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目 录

第五章 相交线与平行线

５．１ 相交线 !!!!!!!!!!!!!!!! １

５．１．１ 相交线 !!!!!!!!!!!!!! １

５．１．２ 垂线 !!!!!!!!!!!!!!! ３

５．１．３ 同位角、内错角、同旁内角 !!!!!! ６

５．２ 平行线及其判定 !!!!!!!!!!!! ８

５．２．１ 平行线 !!!!!!!!!!!!!! ８

５．２．２ 平行线的判定 !!!!!!!!!! １０

５．３ 平行线的性质 !!!!!!!!!!!! １３

５．３．１ 平行线的性质 !!!!!!!!!! １３

５．３．２ 命题、定理、证明 !!!!!!!!! １５

５．４ 平移 !!!!!!!!!!!!!!!! １７

第六章 实数

６．１ 平方根 !!!!!!!!!!!!!!! １９

第 １课时 算术平方根 !!!!!!!!!! １９

第 ２课时 平方根 !!!!!!!!!!!! ２１

６．２ 立方根 !!!!!!!!!!!!!!! ２３

６．３ 实数 !!!!!!!!!!!!!!!! ２５

第 １课时 实数的概念及其分类 !!!!!! ２５

第 ２课时 实数的运算 !!!!!!!!!! ２７

第七章 平面直角坐标系

７．１ 平面直角坐标系 !!!!!!!!!!! ２９

７．１．１ 有序数对 !!!!!!!!!!!! ２９

７．１．２ 平面直角坐标系 !!!!!!!!! ３１

７．２ 坐标方法的简单应用 !!!!!!!!! ３３

７．２．１ 用坐标表示地理位置 !!!!!!! ３３

７．２．２ 用坐标表示平移 !!!!!!!!! ３６

第八章 二元一次方程组

８．１ 二元一次方程组 !!!!!!!!!!! ３９

８．２ 消元———解二元一次方程组 !!!!!! ４２

第 １课时 用代数法解二元一次方程组 !!! ４２

第 ２课时 用加减法解二元一次方程组 !!! ４４

８．３ 实际问题与二元一次方程组 !!!!!! ４６

８．４ 三元一次方程组的解法 !!!!!!! ４９

第九章 不等式与不等式组

９．１ 不等式 !!!!!!!!!!!!!!! ５１

９．１．１ 不等式及其解集 !!!!!!!!! ５１

９．１．２ 不等式的性质 !!!!!!!!!! ５３

９．２ 一元一次不等式 !!!!!!!!!!! ５５

第 １课时 一元一次不等式的解法 !!!!! ５５

第 ２课时 一元一次不等式的应用 !!!!! ５７

９．３ 一元一次不等式组 !!!!!!!!!! ５９

第十章 数据的收集、整理与描述

１０．１ 统计调查 !!!!!!!!!!!!!! ６２

第 １课时 全面调查 !!!!!!!!!!! ６２

第 ２课时 抽样调查 !!!!!!!!!!! ６５

１０．２ 直方图 !!!!!!!!!!!!!!! ６８

１０．３ 课题学习 从数据谈节水 ７１

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 !!!!!!!

第五章 相交线与平行线 教案

第五章 相交线与平行线

５．１ 相交线

５．１．１ 相交线

一、核心素养目标

１．抽象能力

理解对顶角和邻补角的概念．

２．空间观念

能结合具体的图形，找出图中的对顶角和邻补角．

３．应用意识

能运用对顶角相等、邻补角互补的性质进行相关的计算与证明．

二、教学重难点

重点

理解对顶角和邻补角的概念，并能在图形中辨认．

难点

掌握对顶角的性质和推导过程，能运用对顶角相等、邻补角互补的性质解决

问题．

重难点解读

１．理解邻补角的定义时，要注意以下几点：

（１）判定两个角是不是邻补角，关键要看这两个角的两边，其中一边是公共

边，另外一边互为反向延长线；

（２）邻补角是成对出现的，单独的一个角不能称作邻补角，互为邻补角的两

个角之和为 １８０°；

（３）若两个角互为邻补角，则它们一定互为补角．但是，若两个角互为补角，

它们不一定互为邻补角．

２．理解对顶角的定义和性质时，要注意以下几点：

（１）对顶角有一个公共顶点，两个角的两边互为反向延长线；

（２）对顶角也是成对出现的，不仅在位置上存在关系，而且在数量上也存在

关系；

（３）两条直线相交所成的四个角中，有两对对顶角；

（４）若两个角互为对顶角，则它们一定相等．但是，若两个角相等，它们不一

定互为对顶角．

三、教学过程

活动 １ 旧知回顾

１．回顾角的相关概念．

２．若∠１与∠２互补，则∠１＋∠２＝ ；若∠３与∠４互余，则∠３＋

∠４＝ ．

３．同角或等角的补角（余角） （选填“相等”或“不相等”）．

活动 ２ 探究新知

教材第 ２页探究．

·１·

教案 本土攻略·数学 七年级下册（ＲＪ） 

提出问题：

（１）在图 ５．１－２中，∠１和∠２的大小和位置有什么关系？∠１和∠３呢？

（２）在图 ５．１－１剪刀把手之间的角的变化过程中，这些关系还存在吗？为

什么？

（３）什么叫做邻补角和对顶角？在图 ５．１－２中，哪些是邻补角？哪些是对

顶角？

（４）对顶角的性质是什么？你能证明吗？

活动 ３ 知识归纳

１．两个角有一条 公共边 ，它们的另一边互为 反向延长线 ，具有这种

关系的两个角互为邻补角．

２．两个角有一个公共的 顶点 ，且一个角的两边分别是另一个角的两边

的 反向延长线 ，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．

３．对顶角 相等 ．

活动 ４ 典例赏析及练习

例 １ 下面四个图形中，∠１和∠２互为邻补角的是（ Ｄ ）

例 ２ 下面四个图形中，∠１和∠２是对顶角的是（ Ｃ ）

练习：

１．下列说法中，正确的有（ Ｂ ）

①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③若两个角不相等，则这两个角一定

不是对顶角；④若两个角不是对顶角，则这两个角不相等．

Ａ．１个 Ｂ．２个 Ｃ．３个 Ｄ．４个

２．如图，直线 ＡＢ，ＣＤ，ＥＦ相交于点 Ｏ．

（１）写出∠ＡＯＣ的邻补角，∠ＤＯＡ的对顶角；

（２）如果∠ＡＯＣ＝５０°，求∠ＢＯＤ，∠ＣＯＢ的度数．

【答 案】解：（１）∠ＡＯＣ的 邻 补 角 是 ∠ＣＯＢ和

∠ＡＯＤ；∠ＤＯＡ的对顶角是∠ＣＯＢ．

（２）∠ＡＯＣ＝５０°，由对顶角相等可知∠ＢＯＤ＝５０°．

由邻补角互补可知∠ＣＯＢ＝１８０°－∠ＡＯＣ＝１８０°－５０°＝１３０°．

活动 ５ 课堂小结

相交线

对顶角 概念：有公共的顶点，角的两边互为反向延长线．

{性质：对顶角相等．

邻补角 概念：一条边为公共边，另一条边互为反向延长线．

{性质：邻补角互补









 ．

四、教学反思

本课通过实物情境、直观展示引入课题，在学生讨论交流的基础上，理解对

顶角与邻补角的概念，并会应用其性质解决问题，课堂氛围很好，收到了良好的

教学效果．略感不足的是少数同学对解答题中推理过程的书写还存在问题，分

析、解决问题的能力还欠缺．

·２·

第五章 相交线与平行线 教案

５．１．２ 垂线

一、核心素养目标

１．抽象能力

（１）结合具体的图形，理解垂直的概念；

（２）掌握点到直线的距离的概念；

（３）了解垂线段的概念，了解垂线段最短的性质；

（４）能表示两条直线互相垂直．

２．空间观念

（１）能用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线；

（２）能度量点到直线的距离．

３．应用意识

能用垂线的相关性质解释或解决实际问题．

二、教学重难点

重点

１．了解垂线、垂线段的概念，会用三角尺或量角器过一点画已知直线的

垂线．

２．掌握点到直线的距离的概念．

难点

掌握垂线的性质，并运用它解决实际问题．

重难点解读

１．垂直是两条直线相交的一种特殊的位置关系，垂线是一条直线，不可度量

其长度．

２．垂直的定义具有判定和性质的双重作用，即已知两直线相交的夹角为直

角，可得两直线垂直（判定）．反之，由两直线垂直，可得夹角为 ９０°（性质）．

３．垂线段是线段，是图形．点到直线的距离是数量，是经过该点到直线的垂

线段的长度．

三、教学过程

活动 １ 旧知回顾

１．回顾邻补角和对顶角的概念．

２．如图，直线 ＡＢ与直线 ＣＤ相交于点 Ｏ，其中对顶角有 对，分别为

；邻补角有 对，分别为 ．

３．如图，直线 ａ，ｂ相交，∠１＝４０°，求∠２，∠３，∠４的度数．

·３·

教案 本土攻略·数学 七年级下册（ＲＪ） 

活动 ２ 探究新知

１．教材第 ３～４页部分内容．

提出问题：

（１）在相交线的模型中，固定木条 ａ，转动木条 ｂ，当 ａ，ｂ所成的夹角∠α＝

９０°时，ａ，ｂ有什么关系？

（２）垂直与相交有什么关系？什么叫垂线、垂足？

（３）在图 ５．１－５中，直线 ＡＢ，ＣＤ相交于点 Ｏ，∠ＡＯＣ＝９０°，则 ＡＢ⊥ＣＤ．反

之，如果 ＡＢ⊥ＣＤ，那么∠ＡＯＣ等于多少度？

２．教材第 ４页探究．

３．教材第 ５页探究．

活动 ３ 知识归纳

１．如图，直线 ａ，ｂ相交于点 Ｏ，当夹角为 ９０° 时，称 ａ与 ｂ互相垂直，记

作 ａ⊥ｂ ，其中的一条直线叫做另一条直线的 垂线 ，它们的交点 Ｏ叫做

垂足 ．

２．垂线的性质：

（１）在同一平面内，过一点有且只有 一 条直线与已知直线垂直；

（２）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中， 垂线段 最短．简单说

成 垂线段最短 ．

３．直线外一点到这条直线的 垂线段的长度 ，叫做点到直线的 距离 ．

活动 ４ 典例赏析及练习

例 １ 如图，在给出的图形上，完成下列作图：

（１）如图 １，过线段 ＡＢ外一点 Ｍ作 ＡＢ的垂线．

（２）如图 ２，过点 Ａ，Ｂ分别作 ＯＢ，ＯＡ的垂线．

图 １ 图 ２ 图 １ 图 ２

【答案】

【答案】解：（１）如图 １所示．

（２）如图 ２所示．

例 ２ 如图，已知直线 ＡＢ，ＯＣ交于点 Ｏ，ＯＤ平分∠ＢＯＣ，ＯＥ平分∠ＡＯＣ．试

判断 ＯＤ与 ＯＥ的位置关系，并说明理由．

·４·

第五章 相交线与平行线 教案

【答案】解：ＯＤ⊥ＯＥ．理由如下：因为 ＯＤ平分∠ＢＯＣ，ＯＥ平分∠ＡＯＣ，所以

∠ＢＯＤ＝∠ＣＯＤ＝１

２∠ＢＯＣ，∠ＡＯＥ＝∠ＣＯＥ＝１

２∠ＡＯＣ．又 因 为 ∠ＡＯＣ＋

∠ＢＯＣ＝１８０°，所以∠ＥＯＤ＝∠ＣＯＤ＋∠ＣＯＥ＝９０°．所以 ＯＤ⊥ＯＥ．

例 ３ 如图是一条河，Ｃ是河边 ＡＢ外一点．现欲用水管从河边 ＡＢ将水引到

Ｃ处，请在图上画出应该如何铺设水管才能让路线最短，并说明理由．

【答案】

【答案】解：如图所示，沿 ＣＥ铺设水管能让路线最短，因为垂线段最短．

练习：

１．如图，Ｐ是直线 ｌ外一点，Ａ，Ｂ，Ｃ三点在直线 ｌ上，且 ＰＢ⊥ｌ于点 Ｂ，

∠ＡＰＣ＝９０°，则下列说法中正确的是（ Ｂ ）

①线段 ＡＰ是点 Ａ到直线 ＰＣ的距离；

②线段 ＢＰ的长是点 Ｐ到直线 ｌ的距离；

③ＰＡ，ＰＢ，ＰＣ三条线段中，ＰＢ最短；

④线段 ＰＣ的长是点 Ｐ到直线 ｌ的距离．

Ａ．①③④ Ｂ．②③ Ｃ．②③④ Ｄ．③④

２．如图，点 Ｏ在直线 ＡＢ上，ＣＯ⊥ＤＯ于点 Ｏ，若∠１＝１５０°，则∠３的度数为

（ Ｄ ）

Ａ．３０° Ｂ．４０° Ｃ．５０° Ｄ．６０°

３．如图，过点 Ｐ画出射线 ＡＢ或线段 ＡＢ的垂线．

【答案】解：（１）如图所示，ＰＱ即为所作．（２）如图所示，ＰＭ即为所作．（３）如

图所示，ＰＮ即为所作．

活动 ５ 课堂小结

１．垂线的相关概念．

２．垂线的画法．

３．垂线的性质．

４．点到直线的距离．

四、教学反思

本课通过课件直观演示，进一步发展空间观念，培养用几何语言准确表达的

能力，并且了解垂线段的概念，了解垂线段最短的性质，体会点到直线的距离的

意义．学生的参与面广，积极性高，收到良好的效果．

·５·

教案 本土攻略·数学 七年级下册（ＲＪ） 

５．１．３ 同位角、内错角、同旁内角

一、核心素养目标

１．空间观念

能在三条相交的直线中找出同位角、内错角、同旁内角．

２．抽象能力

掌握构成同位角、内错角、同旁内角的条件，理解其名称的含义．

二、教学重难点

重点

理解同位角、内错角、同旁内角的概念．

难点

能在图形中识别同位角、内错角、同旁内角．

重难点解读

１．在两条直线被第三条直线所截构成的 ８个角中，有 ４对同位角，２对内错

角，２对同旁内角，简称“三线八角”．

２．同位角、内错角、同旁内角表示的是位置关系，而不是大小关系．它们没有

公共顶点，且都是成对出现的．

３．识别同位角、内错角、同旁内角时，先在图形上标出两个角的边，然后抽取

图形，并观察图形属于“Ｆ”“Ｚ”还是“Ｕ”形，进而根据所属的形状确定角的类型．

三、教学过程

活动 １ 旧知回顾

１．回顾邻补角和对顶角的概念．

２．如图，直线 ＡＢ，ＣＤ，ＥＦ相交于点 Ｏ．

（１）写出∠ＣＯＥ的邻补角；

（２）分别写出∠ＣＯＥ和∠ＢＯＥ的对顶角；

（３）如果∠ＢＯＤ＝６０°，∠ＢＯＦ＝９０°，求∠ＡＯＦ和∠ＦＯＣ的度数．

活动 ２ 探究新知

教材第 ６页练习下面的内容．

提出问题：

（１）在图 ５．１－１０中，怎样描述直线 ＡＢ，ＣＤ和 ＥＦ的位置关系？

（２）两条直线被第三条直线所截，构成了几个角？

（３）在图 ５．１－１０中，∠２与∠６，∠３与∠５，∠３与∠６，它们之间的位置关

系分别是什么？

（４）什么叫做同位角、内错角、同旁内角？

（５）在图 ５．１－１０中，哪些角是同位角？哪些角是内错角？哪些角是同旁

内角？

·６·

第五章 相交线与平行线 教案

活动 ３ 知识归纳

１．如下图中，直线 ＡＢ，ＣＤ与 ＥＦ相交，∠１和∠５这两个角分别在直线 ＡＢ，

ＣＤ的同一方向上（上方），并且都在直线 ＥＦ的同侧（右侧），具有这种位置关系

的一对角叫做 同位角 ，像这样的角还有 ∠２和∠６ ， ∠３和∠７ ，

∠４和∠８ ．

２．如上图中，∠３和∠５这两个角都在直线 ＡＢ，ＣＤ之间，并且分别在直线

ＥＦ两侧，具有这种位置关系的一对角叫做 内错角 ，像这样的角还有 ∠４

和∠６ ．

３．如上图中，∠３和∠６这两个角都在直线 ＡＢ，ＣＤ之间，但它们都在直线

ＥＦ同一旁（左侧），具有这种位置关系的一对角叫做 同旁内角 ，像这样的角

还有 ∠４和∠５ ．

活动 ４ 典例赏析及练习

例 如图，下列说法错误的是（ Ｄ ）

Ａ．∠Ａ与∠Ｂ是同旁内角 Ｂ．∠３与∠１是同旁内角

Ｃ．∠２与∠３是内错角 Ｄ．∠１与∠２是同位角

练习：

指出图中各对角的位置关系：

（１）∠Ｃ和∠Ｄ是 同旁内角 ；

（２）∠Ｂ和∠ＧＥＦ是 同位角 ；

（３）∠Ａ和∠Ｄ是 内错角 ；

（４）∠ＡＧＥ和∠ＢＧＥ是 邻补角 ；

（５）∠ＣＦＤ和∠ＡＦＢ是 对顶角 ．

活动 ５ 课堂小结

１．两条直线被第三条直线所截→“三线八角”

同位角，

内错角，

同旁内角 { ．

２．识别图中的同位角、内错角、同旁内角．

四、教学反思

本节课的教学内容量有点大，学生对角的认识有一定的难度，所以本节课的

教学效果一般，小组同学的合作学习效果还可以．通过本节课的学习，大部分学

生能明确构成同位角、内错角、同旁内角的条件，并能在不同图形中找出各类角．

·７·

教案 本土攻略·数学 七年级下册（ＲＪ） 

５．２ 平行线及其判定

５．２．１ 平行线

一、核心素养目标

１．空间观念

了解平行线的概念，认识同一平面内两条直线相交和平行的两种位置关系．

２．抽象能力

（１）能用符号表示两条直线互相平行．

（２）能用数学语言表示平行公理及推论．

（３）能判断生活中常见的平行线．

３．应用意识

（１）会过直线外一点画已知直线的平行线．

（２）能熟练掌握平行公理及推论．

二、教学重难点

重点

１．平行线的概念．

２．平行公理及其推论．

难点

对平行公理及其推论的理解和应用．

重难点解读

１．平行线有三个特征：一是在同一平面内，二是有两条直线，三是不相交．三

者缺一不可．

２．平行是相互的．使用符号表示时，ＡＢ∥ＣＤ也可以写成 ＣＤ∥ＡＢ．如果说两

条线段（或射线）平行，是指这两条线段（或射线）所在的直线平行．

３．平行公理体现了平行线的存在性和唯一性，平行公理的推论体现了平行

线间的传递性．

三、教学过程

活动 １ 旧知回顾

１．如图，点 Ａ，Ｂ，Ｃ在同一条直线上，已知∠１＝５３°，∠２＝３７°，则 ＣＤ与 ＣＥ

的位置关系是 ．

２．下列说法正确的有（ ）

①在同一平面内，过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线；

②在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线；

③在同一平面内，过一点可以任意画一条直线垂直于已知直线；

④在同一平面内，有且只有一条直线垂直于已知直线．

Ａ．１个 Ｂ．２个 Ｃ．３个 Ｄ．４个

活动 ２ 探究新知

１．教材第 １１页思考．

·８·

第五章 相交线与平行线 教案

提出问题：

（１）在图 ５．２－１中，直线 ａ和直线 ｂ有没有不相交的情况？

（２）平行线应该满足哪些条件？如何表示两条直线平行？

（３）在生活中，你还能举出两条直线平行的例子吗？

（４）同一平面内两条直线有哪些位置关系？

２．教材第 １２页思考．

活动 ３ 知识归纳

１．同一平面内， 不相交 的两条直线叫做平行线．

２．在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系： 平行 和 相交 ．

３．平行公理：经过直线外一点， 有且只有 一条直线与这条直线平行．

４．平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也

互相平行 ，即如果 ａ∥ｂ，ｃ∥ａ，那么 ｂ∥ｃ ．

活动 ４ 典例赏析及练习

例 １ 如图，在∠ＡＯＢ内有一点 Ｐ．

（１）过点 Ｐ画 ｌ１∥ＯＡ；

（２）过点 Ｐ画 ｌ２∥ＯＢ．

【答案】

【答案】解：（１）如图所示，ｌ１即为所作．（２）如图所示，ｌ２即为所作．

例 ２ 直线 ｌ同侧有 Ａ，Ｂ，Ｃ三点，若过点 Ａ，Ｂ的直线 ｌ１∥ｌ，过点 Ｂ，Ｃ的直

线 ｌ２∥ｌ，则 Ａ，Ｂ，Ｃ三点在同一直线上，理论依据是 经过直线外一点，有且只有

一条直线与这条直线平行 ．

例 ３ 将一张长方形硬纸片 ＡＢＣＤ对折后打开，折痕为 ＥＦ，把长方形 ＡＢＥＦ

平摊在桌面上，另一面 ＣＤＦＥ无论怎样改变位置，总有 ＣＤ∥ＡＢ，为什么？

【答案】解：因为 ＡＢ∥ＥＦ，ＣＤ∥ＥＦ，所以 ＡＢ∥ＣＤ．

练习：

下列说法正确的有（ Ｂ ）

①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行；

②过一点有且只有一条直线和已知直线平行；

③平行于同一条直线的两条直线互相平行；

④若直线 ａ∥ｂ，ｂ∥ｃ，则 ａ∥ｃ．

Ａ．１个 Ｂ．２个 Ｃ．３个 Ｄ．４个

活动 ５ 课堂小结

１．平行线的概念．

２．平行公理及其推论．

四、教学反思

通过本节课的教学，学生了解了平行线的概念、平面内两条直线的相交和平

行的两种位置关系，知道平行公理以及平行公理的推论的内容并能在实际问题

中予以正确的运用，个别同学的学习态度不端正，教师要加以引导与教育．

·９·

教案 本土攻略·数学 七年级下册（ＲＪ） 

５．２．２ 平行线的判定

一、核心素养目标

１．抽象能力

（１）探索两条直线平行的条件，初步学会简单的论证和推理．

（２）能用符号表示平行线的三种判定方法．

２．应用意识

掌握平行线的三种判定方法，并能简单地运用判定定理解决实际问题．

二、教学重难点

重点

掌握两直线平行的判定方法．

难点

综合运用两直线平行的判定方法解决问题．

重难点解读

１．平行线的判定是用角相等或互补来判定的，平行是得到的结论．

２．判定平行线的思路：

（１）定：确定已知条件是位置关系还是数量关系；

（２）选：若已知条件是位置关系，则用平行公理的推论证明；若已知条件是

数量关系，则用平行线的判定方法证明；

（３）证：根据所选的证明方法写出证明过程．

３．由所给的数量关系判定两直线平行时，先确定两角的位置关系，一般地，

“ ”中有同位角，“ ”中有内错角，“ ”中有同旁内角．

三、教学过程

活动 １ 旧知回顾

１．如图，以下说法正确的是（ ）

Ａ．∠１和∠２是内错角 Ｂ．∠２和∠３是同位角

Ｃ．∠１和∠３是内错角 Ｄ．∠２和∠４是同旁内角

２．如图，点 Ｅ，Ｆ分别在 ＡＢ，ＡＤ上．按要求画图并回答下列相关问题：

（１）过点 Ｅ画 ＥＧ∥ＡＣ交 ＢＣ于点 Ｇ，过点 Ｆ画 ＦＨ∥ＡＣ交 ＣＤ于点 Ｈ；

（２）在（１）中各自只能画出一条平行线的根据是什么？

（３）ＥＧ与 ＦＨ平行吗？为什么？

·１０·

第五章 相交线与平行线 教案

活动 ２ 探究新知

１．教材第 １２～１３页部分内容．

提出问题：

（１）要判断两条直线平行，除了定义之外，还有其他方法吗？

（２）在图 ５．２－５中，直线 ＣＤ与直线 ＡＢ有什么关系？三角尺的作用是

什么？

（３）在图 ５．２－６中，∠１和∠２有什么位置关系和大小关系？

（４）由此你能得出什么结论？

（５）在图 ５．２－７中，你能说出木工师傅用角尺画平行线的道理吗？

２．教材第 １３页思考．

３．教材第 １４页探究．

４．教材第 １４页例题．

活动 ３ 知识归纳

平行线的判定：

（１）定义法：在同一平面内，两条 不相交 的直线互相平行；

（２）两条直线分别与第三条直线 平行 ，则这两条直线互相平行；

（３）同位角 相等 ，两直线平行；

（４）内错角 相等 ，两直线平行；

（５）同旁内角 互补 ，两直线平行；

（６）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线 互相平行 ．

活动 ４ 典例赏析及练习

例 １ 在下列各图中，由∠１＝∠２能得到 ＡＢ∥ＣＤ的是（ Ｂ ）

例 ２ 如图，∠１＝∠２＝５５°，∠３等于多少度？直线 ＡＢ，ＣＤ平行吗？说明

理由．

【答案】解：ＡＢ∥ＣＤ．理由如下：因为∠２和∠３是对顶角，所以∠３＝∠２．又

因为∠１＝∠２＝５５°，所以∠１＝∠３＝５５°（等量代换）．所以 ＡＢ∥ＣＤ（同位角相

等，两直线平行）．

例 ３ 已知直线 ａ，ｂ被直线 ｃ所截，且∠１＋∠２＝１８０°．试判断直线 ａ，ｂ的

位置关系，并说明理由．

·１１·

教案 本土攻略·数学 七年级下册（ＲＪ） 

【答案】解：ａ∥ｂ．理由如下：∵∠１和∠３是对顶角，∴∠１＝∠３．又∵∠１＋

∠２＝１８０°，∴∠３＋∠２＝１８０°（等量代换）．∴ａ∥ｂ（同旁内角互补，两直线平行）．

练习：

１．如图，在下列给出的条件中，不能判定 ＡＢ∥ＤＦ的是（ Ｄ ）

Ａ．∠Ａ＋∠２＝１８０° Ｂ．∠Ａ＝∠３

Ｃ．∠１＝∠４ Ｄ．∠１＝∠Ａ

２．如图，木工用角尺画出的线段 ＣＤ与 ＥＦ是互相平行的，其依据是 同位

角相等，两直线平行 ．

３．如图，直线 ａ，ｂ，ｃ被直线 ｌ所截，量得∠１＝∠２＝∠３．

（１）从∠１＝∠２可以得出哪两条直线平行？根据是什么？

（２）从∠１＝∠３可以得出哪两条直线平行？根据是什么？

（３）直线 ａ，ｂ，ｃ互相平行吗？根据是什么？

【答案】解：（１）由∠１＝∠２，根据“同位角相等，两直线平行”，可得 ａ∥ｂ．

（２）由∠１＝∠３，根据“内错角相等，两直线平行”，可得 ａ∥ｃ．

（３）由 ａ∥ｂ，ａ∥ｃ，根据“如果两条直线与第三条直线平行，那么这两条直线

也互相平行”，可得 ｂ∥ｃ，从而直线 ａ，ｂ，ｃ互相平行．

活动 ５ 课堂小结

１．平行线的判定方法．

２．综合运用平行线的判定方法解决问题．

四、教学反思

通过本节课的学习，学生理解并掌握了平行线的三种判定方法，在教学过程

中运用实例引导及提问思考的教学方式，调动学生的活动积极性，使学生能够更

深入理解新知识．本节课关键是要学会运用、学会书写推理过程，这一点有一部

分同学存在不足，针对这一情况，教师对例题进行了详细讲解，指导学生解题的

思路和方法，做到熟练推理．

·１２·

第五章 相交线与平行线 教案

５．３ 平行线的性质

５．３．１ 平行线的性质

一、核心素养目标

１．模型观念

理解平行线的性质，能区别平行线的性质和判定．

２．抽象能力

能用符号表示平行线的性质．

３．应用意识

（１）能用平行线的性质进行简单的推理和计算；

（２）能综合运用平行线的性质和判定方法解决问题．

二、教学重难点

重点

理解平行线的性质．

难点

运用平行线的性质和判定方法解决问题．

重难点解读

对平行线性质的理解要注意以下几点：

（１）只有在“两条平行线被第三条直线所截”的前提下才存在同位角相等、

内错角相等、同旁内角互补的结论，这是平行线特有的性质，不能一提到同位角

或内错角就认为它们相等，一提到同旁内角就认为它们互补；

（２）平行线的性质描述的是“数量关系”，它的前提是两直线平行，然后得出

角相等或互补，是由“位置关系”到“数量关系”；而平行线的判定是以角相等或

互补为前提，然后推导出两直线平行，是由“数量关系”到“位置关系”．

三、教学过程

活动 １ 旧知回顾

１．回顾平行线的判定方法．

２．如图，直线 ａ，ｂ被直线 ｃ所截，下列条件中，不能判定 ａ∥ｂ的是（ ）

Ａ．∠２＝∠４

Ｂ．∠１＋∠４＝１８０°

Ｃ．∠５＝∠４

Ｄ．∠１＝∠３

活动 ２ 探究新知

１．教材第 １８页探究．

提出问题：

（１）你能测量出图 ５．３－１中每个角的度数并填表吗？

（２）在图 ５．３－１的八个角中，哪些是同位角，它们的度数之间有什么关系

吗？由此你能猜想出两条平行线被第三条直线截得的同位角有什么关系吗？

（３）再任意画一条截线 ｄ，比较同位角的度数，你的猜想还成立吗？

２．教材第 １９页思考及以下内容．

提出问题：

（１）两条平行线被第三条直线所截，内错角、同旁内角之间有什么关系吗？

（２）改变截线，这些关系还存在吗？

·１３·

教案 本土攻略·数学 七年级下册（ＲＪ） 

活动 ３ 知识归纳

平行线的性质：

（１）性质 １：两直线平行，同位角 相等 ；

（２）性质 ２：两直线平行，内错角 相等 ；

（３）性质 ３：两直线平行，同旁内角 互补 ．

活动 ４ 典例赏析及练习

例 １ 如图，ＡＢ∥ＣＤ，ＢＥ∥ＤＦ，∠Ｂ＝６５°，求∠Ｄ的度数．

【答案】解：∵ＡＢ∥ＣＤ，∠Ｂ＝６５°，∴∠ＢＥＣ＝１８０°－６５°＝１１５°（两直线平

行，同旁内角互补）．又∵ＢＥ∥ＤＦ，∴∠Ｄ＝∠ＢＥＣ＝１１５°（两直线平行，同位角

相等）．

第 １１题图 第 １２题图

例 ２ 如图，ＡＢ∥ＣＤ，Ｅ是 ＣＤ上一点，∠ＡＥＣ＝４２°，ＥＦ平分∠ＡＥＤ交 ＡＢ

于点 Ｆ．求∠ＡＦＥ的度数．

【答案】解：∵∠ＡＥＣ＝４２°，∴∠ＡＥＤ＝１８０°－∠ＡＥＣ＝１３８°．∵ＥＦ平分

∠ＡＥＤ，∴∠ＤＥＦ＝１

２∠ＡＥＤ＝６９°．又∵ＡＢ∥ＣＤ，∴∠ＡＦＥ＝∠ＤＥＦ＝６９°（两直

线平行，内错角相等）．

练习：

如图，已知∠ＡＢＣ．请你再画一个∠ＤＥＦ，使 ＤＥ∥ＡＢ，ＥＦ∥ＢＣ，且 ＤＥ交 ＢＣ

于点 Ｐ．探究：∠ＡＢＣ与∠ＤＥＦ有怎样的数量关系，并说明理由．

图 １ 图 ２

【答案】

【答案】解：∠ＡＢＣ与∠ＤＥＦ相等或互补．

理由如下：如图 １，∵ＤＥ∥ＡＢ，∴∠ＡＢＣ＝∠ＤＰＣ．又∵ＥＦ∥ＢＣ，∴∠ＤＥＦ＝

∠ＤＰＣ．∴∠ＡＢＣ＝∠ＤＥＦ．如图 ２，∵ＤＥ∥ＡＢ，∴∠ＡＢＣ＋∠ＤＰＢ＝１８０°．又∵ＥＦ

∥ＢＣ，∴∠ＤＥＦ＝∠ＤＰＢ．∴∠ＡＢＣ＋∠ＤＥＦ＝１８０°．综上所述，∠ＡＢＣ与∠ＤＥＦ

相等或互补．

活动 ５ 课堂小结

１．平行线的性质

两直线平行，同位角相等；

两直线平行，内错角相等；

两直线平行，同旁内角互补 { ．

２．运用平行线的性质解决问题．

四、教学反思

通过本节课的学习，学生能掌握平行线的三条性质并能利用这三条性质进

行简单的推理与论证，学生能积极地参与到学习活动中，及时提出有关的问题和

解决问题的方法．大部分学生能够综合运用平行线的性质和判定方法解答实际

问题，学生学习的积极性较高．

·１４·

第五章 相交线与平行线 教案

５．３．２ 命题、定理、证明

一、核心素养目标

１．抽象能力

理解命题、定理、证明的概念，能区分命题的题设与结论．

２．应用意识

能把一个命题写成“如果……那么……”的形式．

３．推理能力

判断一个命题的真假，并能写出相应的证明过程．

二、教学重难点

重点

理解命题、定理、证明的概念，能区分命题的题设和结论，并能把一个命题写

成“如果……那么……”的形式．

难点

判定一个命题的真假，并能写出相应的证明过程．

重难点解读

１．对命题的理解，要注意以下几点：

（１）命题必须是一个完整的句子，是对某件事情作出肯定或否定的判断；

（２）判断一个命题是假命题，只需举出一个反例（符合命题的题设，不符合

命题的结论）即可；而判断一个命题是真命题，需要从已知出发，经过一步步推

理，最后得出正确结论．

２．定义、命题、公理（基本事实）和定理之间的联系与区别：

（１）联系：都是句子，都可以判断真假，即定义、公理和定理都是命题；

（２）区别：定义、公理和定理都是真命题，都可以作为进一步判断其他命题

真假的依据，而命题不一定是真命题，因而它不一定能作为进一步判断其他命题

真假的依据．

三、教学过程

活动 １ 旧知回顾

１．回顾平行线的判定和性质．

２．如图，直线 ａ，ｂ被直线 ｃ所截，则下列说法正确的是（ ）

Ａ．当∠１＝∠２时，一定有 ａ∥ｂ

Ｂ．当 ａ∥ｂ时，一定有∠１＝∠２

Ｃ．当 ａ∥ｂ时，一定有∠２－∠１＝９０°

Ｄ．当∠１＋∠２＝１８０°时，一定有 ａ∥ｂ

活动 ２ 探究新知

教材第 ２０～２１页部分内容．

提出问题：

（１）什么叫做命题？命题是由哪些部分组成的？

（２）当一个命题的题设和结论都不明显时，该怎么办？

（３）如何判断一个命题的真假？

（４）什么叫做定理和证明？你是如何理解定理和证明的？

·１５·

教案 本土攻略·数学 七年级下册（ＲＪ） 

活动 ３ 知识归纳

１．命题

（１）定义： 判断 一件事情的语句，叫做命题；

（２）命题是由 题设 和 结论 两部分组成， 题设 是已知事项， 结

论 是由已知事项推出的事项；

（３）数学中的命题常可以写成“如果……那么……”的形式，“ 如果 ”后

接的部分是题设，“ 那么 ”后接的部分是结论．

２．真命题、假命题和定理

（１）如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做 真命题 ；

（２）题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做 假命题 ；

（３）命题的正确性是经过 推理 证实的，这样得到的 真命题 叫做定

理．定理可以作为继续推理的依据．

３．证明

在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个 推理

过程 叫做证明．判断一个命题是假命题，只要 举出一个例子（反例），它符合

命题的题设，但不满足结论 就可以了．

活动 ４ 典例赏析及练习

例 １ 判断下列语句是不是命题，是命题的指出命题的题设和结论，并判断

此命题是否是真命题．

（１）同位角相等吗？

（２）任意两个直角都相等；

（３）若 ｘ ＝ ｙ，则 ｘ＝ｙ．

【答案】解：（１）不是命题．（２）是命题．题设：两个角是直角，结论：这两个角

相等．是真命题．（３）是命题．题设：ｘ ＝ ｙ，结论：ｘ＝ｙ．是假命题．

例 ２ 分别把下列命题写成 “如果……那么……”的形式．

（１）两点确定一条直线；

（２）等角的补角相等．

【答案】解：（１）如果平面内有两个点，那么这两点可以确定一条直线．（２）如

果两个角相等，那么这两个角的补角也相等．

练习：

１．命题“两直线平行，同旁内角互补”的题设是 如果两直线平行 ，结论

是 那么同旁内角互补 ．

２．完成下面的证明．

如图，ＡＢ∥ＣＤ，ＣＢ∥ＤＥ．求证：∠Ｂ＋∠Ｄ＝１８０°．

证明：∵ＡＢ∥ＣＤ，

∴∠Ｂ＝ ∠Ｃ （ 两直线平行，内错角相等 ）．

又∵ＣＢ∥ＤＥ，

∴∠Ｃ＋∠Ｄ＝１８０°（ 两直线平行，同旁内角互补 ）．

∴∠Ｂ＋∠Ｄ＝１８０°．

活动 ５ 课堂小结

１．命题、定理、证明的概念．

２．判定一个命题的真假，并能说明理由．

四、教学反思

通过本节课的教学，学生能在了解命题的概念并能区分命题的题设和结论

的基础上知道命题有真假之分，其中真命题又叫做定理，对于假命题，只要举出

一个反例加以说明即可，其中的推理过程叫做证明．学生小组合作学习的积极性

较高，体现出学生愿学乐学的心态，教师要及时地鼓励与表扬．

·１６·

第五章 相交线与平行线 教案

５．４ 平移

一、核心素养目标

１．几何直观

（１）通过实例认识平移，理解平移的含义；

（２）理解平移前后的两个图形对应点的连线平行且相等的性质．

２．空间观念

能按要求作出简单的平面图形平移后的图形．

３．应用意识

认识和欣赏平移在现实生活中的应用，能用平移进行一定的图案设计．

二、教学重难点

重点

理解图形平移的特征．

难点

１．能按要求作出简单的平面图形平移后的图形．

２．能运用平移的性质解决问题．

重难点解读

１．平移是一种位置变化，平移不改变图形的形状和大小．

２．图形平移时，图形上各点移动的方向和距离都相同，图形的平移是图形整

体的平移，一般情况下，只要画出原图形上每个关键点平移后的对应点，然后按

照原图形的形状顺次连接各对应点，即可得到平移后的图形．

３．平移与平行的关系：一条线段经过平移后，得到的新线段与原线段平行

（或共线），一般情况下，作某条线段的平行线，相当于把这条线段平移．

三、教学过程

活动 １ 旧知回顾

１．回顾平行线的概念．

２．读下列语句，并画出图形：

（１）Ｐ是两平行直线 ＡＢ，ＥＦ之间的一点，直线 ＣＤ经过点 Ｐ，且与直线 ＡＢ，

ＥＦ平行；

（２）直线 ＭＮ，ＰＱ是相交线，Ｅ是直线 ＭＮ，ＰＱ外的一点，直线 ＣＤ经过点 Ｅ

与直线 ＭＮ平行，与直线 ＰＱ相交于点 Ｈ．

活动 ２ 探究新知

１．教材第 ２８页探究．

２．教材第 ２８页思考．

提出问题：

（１）在所画出的相邻的两个雪人中，连接几组对应点，观察得出的线段的位

置、长短有什么关系？

（２）平移前后图形有什么特点？

（３）你能归纳出平移作图的步骤吗？

活动 ３ 知识归纳

１．把一个图形整体沿某一 直线 方向移动，会得到一个新的图形，图形的

这种移动，叫做 平移 ．

·１７·

教案 本土攻略·数学 七年级下册（ＲＪ） 

２．平移的性质：

（１）新图形与原图形的 形状 和 大小 完全相同；

（２）新图形中的每一点，都是由原图形中的 某一点 移动后得到的，这两

个点是 对应点 ，连接各组对应点的线段 平行（或在同一条直线上） 且

相等 ．

３．图形平移的方向是任意的，不限于水平方向．

４．平移作图的一般步骤：

（１）定：确定平移的 方向 和 距离 ；

（２）找：找出构成图形的 对应顶点 ；

（３）移：过关键点作 平行 且相等的线段，得到关键点的 对应点 ；

（４）连：按原图形顺序连接各关键点的对应点．

活动 ４ 典例赏析及练习

例 １ 下列运动属于平移的是（ Ｄ ）

Ａ．荡秋千 Ｂ．地球绕着太阳转

Ｃ．风筝在空中随风飘动 Ｄ．急刹车时，汽车在地面上的滑动

例 ２ 如图，三角形 ＡＢＣ经过平移得到三角形 Ａ′Ｂ′Ｃ′，若 ＡＢ＝６，ＣＣ′＝１２，

∠ＢＡＣ＝７５°，∠ＡＣＢ＝７０°，则∠Ａ′Ｂ′Ｃ′＝ ３５° ，Ａ′Ｂ′＝ ６ ，ＢＢ′＝ １２ ．

练习：

１．下列哪个图形是由左图平移得到的（ Ｃ ）

２．如图，三角形 ＤＥＦ是由三角形 ＡＢＣ先向右平移 ６ 格，再向 下 平移

３ 格得到的．

活动 ５ 课堂小结

１．平移的概念和性质．

２．运用平移的性质解决问题．

３．画平移后的图形．

四、教学反思

本节课中，课堂进行了动手操作，大胆猜想，合作交流等过程，让学生认识平

移，理解平移的含义，理解平移前后两个图形对应点的连线平行且相等及对应线

段平行且相等、对应角相等的性质；学生能由平移的性质进行简单的平移作图，

并能认识和欣赏平移在现实生活中的应用，运用平移作图进行一定的图案设计．

大部分同学都能参与到学习活动中来，在学习过程中，学生的动手能力要加强，

在以后的学习中要注意培养学生的动手操作能力．

·１８·

第六章 实数 教案

第六章 实数

６．１ 平方根

第 １课时 算术平方根

一、核心素养目标

１．抽象能力

（１）理解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根；

（２）掌握算术平方根的非负性，会求非负数的算术平方根．

２．推理能力

求算术平方根时，被开方数的小数点向左（右）每移动两位时，它的算术平

方根相应地向左（右）移动一位．

３．运算能力

（１）能用计算器求一个正数的算术平方根；

（２）能用夹值法求一个数的算术平方根；

（３）能比较两个带有根号的式子的大小．

二、教学重难点

重点

１．理解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根．

２．能用计算器求一个正数的算术平方根．

难点

１．掌握算术平方根的非负性，会求非负数的算术平方根．

２．掌握算术平方根的估算及比较两个数大小的方法．

重难点解读

１．求一个非负数的算术平方根的方法：先找出哪个非负数的平方等于所给

的数，然后用数学式子表示即可，根据平方求一个数的算术平方根体现了数学中

的转化思想．

２．算术平方根（槡ａ）的非负性：

（１）被开方数一定是非负数，即 ａ≥０；

（２）槡ａ≥０．

３．只有正数和 ０有算术平方根，负数没有算术平方根．

４．槡ａ实际上省略了２

槡ａ中的根指数 ２，由此槡ａ也读作“根号 ａ”．

５．比较两个数的算术平方根大小时，只要比较它们的被开方数的大小．

６．估算时要合理，不能偏太大或太小．

三、教学过程

活动 １ 旧知回顾

１．回顾乘方的概念．

２．一个正方形的边长是 ４ｃｍ，它的面积是 ｃｍ２

．

活动 ２ 探究新知

１．教材第 ４０页问题．

·１９·

教案 本土攻略·数学 七年级下册（ＲＪ） 

提出问题：

（１）你能完成问题中的填表吗？找出它们的共同点．

（２）什么叫做算术平方根？

（３）算术平方根的被开方数有什么特点？

（４）０的算术平方根是多少？

（５）算术平方根与被开方数有什么关系？

２．教材第 ４１页第 １个探究、第 ２个探究．

提出问题：

（１）能否用两个面积为 １ｄｍ２

的小正方形拼成一个面积为 ２ｄｍ２

的大正方形？

（２）你能根据算术平方根的意义由大正方形的面积求出大正方形的边长吗？

（３）槡２有多大？如何估算一个数的算术平方根？

３．教材第 ４３页探究及以下内容．

提出问题：

（１）如何用计算器求一个数的算术平方根？

（２）如何比较两个数的算术平方根的大小？

活动 ３ 知识归纳

１．一般地，如果一个正数 ｘ的平方等于 ａ，即 ｘ２＝ａ，那么这个正数 ｘ叫做 ａ的

算术平方根 ．ａ的算术平方根记为 槡ａ ，读作“ 根号 ａ ”，ａ叫做 被开

方数 ．

２．规定：０的算术平方根是 ０ ．

３．被开方数越大，对应的算术平方根也 越大 ．

４．估算：在确定一个正数的算术平方根时，可以通过每次增加一位小数计算

平方与被开方数比较大小，如此进行下去，在精确度范围内逐步确定出正数的算

术平方根的取值范围．这种估算方法叫做夹值法．

活动 ４ 典例赏析及练习

例 求下列各数的算术平方根：

（１）８１；（２）

２５

６４

；（３）０．０４；（４）１０２

．

【答案】解：（１）∵９２＝８１，∴８１的算术平方根是 ９，即 槡８１＝９．

（２）∵( ) ５

８

２

＝２５

６４

，∴

２５

６４

的算术平方根是 ５

８，即 ２５

槡６４＝５

８．

（３）∵０．２２＝０．０４，∴０．０４的算术平方根是 ０．２，即 槡０．０４＝０．２．

（４）∵１０２＝１００，∴１０２

的算术平方根是 １０，即 槡１０２ ＝槡１００＝１０．

练习：

求下列各数的算术平方根：

（１）１００００；（２）

１６

４９

；（３）０．０１．

解：（１）槡１００００＝１００．（２） １６

槡４９＝４

７．（３）槡０．０１＝０．１．

活动 ５ 课堂小结

１．算术平方根的概念．

２．求一个数的算术平方根．

３．估算算术平方根和比较数的大小．

４．用计算器计算一个正数的算术平方根．

四、教学反思

本课通过实例引入，引导学生探究，合作交流，逐步形成算术平方根的概念，

并体会其非负性．通过题组练习，让学生达到掌握估算，计算器计算，比较大小知

识的目的，学生能积极参与，但对于估算方法不能很好地掌握，还需想办法突破．

·２０·

第六章 实数 教案

第 ２课时 平方根

一、核心素养目标

１．抽象能力

（１）理解平方根的概念，能区分平方根与算术平方根的不同之处；

（２）了解平方与开平方互为逆运算；

（３）会表示一个非负数的平方根．

２．运算能力

（１）能求一个非负数的平方根；

（２）能运用平方根的概念进行求值运算．

二、教学重难点

重点

１．理解平方根的概念，能区分平方根与算术平方根的不同之处．

２．了解平方与开平方为互逆运算，能求非负数的平方根．

难点

能运用平方根的概念进行求值运算．

重难点解读

１．一个正数的平方根有两个，千万不能丢掉负的平方根，要跟算术平方根区

分开．

２．平方根包括算术平方根，算术平方根是平方根中正的平方根．

３．被开方数一定是非负数，当被开方数为０时，它的平方根和算术平方根相等．

４．±槡ａ，－槡ａ，槡ａ（ａ≥０）分别表示非负数 ａ的平方根，非负数 ａ的负的平方

根，非负数 ａ的算术平方根．

５．若被开方数是带分数，要先把带分数化为假分数再开平方．

三、教学过程

活动 １ 旧知回顾

１．回顾算术平方根的概念．

２．求下列各数的算术平方根：

（１）１２１；（２）０；（３）９

６４

；（４）０．０１．

３．（－５）２＝ ，５２＝ ．

活动 ２ 探究新知

１．教材第 ４４～４５页部分内容．

提出问题：

（１）如果一个数的平方等于 ９，这个数是多少？

（２）什么叫做平方根和开平方？

（３）平方与开平方有什么联系？

（４）开平方时，被开方数可以是任意数吗？

２．教材第 ４５页思考．

活动 ３ 知识归纳

１．一般地，如果一个数的平方等于 ａ，那么这个数叫做 ａ的 平方根 或二次

方根．这就是说，如果 ｘ２＝ａ，那么 ｘ叫做 ａ的 平方根 ．ａ的平方根记作 ±槡ａ ．

２．求一个数 ａ的平方根的运算，叫做 开平方 ，平方与开平方互为逆运算．

３．正数有 两 个平方根，它们 互为相反数 ；０的平方根是 ０ ； 负

数 没有平方根．

·２１·

教案 本土攻略·数学 七年级下册（ＲＪ） 

活动 ４ 典例赏析及练习

例１ 下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根；如果没有，请说明理由．

（１）－６４；（２）０；（３）（－２）３

；（４）（－５）２

．

【答案】解：（１）没有，负数没有平方根．（２）有，０的平方根是 ０．（３）没有，

（－２）３＝－８，负数没有平方根．（４）有，（－５）２

的平方根是 ±５．

例 ２ 求下列各数的平方根：

（１）１２１；（２）４

２５

；（３）０．００１６．

【答案】（１）∵（±１１）２＝１２１，∴４９的平方根是 ±１１．

（２）∵( ± ) ２

５

２

＝４

２５

，∴

４

２５

的平方根是 ±

２

５．

（３）∵（±０．０４）２＝０．００１６，∴０．００１６的平方根是 ±０．０４．

例 ３ 已知 ａ－２ ＋槡ｂ－３＝０，求( ｂ－ａ) ａ的平方根．

【答案】解：∵ ａ－２ ＋槡ｂ－３＝０，∴ ａ－２ ＝０，槡ｂ－３＝０．∴ａ－２＝０，

ｂ－３＝０．∴ａ＝２，ｂ＝３．∴（ｂ－ａ）ａ＝（３－２）２＝１．∴（ｂ－ａ）ａ的平方根是 ±１．

练习：

１．下列说法：①槡５是 ５的算术平方根；② ５

６是２５

３６

的一个平方根；③（－４）２

的

平方根是 －４；④０的平方根与算术平方根都是 ０．

其中正确的说法有（ Ｃ ）

Ａ．１个 Ｂ．２个 Ｃ．３个 Ｄ．４个

２．求下列各式的值：

（１）槡３６＝ ６ ；（２）－槡０．８１＝ －０．９ ；（３）±

４９

槡９ ＝ ±

７

３ ．

３．如果（ａ２＋ｂ２＋１）２＝２５，那么 ａ２＋ｂ２

的平方根是 ±２ ．

４．求下列各式中 ｘ的值：

（１）ｘ２＝３６１；（２）８１ｘ２－４９＝０；（３）４９（ｘ２＋１）＝５０；（４）（３ｘ－１）２＝（－５）２

．

【答案】解：（１）∵ｘ２＝３６１，∴ｘ＝±槡３６１＝±１９．

（２）∵８１ｘ２－４９＝０，整理，得 ｘ２＝４９

８１

．∴ｘ＝±

４９

槡８１＝±

７

９．

（３）∵４９（ｘ２＋１）＝５０，整理，得 ｘ２＝１

４９

．∴ｘ＝±

１

槡４９＝±

１

７．

（４）∵（３ｘ－１）２＝（－５）２

，∴３ｘ－１＝±５．

①当 ３ｘ－１＝５时，ｘ＝２；

②当 ３ｘ－１＝－５时，ｘ＝－４

３．

综上所述，ｘ＝２或 ｘ＝－４

３．

活动 ５ 课堂小结

１．平方根和开平方的概念，会求某个数的平方根．

２．平方根与算术平方根的区别与联系．

３．运用平方根的概念和性质解决问题．

四、教学反思

本节课学习平方根，由学生自主合作探究平方根的本质特征，共同归纳算术

平方根与平方根的联系与区别，学生在交流中互相提高，享受学习的快乐．另外，

精选了有层次，有梯度的习题，让学生的思维得到充分的锻炼，也加强了计算

能力．

·２２·

第六章 实数 教案

６．２ 立方根

一、核心素养目标

１．抽象能力

（１）理解立方根的概念，知道正数、０、负数的立方根的特点；

（２）区分平方根、算术平方根与立方根的不同；

（３）了解开立方与立方互为逆运算；

（４）会表示一个数的立方根．

２．模型观念

求一些数的立方根时，被开方数小数点向左（右）每移动三位，其立方根的

小数点相应地向左（右）移动一位．

３．运算能力

（１）能用立方运算求一个数的立方根；

（２）能用计算器求一个数的立方根．

二、教学重难点

重点

理解立方根的概念，知道立方根与平方根的区别，会用根号表示一个数的立

方根．

难点

理解并掌握立方根的性质，了解开立方与立方互为逆运算，并会用立方运算

求某些数的立方根．

重难点解读

１．立方根与平方根的区别与联系：

（１）立方根中的根指数 ３不能省略，而平方根中的根指数 ２省略不写；

（２）任何数都有立方根，而且只有一个，但一个非负数的平方根有两个，负

数没有平方根；

（３）在３

槡ａ中，ａ可以是任意数（正数、０和负数），而在槡ａ中，ａ为非负数；

（４）０的立方根和平方根都是 ０．

２．求一个数的立方根，就是看哪一个数的立方等于这个数．

３．求带分数的立方根时必须先将其化为假分数再开立方．

４．利用“３

槡－ａ＝－３

槡ａ”可以把求一个负数的立方根转化为求一个正数的立

方根的相反数．

三、教学过程

活动 １ 旧知回顾

１．回顾算术平方根和平方根的概念和性质．

２．１６的平方根是 ，槡１６的算术平方根是 ．

３．计算：

（１）槡１４４；（２）－槡０．８１；（３）±

１２１

槡１９６．

活动 ２ 探究新知

１．教材第 ４９页问题．

提出问题：

（１）正方体的体积公式是什么？

（２）正方体的体积是 ２７ｍ３

，它的棱长是多少 ｍ？

·２３·

教案 本土攻略·数学 七年级下册（ＲＪ） 

（３）什么叫做立方根？

（４）什么叫做开立方？开立方与立方有什么关系？

２．教材第 ４９页探究．

提出问题：

（１）你能完成探究中的填空吗？

（２）通过填空，你能发现正数、０和负数的立方根各有什么特点吗？

（３）如何表示一个数的立方根？立方根的被开方数可以是任意数吗？

（４）你能说出一个数的平方根与立方根有什么不同吗？

３．教材第 ５０页探究．

提出问题：

（１）你能完成探究中的填空吗？

（２）通过填空，你能发现什么规律？

４．教材第 ５１页探究．

活动 ３ 知识归纳

１．一般地，如果一个数的立方等于 ａ，那么这个数叫做 ａ的 立方根 或三

次方根．这就是说，如果 ｘ３＝ａ，那么 ｘ叫做 ａ的 立方根 ．

２．求一个数的立方根的运算，叫做 开立方 ，开立方与立方互为逆运算．

３．正数的立方根是 正数 ，负数的立方根是 负数 ，０的立方根是 ０ ．

４．类似于平方根，一个数 ａ的立方根，用符号“３

槡ａ”表示，读作“ 三次根号

ａ ”，其中 ａ是 被开方数 ，３是 根指数 ．

５．一般地，３

槡－ａ＝ －３

槡ａ ．

６．被开方数的小数点每向右移动 ３位，它的立方根的小数点就向右移动 １

位；被开方数的小数点每向左移动 ３ 位，它的立方根的小数点就向左移动 １位．

活动 ４ 典例赏析及练习

例 １ ６４的立方根是（ Ａ ）

Ａ．４ Ｂ．±４ Ｃ．８ Ｄ．±８

例 ２ 用计算器求槡３＋３

槡３的结果（保留 ４个有效数字）是（ Ｂ ）

Ａ．３．１７４２ Ｂ．３．１７４ Ｃ．３．１７５ Ｄ．３．１７４３

例 ３ 求下列各式的值：

（１）３

槡－２；（２）３

槡０．５１２；（３）

３

－１２５

槡 ８ ；（４）３

槡１０９．

【答案】解：（１）３

槡－２＝－３

槡２．（２）３

槡０．５１２＝０．８．（３）

３

－１２５

槡 ８ ＝－５

２．

（４）３

槡１０９ ＝１０３

．

练习：

１．立方根等于它本身的数有 ３ 个．

２．已知球的体积公式是 Ｖ＝４

３πｒ３

（ｒ为球的半径，π取 ３．１４），现已知一个小

皮球的体积是 １１３．０４ｃｍ３

，则这个小皮球的半径 ｒ＝ ３ ｃｍ．

活动 ５ 课堂小结

１．立方根的概念和性质．

２．求一个数的立方根．

３．运用立方根的性质解决问题．

四、教学反思

教学设计着重于把立方根与开立方进行类比教学，注重概念的形成过程，让

学生在新概念的形成过程中，逐步理解新概念．通过设置问题，组织思考讨论来

帮助学生理解立方根和开立方的概念．让学生通过实例和抽象类比来理解立方

根与平方根概念的联系与区别．

·２４·

第六章 实数 教案

６．３ 实数

第 １课时 实数的概念及其分类

一、核心素养目标

１．抽象能力

（１）弄清有理数和无理数的本质区别，理解无理数和实数的概念；

（２）了解分类的标准与分类的相关性，进一步了解体会“集合”的意义．

２．几何直观

能用图描述实数与数轴上的点一一对应．

３．应用意识

（１）会按一定的标准对实数进行分类；

（２）能把一个无理数在数轴上表示出来．

二、教学重难点

重点

理解无理数和实数的概念．

难点

会对实数按照一定的标准进行分类，培养分类能力．

重难点解读

１．无理数的特征：

（１）无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数；

（２）开方开不尽的数都是无理数；

（３）圆周率 π及一些含有 π的数，如 π，π

２，π－３等都是无理数．

２．（１）实数的分类有不同的方法，但同一方法要按同一标准进行分类，做到

不重不漏；

（２）对实数进行分类时，应先对某些数进行计算或化简，然后根据最后的结

果进行分类，不能看到带有根号的数，就认为是无理数．

３．数轴上有的点表示有理数，有的点表示无理数．在数轴上确定表示有理数

的点比较容易，而若要在数轴上画出表示无理数的点，则需要先得到无理数的近

似值或大致的取值范围．

三、教学过程

活动 １ 旧知回顾

１．回顾有理数的概念，写出几个有理数，并在数轴上表示出来．

２．下列说法正确的是（ ）

Ａ．一个有理数不是正数就是负数

Ｂ．一个整数不是正整数就是负整数

Ｃ．一个分数不是正分数就是负分数

Ｄ．有理数是指整数、分数、正有理数、０、负有理数这五类数

活动 ２ 探究新知

１．教材第 ５３页内容．

提出问题：

（１）什么是无限不循环小数？

（２）什么样的数叫做无理数？

·２５·

教案 本土攻略·数学 七年级下册（ＲＪ） 

（３）无理数有几种表现形式？

（４）实数包括哪些数？如何对实数进行分类？

２．教材第 ５４页探究．

活动 ３ 知识归纳

１． 无限不循环小数 叫做无理数， 有理数 和 无理数 统称为实数．

２．实数的分类

（１）按定义分：实数

有理数

正有理数

０{ } 负有理数

有限小数或无限循环小数

无理数 正无理数

{负无理数}













 无限不循环小数

（２）按大小分：实数

正实数

０{负实数

３．当数的范围从有理数扩充到实数后，实数与数轴上的点是一一对应的，即

每一个实数都可以用数轴上的一个 点 来表示；反过来，数轴上的每一个点都

表示一个 实数 ，与规定有理数的大小一样，对于数轴上的任意两个点，右边

的点表示的实数总比左边的点表示的实数 大 ．

活动 ４ 典例赏析及练习

例 １ 如图，数轴上表示实数槡８的点可能是（ Ｂ ）

Ａ．点 Ｐ Ｂ．点 Ｑ Ｃ．点 Ｍ Ｄ．点 Ｎ

例 ２ 把下列各数分别填到相应的集合内：

－３．６，槡２７，槡４，５，３

槡－７，０，π

２，－３

槡１２５，

２２

７，３．１４，０．１０１００…．

（１）有理数集合｛－３．６，槡４，５，０，－３

槡１２５，

２２

７，３．１４，…｝；

（２）无理数集合｛槡２７，３

槡－７，π

２，０．１０１００…，…｝；

（３）整数集合｛槡４，５，０，－３

槡１２５，…｝；

（４）负实数集合｛－３．６，３

槡－７，－３

槡１２５，…｝．

练习：

１．下列说法：

①有理数都是有限小数；②有限小数都是有理数；③无理数都是无限不循环

小数；④无限小数都是无理数．其中正确的是（ Ｃ ）

Ａ．①② Ｂ．①③ Ｃ．②③ Ｄ．③④

２．下列实数：－π

２，１

３， －３，槡４，３

槡－８，０．４０４０４０４…（每相邻两个 ４之间

一个 ０）中，无理数有（ Ａ ）

Ａ．１个 Ｂ．２个 Ｃ．３个 Ｄ．４个

活动 ５ 课堂小结

１．无理数和实数的概念．

２．把指定的实数按一定标准进行分类．

３．实数与数轴的关系．

四、教学反思

本节课通过对无理数的学习，使学生对数的认识又提升到一个新的层次．通

过举一些数让学生对其进行分类，强调分类思想的应用，即按有理数和无理数归

类，使他们对这两类数进行区分，更深入地认识这两类数的区别．

·２６·

第六章 实数 教案

第 ２课时 实数的运算

一、核心素养目标

１．抽象能力

（１）理解实数的绝对值和相反数的意义，能表示一个数的绝对值和相反数；

（２）能熟练掌握实数的运算法则．

２．运算能力

（１）会求一个实数的绝对值或相反数；

（２）能运用实数的运算法则和运算律对实数进行运算．

二、教学重难点

重点

理解实数的相反数、绝对值的意义，会求一个实数的相反数、绝对值．

难点

能运用实数的运算法则和运算律对实数进行运算．

重难点解读

１．有理数关于相反数、绝对值的意义和求法同样适用于实数．

２．对于实数 ａ，有如下三类非负数：ａ２

≥０，ａ≥０，槡ａ≥０（ａ≥０），并且非负

数有如下性质：若几个非负数的和等于 ０，则这几个非负数都为 ０．

３．在实数范围内可以进行加、减、乘、除（除数不为 ０）、乘方运算，而且正数

及 ０可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算．有理数的运算法

则和运算律在实数范围内仍然成立，实数的混合运算顺序和有理数的混合运算

顺序相同：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减．同级运算按照从左到右的顺

序，有括号的要先算括号里的．

三、教学过程

活动 １ 旧知回顾

１．下列关于槡２的判断：① 槡２是无理数；② 槡２是实数；③ 槡２是 －２的算术平

方根；④１＜槡２＜２．其中正确的是 （填序号）．

２．２的相反数是 ，－１的绝对值是 ．

３．计算：

（１）－５２

３＋８２

３÷（－２）×

２

１３－２

３；

（２）－２２×( －１ ) １

２ －３２÷（－２）２×( －１ ) １

４ ．

活动 ２ 探究新知

１．教材第 ５４页思考．

提出问题：

（１）你能完成思考中的填空吗？

（２）通过填空你能发现有理数的相反数、绝对值和实数的相反数、绝对值有

什么联系？

（３）由此你能得出什么结论？

２．教材第 ５５页最下面的内容．

（１）随着数的进一步扩充，有理数的运算法则及运算律对实数适用吗？

（２）实数的混合运算顺序是什么？

·２７·

教案 本土攻略·数学 七年级下册（ＲＪ） 

活动 ３ 知识归纳

１．数 ａ的相反数是 －ａ ，这里 ａ表示任意一个实数．

２．一个正实数的绝对值是 它本身 ；一个负实数的绝对值是 它的相反

数 ；０的绝对值是 ０ ．即设 ａ表示一个实数，则

ａ ＝

ａ ，当 ａ＞０时；

０ ，当 ａ＝０时；

－ａ ，当 ａ＜０时 { ．

３．实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为 ０）、乘方运算，而且 正

数及 ０ 可以进行开平方运算， 任意一个实数 可以进行开立方运算．在进行

实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用．

４．在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所

要求的精确度用相应的近似有限小数去代替 无理数 ，再进行计算．

活动 ４ 典例赏析及练习

例 １ 槡１０的相反数是 －槡１０ ，－３槡２的绝对值是 ３槡２ ．

例 ２ 计算：

（１）槡１６＋３

槡－２７－ １９

槡１６； （２）槡（－３）２ ＋３

槡－８＋ 槡３－２．

解：原式 ＝４＋（－３）－５

４ 解：原式 ＝３－２＋２－槡３

＝－１

４． ＝３－槡３．

练习：

１．有一个数值转换器，原理如下．当输入的 ｘ是 ４时，输出的 ｙ是（ Ｃ ）

Ａ．４ Ｂ．２ Ｃ．槡２ Ｄ．－槡２

２．计算：

（１）－２２＋槡０－

槡

１

４ ＋３

槡０．１２５； （２）１－槡３ －２（槡３－１）－３

槡－２７．

解：原式 ＝－４＋０－１

２＋

１

２ 解：原式 ＝槡３－１－２槡３＋２＋３

＝－４． ＝－槡３＋４．

３．实数 ａ，ｂ，ｃ在数轴上的对应位置如图所示，化简：ａ － ｂ－ａ － ｂ＋ｃ．

【答案】解：由图可知 ａ＜０，ｂ－ａ＞０，ｂ＋ｃ＜０．

∴ ａ － ｂ－ａ － ｂ＋ｃ ＝－ａ－（ｂ－ａ）＋（ｂ＋ｃ）＝－ａ－ｂ＋ａ＋ｂ＋ｃ＝ｃ．

活动 ５ 课堂小结

１．实数的性质．

２．实数的运算．

四、教学反思

通过课本引例问题，旨在使学生通过自己的探究活动，感受并经历实数的运

算、化简；培养学生的合作精神和探索能力，充分调动、发挥学生的主观能动性，

促进学生在老师指导下主动地、富有个性地学习．实数的运算是有理数运算的拓

展，引领学生适时地把有理数的运算法则延伸到实数的运算法则，理解两者之间

的联系与区别．

·２８·