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(2023-2024 丰台九上期中)★★★☆
27.如图,在正方形 ABCD 中,点 P 是线段 AC 延长线上一动点,连接 DP,将线段 DP 绕
点 D 逆时针旋转 60°得到线段 DQ,连接 PQ,BP,作直线 BQ 交 AC 于点 E.
(1)依题意补全图形;
(2)求证:∠PBQ=∠PQB;
(3)用等式表示线段 EP,EQ,EB 之间的数量关系,并证明.
备用图
A D
B C
P
A D
B C
P
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(2023-2024 丰台九上期中)★★★☆
27.如图,在正方形 ABCD 中,点 P 是线段 AC 延长线上一动点,连接 DP,将线段 DP 绕
点 D 逆时针旋转 60°得到线段 DQ,连接 PQ,BP,作直线 BQ 交 AC 于点 E.
(1)依题意补全图形;
(2)求证:∠PBQ=∠PQB;
(3)用等式表示线段 EP,EQ,EB 之间的数量关系,并证明.
备用图
A D
B C
P
A D
B C
P
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吴老师图解
(1)
补全图形
(2)
思路&图解
如图,
1)△ABP≌△ADP(SAS),
2)PB=PD=PQ,
∴∠PBQ=∠PQB.
备注:
如右图,或证△BCP≌△DCP.
(3)EQ=EP+EB.
分析
如图,
首先,明确本题为“共端点的三边数量
关系”问题,根据对称性有 DE=BE,那么
就可以把问题转化成“鸡爪模型”问题,
当然,我们也可以直接求解...
但是,不管用什么方式,都要先求出∠P
EQ=60°,下面给出推导过程:
E
Q
A D
B C
P
E
Q
A D
B C
P
E
Q
A D
B C
P
E
Q
A D
B C
P
E
Q
A D
B C
P
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分析
如图,
1)设∠1=∠2=α,
2)∠BPQ=60°+2α,
3)∠PBE=60°-α,
∴∠PEQ=60°(提示:△PBE 的外角).
思路一:等腰套等腰
思路&图解
如图,取 EF=EP,连接 FP,
1)由【分析】知∠1=60°,则△PEF 是等边三角形,
2)△PBE≌△PQF(AAS),
∴EQ=EF+FQ=EP+EB.
思路二:鸡爪模型
思路&图解
法 1:
如图,连接 ED,取 EF=EP,连接 FP,
1)由【分析】知△PEF 是等边三角形,
2)△DEP≌△QFP(手拉手模型),
3)易证 DE=BE,
∴EQ=EP+EB.
60°
1 α
2
E
Q
A D
B C
P
1
F
E
Q
A D
B C
P
F
E
Q
A D
B C
P
F
E
Q
A D
B C
P
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思路&图解
法 2:
如图,取 EF=ED,连接 DF,
1)由【分析】知∠1=∠2=60°,
2)利用对称知∠3=∠2=60°,则∠4=60°,
∴△DEF 是等边三角形,与【法 1】同理,可得结论!
备注:后面几种解法,不再给出过程,同学们自己思考一下~
法 3:
法 4:
1
2
3 4 F
E
Q
A D
B C
P
F
E
Q
A D
B C
P
F
E
Q
A D
B C
P
F
E
Q
A D
B C
P
F
E
Q
A D
B C
P F
E
Q
A D
B C
P
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思路&图解
法 5:
法 6:
F
E
Q
A D
B C
P
F
E
Q
A D
B C
P
F
E
Q
A D
B C
P
F
E
Q
A D
B C
P