目 录

第五章 相交线与平行线

５．１ 相交线!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １

５．１．１ 相交线!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １

５．１．２ 垂线!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ２

５．１．３ 同位角、内错角、同旁内角!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ３

５．２ 平行线及其判定!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ４

５．２．１ 平行线!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ４

５．２．２ 平行线的判定!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ５

５．３ 平行线的性质!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ７

５．３．１ 平行线的性质!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ７

５．３．２ 命题、定理、证明!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ８

５．４ 平移!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ９

第六章 实数

６．１ 平方根 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １０

第 １课时 算术平方根!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １０

第 ２课时 平方根!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １１

６．２ 立方根 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １２

６．３ 实数 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １３

第 １课时 实数的概念及其分类!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １３

第 ２课时 实数的运算!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １４

第七章 平面直角坐标系

７．１ 平面直角坐标系 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １５

７．１．１ 有序数对 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １５

７．１．２ 平面直角坐标系 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １６

７．２ 坐标方法的简单应用 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １７

７．２．１ 用坐标表示地理位置 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １７

７．２．２ 用坐标表示平移 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １８

第八章 二元一次方程组

８．１ 二元一次方程组 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １９

８．２ 消元———解二元一次方程组 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ２０

第 １课时 用代入法解二元一次方程组!!!!!!!!!!!!!!!!! ２０

第 ２课时 用加减法解二元一次方程组!!!!!!!!!!!!!!!!! ２１

８．３ 实际问题与二元一次方程组 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ２２

８．４ 三元一次方程组的解法 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ２３

第九章 不等式与不等式组

９．１ 不等式 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ２４

９．１．１ 不等式及其解集 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ２４

９．１．２ 不等式的性质 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ２５

９．２ 一元一次不等式 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ２６

第 １课时 一元一次不等式的解法!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ２６

第 ２课时 一元一次不等式的应用!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ２７

９．３ 一元一次不等式组 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ２８

第 １课时 一元一次不等式组的解法!!!!!!!!!!!!!!!!!! ２８

第 ２课时 一元一次不等式组的应用!!!!!!!!!!!!!!!!!! ２９

第十章 数据的收集、整理与描述

１０．１ 统计调查!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ３１

第 １课时 全面调查!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ３１

第 ２课时 抽样调查!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ３２

１０．２ 直方图!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ３３

１０．３ 课题学习 从数据谈节水!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ３４

第五章 相交线与平行线

５．１ 相交线

５．１．１ 相交线

１．如图，直线 ＡＢ，ＣＤ相交于点 Ｏ，所形成

的∠１，∠２，∠３，∠４中，下列分类不同

于其他三个的是 （ Ｄ ）

Ａ．∠１和∠２ Ｂ．∠２和∠３

Ｃ．∠３和∠４ Ｄ．∠２和∠４

２．如图，图中的对顶角共有 （ Ｂ ）

Ａ．３对 Ｂ．４对

Ｃ．５对 Ｄ．６对

３．下列图形中，∠１＋∠２＝１８０°一定成

立的是 （ Ｃ ）

Ａ Ｂ

Ｃ Ｄ

４．∠α的对顶角是∠β，∠β的邻补角是

∠γ．若∠γ＝５５°，则∠α的度数是

（ Ｂ ）

Ａ．３５° Ｂ．１２５°

Ｃ．３５°或 １３５° Ｄ．９０°

５．（易错题）任意画三条不重合的直线，

交点的个数是 （ Ｃ ）

Ａ．１个

Ｂ．１个或 ３个

Ｃ．０个或 １个或 ２个或 ３个

Ｄ．不能确定

【提示】这三条直线不重合，则这三条直线

可能互相平行，或交于一点，或其中两条平

行且与第三条直线相交，或两两相交．

６．如图是一把剪刀的示意图，我们可想

象成 一 个 相 交 线 模 型．若 ∠ＡＯＢ＋

∠ＣＯＤ＝７２°，则∠ＡＯＢ的度数为

（ Ａ ）

Ａ．３６° Ｂ．３８° Ｃ．５２° Ｄ．４６°

７．（２０２２曲靖名校期中）下列说法正确

的有 （ Ｂ ）

①有公共顶点和一条公共边的两个角

是邻补角；

②和为 １８０°的两个角互为邻补角；

③ 互 为 邻 补 角 的 两 个 角 的 和 等

于 １８０°；

④两个直角互为邻补角；

⑤有一条公共边，另一边互为反向延

长线的两个角互为邻补角．

Ａ．１个 Ｂ．２个 Ｃ．３个 Ｄ．４个

８．（易错题）两条直线相交所成的四个角

中，有 两 个 角 分 别 是 （２ｘ－１０）°和

（１１０－ｘ）°，则 ｘ＝ ４０°或 ８０°

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５．１．２ 垂线

１．下列选项中，过点 Ｐ画 ＡＢ的垂线 ＣＤ，

三角板摆放位置正确的是 （ Ｃ ）

Ａ Ｂ

Ｃ Ｄ

２．如图，在平面内作已知直线 ｍ的垂线，

可作垂线的条数有 （ Ｄ ）

Ａ．０条 Ｂ．１条

Ｃ．２条 Ｄ．无数条

３．如图，在测量跳远成绩的示意图中，直

线 ｌ是起跳线，则需要测量的线段是

（ Ｃ ）

Ａ．ＡＢ Ｂ．ＡＣ

Ｃ．ＤＣ Ｄ．ＢＣ

第 ３题图 第 ４题图

４．如图，已知 ＡＢ⊥ＣＤ，垂足为 Ｏ，ＥＦ经

过点 Ｏ．若∠１＝３０°，则∠２的度数为

（ Ｃ ）

Ａ．３０° Ｂ．４５° Ｃ．６０° Ｄ．９０°

５．（易错题）如图，笔直小路 ＤＥ的一侧

栽种有两棵小树 ＢＭ，ＣＮ，小明测得

ＡＢ＝３ｍ，ＡＣ＝５ｍ，则点 Ａ到 ＤＥ的距

离可能为 （ Ｄ ）

Ａ．５ｍ Ｂ．４ｍ Ｃ．３ｍ Ｄ．２ｍ

【提示】“点 Ａ到 ＤＥ的距离”指垂线段，不是

指三角形的第三边长．

第 ５题图 第 ６题图

６．如图，直线 ＡＢ与 ＣＤ相 交 于 点 Ｏ，

ＯＥ⊥ＣＤ，∠ＡＯＤ＝１２０°，则∠ＢＯＥ的

度数为 （ Ａ ）

Ａ．３０° Ｂ．３５° Ｃ．４０° Ｄ．４５°

７．对下列生活实例的数学原理解释错误

的是 （ Ｄ ）

Ａ．测量两棵树之间的距离，要拉直皮

尺，应用的数学原理是：两点之间，

线段最短

Ｂ．用两颗钉子就可以把一根木条固定

在墙上，应用的数学原理是：两点确

定一条直线

Ｃ．测量跳远成绩，应用的数学原理是：

连接直线外一点与直线上各点的所

有线段中，垂线段最短

Ｄ．从一条河向一个村庄引一条最短的

水渠，应用的数学原理是：在同一平

面内，过一点有且只有一条直线与

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 已知直线垂直

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５．１．３ 同位角、内错角、同旁内角

１．如图，直线 ＡＢ，ＣＤ被直线 ＥＦ所截，则

∠３的同旁内角是 （ Ｂ ）

Ａ．∠１ Ｂ．∠２ Ｃ．∠４ Ｄ．∠５

２．（２０２３曲靖名校期中）如图，直线 ＡＢ，

ＣＤ被直线 ＥＦ所截，则 （ Ｄ ）

Ａ．同位角相等

Ｂ．内错角相等

Ｃ．同旁内角互补

Ｄ．两对同旁内角的和是 ３６０°

３．如图，下列判断：①∠Ａ与∠１是同位

角；②∠Ａ与∠Ｂ是同旁内角；③∠４

与∠１是内错角；④∠１与∠３是同位

角．其中正确的是 （ Ａ ）

Ａ．①② Ｂ．①②④

Ｃ．②③④ Ｄ．①②③④

４．如图，已知直线 ＡＢ，ＣＤ相交于点 Ｏ，请

对∠ＡＯＣ＝∠ＢＯＤ说明理由．理由如

下：因 为 ∠ＡＯＣ ＋∠ＡＯＤ ＝１８０°，

∠ＢＯＤ＋∠ＡＯＤ ＝１８０°（），所 以

∠ＡＯＣ＝∠ＢＯＤ（）．下列对“”和

“”的描述正确的是 （ Ｂ ）

Ａ．“”表示同旁内角互补

Ｂ．“”表示邻补角的定义

Ｃ．“”表示同角的余角相等

Ｄ．“”表示等角的补角相等

５．如 图，∠Ｃ的 内 错 角 是 ∠ＣＢＦ和

∠ＣＢＥ ．

第 ５题图 第 ６题图

６．如图，∠２的同旁内角是 ∠４ ．

７．如图，说出下列各对角分别是哪一条

直线截哪两条直线形成的什么角？

B

C

F

G

E

D A

（１）∠ＡＣＦ和∠ＣＥＤ；

（２）∠ＡＥＤ和∠ＡＣＢ；

（３）∠Ｂ和∠ＢＣＧ．

解：（１）∠ＡＣＦ和∠ＣＥＤ是直线 ＦＢ和

ＥＤ被直线 ＡＣ所截形成的内错角．

（２）∠ＡＥＤ和∠ＡＣＢ是直线 ＥＤ和

ＦＢ被直线 ＡＣ所截形成的同位角．

（３）∠Ｂ和∠ＢＣＧ是直线 ＣＧ和 ＡＢ

被直线 ＦＢ所截形成的同旁内角

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５．２ 平行线及其判定

５．２．１ 平行线

１．（２０２３楚雄州双柏县期中）同一平面

内如果两条直线不重合，那么它们

（ Ｄ ）

Ａ．平行 Ｂ．相交

Ｃ．相交或垂直 Ｄ．平行或相交

２．下列说法中正确的有 （ Ａ ）

①一条直线的平行线只有一条；

②过一点与已知直线平行的直线只有

一条；

③因为 ａ∥ｂ，ｃ∥ｄ，所以 ａ∥ｄ；

④经过直线外一点有且只有一条直线

与已知直线平行．

Ａ．１个 Ｂ．２个 Ｃ．３个 Ｄ．４个

３．下列说法正确的是 （ Ｃ ）

Ａ．同一平面内没有公共点的两条线段

平行

Ｂ．两条不相交的直线是平行线

Ｃ．同一平面内没有公共点的两条直线

平行

Ｄ．同一平面内没有公共点的两条射线

平行

４．（易错题）如图所示，能相交的是 ③ ，

平行的是 ⑤ ．（选题序号）

５．（２０２３昭通市昭阳区月考）已知直线

ａ∥ｂ，ｂ∥ｃ，则直线 ａ，ｃ的位置关系是

互相平行 ．

６．完成下列推理，并在括号内注明理由．

（１）如图 １，因为 ＡＢ∥ＤＥ，ＢＣ∥ＤＥ（已

知），所以 Ａ，Ｂ，Ｃ三点 共线 （ 经

过直线外一点，有且只有一条直线与

这条直线平行 ）；

（２）如图 ２，因为 ＡＢ∥ＣＤ，ＣＤ∥ＥＦ（已

知），所以 ＡＢ ∥ ＥＥ （ 如果两

条直线都与第三条直线平行，那么这

两条直线也互相平行 ）．

图 １ 图 ２

７．如图，平面内有 Ａ，Ｂ，Ｃ三点且三点不

在同一直线上，过这三个点画两条平

行线，这样的平行线能画出几种？请

画图说明．

解：这样的平行线能画出三种，如图

所示

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５．２．２ 平行线的判定

１．【核心素养·抽象能力】下列画出的直

线 ａ与 ｂ不一定平行的是 （ Ａ ）

Ａ Ｂ

Ｃ Ｄ

２．如图，分别将木条 ａ，ｂ与固定的木条 ｃ

钉在一起，∠１＝５０°，∠２＝８０°，顺时

针转动木条 ａ，下列选项能使木条 ａ与

ｂ平行的是 （ Ａ ）

Ａ．旋转 ３０° Ｂ．旋转 ５０°

Ｃ．旋转 ８０° Ｄ．旋转 １３０°

３．如图，工人师傅在工程施工中，需在同

一平面内弯制一个变形管道 ＡＢＣＤ，使

其拐角∠ＡＢＣ＝１４５°，∠ＢＣＤ＝３５°，则

（ Ｃ ）

Ａ．ＡＢ∥ＢＣ Ｂ．ＢＣ∥ＣＤ

Ｃ．ＡＢ∥ＤＣ Ｄ．ＡＢ与 ＣＤ相交

４．（２０２３昭通市永善县期中）如图，下列

条件能判定直线 ＡＢ∥ＥＦ的是 （ Ｂ ）

Ａ．∠ＡＤＥ＝∠Ｂ

Ｂ．∠ＡＤＥ＝∠ＤＥＦ

Ｃ．∠ＢＤＥ＋∠Ｂ＝１８０°

Ｄ．∠ＥＦＣ＝∠ＤＥＦ

５．（２０２２曲靖期末）如图，给出下列条件：

①∠Ｂ＋∠ＢＣＤ＝１８０°；②∠１＝∠２；

③∠３＝∠４；④ ∠Ｂ＝∠５；⑤ ∠Ｂ＝

∠Ｄ．其中，一定能判定 ＡＢ∥ＣＤ的条件

是 ①③④ ．（填写所有正确条件的

序号）

６．（２０２３昆明市官渡区期末）如图，已知

ＡＤ⊥ＢＣ于点 Ｄ，ＥＦ⊥ＢＣ于点 Ｆ，∠１＋

∠２＝１８０°．求证：∠ＣＧＤ＝∠ＣＡＢ．请补

全证明过程．

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证明：因为 ＡＤ⊥ＢＣ，ＥＦ⊥ＢＣ（已知），

所以∠ＡＤＢ＝ ∠ＥＦＢ ＝９０°

（垂直的定义）．

所以 ＡＤ∥ ＥＦ （同位角相等，

两直线平行）．

所以 ∠３ ＋∠２＝１８０°（ 两

直线平行，同旁内角互补 ）．

因为∠１＋∠２＝１８０°（已知），

所以 ∠３ ＝∠１（同角的补角

相等）．

所以 ＤＧ∥ ＡＢ （ 内错角相

等，两直线平行 ）．

所以∠ＣＧＤ＝∠ＣＡＢ（两直线平

行，同位角相等）．

７．如图，ＡＤ是∠ＢＡＣ的平分线，点 Ｅ在

ＢＣ上，点 Ｇ在 ＣＡ的延长线上，ＥＧ交

ＡＢ于 点 Ｆ，且 ∠ＡＦＧ＝∠Ｇ．求 证：

ＡＤ∥ＥＧ．

证明：因为 ＡＤ是∠ＢＡＣ的平分线，

所以∠ＢＡＣ＝２∠ＤＡＣ（角平分线

的定义）．

又因 为 ∠Ｇ＋∠ＡＦＧ＝１８０°－

∠ＦＡＧ＝∠ＢＡＣ，因为 ∠ＡＦＧ＝

∠Ｇ，

所以∠ＢＡＣ＝２∠Ｇ．

所以∠ＤＡＣ＝∠Ｇ．

所以 ＡＤ∥ＥＧ（同位角相等，两直

线平行）．

８．如图，ＤＥ平分∠ＡＤＣ，ＣＥ平分∠ＢＣＤ，

且∠１＋∠２＝９０°．试判断 ＡＤ与 ＢＣ的

位置关系，并说明理由．

解：ＡＤ∥ＢＣ．

理由如下：因为 ＤＥ平分∠ＡＤＣ，ＣＥ

平分∠ＢＣＤ，

所以∠ＡＤＣ＝２∠１，∠ＢＣＤ＝２∠２

（角平分线的定义）．

又因为∠１＋∠２＝９０°，

所以 ∠ＡＤＣ＋∠ＢＣＤ＝２（∠１＋

∠２）＝１８０°．

所以 ＡＤ∥ＢＣ（同旁内角互补，两直

线平行）

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５．３ 平行线的性质

５．３．１ 平行线的性质

１．（２０２３昭通市镇雄县期末）如图，直线

ａ，ｂ被直线 ｃ所截，且 ａ∥ｂ．若∠１＝

６５°，则∠２的度数为 （ Ｄ ）

Ａ．１３５° Ｂ．６５° Ｃ．１２０° Ｄ．１１５°

２．如图，已知 ＡＢ∥ＥＦ∥ＤＣ，ＥＧ∥ＢＤ，则

图中与∠１相等的角共有 （ Ｂ ）

Ａ．６个 Ｂ．５个 Ｃ．４个 Ｄ．３个

３．（２０２３昭 通 市 昭 阳 区 月 考）如 图，

ａ∥ｂ，点 Ｍ，Ｎ分别在直线 ａ，ｂ上，Ｐ

为两平行线间一点，那么∠１＋∠２＋

∠３等于 （ Ｂ ）

Ａ．１８０° Ｂ．３６０° Ｃ．２７０° Ｄ．５４０°

４．如图，ＡＢ∥ＣＤ，∠ＡＥＦ＝６２°，ＦＧ平分

∠ＥＦＣ，则∠１的度数为 （ Ｃ ）

Ａ．６２° Ｂ．６０° Ｃ．５９° Ｄ．５０°

５．（２０２３昆明市官渡区期末）直角三角

板 ＡＢＣ与直角三角板 ＤＥＦ如图摆放，

其中∠ＢＡＣ＝∠ＥＤＦ＝９０°，∠Ｅ＝４５°，

∠Ｃ＝３０°，ＡＣ与 ＤＥ相交于点 Ｍ．若

ＢＣ∥ＥＦ，则∠ＣＭＥ的度数为 （ Ｄ ）

Ａ．４５° Ｂ．５５°

Ｃ．６５° Ｄ．７５°

６．（２０２３德宏州期末）如图，ＡＢ∥ＣＤ，点

Ｏ在 直 线 ＡＢ上，ＯＥ平 分 ∠ＢＯＤ，

∠ＡＯＦ＝３２°，∠Ｄ＝１１６°．求∠ＥＯＦ的

度数．

解：因为 ＣＤ∥ＡＢ，

所以∠ＤＯＢ＝∠Ｄ＝１１６°．

因为 ＯＥ平分∠ＢＯＤ，

所以∠ＢＯＥ＝１

２∠ＤＯＢ＝５８°．

又因为∠ＡＯＦ＝３２°，

所以 ∠ＥＯＦ＝１８０°－（∠ＢＯＥ＋

∠ＡＯＦ）＝９０

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５．３．２ 命题、定理、证明

１．下列语句中，是命题的是 （ Ｄ ）

Ａ．你的作业做完了吗？

Ｂ．画两条相等的线段

Ｃ．病毒传播真快呀！

Ｄ．过直线外一点，有且只有一条直线

与已知直线垂直

２．（２０２３昭通市昭阳区月考）下列各命

题中，是真命题的是 （ Ｄ ）

Ａ．同位角相等 Ｂ．内错角相等

Ｃ．邻补角相等 Ｄ．对顶角相等

３．（２０２３临沧名校期末）下列说法中，正

确的是 （ Ｃ ）

Ａ．相等的角是对顶角

Ｂ．两条直线被第三条直线所截，同位

角相等

Ｃ．在同一平面内，过一点有且仅有一

条直线垂直于已知直线

Ｄ．一个锐角的补角可能等于该锐角的

余角

４．下列命题中，属于假命题的是 （ Ｃ ）

Ａ．两直线平行，同旁内角互补

Ｂ．两直线平行，内错角相等

Ｃ．两个锐角的和仍然是锐角

Ｄ．同位角相等，两直线平行

５．下列四个命题中，真命题的个数有

（ Ｃ ）

①对顶角相等；

②经过直线外一点，有且只有一条直

线与这条直线平行；

③在同一平面内，过一点有且只有一

条直线与已知直线垂直；

④两直线平行，同旁内角相等或互补．

Ａ．１个 Ｂ．２个

Ｃ．３个 Ｄ．４个

６．把命题“绝对值相等的两个数互为相

反数”改写成“如果……那么……”的

形式，并指出命题的题设和结论．

解：如果两个数的绝对值相等，那么这

两个数互为相反数．

题设：两个数的绝对值相等；结论：

这两个数互为相反数．

７．判断下列命题是真命题还是假命题．

如果是假命题，举出一个反例．

（１）如果两个数的平方相等，那么这两

个数相等；

解：是假命题．反例：２２ ＝４，（－２）２ ＝

４，则 ２≠ －２．

（２）一个锐角与一个钝角的和等于一

个平角．

解：是假命题．反例：锐角 ４０°，钝角

１２０°，它们的和不等于 １８０

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５．４ 平移

１．（２０２３昆明市官渡区期末）官渡区的

区标包含如图所示的飞马形象，下列

四个选项中能由图形平移得到的是

（ Ｄ ）

Ａ Ｂ

Ｃ Ｄ

２．（２０２３昆明名校期中）下列生活中的

各个现象，属于平移变换现象的是

（ Ａ ）

Ａ．拉开抽屉

Ｂ．用放大镜看文字

Ｃ．时钟上分针的运动

Ｄ．你和平面镜中的像

３．下列几组图形中，通过平移后能够重

合的是 （ Ｃ ）

Ａ Ｂ

Ｃ Ｄ

４．如图，将三角形 ＡＢＥ向右平移 ２ｃｍ得

到三角形 ＤＣＦ，如果三角形 ＡＢＥ的周

长是 １６ｃｍ，那么四边形 ＡＢＦＤ的周

长是 （ Ｃ ）

Ａ．１６ｃｍ Ｂ．１８ｃｍ

Ｃ．２０ｃｍ Ｄ．２１ｃｍ

５．如图，从 Ａ到 Ｂ有①②③三条路可以

走，每条路长分别为 Ｌ，Ｍ，Ｎ，则 Ｌ，Ｍ，

Ｎ的大小关系是 （ Ｂ ）

Ａ．Ｌ＞Ｍ＞Ｎ Ｂ．Ｌ＝Ｍ＞Ｎ

Ｃ．Ｍ＞Ｎ＞Ｌ Ｄ．Ｌ＞Ｎ＞Ｍ

６．如图，每个小正方形的边长都相等，三

角形 ＡＢＣ的三个顶点都在格点上．

（１）平移三角形 ＡＢＣ，使顶点 Ａ平移到

点 Ｄ的位置，得到三角形 ＤＥＦ，请在图

中画出三角形 ＤＥＦ（注：点 Ｂ的对应点

为点 Ｅ）；

（２）若∠Ａ＝５０°，则直线 ＡＣ与直线 ＤＥ

相交所得锐角的度数为 ５０° ，依

据是 两直线平行，内错角相等（或两

直线平行，同位角相等） ．

解：如图所示，三角形 ＤＥＦ即为所作

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第六章 实数

６．１ 平方根

第 １课时 算术平方根

１．设 ａ是一个数的算术平方根，那么

（ Ｂ ）

Ａ．ａ＞０ Ｂ．ａ≥０

Ｃ．ａ＜０ Ｄ．ａ≤０

２．３６的算术平方根是 （ Ａ ）

Ａ．６ Ｂ．－６

Ｃ．４或 ９ Ｄ．±６

３．（２０２３昆明市嵩明县期末）如图，数轴

上点 Ａ所表示的实数可能是 （ Ｂ ）

Ａ．槡２ Ｂ．槡５

Ｃ．－１．５ Ｄ．π

４．若 槡１５－ｎ是整数，则正整数 ｎ不可

能是 （ Ｂ ）

Ａ．６ Ｂ．９ Ｃ．１１ Ｄ．１４

５．（２０２３昭通市昭阳区月考）估计 槡５７

的值在哪两个整数之间 （ Ｃ ）

Ａ．５６和 ５８ Ｂ．６和 ７

Ｃ．７和 ８ Ｄ．８和 ９

６．下列说法正确的是 （ Ａ ）

Ａ．因为 ５２＝２５，所以 ５是 ２５的算术平

方根

Ｂ．因为（－５）２ ＝２５，所以 －５是 ２５的

算术平方根

Ｃ．因为（±５）２ ＝２５，所以 ５和 －５都

是 ２５的算术平方根

Ｄ．以上说法都不对

７．下列说法：

①一个数的算术平方根一定是正数；

② １００的 算 术 平 方 根 是 １０，记 为

槡１００＝１０；

③（－６）２

的算术平方根是 ６；

④槡７是 ７的算术平方根；

⑤ａ

２

的算术平方根是 ａ．

其中错误的说法有 （ Ｂ ）

Ａ．１个 Ｂ．２个

Ｃ．３个 Ｄ．４个

８．若 ａ的算术平方根是它本身，则 ａ＋

２０２３＝ ２０２３或 ２０２４ ．

９．求下列各数的算术平方根：

（１）１２１；

解：因为 １１２＝１２１，

所以 槡１２１＝１１．

（２）９

６４

；

解：因为 ３

( ８)

２

＝９

６４

，

所以 ９

槡６４＝３

８．

（３）０．０１．

解：因为 ０．１２＝０．０１，

所以 槡０．０１＝０．１

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第 ２课时 平方根

１．“４

９的平方根是 ±

２

３”用数学式子可以

表示为 （ Ｂ ）

Ａ． ４

槡９＝±

２

３ Ｂ．±

４

槡９＝±

２

３

Ｃ． ４

槡９＝２

３ Ｄ．－ ４

槡９＝±

２

３

２．下列说法中错误的是 （ Ｃ ）

Ａ．１

２是 ０．２５的一个平方根

Ｂ．正数 ａ的两个平方根的和为 ０

Ｃ．槡９的平方根是 ±３

Ｄ．当 ｘ≠０时，－ｘ

２

没有平方根

３．（易错题）若 ２ｍ－４与 ３ｍ－１是同一

个正数的两个平方根，则这个正数为

（ Ｂ ）

Ａ．１ Ｂ．４

Ｃ．±１ Ｄ．±４

４．若 ｘ

２＝９，则 ｘ的值为 ±３ ．

５．求下列各式的值：

（１）槡２５５；

解：因为 １５２＝２２５，

所以 槡２５５＝１５．

（２）－ ３６

槡４９；

解：因为 ６

( ７)

２

＝３６

４９

，

所以 － ３６

槡４９＝－６

７．

（３）±

１４４

槡１２１．

解：因为 １２

( １１)

２

＝１４４

１２１

，

所以 ±

１４４

槡１２１＝±

１２

１１

．

６．求下列各式的值：

（１）ｘ

２＝４９；

解：ｘ＝±７．

（２）４ｘ

２－９＝０．

解：４ｘ

２＝９．

ｘ

２＝９

４．

ｘ＝±

３

２．

７．已知某非负数的平方根是 ２ａ－７和

ａ＋４，ｂ－１的算术平方根为 ３．

（１）求 ａ，ｂ的值；

（２）求 ａ－ｂ＋３的平方根．

解：（１）由题意得，当 ２ａ－７＋ａ＋４＝０

时，解得 ａ＝１．

当 ２ａ－７＝ａ＋４时，解得 ａ＝１１．

因为 ｂ－１＝９，

解得 ｂ＝１０．

所以 ａ的 值 为 １或 １１，ｂ的 值

为 １０．

（２）当 ａ＝１时，ａ－ｂ＋３＝１－１０＋

３＝－６，没有平方根．

当 ａ＝１１时，ａ－ｂ＋３＝１１－１０＋

３＝４，它的平方根为 ±２．

所以 ａ－ｂ＋３的平方根为 ±２

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６．２ 立方根

１．下列各数中，立方根一定是负数的是

（ Ｄ ）

Ａ．０ Ｂ．－ａ

Ｃ．ａ

２ Ｄ．－ａ

２－１

２．若一个数的立方根等于它本身，则这

个数是 （ Ｄ ）

Ａ．０ Ｂ．１

Ｃ．０或 １ Ｄ．０或 ±１

３．对于 ３

槡－８，下列说法错误的是（ Ｄ ）

Ａ．表示 －８的立方根

Ｂ．结果等于 －２

Ｃ．与 －３

槡８的结果相等

Ｄ．没有意义

４．下列说法不正确的是 （ Ｃ ）

Ａ．０．０４的平方根是 ±０．２

Ｂ．－９是 ８１的一个平方根

Ｃ．－８的立方根是 ２

Ｄ．－３

槡－２７＝３

５．已知 ３

槡３２６≈６．８８２，若３

槡ｘ≈６８．８２，则 ｘ

的值约为 （ Ａ ）

Ａ．３２６０００ Ｂ．３２６００

Ｃ．３．２６ Ｄ．０．３２６

６．下列说法：

①负数没有平方根，但有立方根；

②有平方根的数一定有立方根，有立

方根的数也一定有平方根；

③ ６４的平方根是 ±８，立方根是 ±４；

④ ３

槡ａ与 ３

槡－ａ互为相反数．

其中正确的说法有 （ Ｂ ）

Ａ．１个 Ｂ．２个 Ｃ．３个 Ｄ．４个

７．（２０２３昭通市绥江县期中）已知（ｘ＋

２）３＝６４，则 ｘ的值为 ２ ．

８．３

槡１００的整数部分为 ４ ．

９．若 ａ

２ ＝４，ｂ３ ＝－２７，则 ａ－ｂ的值为

１或 ５ ．

１０．如图，两个正方体摞在一起（大正方

体放在地面上），大正方体的体积为

１３３１ｃｍ

３

，小正方体的体积为 １２５ｃｍ

３

，

则这个物体的最高点 Ａ离地面的距离

是 １６ ｃｍ．

１１．计算：８ｘ

３＋１２５＝０．

解：８ｘ

３＝－１２５．

ｘ

３＝－１２５

８．

ｘ＝－５

２．

１２．已知 ６ａ＋３的立方根是 ３，３ａ＋ｂ－１

的算术平方根是 ４．

（１）求 ａ，ｂ的值；

（２）求 ｂ２－ａ

２的平方根．

解：（１）由题意，得 ６ａ＋３＝２７．

解得 ａ＝４．

由题意，得 ３ａ＋ｂ－１＝１６，

即 １２＋ｂ－１＝１６．

解得 ｂ＝５．

（２）当 ａ＝４，ｂ＝５时，

ｂ２－ａ

２＝５２－４２＝９．

所以 ｂ２－ａ

２的平方根为 ±３

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６．３ 实数

第 １课时 实数的概念及其分类

１．（２０２３德宏州期末）下列各数中的无

理数是 （ Ａ ）

Ａ．槡３ Ｂ．－２

Ｃ．０．０１００１ Ｄ．１

２

２．实数 ａ在数轴上的对应点的位置如图

所示，下列各数小于 ａ的是 （ Ｄ ）

Ａ．１ Ｂ．０

Ｃ．－１ Ｄ．－２

３．在数轴上表示下列四个数：－１，－１

３，

－槡２，π，则距离原点最远的数是

（ Ｄ ）

Ａ．－１ Ｂ．－１

３

Ｃ．－槡２ Ｄ．π

４．下列说法正确的是 （ Ｄ ）

Ａ．无理数在数轴上没有对应点

Ｂ．不带根号的数一定是有理数

Ｃ．负数没有平方根，也没有立方根

Ｄ．－槡７是 ７的一个平方根

５．下列说法：

①开方开不尽的数是无理数；

②无理数包括正无理数、零、负无理数；

③无限不循环小数是无理数；

④无理数都可以用数轴上的点来表示．

其中错误的个数有 （ Ａ ）

Ａ．１个 Ｂ．２个

Ｃ．３个 Ｄ．４个

６．下列说法错误的是 （ Ｃ ）

Ａ．－３

槡－２７是正实数

Ｂ． １

槡４是分数

Ｃ．π

３是分数

Ｄ．

３

槡－８

３ 是有理数

７．如图，将直径为 １个单位长度的圆从原

点处沿着数轴无滑动地逆时针滚动一

周，使圆上的点 Ａ从原点运动至数轴上

的点 Ｂ，则点 Ｂ表示的数是 －π ．

８．Ａ，Ｂ是数轴上的两点，点 Ａ表示的实

数为槡３，ＡＢ＝２槡３，则点 Ｂ表示的实

数为 ３槡３或 －槡３ ．

９．已知 ５＋槡７的小数部分为 ａ，５－槡７的

小数部分为 ｂ，则（ａ＋ｂ）２０２３＝ １

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第 ２课时 实数的运算

１．π是１

π

的 （ Ｂ ）

Ａ．绝对值 Ｂ．倒数

Ｃ．相反数 Ｄ．平方根

２．若 ａ为实数，则下列各式的运算结果

比 ２ａ小的是 （ Ｂ ）

Ａ．２ａ＋１ Ｂ．２ａ－１

Ｃ．２ａ×１ Ｄ．２ａ÷１

３．（２０２３大理州祥云县期末）在下列各

式中，计算正确的是 （ Ｄ ）

Ａ．槡９＝±３

Ｂ．槡（－６）２ ＝－６

Ｃ．－３

槡－２７＝－３

Ｄ．３槡２－２槡２＝槡２

４．若 ａ ＝－ａ，则实数 ａ在数轴上的对

应点的位置一定在 （ Ｂ ）

Ａ．原点左侧

Ｂ．原点或原点左侧

Ｃ．原点右侧

Ｄ．原点或原点右侧

５．（２０２３楚雄州双柏县期中）实数 ａ，ｂ

在数轴上的位置如图所示，则化简

槡（ａ－ｂ）２ － ｂ的结果是 （ Ａ ）

Ａ．ａ Ｂ．－ａ

Ｃ．ａ－２ｂ Ｄ．－２ａ＋ｂ

６．求下列各式中 ｘ的值：

（１）ｘ ＝２

３；

解：ｘ＝±

２

３．

（２）ｘ－１ ＝槡３．

解：ｘ＝１±槡３．

７．计算：

（１）（槡６）２＋２×（－３）；

解：原式 ＝６＋（－６）＝０．

（２）（２０２３保山期末）槡９＋ 槡３－１ －

３

槡－１．

解：原式 ＝３＋槡３－１－（－１）

＝３＋槡３－１＋１

＝３＋槡３．

（３）１

４×（２槡２＋槡３）－２

３π．（结果精确

到 ０．０１）

解：原式 ＝槡２

２＋槡３

４－２

３π

≈ －０．９５５

≈ －０．９６

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第七章 平面直角坐标系

７．１ 平面直角坐标系

７．１．１ 有序数对

１．在仪仗队列中，共有 ８列，每列 ８人，

若战 士 甲 站 在 第 ２列 从 前 面 数 第

３个，可以表示为（２，３），则战士乙站

在第 ７列倒数第 ３个，应表示为

（ Ａ ）

Ａ．（７，６） Ｂ．（６，７）

Ｃ．（７，３） Ｄ．（３，７）

２．第二十二届世界杯足球赛于 ２０２２年

１１月 ２０日至 １２月 １８日在卡塔尔举

行，以下能够准确表示卡塔尔的地理

位置的是 （ Ｂ ）

Ａ．离北京市 ６２００千米

Ｂ．北纬 ２５度，东经 ５１度

Ｃ．在亚洲西部

Ｄ．位于北半球

３．（跨学科·英语）在学习有序数对时，

老师和同学们用如图所示的密码表玩

听声音猜动物的游戏．当听到“叮叮—

叮，叮叮叮—叮叮，叮—叮”时，分别对

应的字母是“Ｃ，Ａ，Ｔ”，表示的动物是

猫．当听到“叮叮—叮叮，叮—叮叮叮，

叮叮叮—叮”时，表示的动物是

（ Ｃ ）

Ａ．牛 Ｂ．鱼 Ｃ．狗 Ｄ．猪

４．（２０２３楚雄州双柏县期中）若（１，２）表

示教室里第 １列第 ２排的位置，则教

室里第 ４列第 ３排的位置可以表示为

（４，３） ．

５．七（２）班教室的座次表如图所示：

（１）如果用（３，２）表示第 ３排第 ２列的

位置，那么（４，５）表示什么位置？王明

和张强的位置可以怎样表示？

（２）在（１）的条件下，请说出（３，３）和

（４，８）分别表示哪两位同学的位置；

（３）在（１）的条件下，（３，４）和（４，３）表

示的位置相同吗？一般地，若ａ≠ｂ，则

（ａ，ｂ）与（ｂ，ａ）表示的位置相同吗？

解：（１）（４，５）表示第 ４排第 ５列的位

置；王明的位置表示为（２，２），张强

的位置表示为（５，５）．

（２）（３，３）表示张逸的位置，（４，８）

表示李爽的位置．

（３）（３，４）和（４，３）表示的位置不

同．一般地，若 ａ≠ｂ，则（ａ，ｂ）与

（ｂ，ａ）表示的位置不同

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７．１．２ 平面直角坐标系

１．如图，点 Ａ的坐标是 （ Ｄ ）

Ａ．（１，２） Ｂ．（２１）

Ｃ．２，１ Ｄ．（２，１）

第 １题图 第 ２题图

２．若一个点的坐标为（－２，－１），则这个

点在如图所示的平面直角坐标系上的

位置可能是 （ Ｂ ）

Ａ．点 Ａ Ｂ．点 Ｂ Ｃ．点 Ｃ Ｄ．点 Ｄ

３．点 Ｐ（０，－槡３）所在的位置是 （ Ａ ）

Ａ．ｙ轴负半轴 Ｂ．ｘ轴正半轴

Ｃ．ｙ轴正半轴 Ｄ．ｘ轴负半轴

４．在平面直角坐标系中，点 Ｐ（－１，ｘ

２ ＋

１）（其中 ｘ为任意有理数）一定在

（ Ｂ ）

Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限

Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限

５．数学老师在操场上建立了一个平面直

角坐标系，小丽站在点 Ａ（ａ，ｂ），小刚

站在点 Ｂ（ｂ，ａ）．小丽说她在第二象

限，那么小刚在 （ Ｄ ）

Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限

Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限

６．如图，在 ５×４的方格纸中，每个小正

方形的边长为 １，点 Ｏ，Ａ，Ｂ在方格纸

的交点（格点）上，在第四象限内的格

点上找点 Ｃ，使三角形 ＡＢＣ的面积为

３，则这样的点 Ｃ共有 （ Ｂ ）

Ａ．２个 Ｂ．３个 Ｃ．４个 Ｄ．５个

７．在平面直角坐标系中，如果点（ｘ，ｙ）的

坐标满足 ｘｙ＞０，那么点 Ｐ（ｘ，ｙ）所在

的象限是 （ Ｃ ）

Ａ．第一象限

Ｂ．第二象限

Ｃ．第一象限或第三象限

Ｄ．第二象限或第四象限

８．已知点 Ｍ（３，－２）与点 Ｍ′（ｘ，ｙ）在同

一条平行于 ｘ轴的直线上，且点 Ｍ′到

ｙ轴的距离等于 ４，那么点 Ｍ′的坐标是

（ Ｂ ）

Ａ．（４，２）或（－４，２）

Ｂ．（４，－２）或（－４，－２）

Ｃ．（４，－２）或（－５，－２）

Ｄ．（４，－２）或（－１，－２）

９．在平面直角坐标系中，下列说法：①若

点 Ａ（ａ，ｂ）在坐标轴上，则 ａｂ＝０；②若

ｍ为任意实数，则点（２，ｍ

２

）一定在第

一象限；③若点 Ｐ到 ｘ轴的距离与到

ｙ轴的距离均为 ２，则符合条件的点 Ｐ

有 ２个；④已知点 Ｍ（２，３），点 Ｎ（－２，

３），则 ＭＮ∥ｘ轴．其中正确的是

（ Ａ ）

Ａ．①④ Ｂ．②③

Ｃ．①③④ Ｄ．①②④

１０．第四象限内的点 Ｐ（ｘ，ｙ）满足 ｘ ＝７，

ｙ

２＝９，则点 Ｐ的坐标是 （７，－３）

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７．２ 坐标方法的简单应用

７．２．１ 用坐标表示地理位置

１．海上救灾船前去救援某海域失火轮

船，需要确定 （ Ｃ ）

Ａ．方位角

Ｂ．距离

Ｃ．方位角和距离

Ｄ．失火轮船的国籍

２．（跨学科·地理）Ａ市在地球仪上的位

置如图所示，则Ａ市在地球仪上的位

置是 （ Ｃ ）

Ａ．东经 ９０°，北纬 ３０°

Ｂ．东经 １００°，北纬 ２０°

Ｃ．东经 １１０°，北纬 ３０°

Ｄ．东经 １２０°，北纬 ３０°

３．小明和妈妈在家门口打车出行，借助

某打车软件，他看到了当时附近的出

租车分布情况．若以他现在的位置为

原点，正东、正北分别为 ｘ轴、ｙ轴的

正方向，图中点 Ａ的坐标为（１，０），那

么离他最近的出租车所在位置的坐

标大约是 （ Ｂ ）

Ａ．（３．２，１．３） Ｂ．（－１．９，０．７）

Ｃ．（０．８，－１．９） Ｄ．（３．８，－２．６）

４．如图，点 Ａ在点 Ｂ的 方向，点 Ｂ

在点 Ａ的 方向 （ Ａ ）

Ａ．北偏西 ５５°，南偏东 ５５°

Ｂ．南偏东 ５５°，北偏西 ５５°

Ｃ．北偏西 ３５°，南偏东 ３５°

Ｄ．北偏西 ３５°，南偏东 ５５°

５．如图是天安门广场周围的主要景点分

布示意图，在此图中建立平面直角坐

标系，表 示 故 宫 的 点 的 坐 标 为 （０，

－１），表示美术馆的点的坐标为（２，

２），请你解答下列问题：

（１）请画出符合题意的平面直角坐

标系；

（２）在平面直角坐标系内表示下列位

置的点的坐标：

①天安门 （０，－２） ；

②电报大楼 （－４，－２） ；

③王府井 （３，－１） ；

④人民大会堂 （－１，－３） ；

⑤中国国家博物馆 （１，－３） ．

解：建立的平面直角坐标系如图所作

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７．２．２ 用坐标表示平移

１．四边形 ＡＢＣＤ经过平移后得到四边形

Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′，若点 Ａ（ａ，ｂ）的坐标变为点

Ａ′（ａ－３，ｂ＋２），则对四边形 ＡＢＣＤ进

行的变换是 （ Ｄ ）

Ａ．先向上平移 ３个单位长度，再向右

平移 ２个单位长度

Ｂ．先向下平移 ３个单位长度，再向左

平移 ２个单位长度

Ｃ．先向右平移 ３个单位长度，再向下

平移 ２个单位长度

Ｄ．先向左平移 ３个单位长度，再向上

平移 ２个单位长度

２．在平面直角坐标系中，线段 ＣＤ是由线

段 ＡＢ平移得到的，点 Ａ（－２，３）的对

应点为 Ｃ（２，５），则点 Ｂ（－４，－１）的

对应点 Ｄ的坐标为 （ Ｃ ）

Ａ．（－８，－３） Ｂ．（４，２）

Ｃ．（０，１） Ｄ．（１，８）

３．将点 Ｐ（ｍ＋２，２ｍ＋１）向左平移 １个

单位长度到点 Ｐ′，且点 Ｐ′在 ｙ轴上，那

么点 Ｐ′的坐标为 （ Ａ ）

Ａ．（０，－１） Ｂ．（０，－２）

Ｃ．（０，－３） Ｄ．（１，１）

４．点 Ｅ（ｍ，ｎ）在平面直角坐标系中的位

置如图所示，则坐标（ｍ＋１，ｎ－１）对

应的点可能是 （ Ｃ ）

Ａ．Ａ点 Ｂ．Ｂ点 Ｃ．Ｃ点 Ｄ．Ｄ点

５．如图，把三角形 ＡＢＣ经过一定变换后

得到三角形 Ａ′Ｂ′Ｃ′，如果在三角形

Ａ′Ｂ′Ｃ′中，Ａ′Ｃ′边上的一点 Ｐ′的坐标

为（ｍ，ｎ），那么点 Ｐ′在三角形 ＡＢＣ中

的对应点 Ｐ的坐标为 （ Ｂ ）

Ａ．（ｍ＋４，ｎ＋２）

Ｂ．（ｍ－４，ｎ－２）

Ｃ．（－ｍ－４，－ｎ－２）

Ｄ．（－ｍ＋４，ｎ－２）

６．（２０２３昭通市昭阳区月考）如图，四边

形 ＡＢＣＤ所在的网格图中，每个小正

方形的边长均为 １个单位长度．

（１）四边形 ＡＢＣＤ的面积为 ９ ；

（２）请画出将四边形 ＡＢＣＤ向右平移

３个单位长度，再向上平移 ４个单位长

度后所得的四边形 Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１．

解：如图所示，四边形 Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１即为

所作

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