1 / 3
（2023-2024 三帆中学九上月考·10 月）★★★★
27．如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点 D 是 BC 边上一动点，连接 AD．将
AD 绕点 A 逆时针旋转，得到 AE，满足∠DAE＝∠BAC，并连接 CE．
（1）如图 1，求证：BD＝CE；
（2）连接 BE，F 为 CD 中点，G 为 BE 中点，连接 FG 交 AB 于 H．
①猜想∠BHF 的度数，并证明当∠CAD＝30°时（如图 2）你猜想的结论；
②连接 AG，若 AB＝AC＝2
3 ，直接写出 AG 长的最小值．
图 1 图 2
E
A
B C
D
H
F
G
E
A
B C
D
2 / 3
吴老师图解
（1）
思路&图解
如图，
易证△ABD≌△ACE（SAS，提示：手拉
手模型），
∴BD＝CE.
（2）①120°.
分析
H
G
F
E
A
B C
D
如图，显然有 GF∥AC，即∠BHF＝∠BAC＝120°，故我们只需要证明 GF∥AC 即可！
而读完条件后，吴老师的第一想法就是直接以中点 G 和 F 构造中位线，结果发现 30°角
并没有用到...
思路&图解
法 1：直接构造中位线（没用到 30°角）
如图，延长 BC 至点 M，使得 CM＝BD，连接 EM，
1）由（1）知 EC＝BD＝CM，即△ECM 是等腰三角形，
2）由（1）知∠BCE＝60°，则∠1＝30°（提示：外角），
3）点 F 是 BM 的中点（提示：等量加等量），
4）GF 是△BEM 的中位线，则 GF∥EM，
5）∠2＝∠1＝30°＝∠3，则 GF∥AC，
∴∠BHF＝∠BAC＝120°.
E
A
B C
D
2 3 1
M
H
G
F
E
A
C
B
D
3 / 3
思路&图解
法 2：构造中位线（用到 30°角）
如图，延长 EA 交 BC 于 M，连接 AG，
1）由∠1＝30°知∠2＝60°，∠3＝90°，
2）∠4＝60°，△ADM 是等边三角形，
3）由旋转知 AM＝AD＝AE，
∴AG 是△EBM 的中位线，
4）△ADC≌△AMB（提示：等腰套等腰），则 BM＝CD＝2CF，
5）AG∥CF，AG＝CF，则四边形 AGFC 是平行四边形，
∴GF∥AC，即∠BHF＝∠BAC＝120°.
（2）②
3
2
.
分析
如图，以 BC 边构造等边△NBC，
1）由（1）知∠BCE＝60°，
2）当点 D 运动时，点 E 在线段 NC 上运
动（提示：CE＝BD），
3）根据瓜豆原理，点 G 在△NBC 的中
位线 PQ 上运动，
∴根据垂线段最短可求得 AG 最小值.
思路&图解
如图，此时 D（Q）是线段 BC 的中点，
1）AD⊥BC，∠BAD＝60°，
2）在 Rt△ABD 中，AD＝ 3 ，
3）在 Rt△ADG 中，AG＝
3
2
，
∴AG 的最小值为
3
2
.
4
3
2
1
M
H
G
F
E
A
B C
D M
H
G
F
E
A
B C
D
M
H
G
F
E
A
B C
D
P
N
G
E
A
Q
B C
D
30°
60°
P
N
G
E
A
Q
B C
D
