，适当长为半径画弧，交 A B 于点 E ，交 A C 于点F ;再分别以点 E,F 为圆心,大于 \scriptstyle{(1)/(2)}E F 的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在\angle B A C 的内部相交于点 P ；画射线 A P ，与 B C 相交于点 D ，则 \angle A D C 的度数为_ {65}°
12. A|湖南师大附中校本经典题 如图，在 \triangle A B C 中， \angle C=90° A C=B C,A D 平分 \angle B A C 交B C 于点 D,D E\bot A B 于点 E .若 A B{=}12 ，则\triangle B D E 的周长为 ( B ）
A.10
B.12
C.14
D. 24
13.如图，在四边形ABCD中， A B=A C,\angle D= 90°,B E\bot A C 于点 F ，交 C D 于点 E ，连接E A,E A 平分 \angle D E F ：
(1)求证： A F{=}A D 证明： \stackrel{\circ\circ}{*}\angle D=90° ，
..AD⊥DE.
又EA平分 \angle D E F ，A\mathbb{F}\bot\mathbb{E}\mathbb{F}
\therefore A F=A D. (2)若 B F{=}7,D E{=}3 ，求 C E 的长.解：在 \mathbf{Rt}\triangle A B F 和 \mathbf{Rt}\triangle A C D 中，
\scriptstyle\left|A B=A C\right|
\scriptstyle1_{A F=A D} ，
.Rt△ABFRt△ACD(HL).
\therefore B F=C D=7.
\mathbf{\nabla}°D E=3 ，
\therefore C E=C D-D E=7-3=4.
综合题
14. 新考向 开放性问题（2024·遵义四校期中联考)如图， \angle B=\angle C=90° 点 E 在线段B C 上， A E 平分 \angle B A D,D E 平分 \angle C D A ，有如下结论： ①\angle A E D=90° ： ②B E=C E ：③A D{=}C D{+}A B. 请从以上三个结论中，任选两个进行证明，
解：答案不唯一，如：选择 ②B E{=}C E \scriptstyle(3)A D=C D+A B.
证明：过点 E 作 E F\bot A D 于点 F ，则\angle E F A=\angle E F D=90°.
。： \angle B=\angle C=90° ，
..BE⊥AB,CE⊥DC.
AE平分 \angle B A D,B E\bot A B,F E\bot A D 费{\bf\Pi}_{0}^{0}*BC=FE.
DE平分 \angle C D A,C E\bot D C,E E\bot D A \therefore C E=F E.
\begin{array}{r}{~\boldmath~\Omega~_{0}°\ B E=C E,}\end{array}
在 \mathbb{R}t\triangle A\mathbb{B}\mathbb{E} 和 \mathbb{R}t\triangle A\mathbb{F}\mathbb{E} 中，
\scriptstyle\left|A E=A E\right|
BE=FE,
".Rt△ABERt△AFE(HL).
{\bf\Lambda}_{\circ}°\circ A B=A F.
同理RtDECRt△DEF(HL).
~\P~_{0}\mathbb{C}\mathscr{D}{=}\mathscr{F}\mathscr{D},
\therefore A D=F D+A F=C D+A B.
第2课时 角的平分线的判定
基础题
知识点1角的平分线的判定
1.如图， P M\bot A C 于点 M,P N\bot A B 于点 N ， P M=2 ，当 P N= 2时，点 P 在 \angle B A C 的 平分线上.
2.如图，若 D E\bot A B,D F\bot A C ，则对于 \angle1 和\angle2 的大小关系，下列说法正确的是 （ D )
A.一定相等
B.一定不相等
C.当 B D{=}C D 时相等D.当 D E{=}D F 时相等
3.如图， P M\bot O A,P N\bot O B. 若 P M=P N ， \angle B O C=30° ，则 \angle A O B 的度数为 (C)
A. {30}°
B. 45°
C. {60}°
D. 50°
4.请证明：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.已知:如图,点 P 在 \angle A O B 内，_ P C\bot O A 于点 \mathbb{C},\mathbb{P D}\bot\mathbb{O B} 于点 D,P C=P D 求证：OP平分ZAOB证明：连接OP."PC⊥OA,PD ⊥OB,:ZOCP=/ODP=90°.口在 \mathbf{Rt}\triangle P O C 和 \mathbb{R}t\triangle P O D 中， 0 D B\scriptstyle\left(P O=P O\right) PC=PD,..Rt△POCRt△POD(HL).\begin{array}{r}{~\boldmath~\Omega~_{\circ}°\angle C O P{=}\angle D O P,}\end{array} 即 {\cal O}_{\bot}^{p} 平分AOB.
5.（教材P52新增习题T2变式）如图， B E\bot A C 于点 E,C D\bot A B 于点 D 且 B D=C E. 求证： A F 平分ZBAC.
证明： O B E\bot A C,C D\bot A B. \therefore\angle B D F=\angle C E F=90°. 在 \triangle B D F 和 \triangle C E F 中，
\angle D F B=\angle E F C,
BDF=/CEF,
BD=CE,
.△BDF△CEF(AAS). {\bf\Pi}_{\circ~o~}°F D{=}F E.
BE⊥AC,CD⊥AB,
{\bf\Pi}_{0}^{0}\circ A\varmathbb{F} 平分BAC.
知识点2三角形的角平分线
6.到三角形的三条边距离相等的点是这个三角形 (A
A.三条角平分线的交点B.三条中线的交点
C.三条高所在直线的交点D.以上都不对
7.如图， \triangle A B C 的三边 A B,A C,B C 的长分别为4，6，8，其三条角平分线将 \triangle A B C 分成三个三角形，则 S_{\triangle O A B}:S_{\triangle O A C}:S_{\triangle O B C}=\_:3:4
易错点因考虑问题不全面致错
8.如图所示的是三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地点有 （D）
A.1处 B.2处 C.3处 D.4处
