1 / 40

二次函数

（2023-2024 东城九上期末）★★★☆...................................................................................................2

（2023-2024 西城九上期末）★★★☆...................................................................................................5

（2023-2024 海淀九上期末）★★★☆...................................................................................................8

（2023-2024 朝阳九上期末）★★★☆................................................................................................. 11

（2023-2024 丰台九上期末）★★☆ ....................................................................................................13

（2023-2024 石景山九上期末）★★★☆.............................................................................................15

（2023-2024 门头沟九上期末）★★★ ................................................................................................18

（2023-2024 房山九上期末）★★★ ....................................................................................................21

（2023-2024 大兴九上期末）★☆........................................................................................................24

（2023-2024 通州九上期末）★★☆ ....................................................................................................26

（2023-2024 顺义九上期末）★★★☆.................................................................................................28

（2023-2024 昌平九上期末）★★★★☆..............................................................................................31

（2023-2024 密云九上期末）★☆........................................................................................................35

（2023-2024 平谷九上期末）★★★☆.................................................................................................37

（2023-2024 燕山九上期末）★☆........................................................................................................39

2 / 40

（2023-2024 东城九上期末）★★★☆

26．在平面直角坐标系 xOy 中，点（2，c）在抛物线 y＝ax2＋bx＋c（a＞0）上，设该抛物

线的对称轴为直线 x＝t．

（1）求 t 的值；

（2）已知 M（x1，y1），N（x2，y2）是该抛物线上的任意两点．对于 m＜x1＜m＋1，m＋1

＜x2＜m＋2，都有 y1＜y2，求 m 的取值范围．

3 / 40

吴老师图解

（1）1．

思路&图解

抛物线过点（0，c）和（2，c），根据对称性，对称轴为 x＝

0 2

2

+ ＝1，即 t＝1．

备注：或将点（2，c）代入解析式，得到 b＝－2a，再套公式．

（2）m≥

1

2

．

思路一：“比中轴”（几何原理）

思路&图解

1）由（1）知抛物线的对称轴为 x＝1，

2）∵m＜x1＜m＋1，m＋1＜x2＜m＋2，

∴x1＜x2，2m＋1＜x1＋x2＜2m＋3，

3）如图，若 a＞0，x1＜x2，且 y1＜y2，

则有“中点＞轴”，即

1 2

2

x x +

＞1，即 x1＋x2＞2，

4）∵对于 m＜x1＜m＋1，m＋1＜x2＜m＋2，都有 y1＜y2（任意性），

∴（x1＋x2）min＞2，即 2m＋1≥2（注意：可以取等），解得 m≥

1

2

．

∴综上所述：m≥

1

2

．

思路二：对称性比远近（对称轴偏移）

思路&图解

1）由题知 a＞0，抛物线开口向上，抛物线上距离对称轴越远的点的纵坐标越大，

2）由（1）知抛物线的对称轴为 x＝1，

3）如图，

若 y1＜y2，则 1＜

1 2

2

x x + ，即 x1＋x2＞2，

4）由题知 m＜x1＜m＋1，m＋1＜x2＜m＋2，则 2m＋1＜x1＋x2＜2m＋3，

5）若要保证都有 y1＜y2（任意性），则需（x1＋x2）min＞2，

即 2m＋1≥2（注意：可以取等），解得 m≥

1

2

．

∴综上所述：m≥

1

2

．

x=1

x1

x2

m x1 m+1 x2 m+2

y1 y2

4 / 40

思路三：代数硬算（“比中轴”的代数原理）

思路&图解

1）y1＝ax1

2＋bx1＋c，

y2＝ax2

2＋bx2＋c，

2）若 y1＜y2，则 ax1

2＋bx1＋c＜ax2

2＋bx2＋c，

移项得：ax1

2＋bx1－ax2

2－bx2＜0，

提取公因式得：a（x1

2－x2

2）＋b（x1－x2）＜0，

因式分解得：a（x1＋x2）（x1－x2）＋b（x1－x2）＜0，

提取公因式得：（x1－x2）[a（x1＋x2）＋b]＜0，

提 2a 得：2a（x1－x2）[

1 2

2

x x + －（－

2

b

a

）]＜0，

3）由（1）知抛物线的对称轴为 x＝1，即 2a（x1－x2）（

1 2

2

x x + －1）＜0，

4）由题知 a＞0，x1＜x2，则

1 2

2

x x + －1＞0，即 x1＋x2＞2，

5）由题知 m＜x1＜m＋1，m＋1＜x2＜m＋2，则 2m＋1＜x1＋x2＜2m＋3，

6）若要保证都有 y1＜y2（任意性），则需（x1＋x2）min＞2，

即 2m＋1≥2（注意：可以取等），解得 m≥

1

2

．

∴综上所述：m≥

1

2

．

思路四：数形结合

思路&图解

如图，由题知 a＞0（b 和 c 的值不影响本题），

1）由（1）知抛物线的对称轴为 x＝1，

2）若要满足题意，则需保证（y1）max＜（y2）min，

3）当 m＝0 时，x1与 x2（范围）关于 x＝1 对称，有 y1＝y2（范围），不符合题意，

当 m＝

1

2

时，恰有（y1）max＝（y2）min（实际上取不到等于号）．

∴综上所述：m≥

1

2

．

x

y

x = 1

O x

y

x = 1

O

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（2023-2024 西城九上期末）★★★☆

26．在平面直角坐标系 xOy 中，A（t，y1），B（t＋1，y2），C（t＋3，y3）三点都在抛物线

y＝ax²－2ax＋4（a＞0）上．

（1）这个抛物线的对称轴为直线________；

（2）若 y1＞y3≥y2，求 t 的取值范围；

（3）若无论 t 取任何实数，点 A，B，C 中都至少有两个点在 x 轴的上方，直接写出 a 的

取值范围．

6 / 40

吴老师图解

（1）x＝1.

思路&图解

易求得对称轴为 x＝－

2

b

a

＝－

2

2

a

a

− ＝1.

（2）－1≤t＜－

1

2

.

思路一：对称性比远近（对称轴偏移）

分析

三个点在数轴上的相对位置关系确定，“假装”对称轴不知道，开搞...

思路&图解

1）由题知 a＞0，抛物线开口向上，抛物线上距离对称轴越远的点的纵坐标越大，

2）由（1）知抛物线的对称轴为 x＝1，

3）如图，

①当 y1＝y3 时，由对称性知 1＝

3

2

t t + + ＝

2 3

2

t + ，

故当 y1＞y3时，有 1＞

2 3

2

t + ，解得 t＜－

1

2

，

②当 y3≥y2 时，

同理，得 1≤

1 3

2

t t +++ ，解得 t≥－1，

∴－1≤t＜－

1

2

.

思路二：代数硬算

思路&图解

1）y1＝at2－2at＋4，

y2＝a（t＋1）2－2a（t＋1）＋4＝at2－a＋4，

y3＝a（t＋3）2－2a（t＋3）＋4＝at2＋4at＋3a＋4，

2）①若 y1＞y3，即 at2－2at＋4＞at2＋4at＋3a＋4，整理得 6at＋3a＜0，

由题知 a＞0，则不等式可化简为 6t＋3＜0（提示：不等式的性质 2），

解得 t＜－

1

2

，

②若 y3≥y2，即 at2＋4at＋3a＋4≥at2－a＋4，整理得 4at＋4a≥0，

同理，解得 t≥－1，

∴－1≤t＜－

1

2

.

t t+1 t+3

y1 y2 y3

7 / 40

（3）0＜a＜

16

3

.

分析

【1】“定调”

a＞0，即抛物线开口向上，大小可变，但无需对开口方向进行分类讨论！

【2】“五大步”

对称轴 x＝1

顶点 （1，－a＋4）

y

轴交点以及对称点 （0，4），（2，4）

x

轴交点 ——

“支撑点” （0，4），（2，4）

【3】综合分析

如图，“简单点，说话的方式简单点”：

①当顶点在 x 轴上方或在 x 轴上时，符合题意！

②当顶点在 x 轴下方时，抛物线与 x 轴交于点 P，Q，则应保证 PQ＜1！

最后，PQ＝1 为临界，顶点上移，开口变大，a 变小.

备注：PQ＜1，这个 1 的目的就是为了不让点 A（t，y1）和点 B（t＋1，y2）同时出现在

x 轴的下方，因为它们离得比较“近”，且横坐标之差为 1...

思路&图解

将（

1

2

，0）或（

3

2

，0）代入 y＝ax²－2ax＋4，解得 a＝

16

3

，

∴0＜a＜

16

3

.

x

y

O x

y

P Q

O

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（2023-2024 海淀九上期末）★★★☆

26．在平面直角坐标系 xOy 中，点 A（－1，m），点 B（3，n）在抛物线 y＝ax2＋bx＋c（a

＞0）上．设抛物线的对称轴为直线 x＝t．

（1）当 t＝2 时，

①直接写出 b 与 a 满足的等量关系；

②比较 m，n 的大小，并说明理由；

（2）已知点 C（x0，p）在该抛物线上，若对于 3＜x0＜4，都有 m＞p＞n，求 t 的取值范

围．

9 / 40

吴老师图解

（1）①b＝－4a.

思路&图解

若 t＝2，则－

2

b

a

＝2，化简得 b＝－4a.

（1）②m＞n.

思路一：对称性比远近

思路&图解

由题知 a＞0，抛物线开口向上，抛物线上距离对称轴越

远的点的纵坐标越大，

如图，显然，有 m＞n.

思路二：代数法

思路&图解

1）由①知 y＝ax2－4ax＋c

2）易求得 m＝a＋4a＋c＝5a＋c，n＝9a－12a＋c＝－3a＋c，

3）由题知 a＞0，则 5a＞－3a，

∴m＞n.

（2）

3

2

≤t≤3.

思路一：对称性比远近（对称轴偏移）

思路&图解

1）由题知 a＞0，抛物线开口向上，抛物线上距离对称轴越远的点的纵坐标越大，

2）如图，

①当 m＝p 时，由对称性知 t＝ 0

1

2

− + x ，

故当 m＞p 时，有 t＞

0

1

2

− + x ，又因为对于 3＜x0＜4，都有 m＞p，

∴t＞（

0

1

2

− + x

）max（提示：任意性），

∴t≥

3

2

（提示：x0不取等，故 t 可取等），

②当 p＞n 时，同理，可得 t＜（

0

3

2

+ x

）min，即 t≤3，

∴综上所述：

3

2

≤t≤3.

x=2

3

1

A(-1,m)

B(3,n)

m n p

-1 3 x0 4

10 / 40

思路二：代数硬算

思路&图解

1）m＝a－b＋c，

n＝9a＋3b＋c，

p＝ax0

2＋bx0＋c＝x0

2a＋x0b＋c，

2）若 m＞p，即 a－b＋c＞x0

2a＋x0b＋c，

移项得：（x0

2－1）a＜－（x0＋1）b，

因式分解得：（x0＋1）（x0－1）a＜－（x0＋1）b，

两边同除（x0＋1）得：（x0－1）a＜－b（提示：x0＋1＞0，不等式的性质 2），

两边同除 2a 得：

0

1

2

x − ＜－

2

b

a

（提示：a＞0，不等式的性质 2），即 t＞

0

1

2

x − ，

∵对于 3＜x0＜4，都有 m＞p，

∴t＞（

0

1

2

x − ）max（提示：任意性），

∴t≥

3

2

（提示：x0 不取等，故 t 可取等），

3）若 p＞n，即 x0

2a＋x0b＋c＞9a＋3b＋c，

同理，化简得（x0＋3）a＞－b，进一步得 t＜（

0

3

2

x +

）min，即 t≤3.

∴综上所述：

3

2

≤t≤3.

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（2023-2024 朝阳九上期末）★★★☆

26．在平面直角坐标系 xOy 中，点（x1，m），（x2，n）在抛物线 y＝ax2＋bx＋c（a＞0）

上，设抛物线的对称轴为 x＝t．

（1）若对于 x1＝1，x2＝3，有 m＝n，求 t 的值；

（2）若对于 t－1＜x1＜t，2＜x2＜3，存在 m＞n，求 t 的取值范围．

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吴老师图解

（1）t＝2.

思路&图解

法 1：

如图，

若 m＝n，则点（1，m）和（3，n）关于对称轴 x＝t 对

称，

∴t＝

1 3 2

2

+

= .

法 2：

1）m＝a＋b＋c，n＝9a＋3b＋c，

2）若 m＝n，则 a＋b＋c＝9a＋3b＋c，整理得 b＝－4a，

∴t＝－

2

b

a

＝－

4

2

a

a

− ＝2.

（2）1＜t＜4.

分析

首先，本题为“存在性”问题！

然后，对于自变量 x1和 x2，它们对应的函数值 m 和 n 有各自的取值范围，

那么，若要保证存在 m＞n，即对应关系：mmax＞nmin，如图，x1与对称轴的位置关系是

相对确定的，故只需要考虑 x2！

显然，（x2，n）不能“完全”在绿色的部分，必须要有在直线 l 下方的部分...

备注：运动是相对的！与其让 x1 随对称轴运动，不如让它两“定”，让 x2 动起来.

思路&图解

如图，

点（t－1，y）关于对称轴 x＝t 的对称点为（t＋1，y），

若存在 m＞n，则有 mmax＞nmin，

由 2＜x2＜3 得

2 1

3 1

t

t

  + 

  −

，解得 1＜t＜4.

∴综上所述：1＜t＜4.

x=t

(1,m) (3,n)

l

×

m

x=t

t+1

t

t-1

m

x=t

t+1

t

t-1

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（2023-2024 丰台九上期末）★★☆

26．在平面直角坐标系 xOy 中，点（m＋2，y1），（6，y2）为抛物线 y＝x

2－2mx＋n 上两个

不同的点．

（1）求抛物线的对称轴（用含 m 的式子表示）；

（2）若 y1＜n＜y2，求 m 的取值范围．

14 / 40

吴老师图解

（1）x＝m.

思路&图解

对称轴为 x＝－

2

b

a

＝－

2

2 1

− m



＝m.

（2）m＜－2 或 2＜m＜3.

思路一：对称性比远近

思路&图解

1）由题知抛物线开口向上，则抛物线上距离对称轴越远的点的纵坐标越大，

2）由（1）知抛物线的对称轴为 x＝m，

3）由 y＝x

2－2mx＋n 知，抛物线过点（0，n），

4）如图：

①左图，点（m＋2，y1）关于对称轴 x＝m 的对称点为（m－2，y1），

故当 y1＜n 时，有 0＜m－2 或 0＞m＋2，解得 m＞2 或 m＜－2，

②右图，当 n＝y2时，有 m＝

0 6

2

+ ＝3，故当 n＜y2时，有 m＜3.

∴综上所述：m＜－2 或 2＜m＜3.

思路二：代数硬算

思路&图解

1）y1＝（m＋2）2－2m（m＋2）＋n＝－m2＋4＋n，

y2＝36－12m＋n＝－12m＋36＋n，

2）①若 y1＜n，即－m2＋4＋n＜n，整理得 m2＞4，解得 m＞2 或 m＜－2，

②若 n＜y2，即 n＜－12m＋36＋n，解得 m＜3.

∴综上所述：m＜－2 或 2＜m＜3.

x=m

(m-2,y1) (m+2,y1)

n

0 6

y2

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（2023-2024 石景山九上期末）★★★☆

26．在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y＝ax2＋bx＋c（a＞0）经过点 A（3，3a＋c）．

（1）求该抛物线的对称轴；

（2）点 M（1－2a，y1），N（a＋2，y2）在抛物线上．若 c＜y1＜y2，求 a 的取值范围．

16 / 40

吴老师图解

（1）x＝1.

思路&图解

把（3，3a＋c）代入解析式得 3a＋c＝9a＋3b＋c，即 b＝－2a，

∴抛物线的对称轴为 x＝－

2

b

a

＝－

2

2

a

a

− ＝1.

（2）

1

2

＜a＜1.

思路一：代数硬算

思路&图解

1）y1＝a（1－2a）2－2a（1－2a）＋c＝4a

3－a＋c，

y2＝a（a＋2）2－2a（a＋2）＋c＝a

3＋2a

2＋c，

2）①若 c＜y1，即 c＜4a

3－a＋c，整理得 4a

3－a＞0，

两边同除 a 得：4a

2－1＞0（提示：a＞0，不等式的性质 2），

因式分解得：（2a＋1）（2a－1）＞0，

解得 a＞

1

2

或 a＜－

1

2

（舍，提示：a＞0），

②若 y1＜y2，即 4a

3－a＋c＜a

3＋2a

2＋c，整理得 3a

3－2a

2－a＜0，

两边同除 a 得：3a

2－2a－1＜0（提示：a＞0，不等式的性质 2），

因式分解得：（a－1）（3a＋1）＜0，

解得－

1

3

＜a＜1，则 0＜a＜1（提示：a＞0）.

∴综上所述：

1

2

＜a＜1.

思路二：对称性比远近

思路&图解

1）由题知 a＞0，抛物线开口向上，抛物线上距离对称轴越远的点的纵坐标越大，

2）由（1）知抛物线的对称轴为 x＝1，

3）如图，点（1－2a，y1）关于对称轴 x＝1 的对称点为（1＋2a，y1），

①若 c＜y1，则 0＞1－2a（提示：0＜1），解得 a＞

1

2

，

②若 y1＜y2，则 a＋2＞1＋2a（提示：a＞0，故 a＋2＞2），解得 a＜1.

∴综上所述：

1

2

＜a＜1.

(0,c)

(1 2a,y1) (1+2a,y1)

x=1

(a+2,y2)

x=1

(1 2a,y1) (1+2a,y1)

17 / 40

思路三：对称性比远近（对称轴偏移）

分析

本题属于“已知 y 和轴，求 x”！

故需要我们“假装”对称轴不知道，先把三个点排列在数轴上，再“对称轴偏移”，

其中，c 可以理解为点（0，c）的纵坐标，而 a＞0，故 a＋2＞2，即点（0，c）在点（a

＋2，y2）的左侧，接下来只需对（1－2a，y1）的位置进行分类讨论...

需要注意的是，由于 a＞0，则 1－2a＜a＋2，即点（1－2a，y1）也在点（a＋2，y2）的

左侧，故我们只需要分 2 种情况讨论即可！

思路&图解

1）由题知 a＞0，抛物线开口向上，抛物线上距离对称轴越远的点的纵坐标越大，

2）由（1）知抛物线的对称轴为 x＝1，

3）①当 1－2a＜0（a＞

1

2

）时，如图：

若 c＝y1，由对称性知有 1＝

1 2 0

2

− + a ，即 1＝

1 2

2

− a ，

故当 c＜y1时，有 1＞

1 2

2

− a ，解得 a＞－

1

2

，

若 y1＜y2，同理有 1＜

1 2 2

2

− + + a a ，解得 a＜1，

∴

1

2

＜a＜1（提示：分类讨论的前提），

②当 1－2a＞0（0＜a＜

1

2

）时，如图：

同理，求得 a＜－

1

2

（舍），故此情况不存在.

∴综上所述：

1

2

＜a＜1.

a+2

c

1 2a 0

y1 y2

a+2

c

0 1 2a

y1 y2

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（2023-2024 门头沟九上期末）★★★

26．在平面直角坐标系 xOy 中，点 M（x1，y1），N（x2，y2）为抛物线 y＝ax2＋bx＋c（a＞

0）上任意两点，其中 x1＜x2．

（1）若抛物线的对称轴为 x＝2，当 x1，x2 为何值时，y1＝y2＝c；

（2）设抛物线的对称轴为 x＝t，若对于 x1＋x2＞4，都有 y1＜y2，求 t 的取值范围．

19 / 40

吴老师图解

（1）x1＝0，x2＝4.

思路一：对称性

思路&图解

如图，

1）由题知抛物线过点（0，c），对称轴为 x＝2，

2）点（0，c）关于对称轴的对称点为（4，c），

3）若 y＝c，则 x＝0 或 4，且 x1＜x2，

∴x1＝0，x2＝4.

思路二：代数硬算

思路&图解

1）若 y＝c，即 ax2＋bx＋c＝c，整理得 ax2＋bx＝0，

因式分解得：x（ax＋b）＝0，

解得 x＝0 或－

b

a

，

2）由题知对称轴为 x＝2，即 x＝－

2

b

a

＝2，则 b＝－4a，

3）则 x＝0 或 4，且 x1＜x2，

∴x1＝0，x2＝4.

（2）t≤2.

思路&图解

法 1：比中轴（几何原理）

如图，

1）由题知 a＞0，x1＜x2，且 y1＜y2，则有“中点＞对称轴”，即

1 2

2

x x +

＞t，

2）由题知当 x1＋x2＞4 时，都有 y1＜y2，则 t＜（

1 2

2

x x +

）min（提示：任意性），

∴t≤2（提示：x1＋x2取不到 4，故 t 可以取等）.

∴综上所述：t≤2.

x

y

x = 2

(0,c) (4,c)

O

x=t

x1

x2

20 / 40

思路&图解

法 2：比中轴（代数原理）

1）y1＝ax1

2＋bx1＋c，

y2＝ax2

2＋bx2＋c，

2）若 y1＜y2，则 ax1

2＋bx1＋c＜ax2

2＋bx2＋c，

移项得：ax1

2＋bx1－ax2

2－bx2＜0，

提取公因式得：a（x1

2－x2

2）＋b（x1－x2）＜0，

因式分解得：a（x1＋x2）（x1－x2）＋b（x1－x2）＜0，

提取公因式得：（x1－x2）[a（x1＋x2）＋b]＜0，

提 2a 得：2a（x1－x2）[

1 2

2

x x + －（－

2

b

a

）]＜0，

即 2a（x1－x2）（

1 2

2

x x + －t）＜0，

3）由题知 a＞0，x1＜x2，则 2a＞0，x1－x2＜0，

∴

1 2

2

x x + －t＞0，即 t＜

1 2

2

x x + ，

4）由题知当 x1＋x2＞4 时，都有 y1＜y2，则 t＜（

1 2

2

x x +

）min（提示：任意性），

∴t≤2（提示：x1＋x2取不到 4，故 t 可以取等）.

∴综上所述：t≤2.

21 / 40

（2023-2024 房山九上期末）★★★

26．在平面直角坐标系 xOy 中，点（1，m），（3，n）在抛物线 y＝ax2＋bx＋c（a＞0）

上，设抛物线的对称轴为 x＝t．

（1）当 m＝n 时，求抛物线与 y 轴交点的坐标及 t 的值；

（2）点（x0，n）（x0≠3）在抛物线上，若 m＜n＜4，求 t 的取值范围及 x0的取值范围．

备注：2023 北京中考

22 / 40

吴老师图解

（1）（0，4），t＝2.

思路一：对称性

思路&图解

如图，

1）当 x＝0 时，y＝4，

∴抛物线与 y 轴的交点为（0，4），

2）若 m＝n，则点（1，m）与（3，n）关于 x＝t 对称，

∴t＝

1 3 2

2

+

= .

思路二：代数法

思路&图解

1）当 x＝0 时，y＝4，

∴抛物线与 y 轴的交点为（0，4），

2）m＝a＋b＋4，n＝9a＋3b＋4，

若 m＝n，即 a＋b＋4＝9a＋3b＋4，整理得 b＝－4a，

∴t＝－

2

b

a

＝－

4

2

a

a

− ＝2.

（2）

3

2

＜t＜2，0＜x0＜1.

思路一：对称性比远近（对称轴偏移）

思路&图解

1）由题知 a＞0，抛物线开口向上，抛物线上距离对称轴越远的点的纵坐标越大，

2）如图，

①当 m＝n 时，由对称性知 t＝

1 3

2

+ ＝2，故当 m＜n 时，有 t＜2，

②当 n＜4 时，同理，有 t＞

0 3

2

+ ，即 t＞

3

2

，

∴

3

2

＜t＜2，

3）易知点（x0，n）与点（3，n）关于 x＝t 对称，则 t＝ 0

3

2

x + ，整理得 x0＝2t－3，

∴0＜x0＜1.

∴综上所述：

3

2

＜t＜2，0＜x0＜1.

x=t

(1,m) (2,n)

1

4

0 3

m n

23 / 40

思路二：代数硬算

思路&图解

1）m＝a＋b＋4，n＝9a＋3b＋4，

2）①若 m＜n，即 a＋b＋4＜9a＋3b＋4，整理得－8a＜2b，

两边同除－4a 得：2＞－

2

b

a

（提示：a＞0，不等式的性质 3），即 t＜2，

②若 n＜4，即 9a＋3b＋4＜4，整理得 9a＜－3b，

两边同除 6a 得：

3

2

＜－

2

b

a

（提示：a＞0，不等式的性质 2），即 t＞

3

2

，

∴

3

2

＜t＜2，

3）易知点（x0，n）与点（3，n）关于 x＝t 对称，则 t＝ 0

3

2

x + ，整理得 x0＝2t－3，

∴0＜x0＜1.

∴综上所述：

3

2

＜t＜2，0＜x0＜1.

24 / 40

（2023-2024 大兴九上期末）★☆

26．在平面直角坐标系 xOy 中，点（2，m）在抛物线 y＝ax2＋bx＋c（a＞0）上，设抛物

线的对称轴为 x＝t．

（1）当 m＝c 时，求 t 的值；

（2）点（－1，y1），（3，y2）在抛物线上，若 c＜m，请比较 y1，y2 的大小，并说明理由．

25 / 40

吴老师图解

（1）t＝1.

思路&图解

法 1：对称性

如图，

若 m＝c，则点（0，c）和（2，m）关于对称轴 x＝t 对称，

即点（0，c）和（2，m）所连线段的中点在对称轴上，

∴t＝

0 2

2

+ ＝1.

法 2：

将点（2，m）代入解析式得 m＝4a＋2b＋c，

若 m＝c，则有 c＝4a＋2b＋c，进一步整理得 b＝－2a，

∴t＝－

2

b

a

＝－

2

2

a

a

− ＝1.

（2）y1＜y2.

思路一：对称性比远近

思路&图解

如图，

1）由 a＞0 知，抛物线开口向上，抛物线上距离对称轴越远的点的纵坐标越大，

2）由（1）知，当 c＝m 时，t＝1，故当 c＜m 时，有 t＜1，

3）当 t＜1 时，显然，点（－1，y1）距离对称轴更近，

∴y1＜y2.

思路二：代数“硬算”

思路&图解

1）将点（2，m）代入解析式得 m＝4a＋2b＋c，

若 c＜m，则有 c＜4a＋2b＋c，进一步化简得 2a＋b＞0，

2）y1＝a－b＋c，y2＝9a＋3b＋c，

则 y1－y2＝a－b＋c－（9a＋3b＋c）＝－8a－4b＝－4（2a＋b），

3）由于 2a＋b＞0，－4（2a＋b）＜0，即 y1－y2＜0，

∴y1＜y2.

x=t

(0,c) (2,m)

3

c m

-1 0 2

y1 y2

26 / 40

（2023-2024 通州九上期末）★★☆

26．在平面直角坐标系 xOy 中，P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线 y＝x

2－2mx＋m2－1 上

任意两点．

（1）求抛物线的顶点坐标（用含 m 的式子表示）；

（2）若 x1＝m－2，x2＝m＋5，则 y1_____y2；（用“＜”，“＝”，或“＞”填空）

（3）若对于－1≤x1＜4，x2＝4，都有 y1≤y2，求 m 的取值范围．

27 / 40

吴老师图解

（1）（m，－1）.

思路&图解

将解析式化为顶点式 y＝（x－m）2－1，则顶点坐标为（m，－1）.

备注：或先求得对称轴 x＝－

2

b

a

＝－

2

2

− m ＝m，再代入解析式求得顶点纵坐标.

（2）＜.

思路&图解

如图，由题知 a＞0，抛物线开口向上，抛物线上距离对

称轴越远的点的纵坐标越大，

显然，有 y1＜y2.

（3）m≤

3

2

.

思路&图解

1）由题知 a＞0，抛物线开口向上，抛物线上距离对称轴越远的点的纵坐标越大，

2）由（1）知抛物线的对称轴为 x＝m，

3）如图，对于－1≤x1＜4，x2＝4，

①当 4≤m 时，显然，有 y1＞y2，不符合题意！

②当 4＞m 时，点（4，y2）关于对称轴 x＝m 的对称点为（2m－4，y2），

若 y1≤y2，则有 2m－4≤x1＜4，即－1≥2m－4，解得 m≤

3

2

.



综上所述：m≤

3

2

.

x=m

(m-2,y1)

(m+5,y2)

x1

x=m

4

-1

2m-4

x1

x=m

4

28 / 40

（2023-2024 顺义九上期末）★★★☆

26．在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y＝x

2－2ax＋a

2－4 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在

点 B 左侧）．

（1）若 a＝1，求抛物线的对称轴及 A，B 两点的坐标；

（2）已知点（3－a，y1），（a＋1，y2），（－a，y3）在该抛物线上，若 y1，y2，y3 中有且

仅有一个大于 0，求 a 的取值范围．

29 / 40

吴老师图解

（1）x＝1，A（－1，0），B（3，0）.

思路&图解

1）若 a＝1，则抛物线的解析式为 y＝x

2－2x－3，

2）易求得抛物线的对称轴为 x＝－

2

b

a

＝－

2

2 1

−



＝1，

3）令 y＝x

2－2x－3＝0，解得 x1＝－1，x2＝3，且点 A 在点 B 左侧，

∴A（－1，0），B（3，0）.

（2）－1≤a＜

1

2

或 1＜a≤

5

2

.

思路一：数形结合

分析

由（1）的铺垫，我们可以求得抛物线的对称轴为 x＝a，与 x 轴的交点坐标为 A（a－2，

0），B（a＋2，0），

如图，由于 a＞0，抛物线开口向上，

显然，点（a＋1，y2）在 x 轴下方，即 y2＜0，那么，要想满足题意，则需保证 y1和 y3

当中有一个要大于 0，另一个要小于或等于 0，

进一步发现，3－a＝－a＋3＞－a，即点（－a，y3）在点（3－a，y1）的左侧！

以 y3＞0 为例，需保证点（－a，y3）在抛物线上位于点 A 的左侧部分，点（3－a，y1）

在抛物线上位于 A，B 两点之间的部分，即

2

2 3 2

a a

a a a

−  − 

 − − +

...

思路&图解

1）易求得抛物线的对称轴为 x＝a，A（a－2，0），B（a＋2，0），

2）由 a－2＜a＋1＜a＋2 知，y2＜0，

3）由题知 y1，y2，y3 中有且仅有一个大于 0，且－a＜3－a，

①若 y3＞0，y1≤0，则

2

2 3 2

a a

a a a

−  − 

 − − +

，解得

1

1 5

2 2

a

a

 









，故 1＜a≤

5

2

，

②若 y1＞0，y3≤0，则

3 2

2 2

a a

a a a

 −+ 

 − − +

，解得

1

2

1 1

a

a



 





−

，故－1≤a＜

1

2

.

∴综上所述：－1≤a＜

1

2

或 1＜a≤

5

2

.

x

A B

x=a

a+1

a-2 a+2 x

x=a

a-2 a+2

(-a,y3)

(3-a,y1)

(-a,y3)

(3-a,y1)

30 / 40

思路二：代数硬算

思路&图解

1）y1＝（3－a）2－2a（3－a）＋a

2－4＝4a

2－12a＋5，

y2＝（a＋1）2－2a（a＋1）＋a

2－4＝－3，

y3＝（－a）2－2a（－a）＋a

2－4＝4a

2－4，

2）由题知 y1，y2，y3 中有且仅有一个大于 0，且 y2＜0，

①当 y1＞0，y3≤0 时，即

2

2

4 12 5 0

4 4 0

a a

a

 − +  

 −

，解得

1 5

2 2

1 1

a a

a



   



−

或，

∴－1≤a＜

1

2

，

②当 y3＞0，y1≤0 时，即

2

2

4 4 0

4 12 5 0

a

a a

 −  

 − +

，解得

1 1

1 5

2 2

a a

a

  −  







或

，

∴1＜a≤

5

2

.

∴综上所述：－1≤a＜

1

2

或 1＜a≤

5

2

.

31 / 40

（2023-2024 昌平九上期末）★★★★☆

26．在平面直角坐标系 xOy 中，点（0，3），（6，y1）在抛物线 y＝ax2＋bx＋c（a≠0）

上．

（1）当 y1＝3 时，求抛物线的对称轴；

（2）若抛物线 y＝ax2＋bx＋c（a≠0）经过点（－1，－1），当自变量 x 的值满足－1≤x≤

2 时，y 随 x 的增大而增大，求 a 的取值范围；

（3）当 a＞0 时，点（m－4，y2），（m，y2）在抛物线 y＝ax2＋bx＋c 上．若 y2＜y1＜c，请

直接写出 m 的取值范围．

32 / 40

吴老师图解

（1）x＝3.

思路&图解

若 y1＝3，则点（0，3），（6，y1）关于对称轴对称，

∴对称轴为 x＝

0 6

2

+ ＝3.

（2）－

4

5

≤a＜0 或 0＜a≤4.

分析

根据题意，抛物线过 2 个定点：M（－1，－1），N（0，3），那么，过 2 个定点的抛物

线该怎么画呢？

首先，要对开口方向进行讨论！我们以开口向上为例，有以下 3 种情况：

①对称轴在点 M 的左侧；②对称轴过点 M；③对称轴在点 M，N“之间”，

然后，根据题意当－1≤x≤2 时，有 y 随 x 的增大而增大，则说明对称轴只能在点 M 的

左侧或过点 M...

最后，我们将对称轴用含 a 的式子表示出来，即可求得 a 的范围.

思路&图解

1）将点（0，3），（－1，－1）代入解析式得 c＝3，b＝a＋4，

∴抛物线的解析式为 y＝ax2＋（a＋4）x＋3，

∴抛物线的对称轴为 x＝－

4

2

a

a

+ ，

2）若当－1≤x≤2 时，y 随 x 的增大而增大，则：

图 2-1 图 2-2

x

y

N

M

O x

y

N

M

O x

y

N

M

O

x

y

x = 2

x = 1

O x

y

x = 1

x = 2

N

M O

33 / 40

思路&图解

①当 a＞0 时，有－

4

2

a

a

+

≤－1，解得 a≤4，故 0＜a≤4，

②当 a＜0 时，有－

4

2

a

a

+

≥2，解得 a≥－

4

5

，故－

4

5

≤a＜0.

∴综上所述：－

4

5

≤a＜0 或 0＜a≤4.

（3）5＜m＜6 或 m＞10.

分析

看问题，还是常见的“3 个函数值比较大小”问题，同学们用常规的几种方法便可以解

决，但有个条件可能会让同学们产生“纠结”——点（m－4，y2）和（m，y2），

显然，这两点关于对称轴对称，易求得对称轴为 x＝

4

2

m m − + ＝m－2，

那么，我们在比较大小的时候，到底是用点（m－4，y2）还是（m，y2）呢，会有同学在

这个地方想不清，其实，代谁都一样，有兴趣的同学可以 2 个都试试...

另外，本题的另一个难点在于，如果要用代数法解决，我们最后要求的是 m（可以理解

为“未知数”了），说明跟系数 a 和 b 没关系的，那我们要尽可能的降低这两未知系数对我

们的干扰，所以还需要用带有 m 的式子去消掉 a 或 b（不能全消掉），即－

2

b

a

＝m－2，化

简得到 b＝－2am＋4a...

下面给出 2 个思路：

思路一：对称性比远近（对称轴偏移）

分析

要保证 y2＜y1＜c：

①对于 y1＜c：点（6，y1）和（0，c）的左右位置关系确定，直接比！

②对于 y2＜y1：若我们选择点（m，y2），它与（6，y1）的左右位置关系不确定，故需

分 2 种情况进行讨论！

思路&图解

1）由题知 a＞0，抛物线开口向上，抛物线上距离对称轴越远的点的纵坐标越大，

2）抛物线过点（m－4，y2）和（m，y2），由对称性知对称轴为 x＝

4

2

m m − + ＝m－2，

3）对于 y1＜c：

如图，当 y1＝c 时，有 m－2＝

0 6

2

+ ＝3，故当 y1＜c 时，有 m－2＞3，

解得 m＞5*，

c

0 6

y1

34 / 40

思路&图解

4）对于 y2＜y1：

①当 m＜6 时，

如图，同理有 m－2＜

6

2

m + ，解得 m＜10，故 m＜6*（提示：大前提），

②当 m＞6 时，

如图，同理有 m－2＞

6

2

m + ，解得 m＞10，故 m＞10*.

∴综上所述：5＜m＜6 或 m＞10.

思路二：代数硬算

思路&图解

1）抛物线过点（m－4，y2）和（m，y2），由对称性知对称轴为 x＝

4

2

m m − + ＝m－2，

2）对称轴为 x＝－

2

b

a

＝m－2，化简得到 b＝－2am＋4a，

∴抛物线的解析式为 y＝ax2＋（－2am＋4a）x＋c，

3）y1＝36a－12am＋24a＋c＝－12am＋60a＋c，

y2＝am2－2am2＋4am＋c＝－am2＋4am＋c，

4）①若 y2＜y1，则－am2＋4am＋c＜－12am＋60a＋c，

整理得：am2－16am＋60a＞0，

两边同除 a 得：m2－16m＋60＞0（提示：a＞0），

因式分解得：（m－6）（m－10）＞0，

解得：m＜6 或 m＞10，

②若 y1＜c，则－12am＋60a＋c＜c，易解得 m＞5.

∴综上所述：5＜m＜6 或 m＞10.

m 6

y2 y1

6 m

y1 y2

35 / 40

（2023-2024 密云九上期末）★☆

26．在平面直角坐标系 xOy 中，点（2，m）和（5，n）在抛物线 y＝x

2＋2bx 上．设抛物线

的对称轴为 x＝t．

（1）若 m＝0，求 b 的值；

（2）若 mn＜0，求该抛物线的对称轴 t 的取值范围．

36 / 40

吴老师图解

（1）－1.

思路&图解

由题知点（2，0）在抛物线上，代入解析式得 0＝4＋4b，解得 b＝－1.

（2）1＜t＜

5

2

.

思路一：数形结合

思路&图解

如图，由题知 a＞0，且抛物线过原点，

若 mn＜0，则抛物线与 x 轴的另一个交点必在点

（2，0）和（4，0）之间，根据对称性：

当抛物线过点（2，0）时，t＝1，

当抛物线过点（5，0）时，t＝

5

2

.

∴综上所述：1＜t＜

5

2

.

思路二：代数硬算

思路&图解

1）m＝4＋4b＝4b＋4，n＝25＋10b＝10b＋25，

2）若 mn＜0，即（4b＋4）（10b＋25）＜0，化简得（b＋1）（2b＋5）＜0，

解得－

5

2

＜b＜－1，

3）由题知 t＝－

2

b

a

＝－

2

2 1

b



＝－b，且 1＜－b＜

5

2

.

∴综上所述：1＜t＜

5

2

.

x

y

x=t

m n

O 2 5

37 / 40

（2023-2024 平谷九上期末）★★★☆

26．在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 y＝x

2－2mx 的图象上两个点 A（x1，y1），B（x2，

y2），点 A、B 之间的部分（包含点 A、点 B）记作图象 G，图象 G 上 y 的最大值与最小值的差记

作 yG．

（1）求这个二次函数的对称轴（用含 m 的代数式表示）；

（2）当 m＝1，x1＝0，x2＝3 时，求 yG 的值；

（3）当 x1＝2m－1，x2＝2m＋1 时，恒有 yG＞y1－y2，求 m 的取值范围．

38 / 40

吴老师图解

（1）x＝m.

思路&图解

二次函数的对称轴为 x＝－

2

b

a

＝－

2

2 1

− m



＝m.

（2）yG＝4.

思路&图解

如图，

1）当 m＝1 时，抛物线的解析式为 y＝x

2－2x，

2）当 x1＝0，x2＝3 时，易求得 y1＝0，y2＝3，

3）易求得顶点坐标为（1，－1），

3）在图像 G 上：ymax＝yB＝3，ymin＝y 顶＝－1，

∴yG＝3－（－1）＝4.

∴综上所述：yG＝4.

（3）m＞－1.

思路&图解

1）∵2m－1＜2m＋1，

∴x1＜x2，即点 A 在点 B 的左侧，

2）如图，

①当 x1＜x2≤m 时，yG＝y1－y2，不符合题意！

②当 m≤x1＜x2时，y1－y2＜0，故 yG＞y1－y2，符合题意，

此时，有 m≤2m－1，解得 m≥1，

③当 x1＜m＜x2时，yG＝y1－y 顶＞y1－y2（或 yG＝y2－y 顶），符合题意，

此时，有 2m－1＜m＜2m＋1，解得－1＜m＜1.

∴综上所述：m＞－1.

x

y

B

A

x=m

A

B

x=m

A

B

x=m

A

B

39 / 40

（2023-2024 燕山九上期末）★☆

26．在平面直角坐标系 xOy 中，点 M（－1，m），N（3，n）在抛物线 y＝ax2＋bx＋c（a＞

0）上，设抛物线的对称轴为 x＝t．

（1）若 m＝n，求 t 的值；

（2）若 c＜m＜n，求 t 的取值范围．

40 / 40

吴老师图解

（1）1.

思路一：对称性

思路&图解

如图，

若 m＝n，则点（－1，m）与（3，n）关于 x＝t 对称，

∴t＝

1 3

2

− + ＝1.

思路二：代数法

思路&图解

1）m＝a－b＋c，n＝9a＋3b＋c，

2）若 m＝n，则 a－b＋c＝9a＋3b＋c，整理得 b＝－2a，

∴t＝－

2

b

a

＝－

2

2

a

a

− ＝1.

（2）－

1

2

＜t＜1.

思路一：对称性比远近（对称轴偏移）

思路&图解

1）由题知 a＞0，抛物线开口向上，抛物线上距离对称轴越远的点的纵坐标越大，

2）如图，

①当 c＝m 时，由对称性知 t＝

1 0

2

− + ＝－

1

2

，故当 c＜m 时，有 t＞－

1

2

，

②当 m＜n 时，同理，有 t＜

1 3

2

− + ，即 t＜1.

∴综上所述：－

1

2

＜t＜1.

思路二：代数硬算

思路&图解

1）m＝a－b＋c，n＝9a＋3b＋c，

2）①若 c＜m，即 c＜a－b＋c，整理得 a＞b，

两边同除－2a 得：－

1

2

＜－

2

b

a

（提示：a＞0，则－2a＜0），即 t＞－

1

2

，

②若 m＜n，即 a－b＋c＜9a＋3b＋c，整理得 2a＞－b，同理，得 t＜1.

∴综上所述：－

1

2

＜t＜1.

x=t

(-1,m) (3,n)

m c n

–1 0 1 2 3