核
心
微
讲
??等差数列
(1)通项公式:an=a1+(n-1)d(其中首项是a1,公差
是d)。
(2)前n项和公式:Sn=
n(a1+an)
2
=na1+
n(n-1)
2
d。
(3)等差中项:若A 是a与b的等差中项,则2A=a+b。
??等比数列
(1)通项公式:an=a1q
n-1(其中首项是a1,公比是q)。
(2)前n项和公式:Sn=
na1(q=1),
a1(1-q
n )
1-q
=
a1-anq
1-q
(q≠1)。
?
?
?
??
??
(3)等比中项:若G 是a 与b的等比中项,则
G
a
=
b
G
,即
G
2=ab(或G=± ab,ab>0,等比中项有两个)。
??柱体、锥体、台体、球的表面积和体积公式
(1)设c',c分别为上、下底面的周长,h为高,h'为斜高。
①直棱柱:S侧 =ch,V=S底 h。
②正棱锥:S侧 =
1
2
ch',V=
1
3
S底 h。
③正棱台:S侧 =
1
2
(c'+c)h',
V=
1
3
(S上底 + S上底 S下底 +S下底 )h。
(2)设l为母线长,r为圆柱、圆锥底面圆的半径,h 为高,
r',r分别为圆台上、下底面圆的半径,R 为球的半径。
①圆柱:S侧 =2πrl,S表=2πr(r+l),V=S底l=πr
2h。
②圆锥:S侧 =πrl,S表=πr(r+l),V =
1
3
S底 h=
1
3
πr
2h。
③圆台:S侧 =πl(r'+r),S表=π(r'
2+r
2+r'l+rl),
V=
1
3
(S上底 + S上底 S下底 +S下底 )h
=
1
3
π(r'
2+r'r+r
2)h。
④球:S表=4πR
2,V=
4
3
πR
3。
??空间向量与立体几何
(1)点到直线的距离
PQ= |AP
→|
2-|AQ
→|
2 = a
2-(a·u)2 。
(2)点到平面的距离
PQ= AP
→·
n
|n|
=
AP
→·n
|n|
=
|AP
→·n|
|n|
。
(3)异面直线所成的角
若异面直线l1,l2 所成的角为θ,其方向向量分别为u,
v,则cosθ=|cos<u,v>|=
u·v
|u||v|
=
|u·v|
|u||v|
。
(4)直线与平面所成的角
sinθ=|cos<u,n>|=
u·n
|u||n|
=
|u·n|
|u||n|
。
(5)平面与平面的夹角
若平面α,β的法向量分别是n1 和n2,则平面α 与平面
β的夹角即为向量n1 和n2 的夹角或其补角。设平面
α 与平面β的夹角为θ,则
cosθ=|cos<n1,n2>|=
n1·n2
|n1||n2|
=
|n1·n2|
|n1||n2|
。
??弦长公式
(1)直线与圆相交的弦长:|AB|=2 r
2-d
2 (d 为圆
心到直线的距离)。
(2)直线与圆锥曲线相交的弦长:
|AB|= 1+k
2
AB (xA +xB)2-4xAxB = 1+
1
k
2
AB
·
(yA +yB)2-4yAyB 。
??排列、组合与二项式定理
(1)排列数公式:A
m
n =n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=
n!
(n-m)!
(n,m∈N
* ,并且 m≤n)。
(2)组合数公式:C
m
n =
A
m
n
A
m
m
=
n(n-1)(n-2)…(n-m+1)
m! =
n!
m! (n-m)!
(n,m∈N
* ,并且 m≤n)。
(3)二 项 式 定 理:(a+b)n =C
0
na
n +C
1
na
n-1b
1 + … +
C
k
na
n-kb
k +…+C
n
nb
n (n∈N
* ,k=0,1,2,…n)。
??概率
(1)互斥事件的概率加法公式:如果事件 A 与事件B
互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B)。
(2)相互独立事件:如果A 与B 相互独立,则P(AB)=
P(A)P(B)。
(3)条件概率:P(B|A)=
P(AB)
P(A)
,P(A)>0。
(4)全概率公式:设A1,A2,…,An 是一组两两互斥的事
件,A1∪A2∪…∪An =Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,
则对任意的事件B⊆Ω,有P(B)=∑
n
i=1
P(Ai)P(B|Ai)。
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