罰新深裸堂

芝表橋析

① 倒新深堂答案 P341--380② 深肘精弥蓉案 P381-420単独成

答案精析

第一章 盆知沢

\ S 1 集合

1,1 集合的概念与表示

第一裸肘 集合的概念

探究1提示題千例子中指的都是\*所有的\*即菓研究対象的全体・研究対象可以是数点代数式地可以是却突生活中各稚春祥的事物或人等

知枳硫理

I. A,B,C, ...
2. a,bc..
例IACDLB辻項中“崖題\*前准不明禰・不苻A禰定性・贔然A．CD逸斑中能杓成集合散銑ACD.
刑禁IADLA,D中的対象是彌定前・丁以杓成集合・両RC中的対象是不硝定前不能杓成集合立是困“票亮”接近z的実教”的板惟不明彌コ

探究？ 提示 能杓成集合其元黍2,4:6,8.10探究： 提示 一祥・没有先后晒序(毛序性)

知硫理

2 . \in は

3. 整数集 宍数集 N \mathbf { N } _ { + } 或 \mathbf { N } ^ { * } 山 \mathbf { R } _ { + }

例？ (1BL対千 ① 実数集中漫有最小的元黍・散の不正禰・寸子 ② 若 a \in \mathbf { Z } , 則 \scriptstyle { a } 是整執散一也是整歎・故 - a \in \mathbf { Z } , 所以 ② 也不正硝：③ 正禰丁2解由 0 \in P 店得 2 a + 1 { = } 0 或 a ^ { 2 } - 1 = 0 解得 a = - { / { 1 } { 2 } } 高 a = ± 1 . 和 a = - { / { 1 } { 2 } } き a ^ { 2 } - 1 = - / { 3 } { 4 } 符合題意：当 a = 1 財 2 a + 1 = 3 符合題意：当 a = - 1 財 2 a + 1 = - 1 , 満足元黍的互身性・舎去.
永上笑数 a 的力 - { / { 1 } { 2 } } 成1
川捺2 (D)AB [ / { 1 } { 4 } \in \mathbf { R } 鼓A正禰：
sqrt { 2 } 不是有理澂・所以 { sqrt { 2 } } \not \in \mathbf { Q } 散B正禰
\mathbf { N } 自然教集・所以一：N散C蕭：
NE不是整数所以EсL散D黌散逸AB
(2解由 - 3 \in A 可得 - 3 { = } a - 2 或 - 3 = 2 a ^ { 2 }
+5a1--1成a--チ当 a = - 1 肘 , a - 2 = - 3 , 2 a ^ { 2 } + 5 a = - 3 , 不苻合集合中元黍的互昇性・散 a = - 1 度舎去：
却 a = - { / { 3 } { 2 } } \Re \downarrow , a - 2 = - { / { 7 } { 2 } } , 2 a ^ { 2 } + 5 a = - 3 , 株合集合中元黍的互昇性捺上 \scriptstyle * a = - { / { 3 } { 2 } } .
T．ARCLA中“葉一到商斑辻商品前顧客”的称准禰定能杓成集合：B中小o是一不明硝的准能杓成集合：ç中2024,1与 ( 1 , 2 ~ 0 2 4 ) 是西不不同的点・是預定的・能杓成集合：D中“未来世界的高科技声品”的“高科技”准不明禰不龍杓成一不菓合コ
2D由集合中元黍前互昇性可知玄不三角形的三逆以須都不相同此不可能等腰三角形故D
3. - 4 { < a <=slant } - 2 T困 1 \notin A , 2 \in A 中
貯以 \{ 2 x 2 + a > 0 リーイルイー2丁
- ε T点(1,5)満足 y = 2 x + 3 所以点 ( 1 , 5 ) \in P :面(2,m不是宜袋 y = 2 x + 3 上的点・所以 ( 2 , 6 ) \notin P 」

深堂送椋

第二裸肘 集合的表示

探究提示玄是用自然番言法表示的集合集合 M 中的元泰刃泰山準山街山恒山蕎山：集合 N 中前元泰丸1,2,3,4,5.

知杭理

一列挙 花括号“”

例解（1因不大10是指小或等子10非典是大千或等子0的意馬・所以不大子10的非負偈数集是0,24,68,10(2方程 \scriptstyle x ^ { 2 } = 2 x 的解是 x = 0 或 \scriptstyle x = 2 所以方程的解塑成前集合 \{ 0 , 2 \} ：(3箸 \scriptstyle x = 0 代人 y = 2 x + 1 , 得 _ y = 1 即所求交点是(0,1散交点塑成的集合是 \left\{ \left( 0 , 1 \right) \right\} .(4正整教有123:.所求集合万123…
川彝1解（1困大1旦小6的整教包括2,3,4:5所以 A = \{ 2 , 3 , 4 , 5 \} 円2方程 x ^ { 2 } - 1 6 = 0 的実教根ヵ－44所以 B = \{ - 4 , 4 \} , 酒 _ { y = 3 } 明_ { y } = _ { x } + 2 y = - 2 x + 5 的交点カ(1,3)所以 C = \{ ( 1 , 3 ) \} 中
探究？提示能 \{ - 1 , 0 , 1 \} 中
探究：提示不能.集合中的元黍有毛数多不元泰不能完全列荼

知沢硫理

符号 范囲 共同特征

探究 4 - 提示 不.

例？群（1不尋式 2 x - 3 < 1 的解塑成的乗合丸 A と即集合 A 中的元表是教授代表元泰力 _ x 則 _ x 蕭足 2 x - 3 < 1 は皿 A = \{ x \ : | \ : 2 x - 3 < 1 \} 中印 A = \{ x \vert x { < } 2 \} --2授被：除余？的我力 x , 厠 x = 3 n + 2 」{ \boldsymbol { n } } \in \mathbf { Z } -但元黍ヵ正整教・故 x = 3 n + 2 , n \in \mathbf { N } 所以被：除余2的正整数塑成的集合 B { = } \{ x \mid x = 3 n + 2 , n \in \mathbf { N } \} -3及偈教 _ x \scriptstyle x = 2 n , n \in \mathbf { Z } h但元表是2,4:6,8,10,所以 x = 2 n , n { <=slant } 5 , n { \in } \mathbf { N } _ { + } ：所以 C = \{ x \ : | \ : x = 2 n , n { <=slant } 5 , n { \in } \mathbf { N } _ { + } \} , -(4)平面真角坐転系中第二象限内的点的横坐着典製坐着正即 x { < } 0 , y { > } 0 中散第二象限内的点塑成的集合力D = \{ ( x , y ) | x { < } 0 , y { > } 0 \} . -ま
Il奈?DACDLB中. \{ x \mid x < 1 0 \} 表示\*小子10的実数”小子10的整教”杓成前集合表示カ \{ x \vert x < 1 0 旦 { \boldsymbol { x } } \in { \boldsymbol { \mathbf { Z } } } ) 其余的全正硝司2解 ① 偶数可用式子 x = 2 n n \in \mathbf { Z } 表示但此題要求ヵ正信勤・故眼定 n \in { \bf N } _ { + } 所以正信教集可表示力 \{ x \mid x = 2 n , n \in \mathbf { N } _ { + } 一② 坐析軸上的点 ( \boldsymbol { \mathbf { \mathit { x } } } , \boldsymbol { \mathbf { \mathit { y } } } ) 前特点是横坐析中至少有一不丸0印 x y = 0 散平面真角坐烝中坐軸上的点的集合可表示 \scriptstyle \{ ( { \boldsymbol { x } } , { \boldsymbol { y } } ) | _ { { \boldsymbol { x } } { \boldsymbol { y } } } = 0 \} ：

知沢硫理

1(1)有限不 2无限不 3)任何

例： лç (20(-1,+00) の250-0-31 ④ 2,4丁,「D由区同和集合的美系可得区同(一：,21可表示丸 \{ x \mid - 3 < \scriptstyle x <=slant 2 \} 故近C2の集合 \{ x \vert x > - 1 \} 丁用井区同表丸(一1,十oe.② 集合 \{ x \mid 2 < x <=slant 5 \} 丁用半番半区同表2,51：③ 集合 \{ x \vert x <=slant - 3 \} 可用半千半区司表一一ヨ:④ 集合 \{ x \mid 2 { <=slant } x { <=slant } 4 \} 丁用閉区同表示24丁1-
川捺3（TCL髢斑A.B.D都舎有元泰・両銑斑C中无元黍・散尭C]20L1,+00） の2,3 é--,-5の-1,2

2.Lα,b [, La,+co.

裸堂送

1A由 x ^ { 2 } - 4 x + 3 = 0 得 _ { x = 1 } 式 \scriptstyle x = 3 用列荼法表方程 x ^ { 2 } - 4 x + 3 = 0 的所有根望成的集合ヵ1,3丁
2CT当 k = 0 財 , k x ^ { 2 } + 4 x + 4 = 0 カ 4 x + 4 = 0 -所以 x = - 1 社合題意：当 k { \neq } 0 財則 k x ^ { 2 } + 4 x + 4 = 0 有西不相等的宍根所以 \Delta { = } 1 6 { - } 1 6 k { = } 0 所以 k = 1 -所以実澂 k 的慎ヵо或1散琵C
3.L5,十60）L集合 \{ x \mid x - 3 >= 2 \} 可化筒 \{ x \mid エ引,用区同表カ5, + ∞ ; 」
4. \{ - 1 , 0 , 3 \} - \{ ( - 2 , 3 ) , ( - 1 , 0 ) , ( 0 , - 1 ) , ( 1,0(2,3L由 y = x ^ { 2 } - 1 , | x | <=slant 2 , x \in \mathbf { Z } 知 x 可取的値丸 0 , ± 1 , ± 2 ロ印 \scriptstyle x = 0 財 y = - 1 も前 x = ± 1 財 y = 0 ホ前 \scriptstyle x = ± 2 財 _ { y = 3 } 所以集合 A = \{ - 1 , 0 , 3 \} 巣合 B 表示点集所以 B { = } \{ ( - 2 , 3 ) , ( - 1 , 0 ) , ( 0 , - 1 ) , ( 1 , 0 ) , 2,3

12 集合的基本芙系

探究1提示（1集合 A 包舎千集合 B 或集合B 包舍集合A(2)集合 c 包舍千集合 D 或集合 D 包舎集合 c h(集合 A 包舎集合 B 集合 B 也包舎集合A

知硫理

I. 封酎2 -3（1子集4生 王

例1（1DBLの正硝,0是集合IO的元黍:の正禰び是任何集合前子集：③ 黌操集合 \{ 0 , 1 \} 舍有西不元泰01(0.1舎有一作元泰点(01-所以五西不集合不相等：④ 借操集合 \{ ( a , b ) \} 舎有一不元泰点 \scriptstyle ( a , b ) 集合 \scriptstyle \left\{ ( b , a ) \right\} 含有一不元泰点 ( b , a ) , 当 a \neq b 肘古両不元素不同所以集合不相等・・正禰的介散是2．散芽E2解 ① 集合 A 的代表元荼是数・集合 B 的代表元茶是有序実教対・故 A 与 B 之同毛包舎未赤.印A生B.2集合 * A = \left\{ x \in \mathbf { Z } | - 1 { < } x { < } 4 \right\} = \left\{ 0 , 1 , 2 , 3 \right\} , B = \{ x \in { \bf N } | x - 4 < 0 \} = \{ x \in { \bf N } | x < 4 \} = \{ 0 , 1 , 2,3所以 A = B

川芽 ^ { 1 } - (1B 由 x ^ { 2 } - x = 0 得 _ { x = 1 } 或 \scriptstyle x = 0 中故 N = \left\{ 0 , 1 \right\} ：易得N二M其対度 的 { { V e n n } } 図如項E所2ABCL若 x { < } 0 , y { < } 0 則 x + y < 0 , x y > 0 中茨N二M.若 x + y < 0 , x y > 0 \scriptstyle { { x } } 与 _ y 同号旦負即 x { < } 0 , y { < } 0 故 M { \stackrel { - } { = } } N 所以 M = N 中散辻ARC.1

探究 2 提示 共同特征 A \subseteq B 且集合 B 中含有集合 A 中没有的完黍・即AB

探究： 提示 8,2,3,2,3:：有3不真子集.知杭理

例？ (1)解 ① 等三角形是三相等的三角形等腰三角形是西逆相等的三角形・改 A \subsetneq B ② 集合 B { = } \{ x \vert x { < } 5 \} 用数軸表集合 A , B 中如図所示由図可知 A \subseteq B ロ

例： 解 :BEA.

③ 由列挙法知 M = \left\{ 1 , 3 , 5 , 7 , *s \right\} , N = \left\{ 3 , 5 , 7 , \right. 故N { \sqrt [ [object Object] ] { \lambda } }は2解集合A = \{ ( 1 , 1 ) , ( 2 , 0 ) \}所以A的子集有：\mathcal { O }i, 1, [2,0.11,1,2,0.共4不.言A的真子集有:8,(1,1Dト2,0共3不川奈?DD\because A = \{ - 2 , 3 \} , B = \{ 3 \}..BA.]?g, taI. b, Ic, la,b+. Iat.tb.c. la,b.T 「集合\{ a , b , c \}的子集有：\mathcal { D }中\left\{ a \right\} , \left\{ b \right\}町Ich, la sb, lasc'I.\{ b , c \}\{ a , b , c \}其中除N外都是\{ a , b , c \}$ 的真子集・共？不コ

:： ① 当 B = { O } 肘満足BA,北財 m + 1 <=slant 2n一1,解得 m { >=slant } 2 駐② 当 B \neq { O } 肘如図所示

-3一2n-1,有 1+14,2 m - 1 < m + 1 解得 - 1 { <=slant } m { < } 2 奈上得 m >=slant - 1 即実数 m 的取値范国是口 - 1 , + ∞ ) 中

_ { c } m + 1 > 2 m - 1 中壬移 解 由題意有 \ : \lfloor 2 m - 1 < - 3 \ : \lfloor m + 1 > 4 中印 \int _ { m \setminus >= - 1 , \therefore m } ^ { m < 2 , } 不存在,即 \mathbf { \Sigma } _ { m } 前頭値弛囲ヵg_ 中

川芽 3 (TDBL由題及 * N { = } \{ x \mid x { <=slant } k \} - \scriptstyle M \subseteq N , M = \{ x \mid - 1 <=slant x < 2 \} リ: k { \stackrel { style > 2 } { style > } } 故途R(2)ARC 「BEAA-トーーナ)B { = } \{ x \vert m x { = } 1 \}
： \scriptstyle * B = \varnothing 成ー(イ式ーー）- ① 動 B { = } \{ x | m x { = } 1 \} { = } \emptyset 財 m = 0 時- ② 却 B { = } \{ x | m x { = } 1 \} { = } \left\{ { - } { / { 1 } { 3 } } \right\} 意 / { 1 } { m } = - / { 1 } { 3 } 丁得 m = - 3 中③ 迎 B { = } \{ x \mid m x { = } 1 \} { = } \left\{ { / { 1 } { 2 } } \right\} 町 / { 1 } { m } = / { 1 } { 2 } 岡得 \scriptstyle m = 2 奈上所迷 , m 前値カ喪一3或2

裸堂送

I.ć 由E知得 A = \{ 1 , - 1 \} 所以透斑A．B．D都黌俣・困＠是任何非空集合的真子集・所以C正硝.散逸C門
2.ARC \because A = \{ x | a x { <=slant } 2 \} , B = \{ 2 , sqrt { 2 } \} . 日 B { \subseteq } A 中： \scriptstyle * sqrt { 2 } a <=slant 2 解得 a { <=slant } 1 . -2 a { <=slant } 2 此,A,B,C辻斑苻會題意.散辻ABC.]
ーす L.A-(rIェ+エ-6-Oト-
-3,2
B { = } \{ x \mid m x { + } 1 { = } 0 \} , B 二A,
:： B = { O } 或 B = \{ - 3 \} 或 { \boldsymbol { B } } = { \left\{ 2 \right\} } 中
① 当 B = \{ x \mid m x + 1 = 0 \} = \varnothing 五 \scriptstyle . m = 0
- ② 当 B { = } \{ x | m x { + } 1 { = } 0 \} { = } \{ { - } 3 \} 町
- / { 1 } { m } = - 3 , m = / { 1 } { 3 } ;
③ 当 B = \{ x \mid m x + 1 = 0 \} = \{ 2 \} \mathbb { 1 } 」,
- / { 1 } { m } { = } 2 , m { = } - / { 1 } { 2 } .
故満足条件的実教 m 前値所成的集合
\left\{ \ L _ { 0 } , / { \ L _ { 1 } } { \ L _ { 3 } } , \ L _ { - } / { \ L _ { 1 } } { \ L _ { 2 } } \right\} . \bar { \Phi }

4ひ 2尾 - ( 3 ) = L1中，由 A = \{ 1 , 2 -4 \scriptstyle * B = \{ x \mid x 是8的教 \} = \{ 1 , 2 , 4 , 8 \} 得 A \subseteq B ロ2中 A = \{ x | x = 3 k , k \in \mathbf { N } \} , B = \{ x | x = 6 \mathbf { \xi } _ { \iota , m } \in \mathbf { N } \} = \{ x \mid x = 2 * 3 m , m \in \mathbf { N } \} 旦是前借教・一定是：的倍勤・但是：的倍数不一定是6的信数散 A \supsetneq B 円3中 { A } = \{ \boldsymbol { x } \mid \boldsymbol { x } 是4与10前公倍数 { \bf \Phi } _ { x } \in { \bf N } _ { + } --= \{ x \vert x = 2 0 n \displaystyle { { \boldsymbol { \mathbf { \mathit { \varepsilon } } } } = 2 0 n * n \in \mathbf { N } _ { + } \ \} , B = \{ x \mid x = 2 0 m , m \in } \mathbf { N } _ { + } 所以 B { = } A . -

13 集合的基本透算

第一渠肘 交集与并集

探究1 提示 集合 c 是由所有既属千集合 A 又鳳千集合 B 前元素塑成的

探究？ 提示 南非空集合的所有栄奈下図所示：

知硫理

1交集 0 \{ x \vert x \in A 耳 { \boldsymbol { x } } \in B \}
2 ( 1 ) = { \begin{array} { l } { \subseteq } \end{array} } \subseteq { \begin{array} { l } { A } \end{array} } 2

例1 (TCD 2Å LC1)由題意・知明影部分表示的集合 M \cap N ： M = \{ x | - 1 <=slant x <=slant 3 \} \scriptstyle , N = \{ x \mid x = 2 k - 1 リk \in { \bf N } _ { + } \} , \therefore M \cap N { = } \{ 1 , 3 \} 改CD

(2在数軸上表示出集合 A 与 B 珈図所示即由交集的定文知

A \cap B = \{ x \mid 0 { <=slant } x { <=slant } 2 \} . =川彝1（AT在教鞠上猪集合 A , B 表永出莱如図所示由交集的定メ可得ADB図中明影部分即 A \cap B = \{ x \mid - 3 < x < 2 \} 散辻A

2D 田 イジニ・得（タニシ」故 M \cap N { = } \{ ( 3 , - 1 ) \} 故逸D探究：（1)提示集合 c 是由所有属千集合 A 或属千集合 B 的元黍塑成的.2提示在の中,集合 c 中有 4 不元荼集合A , B 中春有2不元黍 _ 4 = 2 + 2 中 ③ 中集合 c 中有4不元黍・集合 A 中有2不元黍・集合 B 中有3不元黍: _ { 4 } < 2 + 3

知硫理

1并集 ü \{ x \vert x \in A 或 x \in B \}
- . ( 1 ) = { \begin{array} { l } { \subseteq } \end{array} } \subseteq { \begin{array} { l } { A } \end{array} } A ( 2 ) \subseteq
例？ TAB 2 L1由1.3 \cup A = \{ 1 , 3 , 5 \} 知 \scriptstyle * A \subseteq \{ 1 , 3 , 5 \} 耳 A 中至少有1不元黍5.散 遊AB. 2)在数軸上表示西不集合,如図,可得PUQ \ c = \{ x \vert x { <=slant } 4 \} ı

川券2 (1D (2 \{ x \vert x < - 5 或 _ { x > - 3 ⟩ } [(1)易知 N = \left\{ 0 , 3 , 9 \right\} :散MU J = 10,1,3,9h.2判 - 3 < x <=slant 5 , x < - 5 或 x { > } 5 在教軸上表示出来Yam..1MUNーエトェー5,或 x { \ > } { - } 3 3 . ]

：解 (り由題高丁知

A = \{ x \mid x ^ { 2 } - 3 x + 2 = 0 \} = \{ 1 , 2 \} ,
FAiB-2...2eB.
2是方程 x ^ { 2 } + 2 ( a - 1 ) x + a ^ { 2 } - 5 = 0 的根
宰2代人方程・得 4 + 4 ( a - 1 ) + a ^ { 2 } - 5 = 0
解得 a = - 5 或 a = 1 . ま
当 a = - 5 肘集合 B = \left\{ 2 , 1 0 \right\} 符合題意：
当 a = 1 町集合 B = \{ 2 , - 2 \} 待合題意
崇上所鉢 \scriptstyle a = - 5 或 a = 1 ,
2若 A \cup B { = } A 只 B { \subseteq } A 中
: A = \{ 1 , 2 \}
'' B = { O } 或 \scriptstyle B = \{ 1 \} 或2式1,2
若 B = { O } 只 \Delta = 4 ( a - 1 ) ^ { 2 } - 4 ( a ^ { 2 } - 5 ) = 2 4 -
8 a < 0 解得 a { > } 3 車4-24-8-0,
希 B = \left\{ 1 \right\} イー1ー1\begin{array} { c } { { a = 3 } } \\ { { a = 0 } } \end{array} 不馬立。74-24-8a-0,
券 B = \left\{ 2 \right\} 四イェー-2のーリー1ークー20\begin{array} { l } { { { \left[ { a = 3 } , \right. } } } \\ { { { \left. a = - 1 \right.} } } \end{array} 不虚立。14-24-8a0,
若 B = \left\{ 1 , 2 \right\} ロ)1+2--2(α-1),\scriptstyle \lfloor 1 x 2 = a ^ { 2 } - 5 中一山a = - { / { 1 } { 2 } } 此町不成立._ a = ± { sqrt { 7 } }
奈上 a { > } 3 ま
即教n的取値 \{ a \vert a > 3 \} 出

川芽：解（T若 A = { O } A \cap B = { O } 成立此財 2 a + 1 { > } 3 a - 5 即 a { < } 6 時若 A \neq { O } 如図所示

狂移解　由題意 A = \{ 1 , 2 \} 山由 A \cap B { = } A 中得 AEB.. \scriptstyle B = \{ 1 , 2 \} 中\phantom { } _ { I } \Delta = 2 4 - 8 a > 0 ロ\scriptstyle { / { 1 + 2 = - 2 ( a - 1 ) } { a - 1 } } 1 x 2 = a ^ { 2 } - 5 ト一出：引 a = - { / { 1 } { 2 } } 一此尉不成立_ \scriptstyle a = ± { sqrt { 7 } } 実数 a 不存在即実数 a 的取値園ヵg

c 2 a + 1 { <=slant } 3 a - 5 と多 2 a + 1 { >=slant } - 1 時 解得 6 { <=slant } a { <=slant } 7 _ 3 a - 5 <=slant 1 6 ュ宗上満足条件 A \cap B = { O } 的実教 \scriptstyle a 的取値范国是 { \vert a <=slant 7 ⟩ } 中(2歯カA(ANB)所以 A \cap B { = } A 即 A \subseteq B 贔然 A = { D } 蒲足条伴,此財由()知 a < 6 中若 A \neq { O } 如図所示

裸堂送椋

出島・ス（にれー画由揚 a \in { { O } } 義 -中岡件 \ c ^ { 2 a + 1 <=slant 3 a - 5 } A \subseteq ( A \cap B ) a > / { 1 5 } { 2 } \scriptstyle a \{ a | a < 6 , \Re a > / { 1 5 } { 2 } \} .

L.DL国 A = \left\{ - 1 , 0 , - 2 \right\} , B = \left\{ x \mid x ^ { 2 } - x - 6 \right. = 0 \} = \{ - 2 , 3 \} 所以 A \bigcup B = \{ - 1 , 0 , - 2 , 3 故辻D
2DT四刃 A = \{ x | x + 1 > 0 \} = \{ x | x > - 1 \} ホB { = } \{ x | x { - } 1 { < } 0 \} { = } \{ x | x { < } 1 \} -又 C = \{ 0 , 1 , 2 , 3 \} 男所以 C { \subseteq } A 散B正禰B \cap C = \left\{ 0 \right\} 散C黌操Aし B = { \bf R } 改D正禰：A \cap B = \{ x \mid - 1 < x < 1 \} 鼓A黌散逸BD
32或一 sqrt { 2 } L・AU B { = } A ...BEA.-： a ^ { 2 } = 0 或 \scriptstyle a ^ { 2 } = 2 或 a ^ { 2 } = a 山解得 \scriptstyle a = 0 式 a = { sqrt { 2 } } 或 a = - { sqrt { 2 } } 或 a = 1 . 盗梅弘 { \bf \nabla } * { \bf { \vec { a } } } = 0 或 a = 1 財不精足元黍的互昇性a = { sqrt { 2 } } 或 a = - { sqrt { 2 } } 財満足題意
- [ 5 , + ∞ （一Q5T四) P = ( - ∞ , 5 ) 車Q = [ m , + ∞ ) 由 P \cap Q = { D } 可知 m >=slant 5 中即突数 \mathbf { \nabla } _ { m } 的取値弛囲是 [ 5 , + ∞ ) 若 P \cup Q { = } \mathbf { R } もm { <=slant } 5 即実数 m 前取田是(一,51

第二裸肘 全集与社集

探究1提示　集合 U 是我竹研究対象的全体AEU,BSU.An B = { \Omega } \` A ü B { = } U 其中集合A 与集合 B 有一釉“互礼”的栄系

知硫理

1全集 」

2 \complement _ { U } A - \{ x \vert x \in U 旦 { } _ x \notin A \} - U A U - { D } 例1(DA (2)AB LT1)如図,在数軸上表示出集合 M 可知 \complement _ { U } M = \{ x \mid 0 { <=slant } x { <=slant } 2 \}

2：AU \complement _ { U } A ) = U ホ ' \vert a - 5 \vert = 3 解得 \scriptstyle a = 2 或8 川奈1 1 \{ x \vert x = - 3 或 _ { x > 4 } \} - ( 2 ) - 3 - L(1借助教軸得 \complement _ { U } A = \{ x \mid x = - 3 或 \scriptstyle \left. x > 4 \right\} 2： \complement _ { U } A = \{ 1 , 2 \} ..A--f0,35. 0,3是方程 x ^ { 2 } + m x = 0 前西不根 m = - 3 . ]

例？ 解 珈図所示可得

(4)(sAnB)ーェ11<エく3,或 5 { <=slant } _ { , x } { <=slant } 7 \} 川芽2 解 由知 \ 1 \cap B = \{ x \mid - 2 < x <=slant 2 \}

AnB-113<r<51,AUB-1ス12<r<71, \complement _ { S } A = \{ x \mid 1 < x < 2 或 5 { <=slant } _ { , x } { <=slant } 7 \} 中
\complement _ { S } B = \{ x \mid 1 < x < 3 , 或 \scriptstyle x = 7 3
由此可得(1 \complement _ { S } A ) N \operatorname { \Pi } _ { s } B ) = \\\\\\\\ x \mid 1 < x < 2 中 或 5 { <=slant } _ { , x } { <=slant } 7 \} ロエ1エ3車 \scriptstyle x = 7 \} = \{ x \mid _ { x } = 7式1<エく2.
2)isAUB) = \{ x \mid x = 7 . 或 _ { 1 < x < 2 } \}
(3CLSADU(LgB)ー1エ11一エ2,或 5 { <=slant } x { <=slant } 7 ) 言目 Uエ1くエく3,或 \scriptstyle x = 7 \} = \{ x \mid 1 < x < 3 中
或5r_7.

\ell _ { U } A = \{ x \vert x <=slant - 2 , 或 3 { <=slant } , x { <=slant } 4 \} キ言 \ell _ { U } B = \{ x \vert x < - 3 , 或 2 { < } x { <=slant } 4 \} ( \ \complement _ { U } A ) \bigcup B = \{ x \mid x { \ll } 2 或 3 { <=slant } _ { { X } } { <=slant } 4 \} 4 \rceil ( \complement _ { U } B ) = \{ x \mid 2 < x < 3 \} 中例：解法一（真接法)由 A = \\\\\{ x | _ { x } + m \ge 0 \} = \{ x | _ { x } \ge - m \} ト得 \complement _ { U } A = \{ x \mid x < - m \} .因丸 B { = } \{ x \vert { - } 2 { < } x { < } 4 \} \complement _ { U } A ) \cap B = \emptyset 如図所示

山エ通ロ丁L?辻移I解由È知得 A = \{ x | x { >=slant } - m \} 中所以 \complement _ { U } A = \{ x \mid x < - m \} 又( \complement _ { U } A ) \cap B = B 所以 B \subseteq \complement _ { U } A 所以 - { m } >=slant 4 解得 m { <=slant } { - } 4 所以 \mathbf { λ } _ { m } 前取値風是(一0,一4丁狂移？解由E知得 A = \{ x \mid x >=slant - m \} 店\complement _ { U } B = \{ x \mid x <=slant - 2 式 \left| x { >=slant } 4 \right. ：又(L.BUA-R,所以- - m <=slant - 2 解得 m >=slant 2 所以 \mathbf { \Omega } _ { m } 前取値苑園是2.十0)山捺3解IBnC \complement _ { U } A ) = \{ 2 \} 中: 2 \in B 但2e4.TAn \ell _ { U } B ) = \{ 4 \} 4eA,但 4 \notin B
4是方程 x ^ { 2 } + a x + 1 2 b = 0 前根2是方程x ^ { 2 } - a x + b = 0 的根ビおにー・は前分別 { / { 8 } { 7 } } , - { / { 1 2 } { 7 } }
2 \complement _ { \mathbf { k } } B = \{ x \mid x <=slant 1 或 x { >=slant } 2 ⟩ { \dotsc } A { \subsetneq } \complement _ { \mathsf { R } } B . 分 A = { D } 和 A \neq { D } 西利情咒寸È① 若 A = { D } 則有 A \mathop { \subseteq } \int \mathop { { \Large ~ R } } B 中此財有 2 a - 2 >=slant a ...a多2.- ② A \neq { D } 明有 \left\{ { \begin{array} { l } { { 2 a - 2 < a } } \\ { { a <=slant 1 , } } \end{array} } \right. メ奈上所迷 , a <=slant 1 或 a >=slant 2 中即実教 a 前取値弛国 \{ a \vert a <=slant 1 式 \scriptstyle a >=slant 2 \}

裸堂送椋

所以一 m { <=slant } { - } 2 即 m { >=slant } 2 き
所以 \mathbf { λ } _ { m } 前取値国是2 + ∞ ) 中
法二 (集合同的美系)
由( \complement _ { U } A ) \cap B = \emptyset 可知 B { \subseteq } A 中
× B = \{ x | - 2 < x < 4 \} 中
A = \left\{ x \mid x + m >= 0 \right\} = \left\{ x \mid x >= - m \right\} , ま
若合教軸(如図
得 - m <=slant - 2 中 「 _
印 m >=slant 2 一

所以 \mathbf { λ } _ { m } 前取値站国是2 + ∞ ) ：

I,B \left[ \because U = \{ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 \} , A = \{ 1 , 2 \} , \right. : \complement _ { U } A = \{ 3 , 4 , 5 \} . ]
2D「: \complement _ { U } B = \{ x \mid x < 2 或 _ { x >=slant 5 } \} ….An \complement _ { U } B ) = \{ x \mid 1 { < } x { < } 2 \} . ] -
3 \{ x \vert x <=slant - 1 或 x { >=slant } 2 -- 題図中明影部分寸度 的集合 \complement _ { U } ( M \cup N ) 中 因 \scriptstyle M = \{ x \mid - 1 < x < 1 \} , N = \{ x \mid 0 < x < 2 \} 山 所以 \scriptstyle M \bigcup N = \{ x \mid - 1 < x < 2 \} 所以 \complement _ { U } ( M \cup N ) = \{ x \mid x <=slant - 1 或ェ2コ
42由題意 , U { = } \{ 0 , 1 , 2 \} , A { = } \{ m \} 中 \complement _ { U } A = \{ 0 ま 1由社集前定メ・得 m = 2 . ]

羽題裸 集合的透算

例1 (1DB [ \because A = \{ x \mid - 2 < x < 4 \} 中： \complement _ { \mathbb { R } } A = \{ x \mid x <=slant - 2 , 煎 \scriptstyle x >=slant 4 \} : \complement _ { \mathbf { R } } A ) \cap B = \{ 4 , 5 \} 敢洗
2)ADT困丸 \begin{array} { r } { M = \left\{ 0 , 1 , 2 , 3 , 4 \right\} , N = \left\{ \begin{array} { r l } \end{array} \right. } \end{array} N = \left\{ 0 , 2 \right\} 所以 N { \stackrel { } { = } } M 所以 { \bf \nabla } . ~ M \bigcup ~ N = M , M \bigcap ~ N = N = { \bf \nabla } \left. 0 , 2 \right. 所以A,D正硝,B;C黌.散透AD.刑奈1（IDDL由題意 , B = \{ x \mid x ^ { 2 } - 4 x + 3 = 0 \} = \{ 1 , 3 \} 所以 A \cup B = \{ - 1 , 1 , 2 , 3 \} 所以 \complement _ { U } ( A \cup B ) = \{ - 2 , 0 \} 散逸D
2D由題意得(1, - 1 ) \in A Fdl,-ieB.所以 \ : \left\{ 2 - ( - 1 ) = b \right. \ : \phantom { + } ( 1 + 2 x ( - 1 ) = a 中 中所以 \stackrel { * } { a } = - 1 , b = 3 改 a + b = 2 故辻D

例？ 1B 如図三札都途的5人所以只先物理和化学・不逸生物前有 x = 1 0 - 5 = 5 人只逸化学和生物不途物理的有 z = 1 0 - 5 { = } 5 ( \curlywedge )

只芽物理和生物不站化学的有
\scriptstyle y = 8 - 5 = 3 ( ,
即只尭物理的有
1-30一ェ-y一5-30一5-3一5-170人：
尭化学前有
1ー20-ェーミー5-20ー5ー5ー5-50人,
只並生前有
2ー20-シーミー5-20一3-5ー5-70人0,
所以斑学生息数力 m + n + e + x + y + z + 5
-17+5+7+5+3+5+ 5 { = } 4 7 故辻R
2℃L困集合 M , N 均R前子集・旦( \ell _ { \mathbf { R } } M )
\cap N = { O } 如困則有 N { \subseteq } M 所以 M \cap N = N
散弘C

芽2IDADLÈAn \complement _ { U } B ) = \emptyset 知 A 与LR没有共同的元黍・故 A \subseteq B 故A正禰:由Δ却A七 B { = } B 即RE轄仮当 A = B 肘AU \complement _ { U } B ) = U . 故C黌操BU \complement _ { U } A ) = U , 散D正禰.散逸AD(2のDの如図,桜全斑同学塑成全集 U 参加跳透前同学塑成集合A参加球美的同学望成集合 B 参加竜歩的同学塑成集合 c 在相度的位畳填上教字・ ( 1 6 - x - 3 ) + 3 + ( 8 - 3 - 3 ) + x + 3 + ( 1 4 - x - 3 ) = 2 8 解得 x = 4 所以同町参加跳近和鹿歩比暴朗有4人仮参加蹟五比堯前有人仮参加鵡歩比泰的有人・同町参加西項比泰的有 3 + 3 + 4 = 1 0 ( \curlywedge ) 故答案刃の0の.

列：解辻 ① 丸 A = \{ x \mid 1 { < } x { < } 4 \} 所以 \complement _ { { R } } A = \{ x \mid x >=slant 4 或 \scriptstyle x <=slant 1 \} 当 a + 1 { >=slant } 2 a - 1 財印当 a { <=slant } 2 財 B = { O } 待合B { \subseteq } ( \complement _ { \mathbb { R } } A ) 時当 a + 1 { < } 2 a - 1 町印当 a > 2 財蔓使 B { \subseteq } キー \complement _ { \mathbf { R } } A ) 只需 2 a - 1 <=slant 1 或 a + 1 >=slant 4 解得 a <=slant 1 或 ^ { a >=slant } 3両 a { > } 2 所以 \scriptstyle a >=slant 3 店奈上所途存在宍数 \mathbf { \Psi } _ { a } 使得 B \subseteq ( \complement _ { \mathbb { R } } A ) 此町実数 a 前取慎芝風 { \vert a >=slant 3 } 或ą <=slant 2 \} .朝 ② :国 A = \{ x \mid 1 { < } x { < } 4 \} 所以 \complement _ { \mathbb { R } } A = \{ x \mid x 三4或 \scriptstyle x <=slant 1 \} 中国丸 \complement _ { \mathbf { R } } A ) \cup B = \mathbf { R } ha + 1 { < } 2 a - 1 と所以有 style { \bigl ⟨ } a + 1 { \bigl <=slant } 1 . 解得 a \in { O } 中\scriptstyle \lfloor 2 a - 1 >=slant 4 故不存在実澂n使( \complement _ { \mathbf { R } } A ) \cup B = \mathbf { R } 成立辻 ③ :若 A \cap B = B 則 B { \subseteq } A ま当 a + 1 { >=slant } 2 a - 1 財即当 a <=slant 2 財 B = { O } 祥合 B { \subseteq } A 当 a + 1 { < } 2 a - 1 肘印当 a { > } 2 肘
身 B { \subseteq } A \left\{ { \stackrel { 1 <=slant a + 1 } { 2 a - 1 <=slant 4 } } \right. 0 { <=slant } a { <=slant } / { 5 } { 2 } もa > 2 , 2 < a <=slant / { 5 } { 2 } 宗上所迷・存在実数 \scriptstyle a 使得 A \cap B = B 此財実
森 \scriptstyle a 前取苑国丸 \left\{ a \ \middle | a <=slant / { 5 } { 2 } \right\} ・

川奈：解 1 \therefore A = \{ x | - 1 <=slant x <=slant 4 \} B = \{ x \mid x < - 2 , 或 _ { x > 5 } \} 店:： \complement _ { \mathbf { R } } B = \{ x \mid - 2 <=slant x <=slant 5 \} \complement _ { \mathbf { R } } A = \{ x \mid x < - 1 , 或 * x { > } 4 ⟩ ：\complement _ { \mathbf { k } } A ) \bigcap B = \{ x \mid x < - 2 或 _ { x > 5 } ⟩ 中例4(1C Lo中, B { = } \{ { - } 1 , 0 , 1 \} 当 x = - 1 中_ { y = 1 } 肘エ一yEA,散の醤渠：② 中0c01c0対任意前 \mathbf { \Psi } _ { x } , y \in \mathbf { Q } 有 x - _ { y \in \mathbf { Q } } , 日 \scriptstyle x \neq 0 財 / { 1 } { x } \in \mathbf { Q } 所以o是\*好集”散② 正禰：③ 中・A是\*好集\* 0 \in A 若 _ { x , y \in A } 肌yeA,印-yeA...r- * ( - y ) \in A 印 x + y \in A 故G正硝.散逸C\left( 2 \right) \{ a \left| a < 0 , { \tt a } \hat { \tt x } a = 1 \right\} \quad \left\{ / { 1 } { 4 } \right\} \because B = \{ x \mid x ^ { 2 } = a \} :： a < 0 町,B-8,BLA:- a = 0 町 , B { = } \{ 0 \} , A \cap B { = } \emptyset 車a > 0 町 , B { = } \{ { - } sqrt { a } { sqrt { a } } \} 中若 A 占 B 杓成\*全食”則 B { \subseteq } A 中改当 a < 0 町・満足題意却 \scriptstyle a = 0 時・不満足題意：当 a { > } 0 町要使 B { \subseteq } A 則 B { = } \{ { - } 1 , 1 \} 印 { sqrt { a } } = 1 」 a = 1 ：崇上 \mathbf { \nabla } * \mathbf { A } 与 B 杓成“全食”町 a 的取恒集合41 { < } 0 或 | a = 1 ⟩ :若 A 与 B 成偏食”星紫 a <=slant 0 町不蒲足定メ：当 a { > } 0 財 \because A \cap B \neq { O } 中\therefore B = \left\{ - { / { 1 } { 2 } } , { / { 1 } { 2 } } \right\} , \boxed { \sharp } sqrt { a } = { / { 1 } { 2 } } , 解得 \scriptstyle a = { / { 1 } { 4 } } , \dotsc a 的取値集令丸 \left\{ { / { 1 } { 4 } } \right\} 」

2：A1 c = \varnothing 中ヌ C = \{ x | 2 m < x < m + 1 \} , A = \{ x | - 1 <=slant x <=slant 4 \} 当 c = \varnothing 町 2 m { >=slant } m + 1 と印 m { >=slant } 1 町満足 A \cap C = \emptyset 創岡 c \neq \emptyset 田千 A \cap C = \emptyset m <=slant - 2 . 奈上的取置園 \{ m \ : | m <=slant - 2 或 \scriptstyle m >=slant 1 \} ：

川雰4 (1B 因丸 A = \{ 0 , 2 , 4 , \dot { 5 } \} B { = } \{ { - } 1 , 0 , 3 \} 所以 A - B = \{ 2 , 4 , 5 \} 又困カU-1-1,0,1,2,3,4,5：所以 \scriptstyle ( A - B ) = \{ - 1 , 0 , 1 3.散途B2B由 A = \{ x \mid x >=slant 0 \} B { = } \{ x \vert { - } 3 { <=slant } x { <=slant } 3 \} 中得4 - B = \{ x | x { > } 3 \} , B { - } A = \{ x | { - } 3 { <=slant x } { < } 0 \} h所以 A * B = ( A - B ) \bigcup ( B - A ) = ( 3 , + ∞ ) Ü一3,0)改途B

裸堂送

IAL \complement _ { U } B = \{ - 2 , 0 , 1 \} 散Am \complement _ { U } B ) = \{ 0 , 1 \} 散逸A
2．EL由困可知．阻影区城 \complement _ { U } ( A \cup B ) . A \cup B = 13,引 \complement _ { U } ( A \cup B ) = \{ 7 \} 故辻R
3. \{ x \vert x < - 1 或 3 { < } x { <=slant } 5 \} 由題意・ \complement _ { \mathbb { R } } B = \{ x \mid x { < } - 1 或 \scriptstyle x > 3 \} :所以 A ü \complement _ { \mathbb { R } } B ) = \{ x \mid x < - 1 , 或 3 { < } x { <=slant } 5 \backslash . ] -
4 ② ④ L0困カ-2eP,2eP. - 2 - 2 = - 4 山P 所以の黌俣 ② x = 2 k _ { 1 } \in P , y = 2 k _ { 2 } \in P , 耳 k _ { 1 } , k _ { 2 } \in \mathbf { Z } , 奥 x + y = 2 ( k _ { 1 } + k _ { 2 } ) \in P , x - y = 2 ( k _ { 1 } - k _ { 2 } ) \in P x y = 4 k _ { 1 } k _ { 2 } = 2 ( 2 k _ { 1 } k _ { 2 } ) \in P , 所以の正禰 ③ 円 ② 知 P _ { 1 } = \{ x \mid x = 2 n , n \in \mathbf { Z } \} 是幸転集・同理可得 P _ { 2 } = \{ x \mid x = 3 n , { \boldsymbol { n } } \in \mathbf { Z } \} 是幸集如 \scriptstyle x = 2 , y = 3 肘 * x + y = 5 \notin ( P _ { 1 } \bigcup P _ { 2 } ) P _ { 1 } \cup P _ { 2 } 不是幸転集所以 ③ 黌：④ 芝 P 是幸近集取 x = y 則 x - y = 0 \in P 即一定有 0 \in P 所以 ④ 正禰

rm { \AA 2 } 常用遷輯用語

21 要条件与充分条件

第一裸肘 必要祭件充分荼件

探究1提示在玄三不性展定理中・毎不定理的条件都能推出造但由站不一定能得到定理的条件

知杭理

1真 必要

2 巫要

例1 ② ③ - [ ① 由千 x + y > 5 推不出 \mathbf { \sigma } _ { x > 2 } 耳y > 3 故 q 不是 \boldsymbol { \mathbf { \mathit { \Pi } } } _ { { P } } 的以要永伴② 由四形是正方形可以推出四形的四不角都相等故 q 是 \boldsymbol { \mathbf { \ell } } _ { P } 的以要条件③ 由 x - 1 > 0 解得 _ { x > 1 } 所以 x ^ { 2 } - 1 > 0 成立茨 q 是 \boldsymbol { \mathscr { p } } 的要糸件コ

川1解（1若 \phi : | { \boldsymbol { x } } | > 1 成立,可取 \scriptstyle x = - 2 中言 q : x > 1 不成立即 style { p \not = } { a } 山所以 q 不是 \boldsymbol { \mathscr { p } } 前以要条伴2若 A \subseteq B 肌有 A \cap B { = } A 即 \scriptstyle { p \Rightarrow q } 中所以 q 号 \boldsymbol { \mathbf { \rho } } _ { \boldsymbol { p } } 的以要条件

探究？提示由題千定理中的条件均能得到・反由結均不能得到荼件・也就是説余件是站的充分条件面不是以要永件.

知硫理

I. 充分

2要充分

例ZABCL由 _ { x < 1 } 可以推出 \scriptstyle x < 2 所以辻項A待合題意：由西不三角形的三逸寸度成比例・可以進出玄西不三角形相似・所以辻項B符合題意：由 \left| \boldsymbol { x } \right| \neq 1 . 可以進出 x \neq 1 所以去項C存合踵意：由 a b > 0 不一定能推出 a > 0 , b > 0 比如 a = b 三一1,所以本逸項不社合題意.散逸ABC

川奈？解（D在 \triangle A B C 中・由大角対大幼知\angle B { > } \angle C { \Rightarrow } A C { > } A B 所以 \boldsymbol { \mathbf { \mathit { \Pi } } } _ { P } 是 q 的充分条件( 2 ) _ { { X } } = 2 , y = 6 能進出 x + y = 8 シ所以 \boldsymbol { \mathbf { \rho } } _ { P } 是 q 的充分条件3由 \scriptstyle x = 1 能進出 \scriptstyle ( x - 1 ) ( x - 2 ) = 0 中故 \boldsymbol { \mathbf { \ell } } _ { P } 是 q 前充分条伴散(1(2(3)中 \boldsymbol { \mathbf { \mathit { \Pi } } } _ { P } 是 q 的充分条伴

例：解 \boldsymbol { \mathscr { p } } 是 q 的充分条件'' \scriptstyle { p \Rightarrow q } 中スとB方 mくト.m>3.・実数 \mathbf { \Sigma } _ { m } 前取値風 \{ m \ : | \boldsymbol { m } > 3 \} 狂移解： p 単 q 的＆要条伴 q { \Rightarrow } p 車

:： B { \subseteq } A 中
(当 B { = } { O } 財,満足 B { \subseteq } A 北町 - m { >= } 2 m - 1 ま
・： m { <=slant } / { 1 } { 3 } まImく2mー -1,
(2)当B子8財,有 一m-1,2m--1<5,「 くmく1みコく3
禁上mイ
・実数 \mathbf { \Psi } _ { m } 前取国 \{ m \vert m <=slant 1 \} ロ
川捺： 1 \{ a \vert - 1 <=slant a <=slant 5 \} - (2a10a3Lop. _ { x \in F } ”是 _ { x \in } Ö“的憂条件“： Q { \stackrel { style \subset } { = } } P 中
ー..-1a5.(2 \stackrel { . } { M } = \{ x | a <=slant x <=slant a + 1 \} , N = \{ x | 0 { < } x { < } 4 \} 日\boldsymbol { \mathbf { \ell } } _ { P } 是 q 前充分条伴・但不是要条件出 . M { \stackrel { style \subset } { \ne } } N
： \begin{array} { c } { { { : } a > 0 , } } \\ { { a + 1 { < } 4 } } \end{array} 0 { < } a { < } 3 . ] -

裸堂送

TDL対A四形前対角相等旦平分オ是矩形散A躇俣：寸E四竝形的爾塑寸竝分型相等ヵ平行四功形散B黌：寸C四逸形有三不内角真角オ是矩形散C黌渠：財D四形西塑寸分別平行則ヵ平行四形即相都爾角互社有一塑対角互社散相西角相等又相耶商角之和力 { 1 8 0 } ^ { \circ } . 散相傘商角均真角散平行四幼形是矩形故D正禰.站D
AL困 a < 5 \Rightarrow a < 6 所以 a < 6 是 a < 5 成立前一不以要糸件散透A丁
3要由 a > \left| b \right| 龍推出 a > b 面 a > b 推不出а砂1丁
4 \{ a \mid a <=slant 1 \} 由題意知 \{ x \mid x > 1 \} \subseteq \{ x \mid x > a \} ホ:： a { <=slant } 1 , 印 a 的耶値弛風 \{ a \vert a \ K \} \} 」

第二裸財 充要糸件

探究1提示不准坂現・上途命題中的命題(1)(4)和官竹的逆命題都是命題命題(2是真命題・但官的逆命題是偃命題命題(3是假命題但宅的命題是命題探究？提示音先原命題和逆命題都是成対出現的不能党単独前一不命題是令題

断 \boldsymbol { \mathscr { p } } 是 q 的什Δ条件・其廣是判断\*若 \boldsymbol { \mathbf { \mathit { \Pi } } } _ { { P } } 中則 q ”及其命題“若 q \boldsymbol { \phi } ”是真是假・原命題真面琵命題假則 \boldsymbol { \mathscr { p } } 是 q 的充分不弘要糸件・原命題假両逆命題真・則 \boldsymbol { \mathbf { \rho } } _ { \boldsymbol { P } } 是 q 的以鬘不充分条件・原命題ヵ真・逆命題ヵ真・則 \boldsymbol { \mathscr { p } } 是 q 前充要条伴・原命題假・命題假\boldsymbol { \mathbf { \mathit { \Pi } } } _ { { P } } 是 q 的既不充分也不以条件

知枳硫理

充要永件 \scriptstyle { p { \Longleftrightarrow } q }

例1解（由三角形中大逆対大角・大角対夫迅的性廣可知 \boldsymbol { \mathbf { \mathit { \Pi } } } _ { { P } } 是 q 的充要荼件:(2若 A \subseteq B 則一定有 A \cup B { = } B 反z・若AUB = B 卿一定有 A \subseteq B 苔 \boldsymbol { \mathbf { \mathit { \Pi } } } _ { { P } } 是 q 的充要荼件3因カ | x | = | y | 肘 x = ± y 不一定有 x ^ { 3 } = 言言 y ^ { 3 } 両 x ^ { 3 } = y ^ { 3 } 財二定有 \scriptstyle x = y 以有 | { \boldsymbol { x } } | = | { \boldsymbol { y } } | 中所以 _ { p } 是 q 的久要不充分条伴:

川銑解 ( 1 ) _ { \not P } \Rightarrow _ { q } 旦 q \not \Rightarrow p , p 是 q 的充分不以永什( 2 ) p \neqq q 旦 q { \Rightarrow } p 中 \boldsymbol { \mathbf { \rho } } _ { p } 長 q 的以夏不充分条伴3 \scriptstyle { p \in { q , p } } 是 q 的充要条件4)や耳 q { \Rightarrow } p q 前以不充分条件探究：提示需西次判断一是判断 \boldsymbol { \mathbf { \ell } } _ { P } 能香推出 q 二是判断 q 能香推出 \boldsymbol { \mathbf { \mathit { \Pi } } } _ { { P } } 若 \scriptstyle { p \Rightarrow q } 旦 q { \Rightarrow } p 〔 \boldsymbol { \mathscr { p } } 是 q 的充要永件

探究4提示 \boldsymbol { \mathbf { \mathit { \Pi } } } _ { { P } } 是 q 前菟要条伴税明 \boldsymbol { \mathbf { \rho } } _ { P } 是条 件 , q 是造 \boldsymbol { \mathbf { \mathit { \Pi } } } _ { { P } } 的充要永伴是 q 説明 q 是糸什 \boldsymbol { \mathbf { \ell } } _ { P } 是造 例？ 証明 ① 性： 若方程 x ^ { 2 } + ( 2 k - 1 ) x + k ^ { 2 } = 0 有西不均大1 的根不坊没西不根 { \boldsymbol { x } } _ { 1 } , { \boldsymbol { x } } _ { 2 } 則 4-(2一1一4k二0, (エー1+(エ2一1Dプ0,- (エ1-D(エ2ー11>0 イー・ （エ1+エ2ー2つ0, エ1エ2(エ1+エ2+1>0, \lceil k <=slant / { 1 } { 4 } ま 印 一(2ヒ一11一2つ0, \vert k ^ { 2 } + ( 2 k - 1 ) + 1 > 0 中 解得 k { < } - 2 ② 充分性： 当 k { < } { - } 2 財 , \Delta = ( 2 k - 1 ) ^ { 2 } - 4 k ^ { 2 } = 1 - 4 k > 0 . 投方程 x ^ { 2 } + ( 2 k - 1 ) x + k ^ { 2 } = 0 前西不根丸 x _ { 1 } , x _ { 2 } ロ 官 ( x _ { 1 } - 1 ) ( x _ { 2 } - 1 ) { = } x _ { 1 } x _ { 2 } { - } ( x _ { 1 } { + } x _ { 2 } ) { + } 1 一ト十2k一k(ト十2)一0 \scriptstyle { \vec { \mathsf { X } } } ( x _ { 1 } - 1 ) + ( x _ { 2 } - 1 ) = ( x _ { 1 } + x _ { 2 } ) - 2 一(2k一1一2ー一2ヒ一1一0, \begin{array} { r } { \colon : \boldsymbol { x } _ { 1 } - 1 > 0 , \boldsymbol { x } _ { 2 } - 1 > 0 , \boldsymbol { \therefore } \boldsymbol { x } _ { 1 } > 1 , \boldsymbol { x } _ { 2 } > 1 . } \end{array} - 禁上可知方程 x ^ { 2 } + ( 2 k - 1 ) x + k ^ { 2 } = 0 有西不 大千1的根前充要条件 k { < } { - } 2

山芽？正明 ① 充分性・如果 b = 0 那久 y = k x - ( k { \ne } 0 ) \scriptstyle x = 0 町 y = 0 岡教図象世原点② 以性 y = k x + b ( k \neq 0 ) 前図象原点所以 \scriptstyle x = 0 財 \scriptstyle y = 0 得 \ d ( 0 = k \bullet 0 + b , b = 0 -崇上・一次番教 y = k x + b ( k \neq 0 ) 的四泉世原点的充蔓荼作是 b = 0 円

例：解役 A = \{ x \vert - 2 { <=slant } x { <=slant } 1 0 \} , B = \{ x \vert 1 - m <=slant x { <=slant } 1 + m \left( m > 0 \right) \} 2山四丸 \boldsymbol { \mathscr { p } } 是 q 的要不充分条伴・所以 B { \stackrel { \subset } { \neq } } A 中即 \{ x | 1 { - } m { <=slant } x { <=slant } 1 { + } m \} { <=slant } \{ x | { - } 2 { <=slant } x { <=slant } 1 0 \} ,
故有ポく2式飛く1。解得 \dot { m } <=slant 3 . ヌ m { > } 0 所以央教 \mathbf { \Omega } _ { m } 的取値范囲 \{ m \mid 0 { < } m { <=slant } 3 \} ：

辻移解 A = \left\{ x \mid - 2 { <=slant } x { <=slant } 1 0 \right\} , B = \left\{ x \mid 1 - \right. nr1+nmoト.四 \boldsymbol { \mathbf { \rho } } _ { \boldsymbol { P } } 是 q 的充分不蔓条伴A \subsetneq B \dot { m } >=slant 9 ー即実数 \mathbf { \nabla } _ { m } 的取値弛風是 \{ m \ : | \boldsymbol { m } >=slant 9 \} 中

川芽： 解 形 A = \left\{ x \bigg | / { 1 } { 2 } <=slant x <=slant 1 \right\} ,
B { = } \{ x | a { <=slant } x { <=slant } a { + } 1 \} ：
由 \boldsymbol { \mathscr { p } } 是 q 的充分不要条伴可知 A \subsetneq B 中中 * \{ { \begin{array} { l } { a { <=slant } { / { 1 } { 2 } } , { / { } { } } _ { \vec { v } \vec { \chi } } } { \{ { a < } { / { 1 } { 2 } } , } \\ { { a + } 1 { > } 1 } \end{array} } 解得 0 { <=slant } a { <=slant } / { 1 } { 2 } 中中
故所末夫教 a 南車値箇国足 \left\{ a \biggm | 0 { <=slant } a { <=slant } / { 1 } { 2 } \right\} ョ

裸堂辻

BL役 \scriptstyle { p : ( 2 x - 1 ) x = 0 , q : x = 0 } 肌 p : x = 0 或 \scriptstyle x = { / { 1 } { 2 } } 鼓 \boldsymbol { \mathscr { p } } 黒 q 的要不充分条伴途田

2四 寸子典当 c = 0 町 \scriptstyle a c = b c 此財可以 a \neq 弘要性不成立生費操対B,当 \scriptstyle { a + 5 } 毛理数財根揖5丸有理数可知 a ヵ毛理勤充分性成五当 \scriptstyle a ヵ毛理数財根据5ヵ有理費可得 a + 5 ヵ毛理勤要性成立：'“ a + 5 是毛理“是“是毛理”的克要条件,R正禰対壬C,当 b { < } a { < } 0 肘 a ^ { 2 } < b ^ { 2 } 充分性不成立黌俣：寸子 { D } , a { < } 3 { \Rightarrow } a { < } 5 , 以要性成立D正硝・散透BD.]
3充分不必要当 x , y 均ヵ奇教財・一定可以得到ェ十偶数・但当 x + y 信教財不-定以有 x , y 均奇教・也可能 x , y 均信教コ
4充要必要不充分「 _ { \mathit { p } } { \Rightarrow } r , r { \Rightarrow } p ; q { \Rightarrow } r , r { \Rightarrow } q 故前者刃充要条伴后者以要不充分条伴丁

22 全称量同与存在量司

第一渠財 全称量同命題与存在量同命題

探究1提示番句の＠中舎有変量 x 毛法剰断亡仰前真假・所以の＠不是命題番旬＠在の的基融上・用短番“一切”対変量 x 辻行限定番旬の在＠的基融上・用短番“所有”村変量 x 芽行限定日4星能判断真假的澪句困此仙基命題
探究？提示のの不号命題番旬＠在D的型上用懸番“存在“寸交量 x 的取値辻行限定番旬の在的塞融上用短番\*至少有一心”寸変量 x 的取値辻行限定几面34支成了可以判断真假的麻鉢句・困此 ③ ④ 足命暫

知杭理

1都

2. 存在量司 :

例解（可以改豆ヵ“所有的品多形的外角和等子360”散力全称量司命題2舎有存在量\*有的”散是存在量命題(3舎有全称量司\*所有”散是全称量司命題.
刑禁解て1全称量司命題.表丸 \forall n \in \mathbf { N } n ^ { 2 } { >=slant } 0 2存在量司命題表ヵヨ一次番教官的図篆辻原点忠全称量司命範表ヵニ茨番教官的図象的千日向上

例？解（12号黍数・但2不是奇教・所以全秩量司命題\*所有的泰数都是奇数”是假争煎。(21任意 x \in R有 x ^ { 2 } { >=slant } 0 国面 x ^ { 2 } + 1 >=slant 1 中所以全称量司命題\* x \in R. x ^ { 2 } + 1 >=slant 1 ”是真命題(32是无理教,但 ( { sqrt { 2 } } ) ^ { 2 } = 2 是有理教所以全利量司令題\*対毎一不毛理教 \mathbf { \Psi } _ { x } , x ^ { 2 } \mathbf { \Psi } _ { \mathbf { \Psi } } セ是无理澂“是假令題4由千任意 x \in \mathbf { R } , x ^ { 2 } + 2 x + 3 = ( x + 1 ) ^ { 2 } + 2 { >=slant } 2 因此使 x ^ { 2 } + 2 x + 3 = 0 的案数 x 不存在所以存在量司命題“存在 { \bf { \Psi } } _ { { { X } } } \in { \bf { R } } , 使 x ^ { 2 } + 2 x + 3 \ c = 侵令題

例3解若辻\* x \in A x \in B ”是真命題
内所 A \subseteq B style { \left\{ { \begin{array} { l l } { m + 1 <=slant 5 , } \\ { 2 m - 1 >=slant 6 } \end{array} } \right. } 鮮得ん 港 / { 7 } { 2 } <=slant m <=slant 4 \mathbf { \Sigma } _ { m } 前耶苑国丸 \left[ / { 7 } { 2 } , 4 \right] .若逸ヨ剣 p : { \exists x } { \in } { { { } } } A 満足 \mathbf { \Psi } _ { x \in B } 是真命題m+1<2m-i,肌 2 m - 1 >= 5 中 解得 3 { <=slant } m { <=slant } 5 町_ m + 1 { <=slant } 6 中即前取値用：51

山筇2ABL当 n = 1 財 2 n ^ { 2 } + 5 n + 2 不能被2整除・当 \scriptstyle n = 2 肘 2 n ^ { 2 } + 5 n + 2 能被2整除・所以AR黌渠・C.D項正禰.散去AR

刑3解若対 { \boldsymbol { x } } \in \mathbf { R } p ( x ) 是真命題印 a x ^ { 2 } + 2 x + 1 > 0 対任意宍教 x 恒成立当 a = 0 肘 , a x ^ { 2 } + 2 x + 1 > 0 カ 2 x + 1 > 0 中ふ x { > } { - } / { 1 } { 2 } 不社令題意：創 a \neq 0 \{ \stackrel { a > 0 } { \Delta } = 4 - 4 a < 0 弱 a { > } 1 a + ∞ )

裸堂法

T．ABDL根据存在量司的定メΔ.R.D正預・故辻ABD]
2．CLRD是存在量命題．散度＃除・寸千AО没有倒教・散A是假命題也度＃除・湿然C是全称量司命題又是真命題司
3 ① ② ③ - ④ Lの＠＠中省踏了全称量司\*所有的” ④ 中舎有存在量司\*至少有一不”故の＠③ 是全称量司命題 ④ 是存在量令題
4:(一00,0命題“ { \boldsymbol { x } } \in \mathbf { R } , 使一a三0“是真命題等竹子 { \boldsymbol { x } } \in \mathbf { R } 肘 , x ^ { 2 } >=slant a 恒成立所以 a <=slant x ^ { 2 } 在 { \boldsymbol { x } } \in \mathbf { R } 上恒成立所以 a <=slant 0 . ]

第二深財 全称量同命題与存在量同命題的香定

探究 ^ { 1 } 提示 ① 井非所有的正比例番数都是一次番② 井非毎一不有理教都能写成分数形式玄西不全称量調令題的香定都交成了存在量司命題。

知硫理

市 x \in M 中 \lnot p ( \boldsymbol { x } ) - 存在量司

例1解（1其香定カ存在一不平行四竝形官的対幼不都平行(2共香定カ12345中至少有一項不是信教(3)共香定カ：ヨą \mathbf { \nabla } _ { { b } } \in \mathbf { R } 使方程 \scriptstyle a x = b 前解不唯一或不存在.
刑禁1解（D蔽命題的香定・存在一不多逸形的外角和不等360:(2夜命題的香定存在一不泰勤不是奇勢(3葉命題的香定王 x \in \mathbf { R } , - x ^ { 2 } > 0
探究？提示立西不命題都是存在量司命題其香定分別：命題の的香定毎一不題形都不是正方形:命題の的香定：「 x \in \mathbf { R } , x ^ { 3 } - 1 \neq 0 八令題形式上者五南不存在量司令題的香定都変成了全新量司令題

知硫理

工 _ { x } \in M 中 \lnot p ( \boldsymbol { x } ) 全称量司

例？解 ( 1 ) _ { \mathscr { P } } 的香定: \forall x > 1 , x ^ { 2 } - 2 x - 3 \neq 0 偃命題( 2 ) _ { \mathscr { P } } 的香定・所有的表教都不是脊教・假命題3 p 前否定所有的平行四逆形都是矩形假命題
川芽？解（1)命題的香定是“所有実数的塑対値都不是正数”假命題(2命題的香定是”毎一不平行四逆形都不是義形由千善形是平行四独形国此命題前香定是假令題。3)命題的否定是” \forall x , y \in \mathbf { Z } , sqrt { 2 } x + y \neq 3 ”当\scriptstyle x = 0 , y = 3 町 { sqrt { 2 } } x + y = 3 因北命題的香定是假命題
例：解 q 的香定ヵ侵命題所以 q 真命題若 \scriptstyle \rho : \forall 1 <=slant x <=slant 3 都有 m >=slant x 真命題奥 m >=slant x _ { { m a x } } 印 m >=slant 3 '「若 q : \exists 1 <=slant x <=slant 3 使 m >=slant x 真命題・Å m >=slant x _ { { m i n } } 即 m { >=slant } 1 , ラ因丸 _ { \mathit { p } , q } 同町丸真命題
所以(3魚 ル解得m3散実数 \mathbf { λ } _ { m } 前取値弛田是3 + ∞ ) 中

山芽：解1: \boldsymbol { \mathscr { p } } 前香定丸真命題 \boldsymbol { \mathscr { p } } 的香定\scriptstyle 1 <=slant x <=slant 2 , x > a ^ { 2 } + 1 ' a ^ { 2 } + 1 < 2 , \therefore - 1 < a < 1 ：笑教 a 的取値范国丸(一1,1)(2若 \boldsymbol { \mathbf { \ell } } _ { P } 刃真令題則 a ^ { 2 } + 1 >=slant 2 印 a >=slant 1 或 a <=slant - 1 q 的香定真命題“ 1 { <=slant } x { <=slant } 2 一次図教 \scriptstyle { y = x + a } 的図象在 x 軸及 x 軸上方”真命題： 1 + a >=slant 0 印 a >=slant - 1 中笑澂 \scriptstyle a 前取但弛国丸L1,十)U一11.

裸堂送椋

1,D 存在量司命題的香定是全称量司命題

2.ACD L対チ A.“ヨreR. x ^ { 2 } + 1 > 3 x ”的香定 是“「 \mathbf { \sigma } _ { x } \in \mathbf { R } , x ^ { 2 } + 1 { <=slant } 3 x ^ { : } 散借燥： 対チB\*Vェ. y \in \mathbf { R } 中 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } >=slant 0 ”的香定是 “ヨエ・ン( \mathbf { \Psi } _ { z } ^ { - } \mathbf { R } , x ^ { 2 } + y ^ { 2 } < 0 ^ { * } 正禰： 対千C, _ a > ²”是“5”前蔓不充分糸伴故 讐操： 対千D当 \scriptstyle x = 0 肘 x ^ { 2 } = 0 散蕾猩・散辻ACD

3有数没有最大値真命題的量司是“毎不”即全利量司命題・困此其香定是存在量司命題用量司“有有的存在一不至少有一不”等・再香定結屯印有番教没有最大値如 _ { y = / { 1 } { x } } 九真命題丁
す \{ a \vert a <=slant 1 \} 令題 \boldsymbol { \mathbf { \rho } } _ { \boldsymbol { P } } 的香定是侵命題: \boldsymbol { \mathscr { p } } 是真令題即存在 x \in \mathbf { R } , x ^ { 2 } + 2 x + a = 0 真命題\*： * \Delta { = } 4 { - } 4 a { >=slant } 0 , { \therefore } a { <=slant } 1 . ]

\ S \ O 3 不等式

31 不等式的性贋

探究1提示由趣図可知図1戸告牌的面税夫2上告岸的面釈・1告牌的面税 S _ { 1 } = { / { 1 } { 2 } } ( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } ) 図2告牌前面税 S _ { 2 } = a b 珈察題図得 S _ { 1 } { > } S _ { 2 } 町一(a十かリ>ab.

知益理

列解 (D(a1b+a2b2ー(a1bァ+aァb>-(a1ク」一a1b2パー(a2b一a2b2)一a1（り」ーb2ノーa2（りーbp)-41 Ia2(b--b2.\`a1<a2b<b2..a1ーa2<0bーb<0,:.(a! 一a2(ク一b2つ0,.a/b+a,b,ab,+ab.
のシーキーのイーのー
の \scriptstyle a = 0 \because { / { a ^ { 2 } } { 1 - a } } = 0 も{ / { 1 } { 1 - a } } { = } 1 + a 産② a < 1 a \neq 0 ・ * / { a ^ { 2 } } { 1 - a } { > } 0 , \therefore / { 1 } { 1 - a } { > } 1 + a . ③ 日却 a { > } 1 * / { a ^ { 2 } } { 1 - a } < 0 」.\therefore { / { 1 } { 1 - a } } < 1 + a . -上 \scriptstyle a = 0 田 { / { 1 } { 1 - a } } { = } 1 + a 前 a { < } 1 田 a \neq 0 町 { / { 1 } { 1 - a } } { > } 1 + a 時当 a { > } 1 町1“ / { 1 } { 1 - a } < 1 + a
川筅解 ( x ^ { 3 } - 1 ) - ( 2 x ^ { 2 } - 2 x ) = ( x - 1 ) ( x ^ { 2 } + x + 1 ) - 2 x ( x - 1 ) = ( x - 1 ) ( x ^ { 2 } - x + 1 )
一ーツ1ー)+プ1ドェ<l...ーI<o.（ターナ）+テン0..(ーツ1ーー)+プ1く01r-1<22-2r.
探究？提示 以上均正硝・玄都是等式的塞本性廣。
探宍： 提示 可以精穆 a > b \Rightarrow a + c > b + c 等等

知益理

例？ (ç 2)ABD Tくり / { 1 } { a } < / { 1 } { b } < 0 丁b { < } a { < } 0 人両 \vert a \vert < \vert b \vert 0均不正税 * a + b < _ { 0 , a b > 0 } a + b < a b 成立 ③ 正禰 a ^ { 3 } > b ^ { 3 } 中④ 正禰散正禰前不等式的不教丸2
2)対千A,当 a = - 2 , b = - 1 財 * a ^ { 2 } < b ^ { 2 } 不成立:対千B当 a = - 1 , b = 1 財 * a ^ { 2 } b = 1 , a b ^ { 2 } = - 1 ホa ^ { 2 } b { < } a b ^ { 2 } 不成立：
オ千 { c } , \because a < b , / { 1 } { a ^ { 2 } b ^ { 2 } } > 0 サ
* / { a } { a ^ { 2 } b ^ { 2 } } { < } / { b } { a ^ { 2 } b ^ { 2 } } 丘 / { 1 } { a b ^ { 2 } } < / { 1 } { a ^ { 2 } b } 成立，
対千D,当 a = - 1 , b = 1 町 { / { b } { a } } = { / { a } { b } } = - 1 +/ { b } { a } < / { a } { b } 不虚立コ
川2 (1D 取 \scriptstyle a = 2 , b = - 1 , c = - 1 , 満足逸項A.RC中的糸什対千A,有 / { a } { c } < / { b } { c } 故A借繰対千B.有 a > b 散R替対下č有ーナ・教C。
寸丁 { D } , \because _ { c } \neq _ { 0 } , ± _ { \star } / { 1 } { c ^ { 2 } } > 0 , -由不等式前性盾3却,D正硝丁2証明「 * < d < 0 , \therefore - c > - d > 0 , 又 a > b > 0 , \dot { a } . a + ( - c ) > b + ( - d ) > 0
町 \scriptstyle 1 \ _ { a } - _ { c } > b - d > 0 , \dotsc 0 < { / { 1 } { a - c } } < { / { 1 } { b - d } } は \scriptstyle { λ \ e < 0 , \sum _ { a - c } ^ { } / { e } { b - d } } . e

例：解「 * 1 { < a < } 4 , \therefore 2 { < } 2 a { < } 8 , \` \because 2 < b < 8 , \therefore - 2 4 < - 3 b < - 6 .ー22-2aー352.・2くんく8・すくーく？\therefore / { 1 } { 8 } < / { a } { b } < 2 . 株上 * 2 a - 3 b 的取僧 田(一22,2) / { a } { b } 的取僧国丸 \left( { / { 1 } { 8 } } , 2 \right) 中

刑奈3解役 \scriptstyle { m = b - a , n = b + a - 3 } 則 \scriptstyle m <=slant 2 , n <=slant 1 中 \scriptstyle a = { / { n - m + 3 } { 2 } } , b = { / { n + m + 3 } { 2 } } , eョ \therefore 2 a + 3 b = / { 5 } { 2 } n + / { 1 } { 2 } m + / { 1 5 } { 2 } . ee \because / { 5 } { 2 } n { <=slant } / { 5 } { 2 } , / { 1 } { 2 } m { <=slant } 1 . き「 \therefore / { 5 } { 2 } n + / { 1 } { 2 } m + / { 1 5 } { 2 } <=slant 1 1 , 印 2 a + 3 b <=slant 1 1 + :： 2 a + 3 b 的取億田是(一,111

裸堂送

1.A - [ \because M - N = x ^ { 2 } + x + 1 = \left( x + { / { 1 } { 2 } } \right) ^ { 2 } + { / { 3 } { 4 } } \qquad
0...MN.
2BT由 a > b , c > d \Rightarrow a + c > b + d \Rightarrow a - b > d -
it { c } 散A成立:
取 a = 2 , b = 1 , c = - 1 , d = - 2 , 蒲足 a > b , c >
d 但 \scriptstyle a + d = b + c = 0 散R不一定成立:
由 a > b \Rightarrow a - c > b - c 改C成立:
由 c { > } d { \Rightarrow } { - } c { < } { - } d と-： \scriptstyle a - c < a - d 改D成立.散逸R
ミ / { x } { 1 + x ^ { 2 } } { <=slant } / { 1 } { 2 } ： { / { x } { 1 + x ^ { 2 } } } - { / { 1 } { 2 } } { = } { / { 2 x - 1 - x ^ { 2 } } { 2 ( 1 + x ^ { 2 } ) } } = / { - ( x - 1 ) ^ { 2 } } { 2 ( 1 + x ^ { 2 } ) } { <=slant } 0 ・： { / { x } { 1 + x ^ { 2 } } } { <=slant } { / { 1 } { 2 } } . 」
寸 ( - 1 0 , - 2 ) 「由 6 { < } y { < } 8 得 - 8 < - y < - 6
四丸 - 2 { < } x { < } 4 店
所以 - 2 + ( - 8 ) < x + ( - y ) < 4 + ( - 6 ) , \scriptstyle \sharp - 1 0 < x - y < - 2 . ]

32 基本不等式

第一裸肘 基本不等式

探究1提示由正方形ABCD前面租大4不真角三角形的面釈和得到不等式 a ^ { 2 } + b ^ { 2 } >=slant 2 a b 当旦々当 a = b 財等号成立。
探究？提示用 sqrt { a } ロ sqrt { b } 分別替換上式中的 { \mathbf { \psi } } _ { a } , { \mathbf { \psi } } _ { b } 可得動士 十シ当豆々当ール時等号成立.

知益理

う \scriptstyle a = b 几何　大千或等于
例1D [ a ^ { 2 } + b ^ { 2 } >=slant 2 a b A替： 当 a < 0 , b < 0 肘,R;C黌,D正硝.
山芽1B (2B L(1法一 ： \scriptstyle 0 < a < b 車 * a < / { a + b } { 2 } < b ＃除A;C西斑: 又 \scriptstyle { sqrt { a b } } - a = { sqrt { a } } ( { sqrt { b } } - { sqrt { a } } ) > 0 , ふ { sqrt { a b } } > a ＃ 除D斑,改辻R.

法二 \scriptstyle a = 2 , b = 8 { sqrt { a b } } = 4 , { / { a + b } { 2 } } = 5 所以・インタイナくト

2逸項 { A } , \because x > 1 , x + { / { 1 } { x } } >=slant 2 { sqrt { x * { / { 1 } { x } } } } = 2 , 等号成立的条伴是 \scriptstyle x = { / { 1 } { x } } 即 x = 1 故等号取不到,所以 \mathbf { \nabla } _ { x + / { 1 } { x } > 2 } 故A蕾繰
逸斑R,当 x { < } 0 財 - x { > } 0 中
x + { / { 1 } { x } } = - \left[ ( - x ) + { / { 1 } { - x } } \right] <=slant - 2 { sqrt { ( - x ) * { / { 1 } { - x } } } } = - 2 当旦仮当 _ { x = - 1 } 酎等号成立・散B正禰：逸 \scriptstyle \mathbf { C } , 0 < x < 1 , { sqrt { x } } + { / { 1 } { sqrt { x } } } >=slant 2 { sqrt { { sqrt { x } } * { / { 1 } { sqrt { x } } } } } = 2 ホ等号良立的条件足 { sqrt { x } } = { / { 1 } { sqrt { x } } } x = 1 等号環不到,即 sqrt { x } + / { 1 } { sqrt { x } } > 2 故C箒
進項 . x { > } 2 田 { sqrt { x } } + { / { 2 } { sqrt { x } } } >= 2 { sqrt { sqrt { x } } } * { / { 2 } { sqrt { x } } } \scriptstyle = 2 { sqrt { 2 } } { sqrt { x } } = { / { 2 } { sqrt { x } } } x = 2 所以等号取不到・故 sqrt { x } + / { 2 } { sqrt { x } } { > } 2 sqrt { 2 } 故D僧俣。散逸B.1

例？ 正明 四丸 _ { x > 0 , y > 0 , z > 0 } ま所以 x + y >= 2 \ { sqrt { x y } } \ , x + z >= 2 \ { sqrt { x z } } \ , y + z >= 門 sqrt { y z } 所以 ( x + y ) ( x + z ) ( y + z ) { >=slant } 2 { sqrt { x y } } \bullet 2 { sqrt { x z } } 出南 sqrt { y z } = 8 x y z 当旦当 \scriptstyle x = y = z 財・等号同財成立因丸 \mathbf { \Phi } _ { x } > \mathbf { \Phi } _ { y } 所以上式中等号不能同町取得・所以 ( x + y ) ( x + z ) ( y + z ) > 8 x y z .

川芽2征明因 ^ { a , b , c } 正教旦 a + b + c = 1 +Ia+b+C所以一 」 「\begin{array} { l } { / { a + b + c } { c } = 3 + \displaystyle \left( / { b } { a } + / { a } { b } \right) + \left( / { c } { a } + / { a } { c } \right) + } \\ { \displaystyle \left( / { c } { b } + / { b } { c } \right) >= 3 + 2 + 2 + 2 = 9 , } \end{array} 当豆当 \scriptstyle a = b = c = { / { 1 } { 3 } } \sharp \sharp 等号成 立所以 / { 1 } { a } + / { 1 } { b } + / { 1 } { c } >= 9 .

例3解 - ( 1 ) *s x > 0 , { \therefore } { / { 1 2 } { x } } > 0 , 4 x > 0 , -\therefore { / { 1 2 } { x } } + 4 x >= 2 { sqrt { / { 1 2 } { x } * 4 x } } = 8 { sqrt { 3 } } , -当耳夜当 { / { 1 2 } { x } } = 4 x 島 \scriptstyle x = { sqrt { 3 } } 町等号成立:当 x { > } 0 / { 1 2 } { x } + 4 x 的最小力 8 { sqrt { 3 } } キ( 2 ) \because 0 { < x < } 3 , \therefore 0 { < } 3 - x { < } 3 - 2 x ( 3 - x ) { = } 2 * x ( 3 - x ) { <=slant } 2 { \left( / { x + 3 - x } { 2 } \right) } ^ { 2 } { = } { / { 9 } { 2 } } , 当耳夜当 \scriptstyle { { x } } = 3 - { { x } } 仙 \scriptstyle x = { / { 3 } { 2 } } 寸等号度立・ュ \scriptstyle 0 < x < 3 五 2 x ( 3 - x ) 最大僧え / { 9 } { 2 } 川禁3 (DD 21R0D - ( 1 ) \because x > 0 , \therefore / { 4 } { x } > 0 ホ\therefore y = { / { 4 + x ^ { 2 } } { x } } = { / { 4 } { x } } + x >= 2 { sqrt { { / { 4 } { x } } * x } } = 4 , 当耳当 { / { 4 } { x } } = x 丘 \scriptstyle x = 2 財等号成立。印数 \scriptstyle y = { / { 4 + x ^ { 2 } } { x } } 有最小値4散透D

(2対千人逸項!当 x { < } 0 \scriptstyle y = { / { x ^ { 2 } + 1 } { x } } < 0 A透項黌： 対千B逸項当 _ { x > 1 } 財 . x - 1 > 0 賢 y = 2 x + / { 4 } { x - 1 } - 1 = 2 ( x - 1 ) + / { 4 } { x - 1 } + 1 >=slant 2 sqrt { 2 ( x - 1 ) * / { 4 } { x - 1 } } + 1 = 4 sqrt { 2 } + 1 , -

当月夜当 20ェー1=丁 アー・印ェー北十1時等号成立改B透項正彌：
対千C號斑 x { > } 0
\therefore 3 x + { / { 1 } { x } } >= 2 { sqrt { 3 x * { / { 1 } { x } } } } = 2 { sqrt { 3 } } ,
当身伝 \scriptstyle x = { / { sqrt { 3 } } { 3 } } 町、等号鳥立
\therefore - \left( 3 x + { / { 1 } { x } } \right) <=slant - 2 { sqrt { 3 } } ,
司 3 - 3 x - { / { 1 } { x } } { <=slant } 3 - 2 { sqrt { 3 } } ・改C逸項正
対千D逸項因 x , y \in \mathbf { R } , x y { < } 0 中
所以テ<oーく0。
所 * - { / { x } { y } } > 0 , - { / { y } { x } } > 0 ,
千是 / { x } { y } + / { y } { x } = - \left[ \left( - / { x } { y } \right) + \left( - / { y } { x } \right) \right]
<=slant - 2 { sqrt { \left( - { / { x } { y } } \right) * \left( - { / { y } { x } } \right) } } = - 2 ,
当豆当 - { / { x } { y } } = - { / { y } { x } } 野 x = - y 時等号立,散D辻斑正禰.散迹BCD]

深堂送椋

I.AF. a ^ { 2 } + b ^ { 2 } - 2 a b = ( a - b ) ^ { 2 } >= 0 , +がン2か・0くシナが 一改逸A

[ x y = { / { x * 6 y } { 6 } } { <=slant } { / { 1 } { 6 } } \left( { / { x + 6 y } { 2 } } \right) ^ { 2 } = { / { 1 } { 6 } } x 9 = { / { 3 } { 2 } } , 弟 \left\{ { \begin{array} { l } { x + 6 y } \\ { x = 6 y } \end{array} } \right. エ3._ { y = / { 1 } { 2 } } 肘等号成立.散近A.

:. / { 2 5 } { 8 } 困 \scriptstyle 0 < x < 2 中所以 \scriptstyle 0 < 2 x < 4 , 5 - 2 x > 0 x ( 5 - 2 x ) = / { 1 } { 2 } x 2 x * ( 5 - 2 x )
<=slant / { 1 } { 2 } x \Big [ / { 2 x + ( 5 - 2 x ) } { 2 } \Big ] ^ { 2 } = / { 1 } { 2 } x / { 2 5 } { 4 } = / { 2 5 } { 8 } , -当旦匂当 2 x = 5 - 2 x 即 \scriptstyle x = { / { 5 } { 4 } } 町等号成立
転 x ( 5 - 2 x ) 的最大値 / { 2 5 } { 8 } 」
4 * a = b = ± 2 T由 a ^ { 2 } + b ^ { 2 } >=slant 2 a b 耳 a b = 4 中
則 a ^ { 2 } + b ^ { 2 } >=slant 8
当旦々当 a = b = ± 2 財等号成立コ

第二裸肘 基本不等式的度用

探究1提示 授矩形的キヵ x { { ~cm } } 寛丸 _ { y { ~cm } } h則 x + y = 8
所以矩形的面税 S { = } x y { <=slant } { \Big ( } { / { x { + } y } { 2 } } { \Big ) } ^ { 2 } { = } 1 6 き当旦々当 \scriptstyle x = y = 4 肘取” \circleddash ”号即幼 4 ~ {cm } 前正方形前面税最大
探究？提示根据上面的没法可知 x y = 1 6 中則 x + y >=slant 2 \ { sqrt { x y } } = 8 車当旦衣当 \scriptstyle x = y = 4 財; \left( x + y \right) _ { { m i n } } = 8 周的最小値力 1 6 ~ {cm }

知硫理

の ( 2 ) 2 { sqrt { p } }

例I4「．正数 { \bf \Pi } _ { a , b } 満足 a + b = 1 ホ\begin{array} { l } { { \therefore / { 1 } { a } + / { 1 } { b } = \left( a + b \right) \left( / { 1 } { a } + / { 1 } { b } \right) = 2 + / { b } { a } + } } \\ { { / { a } { b } >=slant 2 + 2 sqrt { / { a } { b } * / { b } { a } } = 4 , } } \end{array} 当豆匂当 a = b = { / { 1 } { 2 } } 寸等号成 立・： / { 1 } { a } + / { 1 } { b } 的最小但丸4丁

/ { b } { 4 a } >= / { 1 } { 2 } + 2 sqrt { / { a } { 4 b } * / { b } { 4 a } } = / { 1 } { 2 } + / { 1 } { 2 } = 1 , -
当身々 { / { a } { 4 b } } { = } { / { b } { 4 a } } 」
丘 a = b = { / { 1 } { 2 } } 財等号歳立
所以 a + b 的最小値丸1
(2: { \bf { \chi } } _ { { X } } , { \bf { y } } { \in } { \bf { R } } _ { + } 耳 x + 2 y = 3
中出 * / { 1 } { 3 } ( x + 2 y ) = 1 も
\*・ * { / { 1 } { x } } + { / { 1 } { y } } = \left( { / { 1 } { x } } + { / { 1 } { y } } \right) { / { ( x + 2 y ) } { 3 } }
= { / { 1 } { 3 } } \left( 3 + { / { 2 y } { x } } + { / { x } { y } } \right) -
>=slant / { 1 } { 3 } \left( 3 + 2 sqrt { / { 2 y } { x } \bullet / { x } { y } } \right) = / { 1 } { 3 } ( 3 + 2 sqrt { 2 } ) ,
当旦当 \scriptstyle { { x } } = { sqrt { 2 } } y 町等号成立
」・： / { 1 } { x } { + } / { 1 } { y } 南兼木権え / { 3 + 2 { sqrt { 2 } } } { 3 } ロ例？解 及 五中学O)・ジョ二川（A学O),共中 x { > } 0 .
川 \scriptstyle x = 9 五 y _ { 1 } = / { k } { 9 + 1 } = 2 , y _ { 2 } = 9 m = 7 . 2 . ラ
解得 k = 2 0 , m = 0 . 8 -
所以少一 y _ { 1 } { = } / { 2 0 } { x { + } 1 } , y _ { 2 } { = } 0 . 8 x
授西項用之和 z (!位：万元)
- \begin{array} { r l } & { \mathbb { M } \ z = y _ { 1 } + y _ { 2 } = \displaystyle / { 2 0 } { x + 1 } + 0 . 8 x } \\ & { = \displaystyle / { 2 0 } { x + 1 } + 0 . 8 ( x + 1 ) - 0 . 8 } \\ & { >=slant 2 sqrt { \displaystyle / { 2 0 } { x + 1 } x 0 . 8 ( x + 1 ) } - 0 . 8 = 7 . 2 , } \end{array}
当旦仮当 / { 2 0 } { x + 1 } { = } 0 . 8 ( x { + } 1 ) 1-0,80王+11,印ェ-4時,年号成立所以玄家公司度犯企庫建在聖高站4千来オ能使西瑜用和最少・最少用是7？万元.
珈川捺？解（D由題可得 \scriptstyle * { x y } = 1 \ 8 0 0 , { b } = 2 a 中\scriptstyle y = a + b + 6 = 3 a + 6 S-(r-4a十(r--6b-(3r-16a-(3r-
1のニプー1832一6ェーチっエン6・シン6：エリー1 800.( 2 ) S { = } 1 8 3 2 { - } 6 x { - } / { 1 6 } { 3 } y { <=slant } 1 8 3 2 { - } 2 sqrt { 6 x { x } / { 1 6 } { 3 } y } = 1 ~ 8 3 2 - 4 8 0 { = } 1 352,
当耳当 6 x = { / { 1 6 } { 3 } } y 田 x y = 1 ~ 8 0 0 印 x = 40米 y = 4 5 米町等号成立 s 取得最土値1352平方米.

例3D 「因丸 { / { 2 } { x } } + { / { 1 } { y } } = 1 , x > 0 , y > 0 き楽 2 x + y = ( 2 x + y ) \left( { / { 2 } { x } } + { / { 1 } { y } } \right) = 5 + { / { 2 y } { x } } + { / { 2 x } { y } } - >=slant 5 + 2 { sqrt { / { 2 y } { x } } } * { / { 2 x } { y } } = 5 + 4 = 9 き当見夜当 { / { 2 y } { x } } = { / { 2 x } { y } } \scriptstyle x = y = 3 時・等号度立。故 2 x + y 的最小値9散 m { < } 9 故辻D

川禁： 116 (216 (1)図丸 x { > } { - } 2 中所以 x + 2 > 0 又 a { > } 0 中所以 y = x + { / { a } { x + 2 } } = ( x + 2 ) + { / { a } { x + 2 } } - 2 >=slant 2 { sqrt { ( x + 2 ) * { / { a } { x + 2 } } } } - 2 = 2 { sqrt { a } } - 2 , -当旦当 x + 2 = { / { a } { x + 2 } } 1十2印ーー2町等号成立散 y _ { { { m i n } } } = 2 { sqrt { a } } - 2 = 6 , a = 1 6 . -
（2)曲不等式 / { m } { 3 a + b } { <=slant } / { 3 } { a } + / { 1 } { b } 恒成立.得\begin{array} { l } { m \displaystyle <=slant ( 3 a + b ) ( / { 3 } { a } + / { 1 } { b } ) ( a > , b > 0 ) , } \\ { \displaystyle \qquad \widecheck { \mathbb { X } } ( 3 a + b ) ( / { 3 } { a } + / { 1 } { b } ) = 1 0 + / { 3 a } { b } + / { 3 b } { a } >=slant 1 0 + } \\ { \displaystyle 2 sqrt { / { 3 a } { b } * / { 3 b } { a } } = 1 6 , } \end{array}

当耳仏当 { / { 3 a } { b } } = { / { 3 b } { a } } 丘 a = b 時、等号蔵立。鼓 \mathbf { \Sigma } _ { m } 的最大値16丁

裸堂送

I,B F \scriptstyle 0 < x < 1 , \therefore 1 - x > 0 \therefore x ( 3 - 3 x ) = 3 * x ( 1 - x ) { <=slant } 3 * \left( { / { x + 1 - x } { 2 } } \right) ^ { 2 } = { / { 3 } { 4 } } .
当耳仏当 \scriptstyle { x = 1 - x } ふ \scriptstyle x = { / { 1 } { 2 } } 財等号成立コ2.A「+2yー(+2v(ー+ー）-10+1+ / { x } { y } >=slant 1 0 + 2 sqrt { / { 1 6 y } { x } * / { x } { y } } = 1 0 + 2 sqrt { 1 6 } = 1 8 , -当旦当 当1ーテ,印ェー12シー3時等号蔵立,所以 x + 2 y 前最小但18-丁
320没矩形的男一迅丸 y rm { m } 由三角形相似\scriptstyle { / { x } { 4 0 } } = { / { 4 0 - y } { 4 0 } } \scriptstyle 0 < x < 4 0 , 0 < y < 4 0
- \begin{array} { r l } & { \therefore 4 0 = x + y >= 2 sqrt { x y } , } \\ & { \therefore S = x y <=slant \left( / { 4 0 } { 2 } \right) ^ { 2 } = 4 0 0 } \end{array}
-
当旦々当 x = y = 2 0 貯矩形削面税取得最大値418 F: x { > } 0 { , } a { > } 0 中
\therefore 2 x + { / { a } { x } } >= 2 { sqrt { 2 x * { / { a } { x } } } } = 2 { sqrt { 2 a } } ,
当耳当 2 x = { / { a } { x } }
岡 x = { sqrt { / { a } { 2 } } } 財キ号成立.
所 { sqrt { / { a } { 2 } } } = 3 a = 1 8 . ]

塔伐深 基本不等式的綜合度用

例1 (1D (2 LT対千A並項・当 x { < } 0 財・不等式湿然不成立・故黌：対B項 , a + b >=slant 2 sqrt { a b } 成立的条伴 a { >=slant } 0 hb { >=slant } 0 故鯖俣：対C辻項,当 \boldsymbol a = - b \neq 0 町不等式是然不成立散黌涙：対千D逸斑苗于 a ^ { 2 } + b ^ { 2 } - 2 a b = ( a - b ) ^ { 2 } >=slant 0 故 a ^ { 2 } + b ^ { 2 } >=slant 2 a b 正彌.散D
(2)ェ・シ都号正数・由基本不等式・得ナン{ sqrt { x y } } , { / { y } { x } } + { / { x } { y } } >= 2 , { / { 2 x y } { x + y } } <=slant { / { 2 x y } { 2 { sqrt { x y } } } } = { sqrt { x y } } , 迅三不不等式都是当旦仮当 \scriptstyle x = y 財等号成立両題中 _ { x \neq y } 困此等号都取不到所以AR．C中三不不等式恒成立 { \Sigma } : x y + / { 1 } { x y } { >= } 2 中当旦仮当x y = 1 財取等号如 \scriptstyle x = { / { 1 } { 2 } } , y = 2 即可取等号・D中不等式不恒成立.散逸D川禁1 ひop [ \because a b <=slant \left( { / { a + b } { 2 } } \right) ^ { 2 } , a + b = 1 , -
：： . a b { <=slant } { \left( / { 1 } { 2 } \right) } ^ { 2 } ふ a b <=slant / { 1 } { 4 }
当耳々当 a = b = { / { 1 } { 2 } } 時等号蔵立。
-： \left( a b \right) _ { { m a x } } = / { 1 } { 4 } 改途D
( 2 ) / { 1 } { 2 } TrabeR+:ー>0,6>0.
- \therefore / { 1 } { a } + b = 1 >= 2 sqrt { / { b } { a } } き5
町 / { b } { a } <=slant / { 1 } { 4 } ( 当豆夜当 { / { 1 } { a } } = b 仙 a = 2 , b = / { 1 } { 2 } 財泉幸タリ / { 2 b } { a } <=slant / { 1 } { 2 } 明一自最大位 / { 1 } { 2 } 」」
例？ の 22：+2 Llror1.
:： 4 - 3 x { > } 0 , 3 x { > } 0
エく4-8ノ＝す・（3)(4-8ェノくすIーナレーiーす
当耳匂当 3 x = 4 - 3 x 品 x = { / { 2 } { 3 } } \sharp 等号成 立。
2' * _ { x > 1 , \dot { \dots } x - 1 > 0 } 中
シーパ+?エ一1（エ-2ェ+1+(2ェー21+3エ-1
(ェー122十2ェー1+3エ一1
ルークや
22Jエーリ・+2-21+2
当旦仮当 ( x - 1 ) = / { 3 } { ( x - 1 ) }
即 _ { x = { sqrt { 3 } } + 1 } 財等号成立
所以 \mathbf { \Phi } _ { y } 前最小値 2 { sqrt { 3 } } + 2 . ]
川禁？A 因ヵ一 _ { 1 < x < 1 } 所以 \scriptstyle 0 < 1 - x < 2 中チ長得ッーーテ・ y = - / { 1 } { 2 } * / { ( 1 - x ) ^ { 2 } + 1 } { 1 - x } ニーツ1ール十ーク- <=slant - / { 1 } { 2 } * 2 sqrt { ( 1 - x ) * / { 1 } { 1 - x } } = - 1 , -当耳々当 1 - x = / { 1 } { 1 - x } 町 \scriptstyle x = 0 町取 \scriptstyle = " ・
所以当ェー0時かープニシナ2 有最大値一1丁

例： 1D 2ć T(1り題意 { / { 1 } { 2 a } } + 6 b = \begin{array} { l } { { \left( \displaystyle / { 1 } { 2 a } + 6 b \right) \left( 6 a + \displaystyle / { 2 } { b } \right) = 3 6 a b + / { 1 } { a b } + 1 5 >=slant } } \\ { { 2 sqrt { 3 6 a b + / { 1 } { a b } } + 1 5 = 2 sqrt { 3 6 } + 1 5 = 2 7 , } } \end{array} 着具夜き 3 6 a b = / { 1 } { a b } 野 a = / { 1 } { 1 8 } , b = 3 町、キ号鳥立貯以 { / { 1 } { 2 a } } + 6 b 的最小値ヵ27改辻D

(2由 _ { x > 0 , y > 0 } / { 2 } { x } + / { 1 } { y } = 1
丁得 _ { x y } = x + 2 y 中
所以 4 x y - 3 x - 6 y = 4 x + 8 y - 3 x - 6 y = x + 2 y = \left( { / { 2 } { x } } + { / { 1 } { y } } \right) ( x + 2 y ) = 4 + { / { 4 y } { x } } + { / { x } { y } }
2十リ8
当見当 { / { 4 y } { x } } = { / { x } { y } } \scriptstyle { { x } } = 4 , y = 2 時、等号歳立所以 4 x y - 3 x - 6 y 的最小値8.散逸℃
川禁3 10B由ビ知 \vdash \left( 1 + { / { 1 } { a } } \right) \left( 1 + { / { 8 } { b } } \right)
= \left( 1 + { / { a + b } { a } } \right) \left( 1 + { / { 8 a + 8 \dot { b } } { b } } \right)
= \left( 2 + { / { b } { a } } \right) \left( 9 + { / { 8 a } { b } } \right)
-26+$+
2+2
身具傷 { / { 9 b } { a } } = { / { 1 6 a } { b } } a = / { 3 } { 7 } b = / { 4 } { 7 } 時キ
成立
国北 \left( 1 + / { 1 } { a } \right) ( 1 + / { 8 } { b } ) 的最小値号,50,故通 丁
( 2 ) sqrt { 2 } + 1 Tć丸 x + y = 1
所ン
リデた2++ナ+++ーチ++1
22ニ・ニ+1ー+1
号祭誌 { / { x } { y } } = { / { y } { 2 x } } 町 \scriptstyle { x = { sqrt { 2 } } - 1 , y = 2 - { sqrt { 2 } } } 南
都 / { x ^ { 2 } + 1 } { 2 x y } 最小伯カ十11
例4ALΔ \scriptstyle x + 3 y = m , 3 x + y = n h昼 / { 2 } { m } + / { 1 } { n } = 1 m + n = ( x + 3 y ) + ( 3 x + y ) = 4 ( x + y ) \therefore x + y = { / { m + n } { 4 } } = \left( { / { m } { 4 } } + { / { n } { 4 } } \right) \left( { / { 2 } { m } } + { / { 1 } { n } } \right) = -チ+セシナン・ナー2
カー
雪皇夜当 { / { m } { 4 n } } = { / { 2 n } { 4 m } } m = 2 + { sqrt { 2 } } , n = { sqrt { 2 } } + 1 財等号成立所以 x + y 的最小位ヵ3十22改逸A川禁4 「田丸 a > / { 1 } { 2 } , b > 1
則金 \scriptstyle m = 2 a - 1 > 0 , n = b - 1 > 0 , -
所以 2 a = m + 1 , b = n + 1 .
田 2 a + b = 3 \left( a > / { 1 } { 2 } , b > 1 \right)
可以得到 m + n = 1
\begin{array} { r l } & { β \tilde { \Vert } \tilde { } \mathscr { V } \mathscr { L } / { 2 a } { 2 a - 1 } + / { b } { b - 1 } = / { 2 a - 1 + 1 } { 2 a - 1 } + / { b - 1 + 1 } { b - 1 } } \\ & { = 2 + / { 1 } { 2 a - 1 } + / { 1 } { b - 1 } = 2 + / { 1 } { m } + / { 1 } { n } } \\ & { = 2 + \left( / { 1 } { m } + / { 1 } { n } \right) ( m + n ) = 4 + / { n } { m } + / { m } { n } } \\ & { >=slant 4 + 2 sqrt { / { n } { m } * / { m } { n } } = 6 , } \end{array}
当耳当 m = n = { / { 1 } { 2 } } ふ a = / { 3 } { 4 } , b = / { 3 } { 2 } 1 オ等号成立
所 / { 2 a } { 2 a - 1 } + / { b } { b - 1 } 南最小住丸。
改逸A

例「È a b + 2 a - 2 = 0 a = / { 2 } { b + 2 } ：所以 4 a + b = / { 8 } { b + 2 } + b = / { 8 } { b + 2 } + ( b + 2 ) - 2 ->=slant 2 { sqrt { / { 8 } { b + 2 } * ( b + 2 ) } } - 2 = 4 { sqrt { 2 } } - 2 , 当耳当 a = { / { 2 } { b + 2 } } , \operatorname { \mathbb { E } } { / { 8 } { b + 2 } } = b + 2 a = { / { sqrt { 2 } } { 2 } } , b = 2 { sqrt { 2 } } - 2 はーキラ見た所以 4 a + b 的最小値丸 4 { sqrt { 2 } } - 2 改逸氏

刪筇5 6「自ェ+3+エy-9,毎ェー家x + 3 y = { / { 9 - 3 y } { 1 + y } } + 3 y = { / { 9 - 3 y + 3 y ( 1 + y ) } { 1 + y } }
= / { 9 + 3 y ^ { 2 } } { 1 + y } = / { 3 ( 1 + y ) ^ { 2 } - 6 ( 1 + y ) + 1 2 } { 1 + y } -12
一3(1十少十 一“1+
>2/s(1十y） キ-6-12-6-6
当月夜当 311十ツニ士シ
即 \scriptstyle x = 3 , y = 1 町等号成立:
所以 x + 3 y 的最小値6

{ / { \int a + b } { b + c } } { = } { / { b + c } { a + b } }
当旦仮当 \scriptstyle \left\{ { / { c + a } { b + c } } = { / { b + c } { c + a } } \right. I十ル 山\scriptstyle a = b = c = { / { 1 } { 3 } } 一町等号度立。
所以上 / { 1 } { a + b } + / { 1 } { b + c } + / { 1 } { c + a } >= / { 9 } { 2 } .
川6正明 因丸 a , b , c > 0 所以利用基本不等式可得
ニキルーィ・テトカ・テキ学な・所以 / { a ^ { 2 } } { b } + / { b ^ { 2 } } { c } + / { c ^ { 2 } } { a } + a + b + c >= 2 a + 2 b + 2 c , -
- / { 4 } { β } x / { a ^ { 2 } } { b } + / { b ^ { 2 } } { c } + / { c ^ { 2 } } { a } >= a + b + c 当見信当 \scriptstyle a = b = c 肘,等号成立
例？ 解 (1困ヵ側面寛度 x ( 0 < x <=slant 5 ) 米
所正西老度房 / { 1 2 } { x } 来依題意得- \begin{array} { l } { \displaystyle { y = 3 \left( 2 x x 1 5 0 + / { 1 2 } { x } x 4 0 0 \right) + 5 ~ 8 0 0 } } \\ { \displaystyle { \quad = 9 0 0 \left( x + / { 1 6 } { x } \right) + 5 ~ 8 0 0 ( 0 < x <=slant 5 ) . } } \\ { \displaystyle { \quad ( 2 ) \boxplus \nmid \nmid x + / { 1 6 } { x } >=slant 2 sqrt { x * / { 1 6 } { x } } = 8 , } } \end{array}

-当旦仮当 \scriptstyle x = { / { 1 6 } { x } } 町 \scriptstyle x = 4 財等号成立・9 0 0 \left( x + { / { 1 6 } { x } } \right) + 5 ~ 8 0 0 >=slant 9 0 0 x 8 + 5 ~ 8 0 0 = 13000,所以 \scriptstyle x = 4 町 y _ { { m i n } } = 1 3 000(元所以当側面的寛度ヵ4米財息造併最低最低鳥造丸13000元.

刑禁448L役 B M = x 中只 由AMBCOAMAN;得キーA
毎Anー3+ー\begin{array} { l } { \displaystyle \iint S _ { A M P N } = \displaystyle ( x + 4 ) \left( 3 + / { 1 2 } { x } \right) = 3 x + / { 4 8 } { x } + 2 4 } \\ { \displaystyle >=slant 2 sqrt { 3 x * / { 4 8 } { x } } + 2 4 = 4 8 , } \end{array} 当夜当3ーポ 即 \scriptstyle x = 4 肘,等号成立散矩形花塚AMPN的面釈最小慎ヵ48印当 B M = 4 財・矩形花兵 A M P N 前面釈最小,最小面税48-丁

裸堂送

= \begin{array} { l } { \displaystyle { { ~ ~ * ~ } { ~ ~ * ~ } { ~ ~ * ~ } { ~ ~ * ~ } { ~ ~ * ~ } { ~ ~ * ~ } { ~ ~ * ~ } { ~ ~ * ~ } \left( / { { ~ ~ * ~ } } { { ~ ~ * ~ } { ~ ~ * ~ } { ~ ~ * ~ } { ~ ~ * ~ } { ~ ~ * ~ } } \left( / { a + 2 b } { 2 } \right) ^ { 2 } , } } \\ \right){ \displaystyle { ~ ~ * ~ } a + 2 b = 1 , } \\ { \displaystyle { ~ ~ * ~ } { * ~ } a b <=slant / { 1 } { 2 } x \left( / { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } , } \end{array} ふ a b <=slant / { 1 } { 8 } 当豆匂当 a = / { 1 } { 2 } , b = / { 1 } { 4 } 時等号成 立.: \left( a b \right) _ { { m a x } } = / { 1 } { 8 } 改辻D

2.BL: * _ { a > 0 } , b > 1 旦 a + b = 2 . b - 1 > 0 耳 a + ( b - 1 ) = 1 中* { / { 4 } { a } } + { / { 1 } { b - 1 } } = \left( { / { 4 } { a } } + { / { 1 } { b - 1 } } \right) \left[ a + ( b - 1 ) \right]
一5+イのーツ+ーラ十2\scriptstyle = 9 { / { 4 ( b - 1 ) } { a } } = { / { a } { b - 1 } } 最 a = / { 2 } { 3 } 田 b { = } / { 4 } { 3 } 財等号歳立都 / { 4 } { a } + / { 1 } { b - 1 } 内最水伯力・改進 ム丁

/ { 1 } { 4 } L丸 _ { x , y } 丸正教故由基本不等式可得2 { = } x + { / { 1 } { 4 y } } >= 2 { sqrt { / { x } { 4 y } } } = { sqrt { / { x } { y } } } ,

{ / { y } { x } } >= { / { 1 } { 4 } } 当長夜 \left\{ { \begin{array} { l } { 4 x y = 1 , } \\ { x + { / { 1 } { 4 y } } = 2 } \end{array} } \right. 南即当 x = 4 y = 1 , y = / { 1 } { 4 } 町等号成立故一的最小但丸 / { 1 } { 4 } -

418法一由 2 x + 8 y - x y = 0 得 y \left( x - 8 \right) = 2 x .：ェン0ン0.・ェー820yーエ8.++yー++ . +++2-ー10+10ター8+ピ+1022ーシ・1 0 = 1 8 . 当旦仮当 x - 8 { = } / { 1 6 } { x - 8 } 即 \scriptstyle x = 1 2 , y = 6 町・等号成立ミ x + y 的最小値是18法二由 2 x + 8 y = x y 及 \scriptstyle x > 0 , y > 0 中- / { 8 } { x } + / { 2 } { y } = 1 . -:ェ十ッー(十ツ(ー+ア)= { / { 8 y } { x } } + { / { 2 x } { y } } + 1 0 { >= } 2 sqrt { { / { 8 y } { x } } * { / { 2 x } { y } } } + 1 0 = 1 8 . -当貞夜 { / { 8 y } { x } } = { / { 2 x } { y } } 町 x = 2 y = 1 2 , y = 6 財等号成立.： x + y 前最小値是18

\ S 4 - 一元二次函数与一元二次不等式4,1 一元二次田数

探究1提示 y = a ( x - h ) ^ { 2 } + k ( a \neq 0 ) 的図象可以看作由 \scriptstyle y = a , x ^ { 2 } 的図象平移得到的 \mathbf { \nabla } _ { * } h 央定」一元ニ次留勤図蓼前左右平移目 { } ^ { \mathfrak { a } } h 正右移奥左移”央定了一元二次番数図象的上下平移旦“正上移典下移“

知杭理

4ac--ドh ト4

例解 y = - x ^ { 2 } + 2 x + 3 = - ( x ^ { 2 } - 2 x ) + 3 = - ( x ^ { 2 } - 2 x + 1 - 1 ) + 3 = - ( x - 1 ) ^ { 2 } + 4 , -由 y = - x ^ { 2 } 的図象与 y = x ^ { 2 } 的図象栄子 _ x 軸対称,可得 y = - x ^ { 2 } 的図象由 y = - x ^ { 2 } 的図象向右平移1不単位度・再向上平移4不草位度可得 y = - ( x - 1 ) ^ { 2 } + 4,即 y = - x ^ { 2 } + 2 x + 3 前図象

川禁1一66T一元二次岡教 y = x ^ { 2 } + b x + c 的図象向左平移2不草位度再向上平移：不単位度得到番数 y = ( x + 2 ) ^ { 2 } + b ( x + 2 ) + c + 3,即 y = x ^ { 2 } + ( b + 4 ) x + 7 + 2 b + c 的図象巫町 y = x ^ { 2 } - 2 x + 1 \scriptstyle ( b + 4 = - 2 霊 b { = } { - } 6 , c { = } 6 . ] -\dot { 1 } 7 + 2 b + c = 1

探究？ 提示 三稗不同形式(1り一般式 { { : } } y = a x ^ { 2 } + b x + c ( a \neq 0 ) 車2)項点式 { \mathfrak { s o } } = { \mathfrak { a } } ( { \mathfrak { x } } - h ) ^ { 2 } + k ( { \mathfrak { a } } \neq 0 ) (3)西根式 y = a ( x - x _ { 1 } ) ( x - x _ { 2 } ) ( a \neq 0 )

例？解（I)没所求一元二次騒教的解析式刃y = a x ^ { 2 } + b x + c ( a \neq 0 ) 中
井 4 a - 2 b + c = 2 0 \scriptstyle \mathbf { \rho } _ { a } = 1 称末style { / { 1 } { a + b + c = 2 } } \lfloor 6 = - 5 _ 9 a + 3 b + c = 0 「 c = 6 中所求一元ニ次番教的解析式力y = x ^ { 2 } - 5 x + 6 . (2)：一元二次番教図象的項点坐方 ( - 1 , - 2 ) 中授一元ニ次番教的解析式刃y = a ( x + 1 ) ^ { 2 } - 2 ( a \neq 0 ) . ：困象寸点（2,25),' \scriptstyle { λ ( 2 + 1 ) ^ { 2 } - 2 = 2 5 } 解得 \scriptstyle a = 3 中・所求一元ニ次番教的解析式y = 3 ( x + 1 ) ^ { 2 } - 2 即 y = 3 x ^ { 2 } + 6 x + 1 (3・一元二次図数前図象与 x 軸的交点坐カ（一2.U.（出O）授所求一元ニ次番数的解析式力y = a ( x + 2 ) ( x - 3 ) ( a \neq 0 ) . -又田象廿点 ^ { ( - 1 , 8 ) } 中： * 8 { = } a ( - 1 + 2 ) x ( - 1 - 3 ) 解得 \scriptstyle a = - 2 中
所求一元ニ次国教的解析式
y = - 2 ( x + 2 ) ( x - 3 ) は
印 y = - 2 x ^ { 2 } + 2 x + 1 2 .
川芽？解法一投一元二次図教的解析式y = a x ^ { 2 } + b x + c ( a \neq 0 ) 中梓(1,4, ^ { ( - 1 , 0 ) } （30分別代人上式得や a + b + c = 4 -\scriptstyle { a - b + c = 0 } 中_ * 9 a + 3 b + c = 0 中
解得2y-ーエ+2+3- \displaystyle c = 3 . -法二・由題意授一元二次番数的解析式力y = a ( x + 1 ) ( x - 3 ) ( a \neq 0 ) . -存(1,4代人上式得 4 { = } a ( 1 { + } 1 ) ( 1 { - } 3 ) 車' a = - 1 中: * y = - ( x + 1 ) ( x - 3 ) , 即 y = - x ^ { 2 } + 2 x + 3 .

探究3提示・随 x 的増大両蔵小的区同丸(--o0,11._ y 陣 \scriptstyle { { x } } 前増大両増大前区同1 + ∞ ) 川 _ { x = 1 } 財 y _ { \operatorname* { m i n } } = - 4 中无最大値

知硫理

\scriptstyle x = h - ^ { ( h , k ) }

：解 - ① { 1 } 印 \scriptstyle a = 0 肘 y = - 2 x 在L0,11上
_ y 随 x 前増大面或小当 _ { x = 1 } 肘 , y 的最小値丸一2
② 当 a { > } 0 町 \scriptstyle { y = a x ^ { 2 } - 2 x } 的図象番日向上旦
対称軸カェーー
当 0 < / { 1 } { a } <=slant 1 丘 a { >=slant } 1 町
\scriptstyle { y = a x ^ { 2 } - 2 x } 的対称軸在0,11内
：-ar2ー2ェ在「 \left[ 0 , / { 1 } { a } \right] 上座 x 由増大両城
小,在 \left[ / { 1 } { a } , 1 \right] 上隆 x 的増大両増大
最小値在 \scriptstyle x = { / { 1 } { a } } 財取得
- \therefore y _ { { m i n } } = / { 1 } { a } - / { 2 } { a } = - / { 1 } { a } .
í / { 1 } { a } > 1 島 \scriptstyle 0 < a < 1 田 \scriptstyle y = a x ^ { 2 } - 2 x 的対
称軸在0,11的右側。
:： y = a x ^ { 2 } - 2 x 在0,11上随 x 的増大両減小最小値在 _ { x = 1 } 肝取得
:： y _ { \operatorname* { m i n } } { = } a - 2 -ラ
③ 当 a < 0 町 \scriptstyle { y = a , x ^ { 2 } - 2 x } 前図象番日向下旦
対称軸 \scriptstyle x = { / { 1 } { a } } < 0 中 _ y 軸的左側
\` \scriptstyle { y = a x ^ { 2 } - 2 x } 在L0,11上陣 _ x 的増大両減小
・最小値在 _ { x = 1 } 肘取得
' y _ { \operatorname* { m i n } } { = } a - 2
奈上所迷 \scriptstyle y _ { { m i n } } = \left\{ { \displaystyle - { / { 1 } { a } } , a <= 1 , \atop a } \right.
( 2 ) _ { 3 } > 2 x + m 等併千 x ^ { 2 } - x + 1 { > } 2 x + m
即 x ^ { 2 } - 3 x + 1 > m 合 \scriptstyle { s = x ^ { 2 } - 3 x + 1 } 要使 s = x ^ { 2 } - 3 x + 1 > m 在L一1,11上恒成 立:只番使 \mathbf { \Omega } _ { m } 小千爾蜀 \scriptstyle { s = x ^ { 2 } - 3 x + 1 } 在一1,11上的最小値印可:中 \scriptstyle { s = x ^ { 2 } - 3 x + 1 } 在一1,11上陣 x 的増大両減小最小値在 _ { x = 1 } 町取得
:： s _ { { m i n } } = - 1 . \therefore m < - 1
散実数 m 前取値弛国是 ( - ∞ , - 1 ) ま

川禁3 解 - y = a \left( x + 1 \right) ^ { 2 } + 1 - a ロ

I ① 印 a = 0 町岡数 _ y 在区同一1,21上的但丸
常苔1不存合題意舎去：
② 朝 a { > } 0 財対称軸真袋 \scriptstyle x = - 1 岡数 _ { y } 在
区同L一1,21上随着 x 的増大両増大
:当 \scriptstyle x = 2 肘 { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , \ \ . 取最大値丸 8 a + 1 = 4 中
解得-:
③ 卿 a < 0 町・対称軸真袋 _ { x = - 1 } 留教 _ y 在
区同一1,2上随着 x 的増大両減小
・当 x = - 1 財 , _ { y } 取最大値丸 1 - a = 4 中
解得 a = - 3 リ
禁上可知 , a 的 / { 3 } { 8 } ^ { / { 1 } { 2 } } \mathbb { X } - 3 中

深堂送

T．DL困物袋 y = x ^ { 2 } - ( m - 2 ) x + m + 3 的項点在 _ y 軸上所以項点的横坐 - { / { - ( m - 2 ) } { 2 x 1 } } = { / { m - 2 } { 2 } } = 0 散 m = 2 . ]
2ç [ y = / { 1 } { 2 } x ^ { 2 } + 2 x + 5 = / { 1 } { 2 } ( x + 2 ) ^ { 2 } + 3 , C正禰]
3 y = - 2 x ^ { 2 } + 1 2 x - 8 授博一元二次番教的解析式 y = a x ^ { 2 } + b x + c ( a \neq 0 ) ：由条伴得 \lfloor { c = - 8 } \scriptstyle ( a - b + c = - 2 2 解得 \scriptstyle \int a = - 2 b = 1 2 - \scriptstyle \left\lfloor 4 a + 2 b + c = 8 \right\rfloor 中 - \scriptstyle c = - 8 所求的二次図数丸 y = - 2 x ^ { 2 } + 1 2 x - 8 . ] -
寸 \left( - ∞ , / { 1 } { 4 } \right) [由題意知最大僧 / { 4 m - 1 } { 4 x ( - 1 ) } { > } 0 き・・ * m { < } / { 1 } { 4 } . ] -

42 一元二次不等式及其解法

探究1提示 含有一不未却教未知教的最高次数是2

探究？ 提示 x _ { 1 } = - 2 , x _ { 2 } = 3 .

知硫理

一元二次 所有

例1BLO中不舎 x ^ { 2 } 項 ③ 中 x ^ { 2 } 的系致 \scriptstyle a 有可能ヵo,故の不是一元ニ次不鐸式 ③ 不一定是一元ニ次不等式 ② ④ 一定是一元二次不等式コ
川芽iADIB;C辻項中的不等式不苻合－元二次不竿式的概念：ΔD站項中的不等式待合一元ニ次不等式的合散近AD
探究：提示 x = - 2 或 x = 3 ; \{ x \mid x < - 2 , 或x > 3 \} ; \{ x \mid - 2 < x < 3 \} ：
知硫理- \{ x \vert x { < } x _ { 1 } 或 \begin{array} { r l } { x > x _ { 2 } \} } & { { } \{ x \ : | \ : x _ { 1 } < x < x _ { 2 } \} } \end{array}
例？解（1汁程 2 x ^ { 2 } + 5 x - 3 = 0 前西英根\scriptstyle x _ { 1 } = - 3 , x _ { 2 } = { / { 1 } { 2 } } . -作出番数 y = 2 x ^ { 2 } + 5 x - 3 - 的図象,如図 ① 由図可毎原不幸式的解集力 \left\{ x \bigg \vert - 3 < x < / { 1 } { 2 } \right\}
(2)原不等式等竹子 3 x ^ { 2 } - 6 x + 2 >= 0 ロ
解方程 3 x ^ { 2 } - 6 x + 2 = 0 中
得 x _ { 1 } = / { 3 - sqrt { 3 } } { 3 } , x _ { 2 } = / { 3 + sqrt { 3 } } { 3 } .
作出番数 y { = } 3 x ^ { 2 } { - } 6 x { + } 2 N図象図 ② 中
由図可得原不等式的解集
\left\{ x \left| x { <=slant } { / { 3 - { sqrt { 3 } } } { 3 } } , { sqrt { 3 } } , x { >=slant } { / { 3 + { sqrt { 3 } } } { 3 } } \right. \right\} . -
3方程 4 x ^ { 2 } - 4 x + 1 = 0
有西不相等的実根
\scriptstyle x _ { 1 } = x _ { 2 } = { / { 1 } { 2 } } .
作出番致 y = 4 x ^ { 2 } - 4 x + 1
的図象図 ③ 中
由図可得原不等式前解集
\nrightarrow \left\{ x \left| x \neq { / { 1 } { 2 } } \right. \right\} , e
(4原不等式可化 x ^ { 2 } - 6 x + 1 0 < 0 中
“ \Delta { = } 3 6 { - } 4 0 { = } - 4 { < } 0 中
方程 x ^ { 2 } - 6 x + 1 0 = 0 毛笑根
原不等式的解集 x 中

③

川銑？解（1方程 x ^ { 2 } - 5 x - 6 = 0 的西根丸{ \boldsymbol { x } } _ { 1 } = - 1 , { \boldsymbol { x } } _ { 2 } = 6 吉合二次番教 y = x ^ { 2 } - 5 x - 6 的国象却・原不等式的解集 \{ x \vert x < - 1 或 _ { x > 6 } \} ：(2原不等式可化 ( x - 2 ) ( x + 3 ) > 0 中方程 ( x - 2 ) ( x + 3 ) = 0 的西根刃x _ { 1 } = 2 , x _ { 2 } = - 3 中

皆合二次番数 y = ( x - 2 ) ( x + 3 ) 前図象知原不等式的解集力 \{ x \vert x < - 3 或 \scriptstyle x > 2 ⟩ ：(3)由原不等式得 8 x ^ { 2 } - 8 x + 4 > 4 x - x ^ { 2 } ・原不竿式等併子 9 x ^ { 2 } - 1 2 x + 4 > 0 ：解方程9年一12ェ十40,得ェ1ニエュニチ結合二次番数 y = 9 x ^ { 2 } - 1 2 x + 4 的図象知原不等式的解条力 \{ x \vert x \neq / { 2 } { 3 } \}

例： 解 ( 1 ) \Delta = a ^ { 2 } - 1 6 下面分情況付詮:① 当 \varDelta < 0 \scriptstyle { \mathbb { E } } \| - 4 < _ { a } < _ { 4 } 財;力程 2 x ^ { 2 } + a x + 2 = 0 毛実根・所以庫不等式的解集丸 bf { R } ② 前 \Delta >=slant 0 即 a >=slant 4 或 a <=slant - 4 肘;方程 2 x ^ { 2 } + a x + 2 = 0 的西不根丸- x _ { 1 } { = } / { 1 } { 4 } ( - a - sqrt { a ^ { 2 } - 1 6 } ) , -x _ { 2 } { = } / { 1 } { 4 } ( - a + sqrt { a ^ { 2 } - 1 6 } ) . 和 a = - 4 財・原不等式的解集丸 \{ x \vert x \neq 1 \} 前 a { > } 4 喜 { \boldsymbol { a } } < - 4 財原不等式的解集丸\left\{ x \left| x { < } / { 1 } { 4 } ( - a - sqrt { a ^ { 2 } - 1 6 } ) , \right. \right. 印 \scriptstyle a = 4 財原不等式的解集丸 \{ x \mid x \neq - 1 \} 奈上当 - 4 < a < 4 財原不等式的解集丸R和 a { > } 4 式 { \boldsymbol { a } } < - 4 財原不等式的解集丸- \begin{array} { l } { \displaystyle \left. \displaystyle x \left| x { < } / { 1 } { 4 } ( - a - sqrt { a ^ { 2 } - 1 6 } ) , \right. \right. } \\ { \displaystyle \left. + sqrt { a ^ { 2 } - 1 6 } ) \right. \} , } \end{array} 成ンートー却 a = - 4 財原不等式的解集丸 \{ x \mid x \neq 1 \} 当 a = 4 財原不等式的解集 \{ x \mid x \neq - 1 \} ま2)持不等式 x ^ { 2 } - ( a + a ^ { 2 } ) x + a ^ { 3 } > 0 変形\begin{array} { r } { ( x - a ) ( x - a ^ { 2 } ) > 0 . } \end{array} 当α二0 財有 a < _ { a ^ { 2 } } 所以不等式的解集 \{ x \vert x { < } a 或 x { > } a ^ { 2 } \} 中当 \scriptstyle a = 0 財 \scriptstyle * a = a ^ { 2 } = 0 中所以不等式前解集 \{ x \vert x \neq 0 \} 当 0 { < } a { < } 1 有 a { > } a ^ { 2 } 新以不 的解集 \{ x \vert x { < } a ^ { 2 } 或 \scriptstyle x > a \} a = 1 甘 \scriptstyle * a = a ^ { 2 } = 1 リT 式的解集 \{ x | x { \neq } 1 \} a { > } 1 町目 a < α ^ { 2 } 新以不 式的解集 \{ x \mid x < a 或 x { > } a ^ { 2 } 1 中, a < 0 N a { > } 1 財原不等式的解集\{ x \mid x < a 或 \scriptstyle x > a ^ { 2 } ) キ\scriptstyle a = 0 原不等式的解集丸 \{ x \vert x \neq 0 \} 円0 { < } a { < } 1 財・原不等式前解集丸 \{ x \mid x < a ^ { 2 } 或\scriptstyle x > a 北a = 1 討・原不等式的解集丸 \{ x \vert x \neq 1 \} 中
川券3 解 原不等式可化a x ^ { 2 } + ( a - 2 ) x - 2 >= 0 , ① 前 \scriptstyle a = 0 財原不等式化丸 x + 1 <=slant 0 中静本バ② 新 a { > } 0 財,原不等式化丸\left( x - { / { 2 } { a } } \right) ( x + 1 ) >=slant 0 鮮代 x { >=slant } { / { 2 } { a } } 村 x { <=slant } - 1 ③ 前 a < 0 財原不幸式化丸（ーー十1リ<o
カーシート駅 a < - 2 南解得 - 1 { <=slant } x { <=slant } { / { 2 } { a } } ゴ / { 2 } { a } = - 1 品 a = - 2 時・解得 \scriptstyle x = - 1 持当ーく一1,印一2<aく0時解得一イレくー1赤上所球当 \scriptstyle a = 0 財原不等式的解集丸\{ x \vert x <=slant - 1 \} 前 \scriptstyle a > 0 財原不等式的解集丸マンー式イーリ・ロ - 2 { < } a { < } 0 財原不等式的解集丸- \left\{ x \bigg | / { 2 } { a } <=slant x <=slant - 1 \right\} 中

当 a = - 2 町原不等式的解集 \{ - 1 \} 当 a < - 2 財・原不等式的解集\left\{ x \bigg | - 1 <=slant x <=slant / { 2 } { a } \right\} .

深堂送

D根据一元ニ天不等式的定メ知不等式 ① x ^ { 2 } + 1 > 0 , { 2 } - x ^ { 2 } - x <=slant 5 是一元ニ茨不等式：当 \scriptstyle a = 0 財,不竿式 { 3 } a x ^ { 2 } > 2 和 { 6 } a x ^ { 2 } + b x + c { > } 0 不是一元ニ次不等式：不等式 { 4 } x ^ { 3 } + 5 x - 6 > 0 是一元三次不等式・不是一元ニ次不等式：当 m = 0 肘不等式 { 5 } m x ^ { 2 } - 5 y < 0 カ一元一状不等式・当 m \neq 0 肘不等式 { 5 } m x ^ { 2 } - 5 y < 0 刃二元ニ次不等式・所以一定是一元ニ次不等式的有？不・散逸D
2AT由題意知x ^ { 2 } - 4 x + 3 < 0 \Rightarrow ( x - 1 ) ( x - 3 ) < 0 , ま所以原不隼式的解集 \{ x \vert 1 { < } x { < } 3 \} ：散逸A
3（2,3）「不等式一 * x ^ { 2 } + 5 x > 6 吏形 x ^ { 2 } - 5 x + 6 < 0 困式分解 x - 2 ) \left( x - 3 \right) < 0 解得2 { < } x { < } 3 . 7 -
4. \{ x \mid x < - 2 , 或 \scriptstyle x > 3 ) L \scriptstyle * = 0 財 \scriptstyle * x = - 2 或：・寸度方程的根ヵ一2和：ヌ _ y 陣 x 前増加先減小后増加:： a { > } 0 結合番数困象解集 \{ x \vert x < - 2 或 _ { x > 3 ⟩ . ] }

43 一元二次不等式的度用

探究1提示等併伏点是猪分式不等式化児カ一元二次不等式・利用一元ニ次不等式前解去求解:

知硫理

（ar+bcr+d c x + d \neq 0 目
例1 解 (T)原不等式可化丸( x + 1 ) ( 2 x - 1 ) { \ < } 0 , { \therefore } - 1 { <= } x { < } { / { 1 } { 2 } } , -故県不等式的解集力 \left\{ x \bigg \vert - 1 < x < / { 1 } { 2 } \right\}
（の)県不等式百化究 / { x - 1 } { 3 x + 5 } { <=slant } 0 ：
テは8キのどのーでトョートーでい
教県不等式的解条) \left\{ x \Big \vert - / { 5 } { 3 } < x <=slant 1 \right\}
(の中保岸ー0原不等式可化丸 ( x + 2 ) ( x + 5 ) < 0 中- - 5 { < x < - 2 } 改原不等式的解集 \{ x \mid - 5 { < x < - 2 \} } 中
川彝1解（T)原不等式可化刃12r-1(3r+120,3r+140,解得 ふくー一成ェンテテーニイーー成ェンす原不等式的解集レイイーー x >=slant / { 1 } { 2 } \Bigg \} の法ーー聖不キま丁を務 ( x + 3 > 0 ：あまト \{ 2 - x > x + 3 解得:一3くくー
・環不キ式的解条) \left\{ x \bigg \vert - 3 { < x < - / { 1 } { 2 } } \right\} 車法ニ見1彼ー120\mu / { 2 - x - ( x + 3 ) } { x + 3 } > 0 , / { 2 x + 1 } { x + 3 } < 0

原不等式可化力 ( x + 3 ) ( 2 x + 1 ) < 0 中* - 3 { < x < } - / { 1 } { 2 } 原不等式的解集) \left\{ x \Big \vert - 3 { < x < - / { 1 } { 2 } } \right\} き

例？ \{ x \mid - 2 < x < 3 \} ć x ^ { 2 } + p x + q < 0 的鮮集力 \left\{ x \Big \vert - / { 1 } { 2 } < x < / { 1 } { 3 } \right\} ュ
所以 x _ { 1 } = - { / { 1 } { 2 } } 町 x _ { 2 } = / { 1 } { 3 } 是方程 x ^ { 2 } + p x + q = 0 的西不実数根
自根号泉教的美都（丘ナニク\scriptstyle \displaystyle { \dot { p } = / { 1 } { 6 } } , 得所以ネ等式 q x ^ { 2 } + p x + 1 > 0 即丸- / { 1 } { 6 } x ^ { 2 } + / { 1 } { 6 } x + 1 > 0 , -整理得 x ^ { 2 } - x - 6 < 0 中解得一 2 { < } x { < } 3 即不等式 q x ^ { 2 } + p x + 1 > 0 的解集丸\{ x \mid - 2 < x < 3 \} 1
川禁 2 { { ~ rm ~ { ~ ~ } ~ } } { { B C D } } 因刃美子 \mathbf { \Psi } _ { x } 前不等式 a x ^ { 2 } + b x + c { <=slant } 0 的解集是 \{ x \mid x <=slant - 2 , 或 \scriptstyle x >=slant 6 \} -所以 ^ { - 2 , 6 } 是一元ニ次方程 a x ^ { 2 } + b x + c = 0 的函根旦 a < 0 店肌有 \left\{ \begin{array} { l l } { - 2 + 6 { = } { - } / { b } { a } , } \\ { { - } 2 { x } 6 { = } / { c } { a } , } \end{array} \right. 印 b { \stackrel { . } { = } } - 4 a - c = - 1 2 a 旦 \scriptstyle a < 0 , { A } 不正禰：不等式 b x + c > 0 化丸 - 4 a x - 1 2 a > 0 も印 x + 3 > 0 解得 _ { x > - 3 } -即不等式 b x + c > 0 的解集是 \{ x \vert x > - 3 \} R正禰:不等式 c x ^ { 2 } - b x + a < 0 化丸- 1 2 a x ^ { 2 } + 4 a x + a < 0 \ : 1 \ : 1 2 x ^ { 2 } - 4 x - 1 < 0 \ : 中
解 - / { 1 } { 6 } < x < / { 1 } { 2 } ュ図此不等式 c x ^ { 2 } - b x + a < 0 的解集是\left\{ x \bigg \vert - / { 1 } { 6 } < x < / { 1 } { 2 } \right\} ;正：言言 a + b + c = a - 4 a - 1 2 a = - 1 5 a > 0 , { D } 正禰故逸 BCD.

列：解（D隆低税率后的税率丸 ( 1 0 - x ) % 中 衣戸品的收量 a ( 1 + 2 x % ) 万担收駒息金 額刃 2 0 0 a ( 1 + 2 x % ) 万元. 依題意得 y = 2 0 0 a ( 1 + 2 x % ) ( 1 0 - x ) % 50a(00十2)(10ーイ)(0<<10) (2)原計却税收 2 0 0 a x 1 0 % = 2 0 a ( 万元. 依題意得 / { 1 } { 5 0 } a ( 1 0 0 + 2 x ) ( 1 0 - x ) >=slant 2 0 a x 8 3 . 2 % , 化筒得 x ^ { 2 } + 4 0 x - 8 4 <= 0 解得 4 2 { <=slant } x { <=slant } 2 中 又困刃 \scriptstyle 0 < x < 1 0 所以 0 { < } x { <=slant } 2 中 印 x 的取値弛国ヵ(0,2丁

川3 解 (1)像題意 \mod - n >= 0 / { 9 } { 2 } x - / { 1 } { 4 }
>= - { / { 1 } { 4 } } x ^ { 2 } + 5 x + { / { 7 } { 4 } } 整理得 x ^ { 2 } - 2 x - 8 >= 0
解得 x { >=slant } 4 或 x { <=slant } - 2 1 舍
企耶要成不損企毎月至少要生
台申机
(2)由(1丁知当 \scriptstyle 0 < x < 4 財企耶テ拐
揚都 { ~ i ~ } \ n - \ m = \left( - / { 1 } { 4 } x ^ { 2 } + 5 x + / { 7 } { 4 } \right) -
\left( { / { 9 } { 2 } } x - { / { 1 } { 4 } } \right) = - { / { 1 } { 4 } } ( x - 1 ) ^ { 2 } + { / { 9 } { 4 } } ,
:当 _ { x = 1 } 由 , n - m 取最大僧 / { 9 } { 4 } 中
財 m { = } / 9 2 { x } 1 { - } / 1 { 4 } { = } / { 1 7 } { 4 } , ラ
印当月息戸) / { 1 7 } { 4 } { F } 元時・金並根最戸重・
最大ラ摂額力 / { 9 } { 4 } π π 日

深堂送椋

レ人　「号不学式幸作子 \phantom { - } \int \left( x - 1 \right) \left( 2 x + 1 \right) <=slant 0 \binom ( x - 1 ) ( 2 * \qquad * チーナ マートイーイいーナイール\left( - / { 1 } { 2 } , 1 \right] . ]

り」「区をよげたる / { 1 + x } { 1 - x } - 1 > 0
* / { 1 + x - ( 1 - x ) } { 1 - x } { > } 0 , \Re / { 2 x } { x - 1 } { < } 0 ,
： 2 x ( x - 1 ) < 0 則 0 { < } x { < } 1
散原不等式的解集丸 \{ x \mid 0 { < } x { < } 1 \} -
3.150丁由 y - 2 5 x = - 0 . 1 x ^ { 2 } - 5 x + 3 ~ 0 0 0 <=slant 0 は
即 x ^ { 2 } + 5 0 x - 3 0 ~ 0 0 0 >=slant 0
解得 x { >=slant } 1 5 0 或ェ一200(舎去)
散生声夜声品不号本財的最低声量150台コ
4（2,3）T・不等式 a x ^ { 2 } - b x - 1 >= 0 前解集号
\left[ - { / { 1 } { 2 } } , - { / { 1 } { 3 } } \right]
- \therefore x _ { 1 } = - { / { 1 } { 2 } } , x _ { 2 } = - { / { 1 } { 3 } } 号方程 a x ^ { 2 } - b x - 1 = 0
ミーー a < 0
に。 x ^ { 2 } - b x - a < 0 丸 x ^ { 2 } - 5 x + 6 < 0
解得 2 { < } x { < } 3
・所求不等式的解集(2,3丁

塔伐裸 不等式的“恒成立”“能成立”司題

例L解（り当 k = 0 町原不等式化丸 - 2 < 0 中星紫荷合題意当 k { \neq } 0 財今 y = k x ^ { 2 } + 2 k x - ( k + 2 ) , 由 y { < } 0 在 bf { R } 上恒成立其図象都在 x 軸的下カ即番日向下旦与 x 軸无交点。ほくo14½2+4k(ト十210,解得 - 1 { < } k { < } 0 崇上英数 k 的取値范用是(一1,012 \scriptstyle * - x ^ { 2 } + 2 x + 3 = - ( x - 1 ) ^ { 2 } + 4 <=slant 4 , -又： - x ^ { 2 } + 2 x + 3 <=slant a ^ { 2 } - 3 a 対任意 _ x 恒成立' a ^ { 2 } - 3 a >=slant 4 即 a ^ { 2 } - 3 a - 4 >= 0 中解得 a <=slant - 1 或 \scriptstyle a >=slant 4 実数 a 的取値范国是(一0,一T1UL4.十80)

川銑TAL当 k = 0 財不等式 k x ^ { 2 } - 3 k x + 2 k + 1 { >=slant } 0 可化丸 1 { >=slant } 0 恒成立当 k { \neq } 0 財要満足美子 \mathbf { \Psi } _ { x } 的不等式 k x ^ { 2 } - 3 k x + 2 k + 1 >=slant 0 対任意 { \boldsymbol { x } } \in \mathbf { R } 恒成五兄番ま0。 \left\{ 9 k ^ { 2 } - 4 k \left( 2 k + 1 \right) <=slant 0 \right. 鮮得 \scriptstyle { 0 < k <=slant 4 } 奈上前取値范国是 \{ k \mid 0 { <=slant } k { <=slant } 4 \} 中散途A1

例？解 (1金 y = x ^ { 2 } + m x +4.ま y { < } 0 在1,21上恒成立:： \scriptstyle y = 0 的根一不在 ( - ∞ 中1上・男一不在 ( 2 , + ∞ ) - 0上図.則当 _ { x = 1 } 肘 y < 0 旦当 \scriptstyle x = 2 肘 y { < } 0 と
：霊 \phantom { } ( 1 + m + 4 < 0 」も\ 4 + 2 m + 4 < 0 解得 m { < } - 5 中実数 \mathbf { \Psi } _ { m } 的取恒弛囲是 ( - ∞ , - 5 ) .2 * x ^ { 2 } + ( a - 4 ) x + 4 - 2 a > 0 , x \in [ - 1 , 1 ] 4 酒成立即 x ^ { 2 } + a x - 4 x + 4 - 2 a > 0 , x \in [ - 1 , 1 1恒成五:： ( x - 2 ) a > - x ^ { 2 } + 4 x - 4 . 一中 - 1 { <=slant } x { <=slant } 1 中： x - 2 < 0 :\`： * a < / { - x ^ { 2 } + 4 x - 4 } { x - 2 } = / { x ^ { 2 } - 4 x + 4 } { 2 - x } = 2 - x . -\scriptstyle { \boldsymbol { y } } = 2 - { \boldsymbol { x } } 在一1,11上 _ y 陣 x 的増大両城小
“： \left( 2 - x \right) _ { { m i n } } = 1 ホ
' a < 1
散実教 \scriptstyle a 前取値范国是(一,1D川禁？ 解投 _ { y } = x ^ { 2 } +
2m一3,図所示由題意得当 x = 2 財{ < } 0 旦 \scriptstyle x = 3 財 y < 0 中印8十40
19+6m-3<0.m--1,実教 m 的取但弛園丸(--oo,--1.
例3解法役 y = x ^ { 2 } + x + m 即由ニ次岡教的図象知不等式 x ^ { 2 } + x + m > 0 \scriptstyle 1 <=slant x <=slant 2 ) 有解印 1 + 1 + m > 0 或 4 + 2 + m > 0 中解得 m { > } { - } 6 -英教 m 前取値造国 ( - 6 , + ∞ ) ：法二由題意得 m { > } { - } x ^ { 2 } { - } x 在 x \in [ 1 , 2 ] \operatorname { { { { L } } } } 有解肌 \mathbf { \Sigma } _ { m } 大千- - x ^ { 2 } - x 在1,21上的最小値炭 y = - x ^ { 2 } - x = - \left( x + { / { 1 } { 2 } } \right) ^ { 2 } + { / { 1 } { 4 } } 中在1,21上 , y 陣 x 前増大面猿小当 \scriptstyle x = 2 財 , _ { y } 耶得最小値 - 2 ^ { 2 } - 2 = - 6 中： m { > } { - } 6 .・英数 m 前取値弛国 ( - 6 , + ∞ ) ：
山芽：解 x ^ { 2 } - 2 x + 3 > 0 恒成立* { / { 4 x + m } { x ^ { 2 } - 2 x + 3 } } >= 2 龍成五可善化方 4 x + m >=slant ョミ2 x ^ { 2 } - 4 x + 6 即 m { >= } 2 x ^ { 2 } - 8 x + 6 有解。茶 y = 2 x ^ { 2 } - 8 x + 6 只需求 _ y 的最小値昆然 \scriptstyle x = 2 財 \scriptstyle * y _ { { m i n } } = 2 x 2 ^ { 2 } - 8 x 2 + 6 = - 2 まミ m >=slant - 2 中即央数 \mathbf { \Omega } _ { m } 前取値弛国是 - 2 , + ∞ ) 中

裸堂送椋

1.DT由不等式 \scriptstyle x ^ { 2 } + a x + b >= 0 前解集R得番数 y = x ^ { 2 } + a x + b 前図象番日向上旦与 x 軸至多有一不交点・印判別式 \scriptstyle \Delta = a ^ { 2 } - 4 b ^ { 3 } 0散辻D
2.ACL. x ^ { 2 } + 2 > m 在 bf { R } 上恒成立:： x ^ { 2 } + 2 - m > 0 恒成立只番 2 - m > 0 即 m { < } 2 恒成立,故透AC丁
3 \{ m \ : | m > - 5 \} 上起 y = x ^ { 2 } + m x + 4 即由二次図数的図象(図酪知不等式 x ^ { 2 } + m x + 4 > 0 言目目目目 ( 1 { < x } { < 2 } ) 有解即 m + 5 > 0 或 2 m + 8 > 0 解得 m > - 5 . ] ョョョ
4.(--0o,0) [由題意・得 a < / { x + 3 } { x ^ { 2 } } = / { 3 } { x ^ { 2 } } + / { 1 } { x } 中エe一3,一11上恒成 立.や m = / { 1 } { x } 官 m \in \left[ - 1 , - / { 1 } { 3 } \right] , a < 3 m ^ { 2 } + m 中 m \in \left[ - 1 , - / { 1 } { 3 } \right] 上虚 立。二次図数 y = 3 m ^ { 2 } + m 図象的対称軸宣袋m = - / { 1 } { 6 } 故当 m \in \left[ - 1 , - / { 1 } { 3 } \right] 町庭 m 的増大両減小。:当 m { = } - / { 1 } { 3 } 時・有最小但丸0故 a { < } 0 . ]

章末a提升

例解 ( A = \{ x \mid 2 <=slant x < 7 \} 中B { = } \{ x \vert 3 { < } x { < } 1 0 \} 所以 A \cup B = \{ x \mid 2 <=slant x < 1 0 \} 中因丸 A = \{ x \mid 2 { <=slant } x { < } 7 \} 中所以 \complement _ { \mathbf { R } } A = \{ x \mid x < 2 , \land \land x >= 7 \} 肌( \overset { * } { \underset { * } { \ln A } } ) \bigcap B = \{ x \mid 7 <=slant x < 1 0 \} 中(2 A = \{ x | 2 { <=slant } x { < } 7 \} , C { = } \{ x | x { < } a \} 中旦 A \cap C \neq { D } 所以 a > 2 中所以実教 a 前取値弛囲是 \{ a \vert a > 2 \} 中

川禁1 解 番で A = \left\{ x \left| { / { ( x ^ { 2 } - 1 ) ( x - 2 ) } { sqrt { x } } } = 0 \right. \right\} -
= \{ x \mid ( x ^ { 2 } - 1 ) ( x - 2 ) = 0 耳 { \boldsymbol { x } } { > } 0 \} = \{ 1 , 2 \} B { = } \{ x | ( x { + } a ) ^ { 2 } { = } 5 { - } 2 x \} { = } \{ x | x ^ { 2 } { + } 2 ( a { + } 1 ) x + a ^ { 2 } - 5 = 0 \} 中
若辻 ① 申AU B { = } A 得 B { \subseteq } A ロ
当集合 B = { O } 肘送千 x 的方程 x ^ { 2 } + 2 ( a + 1 ) x + a ^ { 2 } - 5 = 0 没有実教根

. \Delta = 4 ( a + 1 ) ^ { 2 } - 4 ( a ^ { 2 } - 5 ) < 0 , 解得 a < - 3 当集合 B \neq { D } 肘若集合 B 中只有一不元黍・奥 \Delta = 4 ( a + 1 ) ^ { 2 } - 4 ( a ^ { 2 } - 5 ) = 0 解得 \scriptstyle a = - 3 中此財 B { = } \{ x | x ^ { 2 } { - } 4 x { + } 4 { = } 0 \} { = } \{ 2 \} 存合題意：若集合 B 中有西不元泰・則 B = \left\{ 1 , 2 \right\} 18キ2ー2ー0中 時此方程塑毛解赤上実教 a 前取慎田丸 \{ a \mid a <=slant - 3 \} ：若歩 ② 由 \complement _ { \mathbf { R } } A ) \cap B = \emptyset 得 B { \subseteq } A -同理可得実数 a 的取値莵風 \{ a \mid a <=slant - 3 \} 若近 ③ 由 \complement _ { \mathsf { R } } B ) \cup A = \mathbf { R } . 得 B { \subseteq } A 同理可得宍数 a 的取値弛風 \{ a \vert a <=slant - 3 \} 中例2解（1A-エr-3r一10<0)-Iー2引：m = 3 財 , B = \{ x \mid ( x + 1 ) ( x - 5 ) <=slant 0 \} = \{ x \mid - 1 <=slant x <=slant 5 \} “..A \scriptstyle { J } B = \{ x \mid - 2 <=slant x <=slant 5 \} , -( 2 ) B = \{ x \mid ( x - 2 + m ) ( x - 2 - m ) <=slant 0 , m > 0 \} = \{ x | 2 { { - } } m { <=slant } x { <=slant } 2 { { + } } m \} 並の x \in A ”是“ェE”成立的充分不弘要条件 A 是 B 的真子集(0. (リ02ーmズー2,式2ーmくー2,12+m5 12+m35,I.m34.実教 m 前取但范国是4 + ∞ ) 近 ② * _ { x \in A } “是” x \in B 成立的弘要不充分者件, B 是 A 的子集n0 m0.・ュー川シー2,式(ビー州シー212十mく5 12+m5...0m-.3.実教 m 前取値范国是(0,3丁1

芽？ (TAB (2ß L(1)四 _ { 4 > 3 } 但 4 { < } 5 中
所以由 _ { x > } 3”不能進出 * _ { x } { > } 5 ^ { \prime \prime } 中但\*ェ5“能進出“ェ\*所以“ェ一"是“ェ一F"的以不充分永伴A正禰：因カ x { >=slant } 2 旦 y { >=slant } 2 所以 x + y >= 4 車
所以 * _ { x } { >=slant } 2 旦 y >= 2 ^ { \ast } 能進出“ x + y >=slant 4 ^ { \prime \prime } 中当 \scriptstyle x = 4 , y = 1 肘 x + y >=slant 4 但 y < 2 5所以\*ェ十ン4”不能進出” \scriptstyle \mathbf { \hat { \phi } } _ { x } >=slant 2 旦 y { >= } 2 ^ { \mathfrak { n } } も所以” x { >=slant } 2 旦 _ { y } >=slant _ { 2 } ^ { \varepsilon } ”是 x + y >=slant 4 ”的充分不要条伴R正硝：国ヵ不等式 a x ^ { 2 } + a x + 1 > 0 恒成立等竹子 a =
0成01a--4a<o,所以 style 0 <=slant a < 4 所以” \scriptstyle 0 < a < 4 ”不是“不等式 a , x ^ { 2 } + a x + 1 > 0 恒成立”前充要糸件C黌瀑：由 A B ^ { 2 } + A C ^ { 2 } = B C ^ { 2 } 可得 \triangle A B C 真角三角形:当 A B = 5 , A C = 4 , B C = 3 町 \triangle A B C 丸真角三角形但是 A B ^ { 2 } + A C ^ { 2 } \neq B C ^ { 2 } 円所以 \mathbf { \nabla } ^ { * } A B ^ { 2 } + A C ^ { 2 } = B C ^ { 2 } 不是' \triangle A B C 真角三角形”的充条件,D黌.散逸AR
2中 4 [ x ] ^ { 2 } - 1 6 [ x ] + 7 < 0 と
得(21一1(2Lrコ一7) { < } 0
肌以 / { 1 } { 2 } < [ x ] < / { 7 } { 2 } 因北 = 1 或 [ x ] = 2 或 [ x ] = 3 と
千是得 1 { <=slant } x { < } 2 或 2 { <=slant } x { < } 3 或 3 { <=slant } _ { - } x { < } 4 中印 1 { <=slant } x { < } 4 星然L1,31学L1,4)両澁項AC,D所対度的集合均不真包舎千L1;1,所以不等式 4 [ x ] ^ { 2 } - 1 6 [ x ] + 7 < 0 成立的一不
充分不要条伴是 1 { <=slant } x { <=slant } 3 中散逸R.1
例：解（D困 q 真令題 . a { > } 1 山
所以 a + { / { 1 } { a - 1 } } + 2 = a - 1 + { / { 1 } { a - 1 } } + 3
- >=slant 2 { sqrt { ( a - 1 ) * { / { 1 } { a - 1 } } } } + 3 = 5 , -当旦々当 a - 1 { = } / { 1 } { a - 1 } 即-2時等号成立所以 m + 2 { sqrt { 2 } } <=slant 5 即 m { <=slant } 5 { - } 2 { sqrt { 2 } } 所以 m 前耶値弛園丸 ( - ∞ , 5 { - } 2 { sqrt { 2 } } ] 2由 \boldsymbol { \mathbf { \rho } } _ { P } 丸真命題得 \Delta = ( m - 2 ) ^ { 2 } - 4 >= 0 時解得 m { <=slant } 0 或 m >=slant 4 キ所以当 \boldsymbol { \mathbf { \mathit { \Pi } } } _ { P } 真命題町 m { <=slant } 0 或 m { >=slant } 4 中又 q 假命題町 m { > } 5 { - } 2 { sqrt { 2 } } ：故 \mathbf { \nabla } _ { m } 満足 \{ m \mid m <=slant 0 , 或 m >=slant 4 \} ñ \{ m \ : | \ : m > 5 - 2 sqrt { 2 } \} = \{ m \ : | \ : m >= 4 \} ：所以実教 \mathbf { \Omega } _ { m } 前取慎弛国丸 \{ m \vert m >=slant 4 \} -
川：MDB2CMD由全称量司命題的香定是存在量司命題可却命題 p : \forall x \in \mathbf { R } , x ^ { 2 } + | x | >= 0 的香定是: \exists x \in \mathbf { R } , x ^ { 2 } + \vert x \vert < 0 . 散逸R(2対任意的 x \in [ 1 , 5 ] , a x ^ { 2 } - x - 4 > 0 , 官 a > / { 4 } { x ^ { 2 } } + / { 1 } { x } ま因カL1,51 / { 1 } { 5 } { <=slant } / { 1 } { x } { <=slant } 1 中{ \bigl [ } { \bigl | } { / { 4 } { x ^ { 2 } } } { + } { / { 1 } { x } } \in { \bigl [ } { / { 9 } { 2 5 } } , 5 { \bigr ] } { { ~ , ~ } } 所以 a > 5 散站
例4(8（2)9 Lp _ { a > 0 , b > 0 } 耳 a + 2 b = 1 \begin{array} { r l } & { \quad \therefore / { 2 } { a } + / { 1 } { b } = \left( / { 2 } { a } + / { 1 } { b } \right) ( a + 2 b ) } \\ & { = 4 + / { 4 b } { a } + / { a } { b } >=slant 4 + 2 sqrt { / { 4 b } { a } * / { a } { b } } = 8 , } \\ & { \quad / { \Psi } { a } \operatorname { d } \mathscr { K } \stackrel { \circ } { = } \left\{ / { 4 b } { a } - / { a } { b } , \operatorname { i } \left\{ \begin{array} { l } { a = / { 1 } { 2 } , } \\ { b = / { 1 } { 4 } } \end{array} \right. , / { a * b } { \mathscr { G } } \right\} } \end{array} -号成立・： / { 2 } { a } + / { 1 } { b } 円最水僧丸。( 2 ) \because x > - 1 は\therefore x + 1 > 0 中* / { ( x + 5 ) ( x + 2 ) } { x + 1 } { = } / { x ^ { 2 } + 7 x + 1 0 } { x + 1 } （エ+I?+5(エ+D+4エ十1-+リ+ト ++5>=slant 2 { sqrt { ( x + 1 ) * { / { 4 } { x + 1 } } } } + 5 = 9 , 当旦仮当 x + 1 { = } / { 4 } { x + 1 } 中即ェー1時等号歳立蔵エ十シ十2日 的最小カ9
川券 ^ { 4 } - (1A 因丸 a > 0 , b > 1 旦 a + b = 5 中
- e \begin{array} { l } { { { ~ \operatorname* { mu } ~ } _ { a } + b - 1 = 4 , / { 2 } { a } + / { 1 } { b - 1 } = \left( / { 2 } { a } + / { 1 } { b - 1 } \right) [ a + 1 - c ] } } \\ { { { ~ \operatorname* { mu } ~ } _ { ( b - 1 ) } ] x / { 1 } { 4 } } } \\ { { { ~ \operatorname* { mu } ~ } _ { a } = / { 1 } { 4 } \left[ 3 + / { 2 ( b - 1 ) } { a } + / { a } { b - 1 } \right] } } \\ { { { ~ \operatorname* { mu } ~ } _ { β + / { 1 } { 4 } } \left[ 3 + 2 sqrt { / { 2 ( b - 1 ) } { a } * / { a } { b - 1 } } \right] } } \\ { { { ~ \operatorname* { mu } ~ } _ { a } = / { 1 } { 4 } \left( 3 + 2 sqrt { 2 } \right) , } } \end{array}
-当豆夜当2(ーツ) { / { 2 ( b - 1 ) } { a } } = { / { a } { b - 1 } } 即 a = 8 - 4 { sqrt { 2 } } , b = 4 { sqrt { 2 } } - 3 肘等号成立,散辻A( 2 ) / { 4 } { 7 } L知正教 { \bf \Pi } _ { a , b } 満足 a + b = 1 ま肌( \begin{array} { r } { i a + 2 ) + ( 3 b + 2 ) = 7 , } \end{array} / { 1 } { 3 a + 2 } + / { 1 } { 3 b + 2 } -3a十21+(3十2) （ミキタナシキ)-」一( シ+2)
ー当月夜当ー3キク島 a = b = { / { 1 } { 2 } } 町等号成立.日北 / { 1 } { 3 a + 2 } + / { 1 } { 3 b + 2 } 白最小丸 / { 4 } { 7 } ロ

例5解（1り假及条件の＠待合題意由 \scriptstyle a = - 1 知一元ニ次図数的図象千日向下: y < 0 的解集不可能力 \{ x \mid - 1 { < x < 3 } \} 不精足題意：假永件 ② { 3 } 待合題意酒 a = - 1 知一元ニ次図数的図象千日向下・无最小値,不満足題意

満足題意的荼件 ① ③ ロ
・不等式 y < 0 的解集 \{ x \vert - 1 { < x < 3 } \}
一13是方程 a x ^ { 2 } + b x + c = 0 的南根旦 a { > } 0 ト\therefore - 1 + 3 = 2 = - { / { b } { a } } , - 1 x 3 = { / { c } { a } } ,
印 b { = } { - } 2 a , c { = } { - } 3 a ：
番数 \scriptstyle y = a x ^ { 2 } + b x + c 在 x = - { / { b } { 2 a } } = 1 ー1処取得最小値 - 4 -
' a + b + c = - 4 a = - 4 即 a = 1 中
:： b = - 2 , c = - 3 ロ
(2)由(1)知 y = x ^ { 2 } - 2 x - 3 円
則 y \ge ( m - 2 ) x + 2 m ^ { 2 } - 3 は
即 x ^ { 2 } - m x - 2 m ^ { 2 } >= 0
印 \left( x + m \right) \left( x - 2 m \right) >=slant 0.
当 m { < } 0 町不等式的解集
\{ x \mid x <=slant 2 m 或 x { >=slant } { - } m \}
当 m = 0 町不等式的解集 bf { R }
当 m { > } 0 町・不等式的解集丸
\{ x \mid x >=slant 2 m 或 x { <=slant } - m { \ : } ) 中

川彝5解（T由不等式 - x ^ { 2 } + a x + b > 0 的解集 ( - 6 , 2 ) 知一62是 x ^ { 2 } - a x - b = 0 的西不根所めビニーのメーー12。 解得2当 b = 1 - a 財・則原不等式力 - x ^ { 2 } + a x + ( 1 - a ) { > } 0 中印 x ^ { 2 } - a x + ( a - 1 ) < 0 中即 x - ( a - 1 ) ] ( x - 1 ) { < } 0 . 当 a - 1 = 1 印 \scriptstyle a = 2 町・原不等式的解集α：当 a - 1 { < } 1 即 a < 2 町原不等式的解集力( a - 1 , 1 ) 当 a - 1 > 1 印 a { > } 2 財原不等式的解集ヵ(1a - 1 ) 捺上当 a < 2 財不等式的解集刃 ( a - 1 , 1 ) 中当 a = 2 町不等式的解集力 { D } 当 a { > } 2 財不等式的解集力 ( 1 , a - 1 ) 中

例6解（T由題意可却毎屯平均加工外理成本/ { y } { x } = / { x } { 3 } + / { 2 7 0 0 } { x } - 3 0 >= 2 sqrt { / { x } { 3 } * / { 2 7 0 0 } { x } } - 3 0 = 3 0 ,
当見名者ー,720印 \scriptstyle x = 9 0 ( 満足 _ { x \in } L75,100)町,等号成 立.故企耶毎周加工外理量ヵ照聴財・オ能使毎聴品的平均加工先理成本最低(2没夜草位毎周茨利力 s \ \bar { π } ーイ \begin{array} { l } { { \displaystyle \mathbb { I } \| \ s = 1 6 x - y = - / { 1 } { 3 } x ^ { 2 } + 4 6 x - 2 \ 7 0 0 } } \\ { { \displaystyle = - / { 1 } { 3 } ( x - 6 9 ) ^ { 2 } - 1 \ 1 1 3 , } } \end{array} - x \in [ 7 5 , 1 0 0 ] 中当 x = 7 5 時 s _ { \operatorname* { m a x } } = - 1 125.散茂企耶不芽利・市政府毎周至少番要社站1125元オ能不号.

川6解（1由題意可知却除支出后的逸收入 y = 1 6 x - \left( x ^ { 2 } + 2 x + 1 6 \right) , x \in \mathbf { N } _ { + } 中茶 1 6 x - ( x ^ { 2 } + 2 x + 1 6 ) > 0 中解得 \scriptstyle 7 - { sqrt { 3 3 } } < x < 7 + { sqrt { 3 3 } } -： \boldsymbol { x } \in \mathbf { N } _ { + } . x \in [ 2 , 1 2 ] 耳 { \bf \Phi } _ { x } \in { \bf N } _ { + } 中即八第ニ年千始盈利。{ \left( { 2 } \right) } y = 1 6 x - { \left( { x ^ { 2 } } + 2 x + 1 6 \right) } , x \in { \mathbf { N } } _ { + } { 1 } y = 1 6 x - ( x ^ { 2 } + 2 x + 1 6 ) = - ( x - 7 ) ^ { 2 } + 3 3 , 所以当 \scriptstyle x = 7 財・登利息額弘到最大値3所以7年財同共登利34万：② 年平均利 \scriptstyle \displaystyle p = { / { y } { x } } = { / { 1 4 x - x ^ { 2 } - 1 6 } { x } } = 1 4 - \left( x + { / { 1 6 } { x } } \right) <=slant 6 , -当豆匂当 \scriptstyle x = { / { 1 6 } { x } } \sharp \ x = 4 町等号成立。所以 \phantom { - } 4 年町同共葺利 6 x 4 + 1 0 = 3 4 万西不方案盈利数一祥但是方案二町阿短比合算

第二章　数

\ S 1 生活中的変量美系

探究1提示身高増加体重不一定増加・体重増加延与不人忻食生活引愷等有栄・身高増加与体重増加有一定美職性但身高増加央定不了体重是香増加

探究？ 提示 毎取一不 \mathbf { \chi } _ { t } 恒有唯一一不 h 置与乙対度

知益理

2毎一不値 唯一禰定 函数 自変量 因変量圓1解（I却財同与温度十示数具有依穀夫奈根据番教的定人知ニ者之同存在番教栄系日学却町同是自変量温度計示教是国変量。2商品的籠魯額与告張商不変量在現実生活中存在依穀美承・但商品前額受他困黍前影・比如彦品的廣量併搭・魯后服分等・所以商品的籠額与告暮と同是不禰定性美系即不是番教夫承3)家庭的食品支出与申祝机竹格之同没有依薪美荼・更不具有番勢美荼。4高ヰ公露上均連行喪的覧革所走的露程与財同五南不交畳存在仁親美荼旦寸子毎一イ計同朗値露程是雅一禰定前国北官仰之同存在番執栄系旦財同是自菱量露程是困変量崇上可却（(1(4)中的変量両具有依親栄荼・目是歯数美系（2)中吏量同存在依親栄烝・但不是番勤美荼中両変量不存在侍穀美承更不具有番数芙糸

川禁解 ① 中球的任一半名 r 都有唯一禰定的体税 V 与之対度：の周 1 0 { ~ m ~ } 前矩形宮的一辻 x 禰定官的等 _ { y } = 5 - _ { x } 唯一禰定:③ 中家庭收入与其消善支出之同存在依親美承・但具有不禰定性：④ 中底面釈一定的方体・官的高 h 与体税 V 満足正比例芙丞.奈上可知の2の中西不交量同存在図数夫系

例？解（上午8財温号 0 \ % 全天最高五温大五是 { C } 全天最低与温大是一？C
2大在о財8財和22財・却温ヵоC.
3大在8尉到22財z同,温在C以上自交量0二三24,因交畳一2三T二9寸千財同”的毎一不値・都有唯一硝定的“ュ温千”値和官対盛由千図衆是珪葉的・可却官仰之同具有臨煮町同的増加温先膵再井再峰的変化意勢。刑奈？C人亮亮的体温交化可以看出図象度カ早忌37C以上7C(中キリ番37C以上筅上37C(半夜)合図象・只有C項符會コ
探究3提示番教的解析式的不教是一不特点号自変量的耶値范園不同・即対度的留教的解析式也不一祥
探究4提示当 0 { <=slant } x { <=slant } 2 0 町 , y = 1 0 0 x 当 \scriptstyle { x } > 2 0 財 \begin{array} { r } { { \bf \nabla } _ { y } = 1 0 0 x 2 0 + ( x - 2 0 ) x 9 0 , } \end{array} -印 y = 9 0 x + 2 0 0 キtt { \xi } _ { y } = \left\{ { 1 0 0 x , 0 <=slant x <=slant 2 0 } , \right.

知硫理

対瓜美丞

例：解 由図象可知 y = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 . 6 5 x , 0 { <=slant x } { <=slant } 1 0 0 } \\ { 0 . 8 x - 1 5 , x > 1 0 0 . } \end{array} \right. 川3 解 番数的図象如図所示

裸堂送椋

1A税雪屋対越冬作物具有防赤保暖的作用大雪可以防正土堪中的黙量向外散度・又可阻正外界空的侵入・具有増珣肥田前作用所以下雪与来キ的キ收具有依頼美丞・但不是笛数栄系コ
2ARLA,BC是依親芙烝・両D是依頼芙祭又是騒数芙糸・散辻ARC
3. ③ LOの毛栄系. ③ 有依穀美系・但不是画数夫承・只有＠是番数栄系コC2t .ero, i.
4yー 2e1,23.エeL2,+0.

s数

21 田数慨念

探究提示寸度美系度 s = 3 5 0 t 中 t \in A _ { 1 } = \{ t | 0 { <=slant } t { <=slant } 0 . 5 \} s \in B _ { 1 } = \{ s \mid 0 <=slant s <=slant 1 7 5 \} 是番教寸子教集 A _ { 1 } 中的任一町刻 \mathbf { \chi } _ { t } ^ { } 按照弦稗対度栄永在教集 B _ { 1 } 中都有唯一禰定的路程 s 和官対度:

探究？提示エ寮 w 是一周工作夭教 d 的番教寸度栄荼 \scriptstyle w = 3 5 0 d 其中 d \in A _ { 2 } = 11,2:3,4,5.6 { \boldsymbol { w } } \in B _ { 2 } = 350,700,1 050,1 400,1 750,2 1001,寸千集 A _ { 2 } 中的任ー不エ作教 d 接照玄利寸度栄荼在教集 B _ { 2 } 中都有唯一禰定的工寮 w 与其対度

探究： 提示 不是自交量的取値芝国不一祥知硫理

: 対度美系 f - 毎一不数 x 唯一硝定 」自変量 値域

例1 (IDACD 対千 { A } , x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 1 可化丸 y = ± { sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } 昆然対任意 x \in A ( x = ± 1 除外言 _ y 値不唯一・故不符合番数的定文：対千B．符合番澂的定メ対千 { C } , 2 \in { \cal A } 此財対度美毛意文・鼓不符合番教的定文：寸千 { D } , 2 \in { \cal A } 但在集合 B 中技不到与相寸度前教・故不社合図勤的定メ司2 ⑤ TOf(エ)与 g ( x ) 的定メ域不同不是同一介閣数：のfア)与 g ( x ) 的対度美系不同不是同一不教：{ 3 } f ( x ) = | x + 3 | 与 g ( x ) 前対度美系不同不是同一不番数：- ④ f ( x ) 町 g ( x ) 的定メ城不同・不是同一不留数:のfの与 g ( x ) 的定メ城対度美系皆相同,散是同一不番教1

川毎1 1D (2)ACD (寸子A番数的定文城L0.1不待合題意・散A不正禰：対千B,一不 x 前値対盛多不 _ y 値不社合図数的概金・散E不正禰対子C．番教的値壌0,2不符合題意・故C不正禰：対子D．図教的定メ堪カ0,2値域刃1,2満足題意・散D正禰.(2寸子 { A } , f ( x ) = x ^ { 2 } - 2 x - 1 的定メ域ヵRg ( s ) = s ^ { 2 } - 2 s - 1 的定メ城カR定メ城相同:寸度美承也相同是同一不図教：対千 { B } , f ( x ) = { sqrt { - x ^ { 3 } } } = - x \ { sqrt { - x } } 的定文域石 \{ x \mid x <=slant 0 \} g \left( x \right) = x \ sqrt { - x } 前定文城\{ x \vert x <=slant 0 \} 対度美系不同不是同一不番教：対千 \mathbf { C } , f ( x ) = / { x } { x } = 1 的定メ域 \{ x \mid x \neq 0 \} g ( x ) = { / { 1 } { x ^ { 0 } } } = 1 的定メ城力 \{ x \vert x \neq 0 \} 定メ城相同寸位芙承也相同・是同一不番数：対千 { D } , f ( x ) = x 的定メ域 \mathbf { R } , g \left( x \right) = sqrt [ 3 ] { x ^ { 3 } } { } = { x } 的定文壊ヵR寸度美系相同・是同一不図教,散近ACD

例？ と \mathbf { \Sigma } _ { 1 ) } ^ { 1 ) } \left[ / { 1 } { 3 } , / { 5 } { 3 } \right] - 由 - x ^ { 2 } + 2 x + 3 >= 0 解得
一1
即留教 f ( x ) 的定メ域カー1,31
田 - 1 { <=slant } 3 x - 2 { <=slant } 3 解得 / { 1 } { 3 } <=slant x <=slant / { 5 } { 3 }
則爵数 f ( 3 x - 2 ) 由定ス送力 \left[ { / { 1 } { 3 } } , { / { 5 } { 3 } } \right] . ]
2解 ① 要使図教有意メ・自変量 x 的取値以エ-1子0.
須満足 / { 2 } { x + 1 } >= 0 解得 x { > } { - } 1 田 \scriptstyle x \neq 1 中x + 1 \neq 0 中
所以玄不番教的定メ域 \{ x | x > - 1 , \mathbb { E } x \neq 1 \}
② 要使番数有意文・自変量 \scriptstyle { { x } } 的取慎以類満足
( x + 1 7 - 0 ナ
_ { 1 - x >=slant 0 } ま
解得 x { <=slant } 1 耳 x \neq - 1 店
即番数定文域 \{ x \vert x { <=slant } 1 旦 \vert x \ne - 1 \} 中

川筇2 1C 要使図勤有意文・自変量 \scriptstyle { { x } } 的取福多泉道足 \left\{ { \begin{array} { l } { 2 x - 1 >=slant 0 } \\ { x ^ { 2 } - 1 \neq 0 } \end{array} } \right. \left\{ x >=slant { / { 1 } { 2 } } \right. \scriptstyle x neq ± 1 」

x { >=slant } { / { 1 } { 2 } } _ { x \neq 1 } お
( 2 ) [ - 1 , 5 ] _ { x \in }
\scriptstyle * - 1 <=slant 2 x - 1 <=slant 5
番数 f ( x ) 的定メ域カ一1,51コ別3 (1)解 ① 国鬼 f ( x ) = { / { 1 } { 1 + x } } モ
所以 f ( 2 ) = / { 1 } { 1 + 2 } = / { 1 } { 3 }
又因丸 g ( x ) = x ^ { 2 } + 2 所以 g \left( 2 \right) = 2 ^ { 2 } + 2 = 6 ま{ 2 } f ( g ( 2 ) ) = f ( 6 ) = / { 1 } { 1 + 6 } = / { 1 } { 7 } .
{ 3 } f ( a + 1 ) = / { 1 } { 1 + ( a + 1 ) } = / { 1 } { a + 2 } .
g ( a - 1 ) = ( a - 1 ) ^ { 2 } + 2 = a ^ { 2 } - 2 a + 3 ,
④ 因丸 g ( a ) = a ^ { 2 } + 2 = 4 所以 a ^ { 2 } = 2 , a = ± { sqrt { 2 } } 中(2解 \Phi ^ { \bullet \bullet } sqrt { x } >=slant 0 , \therefore sqrt { x } - 1 >=slant - 1 中
:： \scriptstyle y = { sqrt { x } } - 1 的値城 [ - 1 , + ∞ )
{ \mathfrak { D } } ^ { * } x \in \{ - 2 , - 1 , 0 , 1 , 2 , 3 \} も
把 x 的値分別代 \scriptstyle \setminus y = x ^ { 2 } - 2 x + 3 得 _ { y = 1 1 , 6 } 市3,2,3,6.
“ y = x ^ { 2 } - 2 x + 3 前値域刃2:3,6,11人
{ 3 } y = / { 2 x + 1 } { x - 3 } = / { 2 ( x - 3 ) + 7 } { x - 3 } = 2 + / { 7 } { x - 3 } . ョ
記然 ニー$f0.チ2
散番数的値城刃(一,2U(2十C)
④ 斗 t = { sqrt { x - 1 } }
川 \scriptstyle t >= 0 耳 \scriptstyle x = t ^ { 2 } + 1 中
\therefore y = 2 ( t ^ { 2 } + 1 ) - t - A
ー
由 t >=slant 0 告合番数的
図象丁得原番数的値
城丸 \left[ { / { 1 5 } { 8 } } , + ∞ \right)

川淋3 1B (2)RC I1因丸 f \left( x \right) = 「エー2ェ0,π , x = 0 中_ { 0 , x < 0 } リ所以 f ( 1 ) { = } 1 ^ { 2 } { - } 2 { = } { - } 1 , f ( f ( 1 ) ) { = } f ( - 1 ) { = } 0 , -f ( f ( f ( 1 ) ) ) = f ( 0 ) = π 散透R- 2 ) { \stackrel { \bullet \bullet } { * } x ^ { 2 } } + 3 x + 2 { >= } 0 , { \dot { \bullet } } { * } y = { sqrt { x ^ { 2 } + 3 x + 2 } } >= 0 , 散其慎域 [ 0 , + ∞ ) ・A不存合題意：中 \therefore y = x ^ { 2 } + x + / { 1 } { 4 } = \left( x + / { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } >=slant 0 , 灰 x \neq - { / { 1 } { 2 } } 勇教的値城 ( 0 , + ∞ ) 「…B苻合題意：：・「 * \ _ { y } = / { 1 } { \left| \boldsymbol { x } \right| } > 0 ・番数的値力 ( 0 , + ∞ ) .…℃符合題意：： y = 2 x + 1 \in \mathbf { R } , \therefore { D } 不社合題意.散逸BC門

裸堂送椋

I．BLA中的定メ城不是一2,2．C中図形不満足曜一性D中前値域不是L02散號R
2BL対千A．前者定メ城ヵR．后者定メ城カ\{ x \vert x \ne 1 \} 不是同一不番澂：対千B墨紫変量的表示符号不同・但定文城和対度美烝均相同是同一不留数：対千C星紫対盛美兼相同・但定文不同・不是同一不番数:対千D星器定域相同但尹度美余不同下是同一不番数コ
3. (--80,0U0,1] 因丸 f ( x ) 与 g ( x ) 丸同一不図数則 f ( x ) 与 g ( x ) 前定文城相同:所以 f ( x ) 的定文塚番満足にーの1に 即 x { <=slant } 1 旦 x \neq 0 . ]
4.1-1,1,3,5.,7トL. x = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 対度的f ( x ) 分別カ一1,1,3:5,7.-： f ( x ) 前値域カ一1,1,3,5,71丁

22 函数的表示法

探究1 提示 分別用解析式列表格図象表示対度芙系・宅仰都是番数美系

知硫理

数学表送式 圏象 表格例1 解 (り列表法:

2図象法：

(3)解析法 \mathfrak { z } . \mathfrak { y } = 3 \ 0 0 0 . { x } , { x } \in \left. 1 , 2 , 3 , *s , 1 0 \right. 刑禁1解迅不番教的定メ域 \{ x \mid 1 <=slant x < 1 0 x \in \mathbf { N } _ { + } ^ { } { 1 } :① 解析法 : S = \left( / { x } { 4 } \right) ^ { 2 } + \left( / { 1 0 - x } { 4 } \right) ^ { 2 } . 「将上式整理得 S = { / { 1 } { 8 } } x ^ { 2 } - { / { 5 } { 4 } } x + { / { 2 5 } { 4 } } , x \in \{ x \mid 1 { <=slant } x { < } 1 0 , x { \in } \mathbf { N } _ { + } \ \} ：

＠列表法：

③ 図象法：

例？ 解 (1)夜番教的象如図 ① 所示由図可知値城 \{ - 3 , 1 , 2 , 3 \} 中

(2作出留数ッニー一 y = - / { 4 } { x } , x \in [ - 3 , 0 ) \bigcup ( 0 , 1 ] 的 四象如図 ② 所示由図象可知値域 -00-4uT+ (3)作出番教 y = x ^ { 2 } + 4 x + 1 , x \in [ - 3 , 0 的図 象如図 ③ 所示由図象可知値域一3,11

川芽？ 解 eョョ ( 1 ) f ( x ) = \left\{ { x ^ { 2 } - 4 x , x >= 0 } \right. 其図象如下:

(2)由題意知 y = x - [ x ] = x - ( k - 1 )
其中 k - 1 { <=slant } x { < } k \left( k \in \mathbf { Z } \right) 中
其図象如下:
I3解（1法一(換元法)\scriptstyle { t = { sqrt { x } } + 1 } x = ( t - 1 ) ^ { 2 } ( t >= 1 ) 中所以 f ( t ) { = } ( t { - } 1 ) ^ { 2 } { + } 2 ( t { - } 1 ) { = } t ^ { 2 } { - } 2 t { + } 1 { + } 2 t - 2 = t ^ { 2 } - 1 +所以 f ( x ) { = } x ^ { 2 } - 1 ( x { >= } 1 ) 中法二(配奏法)
四刃 x + 2 sqrt { x } = ( sqrt { x } ) ^ { 2 } + 2 sqrt { x } + 1 - 1 = ( sqrt { x } +
1 ) ^ { 2 } - 1 中
所以 f ( { sqrt { x } } + 1 ) = ( { sqrt { x } } + 1 ) ^ { 2 } - 1 ( { sqrt { x } } + 1 >=slant 1 ) 所以 f ( x ) { = } x ^ { 2 } - 1 ( x { >= } 1 ) (2(待定承教法)因 f ( x ) 是一次番数
可及 f ( x ) = a x + b ( a \neq 0 ) 所以有 3 [ a ( x + 1 ) + b ] - 2 [ a ( x - 1 ) + b ] { } = 2 x + 1 7
岡 a x + 5 a + b = 2 x + 1 7 \displaystyle { \{ \bar { \zeta } a = \bar { z } , } _ { a { \bar { α } } + b = 1 7 }
毎 \scriptstyle ( a = 2 b { = } 7 故 f ( x ) 前解析式是 f ( x ) { = } 2 x + 7 (3(解方程望去)国丸 f ( x ) + 2 f ( - x ) = x ^ { 2 } + 2 x , 所以ヤ x 換成 - x 得 f ( - x ) + 2 f ( x ) = x ^ { 2 } - 2 x 中
鴟立以上西式消去 f ( - x ) -得 3 f ( x ) = x ^ { 2 } - 6 x 士
所以所求雷教解析式 f ( x ) { = } / { 1 } { 3 } x ^ { 2 } { - } 2 x

川筇：解 (及 f ( x ) { = } a x ^ { 2 } { + } b x { + } c ( a { \neq } 0 ) 即 f ( x + 1 ) + f ( x - 1 ) = a ( x + 1 ) ^ { 2 } + b ( x + 1 ) ョョ+ c + a ( x - 1 ) ^ { 2 } + b ( x - 1 ) + c = 2 a x ^ { 2 } + 2 b x + 2 a + 2 c 中が * f ( x + 1 ) + f ( x - 1 ) = 2 x ^ { 2 } - 4 x * ・： 2 a = 2 も{ \dot { 2 } } b = - 4 style { \left\lfloor 2 a + 2 c = 0 , \quad \right\lfloor { c = - 1 } } “： f ( x ) = x ^ { 2 } - 2 x - 1 (2)・（ューー）ーェ+ー（ニーナ）+2,イ \scriptstyle { t = x - { / { 1 } { x } } } “： f ( t ) = t ^ { 2 } + 2 中野 f ( x ) = x ^ { 2 } + 2 . (3fふ十2r(ー)ーエ;月一代住ェ得(ー)+のリー消き（一)毎丁のーニーチ(学o)。髷数 f ( x ) 的解析式f ( x ) { = } / { 2 } { 3 x } { - } / { x } { 3 } ( x { \neq } 0 ) . -

裸堂辻

TRLA中値域 \{ y \vert 0 <=slant y <=slant 2 \} 散黌C,D中 置壊刃 \left. 1 , 2 \right. 故鯖・故去R
2DT由題中表格得 f ( - 1 ) = - 1 , g \left( 3 \right) = - 4 中 一 * f ( f ( - 1 ) - g ( 3 ) ) = f ( - 1 - ( - 4 ) ) = f ( 3 ) 一5散斑D
32T由題四知 f ( 2 ) = 0 , f ( f ( 2 ) ) = f ( 0 ) = 4 中 - \therefore f ( f ( f ( 2 ) ) ) = f ( 4 ) = 2 . ]
4:31 - 5 [ \because f ( x + 1 ) = 3 x - 2 = 3 ( x + 1 ) - 5 ( x + 1 ) - 6 ] : f ( x ) = 3 x - 5 . ]

塔伐深 分段函数的宗合問題

例解当 - 3 <=slant x < - 1 町図教 f ( x ) 的図象是一荼歩設(右瑞点除外＆ f ( x ) = a x + b ( a \neq 0 ) 「特( - 3 , 1 ) , ( - 1 , - 2 ) 代入千 style { \binom { - 3 a + b = 1 , } { - a + b = - 2 } } 」\displaystyle { \big ( a = - / { 3 } { 2 } }

所以 f ( x ) = - { / { 3 } { 2 } } x - { / { 7 } { 2 } } rr
印 - 1 { <=slant } x { < } 1 肘,同理,可役 f ( x ) { = } c x { + } d \left( c { \neq } \right. の箸 ( - 1 , - 2 ) ,1代入.
丁袋 \scriptstyle * f ( x ) = { / { 3 } { 2 } } x - { / { 1 } { 2 } }
印 \scriptstyle 1 <=slant x < 2 財 f ( x ) { = } 1 リ
崇上所途
f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { - \displaystyle / { 3 } { 2 } x - \displaystyle / { 7 } { 2 } , - 3 <=slant x < - 1 , } \\ { \displaystyle / { 3 } { 2 } x - \displaystyle / { 1 } { 2 } , - 1 <=slant x < 1 , } \\ { \displaystyle 1 , 1 <=slant x < 2 . } \end{array} \right. -

川弥 ^ 1 解 （T)図象法：在同二平面真角坐称系中画出留数 f ( x ) , g ( x ) 削図象図 ① ：

図の

由図の中番数的取値情況結合数 \varphi ( x ) 的定メ,可得番数 \varphi ( x ) 的困象,如図e.

四の

解析法：金一 x ^ { 2 } + 2 = x 得 \scriptstyle x = - 2 式 _ { x = 1 }
所以 \varphi ( x ) 的解析式
\varphi ( x ) = \left\{ { \begin{array} { l } { - x ^ { 2 } + 2 , x <=slant - 2 } \\ { x , - 2 < x < 1 , } \\ { - x ^ { 2 } + 2 , x >=slant 1 . } \end{array} } \right.
(2)由題意知 \varphi ( x ) 的定メ域丸R
由図＠知 \varphi ( x ) 的値域カ(一0,11

例？ 解 (1)因丸 f \left( { / { 1 } { 2 } } \right) = \left| { / { 1 } { 2 } } - 1 \right| - 2 = - { / { 3 } { 2 } } . \begin{array} { r l } & { β { { f } } \ c h \ f \left( f \left( / { 1 } { 2 } \right) \right) = f \left( - / { 3 } { 2 } \right) } \\ & { = / { 1 } { 1 + \left( - / { 3 } { 2 } \right) ^ { 2 } } { = } / { 4 } { 1 3 } . } \\ & { ( 2 ) / { ± β } { sqrt { 3 } } \left| a \right| <=slant 1 , \Re \left| a - 1 \right| - 2 { = } / { 1 } { 3 } , } \end{array}

座 a = / { 1 0 } { 3 } 博 a = - { / { 4 } { 3 } } 困 | <=slant 1 所以 \scriptstyle a 的値不存在: 若i1ン1,) / { 1 } { 1 + a ^ { 2 } } = / { 1 } { 3 } * ま 得 a = ± { sqrt { 2 } } 社合 | a | > 1 . - 奈上前 ± sqrt { 2 } 中

川等？ 1Å \left[ f ( 5 ) = f ( f ( 1 0 ) ) , f ( 1 0 ) = \right. f ( f ( 1 5 ) ) = f ( 1 8 ) = 2 1 : f ( 5 ) = f ( 2 1 ) = 2 4 . 散澁A2(-,-3）「当 a <=slant - 2 肘: f ( a ) = a < 一3此財不等式的解集是 ( - ∞ , - 3 ) 車当 - 2 < a < 4 肘 , f ( a ) = a + 1 < - 3 此肘毛解：当 a { >=slant } 4 肘 f ( a ) = 3 a < - 3 此財毛解.故 a 的取値弛国是 ( - ∞ 一3.1

例3解（1由業市居民用木様水竹表(阜位：元/立方米)得到水ッ(元)与用水量 x 五方米)之同的番数美奈式力5r,0-r二180.--イを-180t90,180<く260.19ェー260+1460,エ260,51,0r180,即シー)フェー360,180<エ<260,19ェ-880,エ260.2由千踊数 \scriptstyle y = f ( x ) 在各区段 _ y 陣 x 的増大面増大,所以当 x \in [ 0 , 1 8 0 ] 肘 . y <=slant f \left( 1 8 0 \right) = 9 0 0 { < } 1 040,不合題意・舎去若 \boldsymbol { x } \in 180,2601,則 7 x - 3 6 0 { = } 1 040,解得 x = 2 0 0 符合題意：

若 x { > } 2 6 0 9 x - 8 8 0 { > } 1 040,不合題意: 散用戸年用木量ヵ200五方米 困此・自ネ水雲力 2 . 0 7 x 1 8 0 + 4 . 0 7 x 2 0 = 4 5 4 (元水斉原菜丸 1 . 5 7 x 2 0 0 = 14元去水外 理1,36×200 \ c = 272(元).

裸堂送椋

川捺3解当 0 { <=slant } x { <=slant } 5 肘 _ { * y = 1 . 2 x } 当 5 { < } { x } { <=slant } 6 財度把 x 分成爾部分5与 x - 5 分別計算第一部分收基本水雲 1 . 2 x 5 元.第ニ部分由基本水与加併水塑成印 1 . 2 ( x - 5 ) + 1 . 2 ( x - 5 ) x 2 0 0 % = 1 . 2 ( x - 5 ) ( 1 + 2 0 0 % ) \bar { π } 所以 y = 1 . 2 x 5 + 1 . 2 ( x - 5 ) x ( 1 + 2 0 0 % ) = 3 . 6 x - 1 2 :当 6 { < } x { <=slant } 7 肘，同理可得 y = 1 . 2 x 5 + 1 . 2 x ( 1 + 2 0 0 % ) + 1 . 2 ( x - 6 ) x ( 1 + 4 0 0 % ) = 6 x - 2 6 . 4 . 1.2r:0-15.禁上可得 y = \left\{ 3 . 6 x - 1 2 , 5 < x <=slant 6 \right. \mid 6 x - 2 6 . 4 , 6 < x <=slant 7 . ま

I.AL当 x { > } 1 財 \scriptstyle f ( x ) = x ^ { 2 } + x - 2 +官 \scriptstyle | f ( 2 ) = 2 ^ { 2 } + 2 - 2 = 4 中'： / { 1 } { f ( 2 ) } = / { 1 } { 4 } 当 x { <=slant } 1 町 f ( x ) = 1 - x ^ { 2 } 中山 \mathbf { \dot { * } } f \left( / { 1 } { f ( 2 ) } \right) = f \left( / { 1 } { 4 } \right) = 1 - / { 1 } { 1 6 } = / { 1 5 } { 1 6 } 故通人丁

2AL当 x = - 1 町 f ( x ) { = } 0 即象辻点 ( - 1 中 0,D不符合: 当 x = 0 肘 f ( x ) = 1 即図象廿点(0,1)．C不 存合： 当 _ { x = 1 } 肘 , f ( x ) = 2 印図象牡点(1,2)R不符 合,散逸A

3.L一2,41UL5,81 [ - 4 , 3 ] 由題図象可知- 2 { <=slant } x { <=slant } 4 式 5 { <=slant } x { <=slant } 8 , - 4 { <=slant } y { <=slant } 3 . ]

す / { 1 } { 2 } - 」 \mathbf { \partial } * \mathbf { \partial } f \left( { / { 1 } { 4 } } \right) = { / { 1 } { 4 } } - 1 = - { / { 3 } { 4 } } . \mathbf { \dot { * } } f \Bigl ( f \Bigl ( / { 1 } { 4 } \Bigr ) \Bigr ) = f \Bigl ( - / { 3 } { 4 } \Bigr ) = - / { 3 } { 4 } + / { 5 } { 4 } = { / { 1 } { 2 } } . ]

\ S \ S - 函数的単週性和最値

第一裸肘 函数的単週性和最値

探究1 提示 (1上升,増大（2下降,減小上升増大

探究 と 提示 \forall x _ { 1 } , x _ { 2 } \in ( 0 , + ∞ ) 役 { \boldsymbol x } _ { 1 } { \prec } _ { { \boldsymbol x } _ { 2 } } 中肌 f ( x _ { 1 } ) { < } f ( x _ { 2 } ) 中

知菘理

I: 単凋逸増 単週琵増区同 単凋逸減 単凋琵減区同 具有単凋性 単凋区同

N f ( x _ { 1 } ) { < } f ( x _ { 2 } ) f ( x _ { 1 } ) { \ > } f ( x _ { 2 } ) -例1ABL由番数単週性的定メ可知・若番数\scriptstyle y = f ( { \boldsymbol { \chi } } ) 在鈴定的区同上単週鎌増・則 { \boldsymbol { x } } _ { 1 } - { \boldsymbol { x } } _ { 2 } 言与 f ( x _ { 1 } ) - f ( x _ { 2 } ) 同号由L可知逸項A．B正硝：対千C,D,． { \boldsymbol { x } } _ { 1 } , { \boldsymbol { x } } _ { 2 } 的大小美系毛法判断・則f ( x _ { 1 } ) 与 f ( x _ { 2 } ) 前大小芙烝也无法判断散CD不正禰丁

刑禁1BT対于О.存在 x _ { 1 } , x _ { 2 } \in \mathbf { R } , x _ { 1 } { < } x _ { 2 } 使f ( x _ { 1 } ) { < } f ( x _ { 2 } ) 成立図数 f ( x ) 在 bf { R } 上是増番数度任意的 \mathbf { \Psi } _ { x _ { 1 } , x _ { 2 } } . 都有祥的美系成立散の不正禰:対千 ② 由減番数前定メ知・以類有任意 x _ { 1 } , x _ { 2 } 山 \mathbf { R } , x _ { 1 } { < } x _ { 2 } 使 f ( x _ { 1 } ) { \ > } f ( x _ { 2 } ) 成立即若存在x _ { 1 } , x _ { 2 } \in \mathbf { R } , x _ { 1 } { < } x _ { 2 } 使 f ( x _ { 1 } ) { <=slant } f ( x _ { 2 } ) 成立画数 f ( x ) 在 bf { R } 上不可能是療留数・故＠正禰：対千 ③ 由子 { } _ { x _ { 2 } } > 0 x _ { 1 } + x _ { 2 } > x _ { 1 } エ造合f ( x _ { 1 } ) { < } f ( x _ { 1 } { + } x _ { 2 } ) 可知数 f ( x ) 在R上不可能是蔵番教・散不正禰所以真命題的不教刃1．散逸R

探究3提示図数 y = - x ^ { 2 } - 2 x 的図象有最高点 A 函勢 y = - 2 x + 1 , x \in [ - 1 , + ∞ 的図象有最高点 B , \scriptstyle y = f ( x ) 的図象有最高点 c 中也就是党玄三不留教図象的共同特征号都有最高点。

探究4 提示 図象最高点的坐是所有番数値中的最大値,即番数的最大値

知益理

- 二 f ( x _ { 0 } ) { = } M 最大値 最小値 最値例？ 1解 { 1 } f ( x ) = x ^ { 2 } - 4 \mid x \mid + 3 = ( x ^ { 2 } - 4 x + 3 , x >=slant 0 車x ^ { 2 } + 4 x + 3 , x < 0 作出番教 f ( x ) 前図象如図

② 由図象丁知単週途増区同一20L2,+ ∞ ) 草週減区同(一8,一21,0,21.

(2解 作出番数 f ( x )
的図衆・如図.由図衆可
知当 \scriptstyle x = ± 1 財 , f ( x )
取最大値・丸 f ( 1 ) =
f ( - 1 ) = 1 .
当 x = 0 財 f ( x ) 取最
小値 f ( 0 ) { = } 0 -
故 f ( x ) 的最大値ヵ1最小値0

川？ (16 在同一平面真角坐系内画出留数 _ { y = x + 2 } 和 _ y = 1 0 - x 的図象解カ霍ェ＋？ -_ { 1 0 - x } 得 \scriptstyle x = 4 中此財 y = 6 出

改西困象的交点刃(4,6)\operatorname* { m i n } \{ x + 2 , 1 0 - x \} ( x >= 0 ) は女ス行あ
f ( x ) = \left\{ { x + 2 , 0 <=slant x <=slant 4 } , \right. f ( x )
現察図象知・点(4,ō即 f ( x ) 前図象的最高点
改 f ( x ) 的最大値6

2解 f ( x ) =
_ { ( } - x - 3 , x { <=slant } 1 き
\left\{ ( x - 2 ) ^ { 2 } + 3 , x > 1 \right.
前図象図所示
由図丁却
雷教 f ( x ) =
ーエー3エズ1
週道アキイン」的
週減区同(一,11和(1,2)単週葦増区同カ2.+o).

例3AL留教 f ( x ) = - x ^ { 2 } + 2 ( a - 1 ) x + 2 的図象千向下・寸称軸真袋 \scriptstyle { x = a - 1 } 改蔽図数的単週董増区同 ( - ∞ , a - 1 ) ：又教 f ( x ) 在 ( - ∞ , 4 ) 上是増図教所以 ( - ∞ , 4 ) \subseteq ( - ∞ , a - 1 ) も所以 a - 1 >=slant 4 即 a >=slant 5 散逸A

川弥3 1C 番数 f ( x ) = \left| { x - a } \right| 在区司+ ∞ ) 上単週幕増所以L2,十00)La十00),所以 a { <=slant } 2 . 散遊

2)解 ：ーートー8（一060,ー1丁カ勇教在区司 \left[ { / { k } { 8 } } , + ∞ \right) 上丸増勇数・・：「 / { k } { 8 } >= 2 0 朝キ / { k } { 8 } <=slant 5 , \dot { \therefore } k >=slant 1 6 0 転 k { <=slant } 4 0 中..前取但囲丸(80,401UL160 + ∞ ) 中

裸堂送椋

I.AL由題図条可却 f ( x ) 在一1,2上是増番 教在24上是蔵図教コ 2．DL由番歎前図象(酪知 f ( x ) = 1 - x 在 _ ( - ∞ , 0 ) 上減番数・改透D

32-1 L作出(ふ的図象如図所示由図象可知当 \scriptstyle x = 2 肘 f ( x ) 取得最大値2:印 x = { / { 1 } { 2 } } \not \equiv \int \not = / { 1 } { 2 }

()取 得最小但一 / { 1 } { 4 } ロ都 f ( x ) 的最大慎2最小値カーーコ

4. L一1,11利L3. + ∞ - 作出 f ( x ) 的図象図 所示由図象可得単週瑳増区同一111和 [3,+00)]

第二裸財 函数的単週性和最値度用(羽題深)

例1解 (由 x ^ { 2 } - 1 \neq 0 得 \scriptstyle x \neq ± 1 は
所電数 f ( x ) = { / { 1 } { x ^ { 2 } - 1 } } 約定支力\{ x \in \mathbf { R } | x \neq ± 1 \} 中2番数 f ( x ) { = } { / { 1 } { x ^ { 2 } - 1 } } 在(1 + ∞ ) 上草邇減証明:任取 x _ { 1 } , x _ { 2 } \in ( 1 , + ∞ ) 耳 \boldsymbol { x } _ { 1 } < _ { \boldsymbol { x } _ { 2 } } 店四ェリートェリーー1ー1（エーエ?（エイ+エ?）i-D--リ因丸 _ { x _ { 1 } > 1 , x _ { 2 } > 1 } ま所以 x _ { 1 } ^ { 2 } - 1 > 0 , x _ { 2 } ^ { 2 } - 1 > 0 , x _ { 1 } + x _ { 2 } > 0 , ヌ \mathbf { \boldsymbol { x } } _ { 1 } < _ { { X } _ { 2 } } 所以 x _ { 1 } - x _ { 2 } < 0 所以 f ( x _ { 2 } ) { - } f ( x _ { 1 } ) { < } 0 即 f ( x _ { 1 } ) { \ > } f ( x _ { 2 } ) 中
西北番数 f ( x ) { = } { / { 1 } { x ^ { 2 } - 1 } } . 魚 + ∞ ) 上準洞進減。

川捺1 正明 任取 x _ { 1 } , x _ { 2 } \in ( - 1 , 1 ) 月 { \boldsymbol x } _ { 1 } { < } { \boldsymbol x } _ { 2 } 出 八 f ( x _ { 1 } ) - f ( x _ { 2 } ) = sqrt { 1 - x _ { 1 } } - sqrt { 1 - x _ { 2 } } ーエーーエーエ+イーエ) Vi-ri+Ji-r? エクーエ1 Yiーエ+Yーエ? 因丸 x _ { 1 } < x _ { 2 } 所以 { } x _ { 2 } - x _ { 1 } > 0 又 sqrt { 1 - x _ { 1 } } + sqrt { 1 - x _ { 2 } } > 0 中 所以 f ( x _ { 1 } ) - f ( x _ { 2 } ) { > } 0 即 f ( x _ { 1 } ) { \ > } f ( x _ { 2 } ) 所以番数 f ( x ) { = } sqrt { 1 { - } x } 在 ( - 1 , 1 ) 上単週蓮藏 例？ (1証明 任取 x _ { 1 } , x _ { 2 } \in ( 0 11,月 x _ { 1 } < x _ { 2 } 車 川(エシーバ(エシー丁1 エ十1 エ1エ2十1ーエ2(r1十1) ri+1r?+1 （エ2ーエエ1エ2ー) (ri+1(r?+1) 却 0 { < } x _ { 1 } { < } x _ { 2 } { <=slant } 1 肘 x _ { 2 } - x _ { 1 } > 0 , x _ { 1 } x _ { 2 } - 1 < 0 , \` { } * f ( x _ { 1 } ) - f ( x _ { 2 } ) { < } 0 生 町 f ( x _ { 1 } ) { < } f ( x _ { 2 } ) 中 :： f ( x ) 在(0,11上単週叢増 (2解 由(1)可知当 1 { <=slant } x _ { 1 } { < } x _ { 2 } 肘エーエ1 > 0 , x _ { 1 } x _ { 2 } - 1 > 0 f ( x _ { 1 } ) - f ( x _ { 2 } ) > 0 印 f ( x _ { 1 } ) { > } f ( x _ { 2 } ) 中 :： f ( x ) 在1: + ∞ _ { , } 上草週壌減 合(1)可知 f ( x ) _ { { m a x } } = f ( 1 ) = / { 1 } { 2 } 一・元最小e

川黍？解 役 x _ { 1 } , x _ { 2 } 言言 是区同2ō上的任意西
不実数耳 x _ { 1 } < x _ { 2 }
官 f ( x _ { 1 } ) - f ( x _ { 2 } ) { = } / { 2 } { x _ { 1 } { - } 1 } { - } / { 2 } { x _ { 2 } { - } 1 } = { / { 2 [ ( x _ { 2 } - 1 ) - ( x _ { 1 } - 1 ) ] } { ( x _ { 1 } - 1 ) ( x _ { 2 } - 1 ) } } { / { 2 [ ( x _ { 2 } - x _ { 1 } ) } { ( x _ { 1 } - 1 ) ( x _ { 2 } - 1 ) } } . 円 2 { <=slant } x _ { 1 } { < } x _ { 2 } { <=slant } 6 中
得 x _ { 2 } - x _ { 1 } { > } 0 , ( x _ { 1 } - 1 ) ( x _ { 2 } - 1 ) { > } 0 中千是 f ( x _ { 1 } ) - f ( x _ { 2 } ) { > } 0 即 f ( x _ { 1 } ) { \ > } f ( x _ { 2 } ) 中
野以言教」の一台を区同020上定選者教因此番教 f ( x ) { = } { / { 2 } { x - 1 } } 一在区同L2,6丁上前西不業点外分別取得最大値和最小値即在 \scriptstyle x = 2 財取得最大値・最大値是？
在ェ一6財取得最小・最小倶是
例： (1D t ( 2 ) \left( { 0 , / { 2 } { 3 } } \right) - L(1)由 a + b <=slant 0 得到
a <=slant - b , b <=slant - a ：
ヌ f ( x ) 左 ( - ∞ , + ∞ ) 上是減番数
-中 * f ( a ) { >=slant } f ( - b ) , f ( b ) { >=slant } f ( - a ) や
中 * f ( a ) + f ( b ) >=slant f ( - a ) + f ( - b ) 改近D\scriptstyle - 1 < 1 - a < 1 h
2)由題意知 \mathrel { \left\lfloor - 1 < 2 a - 1 < 1 \right. } - \mid 1 - a > 2 a - 1 キ
解得 \scriptstyle 0 < a < { / { 2 } { 3 } } ま
印所末実数 a 的取范園是 \left( 0 , { / { 2 } { 3 } } \right) 豆

禁3 1C F. f ( x ) 在 bf { R } 上増番数旦 f ( 2 m ) { > } f ( - m + 9 ) と :： 2 m { > } { - } m { + } 9 印 m { > } 3 散透C ( 2 ) f ( 4 ) > f ( 1 ) > f ( 2 ) 由題意知 f ( x ) 的対 秤軸ヵ \scriptstyle x = 2 故 f ( 1 ) = f ( 3 ) ： f ( x ) = x ^ { 2 } + b x + c 在 [ 2 , + ∞ ) 上単週増 京 2 < 3 < 4 , \dot { \ldots } f ( 2 ) < f ( 3 ) < f ( 4 ) 邸f(4)つf(1つf(2)コ

裸堂送

1D 丸 f ( x ) 在区同0 + ∞ ) 上増図旦\scriptstyle π > 3 > 2 中所以 f ( π ) { \ > } f ( 3 ) { > } f ( 2 ) 故辻D
2.ABL当 a { > } 0 肘 _ { * y = a x + 1 } 在1,21上単週遠増・則 \scriptstyle 2 a + 1 - ( a + 1 ) = 2 即 a = 2 当 \scriptstyle a < 0 町 _ { y = a x + 1 } 在口1,21上単週叢遺,+ 1 - ( 2 a + 1 ) = 2 . 即 a = - 2 散遊AB\left[ - 1 , { / { 1 } { 2 } } \right) 「古題を神す \scriptstyle - 1 <=slant x <=slant 1 中解得一入くナコ
44「易知番数 f ( x ) = { / { 1 } { x } } 在1,0丁上単週 遠減
所以勇数的最小但 f ( b ) = / { 1 } { b } = / { 1 } { 4 } 解得

\mathit { b } \mathop { = } 4 . \exists

塔伐裸 含参数的二次歯数的単週性与最値

例IB酥．数 y = x ^ { 2 } + ( 2 a - 1 ) x + 1 的図象
弁ロ向上宣袋 \scriptstyle x = - { / { 2 a - 1 } { 2 } } カ勇数的対称軸又・番教在区同 ( - ∞ 2丁上是留数歌2ー22解得くーテ 散進
川徐1()AI当 \scriptstyle a = 0 財 * f ( x ) = - 2 x - 3 在一ć,2上単週藏・満足題意：当 a \neq 0 財若番数 f ( x ) 在 ( - ∞ , 2 ) 上単週
表・興摂福二次雷α阿桂鳳丁 \left\{ { / { 1 } { a } } >= 2 \right\} >= 2 a > 0 ロ解得 0 { < } a { <=slant } / { 1 } { 2 } 中
禁上可得 0 { <=slant } a { <=slant } / { 1 } { 2 } 散進人12解留数 f ( x ) 図象的対称軸ヵ真袋\scriptstyle x = - { / { 2 a - 1 } { 2 } }
夜き - / { 2 a - 1 } { 2 } <=slant 1 / { 2 a - 1 } { 2 } >= 3 も解得ーナ成イ一テ所以宍教 \scriptstyle a 的取値弛国\left( - ∞ , - { / { 5 } { 2 } } \right] \cup \left[ - { / { 1 } { 2 } } , + ∞ \right) .
例解番数 f ( x ) 図象的対称軸真袋 \scriptstyle x = 1 , ① 却 \scriptstyle 1 >=slant t + 2 即 \scriptstyle { t <=slant - 1 } 肘:f ( x ) 在十21上単週叢減:： f ( x ) _ { { m a x } } { = } f ( t ) { = } t ^ { 2 } { - } 2 t { - } 3 , F(r)inーf(+十2)ー(+十2\*一20t十2ー3-t+2t--3.
のジギくしく十2印-1くt0町f ( x ) _ { { m a x } } { = } f ( t ) { = } t ^ { 2 } { - } 2 t { - } 3 , f ( x ) _ { { m i n } } = f ( 1 ) = - 4 .
é \scriptstyle { / { \scriptstyle { \Psi } } { { ~ } t <=slant 1 } } < { / { t + t + 2 } { 2 } } 印0く1町,
f ( x ) _ { { m a x } } = f ( t + 2 ) = t ^ { 2 } + 2 t - 3 , -
f ( x ) _ { { m i n } } = f ( 1 ) = - 4
④ 前 t { > } 1 肘 f ( x ) 在L十21上単週叢増・
\` * f ( x ) _ { { m a x } } = f ( t + 2 ) = t ^ { 2 } + 2 t - 3 , f ( x ) _ { { m i n } } =
f ( t ) = t ^ { 2 } - 2 t - 3
留数 f ( x ) 的最大値 g ( t ) 最小値 \varphi ( t ) 中
肌有
\begin{array} { c } { { g ( t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { { t ^ { 2 } - 2 t - 3 , t <=slant 0 , } } \\ { { t ^ { 2 } + 2 t - 3 , t > 0 , } } \\ { { } } \end{array} \right. } } \\ { { \varphi ( t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { { t ^ { 2 } + 2 t - 3 , t <=slant - 1 , } } \\ { { - 4 , - 1 < t <=slant 1 , } } \\ { { t ^ { 2 } - 2 t - 3 , t > 1 . } } \end{array} \right. } } \end{array}
川芽2 解 図教田象的対称軸是真 \scriptstyle x = a
当 a < 2 財 f ( x ) 在2,4丁上是増番教:： f ( x ) _ { { m i n } } { = } f ( 2 ) { = } 6 { - } 4 a ,
当 a { > } 4 財 f ( x ) 在2,41上是減番教
“ * f ( x ) _ { { m i n } } { = } f ( 4 ) { = } 1 8 { - } 8 a 田
前 2 { <=slant } a { <=slant } 4 財 , f ( x ) _ { { m i n } } = f ( a ) = 2 - a ^ { 2 } . 6--4aa<2,
. エ-- 2-a2<a<4.\phantom { + } \bigl ( 1 8 - 8 a , a > 4 中
例： (1解 法一 金 y = x ^ { 2 } - x + a 店
要使 x ^ { 2 } - x + a > 0 対任意 x \in ( 0 , + ∞ ) 恒成立y _ { { m i n } } = / { 4 a - 1 } { 4 } > 0 a { > } / { 1 } { 4 } 」：
:美数・前取僧慈国是（一十）)去二 - x ^ { 2 } - x + a > 0 ご化丸 a > - x ^ { 2 } + x 要使 a > - x ^ { 2 } + x 対任意 x \in ( 0 , + ∞ ) 恒成立只需 a > \left( - x ^ { 2 } + x \right) _ { \operatorname* { m a x } } ( x \in \left( 0 , + ∞ \right) )
刃当 x { > } 0 電 ( - x ^ { 2 } + x ) _ { { m a x } } = / { 1 } { 4 } , \therefore a > / { 1 } { 4 } . ;条教 \scriptstyle a 自取僧稚園足 \left( { / { 1 } { 4 } } , + ∞ \right) 中
2: x { > } 0 中
・： a x ^ { 2 } + x <=slant 1 可化丸 a { <=slant } / { 1 } { x ^ { 2 } } { - } / { 1 } { x }
愛使 a { <=slant } / { 1 } { x ^ { 2 } } { - } / { 1 } { x } 対住き x \in ( 0 , 1恒成立
ス書 a { <=slant } \left( / { 1 } { x ^ { 2 } } { - } / { 1 } { x } \right) _ { { m i n } } ( x { \in } ( 0 , 1 ] ) .
彼1ート・ジe0ンl
- { / { 1 } { x ^ { 2 } } } - { / { 1 } { x } } = t ^ { 2 } - t = \left( t - { / { 1 } { 2 } } \right) ^ { 2 } - { / { 1 } { 4 } } . -
動 t = 1 町 \left( t ^ { 2 } - t \right) _ { { m i n } } { = } 0
郎当 _ { x = 1 } 五 \left( { / { 1 } { x ^ { 2 } } } - { / { 1 } { x } } \right) _ { { { m i n } } } = 0 , -
\`： \scriptstyle a <=slant 0 ・笑教 a 的取値弛国是 ( - ∞ 0
川3解 ( 1 ) f ( x ) { = } a x ^ { 2 } - 4 a x + b ( a > 0 ) ,
留数 f ( x ) 前図象千日向上旦図象的対秤牡真 \scriptstyle x = 2
-： f ( x ) 在0,11上是減番数
中 \mathbf { \dot { θ } } * f ( \mathbf { { x } } ) _ { { m a x } } = f ( 0 ) = b = 1 ,
\begin{array} { r c l } { { } } & { { } } & { { f ( x ) _ { { m i n } } = f ( 1 ) = b - 3 a = - 2 , } } \\ { { } } & { { } } & { { \therefore a = b = 1 . } } \end{array}
(2)由(1及 f ( x ) > - x + m 可得 x ^ { 2 } - 4 x + 1 シ- x + m 即 x ^ { 2 } - 3 x + 1 - m > 0
要使此不等式在一1,1丁上恒成 立
只需使番教 g \left( x \right) = x ^ { 2 } - 3 x + 1 - m 在L一1,1]上的最小値大子 0 印可.
： g \left( x \right) = x ^ { 2 } - 3 x + 1 - m 在L一1,11上単週堪減
g \left( x \right) _ { { m i n } } = g \left( 1 \right) = - m - 1 ,
白- * \ m - 1 > 0 得 m { < } { - } 1
国此満足荼件的寒数 \mathbf { \Omega } _ { m } 前取値弛国是 ( - ∞ h1.

裸堂送

TC由題意・二次番数 f ( x ) 図象的対称軸宣袋 \scriptstyle x = a 旦井日向上可得 f ( x ) _ { { m i n } } { = } f ( a ) { = } a ^ { 2 } - 2 a ^ { 2 } + 5 = - 4 印 \scriptstyle a ^ { 2 } = 9 解得 a = 士3.改銑C
2DT由題意・番数 f ( x ) 的図衆千向下寸称\scriptstyle x = { / { 3 a } { 2 } }
電数()自満道薬区同カ「+o）\scriptstyle \mathtt { \mathtt { M } [ 1 , 2 ] \subseteq \left[ { / { 3 a } { 2 } } , + ∞ \right) } ,

朝 / { 3 a } { 2 } <=slant 1 解得 a { <=slant } / { 2 } { 3 } ま 宮 \mathbf { \Psi } _ { a } 的取僧国是 \left( - ∞ , / { 2 } { 3 } \right] 故逸D

3： 「騒数 f ( x ) { = } / { 1 } { 2 } x ^ { 2 } { - } x { + } / { 3 } { 2 } 均岡象井ロ向上・寸称軸ヵ真袋 _ { x = 1 } と
因此 f ( x ) 在L1m上単週毫増
依題意・両 f ( 1 ) = 1 則 f ( x ) _ { { m a x } } { = } f ( m ) { = } m 中{ \mathbb { H } } { / { 1 } { 2 } } m ^ { 2 } - m + { / { 3 } { 2 } } = m ほ m { > } 1 鮮得 \scriptstyle { m = 3 } 中
所以 m 的値是3丁
4.T3,十）T由 x ^ { 2 } - 2 a x + a + 2 <= 0 中
得 x ^ { 2 } + 2 { <=slant } a ( 2 x - 1 ) ：
因丸 x \in [ 1 , 3 ] 所以 2 x - 1 \in L1,51
田 x ^ { 2 } + 2 { <=slant } a ( 2 x - 1 ) a >=slant / { x ^ { 2 } + 2 } { 2 x - 1 }
形 f ( x ) { = } / { x ^ { 2 } + 2 } { 2 x - 1 } , ラ
や \scriptstyle t = 2 x 一イにロレーュー1 \scriptstyle x = { / { t + 1 } { 2 } } ま
川有 g \left( t \right) = / { 1 } { 4 } \left( t { + } / { 9 } { t } { + } 2 \right) \left( t { \in } [ 1 , 5 ] \right) , -ゴ t \in [ 1 , 3 ] 肘図数 g ( t ) 単週蓮減・
和 t \in [ 3 , 5 ] 財図数 g ( t ) 単潤遠増・
氏 g ( 1 ) = / { 1 } { 4 } ( 1 + / { 9 } { 1 } + 2 ) = 3 ,
g ( 5 ) = / { 1 } { 4 } ( 5 + / { 9 } { 5 } + 2 ) = / { 1 1 } { 5 } g ( t ) _ { { m a x } } { = } 3
散要使 x ^ { 2 } - 2 a x + a + 2 <=slant 0 在1,3丁上恒成 立,只番 a >=slant 3 . ]

\ S 4 - 函数的奇偶性与筒単的幕函数

41 函数的奇偶性

第一裸肘 函数的奇偶性

探究1提示　可以現西不髷数的図象都夫子原点成中寸稗図形 f ( - x ) { = } { - } f ( x ) 即 f ( x ) 奇留教

探究？ 提示 玄西不番数図象都夫子 _ y 軸対称f ( - x ) { = } f ( x ) 即 f ( x ) 偶番数

知硫理

- f ( x ) - f ( x ) - 奇偶性

例解 ( 1 ) 留数 f ( x ) 由定丈城力 bf { R } 美千原 点寸称 \begin{array} { r } { \gtrsim f ( - x ) = 2 - \vert - x \vert = 2 - \vert x \vert = f ( x ) , } \end{array} " f ( x ) 偶勇巻 2番数 f ( x ) 的定文域 \{ - 1 , 1 \} 美千原点 対称旦 f ( x ) { = } 0 f ( - x ) { = } { - } f ( x ) , f ( - x ) { = } f ( x ) , .' f ( x ) 既是脊宙教又是偶教 3：番 f ( x ) 的定文城 \{ x \mid x \neq 1 \} 不栄千 原点対称 : f ( x ) 是非寄非偈番教 (4)(エ)的定文域是(一Q,0U ( 0 , + ∞ ) 美子 原点対称 当 _ { x > 0 } 肘 - x { < } 0 f ( - x ) = 1 - ( - x ) = 1 + x = f ( x ) ; 当 x { < } 0 財: - { x } > 0 店 f ( - x ) = 1 + ( - x ) = 1 - x = f ( x ) . - 篆上可知,対子 x \in ( - ∞ , 0 ) ü ( 0 , + ∞ ) 都有 - f ( - x ) { \stackrel { } { = } } f ( x ) 故 f ( x ) ヵ信番勢
川芽1解(1番数 f ( x ) 的定文城是 \mathbf { R } . - ' f ( - x ) = ( - x ) ^ { 3 } + ( - x ) ^ { 5 } = - ( x ^ { 3 } + x ^ { 5 } ) = - f ( x ) ・f（エ是奇番教 2番数 f ( x ) 前定文城是R : f ( - x ) = | - x + 1 | + | - x - 1 | 「 = | x - 1 | + | x + 1 | = f ( x ) , \therefore f ( x 是偶番教 (3番数 f ( x ) 前定文城是 ( - ∞ , - 1 ) U一1; 十朝)不美子原点寸称
二王（王)星非春非偶留教:

探究： 提示 言 f ( x ) 是偶留数・図象美千 _ y 軸対称 { \bf \nabla } _ { : g } ( { \bf \nabla } _ { x } ) 是脊図数,図象芙千原 点対称.

知硫理

(1)原点 (2釉 例？ 解 (1)根据寄 番数的図象美千原 点寸秤可得 f ( x ) 的岡泉如図所示 ( 2 ) x f ( x ) { > } 0 即図 篆上点的賛坐与 凱坐同号旦均 不丸

造令図象可知 , x f ( x ) > 0 的解集是 -2,0u0,2.

狂移 解 言言 ( 1 ) f ( x ) 的図象如図所示

( 2 ) x f ( x ) { > } 0 前解集是(-2U(0,2)川？ 解 ()髷数 f ( x ) 的図象如図所示

2)由図象可得使 f ( x ) { < } 0 的 x 的取値集合刃\{ x \vert - 2 < x < 0 式 2 { < } x { < } 5 \} (3)由図象丁知 f ( x ) 的最大値ヵ2最小値力一2例：10 （201)由題意知ぞ2ーーf(一2\{ f ( 1 ) = - f ( - 1 ) 中奥4+2ー-2= a + b = 0 中所め 中当 a = - 1 , b = 1 財祭桧弘知 f ( x ) 奇番教故 a + b = 0 2)及 g ( x ) = a x ^ { 3 } + b x Å g ( x ) 丸脊番教 \scriptstyle * f ( x ) = g ( x ) + x ^ { 2 } + 1 : f ( 2 ) = g ( 2 ) + 5 = 1 0 -ホ' g ( 2 ) = 5 ナ田 \ : f ( - 2 ) = g ( - 2 ) + 5 = - g ( 2 ) + 5 = 0 . \ : ] \ :

川禁3 (0; ( 2 ) / { 1 } { 3 } - (1)因丸 f ( x ) 是定
メ在 bf { R } 上的奇番澂
所以 f ( - 3 ) = - f ( 3 ) = - 6
所以 ( - 3 ) ^ { 2 } + ( - 3 ) a = - 6 解得 a = 5 ,
(2困ヵ偶留数的定メ城美千原点対粧
所以α-1--2解得α-
易知番数 f ( x ) = { / { 1 } { 3 } } x ^ { 2 } + b x + b + 1 カニ次語
数・合偶留数図象的特点・易得 b { = } 0 _ { * _ { - } } ^ { - }

裸堂送椋

LBT数如果具有奇偶性肌共象美千原点対称或 _ { y } 軸対称・散逸

2ć 口（王)的定文城刃 \{ x \vert x \neq 0 \} 美千原点対称ヌ \scriptstyle * f ( - x ) = - { / { 1 } { x } } + x = - f ( x ) , -* f ( x ) { = } / { 1 } { x } { - } x 是寄番数:： f ( x ) 的図象芙千原 点対称・散辻C

3 ^ { - 1 } 留数 f ( x ) 的定文城 \{ x \vert x \neq 0 \} 中因カ f ( x ) 是奇番数 , f ( - 1 ) = 0 中所以 f ( 1 ) = - f ( - 1 ) = 0 \ ! / { ( 1 + 1 ) ( 1 + a ) } { 1 } = 0 解得 a = - 1 , 祭椹弘 \scriptstyle * a = - 1 存合題意コ

4 [ - 3 , - 1 ) ú1,3 利用奇番数困象前性贋可以得到図数 f ( x ) 在一30上的図菓所示利用象得到図数 f \left( x \right) 前慎城E一：--0U(1,31.]

第二深裸肘 函数奇偶性的度用知益理

(2偶岡数 奇函数 ( 3 ) f ( 0 ) = 0

一2+3r+1,エプ0例1 (1r(エ十1 2 0.エ-02-+3エー1,エ<0り及 \scriptstyle x > 0 則 - x { < } \dot { 0 } 所以 f ( - x ) = - x ( - x - 1 ) = x ( x + 1 ) 中困番数 f ( x ) 力 bf { R } 上的偶番数故 f ( x ) { = } f ( - x ) { = } x ( x { + } 1 ) ま(2及 x { < } 0 , 奥一 _ { x > 0 } 所以 f ( - x ) = - 2 ( - x ) ^ { 2 } + 3 ( - x ) + 1 = - 2 x ^ { 2 } - 3 x + 1 . -由千 f ( x ) 是 bf { R } 上的奇番数故 f ( x ) { = } { - } f ( - x ) -所以 f ( x ) = 2 x ^ { 2 } + 3 x - 1 も即当 x { < } 0 財 , f ( x ) = 2 x ^ { 2 } + 3 x - 1 . 因丸 f ( x ) 丸 bf { R } 上的奇番数・故 f ( 0 ) { = } 0 .

崇上 , f ( x ) 的解析式- 2 x ^ { 2 } + 3 x + 1 , x > 0 , f ( x ) = \left\lfloor 0 , x = 0 \right. 「 \displaystyle { | 2 x ^ { 2 } + 3 x - 1 , x < 0 . } -川芽 解 (1役 \scriptstyle x > 0 . 則 - { x } { < } 0 中-： f ( - x ) = - ( - x ) ^ { 2 } - ( - x ) = - x ^ { 2 } + x f ( x ) 是 bf { R } 上的奇番教第： * f ( - x ) { = } - f ( x ) 中： f ( x ) = - f ( - x ) = x ^ { 2 } - x . 又・図教定メ域カ \mathbf { R } , \therefore f ( 0 ) { = } 0 お上丁知リニー2 -(2)で（エ是信番数 { \bf \Psi } _ { g } ( x ) 是奇図数・“： \scriptstyle * f ( - x ) = f ( x ) , g ( - x ) = - g ( x ) ・ \prime ( x ) + g ( x ) = 2 x + x ^ { 2 } 用一ェ代替 x 得f ( - x ) + g ( - x ) = - 2 x + ( - x ) ^ { 2 } , \therefore f ( x ) - g ( x ) = - 2 x + x ^ { 2 } 山( { 1 } + { 2 } ) / 2 得 f ( x ) = x ^ { 2 } 中- \left( \Phi - \left( 2 \right) \right) / 2 . 得 g ( x ) = 2 x 中

探穴 提示 奇番数在(1,2上単週董識・偶番数 在(1,2)上単週遂増:

知硫理

1. 単凋逸増 一致(相同)
2. 単凋逸減 相反
3.一M

4.」

例?（A ( 2 ) f ( - 2 ) { < } f ( - 3 ) { < } f ( π ) (1由題意知 f ( x ) 奇番教旦在区同(一:山上草調瑾増:： f ( x ) 在R上単週琵増\ : - / { 3 } { 2 } < - 1 < 2 \ : \therefore f \left( - { / { 3 } { 2 } } \right) < f ( - 1 ) < f ( 2 ) . 2図 f ( x ) 是偶留数則 f ( - 2 ) = f ( 2 ) , f ( - 3 ) = f ( 3 ) , -又当 x { >=slant } 0 財 f ( x ) 是増留数 2 < 3 < π 所以 f ( 2 ) { < } f ( 3 ) { < } f ( π ) 出即 f ( - 2 ) { \ < } f ( - 3 ) { \ < } f ( ; )
川？CT f ( x ) 在一6,6上偶番勢旦在一6,0上単週叢減 f ( - 4 ) { > } f ( - 1 ) 印f ( 4 ) > f ( - 1 ) .f(4ーf ( - 1 ) > 0 散逸四
例3解（因 f ( x ) 是奇番数耳 f ( x ) 在0,羽上是療図教所以 f ( x ) 在一3,3上号減番数所以不等式 f ( 1 - m ) { < } f ( m ) 等竹子ヒのレン、年一クルくナ即数 \mathbf { \nabla } _ { m } 的取値范国是 \left[ - 2 , / { 1 } { 2 } \right] ・2： g ( x ) 在一2,21上ヵ偶番数,耳 x { >=slant } 0 町減番数.g1-m)くg(mラg1-mDくgmDツ二ルっーバ川く。I1-mIm1, 1-mm\*シー1く川くナ即数 \mathbf { \Omega } _ { m } 前国丸 \left[ - 1 , { / { 1 } { 2 } } \right) 車
川銑：AT由題意知・当 { \mathbf { \nabla } } _ { x <=slant 0 } 肘番数 f ( x ) ョョ減番数・当 _ { x >=slant 0 } 肘 f ( x ) 増番教因 f ( 2 ) = 0 所以 f ( - 2 ) = f ( 2 ) = 0 不坊授番数 f ( x ) = \left| x \right| - 2 と
- x f ( x ) < 0 f ( x ) おらいスじー\scriptstyle 0 < x < 2 x < - 2 散原不等式的解集力 ( - ∞ , - 2 ) \cup ( 0 , 2 ) . 故辻A.

深堂迅

1.D 「 f ( x ) 偶番数 f ( - 5 ) = f ( 5 ) 中 ヌ f ( x ) 在L0,十)上刃増番数 :： f ( 5 ) > f ( 2 ) 故站D

2.BL x { > } 0 - x { < } 0 中 所以 f ( - x ) = ( - x ) ^ { 2 } + 3 x - 1 = x ^ { 2 } + 3 x - 1 又 f ( x ) 偶爾数 所以 f ( x ) = x ^ { 2 } + 3 x - 1 . ] -
3. 2 x + 3 L授 x { < } 0 ロ一ェ一0 黒 \scriptstyle * F ( - x ) = 2 ( - x ) - 3 = - 2 x - 3 . 又・F(ェカ寄番教・ \therefore f ( x ) = - F ( - x ) = 2 x + 3 . ]
4（一3,3）丁由題意可知 | a | < 3 解得一3くく3丁

著伐深 函数性的琮合度用及抽象数同題

例解 ( 1 ) ： f ( x ) 是奇留数“： * f ( x { - } 4 ) { = } { - } f ( x ) { = } f ( - x ) ・子（È)的図象美千真袋 x = - 2 対称先画出ェéL0,21. f ( x ) = x 的留篆ヌ f ( x ) 美千原点寸称・画出 x \in 一2,01上前四象・再根据美千真 x = - 2 寸称可出 _ x C一6一2上的図象最幾得到 f ( x ) 在区同一6,2上的図象如図：

(2： f ( x { + } 1 ) 是偶番数・
-「 f ( 1 - x ) = f ( 1 + x ) 中
散 \scriptstyle y = f ( x ) 的図象夫千真袋 \scriptstyle x = 1 対称又： f ( x ) 在L1; + ∞ ) 上草週叢増
・(エ在(一,1上単潤瑞減.
ミ f ( 3 ) = 1 , f ( 1 - 2 ) = f ( 1 + 2 ) 中
ま f ( - 1 ) = f ( 3 ) = 1
:： f ( 2 x + 1 ) { < } 1 { \stackrel { } { ( } } - 1 { < } 2 x + 1 { < } 3 ,
解得一1くく1
・不等式的解集刃 \{ x \vert - 1 { < x < } 1 \} ：

川禁1 iDA 21 L(1)由題意知 f ( x ) 的図象美千宜袋 \scriptstyle x = 2 対称所以 f ( 3 ) { = } f ( 1 ) -ま由千 f ( x ) 在 ( - ∞ , 2 ) 上是増番数所以 f ( - 1 ) { < } f ( 1 ) { = } f ( 3 ) (2因刃 f ( x + 2 ) 是奇髷教所以 f ( x ) 的図象美千点(20対称.又 f ( x ) 在 [ 2 , + ∞ ) 上阜週壌減所以 f ( x ) 在 ( - ∞ , 2 ) 上単週琵蔵:又困丸 f ( x ) 的定メ城丸 bf { R } 中所以 f ( 2 ) = 0 中所以 f ( x ) 在 bf { R } 上達旦単週瑞城:千 1 < / { 5 } { 2 } < 3 ：「所以 f ( 3 ) { < } f { \left( / { 5 } { 2 } \right) } { < } f ( 1 ) , 故逸D

例？ (1)証明 由題意得 f ( x ) 的定文城力 bf { R } 出今 \scriptstyle x = y = 0 と肌 f ( 0 ) { = } 2 f ( 0 ) , \therefore f ( 0 ) { = } 0 . -今 y = - x f ( x - x ) { = } f ( x ) + f ( - x ) 型 0 { = } f ( x ) { + } f ( - x ) : f ( - x ) { = } { - } f ( x ) 図数 f ( x ) 丸寄番教2正明任取 x _ { 1 } , x _ { 2 } \in \mathbf { R } 豆 \mathbf { \Psi } _ { x _ { 1 } > x _ { 2 } } 官 f ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) { = } f ( x _ { 1 } ) { + } f ( - x _ { 2 } ) -f(rクーf（r?.エエエエーエン0.\therefore f ( x _ { 1 } ) - f ( x _ { 2 } ) = f ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) < 0 , :： f ( x _ { 1 } ) { < } f ( x _ { 2 } ) 番数 f ( x ) 在 bf { R } 上是療留茅(3解 留数 f ( x ) 在 bf { R } 上是減番数番数 f ( x ) 在 [ - 3 , 3 ] 上也是療図数番数 f ( x ) 在一3,3上的最大値和最小値分別刃 f ( - 3 ) 和 f ( 3 ) 中ヌ f ( 3 ) = f ( 2 ) + f ( 1 ) = 3 f ( 1 ) = - 1 2 . f ( - 3 ) = - f ( 3 ) = 1 2 キ番致 f ( x ) 在一3,3上的最大値ヵ12．最小恒丸一12

川禁2 1DD (2BD (1)由題意知 f ( x ) 的定メ域丸 bf { R } ロ今 \scriptstyle x = y = 0 即有 f ( 0 ) + f ( 0 ) { = } 2 f ( 0 ) f ( 0 ) ,

印 2 f ( 0 ) { = } 2 f ( 0 ) f ( 0 ) 所以 f ( 0 ) { = } 0 或1当 f ( 0 ) { = } 0 財舎 \scriptstyle x = 0
即有 f ( y ) + f ( - y ) { = } 2 f ( 0 ) f ( y ) { = } 0
所以 f ( - y ) { = } { - } f ( y ) 所以 f ( x ) 是奇番数珈 f ( 0 ) { = } 1 財舎 \scriptstyle x = 0 キ
肌有 f ( y ) + f ( - y ) { = } 2 f ( 0 ) f ( y ) ,
所以 f ( - y ) { = } f ( y )
所以 f ( x ) 是偶数.散逸D
2A中舎 h \left( x \right) = \vert f ( x ) \vert _ { g } ( x ) 中
八 h ( - x ) { = } \mid f ( - x ) \mid g ( - x ) { = } \mid - f ( x ) \mid g ( x ) { = } \vert f ( x ) \vert g ( x ) { = } h ( x ) -
A中数是偶A黌
B中舎 p ( x ) { = } f ( x ) \vert g ( x ) \vert 中
只 \begin{array} { r } { \ p ( - x ) = f ( - x ) \left| _ { g } ( - x ) \right| } \end{array} -
= - f ( x ) \left| g ( x ) \right| = - f ( x ) , ま
B中．数是奇．E正禰
C中由 f \left( x \right) 奇番数丁得 f \left( - x \right) = - f ( x ) 由 g \left( x \right) 是偶番数可得 g \left( - x \right) = g ( x ) 由 f ( - x ) + \left| g ( - x ) \right| = - f ( x ) + \left| g ( x ) \right| 却C黌渠:
D中由 \mid f ( - x ) \mid + g ( - x ) = \mid - f ( x ) \mid + g ( x ) = \vert f ( x ) \vert + g ( x ) 知D正禰.散透M.

例： (1解 国カ留数子(α一社 立学号定メ在(一1,1)上的寄番数所以 f ( 0 ) { = } 0 得 b = 0 中\stackrel { \triangledown } { \_ } f \left( / { 1 } { 2 } \right) = / { 2 } { 5 } , \oplus \vec { \Pi } \stackrel { \underbrace { / { 1 } { 2 } a } } { 1 + / { 1 } { 4 } } = / { 2 } { 5 } , 鮮得 a = 1 所 f ( x ) = { / { x } { 1 + x ^ { 2 } } } キ

2証明 任取 x _ { 1 } , x _ { 2 } \in ( - 1 , 1 ) 耳 x _ { 1 } < x _ { 2 } ラ」エリーバェリーキ H1
即 1十rí
（エァーエ(1ーエエク)山1+rし(1+r?
由 * - 1 { < x _ { 1 } < x _ { 2 } < } 1 所以 - 1 { < x _ { 1 } x _ { 2 } < } 1 中
即 1 - x _ { 1 } x _ { 2 } > 0 中
所以 / { ( x _ { 2 } - x _ { 1 } ) ( 1 - x _ { 1 } x _ { 2 } ) } { ( 1 + x _ { 1 } ^ { 2 } ) ( 1 + x _ { 2 } ^ { 2 } ) } { > } 0 ,
即 f ( x _ { 2 } ) { > } f ( x _ { 1 } ) 中
所以 f ( x ) 在 ( - 1 , 1 ) 上是増髷数
3解四 f ( x ) 是奇雷数
所以 f ( - x ) { = } { - } f ( x )
所以 f ( t - 1 ) + f ( t ) < 0 等什千 f ( t - 1 ) <
- f ( t ) = f ( - t ) 即 f ( t - 1 ) { < } f ( - t ) 中
又由2知 f ( x ) 在 ( - 1 , 1 ) 上是増番教_ { c } - 1 { < } t - 1 { < } 1
所以 \scriptstyle \lfloor - 1 < - t < 1 中t - 1 { < } - t
解得 \scriptstyle 0 < t < { / { 1 } { 2 } }
即廉不幸式的解集力 \left\{ t \bigg \vert 0 { < } t { < } / { 1 } { 2 } \right\} ュ

刪筇3解 ( 1 ) f ( x ) 在定メ域L一1,1上丸増 番教理由任意 { \boldsymbol { x } } _ { 1 } , { \boldsymbol { x } } _ { 2 } 満足 - 1 { <=slant } x _ { 1 } { < } x _ { 2 } { <=slant } 1 由題意可得デ（エi）ーデ（エ?）ーデ（エi）キfーエクーエク+fーエ2)(エiーエ20.エ1十ーエ円 f ( x _ { 1 } ) { < } f ( x _ { 2 } ) 中:： f ( x ) 在定メ城L一1,11上丸増番数(2)由(1)知（α十プ)く(3a)ーーナナイト--I<3a<i. ーナくくーa+テ<3即数 a 自取値進国刃 \left( / { 1 } { 4 } , / { 1 } { 3 } \right] ：(3)由(1)知 f ( x ) _ { { m a x } } { = } 1 :： f ( x ) { <=slant } ( 1 - 2 a ) t + 2 寸任意 x \in [ - 1 , 1 ] 中a \in [ - 1 , 1 ] 恒成立 \Rightarrow * 1 { <=slant } - 2 t a + t + 2 対任意āeL一1,11e成 立.* \{ \stackrel { - 2 t + t + 2 >=slant 1 } { 2 t + t + 2 >=slant 1 } , \therefore - / { 1 } { 3 } <=slant t <=slant 1 , 邸数 \mathbf { \chi } _ { t } 的耶満国丸 \left[ - / { 1 } { 3 } , 1 \right] 中

裸堂送椋

R [ f ( x ) 寄留教 \therefore f ( - x ) = - f ( x ) 山 又 f ( x ) { \neq } 0 , { \dot { \ x } } ; f ( x ) f ( - x ) { = } { - } [ f ( x ) ] ^ { 2 } { < } 0 . ]

2D F: f ( 1 - x ) = - f ( 3 + x ) 中: f ( 2 - x ) = - f ( 2 + x ) 今 g \left( x \right) = f ( 2 + x ) 則 g ( - x ) = f ( 2 - x ) = - f ( 2 + x ) = - g ( x ) も:： g ( x ) 脊数即数 f ( 2 + x ) 的四象美子原 点対称司
3. f ( 2 ) > f ( 4 ) 工国ヵ奇番教前図象美千原点寸秤所以 f ( 2 ) = - f ( - 2 ) f ( 4 ) = - f ( - 4 ) 中由留教図象可知 f ( - 2 ) { < } f ( - 4 ) 市所以 - f ( - 2 ) > - f ( - 4 ) 印 f ( 2 ) { \ > } f ( 4 ) . ]
4.L0,1）L. f ( x ) 在定メ域一1.11上号奇留数又是減髷数・由 f ( 1 - a ^ { 2 } ) + f ( 1 - a ) < 0 , 得f ( 1 { - } a ^ { 2 } ) { < } f ( a { - } 1 ) \scriptstyle ( - 1 <=slant 1 - a ^ { 2 } <=slant 1 \scriptstyle 1 - 1 <=slant 1 - a <=slant 1 \mid 1 - a ^ { 2 } > a - 1 解得 0 { <=slant } a { < } 1 ・実教 \scriptstyle a 前取値范田L0,1)

42 簡単幕函数的図象和性盾

探究1 提示 ( 1 ) _ { { \cal y } } = _ { x } ; ( 2 ) _ { { \cal y } } = { x ^ { 2 } } ; ( 3 ) _ { { \cal y } } = _ { x ^ { 3 } } 中( 4 ) y = { sqrt { x } } = x ^ { / { 1 } { 2 } } 中 ( 5 ) y = x ^ { - 1 } ：共同特征（1辱的形式2)暴的底数是自変量：3毒的指勢是常数

知杭理

\scriptstyle { y = x ^ { α } }

例1 1FC 由番留数定メ知 y = 2 ^ { x } 与 y = 2 x 不是昪番数其余昪番数丁
の / { 1 } { 5 } 「由題意得(2ナカニ)û

川郷 1 ^ { * } ( 1 ) 5 或 - 1 213 L(1)因丸 f ( x ) 是邪 留数所以 m ^ { 2 } - 4 m - 4 = 1 印 m ^ { 2 } - 4 m - 5 = 0 中 解得 m = 5 或 m = - 1 (2及 f ( x ) = x ^ { a } “ \therefore f ( 4 ) = 3 f ( 2 ) :： 4 ^ { α } = 3 x 2 ^ { α } 解得 2 ^ { a } = 3 , \therefore f ( 2 ) = 2 ^ { a } = 3 . ]

例2（IDBL根据羂髷数 y = x ^ { n } 前性膩在第象熙内前図象当 n { > } 0 町 \boldsymbol { n } 越大 y = x ^ { n } 葦増速度越・散 C _ { 1 } 由 \scriptstyle n = 2 , C _ { 2 } 田 n { = } / { 1 } { 2 } 山 n { < } 0 肘 \lvert n \rvert 越大曲越庭噌所以曲 C _ { 3 } 的 n = - { / { 1 } { 2 } } 曲 C _ { 4 } 田 n { = } { - } 2 改途É

2解 投 f ( x ) = x ^ { a } 中
： ( { sqrt { 2 } } ) ^ { a } = 2 , \therefore α = 2 ,
: f ( x ) = x ^ { 2 } ロ
分別作出 f ( x ) 8p的
四象,図所示.
由図象知：
① 当 re(--0,0U(1,+o0)肘.f ( x ) { \ > } g ( x )
② 和 _ { x = 1 } 町 f ( x ) { = } _ { g } ( x )
- ③ 前 x \in ( 0 , 1 ) 町; f ( x ) { < } g ( x ) .

刑銑？CLÈ象可知 _ { y = x ^ { / { m } { n } } } 是信番教両 \mathbf { \nabla } _ { m } 中 n 是互廣的故 \mathbf { \Psi } _ { m } 是偶数 \mathbf { \Omega } _ { * n } 是奇数 又当 x \in ( 1 , + ∞ ) 財; y = x ^ { / { m } { n } } 的留象在 y = x 的岡亀下方・故 / { m } { n } { < } 1 . ]

知硫理

R R r Lo.+o! （--e,0U(0,+e)奇偶奇非奇非偶　奇　増増城　増増減減（1)

例： (1p(3,51四丸 f ( x ) { = } x ^ { / { 1 } { 2 } } { = } sqrt { x } \left( x { >= } 0 \right) 出易知 f ( x ) 中 [ 0 , + ∞ ) 上増髷数又 f ( 1 0 - 2 a ) { < } f ( a + 1 ) (+1>0, 1a-1, \left\{ \begin{array} { l l } { a >= - } \\ { a <=slant 5 } \end{array} \right. 所以)i0一2a20解得 時\vert a + 1 > 1 0 - 2 a a>3.所以3くà5-丁2解 ① ： y = x ^ { 0 . 5 } 在L0, + ∞ ) 上是増番数旦/ { 2 } { 3 } > / { 3 } { 5 } *s ( / { 2 } { 3 } ) ^ { 0 . 5 } > ( / { 3 } { 5 } ) ^ { 0 . 5 } . ② ： y = x ^ { 3 } 是R上的増番数旦 3 . 1 4 < π ： 3 . 1 4 ^ { 3 } < π ^ { 3 } .-314フーポ.
{ 3 } \because \Big ( / { 1 } { 2 } \Big ) ^ { / { 3 } { 4 } } < \Big ( / { 1 } { 2 } \Big ) ^ { / { 2 } { 4 } } = \Big ( / { 1 } { 2 } \Big ) ^ { / { 1 } { 2 } } ,

刑捺：り解 ① 四丸暴岡数 y = x ^ { 0 . 3 } 在(0,+ ∞ ) 上是単週違増的/ { 2 } { 5 } > / { 1 } { 3 } , β β β λ \left( / { 2 } { 5 } \right) ^ { 0 . 3 } > \left( / { 1 } { 3 } \right) ^ { 0 . 3 } . -② 図羅留数 y = x ^ { - 1 } 中 ( - ∞ , 0 ) 上是単週皇減的メーテイーナλ \left( - / { 2 } { 3 } \right) ^ { - 1 } > \left( - / { 3 } { 5 } \right) ^ { - 1 } . 20ć丸 { \dot { f } } ( x ) 是邪図数所以 m ^ { 2 } - 3 m - 9 = 1 中所以 m ^ { 2 } - 3 m - 1 0 { = } 0 中印 \scriptstyle ( m + 2 ) ( m - 5 ) = 0 出鮮得 m = - 2 或 m = 5 因 f ( x ) 在 ( 0 , + ∞ ) 上単週叢所以 m - 3 < 0 印 m { < } 3 , 則 m = - 2 」② 円 ① 可知 ( 2 a - 1 ) ^ { m } > ( a + 2 ) ^ { m } 印/ { 1 } { ( 2 a - 1 ) ^ { 2 } } { > } / { 1 } { ( a + 2 ) ^ { 2 } } \phantom { } _ { I } ( 2 a - 1 ) ^ { 2 } < ( a + 2 ) ^ { 2 } 「 \scriptstyle \lfloor 2 a - 1 \neq 0 a + 2 \neq 0 中3 a ^ { 2 } - 8 a - 3 < 0 中a { \neq } { / { 1 } { 2 } } a \neq - 2 解得 - / { 1 } { 3 } < a < / { 1 } { 2 } \ �up / { 1 } { 3 } < a < 3 . 改酌取値范国是 \left( - { / { 1 } { 3 } } , { / { 1 } { 2 } } \right) \cup \left( { / { 1 } { 2 } } , 3 \right)

y = x ^ { / { 1 } { 2 } } 0,+80!上的着 目数・月 / { 3 } { 4 } { > } / { 1 } { 2 } も\therefore ( / { 3 } { 4 } ) ^ { / { 1 } { 2 } } > ( / { 1 } { 2 } ) ^ { / { 1 } { 2 } } , \therefore ( / { 3 } { 4 } ) ^ { / { 1 } { 2 } } > ( / { 1 } { 2 } ) ^ { / { 3 } { 4 } } .

1CL由昪教的定又知RC不苻會昪番教的 定人コ
2.B由千 y = x ^ { m } 在区同 ( 0 , + ∞ ) 上単週毫増 旦増越来越慢・則 0 { < } m { < } 1 中 由千 y = x ^ { n } 在区同 ( 0 , + ∞ ) 上単週叢蔵旦在 真袋 _ { x = 1 } 的右側財 { \bf { \Psi } } _ { y } = { \bf { { \Psi } } } _ { x } { \bf { { \Psi } } } ^ { n } 前図象在 y = x ^ { - 1 } 的図象前下方散 n { < } { - } 1 . ]

裸堂送椋

き / { 1 } { 2 } ^ { / { 1 } { 4 } x } - / { 5 } { 2 } - L丸 f ( x ) = ( k ^ { 2 } + k - 1 ) x ^ { a } 是
黒留数
所以 k ^ { 2 } + k - 1 = 1
所以 k = 1 或 k = - 2 中
灰 f ( x ) 的田条社点 \left( { / { 1 } { 2 } } , { / { sqrt { 2 } } { 2 } } \right)
所め(ー)ー号
町 2 ^ { - α } = 2 ^ { - { / { 1 } { 2 } } } α { = } / { 1 } { 2 } も
所以 k - α = / { 1 } { 2 } 喜 k - α = - / { 5 } { 2 } . ]

42或：4T苗題意得 m ^ { 2 } - 5 m + 4 < 0 h耳 \vert m ^ { 2 } - 5 m + 4 \vert 是偶数解 m ^ { 2 } - 5 m + 4 < 0 得 _ { 1 < m < 4 , m \in \mathbf { Z } } 中肌 \mathbf { \nabla } _ { m } 的値可以ヵ2或3登証 \scriptstyle * m = 2 式 m = 3 待合題意此町 f ( x ) { = } { x } ^ { - 2 } \therefore f { \left( { / { 1 } { 2 } } \right) } = \left( { / { 1 } { 2 } } \right) ^ { - 2 } = 4 . 7

章末須提升

例1 (1D 2(-1,11 L(1: f ( x ) 的定文城カ ( - 3 , 3 ) 車\therefore - 3 < 2 x - 1 < 3 , \therefore - 1 < x < 2 -\therefore M = \{ x | - 1 < x < 2 \} ・ * N { = } \left\{ x \ \middle | \ y { = } { / { 1 } { sqrt { x - 1 } } } + sqrt { 5 - x } \right\} , ュ * \{ \stackrel { x - 1 > 0 } { 5 - x >= 0 } , \therefore 1 < x <=slant 5 出 * \dot { N } = \lbrace x \mid 1 { < } x { <=slant } 5 \rbrace \cup N = \{ x \vert - 1 < x <=slant 5 \} 散逸D2困刃 y = / { 1 - x ^ { 2 } } { 1 + x ^ { 2 } } = - 1 + / { 2 } { 1 + x ^ { 2 } } 又番教的定メ域力 bf { R } 車所以 x ^ { 2 } + 1 { >=slant } 1 中

所以 0 { < } / { 2 } { 1 { + } x ^ { 2 } } { <=slant } 2
Å _ y \in ( - 1 11
山禁11D (2AC (1)要使番数有意メ・則_ { [ 1 - x > 0 } _は\scriptstyle \lfloor 2 x - 1 \neq 0 中
鮮得 x { < } 1 日 x { \neq } / { 1 } { 2 }
邸f(の)的定支城場 \left( - ∞ , / { 1 } { 2 } \right) \cup \left( / { 1 } { 2 } , 1 \right) ま
(2対千A,由 x \in [ 1 , 5 ] 可得 f ( x ) = x - 1 \in
L0,4,散A正禰:
対B．由 f ( x ) = - x ^ { 2 } + 4 <=slant 4 可得夜留教的値
城(一с,4丁,散B黌：
対C,由 0 { <=slant } f ( x ) = { sqrt { 1 6 - x ^ { 2 } } } { <=slant } { sqrt { 1 6 } } = 4 可
得番数前値城L04丁,散C正禰：
オ王 { D } , f ( 6 ) = 6 + / { 1 } { 6 } - 2 = / { 2 5 } { 6 } > 4 , -
所以数的慎域不04改D散辻
AC.]
例解 (1国ヵ定メ城一：,3美千原 点対称又 f ( - x ) { = } ( - x ) ^ { 2 } { - } 2 | - x | + a -出 = x ^ { 2 } - 2 \vert x \vert + a = f ( x ) 中印 f ( - x ) { = } f ( x ) 中所以 f ( x ) 是偈図数(2)若 a = - 1 当 0 { <=slant } _ { x } { <=slant } 3 肘，f ( x ) = x ^ { 2 } - 2 x - 1 = ( x - 1 ) ^ { 2 } - 2 ; 当-3く0町.F(エーエ+2rー1ー(r+12ー2.
即(2ー!(エリ二2:0イく3。1エ+リ2-2,ー3エ<0.根据ニ次番教的作図方法・可得番数的図象・如図所示。

故 f ( x ) 在区同L一3,一1丁,L0,11上カ減番数在 ( - 1 , 0 ) （1,31上増髷教.当 0 { <=slant } x { <=slant } 3 財岡数 f ( x ) = ( x - 1 ) ^ { 2 } - 2 的最小恒刃 f ( 1 ) = - 2 最大値丸 f ( 3 ) = 2 当- 3 { <=slant } x { < } 0 町図数 f ( x ) = ( x + 1 ) ^ { 2 } - 2 的最小値 f ( - 1 ) = - 2 最大値丸 f ( - 3 ) = 2 山故番数 f ( x ) 前値域刃一2,2川捺？解（D及 f ( x ) = x ^ { α } 因丸点 ( { sqrt { 2 } } , 2 ) 在承髷数 f ( x ) 的図象上所以 ( { sqrt { 2 } } ) ^ { a } = 2 解得 { \bf \varepsilon } = 2 { \bf \varepsilon } 即 f ( x ) = x ^ { 2 } 中及 g ( x ) = x ^ { β } 中因丸点 \left( 2 , { / { 1 } { 2 } } \right) 在承番数 g ( x ) 的岡象上。所以 2 ^ { β } = / { 1 } { 2 } 解得 β = - 1 ホ\sharp _ { g } ( \boldsymbol { x } ) = \boldsymbol { x } ^ { - 1 } .(2)在同一平面角坐転系中画出留数f ( x ) = x ^ { 2 } 和 g ( x ) = (1,1x ^ { - 1 } 的図象可得留数 h \left( x \right) 的図象如図中宍歩所由題意及図象可知 1-ム(アー 「; x { < } 0 或 _ { x > 1 } 」\scriptstyle n <= x - { \overline { { \left\{ x ^ { 2 } , 0 < x <= 1 \right. } } } ま根据番教 ( \boldsymbol { \mathbf { \rho } } _ { x } ) 的解析式及図象可知岡教(È)的最大置1単週増区同(0,11単週叢減区同 ( - ∞ , 0 ) 和 ( 1 , + ∞ )

例：解 ()曲番数 f ( x ) = \left\{ { \begin{array} { l } { x ( 1 + x ) , x { <=slant } 0 , } \\ { a x ( b + x ) , x { > } 0 } \end{array} } \right. { { ; } }
奇髷数
即 f ( - 1 ) { = } { - } f ( 1 ) , f ( - 2 ) { = } { - } f ( 2 )
画 \mathbb { 1 } - 1 x ( 1 - 1 ) = - a \left( b + 1 \right) 中
- 2 x ( 1 - 2 ) = - 2 a \left( b + 2 \right) ,
解得 a = - 1 , b = - 1 竪桧整符合題意
(2)由(1)得 f ( x ) = \left\{ { \begin{array} { l } { x \left( 1 + x \right) , x <=slant 0 , } \\ { - x \left( - 1 + x \right) , x > 0 } \end{array} } \right. 中
故由 f ( x ) { >=slant } { / { 1 } { 4 } } ナーのナートーュートのますx { <=slant } { - } { / { sqrt { 2 } + 1 } { 2 } } { / { \sharp } { \sharp } } x { = } { / { 1 } { 2 } } , 鳥
所以 f ( x ) { >=slant } { / { 1 } { 4 } } 的解条力
- \left( - ∞ , - { / { { sqrt { 2 } } + 1 } { 2 } } \right] \cup \left\{ { / { 1 } { 2 } } \right\} . 男\ u _ { { 3 } } ) \exists . { x } { \in } [ - 1 , 3 ] f ( x ) + 2 m - 1 { >= } 0
只番 f ( x ) _ { { m a x } } + 2 m - 1 \ge 0 , x \in [ - 1 , 3 _ { - } ：
当 x \in [ - 1 , 0 ] 肘 \scriptstyle , f ( x ) = x ( 1 + x ) = x ^ { 2 } + x = \left( x + { / { 1 } { 2 } } \right) ^ { 2 } - { / { 1 } { 4 } }
北財当 \scriptstyle x = - 1 或 \scriptstyle x = 0 肘 f ( x ) _ { { m a x } } { = } 0 “
却 x \in ( 0 , 31町 f ( x ) = - x ( - 1 + x ) = - x ^ { 2 } + x = - \left( x - { / { 1 } { 2 } } \right) ^ { 2 } + { / { 1 } { 4 } } 中
北財当 x { = } / { 1 } { 2 } \not \equiv \not \Psi , f ( x ) _ { { m a x } } { = } / { 1 } { 4 } ,
上所誌当 x \in [ - 1 , 3 ] 百 . f ( x ) _ { { m a x } } = / { 1 } { 4 } 鼓見署 / { 1 } { 4 } + 2 m - 1 >= 0 鮮得 m >= / { 3 } { 8 }
鼓笑数 \mathbf { \Psi } _ { m } 的耶値芝国刃 \left[ { / { 3 } { 8 } } , + ∞ \right)
I毎：1C (2)氏D L(1由題意司得:
当 x \in [ 0 , 6 ] 財无人机傲勾加速透功
V ( x ) { = } 6 0 { + } / { 4 0 } { 3 } x . “連度差数” v ( x ) = / { 4 0 } { 3 } x 3r当 x \in [ 6 , 1 0 ] 肘・毛人机傲名痺透弘 \boldsymbol { { \cal V } } ( \boldsymbol { x } ) = 140“速度差番教” \scriptstyle ( \boldsymbol { \mathscr { x } } ) = 8 0 中当 x \in [ 1 0 , 1 2 ] 肘・毛人机働々加痺透到 { \bf \nabla } * V ( x ) = 4 0 + 1 0 x “度差留数” ( x ) = - 2 0 + 1 0 x 中当ェE12,151財・无人机傲勾遠痺功・“度差番教 { \bf \rho } ( x ) = 1 0 0 は吉合站項L蕭足\*痺度差番卦”解祈式散盂
(2)依題意当 0 { <=slant } x { <=slant } 3 財舎 y _ { 1 } = a _ { 1 } x + b _ { 1 } 中
ロ3\ S { 3 a _ { 1 } + b _ { 1 } = 0 } と解得 a _ { 1 } = - 1 , b _ { 1 } = 3 中四北 y _ { 1 } = - x + 3 却 3 { <=slant } _ { x } { <=slant } 4 財舎 y _ { 2 } = a _ { 2 } x + b _ { 2 }
言 \mathscr { f } a _ { 2 } + b _ { 2 } = 3 谷 a _ { 2 } = 3 , b _ { 2 } = - 9 も3 a _ { 2 } + b _ { 2 } = 0 四北 { { y } _ { 2 } } = 3 { { x } } - 9
奈上(2ートニニ十3:0イイ3。対千 { A } , f ( f ( { \dot { 4 } } ) ) = f ( 3 ) = 0 , { A } 不正禰：寸千B．番教 f \left( x \right) 在L1,3上董・在- \left[ 3 , { / { 1 0 } { 3 } } \right] 上通増両 f ( 1 ) = 2 , f \left( { / { 1 0 } { 3 } } \right) = 1 岡
北野数 f ( x ) 在区阿 \left[ 1 , { / { 1 0 } { 3 } } \right] 上的最大値丸2。E正禰：対千C困当 0 { <=slant } { x } { <=slant } 3 財 \ x - 3 + 2 \left| x - 3 \right| =
- { x } + 3 当 3 { <=slant } _ { { X } } { <=slant } 4 財 * x - 3 + 2 \left| \mathscr { x } - 3 \right| = 3 x -
則当 0 { <=slant } { x } { <=slant } 4 肘 \scriptstyle * f ( x ) = x - 3 + 2 \mid x - 3 \mid , \mathbf { C } 正禰：
対千D,四 f \left( { / { 3 } { 2 } } \right) = { / { 3 } { 2 } } , f \left( { / { 7 } { 2 } } \right) = { / { 3 } { 2 } } , 几楽
四条知当 a = / { 3 } { 2 } 町,不等式 f ( x ) { <=slant } a :解集丁 \left[ / { 3 } { 2 } , / { 7 } { 2 } \right] D正覇.蔵道 BCD]
例 解 (1番数 f ( x ) = { / { ( x + 1 ) ( x + a ) } { x ^ { 2 } } } - { / { 1 } { | x | } }
前定文域丸(一,0U _ { ( 0 , + ∞ ) } と
四 f ( x ) 是偶番澂即 f ( x ) { = } f ( - x ) 出
所ッエ十ル中o / { ( x + 1 ) ( x + a ) } { x ^ { 2 } } - / { 1 } { | x | } = / { ( - x + 1 ) ( - x + a ) } { x ^ { 2 } } - / { 1 } { | x | } ,
整理得 ( x + 1 ) ( x + a ) = ( x - 1 ) ( x - a ) 中
印 2 ( a + 1 ) _ { \scriptstyle x } = 0 解得 a = - 1 -
(2)由(1)知 f ( x ) = 1 - { / { 1 } { x ^ { 2 } } } - { / { 1 } { | x | } } . 中
昆然図数 f ( x ) 在 ( 0 , + ∞ ) 上単潤増証明下:
任取 x _ { 1 } , x _ { 2 } \in ( 0 , + ∞ ) 月 x _ { 1 } < x _ { 2 }
ロ ュシー(イニートー+ス+ナー
エー」ーニ（エ十イ+エ2エン
エitit T2t! エí
四カ \scriptstyle x _ { 2 } > x _ { 1 } > 0 キ
所以 x _ { 2 } + x _ { 1 } + x _ { 2 } x _ { 1 } > 0 , x _ { 2 } - x _ { 1 } > 0 は
印 f ( x _ { 2 } ) { - } f ( x _ { 1 } ) { > } 0 印 f ( x _ { 2 } ) { \ > } f ( x _ { 1 } ) 中
因此 f ( x ) 中 ( 0 , + ∞ ) 上単週壌増:
(の(く2知行(のを \left[ { / { 1 } { m } } , { / { 1 } { n } } \right] 上半洞産場
電教 f ( x ) \not \equiv { \biggl [ } { / { 1 } { m } } , { / { 1 } { n } } { \biggr ] } 上的域格力
[ 2 - λ m , 2 - λ n ] 」も
千是得 (アー)ー2ール(ー)-2ー入\scriptstyle _ { 1 } \int ^ { 2 } + ( 1 - λ ) m + 1 = 0 中 中x x ^ { 2 } + ( 1 - λ ) x + 1 = 0 ( 0
+ ∞ ) 上有西不不等的正根 ^ { m , n } +ョョ \scriptstyle ( \Delta = ( 1 - λ ) ^ { 2 } - 4 > 0 サ
ıı \mid m + n = λ - 1 > 0 中中 m n { = } 1 { > } 0 ホ
解得 λ > 3 所以 λ 的耶値集合号 \{ λ \vert λ > 3 \} 中
川捺4解 ( 1 ) ： f ( x ) 是脊図数
:： * f ( - x ) { = } - f ( x ) -
* { / { m x ^ { 2 } + 2 } { - 3 x + n } } = - { / { m x ^ { 2 } + 2 } { 3 x + n } } .
得 n { = } { - } n , { \dot { \ldots } } n { = } 0 ま
- \stackrel { \triangledown } { x } f ( 2 ) = / { 5 } { 3 } , \stackrel { . . } { \ } / { 4 m + 2 } { 6 } = / { 5 } { 3 } パ解得一2
因此宍数 \mathbf { \nabla } _ { m } 和 n 前値分別是2和
C2由(り知 f ( x ) { = } / { 2 x ^ { 2 } + 2 } { 3 x } { = } / { 2 x } { 3 } { + } / { 2 } { 3 x } .
任取 x _ { 1 } , x _ { 2 } \in [ - 2 , - 1 ] 旦 { \bf \Psi } _ { x _ { 1 } < x _ { 2 } }
賢 f ( x _ { 1 } ) - f ( x _ { 2 } ) { = } / { 2 } { 3 } ( x _ { 1 } { - } x _ { 2 } ) \left( 1 { - } / { 1 } { x _ { 1 } x _ { 2 } } \right)
ニーェューェ）・ー
ミ - 2 { <=slant } x _ { 1 } { < } x _ { 2 } { <=slant } - 1 ま
* , x _ { 1 } - x _ { 2 } < 0 , x _ { 1 } x _ { 2 } > 1 , x _ { 1 } x _ { 2 } - 1 > 0 中
* f ( x _ { 1 } ) { - f ( x _ { 2 } ) { < } 0 } 即 f ( x _ { 1 } ) { < } f ( x _ { 2 } ) 中
番数 f ( x ) 在一2一11上カ増留数
\therefore f ( x ) _ { { m a x } } = f ( - 1 ) = - { / { 4 } { 3 } } ,
f ( x ) _ { { m i n } } = f ( - 2 ) = - / { 5 } { 3 } . -

第三章 指数透算与指数数

\ S 1 指数幕的拓展

探究1 提示 { sqrt [ 3 ] { a ^ { 2 } } } = a ^ { / { 2 } { 3 } } { sqrt [ 4 ] { a ^ { 2 } } } = a ^ { / { 2 } { 4 } } = a ^ { / { 1 } { 2 } } 中{ sqrt [ 3 ] { a ^ { 5 } } } = a { / { 5 } { 3 } } , { sqrt [ 9 ] { a ^ { 3 } } } = a ^ { / { 3 } { 9 } } = a ^ { / { 1 } { 3 } } 中
知硫理

1 . b ^ { n } = a ^ { m } 常

例1 解 ( 1 ) \mathbb { O } a = 6 4 ^ { / { 1 } { 3 } } ：{ 2 } a = 3 / { 5 } { 7 } 中
Oa-..
- { 4 } a = 2 ^ { - / { 3 m } { n } } = / { 1 } { 2 ^ { / { 3 m } { n } } } = \left( / { 1 } { 2 } \right) ^ { / { 3 m } { n } } . ( 2 ) { \scriptsize { 1 } } 6 4 ^ { - / { 1 } { 6 } } = / { 1 } { 6 4 ^ { / { 1 } { 6 } } } 成 b { = } 6 4 ^ { / { 1 } { 6 } } も-64-2-2,
6ーナーナ
の役-8iテ,か-81：かー(3少ー27 ',:b-27,：8it -27.
00.001-I ---001
役-001t,.-001:\therefore b ^ { 3 } = \left( { / { 1 } { 1 0 \ 0 0 0 } } \right) ^ { 3 } , \therefore b = { / { 1 } { 1 0 \ 0 0 0 } } ,

テ \begin{array} { r l } & { { 1 0 0 ~ R e ~ 1 0 - 0 . 5 e x } } \\ & { { 2 0 0 e ~ R e ~ 1 0 - 0 . 5 e x } } \\ & { { 3 0 0 e ~ R e ~ 1 0 - 0 . 5 e x } } \\ & { { 4 0 0 e ~ R e ~ 1 0 - 0 . 5 e x } } \\ & { { 5 0 0 e ~ R e ~ 1 0 - 0 . 5 e x } } \\ & { { 6 0 - 0 . 5 e x } } \\ & { { 6 0 0 e ~ R e ~ 1 0 - 0 . 5 e x } } \\ & { { 6 0 - 0 . 5 e x } } \\ & { { 7 0 0 e ~ R e ~ 1 0 - 0 . 5 e x } } \\ & { { 6 0 - 0 . 5 e x } } \\ & { { 6 0 - 0 . 5 e x } } \\ & { { 7 0 0 e ~ R e ~ 1 0 - 0 . 5 e x } } \\ & { { 8 0 - 0 . 5 e x } } \\ & { { 9 . 8 e x } } \\ & { { 9 . 8 e x } } \\ & { { 9 . 8 e x } } \\ & { { 9 . 8 e x } } \\ & { { 9 . 8 e x } } \\ & { { 9 . 8 e x } } \\ & { { 9 . 8 e x } } \\ & { { 9 . 8 e x } } \\ & { { 9 . 8 e x } } \\ & { { 9 . 8 e x } } \\ & { { 9 . 8 e x } } \\ & { { 9 . 8 e x } } \\ & { { 9 . 8 e x } } \\ & { { 9 . 8 e x } } \\ & { { 9 . 8 e x } } \\ & { { 9 . 8 e x } } \\ & { { 9 . 8 e x } } \\ & { { 9 . 8 e x } } \\ & { { 9 . 8 e x } } \\ & { { 9 . 8 e x } } \\ & { { 9 . 8 e x } } \\ & { { 9 . 8 e x } } \\ & { { 9 . 8 e x } } \\ & { { 9 . 8 e x } } \\ & { { 9 . 8 e x } } \\ & { { 9 . 8 e x } } \\ & { { 9 . 8 e x } } \\ & { { 9 . 8 e x } } \\ & { { 9 . 8 e x } } \\ & { { 9 . 8 e x } } \\ & { { 9 . 8 e x } } \\ & { { 9 . 8 e x } } \\ & { { 9 . 8 e x } } \\ & { { 9 . 8 e x } } \\ & { { 9 . 8 e x } } \\ & { { 9 . 8 e x } } \\ & { { 9 . 8 e x } } \\ & { { 9 . 8 e x } } \\ & { { 9 . 8 e x } } \\ & { { 9 . 8 e x } } \\ & { { 9 . 8 e x } } \\ & { { 9 . 8 e x } } \\ & { { 9 . 8 e x } } \\ & { { 9 . 8 e x } } \\ & { { 9 . 8 e x } } \\ & \end{array} ョ-尊ご(2解 「a-57-5-シド-シ1256-11t-シT-シ-シi121,セ-1237- シ123,両121く123く125,: { sqrt [ 6 ] { 1 2 5 } } > { sqrt [ 6 ] { 1 2 3 } } > Vi2, ..aフcb.探究 2 提示可以坂琵・当指教 x 八整教拓展到了毛理数町・官是一不禰定的実

削取値弛国勤在数軸上有准一的一不点与宮対度

知杭理

/ { 1 } { a ^ { a } }

例： (1ELD 由毛理数指教審前定メ可知 B,C,D正硝.] ( 2 ) { / { 1 } { 1 0 ^ { sqrt { 3 } } } } \quad [ 1 0 ^ { - sqrt { 3 } } = { / { 1 } { 1 0 ^ { sqrt { 3 } } } } . ]

川禁3 ACD 中1ードーターBキー0ーパーイ()
C中ホーメーア;
D中段 b = 8 ^ { / { 2 } { 3 } } , \therefore b ^ { 3 } = 8 ^ { 2 } = 4 ^ { 3 } , \therefore b = 4 , ： 8 { / { 2 } { 3 } } = 4 蔵辻ACD]

裸堂送

1,D L対A．困 a 前正負不禰定 所以 { sqrt [ 8 ] { a ^ { 8 } } } = \left| a \right| 対千R,需 a \neq 0 対千C站果度4．只有D正禰コ

2A「根式 sqrt [ 5 ] { a ^ { - 3 } } 化力分数指数星 a ^ { - { / { 3 } { 5 } } } 故迹A/ { 1 } { 6 4 } - [ 1 6 ^ { - / { 3 } { 2 } } = / { 1 } { 1 6 ^ { / { 3 } { 2 } } } や b { = } 1 6 ^ { / { 3 } { 2 } } .が-16-43-4こー4-64,：16トーーコ
オーズーターーナ:： 3 ^ { sqrt { 2 } x - 1 } = 3 ^ { - 2 } 中

\ S 2 指数幕的透算性

知硫理

( 1 ) a ^ { a ^ { + } β } - ( 2 ) a ^ { α β } (3)à““

例I解)庫式 = 1 + { \bigg ( } { / { 1 } { 5 } } { \bigg ) } ^ { - 1 } ; T()11-3ーリ-1+5メーーシー02廃式-「 10)+(10-リーキ1ー)1ニー$+系-チ+100+トー:+スー-10+ 1144-3-100
の緑末ー)ムー）（(）= / { 5 } { 2 } - / { 3 } { 2 } + / { 1 } { 2 } + \left( / { 2 } { 5 } \right) ^ { - 1 } - 1 = 3 , -
川筅1解（I)原式一 0 . 4 ^ { - 1 } - 1 + ( - 2 ) ^ { - 4 } + 2 ^ { - 3 } = / { 5 } { 2 } - 1 + / { 1 } { 1 6 } + / { 1 } { 8 } = / { 2 7 } { 1 6 }
(の庫式ー()ー1ー()ニt())+GSリオ- (ーパ1ー1-1(ー)1+()キーチー-(ー)キ(ー)キ:= { / { 1 1 } { 2 } } .
例? 解 （a.Aa-a.aニ-at.2ョ-Saが-Vaア. （aかク?-Vaかaすす-Vaーン-aーtす.(3)原式一「5メ（一イ)メ(ー)1ーキ+ーク+ナ・
ジナーナーラ・ン川秦？解（D原式 = { / { 3 x ^ { - { / { 3 } { 4 } } } y ^ { / { 1 } { 2 } } } { - { / { 3 } { 1 0 } } x ^ { - { / { 3 } { 4 } } } y ^ { - { / { 1 } { 2 } } } } } = - 1 0 y 2原式-L2メ(一6ー(ー3)1аニ+ラーニb ^ { / { 1 } { 2 } + / { 1 } { 3 } - / { 5 } { 6 } } = 4 a
(3原式 = / { a ^ { / { 1 } { 3 } } ( a - 8 b ) } { 4 b ^ { / { 2 } { 3 } } + 2 a ^ { / { 1 } { 3 } } b ^ { / { 1 } { 3 } } + a ^ { / { 2 } { 3 } } } / / { a ^ { / { 1 } { 3 } } - 2 b ^ { / { 1 } { 3 } } } { a } 2ーキキーン I・a3α（а一8り)
(46ニ+2aま0ト+aシ（aエー20ア)
α（а一8b）一α（а一8b） -a
(аトパー(2αー8
例銀のーサートーテす。・テキート -3
2の役 \scriptstyle { m = x ^ { / { 1 } { 2 } } + x ^ { - { / { 1 } { 2 } } } } ,
西迦平方得 \scriptstyle m ^ { 2 } = x + x ^ { - 1 } + 2 = 7 + 2 = 9
因丸 m { > } 0 所以 \scriptstyle { m = 3 } 即 x ^ { / { 1 } { 2 } } + x ^ { - { / { 1 } { 2 } } } = 3 .
② 没 n { = } x ^ { / { 1 } { 2 } } { - } x ^ { - { / { 1 } { 2 } } }
西平方得 n ^ { 2 } = x + x ^ { - 1 } - 2 = 7 - 2 = 5 ,
因 { \boldsymbol { n } } \in \mathbf { R } 所以 n = ± { sqrt { 5 } } 中
即 x ^ { / { 1 } { 2 } } - x ^ { - { / { 1 } { 2 } } } = ± { sqrt { 5 } } ュ
所以 x - x ^ { - 1 } = ( x ^ { / { 1 } { 2 } } + x ^ { - / { 1 } { 2 } } ) ( x ^ { / { 1 } { 2 } } - x ^ { - / { 1 } { 2 } } )
= ± 3 { sqrt { 5 } }
x ^ { 2 } - x ^ { - 2 } = ( x + x ^ { - 1 } ) ( x - x ^ { - 1 } ) = ± 2 1 { sqrt { 5 } }

川券： 1C [ 1 0 ^ { 3 x - 2 y } = { / { 1 0 ^ { 3 x } } { 1 0 ^ { 2 y } } } = { / { ( 1 0 ^ { x } ) ^ { 3 } } { ( 1 0 ^ { y } ) ^ { 2 } } } = { / { 3 ^ { 3 } } { 4 ^ { 2 } } } = / { 2 7 } { 1 6 } 散逸C

2解 由題意知 Ja+6-8. \left\{ { a \atop a b = 9 } \right. \nonumber
中
メab..ab0.
:： ( a - b ) ^ { 2 } = ( a + b ) ^ { 2 } - 4 a b = 6 4 - 3 6 = 2 8 , * _ { a > b > 0 , \bullet a - b = 2 sqrt { 7 } }
* / { a ^ { / { 1 } { 2 } } - b ^ { / { 1 } { 2 } } } { a ^ { / { 1 } { 2 } } + b ^ { / { 1 } { 2 } } } = / { ( a ^ { / { 1 } { 2 } } - b ^ { / { 1 } { 2 } } ) ^ { 2 } } { ( a ^ { / { 1 } { 2 } } + b ^ { / { 1 } { 2 } } ) ( a ^ { / { 1 } { 2 } } - b ^ { / { 1 } { 2 } } ) }
{ \bf \tau } = / { a + b - 2 ( a b ) ^ { / { 1 } { 2 } } } { a - b } { \bf \tau } = / { 8 - 2 x 9 ^ { / { 1 } { 2 } } } { 2 sqrt { 7 } } = / { sqrt { 7 } } { 7 } .

深堂送

14 [ a ^ { / { 1 } { 4 } } * a ^ { - { / { 3 } { 4 } } } = a ^ { / { 1 } { 4 } - { / { 3 } { 4 } } } = a ^ { - { / { 1 } { 2 } } } 故逸A 照式 = 1 + { / { 1 } { 4 } } x { / { 2 } { 3 } } - { / { 1 } { 1 0 } } = { / { 1 6 } { 1 5 } } 歳道人丁 31 [ ( sqrt { 3 } + sqrt { 2 } ) ^ { 2 0 2 5 } ~ \bullet ~ ( sqrt { 3 } - sqrt { 2 } ) ^ { 2 0 2 5 } - = [ ( { sqrt { 3 } } + { sqrt { 2 } } ) ( { sqrt { 3 } } - { sqrt { 2 } } ) ] ^ { 2 0 2 5 } = 1 ^ { 2 0 2 5 } = 1 . ] ョョ 4 . 9 { sqrt { 5 } } \quad \left[ a ^ { 2 x + { / { y } { 2 } } } = ( α ^ { x } ) ^ { 2 } * ( a ^ { y } ) ^ { / { 1 } { 2 } } = 3 ^ { 2 } * 5 ^ { / { 1 } { 2 } } \right. = 9 sqrt { 5 } . ]

\ S \ S 指数数

第一裸肘 指数函数的概念及函数y = a ^ { x } \left( a > 1 \right) 的図象和性贋

探究1提示 y = 2 ^ { x } - S = \left( { / { 1 } { 2 } } \right) ^ { x } 都号羅的形式其中底教常教

知硫理

1唯 硝定 20R 大手・ { 2 } ( 0 , 1 )

例1（DB 21125 L1o中. 3 ^ { x } 的承数是2故の不是指数番数：② 中 \scriptstyle * y = 3 ^ { x + 1 } 的指数是 x + 1 , 不是自変量 _ x 中改＠不是指数番数③ 中 { { 3 ^ { x } } } 的数是1暴的指教是自変量 _ x 耳只有 3 ^ { x } 一項故 ③ 是指教数：の中- \scriptstyle { y = x ^ { 3 } } 的底教ヵ自交量指数常数・故④ 不是指数番数：⑤ 中底数 - 2 < 0 不是指教図数2及 f ( x ) = a ^ { x } \left( a > 0 \right) 耳 a \neq 1 ) \mathbb { H } f \Big ( - / { 3 } { 2 } \Big ) = / { sqrt { 5 } } { 2 5 } a ^ { - { / { 3 } { 2 } } } = 5 ^ { - { / { 3 } { 2 } } } 改 a = 5 改 f ( x ) = 5 ^ { x } 所以 f ( 3 ) = 5 ^ { 3 } = 1 2 5 . ]
川禁11C - ( 2 ) f ( x ) = ( sqrt [ 3 ] { π } ) ^ { x } L(1由条伴知* a ^ { 2 } = 1 ち2 - a > 0 . 解得 a = - 1 _ 2 - a \neq 1 中2授 f ( x ) = a ^ { x } 彼 : a > 0 旦 a \neq 1 ) 箸点 { ( 3 , π ) } 代入得到 f ( 3 ) = π 印 a ^ { 3 } = π -解得 a = π ^ { / { 1 } { 3 } } = sqrt [ 3 ] { π } 丁是 f ( x ) = ( sqrt [ 3 ] { π } ) ^ { x } , 」

探究？ 提示 ( 1 ) / { 1 } { 4 } / { 1 } { 2 } 1-24の / { 1 } { 3 } ( 3 ) y = 2 ^ { x } 与 y = 3 ^ { x } 前図象如日所示探究： 提示 1在 ( 0 , + ∞ ) 上都是増番数( 2 ) x { > } 0 財 y > 0 ; x < 0 肘 \scriptstyle 0 < y < 1 , x = 0 肘,y = 1 ロ

知硫理

1.R - _ { ( 0 , + ∞ ) } - 0,1 増函数
2. 正无笏大 山

みくんくい

例？A F m > n > 1 中 :： \scriptstyle { y = m ^ { x } } 与 y = n ^ { x } 都是増数,散雅除C,D ヌ x { > } 0 肘 m ^ { x } > n ^ { x } > 1 散逸A