课时分层检测(一) 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 ????????????????? ７１

课时分层检测(二) 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用 ?????????????? ７３

课时分层检测(三) 排列与排列数 ???????????????????????????? ７５

课时分层检测(四) 排列与排列数的应用 ????????????????????????? ７７

课时分层检测(五) 组合与组合数 ???????????????????????????? ７９

课时分层检测(六) 组合与组合数的应用 ????????????????????????? ８１

课时分层检测(七) 二项式定理 ????????????????????????????? ８３

课时分层检测(八) 二项式系数的性质 ?????????????????????????? ８５

课时分层检测(九) 条件概率 ?????????????????????????????? ８７

课时分层检测(十) 全概率公式 ????????????????????????????? ９０

课时分层检测(十一) 离散型随机变量及其分布列 ????????????????????? ９２

课时分层检测(十二) 两点分布及离散型随机变量分布列的性质及应用 ???????????? ９４

课时分层检测(十三) 离散型随机变量的均值 ??????????????????????? ９６

课时分层检测(十四) 离散型随机变量的方差 ??????????????????????? ９８

课时分层检测(十五) 二项分布 ???????????????????????????? １００

课时分层检测(十六) 超几何分布 ??????????????????????????? １０２

课时分层检测(十七) 正态分布 ???????????????????????????? １０４

课时分层检测(十八) 成对数据的统计相关性 ?????????????????????? １０７

课时分层检测(十九) 一元线性回归模型 一元线性回归模型参数的最小二乘估计 ?????? １１０

课时分层检测(二十) 分类变量与列联表 独立性检验 ?????????????????? １１３

章末检测卷(一) ??????????????????????????????????? １１９

章末检测卷(二) ??????????????????????????????????? １２７

章末检测卷(三) ??????????????????????????????????? １３５

模块综合检测卷 ??????????????????????????????????? １４３

班 级 姓 名 得 分

课时分层检测(一) 分类加法计数原理与分步乘法计数原理

基础达标练

１．从A 地到B 地,可乘汽车、火车、轮船三种交

通工具,如 果 一 天 内 汽 车 发 ３ 次,火 车 发 ４

次,轮船发２次,那么一天内乘坐这三种交通

工具的不同走法为 ( )

A．１＋１＋１＝３ B．３＋４＋２＝９

C．３×４×２＝２４ D．以上都不对

２．如图,一条电路从 A 处到B 处接通时,可构

成线路的条数为 ( )

A．８ B．６ C．５ D．３

３．如图,小明从街道的 E 处出发,先到 F 处与

小红会合,再一起到位于 G 处的老年公寓参

加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择

的最短路径条数为 ( )

A．２４ B．１８ C．１２ D．９

４．从集合{０,１,２,３,４,５,６}中任取两个不同的

数a,b组成复数a＋bi,其中虚数有 ( )

A．３０个 B．４２个 C．３６个 D．３５个

５．设A＝{１,２,３,?,１０},若方程x２－bx－c＝

０,满足b,c属于A,且方程至少有一根a 属

于A,称方程为漂亮方程,则“漂亮方程”的总

个数为 ( )

A．８个 B．１０个 C．１２个 D．１４个

６．一学习小组有４名男生,３名女生,任选一名

学生当数学课代表,共有 种不同选

法;若 选 男、女 生 各 一 名 当 组 长,共 有

种不同选法．

７．某小区有４个门,规定只能从主门进,从任

一个门出,则共有不同走法 种．

８．４名学生参加跳高、跳远、游泳比赛,４人都

来争夺 这 三 项 冠 军,则 冠 军 分 配 的 种 数 有

．

９．有一项活动,需从３位教师、８名男同学和５

名女同学中选人参加．

(１)若 只 需 １ 人 参 加,则 有 多 少 种 不 同 的

选法?

(２)若需教师、男同学、女同学各１人参加,则

有多少种不同的选法?

１０．有３个不同的负数、５个不同的正数,从中

任取２个数,使它们的积为正数,问:有多

少种不同的取法?

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— ７１ —

班 级 姓 名 得 分

能力提升练

１．计划在４个体育馆举办排球、篮球、足球３个

项目的比赛,每个项目的比赛只能安排在一

个体育馆进行,则在同一个体育馆比赛的项

目不超过２项的安排方案共有 ( )

A．２４种 B．３６种 C．４２种 D．６０种

２．用０,１,?,９十个数字,可以组成有重复数

字的三位数的个数为 ( )

A．２４３ B．２５２ C．２６１ D．２７９

３．(多选)已知集合 A＝{－１,２,３,４},m,n∈

A,则对于方程x２

m

＋

y２

n

＝１的说法正确的是

( )

A．可表示３个不同的圆

B．可表示６个不同的椭圆

C．可表示３个不同的双曲线

D．表示焦点位于x轴上的椭圆有３个

４．如 图 所 示,在 连 接 正 八

边形的三个顶点而成的

三角形中与正八边形有

公共边的三角形有

个．

５．某电视台连续播放６个

广告,其中有３个不同的商业广告、２个不同

的宣传广告、１个公益广告,要求最后播放的

不能是商业广告,且宣传广告与公益广告不

能连续播放,２个宣传广告也不能连续播放,

则有多少种不同的播放方式? (用１,２,３,４,

５,６表示广告的播放顺序)

６．假设今天是４月２３日,某市未来六天的空气

质量预报情况如下表所示．该市有甲、乙、丙

三人计划在未来六天(４月 ２４日 ~４ 月 ２９

日)内选择一天出游,在①甲只选择空气质

量为优的一天出游;②乙不选择４月２７日出

游;③丙不选择４月２４日出游;④甲与乙不

选择同一天出游这四个条件中任选其中三

个,求这三人出游的不同方法的种数．

未来六天空气质量预报

４月２４日 ４月２５日 ４月２６日 ４月２７日 ４月２８日 ４月２９日

优 优 优 优 良 良

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— ７２ —

班 级 姓 名 得 分

课时分层检测(二) 分类加法计数原理与分步

乘法计数原理的应用

基础达标练

１．在１,２,３,４四个数字中任取数(不重复取)

作和,则取出这些数的不同的和共有 ( )

A．８个 B．９个 C．１０个 D．５个

２．某市汽车牌照号码可以上网自编,但规定左

数第２个号码只能从字母 B,C,D 中选择,

其他四个号码可以从０~９这１０个数字中选

择(数字可以重复)．若某车主左数第１个号

码只想在数字３,５,６,８,９中选择,其他号码

只想在１,３,６,９中选择,则他可选的车牌号

码的所有可能情况有 ( )

A．１８０种 B．３６０种 C．７２０种 D．９６０种

３．一植物园的参观路径如图所示,若要全部参

观并且路线不重复,则不同的参观路线共有

( )

A．６种 B．８种 C．３６种 D．４８种

４．(多选)已知函数y＝ax２＋bx＋c,其中a,b,c

∈{０,１,２,３,４},则不同的二次函数的个数

可以用式子表示为 ( )

A．４×５×５

B．５×５×５

C．４×４＋４×４＋４×４×４＋４

D．５×４×３

５．埃 及 胡 夫 金 字 塔 是 古

代世界建筑奇迹之一,

它 的 形 状 可 视 为 一 个

正四 棱 锥,如 图,将 一

个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色,并使

同一条棱上的两端异色,如果只有５种颜色

可供使用,则不同的染色方法总数为 ( )

A．１８０ B．２４０ C．４２０ D．４８０

６．古人用天干、地支来表示年、月、日、时的次

序．用 天 干 的 “甲、丙、戊、庚、壬”和 地 支 的

“子、寅、辰、午、申、戌”相配,用天干的“乙、

丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未、酉、

亥”相配,共可配成 组．

７．用数字１,２组成一个四位数,则数字１,２都

出现的四位偶数有 个．

８．回文数是指从左到右与从右到左读都一样

的正整数,如２２,１２１,３４４３,９４２４９等．显然

２位回文数有９个:１１,２２,３３,?,９９,３位回

文数 有 ９０ 个:１０１,１１１,１２１,?,１９１,２０２,

?,９９９．则:

(１)５位回文数有 个;

(２)２n(n∈N∗ )位回文数有 个．

９．有４种不同的作物可供选择种植

在如图所示的４块试验田中,每块

种植一种作物,相邻的试验田(有

公共边)不能种植同一种作物,共有多少种

不同的种植方法?

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— ７３ —

班 级 姓 名 得 分

１０．某同学计划用不超过３０元的现金购买笔

与笔记本．已知笔的单价为４元,笔记本的

单价为５元,且笔至少要买２支,笔记本至

少要买２本,问不同的购买方案有多少种?

能力提升练

１．将 １,２,３填入 ３×３的方格

中,要求每行、每列都没有重

复数字,如图是一种填法,则

不同的填写方法共有 ( )

A．６种 B．１２种

C．２４种 D．４８种

２．如果正整数a 的各位数字之和等于６,那么

称a 为 “好数”(如:６,２４,２０１３ 等 均 为 “好

数”),将所有“好数”从小到大排成一列a１,

a２,a３,?,若an＝２０１３,则n＝ ( )

A．５０ B．５１ C．５２ D．５３

３．如图所示,在连接正八边形的

三个顶点而成的三角形中,与

正八边形有公共边的三角形

有 个．

４．(多选)用０,１,２,３,４这五个数字组成无重

复数字的三位自然数,如果十位上的数字比

百位上的数字和个位上的数字都小,则称这

个数为“凹数”,如３０１,４２３等都是“凹数”,则下

列结论中正确的是 ( )

A．组成的三位数的个数为６０

B．在组成的三位数中,偶数的个数为３０

C．在组成的三位数中,“凹数”的个数为２０

D．在组成的三位数中,“凹数”的个数为３０

５．用n 种 不 同 的 颜 色 为 两 块 广 告 牌 着 色,如

图,要求在①,②,③,④四个区域中相邻(有

公共边界)的区域不用同一种颜色．

(１)若n＝６,为甲着色时共有多少种不同的

方法?

(２)若为乙着色时共有１２０种不同的方法,求

n的值．

创新拓展练

几只猴子在一棵枯树上玩耍,假设它们均不

慎失足下落,已知:(１)甲在下落的过程中依

次撞击到树枝 A,B,C;(２)乙在下落的过程

中依次撞击到树枝 D,E,F;(３)丙在下落的

过程中依次撞击到树枝G,A,C;(４)丁在下

落的过程中依次撞击到树枝B,D,H;(５)戊

在下落的过程中依次撞击到树枝I,C,E,则这

九棵树枝从高到低不同的顺序共有 ( )

A．２３ B．２４ C．３２ D．３３

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— ７４ —

班 级 姓 名 得 分

课时分层检测(三) 排列与排列数

基础达标练

１．下列问题中,是排列问题的是 ( )

A．由１,２,３三个数字组成无重复数字的三

位数

B．从４０人中选５人组成篮球队

C．从１００人中选２人抽样调查

D．从１,２,３,４,５中选２个数组成集合

２．四张卡片上分别标有数字“２”“０”“２”“３”,则

由这 四 张 卡 片 可 组 成 不 同 的 四 位 数 的 个

数为 ( )

A．６ B．９ C．１２ D．２４

３．若 A２

n＝１３２,则n等于 ( )

A．１１ B．１２ C．１３ D．１４

４．(多选)下列各式中与排列数 Am

n 相等的是

( )

A．

n!

(n－m)!

B．n(n－１)(n－２)?(n－m)

C．

nAm

n－１

n－m＋１

D．A１

n?Am－１

n－１

５．从１,３,５,７,９这五个数中,每次取出两个不

同的数分别记为a,b,共可得到lga－lgb的

不同值的个数是 ( )

A．９ B．１０ C．１８ D．２０

６．计算:

A６

７－A５

６

A４

５

＝ ．

７．不等式 A２

n－n＜１５的解集为 ．

８．现有８种不同的菜种,任选４种种在不同土

质的４块地上,有 种不同的种法．

(用数字作答)

９．若一个三位数的十位数字比个位数字和百

位数字都大,则称这个数为“伞数”．现从２,

３,４,５,６,９这六个数字中任取３个数,组成

无重 复 数 字 的 三 位 数,其 中 “伞 数 ”有 多

少个?

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— ７５ —

班 级 姓 名 得 分

１０．(１)解关于x的方程:

A７

x－A５

x

A５

x

＝８９;

(２)解不等式:Ax

９＞６Ax－２

９ ．

能力提升练

１．从５本不同的书中选２本送给２名同学,每

人１本,则送法种数为 ( )

A．５ B．１０ C．２０ D．６０

２．某班级从 A,B,C,D,E,F 六名学生中选四

人参加４×１００m 接力比赛,其中第一棒只

能在A,B 中选一人,第四棒只能在 A,C 中

选一人,则不同的选派方法共有 ( )

A．２４种 B．３６种 C．４８种 D．７２种

３．(多选)给出下列四个等式:

A．n! ＝

(n＋１)!

n＋１

B．Am

n ＝nAm－１

n－１

C．Am

n ＝

n!

(n－m)! D．Am－１

n－１ ＝

(n－１)!

(m－n)!

其中正确的是 ( )

４．一条铁路有n 个车站,为适应客运需要,新

增了m 个车站,且知m＞１,客运车票增加了

６２种,问 原 有 多 少 个 车 站? 现 在 有 多 少 个

车站?

５．英国数学家泰勒(B．Taylor,１６８５—１７３１)以

发现泰勒公式和泰勒级数闻名于世,由泰勒

公式,我们能得到e＝１＋

１

１!＋

１

２!＋

１

３!＋?＋

１

n!＋

eθ

(n＋１)!

(其 中e 为 自 然 对 数 的 底 数,

０＜θ＜１,n! ＝n×(n－１)×(n－２)×?×２

×１),其拉格朗日余项是Rn＝

eθ

(n＋１)!．可以

看出,右边的项用得越多,计算得到的e的近

似值也就越精确．若 ３

(n＋１)!

近似地表示e的

泰勒公 式 的 拉 格 朗 日 余 项 Rn,Rn 不 超 过

１

１０００

时,正整数n的最小值是 ( )

A．５ B．６ C．７ D．８

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— ７６ —

班 级 姓 名 得 分

课时分层检测(四) 排列与排列数的应用

基础达标练

１．身穿红、黄两种颜色衣服的各有２人,现将

这４人排成一行,要求穿相同颜色衣服的人

不能相邻,不同的排法共有 ( )

A．４种 B．６种 C．８种 D．１２种

２．３名男生和３名女生排成一排,男生不相邻

的排法有 ( )

A．１４４种 B．９０种 C．２６０种 D．１２０种

３．六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲

或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有

( )

A．１９２种 B．２１６种 C．２４０种 D．２８８种

４．４位男生和２位女生排成一排,男生有且只

有２位相邻,则不同排法的种数是 ( )

A．７２ B．９６ C．１４４ D．２４０

５．某次联欢会要安排３个歌舞类节目,２个小

品类节目和１个相声类节目的演出顺序,则

同类节目不相邻的排法种数是 ( )

A．７２ B．１２０ C．１４４ D．１６８

６．把５件不同的产品摆成一排,若产品 A 与产

品B 相邻,且产品 A 与产品C 不相邻,则不

同的摆法有 种．

７．用数字０,１,２,３,４,５可以组成没有重复数

字,并且比 ２００００ 大的五位偶 数 共 有

个．

８．将 A,B,C,D,E,F 六个字母排成一排,且

A,B 均在C 的同侧,则不同的排法共有

种(用数字作答)．

９．用０,１,２,?,９十个数字可组成多少个满足

以下条件的且没有重复数字的数:

(１)五位奇数;

(２)大于３００００的五位偶数．

１０．有５对夫妇和A,B 共１２人参加一场婚宴,

他们被安排在一张有 １２个座位的圆桌上

就餐(旋转之后算相同坐法)．

(１)若 ５ 对 夫 妇 都 相 邻 而 坐,A,B 相 邻 而

坐,共有多少种坐法?

(２)５对夫妇都相邻而坐,其中甲、乙二人的

妻子是闺蜜要相邻而坐,A,B 不相邻,共有

多少种坐法?

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— ７７ —

班 级 姓 名 得 分

能力提升练

１．某地为了迎接国庆节,某大楼安装了５个彩

灯,它们闪亮的顺序不固定．每个彩灯只能

闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色,且这５

个彩灯所闪亮的颜色各不相同,记这５个彩

灯有序地各闪亮一次为一个闪烁．在每个闪

烁中,每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮,而相

邻两个闪烁的时间间隔均为５秒．如果要实

现所有不同的闪烁,那么需要的时间至少是

( )

A．１２０５秒 B．１２００秒

C．１１９５秒 D．１１９０秒

２．(多选)某校以大课程观为理论基础,以关键

能力和核心素养的课程化为突破口,深入探

索普通高中创新人才培养的校本化课程体

系．本学期共开设了八大类校本课程,具体

为学科 拓 展 (X)、体 艺 特 长 (T)、实 践 创 新

(S)、生涯规划(C)、国际视野(I)、公民素养

(G)、大学先修(D)、PBL项目课程(P),假期

里决定继续开设这八大类课程,每天开设一

类且不重复,连续开设八天,则 ( )

A．某学生从中选两类,共有 A２

８ 种选法

B．课程“X”“T”排在不相邻两天,共有 A６

６A２

７

种排法

C．课程中“S”“C”“T”排在相邻三天,且“C”

只能排在“S”与“T”的中间,共有７２０种

排法

D．课程“T”不排在第一天,课程“G”不排在

最后一天,共有(A７

７＋A１

６A１

６A６

６)种排法

３．某 次 灯 谜 大 会 共 设 置 ６

个不同的谜题,分别藏在

如图所示的６只灯笼里,

每只 灯 笼 里 仅 放 一 个 谜

题．并规定一名参与者每次只能取其中一串

最下面的一只灯笼并解答里面的谜题,直到

答完 全 部 ６ 个 谜 题,则 一 名 参 与 者 一 共 有

种不同的答题顺序．

４．某班级的课程表要排入历史、语文、数学、物

理、体育、英语,共６节课．

(１)若数学必须比语文先上,则不同的排法

有多少种?

(２)如果第一节不排体育,最后一节不排数

学,那么共有多少种排法?

(３)原定的６节课已排好,学校临时通知要增

加生物、化学、地理３节课,若将这３节课插

入原课表中且原来的６节课相对顺序不变,

则有多少种不同的排法?

５．由四个不同的数字１,２,４,x 组成无重复数

字的三位数．

(１)若x＝９,则其中能被３整除的共有

个;

(２)若 所 有 这 些 三 位 数 的 各 位 数 字 之 和 是

２５２,则x＝ ．

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— ７８ —

班 级 姓 名 得 分

课时分层检测(五) 组合与组合数

基础达标练

１．给出下列问题:

①从甲、乙、丙３名同学中选出２名分别去参

加２个 乡 镇 的 社 会 调 查,有 多 少 种 不 同 的

选法?

②有４张电影票,要在７人中选出４人去观

看,有多少种不同的选法?

③某人射击８枪,击中４枪,且命中的４枪均

为２枪连中,则不同的结果有多少种?

其中组合问题的个数是 ( )

A．０ B．１ C．２ D．３

２．从５名同学中推选４人去参加一个会议,则

不同的推选方法种数是 ( )

A．１０ B．５ C．４ D．１

３．若 C２x－１

１１ ＝Cx－１

１０ ＋Cx

１０,则正整数x的值是

( )

A．１ B．３ C．４ D．１或４

４．某新农村社区共包括８个自然村,且这些村

庄分布零散,没有任何三个村庄在一条直线

上,现要在该社区内建“村村通”工程,则共

需建公路的条数为 ( )

A．４ B．８ C．２８ D．６４

５．(多选)某班有５０名学生,其中正、副班长各

１人,现选派５人参加一项活动,要求正、副

班长至少有１人参加,问共有多少种选派方

法? 下面是学生提供的四种计算方法．正确

的算法为 ( )

A．C１

２C４

４８＋C２

２C３

４８ B．C５

５０－C５

４８

C．C１

２C４

４９ D．C１

２C４

４９－C３

４８

６．某餐厅供应饭菜,每位顾客可以在餐厅提供

的菜肴中任选２荤２素共４种不同的品种．

现在餐厅准备了５种不同的荤菜,若要保证

每位顾客有２００种以上不同的选择,则餐厅

至少还需准备不同的素菜品种 种．

(结果用数值表示)

７．若 A４

２n＝１２０C２

n,则n＝ ．

８．如图,某区有 ７条南北向街道,５ 条东西向

街道．

(１)图中有 个矩形;

(２)从 A 点 走 向 B 点 最 短 的 走 法 有

种．

９．已知 C４

n,C５

n,C６

n 成等差数列,求 C１２

n 的值．

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— ７９ —

班 级 姓 名 得 分

１０．袋中装有大小相同、标号不同的白球４个,

黑球５个,从中任取３个球．

(１)共有多少种不同结果?

(２)取出的３个球中有２个白球,１个黑球

的结果有几个?

(３)取出的３个球中至少有２个白球的结果

有几个?

能力提升练

１．(多选)下列等式正确的是 ( )

A．Cm

n ＝Cn－m

n

B．２０１８! ?C２０１８

２０２３＝２０２３A２０１７

２０２２

C．Cm

n ＝

Am

n

n!

D．Am

n ＋mAm－１

n ＝Am

n＋１

２．在∠AOB 的OA 边上取m 个点,在OB 边上

取n 个点(均除O 点外),连同O 点共(m＋n

＋１)个点,现任取其中三个点为顶点作三角

形,则可作出的三角形的个数为 ( )

A．C１

m＋１C２

n＋C１

n＋１C２

m B．C１

mC２

n＋C１

nC２

m

C．C１

mC２

n ＋ C１

nC２

m ＋ C１

mC１

nD．C１

mC２

n＋１

＋C１

nC２

m＋１

３．已知圆上有９个点,每两点连一线段,若任

意两条线的交点不同,则所有线段在圆内的

交点有 ( )

A．３６个 B．７２个

C．６３个 D．１２６个

４．某市工商局对３５种商品进行抽样检查,已

知其中有１５种假货．现从３５种商品中选取

３种．

(１)其中某一种假货必须在内,不同取法有

多少种?

(２)其中某一种假货不能在内,不同取法有

多少种?

(３)恰有２种假货在内,不同取法有多少种?

(４)至 少 有 ２ 种 假 货 在 内,不 同 取 法 有 多

少种?

(５)至 多 有 ２ 种 假 货 在 内,不 同 取 法 有 多

少种?

５．要从６男４女中选出５人参加一项活动,按

下列要求,各有多少种不同的选法?

(１)甲当选且乙不当选;

(２)至少有１女且至多有３男当选．

?

?

?

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— ８０ —

班 级 姓 名 得 分

课时分层检测(六) 组合与组合数的应用

基础达标练

１．凸十边形的对角线的条数为 ( )

A．１０ B．３５ C．４５ D．９０

２．某施工小组有男工７名,女工３名,现要选１

名女工和２名男工去支援另一施工队,不同

的选法有 ( )

A．C３

１０种 B．A３

１０种

C．A２

７A１

３ 种 D．C１

３C２

７ 种

３．某地招募了２０名志愿者,他们编号分别为

１号,２号,?,１９号,２０号,如果要从中任意

选取４人再按编号大小分成两组去做一些

预备服务工作,其中两个编号较小的人在一

组,两个编号较大的人在另一组,那么确保５

号与１４号入选并被分配到同一组的选取种

数是 ( )

A．１６ B．２１ C．２４ D．９０

４．从５名志愿者中选派４人在星期六和星期日

参加公益活动,每人一天,每天两人,则不同

的选派方法共有 ( )

A．６０种 B．４８种 C．３０种 D．１０种

５．一个密码箱上有两个密码锁,只有两个密码

锁的密码都对才能打开．两个密码锁都设有

四个数位,每个数位的数字都可以是１,２,３,

４中的任一个．现将左边密码锁的四个数字

设成两个相同,另两个也相同;右边密码锁

的四个数字设成互不相同．这样的密码设置

的方法种数为 ( )

A．２８８ B．８６４ C．１４３６ D．１７２８

６．用数字１,２,３,４,５,６,７,８,９组成没有重复数

字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样

的四位数一共有 个(用数字作答)．

７．某单位有１５名成员,其中男性１０人,女性５

人,现需要从中选出６名成员组成考察团外

出参观学习,如果按性别分层,并在各层按

比例随机抽样,则此考察团的组成方法的种

数是 ．

８．考古时在埃及金字塔内发现“１４２８５７”这组

神秘的数字,其神秘性表现在具有这样的特

征:１４２８５７×２＝２８５７１４,１４２８５７×３＝

４２８５７１,?,１４２８５７×６＝８５７１４２．且１４２＋

８５７＝２８５＋７１４＝４２８＋５７１＝?＝８５７＋１４２

＝９９９．这类数因其“循环”的特征,常称为走

马灯数．若从１,４,２,８,５,７这６个数字中任

意取出３个数构成一个三位数x,则满足９９９

－x是剩下的３个数字构成的一个三位数的

x的个数为 ．

９．平面内有１２个点,其中有４个点共线,除此

再无任何３点共线．以这些点为顶点,可构

成多少个不同的三角形?

?

?

?

?

?

?

?

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— ８１ —

班 级 姓 名 得 分

１０．在一次数学竞赛中,某学校有１２人通过了

初试,学校要从中选出５人参加市级培训．

在下列条件下,有多少种不同的选法?

(１)任意选５人;

(２)甲、乙、丙三人必须参加;

(３)甲、乙、丙三人不能参加;

(４)甲、乙、丙三人只能有１人参加．

能力提升练

１．若把单词“anyway”的字母顺序写错了,则可

能出现的错误写法的种数为 ( )

A．１７９ B．１８１ C．１９３ D．２０５

２．已知x,y 满足组合数方程 C２x

１７ ＝Cy

１７,则xy

的最大值是 ( )

A．６４ B．１２８ C．２５６ D．

２８９

８

３．(多选)某翻译处有８名翻译,其中有小张等

３名英语翻译,小李等３名日语翻译,另外２

名既能翻译英语又能翻译日语,现需选取５

名翻译参加翻译工作,３名翻译英语,２名翻

译日语,则 ( )

A．若从只会英语的３人中选３人翻译英语,

共有１０种不同的选取方法

B．若从只会英语的３人中选２人翻译英语,

共有１８种不同的选取方法

C．若从只会英语的３人中选１人翻译英语,

共有９种不同的选取方法

D．若小张与小李都选中,共有１８种不同的

选取方法

４．某班班会准备从含甲、乙的６名学生中选择

４人发言,要 求 甲、乙 ２ 人 中 至 少 有 一 人 参

加,且若甲、乙同时参加,则他们发言时顺序

不能相 邻,那 么 不 同 的 发 言 顺 序 的 种 数 为

．

５．袋中装有大小相同的４个红球和６个白球,

从中取出４个球．

(１)若取出的球必须是两种颜色,则有多少

种不同的取法?

(２)若取出的红球个数不少于白球个数,则

有多少种不同的取法?

(３)取出一个红球记２分,取出一个白球记１

分,若取４球的总分不低于５分,则有多少种

不同的取法?

６．从１到６这６个数字中,取２个偶数和２个

奇数组成没有重复数字的四位数．试问:

(１)能组成多少个不同的四位数?

(２)四位数中,２个偶数排在一起的有几个?

(３)２个偶数不相邻的四位数有几个? (所得

结果均用数值表示)．

?

?

?

?

?

?

?

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?

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?

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— ８２ —

班 级 姓 名 得 分

课时分层检测(七) 二项式定理

基础达标练

１．(x＋２)n 的展开式共有１２项,则n等于

( )

A．９ B．１０ C．１１ D．８

２．设n∈N∗ ,则C０

n×１n×８０＋C１

n×１n－１×８１＋

C２

n×１n－２×８２＋C３

n×１n－３×８３＋?＋Cn－１

n

×１１×８n－１＋Cn

n×１０×８n 除以９的余数为

( )

A．０ B．８ C．７ D．２

３． x－

２

x

æ

è

ç

ö

ø

÷

６

的展开式中的常数项为 ( )

A．６０ B．－６０ C．２５０ D．－２５０

４．设(１＋x)３＋(１＋x)４＋(１＋x)５＋?＋(１＋

x)５０＝a０＋a１x＋a２x２＋a３x３＋?＋a５０x５０,

则a３ 的值是 ( )

A．C４

５０ B．２C３

５０ C．C３

５１ D．C４

５１

５．在 x＋

１３

x

æ

è

ç

ö

ø

÷

２４

的展开式中,x 的幂指数是整

数的项共有 ( )

A．３项 B．４项 C．５项 D．６项

６．二 项 式

３

x＋

１

２x

æ

è

ç

ö

ø

÷

８

的 展 开 式 的 常 数 项 是

．

７．已知(２x＋my)(x－y)５ 的展开式中x２y４ 的

系数为－２０,则m 的值为 ．

８．若 ax＋

１

x

æ

è

ç

ö

ø

÷ ２x＋

１

x

æ

è

ç

ö

ø

÷

５

展开式中的常数项为

－４０,则a＝ ．

９．已知在

１

２

x２－

１

x

æ

è

ç

ö

ø

÷

n

的展开式中,第９项为

常数项,求:

(１)n的值;

(２)展开式中x５ 的系数;

(３)含x的整数次幂的项的个数．

１０．二项式

３

x－

２

x

æ

è

ç

ö

ø

÷

１５

的展开式中:

(１)求常数项;

(２)有几个有理项;

(３)有几个整式项．

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

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?

?

— ８３ —

班 级 姓 名 得 分

能力提升练

１．当n为正奇数时,７n＋C１

n?７n－１＋C２

n?７n－２＋

?＋Cn－１

n?７被９除所得的余数是 ( )

A．０ B．２ C．７ D．８

２．今天是星期五,经过７天后还是星期五,那

么经过８２０２１天后是 ( )

A．星期二 B．星期四

C．星期五 D．星期六

３．(多选)对于二项式 １

x

æ ＋x３

è

ç

ö

ø

÷

n

(n∈N∗ ),下

列判断正确的有 ( )

A．存在n∈N∗ ,展开式中有常数项

B．对任意n∈N∗ ,展开式中没有常数项

C．对任意n∈N∗ ,展开式中没有x的一次项

D．存在n∈N∗ ,展开式中有x的一次项

４．(１)求多项式 x２＋

１

x２－２

æ

è

ç

ö

ø

÷

３

的展开式;

(２)求(１＋x)２?(１－x)５ 的展开式中x３ 的

系数．

５．已知二项式 １

２

－x

æ

è

ç

ö

ø

÷

n

＝a０＋a１x＋a２x２＋?＋

anxn,(n≥３且n∈N∗ )．若|an－２|,|an－１|,

|an|成等差数列．

(１)求 １

２

－x

æ

è

ç

ö

ø

÷

n

展开式的中间项;

(２)求|ai|(i＝０,１,２,?,n)的最大值．

创新拓展练

１．若(x＋m)２n＋１与(mx＋１)２n(n∈N∗ ,m≠０)

的展开式中含xn 的系数相等,则实数 m 的

取值范围是 ( )

A．

１

２

,２

３

æ

è

ç ] B．

２

３[ ,１

ö

ø

÷

C．(－∞,０) D．(０,＋∞)

２．在 ２x２－

１３

x

æ

è

ç

ö

ø

÷

８

的展开式中,求:

(１)第５项的二项式系数及第５项的系数;

(２)倒数第３项．

?

?

?

?

?

?

?

?

?

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— ８４ —

班 级 姓 名 得 分

课时分层检测(八) 二项式系数的性质

基础达标练

１．在(x＋y)n 的展开式中,第４项与第８项的

系数相等,则展开式中系数最大的项是

( )

A．第６项 B．第５项

C．第５、６项 D．第６、７项

２．(２x－３)１０的展开式中,奇数项的二项式系数

和为 ( )

A．２１０ B．２９

C．

５１０－１

２

D．

－１－５１０

２

３．(多选)若(１－２x)５＝a０＋a１x＋a２x２＋a３x３＋

a４x４＋a５x５,则下列结论中正确的是 ( )

A．a０＝１

B．a１＋a２＋a３＋a４＋a５＝２

C．a１－a２＋a３－a４＋a５＝３５

D．a０－|a１|＋a２－|a３|＋a４－|a５|＝－１

４．已知关于x 的二项式 x＋

a３

x

æ

è

ç

ö

ø

÷

n

展开式的

二项式系数之和为３２,常数项为８０,则a的

值为 ( )

A．１ B．±１ C．２ D．±２

５．设(３x－２)６＝a０＋a１(２x－１)＋a２(２x－１)２＋

?＋a６ (２x－１)６,则

a１＋a３＋a５

a０＋a２＋a４＋a６

＝

．

A．

６４

６５

B．－

６４

６５

C．－

６３

６５

D．

６３

６５

６．已知(２x＋ ２)４＝a０＋a１x＋a２x２＋a３x３＋

a４x４,则(a０＋a２＋a４)２－(a１＋a３)２＝

．

７．若二项式 x－

１

x

æ

è

ç

ö

ø

÷

n

的展开式中只有第４项

的二项 式 系 数 最 大,则 展 开 式 中 常 数 项 为

．

８．(x＋２y)４ 展开式中二项式系数最大的项的系

数为 ．(用数字作答)

９． x＋

１

a

４

x

æ

è

ç

ö

ø

÷

n

的展开式中,奇数项的二项式

系数之和为１２８,且前三项系数成等差数列．

(１)求a的值;

(２)若a＜３,展开式有多少有理项? 写出所

有有理项．

１０．在(x－y)１１ 的 展 开 式 中,分 别 求 解 下 面

问题:

(１)二项式系数最大的项;

(２)项的系数绝对值最大的项;

(３)项的系数最大的项和系数最小的项;

(４)二项式系数的和．

?

?

?

?

?

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— ８５ —

班 级 姓 名 得 分

能力提升练

１．已知 Sn 是 数 列 {an}的 前 n 项 和,若 (１－

２x)２０２１＝b０＋b１x＋b２x２＋?＋b２０２１x２０２１,

数列{an}的首项a１＝

b１

２

＋

b２

２２ ＋ ? ＋

b２０２１

２２０２１,

an＋１＝Sn?Sn＋１,则S２０２１＝ ( )

A．－

１

２０２１

B．

１

２０２１

C．２０２１ D．－２０２１

２．若(１－２x)２０２３＝a０＋a１x＋?＋a２０２３x２０２３

(x∈R),则

a１

２

＋

a２

２２＋?＋

a２０２３

２２０２３的值为

( )

A．２ B．０ C．－２ D．－１

３．(多选)若(２x－１)１０＝a０＋a１x＋a２x２＋?＋

a１０x１０,x∈R,则 ( )

A．a２＝１８０

B．|a０|＋|a１|＋|a２|＋?＋|a１０|＝３１０

C．a１＋a２＋?＋a１０＝１

D．

a１

２

＋

a２

２２＋

a３

２３＋?＋

a１０

２１０＝－１

４．在 ２ x－

１

x

æ

è

ç

ö

ø

÷

６

的展开式中,系数绝对值最

大的项为 ．

５．已知(２x－１)n 二项展开式中,奇次项系数的

和比偶次项系数的和小３８,则 C１

n＋C２

n＋C３

n

＋?＋Cn

n＝ ．

创新拓展练

１．在 形 如 (a＋b)n ＝C０

nan ＋C１

nan－１b＋ ? ＋

Cr

nan－rbr ＋ ? ＋Cn

nbn 的 展 开 式 中,我 们 把

Cr

n(r＝０,１,２,?,n)叫做二项式系数,类似

地在(１＋x＋x２)n ＝D０

n＋D１

nx＋D２

nx２＋?＋

D２n－１

n x２n－１＋D２n

nx２n的展开式中,我们把 Dr

n

(r＝０,１,２,?,２n)叫 做 三 项 式 系 数,则

D０

２０１５ ?C０

２０１５ － D１

２０１５ ?C１

２０１５ ＋ D２

２０１５ ?

C２

２０１５－ ? ＋ (－１)kDk

２０１５ ?Ck

２０１５ ＋ ? －

D２０１５

２０１５?C２０１５

２０１５的值为 ．

２．杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果,它的

许多性质与组合数的性质有关,杨辉三角中

蕴藏了许多优美的规律,如图是一个 １１阶

杨辉三角:

(１)求第２０行中从左到右的第４个数;

(２)在第２斜列中,前５个数依次为１,３,６,

１０,１５,在第３斜列中,第５个数为３５．显然,

１＋３＋６＋１０＋１５＝３５．事实上,一般地有这

样的结论:第 m－１斜列中(从右上到左下)

前k 个 数 之 和,一 定 等 于 第 m 斜 列 中 第k

个数．

试用含有m,k(m,k∈N∗ )的数字公式表示

上述结论,并给予证明．

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

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?

— ８６ —

班 级 姓 名 得 分

课时分层检测(九) 条件概率

基础达标练

１．下面几种概率是条件概率的是 ( )

A．甲、乙二人投篮命中率分别为 ０?６,０?７,

各投篮一次都投中的概率

B．甲、乙二人投篮命中率分别为０?６,０?７,在

甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率

C．有１０件产品,其中３件次品,抽２件产品

进行检验,恰好抽到一件次品的概率

D．小明上学路上要过四个路口,每个路口遇

到红灯的概率都是２

５

,小明在一次上学途

中遇到红灯的概率

２．已知A 与B 是两个事件,P(B)＝

１

４

,P(AB)

＝

１

８

,则P(A|B)等于 ( )

A．

１

３

B．

１

４

C．

３

８

D．

１

２

３．盒中装有１０个乒乓球,其中７个新球,３个

旧球,不放回地依次取出 ２个球,在第一次

取到新球的条件下,第二次也取到新球的概

率为 ( )

A．

１

４２

B．

５

９

C．

２

３

D．

２１

４５

４．甲、乙两市都位于长江下游,根据一百多年

来的气象记录,知道一年中下雨天的比例甲

市占 ２０％,乙 市 占 １８％,两 地 同 时 下 雨 占

１２％,记P(A)＝０．２,P(B)＝０．１８,P(AB)

＝０．１２,则P(A|B)和P(B|A)分别等于

( )

A．

１

３

,２

５

B．

２

３

,２

５

C．

２

３

,３

５

D．

１

２

,３

５

５．(多选)为庆祝建党１０１周年,讴歌中华民族

实现伟大复兴的奋斗历程,增进全体党员干

部职工对党史知识的了解,某单位组织开展

党史知 识 竞 赛 活 动．以 支 部 为 单 位 参 加 比

赛,某支部在５道党史题中(有３道选择题和

２道填空题),不放回地依次随机抽取２道题

作答,设事件 A 为“第１次抽到选择题”,事

件B 为“第２次抽到选择题”,则下列结论中

正确的是 ( )

A．P(A)＝

３

５

B．P(AB)＝

３

１０

C．P(B|A)＝

１

２

D．P(B|A?)＝

１

２

６．有五瓶墨水,其中红色一瓶,蓝色、黑色各两

瓶,某同学从中随机任取两瓶,若取得的两

瓶中有一瓶是蓝色,则另一瓶是红色或黑色

的概率为 ．

７．已知事件 A 和B 是互斥事件,P(C)＝

１

６

,

P(BC)＝

１

１８

,P(A∪B|C)＝

８

９

,则 P(A|C)

＝ ．

８．盒子里放着三张卡片,一张卡片两面都是红

色,一张卡片两面都是黑色,剩下的一张卡

片一面是红色一面是黑色．现在随机抽出一

张卡片,并展示它的一面的颜色．假设是红

色,那 么 剩 下 的 一 面 也 是 红 色 的 概 率 是

多少?

考察下面的解法:

随机从三张卡片中抽出一张,抽到任何一张

都是等概率的．如果抽出的卡片展示的一面

是红色,那么这张卡片有可能是两面全是红

色的那张,也可能是一面红一面黑的那张,

因此抽到的是两面全红的那张卡片的概率

是１

２

．

好像很简单,但请再换个问题研究一下:如

果展示出来的那一面是黑色,由上面的思路

可得抽到两面全是黑色的卡片的概率也是

?

?

?

?

?

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?

— ８７ —

班 级 姓 名 得 分

１

２

．所以,不管我们看到的是什么颜色,抽到

两面同色卡片的概率都是１

２

．这意味着虽然

三张卡片中只有两张是同色的卡片,但随机

抽到其中任何一张的概率都是１

２

．

肯定什么地方出错了．

请问:上述解法中,哪里出现错误呢?

９．已知口袋中有２个白球和４个红球,现从中

随机抽取两次,每次抽取１个．

(１)若采取放回的方法连续抽取两次,求两

次都取得白球的概率;

(２)若采取不放回的方法连续抽取两次,求

在第一次取出红球的条件下,第二次取出的

是红球的概率．

１０．已知３张奖券中只有１张有奖,甲、乙、丙３

名同学依次无放回地各抽一张．他们中奖

的概率与抽奖的次序有关吗?

能力提升练

１．若随机事件 A,B 满足P(A)＝

１

３

,P(B)＝

１

２

,P(A＋B)＝

３

４

,则P(A|B)＝ ( )

A．

２

９

B．

２

３

C．

１

４

D．

１

６

２．(多选)(２０２３?新课标Ⅱ卷 T１２)在信道内传

输０,１ 信号,信号的传输相互独立．发送 ０

时,收到１的概率为α(０＜α＜１),收到０的

概率为１－α;发送１时,收到０的概率为β(０

＜β＜１),收到１的概率为１－β．考虑两种传

输方案:单次传输和三次传输．单次传输是

指每个信号只发送１次,三次传输是指每个

信号重复发送 ３次．收到的信号需要译码,

译码规则如下:单次传输时,收到的信号即

为译码;三次传输时,收到的信号中出现次

数多的即为译码(例如,若依次收到１,０,１,

则译码为１)．下列正确的是 ( )

A．采用单次传输方案,若依次发送１,０,１,则依

次收到１,０,１的概率为(１－α)(１－β)２

B．采用三次传输方案,若发送１,则依次收到

１,０,１的概率为β(１－β)２

C．采用三次传输方案,若发送１,则译码为１

的概率为β(１－β)２＋(１－β)３

D．当０＜α＜０．５时,若发送０,则采用三次传

输方案译码为０的概率大于采用单次传

输方案译码为０的概率

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— ８８ —

班 级 姓 名 得 分

３．分别用集合 M＝{２,４,６,７,８,１１,１２}中的任

意两个元素作分子与分母构成真分数,已知

取出的一个元素是１２,则取出的另一个元素

与之构成可约分数的概率是 ．

４．某技术部门招工需经过四项考核,已知能够

通过 第 一、二、三、四 项 考 核 的 概 率 分 别 为

０?６,０?８,０?９和０?６５,各项考核是相互独立

的．每个应聘者都要经过四项考核,只要有

一项考核不通过即被淘汰．

(１)求该部门招工的淘汰率;

(２)求通过第一、三项考核但是仍被淘汰的

概率;

(３)假 设 考 核 按 第 一 项 到 第 四 项 的 顺 序 进

行,应聘者一旦经某项考核不合格即被淘汰

(不再参加后面的考核),求这种情况下的淘

汰率．

５．坛子里放着５个相同大小、相同形状的咸鸭

蛋,其中有３个是绿皮的,２个是白皮的．如

果不放回地依次拿出２个鸭蛋,求:

(１)第１次拿出绿皮鸭蛋的概率;

(２)第１次和第２次都拿出绿皮鸭蛋的概率;

(３)在第１次拿出绿皮鸭蛋的条件下,第２次

拿出绿皮鸭蛋的概率．

创新拓展练

近年来,中国的外卖行业发展迅猛,外卖小

哥穿梭在城市的大街小巷,成为一道道亮丽

的风景线．他们根据外卖平台提供的信息到

外卖店取单．某外卖小哥每天来往于r个外

卖店(外卖店的编号分别为１,２,?,r,其中r

≥３),约定:每天他首先从１号外卖店取单,

称为第１次取单,之后的每次取单,他都等

可能地前往从上次取单的店之外的r－１个

外卖店中的任何一个店取单,称为第n次取

单．设事件Ak＝{第k次取单恰好是从１号

店取单},P(Ak)是事件 Ak 发生的概率,显

然P(A１)＝１,P(A２)＝０,则 P(A３)＝

,P(Ak＋１)与 P(Ak)的 关 系 式 为

(k∈N∗ )．

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— ８９ —

班 级 姓 名 得 分

课时分层检测(十) 全概率公式

基础达标练

１．有朋自远方来,乘火车、船、汽车、飞机来的

概率分别为０?３,０?２,０?１,０?４,迟到的概率

分别为０?２５,０?３,０?１,０．则他迟到的概率为

( )

A．０?６５ B．０?０７５ C．０?１４５ D．０

２．已知某地区７％的男性和０．４９％的女性患色

盲．假如男性、女性各占一半,从中随机选一

人,则此人恰是色盲的概率是 ( )

A．０．０１２４５ B．０．０５７８６

C．０．０２８６５ D．０．０３７４５

３．冬天的北方室外温度极低,若轻薄保暖的石

墨烯发热膜能用在衣服上,将会大大地方便

人们的出行．某科研人员制作石墨烯发热膜

的过程分为三步,且第一步成功的概率为１

２

,

若第一步成功,第二步失败的概率为 ７

１０

,若

前两步成功,第三步失败的概率为 ９

１０

,则这

位科研人员成功制作出石墨烯发热膜的概

率为 ( )

A．

６３

２００

B．

３

２００

C．

２７

２００

D．

１３７

２００

４．(多选)箱子中有６个大小、材质都相同的小

球,其中４个红球,２个白球．每次从箱子中

随机地摸出一个球,摸出的球不放回．设事

件A 表示“第１次摸球,摸到红球”,事件 B

表示“第２次摸球,摸到红球”,则下列结论

正确的是 ( )

A．P(A)＝

２

３

B．P(B)＝

３

５

C．P(B|A)＝

２

５

D．P(B|A?)＝

４

５

５．学校有a,b两个餐厅,如果王同学早餐在a

餐厅用餐,那么他午餐也在a餐厅用餐的概

率是３

４

;如果他早餐在b餐厅用餐,那么他午

餐在a餐厅用餐的概率是１

４

．若王同学早餐

在a餐厅用餐的概率是３

４

,那么他午餐在a

餐厅用餐的概率是 ．

６．甲、乙两人比赛乒乓球,甲先发球．假设甲发

球不会失误,乙接甲发球的失误率为０?３,接

甲回球的成功率为０?５,若乙回球成功后,甲

回球的失误率为０?４,则乙在两个回合中丢

分的概率为 ．

７．人们为了解一支股票未来一定时期内价格

的变化,往往会去分析影响股票价格的基本

因素,比如利率的变化．现假设人们经分析

估计利率下调的概率为６０％,利率不变的概

率为４０％．根据经验,人们估计,在利率下调

的情 况 下,该 支 股 票 价 格 上 涨 的 概 率 为

８０％,而在利率不变的情况下,其价格上涨

的概率为４０％,则该支股票将上涨的概率为

．

８．２０２２年北京冬奥会的志愿者中,来自甲、乙、

丙三所高校的人数分别为:甲高校学生志愿

者７名,教职工志愿者２名;乙高校学生志愿

者６名,教职工志愿者３名;丙高校学生志愿

者５名,教职工志愿者４名．

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— ９０ —