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（2023-2024 首师大附中九上月考·10 月——单位弦点）★★★★★

28．在平面直角坐标系 xOy 中，己知⊙O 的半径为 1．对于点 M 和线段 PQ 给出如下定

义：将 M 沿着射线 PQ 的方向平移线段 PQ 的长度后得到点 M'，若过点 M'能在⊙O 上画出一条

长度为 1 的弦，且 M'位于弦上，则称点 M 是线段 PQ 的“单位弦点”．

（1）己知点 A（0，2t）．

①t＝1，在 B1（0，0），B2（0，

3

2

），B3（0，1）中使得点 A 是线段 AB 的“单位弦

点”的点 B 坐标是____________；

②直线 y＝－t 与⊙O 有两个交点 C，D，点 P 在弦 CD 上．若对于 CD 上所有点 P 都

能使得点 A 是线段 OP 的“单位弦点”，求 t 的取值范围；

（2）直线 y＝x＋b 上线段 NG＝1，P（3，1），当 Q 在⊙O 上运动时，若线段 NG 上任一

点 M 都能成为 PQ 的“单位弦点”，求 b 的取值范围．

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吴老师图解

（1）①B2，B3

规律总结

图 1-1 图 1-2

1）图 1-1，若点 M 与不与线段 PQ 共线，则点 M，P，Q，M'构成一个平行四边形（若

点 M 在直线 PQ 上，正常平移即可），

2）图 1-2，若点 M 是“单位弦点”，则点 M'在：以 O 为圆心，1 和

3

2

为半径的圆形成

的圆环的内部或边界上（提示：是点 M'的规律，点 M 还要根据线段 PQ 来倒推）.

下面给出圆环的分析思路：

如图，首先，点 M'肯定在⊙O 内或⊙O 上，故 OM'≤1，

再在⊙O 内任取一点 M'，过点 M'作垂直于 OM'的弦，则弦 RS 是最短弦，令 RS＝1，易

求得 OM'＝

3

2

，而当 OM'＞

3

2

，最短弦 RS 会变小，从而可以找到长为 1 的弦，

∴

3

2

≤OM'≤1.

思路&图解

如图，由【规律总结】知，点 B2，B3 符合题意！

x

y

M'

O

Q

P

M

x

y

O

x

y

M'

R

O

S

x

y

O

x

y

A'

A

B1

x

y

A'

B2

A

O x

y

B3 A'

A

O

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（1）②－1＜t≤－

3

2

或

3

2

≤t＜1.

分析

首先，同学们要注意——本小问中 t 不再是 1 了，千万不要和①混淆，

然后，t 的正负未知，显然是需要分类讨论的！

那么，我们不妨先讨论 t＞0 的情况，作出示意图再分析...

如图，根据【规律总结】，易知：

1）点 A'的轨迹是一条与线段 CD 平行且相等的线段 C'D'，

2）线段 C'D'与线段 CD 关于 x 轴对称（提示：由坐标和平移关系知 yA'＝t），

所以，要想符合题意，则线段 C'D'应被圆环“包住”，再根据对称关系，那么我们只需

保证弦 CD 被圆环“包住”即可！

综上，t＜1，而另一个临界状态应是 CD 与半径为

3

2

的圆相切的时候...

同理，当 t＜0 时，与上述情况对称！

思路&图解

t＞0 t＜0

如图，由【分析】知，有－1＜t≤－

3

2

或

3

2

≤t＜1.

x

y

(0,2t)

y = t

C' D'

A'

A

C D

O

P

x

y

(0,2t)

y = t

C' D'

A'

A

C D

O

P

x

y

(0,2t)

y = t

C' D'

A'

A

C D

O

P

x

y

(0,2t)

y = t

C' D' A'

A

C D

O

P

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（2）－2－

30

2

≤b≤2＋

30

2

.

分析

本题有点过于难了，请同学们做好心里准备（不建议看），吴老师也很难三言两语的解

释清楚，下面给出几个比较核心的步骤：

如图，

1）根据【规律总结】，点 M'还是要在圆环内部或边界上，

2）在线段 NG 存在的基础上有点 M 任意，点 Q 是存在（最坑的地方），

3）对于某个线段 NG 上的某一个点 M，点 Q 的运动会导致点 M'形成一个轨迹圆，而点

M 运动，会导致轨迹圆斜 45°平移，形成一个阴影区域，

4）根据题意，所有的点 M 对应的轨迹圆（该区域内所有的圆）都要与圆环有交点（所

以点 Q 是存在，要是任意就无法理解了）！

5）线段 NG 在直线 y＝x＋b 上移动，会导致该阴影区域也按照斜 45°平移，由于 NG 是

存在，故 NG 的移动不是影响本问临界状态的最终因素！

6）b 值的改变，会让该阴影区域上下移动，最终会导致阴影区域跟圆环无交点...

综上，给出 b＜0 时的临界状态（b＞0 同理）：

如图，此时阴影部分的两个边界圆，恰好都与⊙O 相切...

x

y

y = x + b

O'

M'

G

P

O

Q

N

M

x

y

y = x + b

G'

N'

O'

M' G

P

O

Q

N

M

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思路&图解

如图（以 b＜0 为例），O'是线段 N'G'的中点，则此时 M 恰好是 NG 的中点，

1）在 Rt△OO'N'中，ON'＝2，O'N'＝1，勾股定理得 OO'＝

15

2

，

2）在等腰 Rt△OHO'中，易求得 OH＝HO'＝

30

4

，

3）由【规律总结】知 PK＝MK＝

30

4

，则 M（3＋

30

4

，1－

30

4

），

4）将点 M 代入 y＝x＋b，解得 b＝－2－

30

2

，

同理，当 b＞0 取到临界状态时有 b＝2＋

30

2

，而在－2－

30

2

≤b≤2＋

30

2

时，阴影

区域内的所有的轨迹圆均与圆环有交点！

∴综上所述：－2－

30

2

≤b≤2＋

30

2

.

x

y

K

H

M

P

N'

G'

O

O'