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数学

名师导学

中职数学拓展模块一上课时精练

名师 导学

中职数学拓展模块一（上）：课时精练

主编：舒长丰
副主编：徐勇卓志远 胡莉莉俞一超
编者：何昌全 何祎 胡万紫 李丹刘鳌 刘韵 彭世容 宋春燕宋芳芳 杨洪霞 张义贵

图书在版编目（CIP)数据

中职数学拓展模块课时精练／口口口主编.上海：上海浦江教育出版社有限公司，2025.1.（中职数学拓展模块课时精练系列丛书）.-－ISBN978－7－81121-000-0

I.中国国家版本馆CIP数据核字第 号

ZHONGZHISHUXUETUOZHANMOKUAIKESHIJILIAN 中职数学拓展模块课时精练

上海浦江教育出版社出版发行

社址：上海海港大道1550号邮政编码：201306E-mail:cbs @ shmtu.edu. cn URL:http://www. pujiangpress.com上海商务联西印刷有限公司印装幅面尺寸： 210\mm{x}297\mm 印张：字数：千字2025年1月第1版2025年1月第1次印刷责任编辑：封面设计：定价：000.00元

前言 D

数学作为一门基础学科,不仅是学习现代科学技术的工具,更是培养学生逻辑思维、分析能力和创新意识的重要载体。为贯彻落实职业教育“以服务为宗旨、以就业为导向”的理念，适应中职学生数学学习的需求，更好的为四川省对口招生考试服务，我们依据《中等职业学校数学课程标准》编写了这本《名师导学 中职数学拓展模块一（上):课时精炼》。本书旨在帮助学生在掌握数学基础知识的同时，提升数学应用能力，为专业学习和终身发展奠定坚实基础。

一、立足基础，突出实用

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二、分层设计，循序渐进

针对中职学生数学基础差异较大的特点，本书采用“由易到难、梯度递进”的设计思路。每课时设置【知识导学】【典例精析】【活学巧练】三级训练,其中【活学巧练】分为基础巩固、综合提升两部分,兼顾不同层次学生的学习需求。例题解析注重思路引导，通过“方法点拨”“答案解析”等栏目帮助学生扫除学习障碍,逐步建立学习信心。

同时，本书还配有A、B两套单元测试卷。A卷重基础，对参加学业水平考试的学生有参考价值；B卷重提升，对参加高考升学考试的学生有直接帮助。

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结合职业教育特点，本书将课程思政元素有机融入数学知识。例如，通过数学史故事弘扬科学精神，在实际应用案例中强调严谨求实的职业态度,在合作探究任务中培养团队协作意识,引

导学生感悟数学之美，树立正确的价值观。

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本书在编写过程中广泛调研了中职师生需求，力求语言通俗易懂、内容精炼实用。希望这本教辅资料能成为学生探索数学世界的钥匙，助力教师打造高效课堂的指南。由于编者水平有限，书中难免存在疏漏,恳请广大师生提出宝贵意见,以便不断完善。

目录

上篇:课时训练

第1章 充要条件· 1
1.1充分条件和必要条件
1.2充要条件 4
第2章 平面向量· 7
2.1向量的概念 7
2.2向量的线性运算 （12）
2.2.1 向量的加法运算 （12）
2.2.2 向量的减法运算 16)
2.2.3 向量的数乘运算 （20）
2.3向量的内积 （24）
向量的坐标表示…… （29）
2.4.1 向量的坐标表示 （29）
2. 4.2 向量线性运算的坐标表示 （33）
2. 4.3 向量内积的坐标表示 （37）
第3章圆锥曲线.·· （40）
3.1椭圆 （40）
3.1.1 椭圆的标准方程 （40）
3.1.2 椭圆的几何性质 （44)
3.2双曲线 49）
3.2.1 双曲线的标准方程 （49）
3.2.2 双曲线的几何性质 （54）
3.3抛物线 （58）
3.3.1 抛物线的标准方程 （58）
3.3.2 抛物线的几何性质 （62）
第4章立体几何·· （66）
4.1平面 (66）
4.1.1平面的特征和表示 （66）
4.1.2平面的基本性质 （71）
4.2直线与直线的位置关系 （76)
4.2.1共面直线 （76）
4.2.2异面直线 （81)
4.3直线与平面的位置关系 87）
4.3.1直线与平面平行 （87）
4.3.2 直线与平面垂直 （93）
4.3.3 直线与平面所成的角 (98）
4.4平面与平面的位置关系 (103)
4. 4. 1 两平面平行 (103)
4. 4. 2 二面角 (108)
4.4.3 两平面垂直 (113)
第5章 复数· (118)
5.1复数的概念和意义 (118)
5.1.1 复数的概念 (118)
5.1.2 复数的几何意义 (121)
5.2复数的运算 (125)
5.2.1复数的加法与减法 (125)
5.2.2 复数的乘法 (128)
5.3实系数一元二次方程的解法 (131)

下篇：单元测试

第1章 充要条件测试卷（A) (135)第1章充要条件测试卷（B）· (139)第2章平面向量测试卷（A） (143)第2章平面向量测试卷（B）· (147)期中测试卷(A) (151)期中测试卷(B) (155)第3章圆锥曲线测试卷（A）· (159)第3章圆锥曲线测试卷(B）· (163)第4章立体几何测试卷（A）· (167)第4章立体几何测试卷（B）· (171)第5章复数测试卷（A）·…· (175)第5章复数测试卷（B）·· (179)期末测试卷(A) (183)期末测试卷（B）· (187)

第1章 充要条件

1.1 充分条件和必要条件

知识导学

1.命题及相关概念

2.若命题“如果 p ,那么 q ”是真命题,即由 p 可以推出 it{q} ,则称 p 是 q 的 ,记作

3.命题“如果 p ,那么 it{q} ”的逆命题是

4.若命题“如果 p ,那么 it{q} ”的逆命题是真命题,即由 q 可以推出 p ,则称 p 是 q 的 ,记作

典例精析

例1已知 p:2+2=5,q:3>=2 ,则下列判断中,正确的是

A. p 为真， q 为假 B. p 为假， q 为真\mathbf{C}_{* P} 为真， q 为真 \mathbf{D}_{* P} 为假， q 为假例2下列各题中， p 是 \scriptstyle q 的充分条件的是 (填序号).

(1)p{:}(x-2)(x-3)=0,q{:}x-2=0{:} (2)p ：两个三角形面积相等， q ：两个三角形全等；(3)p{:}m<-2,q ：方程 x^{2}-x-m=0 无实根.

点拨 如果命题：“若 p ，则 q ”为真命题,那么 p 是 q 的充分条件； ② 如果命题：“若 p ，则 it{q} ”为假命题,那么 p 不是 q 的充分条件.

例3下列“若 p ,则 q "形式的命题中， p 是 q 的必要条件的是

A.若 x^{2}=1 ，则 x=1
B.若 a=b ，则 \scriptstyle a c=b c
C.若 m,n 为无理数,则 m n 为无理数
D.若四边形是菱形,则四边形的对角线互相垂直

点拨 若命题“如果 p ,那么 it{q} ”的逆命题是真命题，即由 q 可以推出 p ,则称 p 是 q 的必要条件，若命题“如果 p ,那么 it{q} ”的逆命题是假命题，即由 q 不可以推出 p ，则 p 不是 q 的必要条件.

活学巧练

基础巩固

1.把命题“天上下雨地上湿”写成“如果 p ,那么 q ”的形式，可以是

A.如果天上下雨，那么地上湿 B.如果天上不下雨，那么地上不会湿C.如果地上湿了,那么天上下雨了 D.如果地上没湿,那么天上没下雨

2.下列命题是真命题的是

A.-1是自然数 B.如果 x 是负数,那么 2^{x}<0 C.函数 y=x^{2} 是奇函数 D.如果 \sinθ{>}0 ，则 θ 是第一或第二象限角

3.已知命题 p:x{<}1,q:x{<}2 ,则下列说法正确的有

A. p 是 q 的必要条件 B. p 是 q 的充分条件\mathbf{C}_{* P} 不是 q 的必要条件 D. p 不是 q 的充分条件

4.下列条件中，是“ x{>}{-}1 ”成立的必要条件的是 X

A. (-1,+∞) B \dag.(0,+∞) C.~(~1~,+∞~)~ D *(2,+∞)

5. a<0 是 \left|a\right|{>}0 的 条件（从“充分条件、必要条件、充分必要”中选填）.

6.已知集合 A=\{x|-2<=slant x<=slant2\} ? B=\{x|-3<=slant x<=slant2\} ，则“ x\in A ”是“ x\in B ”的 条件.（填“充分”或“必要”）

7.对于实数 ^{x,y} ，命题“若 x+y\neq8 ，则 x\neq2 或 y\neq6^{\prime} 是 命题.（填“真”或“假”）

8.判断下列各组 p,q 中， p 是否为 q 的必要条件？

(1)p ：两个三角形相似， q ：两个三角形全等；
(2)p :一个四边形是矩形， q :四边形的对角线相等；(3)p{:}A\subseteq B,q{:}A\cap B{=}A
(4)p:a>b,q:a c>b c.

9.已知全集 {\cal U}={\bf R} ,集合 A=\{x|0<x<1\} ， B=\left\{x\vert a<x<1-a\right\} (1)当 a=-1 时,求 (\complement_{U}A)\cap B （2）已知“ x\in A ”是“ x\in B ”的必要条件，求实数 \mathbf{α}_{a} 的取值范围.

综合提升

1.俗语云“好人有好报”，这句话的意思中：“好人”是“有好报”的

A.充分条件 B.必要条件 C.既不充分又不必要条件 D.无法判断

2.下列命题中，是真命题的是

A.“ x^{2}{>}0^{,} 是“ \scriptstyle x=0 ”的充分条件 B.“ x y=0^{\prime} ’是“ x=0^{{*}} ”的必要条件C.“ \left|a\right|=\left|b\right| ”是“ a=b ”的充分条件 D.“ \left|x\right|>1 ”是“ x^{2} 不小于1”的必要条件

3.设 p:-1<=slant x<2,q:x<a ,若 \scriptstyle q 是 p 的必要条件,则 \mathbf{α}_{a} 的取值范围是 X

A. \{a|a<=slant-1\} B. \{a\vert a<=slant-1 或 \scriptstyle a>=2! C. \{a|a>=slant2\} D.\left\{a\vert-1<=slant a<2\right\}

4.若不等式 \mid x\mid<a 的一个充分条件为 -3<x<0 ，则实数 \mathbf{α}_{a} 的取值范围是

5.若“ x<=slant-2^{\prime} ”是“ x{<}a ”的必要不充分条件，则实数 \mathbf{α}_{a} 的取值范围是

6.将下列命题改写成“若 p ，则 q ”（或“如果 p ,那么 q^{,,} )的形式.

(1)有一个内角是 60° 的等腰三角形是正三角形；
(2)对顶角相等；
(3)平行四边形的对角线互相平分；
（4)对角线互相平分的四边形是平行四边形.

7.已知集合 A=\left\{x\mid x^{2}+2x-a=0\right\}

(1)若 a=3 ,请写出集合 A 的所有子集；
(2)若 B=\left\{x\vert x^{2}+x=0\right\} ,且 x\in A 是 x\in B 的充分条件,求实数 \mathbf{α}_{a} 的取值范围.

1.2 充要条件

知识导学

如果“若 p ,则 q "和它的逆命题“若 q ,则 p "均是真命题,即:既有 p{\Rightarrow}q ,又有 q{\Rightarrow}p ,记作 p{\Leftrightarrow}q. 此时 p 既是 q 的充分条件,也是 q 的必要条件.我们说 p 是 q_{.} ,简称为

如果 p 是 q 的充要条件,那么 q 也是 p 的充要条件,即如果 p{\Leftrightarrow}q ,那么 p 与 q 互为充要条件.

注意：（1)从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件

① 若 p{\Rightarrow}q ,则称 p 是 q 的充分条件， p{\Leftarrow}q,p 是 q 的必要条件.
② 若 p{\Leftrightarrow}q ，则 p 是 q 的充要条件.
③ 若 p{\Rightarrow}q ,且 q{\Leftrightarrow}p ,则称 p 是 q 的充分不必要条件.
④ 若 p{\Leftrightarrow}q ,且 q{\Rightarrow}p ,则称 p 是 q 的必要不充分条件.
⑤ 若 p{\Leftrightarrow}q ,且 q{\Leftrightarrow}p ,则称 p 是 q 的既不充分也不必要条件.
(2)“ \Leftrightarrow ”的传递性若 p 是 q 的充要条件， q 是 s 的充要条件，即， p{\Leftrightarrow}q,q{\leftrightarrow}s ,则有 p{\Leftrightarrow}s,p 是 s 的充要条件.

典例精析

例1 p :四边形ABCD为矩形， q :四边形 A B C D 对角线相等,则 p 是 q 的

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

点拨 若 p{\Rightarrow}q ,且 q{\Leftrightarrow}p ,则称 p 是 q 的充分不必要条件.例2设 {\boldsymbol{x}}\in\mathbf{R} ，则“ _{x<1} ”是“ x^{2}<1 ”的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件点拨若 p{\Longleftrightarrow}q ,且 q{\Rightarrow}p ,则称 p 是 q 的必要不充分条件例3点 P(x,y) 是第二象限的点的充要条件是

A *<0,y<0 B.{\x}{<}0,{\y}{>}0 C_{*}x{>}0,y{>}0 D *\ x{>}0,y{<}0 点拨 若 p{\Leftrightarrow}q ，则 p 是 q 的充要条件.

活学巧练

基础巩固

1.“ a>=-3^{\prime} ‘是“ a>=slant-2^{\prime} ”的

A.充分不必要条件 B.充要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

2.“ a^{2}>=slant4 ”是“ \vert a\vert>=slant2^{\prime} 的 C ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

1.1 p :四边形为菱形， q :四边形的对角线互相垂直,则 p 是 q 的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

4.“ x=1 ”是“ \left(x-1\right)\left(x+2\right)=0^{,} 的 C ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

5.设 {\boldsymbol{x}}\in\mathbf{R} ，则“ \:x(x{-}4)<0^{\prime}\: 是“ \left|{x{-}1}\right|{<}1 ”的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

6.方程 x^{2}-a x+a-1=0 有一正一负根的充要条件是

7.用“充分不必要条件”“必要不充分条件”或“充要条件”填空：

(1)“ a 是有理数”是“ a 是实数”的
(2)“ x^{2}-4=0^{*} ”是“ x=-2 ”的 ；(3)“ x^{2}-4=0 ”是“ \vert x\vert=2^{!} ”的

8.若“ \vert x\vert{>}2^{;} ”是“ x<a ”的必要不充分条件，则 \scriptstyle a 的最大值为

9.设 p 是 q 的充分不必要条件， \boldsymbol{r} 是 q 的必要不充分条件， s 是 \boldsymbol{r} 的充要条件,则 s 是 p 的什么条件？

10.已知集合 A=\{x|-1<x<3\} ,集合 B=\{x\vert a<x<a+1\} ， a\in\mathbf{R}

(1)若“ 1\in B ”是真命题，求实数 \mathbf{α}_{a} 取值范围； （2)若 x\in A ”是“ x\in B ”的必要不充分条件，求实数 \mathbf{α}_{a} 的取值范围

综合提升

1.“ \scriptstyle x>0^{\prime} 是 x\neq0^{;} ”的 C ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

2.已知 \boldsymbol a\in\mathbf{R} ,则 \left(a+1\right)\left(a-2\right)<0 是 0<a<1 成立的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

3.已知集合 A=\{x\mid-4<=slant x<=slant4\} ， B=\{x\vert x<a\} ，则“ \scriptstyle a>5^{\prime} 是“ A\cap B=A ”的 L

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

4.“方程 x^{2}-2x-a=0 没有实数根”的充要条件是

5.从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个合适的填空.

(1)“ x^{2}-1=0 ”是“ \left|\mathbf{\nabla}\boldsymbol{x}\right|-1=0^{*} 的(2)“ x<5 ”是“ \scriptstyle x<3 ”的

6.已知集合 A=\{x\mid x^{2}+2x-8<=slant0\} ， B=\left\{x\vert m{-}4{<=slant}x{<=slant}3m{+}3\right\}.

(1)求 A ；
(2)若“ x\in A ”是“ x\in B ”的充分不必要条件，求 m 的取值范围.

7.已知集合 A=\{x\mid x^{2}-8x+7<=slant0\} ， B=\left\{x\vert m+1<=slant x<=slant2m-1\right\}.

(1)若 m=3 ,求 A\cap B (2)若“ x\in A ”是“ {\boldsymbol{x}}\in B 的必要不充分条件，求实数 m 的取值范围.

第2章 平面向量

2.1 向量的概念

知识导学

1.向量的概念

数学中，我们把像力、位移等这种既有 ,又有 的量叫做向量.

2.有向线段

带有 的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度，

3.向量的表示方法

(1)向量可以用 表示.向量 \overrightarrow{A B} 的大小,也就是向量的 (或称模),记作 \vert\overrightarrow{A B}\vert ：
(2)用字母表示向量：通常在印刷时,用黑体小写字母 ^{a,b,c} ,···表示向量,在手写时用带箭头的小写字母,，,·表示向量.也可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示,例如，{\overrightarrow{A B}},{\overrightarrow{C D}}.

4.几种特殊的向量

(1)零向量:长度为 的向量,叫做零向量,记作
(2)单位向量：长度等于 的向量叫做单位向量.
(3)相等向量：长度 且方向 的向量,叫做相等向量.
(4)平行向量：方向 的非零向量叫做平行向量,如果向量 bf{\em a} 和 bf{it{b}} 平行，记作规定：零向量与任一向量 ,即对于任意向量 bf{\em a} ,都有

典例精析

例！下列说法正确的有 ·(填序号）

① 若 \vert a\vert=\vert b\vert ，则 bf{\em a} 与 bf{it{b}} 的长度相等且方向相同或相反；② 若 \vert a\vert=\vert b\vert ,且 bf{\em a} 与 bf{it{b}} 的方向相同,则 \scriptstyle a=b ③ 由于0方向不确定，故0不能与任意向量平行；④ 向量 bf{\em a} 与向量 bf{it{b}} 平行,则向量 bf{\em a} 与 bf{it{b}} 方向相同或相反；⑤ 起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量，

点拨 解决与向量概念有关题目的关键是突出向量的核心—方向和长度，如：共线向量的核心是方向相同或相反，长度没有限制；相等向量的核心是方向相同且长度相等；单位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一个单位长度；零向量的核心是方向没有限制，长度是0；规定零向量与任一向量共线.只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题.

例2(1)如图， ^{B,C} 是线段 A D 的三等分点,分别以图中各点为起点和终点,可以写出个向量.

(2)在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1）,用直尺和圆规画出下列向量①\overrightarrow{O A} ,使 \mid{\overrightarrow{O A}}\mid=4{√(2)} ，点 A 在点 o 北偏东 45° ：②\overrightarrow{A B} ，使 \mid\overrightarrow{A B}\mid=4 ，点 B 在点 A 正东;③\overrightarrow{B C} 使 \mid\overrightarrow{B C}\mid=6 点 \boldsymbol{c} 在点 B 北偏东 30°

点拨 用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点.必要时,需依据直角三角形知识求出向量的方向(即夹角)或长度(即模),选择合适的比例关系作出向量.

例3 如图所示,四边形 ABCD 与 ABDE是平行四边形.

(1)找出与向量 \overrightarrow{A B} 共线的向量;
(2)找出与向量 \overrightarrow{A B} 相等的向量.

点拨(1)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段,再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量.(2)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是与已知向量方向相同的向量.

活学巧练

基础巩固

1.有下列物理量：

① 质量； ② 速度； ③ 力； ④ 加速度； ⑤ 路程； ⑥ 功其中,不是向量的个数是

A.1 B.2 C.3 D.4

2.给出下列四个命题： ① 时间、速度、距离都是向量； ② 向量的模是一个正实数； ③ 所有的单位向量都相等； ④ 共线向量一定在同一直线上.其中正确的命题有 （）

A.3个 B.2个 C.1个 D.0个

3.一个人先向东行进了5千米,而后又向西行进了3千米,那么这个人总共 C

A.向东行进了8千米 B.向东行进了2千米 C.向东行进了5千米 D.向西行进了3千米

4.在 \triangle A B C 中，点 \smash{D_{s}E} 分别为边 A B,A C 的中点,则如图所示的向量中,相等向量有

A.一组 B.二组 C.三组 D.四组

第4题图

5.设四边形 A B C D 中,有 \overrightarrow{D C}=(1)/(2)\overrightarrow{A B} 且， |{\overrightarrow{A D}}|=|{\overrightarrow{B C}}| ,则这个四边形是

A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形

6.已知 A,B,C 是不共线的三点，向量 bf{\emm} 与向量 \overrightarrow{A B} 是平行向量,与 \overrightarrow{B C} 是共线向量,则 \mathbf{\nabla}_{m}

7.给出下列三个条件： ①|±b{a}|=|±b{b}| _{(2a} 与 bf{it{b}} 方向相反； ③\lvert±b{a}\rvert=0 或 |b|=0 ,其中能使 \mathbf{±b{a}}//\mathbf{δb} 成立的条件是

8.设 {±b a}_{0},{±b b}_{0} 分别是 ^{a,b} 的单位向量,则下列结论中正确的是 (填序号).\begin{array}{r}{\mathbb{(D}±b{a}_{0}=±b{b}_{0};\mathbb{(}\mathscr{Q}±b{a}_{0}=-±b{b}_{0};\mathbb{(}\mathscr{Q})|±b{a}_{0}|+|±b{b}_{0}|=2;\mathbb{(}\mathscr{Q}±b{a}_{0}/\slash±b{b}_{0}.}\end{array}

9.如图， \triangle A B C 和 \triangle A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime} 是在各边的 /13 处相交的两个全等的等边三角形，设 \triangle A B C 的边长为 \scriptstyle a ,图中有若干个长度为 {(1)/(3)}a 的向量,则

(1)与向量 \overrightarrow{G H} 相等的向量有 (2)与向量 \overrightarrow{G H} 共线,且模相等的向量有

第9题图

第1章 充要条件测试卷(A)

（满分：100分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题列出的四个备选项中，只有一个是符合题目要求的，请将其选出，错选、多选或未选均无分，

1. \scriptstyle x=2 是 \scriptstyle x^{2}=4 的 ( ）

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

2. \scriptstyle x<4 是 \scriptstyle x<3 的 ( >

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

3. \vert x\vert<2 是 x^{2}-2x<0 的 （）

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

4.下列正确的是 ( >

① 若 \scriptstyle x^{2}=y^{2} ,则 x=y
② 若 \scriptstyle x=0 ,则 x y=0
③ 若 x{>}-{√(2)} ,则 x^{2}>2
④ 若 a=-1 ,则 x^{2}+y^{2}-3x+2y+4a=0 是一个圆.

A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④

5. tan \scriptstyleα=0 是 \scriptstyleα=0 的 ( ）

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

6.下列命题是真命题的是 >

A. √(3) 是自然数
B.函数 y=x^{2}+3x-4 是偶函数
C.如果 a=e ,那么 \ln a^{2}=2
D.如果cos α{>}0 ,那么 α 是第一或第三象限的角

7. \scriptstyle y=\log_{a}x 在 (0,+∞) 上单调递增是 a{>}1 的 ( >

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

8.已知集合 ^{A,B} ，则“ A\cap B=A^{\prime} ”是“ A\subsetneq B ”的 ( )

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

若 p 是 q 的必要不充分条件， q 的充要条件是 \boldsymbol{r} ,则 r 是 p 的

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

0.下面四个条件中，是 a{>}b 成立的充分而不必要的条件为 (

A.ac>bc B. a+1<b C. a^{3}>b^{3} D. \log_{2}a>\log_{2}b

二、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分，请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分.

11. \scriptstyle x-3=0 是 x^{2}-x-6=0 的 条件.

12. a\in\mathbf{Z} 是 \boldsymbol{a}\in\mathbf{N} 的 条件.

13. _{x y>0} 是 P(x,y) 在第一象限的 条件.

三、解答题：本大题共3小题，第14小题12分，第15、16小题各13分，共38分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

14.判断下列各题中 p 是 q 的什么条件：

(1)p ：四边形的对角线相等， q :四边形是平行四边形；(2)p:(a-2)(a-3)=0,q:a=2.

15.设 p:m{>}0,q :关于 x 的方程 x^{2}+x-m=0 有实根,试分析 p 是 q 的什么条件？

16.已知命题 p \scriptstyle:2<x<4 ，命题 q:3m-1<=slant x<=slant-m ,且 p 是 q 的充分条件，求实数 m 的取值范围.

参考答案

上篇：课时训练

第1章 充要条件

1.1充分条件和必要条件

【知识导学】

2.充分条件 p{\Rightarrow}q
3.如果 q ,那么 p
4.必要条件p=q

【典例精析】

例1B【解析 12+2=4\neq5,p 为假， _{3>=slant2,q} 为真.

例2（3）【解析】（1) \left(x-2\right)\left(x-3\right)=0 ，\scriptstyle x=2 或 \scriptstyle x=3 ，不一定能推出 \scriptstyle x=2 . p 不是 q 的充分条件.(2)两个三角形面积相等，不能推出两个三角形全等，\therefore p 不是 q 的充分条件.(3)方程 x^{2}-x-m=0,\Delta=1+4m ： *\ m<-2,\therefore\ 1+4m<0 即 \scriptstyle\Delta<0 ，..方程无实根,.. p 是 q 的充分条件.

例3A【解析】对选项A:若 x=1 则 x^{2}=1 ，故 x^{2}=1 是 x=1 的必要条件，故A正确；对选项B：若 \scriptstyle a c=b c,c=0 时，不能得到 a=b ,故B错误；对选项C：取 m=1,n={√(2)} ，满足 m n 为无理数， m 为有理数，故C错误；对选项D：四边形的对角线互相垂直，则这个四边形不一定是菱形，故D错误.

【活学巧练】

基础巩固

1.A【解析】“天上下雨地上湿”写成“如果 p ，那么 q ”的形式：如果天上下雨,那么地上湿.故选：A.
2.D【解析】对选项A：自然数是非负整数,故-1不是自然数；对选项B:2的任何次方都大于0；对选项 \scriptstyle\mathbf{C}:y=x^{2} 是偶函数.对选项D：如果 \sinθ{>}0 ，则 θ 是第一或第二象限角...本语句是命题，而且是真命题.

3.B【解析】命题 p:x<1,q:x<2 则 p 是 q 的充分条件， p 是 q 的必要条件.

1.A【解析】“ x{>}{-}1 ”成立的必要条件即不能比 x{>}{-}1 范围小.

5.充分条件【解析】 \mid a\mid>0 ，解得 a{>}0 或 a<0 ，则 a<0 是 \mid a\mid>

0的充分条件，

6.充分【解析】 A\in B ， x\in A 则 x\in B ，则 x\in A 是 x\in B 的充分条件.

7.真【解析】命题“若 x+y\neq8 ，则 x\neq2 或 y\neq6^{,} ”的逆否命题 为“若 x=2 且 y=6 ，则 x+y=8 ”，明显命题“若 x=2 且 y=6 ， 则 x+y=8° 为真命题，则其逆否命题也为真命题.

8.【解】（1)两个三角形全等 \Rrightarrow 两个三角形相似,即 q{\Rightarrow}p p 是 q 的必要条件.(2)四边形的对角线相等，这个四边形不一定是矩形，如，等腰梯形，即 q\not\Rightarrow p \therefore p 不是 q 的必要条件.(3) A\cap B{=}A{\Rightarrow}A\subseteq B 即 q{\Rightarrow}p ，p 是 q 的必要条件.(4) \boldsymbol{c} 的正负不确定,..不能由 \scriptstyle a c>b c 推出 a{>}b ,即 q\not\Rightarrow p ，p 不是 q 的必要条件.

9.【解】(1)当 a=-1 时， B=\left\{x|-1<x<2\right\} ，又 A=\left\{x|0<x<1\right\} ，则 \complement_{U}A=\{x\vert x<=slant0 或 x>=slant1\} ，\therefore(\complement_{v}A)\cap B=\{x|-1<x<=slant0 或 _{1<=slant x<2\} ：(2)由“ x\in A ”是“ x\in B^{\prime\prime} 的必要条件，知 B\subseteq A ，当 B=\emptyset 时，显然 B\subseteq A ，则 \scriptstyle a>=1-a ，即 a>=(1)/(2) 营\left[\begin{array}{l}{a<1-a}\\ {\phantom{\bigg[}a>=0}\\ {\phantom{\bigg[}1-a<=1}\end{array}\right]^{a}\left(\begin{array}{l}{\phantom{-}}\\ {\phantom{-}}\end{array}\right)-\left[\begin{array}{l}{a<1-a}\\ {\phantom{-}}\\ {a>=0}\\ {\phantom{-}}\end{array}\right], 当 B\neq\emptyset 时，由 B\subseteq A 得 ，即 0<=slant a<(1)/(2) 综上， a>=0 ,即实数 \scriptstyle a 的取值范围为 \{a|a>=slant0\} ：

综合提升

1.A【解析】这句话的意思中，“好人” \Rightarrow “有好报”，“好人”是“有好报”的充分条件.2.B【解析】A中， x^{2}>0\Rightarrow x>0 或 x<0 ，不能推出 x{>}0 ，而\scriptstyle x>0\Longrightarrow x^{2}>0 ，故 x^{2}>0 是 x{>}0 的必要条件.B中， x y=0\Rightarrow x=0 或 y=0 ，不能推出 x=0 ，而 \scriptstyle x=0\Longrightarrow x y=0 ，故 x y=0 是 x=0 的必要条件.C中， \mid a\mid=\mid b\mid\Rightarrow a=b 或 a=-b ,不能推出 a=b ，而a=b\Rightarrow\mid a\mid=\mid b\mid ，故 \left|{a}\right|=\left|{b}\right| 是 a=b 的必要条件.D中，\mid x\mid>1\Longrightarrow x^{2} 不小于1,而 x^{2} 不小于1不能推出 \mid x\mid>1 ，故\mid x\mid>1 是 x^{2} 不小于1的充分条件.

3.C【解析】 q 是 p 的必要条件... p{\Rightarrow}q ,在数轴上画出 -1<=slant x<2 ，可知 a>=slant2 4. \{a|a>=slant3\} 【解析】由题意知： a{>}0 ，由不等式 \mid x\mid<a 得 -{a}<x<a 不等式 \mid x\mid<a 的一个充分条件为 -3<x<0 ，

-a<=slant-3 ，解得 a>=slant3.

5. \{a\vert a<=slant-2\} 【解析】根据给定条件，利用必要不充分条件的意义列式作答.*_{x<=slant-2}, ”是“ x{<}a ”的必要不充分条件，则 \left(-∞,a\right)\subseteq\left(-∞,-2\right] ，即有 a<=slant-2 ，.实数 \scriptstyle a 的取值范围是 \{a|a<=slant-2\} ，

6.【解】(1)若一个等腰三角形有一个内角是 60° ，则这个三角形是正三角形.(2)若两个角是对顶角，则这两个角相等.(3)如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的对角线互相平分.(4)如果一个四边形的对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形.

7.【解】 (1)a=3 时， A=\{x\vert x^{2}+2x-3=0\}=\{-3,1\} ，所有子集有{-3,1}，{-3}，{1}， \varnothing (2)若 B{=}\left\{x\mid x^{2}{+}x{=}0\right\}{=}\left\{-1,0\right\} ，由 x\in A 是 x\in B 的充分条件，可得 A\subseteq B ，①a<-1 时 \scriptstyle\lrcorner\Delta=4+4a<0 ，此时 A=\emptyset ，满足 A\subseteq B ②a=-1 时 ,\Delta=4+4a=0,A=\{-1\} ，满足 A\subseteq B ③a>-1 时 ^{,A} 有两个元素，由 A\subseteq B 可得 A=B=\{-1,0\} ，则-1,0是方程 x^{2}+2x-a=0 两解， √(\eta)-1+0\neq-2 ，矛盾；综上，实数 \scriptstyle a 的取值范围是 \left(-∞,-1\right] ，

1.2 充要条件

【知识导学】

充分必要条件充要条件

【典例精析】

例1A【解析】解：根据矩形的性质知 p{\Rightarrow}q ；而等腰梯形对角线也相等，·. q 推不出 p,\dot{*}* p 是 q 的充分不必要条件.故选：A.

例2B【解析】 \scriptstyle{\left|x^{2}<1\Longleftrightarrow x^{2}-1<0\Longleftrightarrow-1<x<1\right.} 故 _{x<1} 是 x^{2}<1 的必要不充分条件，故选：B.

例3B【解析】：第二象限的点横坐标小于0,纵坐标大于0，点 P(x,y) 是第二象限的点的充要条件是 \scriptstyle x<0,y>0 故选：B.

【活学巧练】

基础巩固

1.C【解析】 [-2,+∞)\subsetneq[-3,+∞) “ a>=-3^{\prime} 是“ a>=-2^{\prime} 的的必要不充分条件，故选：C.

2.C【解析】 \mid a\mid>=slant4,\therefore a>=slant2 或 a<=slant-2 ，而 a^{2}>=slant4 的解集为{al a>=slant2 或 a<=slant-2\} ，

易得“ a^{2}>=4^{\prime} 是“ \mid a\mid>=slant2^{\prime\prime} 的充要条件，故选：A.

3.A【解析】若四边形为菱形，则该四边形的对角线互相垂直,即 p{\Rightarrow}q ;反之，四边形的对角线互相垂直时，该四边形不一定是菱形，即 q\nRightarrow p.~{\dot{\dots}}p 是 q 的充分不必要条件.

4.A【解析】将 x=1 代入 \left(x-1\right)\left(x+2\right)=0 成立，即“ x=1 ”是\left(x-1\right)\left(x+2\right)=0 ”的充分条件；由 \left(x-1\right)\left(x+2\right)=0 得： x=-2 或 x=1 ·“ x=1 ”不是。故选：A.

5.B【解析】解不等式 x(x{-}4){<}0 得 0<x<4 ，不等式 style{\left|\operatorname{\boldsymbol{*}}\boldsymbol{x}-1\right|}<1 化为 -1<x-1<1,\therefore0<x<2, ：： \{x|0<x<2\} 为 \{x|0<x<4\} 的真子集，： *_{x(x-4)<0}, 是“ \mid x{-}1\mid<1^{\prime} 的必要不充分条件.故选：B.

6. a<1 【解析 \scriptstyle\left|x^{2}-a x+a-1=0\right. 有一正一负根 \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l l}{{a{-}1{<}0}}\\ {{\Delta{=}\left({-}a\right){}^{2}{-}4\left(a{-}1\right)>0}}\end{array}\right.{\Rightarrow}a{<}1

7.（1)充分不必要条件（2)必要不充分条件（3)充要条件

【解析】（1）一方面若“ it{a} 是有理数”，则必定有“ \mathbf{\Delta}_{a} 是实数”；另一方面若“ a 是实数”，则不一定有“ a 是有理数”，因为“ a 可能是无理数”，“ a 是有理数”是“ a 是实数”的充分条件但不是必要条件；(2)若 x^{2}-4=0 ，则 \scriptstyle x=±2 ，“ x^{2}-4=0^{*} ‘是“ x=-2^{\prime} 的必要条件但不是充分条件；(3) x^{2}-4=0 当且仅当 \scriptstyle x=±2 ，而 \scriptstyle x=±2 当且仅当 \mid x\mid=2 ，“ x^{2}-4=0^{*} ”是“ \mid x\mid=2^{\prime} ”的充要条件；

8.-2【解析】 \mid x\mid>2 得 x{>}2 或 x<-2 ，若“ \mid x\mid>2 ”是“ x<a ”的必要不充分条件，得 \{x|_{X<a}\}\subsetneqq \{x\vert x>2 或 x<-2\} ,.. a<=slant-2 ，即 \mathbf{α}_{a} 的最大值为-2.

9.【解】 p 是 q 的充分不必要条件，.. p{\Rightarrow}q 且 q\Rightarrow p,\because r 是 q 的必要不充分条件，. q{\Rightarrow}r 且 r\not\Rightarrow q.\because s 是 \boldsymbol{r} 的充要条件，s{\Longrightarrow}r 且 r{\Rightarrow}s ,如图，.. p{\Rightarrow}s 且 s\not\Rightarrow p ，故 s 是 p 的必要不充分条件.

10.【解】（1)若“ 1\in B^{'} ”是真命题，则 a<1<a+1 ，解得 \scriptstyle0<a<1. 实数 \scriptstyle a 取值范围是 \{a|0<a<1\} ：(2)若“ x\in A ”是“ x\in B^{\prime} ”的必要不充分条件，则 B 是 A 的真子集，{g}_{\displaystyle\|}g\left\{{a>-1\atop a+1<=slant3}\right._{\scriptscriptstyle a+1<3}^{\displaystyle a>=slant-1}. 解得 -1<=slant a<=slant2 ，故实数 \mathbf{\Psi}_{a} 的取值范围是 \{a|-1<=slant a<=slant2\} ：

综合提升

1.A【解析】由“ x{>}0^{\prime\prime}{\Rightarrow}^{*s}x{\neq}0^{\prime} ，反之不一定成立.因此“ _{x>0}

是“ x\neq0^{\prime\prime} 的充分不必要条件，

2.B【解析】由 \left(a+1\right)\left(a-2\right)<0 可得： -1<a<2 ，： -1<a<2 推不出 0<a<1 ，而 0<a<1 能推出 -1<a<2 ，.\left(a+1\right)\left(a-2\right)<0 是 0<a<1 成立的必要不充分条件.故选：B.

3.A【解析】若 A\cap B=A ，则 A\subseteq B ，又 A=\{x|-4{<=slant}x{<=slant}4\}~,B=\{x|x<a\}~,\therefore{}~a{>}4, ：由 a{>}5 推得出 A\cap B=A ,故充分性成立；由 A\cap B=A 推不出 a{>}5 ,故必要性不成立，“ a{>}5 ”是“ A\cap B=A ”的充分不必要条件.故选：A

4. a<-1 【解析】：方程 x^{2}-2x-a=0 没有实数根，.有 \Delta=4+ 4a<0 ,解得 a<-1 ，因此“方程 x^{2}-2x-a=0 没有实数根”的必要条件是 a<-1. 反之，若 a<-1 ，则 \scriptstyle\Delta<0 ，方程 x^{2}-2x-a=0 无实数根，从而充分性成立.故“方程 x^{2}-2x-a=0 没有实数根”的充要条件是“ a<-1^{\prime\prime} ，

5.（1)充要条件（2)必要不充分条件【解析】 \left(1\right)x^{2}-1=0{\Leftrightarrow}\left|{x}\right|-1=0, “ x^{2}-1=0^{,,} 是“ \mid x\mid-1=0^{\prime\prime} 的充要条件；(2)x{<}3{\Rightarrow}x{<}5 ，但 x<5\Rightarrow x<3 ，“ _{x<5} ”是“ x<3 ”的必要不充分条件.

6.【解】(1)由 x^{2}+2x-8<=slant0 ，可 \left(x+4\right)\left(x-2\right)<=slant0 \scriptstyle*-4<=slant x<=slant2,\therefore 集合 A=\left[-4,2\right] ，(2)若“ x\in A ”是“ x\in B^{\prime} ”的充分不必要条件，则集合 A 是集合 B 的真子集，由集合 A 不是空集，故集合 B 也不是空集，\therefore\left\{\begin{array}{l}{m-4<=slant3m+3}\\ {\qquad\quad}\\ {m-4<=slant-4\quad\Rightarrow\left\{m<=slant0\right.}\\ {\qquad\left.3m+3>=slant2\right.}\\ {\qquad\left.\left\{m>=slant-\displaystyle(1)/(3)\Rightarrow-\displaystyle(1)/(3)<=slant m<=slant0\right.}\end{array}\right., 当 m=-(1)/(3) 时， B=\left\{x|-{(13)/(3)}<=slant x<=slant2\right\} 满足题意，当 m=0 时， B=\left\{x|-4<=slant x<=slant3\right\} 满足题意，故 -(1)/(3){<=slant}m{<=slant}0 ，即 \mathbf{\nabla}_{m} 的取值范围为 [-(1)/(3),0]

7.【解】 (\ 1\ )A=\{x\mid x^{2}-8x+7<=slant0\}\ =\{x\mid1<=slant x<=slant7\} ，当 m=3 时， B=\{x|4<=slant x<=slant5\} ，\therefore A\cap B=\{x\mid4<=slant x<=slant5\}. (2)“ x\in A ”是“ x\in B 的必要不充分条件，于是得 B 是 A 的真子集，① 当 B=∞ 时 ,2m-1<m+1\therefore m<2

\left\{{\begin{array}{l}{2m-1>=slant m+1}\\ {m+1>=slant1}\\ {2m-1<=slant7}\end{array}}\right. ② 当 B\neq\emptyset 时，由 B 真包含于 A 得 （等号不能同时成立)，2<=slant m<=slant4. 综上， m<=slant4.

第2章 平面向量

2.1 向量的概念

【知识导学】

1.大小方向
2.方向
3.有向线段长度
4.(1)00(2)1个单位(3)相等相同(4)相同或相反 \mathbf{\Delta}_{±b{a}//\hbar} 平行 \mathbf{0}//a

【典例精析】

例1 ②⑤ 【解析】 ① 不正确.由 \vert a\vert=\vert b\vert 只能判断两向量长度相等，不能确定它们方向的关系. ② 正确. \mid a\mid=\mid b\mid ，且 bf{\em a} 与 bf{it{b}} 同向，由两向量相等的条件，可得 \scriptstyle a=b ③ 不正确.依据规定：0与任一向量平行，④ 不正确.向量 bf{\em a} 与向量 bf{it{b}} 若有一个是零向量，则其方向不定。⑤ 正确.对于一个向量只要不改变其大小与方向，是可以任意移动的.

例2【解】（1)由向量的几何表示可知，可以写出12个向量,它们分别是AB,AC,AD,BC,BD,CD,BA,CA,DA,CB,DB,DC.(2) ① 由于点 A 在点 o 北偏东 45° 处,在坐标纸上点 A 距点 o 的横向小方格数与纵向小方格数相等.又 {\overrightarrow{O A}}|=4{√(2)} ，小方格边长为1，点 A 距点 o 的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量OA如图所示.

② 由于点 B 在点 A 正东方向处，且 |{\stackrel{\rightarrow}{A B}}|=4,*s 在坐标纸上点 B 距点 A 的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点

B 位置可以确定，画出向量 \stackrel{\longrightarrow}{A B} 如图所示③ 由于点 c 在点 B 北偏东 30° 处,且 \vert\overrightarrow{B C}\vert=6 依据勾股定理可得：在坐标纸上点 c 距点 B 的横向小方格数为3，纵向小方格数为 3{√(3)}\approx5.2 ，于是点 \boldsymbol{c} 位置可以确定,画出向量 \overrightarrow{B C} 如图所示.

例3【解】（1)依据图形可知 \overrightarrow{D C} ED,EC与 \overrightarrow{A B} 方向相同， \overrightarrow{B A} ，CD,DE,CE与 \stackrel{\longrightarrow}{A B} 方向相反,.与向量 \stackrel{\longrightarrow}{A B} 共线的向量为BA,CD,DC,DE,E,ED,CE.(2)由四边形 A B C D 与 A B D E 是平行四边形，知 \overrightarrow{D C},\overrightarrow{E D} 与AB长度相等且方向相同,与向量 \xrightarrow[A B]{} 相等的向量为 \overrightarrow{D C} 和ED.

【活学巧练】

基础巩固

1.C【解析】速度、力和加速度既有大小，又有方向，它们是向量；而质量、路程和功只有大小，没有方向，它们不是向量，故不是向量的个数是3.
2.D【解析】时间、距离不是向量；向量的模可以是0；单位向量的模相等，方向不一定相同；平行向量也叫做共线向量，可以不在同一直线上.：四个命题都不正确.
3.B【解析】记向东方向为正，则向东行进了5千米为 +5 千米，向西行进了3千米为-3千米，则 +5+\left(\mathbf{\partial}-3\mathbf{\partial}\right)=\mathbf{\partial}+2 ，表示向东行进了2千米.
4.A【解析】由向量相等的定义可知，只有一组向量相等，即CE=EA.

5.C【解析】 \overrightarrow{D C}=(1)/(2)\overrightarrow{A B} 则 D C//A B 且， D C 冏与 _{A B} 不相等， .四边形 A B C D 是梯形，又| \overrightarrow{A D}\vert\ =\ \vert\overrightarrow{\ B C}\vert ， 则梯形的两腰相等.

6.0【解析】 ^{A,B,C} 不共线... \xrightarrow[A B]{} 与 {\overrightarrow{B C}}. 不共线，又 m 与 {\overrightarrow{A B}},{\overrightarrow{B C}}. 都共线.. \scriptstyle{m=0}

7. ②③ 【解析】由于 \vert a\vert=\vert b\vert 并没有确定 bf{\em a} 与 bf{it{b}} 的方向，即① 不能够使 \mathbf{\Delta}_{\mathbf{{a}}//\mathbf{\Delta}_{b}} 成立； bf{\em a} 与 bf{it{b}} 方向相反时， \mathbf{\Delta}_{±b{a}//\hbar} ，即 ② 能够使 \mathbf{\Delta}_{±b{a}//\hbar} 成立；零向量与任意向量共线，. \vert a\vert=0 或 |b|=0 时， \mathbf{\Delta}_{±b{a}//\hbar} 能够成立，即 ③ 能够成立.故使 \mathbf{±b{a}}//\mathbf{δb} 成立的条件是②③.

8 ③ 【解析】 {\bf{a}}_{0},{\bf{b}}_{0} 是单位向量, |{±b a}_{0}|=1,|{±b b}_{0}|=1 ，\therefore\mid a_{\scriptscriptstyle0}\mid+\mid b_{\scriptscriptstyle0}\mid=2.

9. (1){\overrightarrow{L B^{\prime}}} HC,BG,CE,EL(2) \overrightarrow{E C^{\prime}} LE \overrightarrow{L B^{\prime}} GB,HC,CE,EL,BL,BG,CH,HG【解析】向量相等 \Leftrightarrow 向量方向相同且模相等.向量共线 \Leftrightarrow 表示有向线段所在的直线平行或重合，

10.【解】(1)向量AB，BC,CD如图所示.

第10题图

(2)由题意，易知 \xrightarrow[A B]{} 与 \overrightarrow{C D} 方向相反，故 \stackrel{\longrightarrow}{A B} 与 \overrightarrow{C D} 共线.R|\overrightarrow{A B}|=|\overrightarrow{C D}| ，
.在四边形 A B C D 中 A B\bot\underline{{\underline{{⟨ c D}}}}
.四边形 A B C D 为平行四边形，
{:}\ |{\overrightarrow{A D}}|=|{\overrightarrow{B C}}|=200~{km}.

综合提升

1.A【解析】零向量的方向是任意的.
2.B【解析】向量相等要求模相等，方向相同，因此AR与RC都是和 \overrightarrow{P Q} 相等的向量.
3.D【解析】根据单位向量的定义：把模为1的向量称为单位向量，可知 \displaystyle|e_{\scriptscriptstyle1}|=|e_{\scriptscriptstyle2}|=1 ,而两个向量的方向并没有明确，.这两个单位向量可能共线，也可能不共线，.A，B， c 错误,D正确.

4.3个【解析】与 \overrightarrow{C A} 共线的有 \stackrel{\longrightarrow}{A C} DF \overrightarrow{F D}

5. 2{√(3)} 【解析】易知 A C\bot B D ，且 \angle A B D=30° ，设 A C 与 B D 交于点 o ，则 A O={(1)/(2)}A B=1. 在 Rt\triangle A B O 中，易得 \vert\overrightarrow{B O}\vert=√(3) ，则|\overrightarrow{B D}|=2|\overrightarrow{B O}|=2√(3).

6. ③ 【解析】 ±b{a} 为任一非零向量，故 \vert a\vert>0 ，其余叙述都不正确.

7.【解】(1)A0=BF \overrightarrow{B O}=\overrightarrow{A E} (2)与 \overrightarrow{A O} 共线的向量有 \overrightarrow{c o} BF, \overrightarrow{D E} (3)与 \overrightarrow{A O} 模相当的向量有 \overrightarrow{c o} BF,DE,AE,BO,DO,CF.

8.【证明】·AB=DC,.. |{\overrightarrow{A B}}|=|{\overrightarrow{D C}}| 且 A B//C D ，.四边形 A B C D 是平行四边形，： \dot{*}\vert\overrightarrow{D A}\vert=\vert\overrightarrow{C B}\vert 且 D A//C B 同理可得，四边形CNAM是平行四边形，. CM=MA,\therefore\vert\overrightarrow{C M}\vert=\vert\overrightarrow{N A}\vert \therefore\vert\overrightarrow{M B}\vert=\vert\overrightarrow{D N}\vert, 又DN与 \overrightarrow{M B} 的方向相同... \overrightarrow{D N}=\overrightarrow{M B} ，

2.2 向量的线性运算

2.2.1 向量的加法运算

【知识导学】

1.和的运算2.a{+}b A三角形 \mathbf{0}{+}a a

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