高考命题遵照“价值引领、素养导向、能力为重、知识为基”的命制要求,考查内容在价
值引领和必备知识的基础上,突出对关键能力、思维品质和学科素养的考查,服务人才自
主培养质量提升,引导拔尖创新人才培养培育。我们需要深刻理解和把握课程标准基本
要求,贯彻高考评价体系命题理念。正确看待教与考的关系,加强教考衔接;正确对待新
与难的关系,实施有效的以“渔”得“鱼”的有效策略。
数学 数学
仰望星空,低头赶路,在高三复习备考中,遵循科学的复习计划,听从教
师高瞻远瞩的精心指导,搭配权威高效的复习资料,才能高效完成高考备战。
内容上:丰富教学资源,深拓展,析真题,巧迁移,设妙解,学与思,紧密结
合,讲与练,双剑合璧。
形式上:优化考点设置,各个击破,步步推进,寻根探源,拓展情境,教考衔
接,一览众山小。
积跬步而至千里。本书带领学生,巧用法,少用时,学规范;引领学生,明
解法,强能力,提素养。相信在本书的帮助下,学生可以快速突破关键点,高
考倍夺分。
高考命题更加注重弘扬学科核心价
值,落实立德树人根本任务;更加注重素
养导向,考查学生的关键能力;更加注重
教考衔接,推进基础教育课程改革;更加突
出服务选才功能,助力拔尖创新人才培养。
❶由考试评价工具到全面育人
载体 的 转 变。❷ 由 “解 题”到
“解决问题”的转变。❸由“以
纲定考”到“教考衔接”的转变。
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教师可以通过不同途径收集高考备
考信息,时刻关注高考的最新动态和变
化,不断学习和研究,积累经验和技巧,
从而更好地指导学生进行备考。
❶关注社会热点。❷关注国家
政策。❸关注国际形势。❹关
注 科 技 发 展。 ❺ 关 注 文 化
现象。
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学情备考是高三复习中的一个重要
环节,它要求教师深入了解学生的学习
情况,准确把握学生的学习短板,为备考
提供有针对性的指导。
❶知识漏洞。需要加强理解和
记忆。❷技能不足。需要加强
练习和提高。❸思维偏差。需
要培养正确的思维方式。❹粗
心大意。需要培养细致耐心的
解题习惯。
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“方向比努力更重要”。研究高考题
才能预测高考题。高考题是最好的备考
资料。认真研究历年的高考题就很容易
找出命题的轨迹,从而把握命题的方向。
❶历年试题整体研究找共性。
❷近年试题重点研究找趋势。
❸相同试题对比研究找变化。
❹不同试题分类研究找差别。
❺多省试题集中研究找动态。
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教材备考是把握高考题与教材内容
关系的关键。我们需要深入理解教材内
容,明确考点,联系高考题,积累知识和
经验,从而更好地应对高考。
❶深入理解教材。❷联系高考
题。❸ 明 确 考 点,延 伸 巩 固。
❹灵活运用教材内容。❺不断
练习和总结。
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第一章 集合与常用逻辑用语、不等式
第一节 集合 …………………………… 001
增分培优 容斥原理 ………………… 005
第二节 常用逻辑用语 ………………… 005
第三节 等式性质与不等式性质 ……… 009
第四节 基本不等式 …………………… 011
学考衔接 基本不等式链 …………… 014
第五节 一元二次方程、不等式 ……… 015
第二章 函数与基本初等函数
第一节 函数的概念及其表示 ………… 020
第二节 函数的单调性与最值 ………… 024
学考衔接 由教材引出的三类函数及应用
…………………………… 027
第三节 函数的奇偶性与周期性 ……… 030
第 课时 函数的奇偶性、对称性、周期
性 ……………………… 030
学考衔接 函数对称性的拓广结论
…………………………… 033
第 课时 函数性质的综合应用 … 035
增分培优 双对称推导周期 ………… 037
第四节 幂函数与二次函数 …………… 037
第五节 指数与指数函数 ……………… 041
第六节 对数与对数函数 ……………… 046
学考衔接 不同底不同真数对数值的大小
比较 ……………………… 049
第七节 函数的图象 …………………… 050
第八节 函数的零点与方程的解 ……… 055
增分培优 不动点与稳定点 ………… 057
第九节 函数模型的应用 ……………… 058
第三章 一元函数的导数及其应用
第一节 导数的概念、导数的运算 …… 061
第二节 导数在研究函数中的应用 …… 063
第 课时 导数与函数的单调性 … 063
第 课时 导数与函数的极值、最值
………………………… 065
增分培优 用高观点思维求解函数极值
问题 ……………………… 066
第 课时 函数中的同构问题 …… 067
第三节 核心专题突破 ………………… 069
第 课时 导数与不等式证明 …… 069
学考衔接 两个不等式“e
x ≥x+1,lnx≤
x-1”的活用 …………… 073
第 课时 导数与不等式恒成立 … 074
第 课时 导数与函数的零点 …… 076
第 课时 双变量问题 …………… 079
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培优微课 (一)导数压轴提分
微课1 泰勒展开式 ……………… 082
微课2 对数均值不等式 ………… 084
微课3 必要条件探路 …………… 086
微课4 虚设零点法 ……………… 088
第四章 三角函数
第一节 任意角和弧度制、三角函数的概念
………………………………… 090
学考衔接 弧度制的创新应用 ……… 093
第二节 同角三角函数基本关系式与诱导
公式 …………………………… 094
第三节 三角恒等变换 ………………… 097
第 课时 两角和与差的正弦、余弦和
正切公式 ……………… 098
第 课时 简单的三角恒等变换 … 100
第四节 三角函数的图象与性质 ……… 102
第 课时 三角函数的定义域、值域与单
调性 …………………… 103
第 课时 三角函数的周期性、奇偶性
与对称性 ……………… 105
增分培优 三角函数中ω 的求解
…………………………… 107
第五节 函数y=Asin(ωx+φ)及三角函
数的应用 ……………………… 109
第五章 平面向量及其应用、复数
第一节 平面向量的概念及线性运算
………………………………… 113
第二节 平面向量基本定理及坐标表示
………………………………… 116
第三节 平面向量的数量积 …………… 119
学考衔接 平面向量数量积的投影向量
的模运算 ………………… 122
第四节 平面向量的应用 ……………… 123
第 课时 平面向量在平面几何、物理
中的应用 ……………… 123
增分培优 极化恒等式 ……………… 126
第 课时 余弦定理和正弦定理 … 127
增分培优 射影定理 ………………… 130
第 课时 余弦定理、正弦定理的应用
………………………… 130
第五节 复数 …………………………… 134
第六章 数列
第一节 数列的概念 …………………… 137
第二节 等差数列 ……………………… 141
学考衔接 等差数列的一个充要条件
…………………………… 145
第三节 等比数列 ……………………… 146
增分培优 构造法求数列通项公式
…………………………… 149
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第四节 数列求和 ……………………… 151
第五节 数列的综合应用 ……………… 154
第 课时 教材引出的4类热点问题
………………………… 154
第 课时 数列的综合问题 ……… 158
第七章 立体几何与空间向量
第一节 空间几何体的结构特征、表面积与
体积 …………………………… 161
第 课时 空间几何体及其表面积、体积
………………………… 163
第 课时 球的切、接问题 ………… 166
增分培优 球与几何体的相交问题 … 167
第二节 空间点、直线、平面之间的位置关系
………………………………… 168
学考衔接 异面直线的判定 ………… 171
第三节 空间直线、平面的平行 ……… 172
第四节 空间直线、平面的垂直 ……… 177
增分培优 立体几何中的截面、动态问题
…………………………… 181
第五节 空间向量及空间位置关系 …… 184
第六节 空间向量的应用 ……………… 189
第 课时 用空间向量求空间距离
………………………… 190
第 课时 用空间向量求空间角 … 193
增分培优 利用面面垂直性质定理巧建
空间直角坐标系 ………… 195
第八章 平面解析几何
第一节 直线的倾斜角与斜率、直线方程
………………………………… 197
第二节 直线的交点坐标与距离公式 … 200
第三节 圆的方程 ……………………… 203
第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系
………………………………… 206
学考衔接 阿波罗尼斯圆 …………… 209
第五节 椭圆 …………………………… 210
第 课时 椭圆及其简单几何性质
………………………… 212
第 课时 直线与椭圆的位置关系
………………………… 214
第六节 双曲线 ………………………… 217
第 课时 双曲线及其简单几何性质
………………………… 218
学考衔接 一组教材例题的推广 …… 220
第 课时 直线与双曲线的位置关系
………………………… 222
第七节 抛物线 ………………………… 224
第八节 核心专题突破 ………………… 229
第 课时 求值、证明、探索性问题 … 229
第 课时 最值、范围问题 ………… 231
第 课时 定点问题 ……………… 234
第 课时 定直线、定值问题 ……… 235
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培优微课 (二)圆锥曲线压轴提分
微课1 简化运算常用的三种方法 … 239
微课2 运用高观点处理定点问题 … 242
微课3 圆锥曲线中的角平分线问题
…………………………… 245
第九章 统计与成对数据的统计分析
第一节 随机抽样、统计图表 ………… 246
学考衔接 分层随机抽样均值的易错点
…………………………… 251
第二节 用样本估计总体 ……………… 252
第三节 成对数据的统计分析 ………… 257
第十章 计数原理、概率、随机变量及
其分布
第一节 两个计数原理 ………………… 264
第二节 排列与组合 …………………… 266
第三节 二项式定理 …………………… 269
第四节 随机事件、古典概型 ………… 272
第五节 事件的相互独立性、条件概率与
全概率公式 …………………… 276
第六节 离散型随机变量及其分布列与数
字特征 ………………………… 282
第七节 二项分布、超几何分布、正态分布
………………………………… 285
第八节 概率与统计的交汇问题 ……… 290
培优微课 “新定义”解答题新题型
研练 ……………………… 291
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附:
核心微练(单独成册)
教 师|配 套|资 源
微
在
字
里
赢
在
行
间
第 一 章
集 合 与 常 用 逻 辑 用 语 、 不 等 式
第一节 集合
【课程标准】 1.了解集合的含义,元素与集合的属于关系,能用列举法或描述法表示集合;2.理解集合之间包含与
相等的含义,能识别给定集合的子集,了解全集与空集的含义;3.理解并会求并集、交集、补集,能用 Venn图表示集
合的关系与运算。
主干知识 整 合 回扣知识·基础落实 学生用书 P001
【基础梳理】
1.集合与元素
(1)集合元素的三个特征:确定性、互异性、无序性。
(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系,用符号
∈或∉表示。
(3)集合的表示法:列举法、描述法、图示法。
(4)常见数集的记法
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N
* 或 N+ Z Q R
[微点清] (1)集合的元素满足互异性;(2)N 为自然
数集(即非负整数集),包含0,而 N
* (N+ )表示正整数集,
不包含0。
2.集合间的基本关系
表示
关系
自然语言 符号语言 图形语言
子集
集合 A 中任
意一 个 元 素
都 是 集 合 B
中的元素
A⊆B(或 B⊇
A)
或
真子集
集合 A⊆B,
但 存 在 元 素
x∈B,且x∉
A
A⫋B(或 B⫌
A)
续表
表示
关系
自然语言 符号语言 图形语言
集合
相等
集 合 A,B
中元素相同
A=B
[微点清] (1)空集是任何集合的子集,是任何非空
集合的真子集,应时刻关注对空集的讨论;(2)任何集合都
是自身的子集,即A⊆A;(3)⌀是指不含任何元素的集合,
{⌀}是指以⌀为元素的集合。
3.集合的基本运算
类别
表示
并集 交集 补集
图形
语言
符号
语言
A∪B={x|
x∈A,或 x
∈B}
A∩B={x|x
∈A,且 x ∈
B}
∁UA = {x|x
∈U,且 x ∉
A}
[微点清] 集合的基本运算有以下性质:
(1)A∪⌀=A,A∪A=A,A⊆(A∪B),B⊆(A∪B)。
(2)A∩⌀=⌀,A∩A=A,A∩B⊆A,A∩B⊆B。
(3)A∩B=A∪B⇔A=B。
(4)A ⊆B ⇔A ∩B =A ⇔A ∪B =B ⇔ (∁UA)⊇
(∁UB)⇔A∩(∁UB)=⌀。
(5)A∩(∁UA)=⌀;A∪(∁UA)=U;∁U(∁UA)=A。
(∁UA )∩ (∁UB )= ∁U (A∪B),(∁UA )∪ (∁UB )=
∁U (A∩B)。
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001
赢在微点 高考复习顶层设计 数学
教
师
用
书
【知识延伸】
1.Venn图的应用
如图所示,用集合 A,B 表示图中Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ 四个
部分 所 表 示 的 集 合 分 别 是 A ∩B,A∩ (∁UB),B ∩
(∁UA),∁U (A∪B)。
2.集合的子集个数
若有限集合 A 中有n 个元素,则集合 A 的子集个数
为2
n ,真子集的个数为2
n -1,非空真子集的个数为2
n -2。
3.容斥原理
用card(A)表示有限集合 A 中元素的个数。对任意
两个有限集合A,B,有card(A∪B)=card(A)+card(B)
-card(A∩B)。
【小题自测】
1.已知集合A={x|x
2<2,x∈Z},则 A 的真子集的个数
为 (D )
A.3 B.4 C.6 D.7
解析 因为A={x|x
2<2,x∈Z}={-1,0,1},所以其
真子集的个数为2
3-1=7。故选 D。
2.(2023·新高考Ⅰ卷)已知集合 M ={-2,-1,0,1,2},
N={x|x
2-x-6≥0},则 M∩N= (C )
A.{-2,-1,0,1} B.{0,1,2}
C.{-2} D.{2}
解析 因为 N={x|x
2-x-6≥0}=(-∞,-2]∪[3,
+∞),而 M={-2,-1,0,1,2},所以 M ∩N={-2}。
故选 C。
3.(多选题)已知集合P={x|x
2=4},N为自然数集,则
(AB)
A.2∈P B.P={-2,2}
C.{⌀}⊆P D.P⫋N
解析 P={x|x
2 =4}={-2,2},故2∈P,故 A,B正
确。⌀不是P 中的元素,故 C错误。因为-2∉N,故 D
错误。
4.已知集合A={m+2,2m
2+m},若3∈A,则 m 的值为
-
3
2
。
解析 当 m+2=3时,m=1,此时,m+2=2m
2 +m=
3,故舍去;当2m
2 +m=3时,解得 m=-
3
2
(m=1舍
去)。
5.(教材改编)已知集合A={x|0<x<a},B={x|1<x
<2},若B⊆A,则实数a 的取值范围是 [2,+∞)。
解析 由图可知a≥2。
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关键能力 突 破 考向探究·题型剖析 学生用书 P002
类型一 集合的概念 ……………………… 自练自悟
1.已知集合A= x x∈Z,且
3
2-x
∈Z ,则集合 A 中的
元素个数为 (C )
A.2 B.3 C.4 D.5
解析 因为 x∈Z,且
3
2-x
∈Z,所 以 2-x 的 取 值 有
-3,-1,1,3,所以x 的值分别为5,3,1,-1,故集合 A
中的元素个数为4。故选 C。
2.设集合A={(x,y)|y=x},B={(x,y)|y=x
2},则集
合A∩B 的元素个数为 (C )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析 如图,函数y=x 与y=x
2 的图象有两个交点,
故集合A∩B 有两个元素。故选 C。
3.(多选题)下列结论中正确的有 (ACD)
A.{x|x+y=1}={y|x+y=1}
B.{(x,y)|x+y=2}={x|x+y=2}
C.{x|x>2}={y|y>2}
D.{1,2}={2,1}
解析 x+y=1中,x 的取值范围为 R,所以{x|x+y
=1}=R,同理{y|x+y=1}=R,所以 A 正确;{(x,y)
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002
第一章 集合与常用逻辑用语、不等式
微
在
字
里
赢
在
行
间
|x+y=2}表示直线x+y=2上点的集合,而{x|x+y
=2}=R,所以 B错误;集合{x|x>2},{y|y>2}都表
示大于2的实数构成的集合,所以 C正确;由于集合中
的元素具有无序性,所以{1,2}={2,1},所以 D 正确。
故选 ACD。
4.已知集合 A={12,a
2 +4a,a-2},且 -3∈A,则a=
-3 。
解析 因为-3∈A,所以-3=a
2 +4a 或-3=a-2。
若-3=a
2 +4a,解得a= -1或a= -3。当a= -1
时,a
2+4a=a-2=-3,不满足集合中元素的互异性,
故舍去;当a=-3时,集合 A={12,-3,-5},满足题
意,故a=-3成立。若-3=a-2,解得a=-1,由上
述讨论可知,不满足题意,故舍去。综上所述,a=-3。
与集合中元素有关问题的求解步骤
(1)确定集合的元素是什么,集合是数集还是点集;
(2)看这些元素满足什么限制条件;
(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元
素的个数,但要注意检验集合是否满足元素的互异性。
类型二 集合间的基本关系
【例1】 (1)已知集合A={x|y=ln(x-2)},B={x|x≥
-3},则下列结论正确的是 (C )
A.A=B B.A∩B=⌀
C.A⫋B D.B⊆A
解析 由题 设,可 得 A = {x|x>2},又 B= {x|x≥
-3},所以A 是B 的真子集,故 A,B,D错误,C正确。
(2)(2024·南京市、盐城市模拟)设集合 M = x x=
k
2
,k∈Z ,N= x x=k+
1
2
,k∈Z ,则 (B )
A.M⫋N B.N⫋M
C.M=N D.M∩N=⌀
解析 因为0∈M,0∉N,所以 A,C不正确;因为
1
2
∈
M,
1
2
∈N,所以 D不正确。故选 B。
(3)设集合A={x|-1≤x+1≤2},B={x|m-1≤x≤
2m+1},当x∈Z时,集合 A 的真子集有 15 个;当 B
⊆A 时,实数m 的取值范围是 (-∞,-2)∪[-1,0]。
解析 A= {x|-2≤x≤1},若 x∈Z,则 A = {-2,
-1,0,1},故集合 A 的真子集有2
4 -1=15(个)。由
B⊆A,得①若B=⌀,则2m+1<m-1,即m<-2,②
若B≠ ⌀,则
2m+1≥m-1,
2m+1≤1,
m-1≥-2,
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??
??
解得-1≤m≤0,综上,实
数 m 的取值范围是(-∞,-2)∪[-1,0]。
判断两集合关系的常用方法
1.化简集合法:用描述法表示的集合,若代表元素
的表达式比较复杂,往往需化简表达式,再寻求两个集
合的关系。
2.数形结合法:利用数轴或 Venn图直观判断。
易错提醒 当B 为A 的子集时,易漏掉B=⌀的情
况而致误。
【变式训练】 (1)(多选题)已知非空集合 M 满足:①M ⊆
{-2,-1,1,2,3,4},②若x∈M,则x
2 ∈M。则集合
M 可能是 (AC)
A.{-1,1} B.{-1,1,2,4}
C.{1} D.{1,-2,2}
解析 由题意可知3∉M 且4∉M,而-2或2与4同
时出现,所以-2∉M 且2∉M,所以满足条件的非空集
合 M 有{-1,1},{1}。故选 AC。
(2)函数f(x)= x
2-2x-3的定义域为 A,集合B=
{x|-a≤x≤4-a},若B⊆A,则实数a 的取值范围是
(-∞,-3]∪[5,+∞)。
解析 由x
2 -2x-3≥0,得x≥3或x≤-1,即 A=
{x|x≥3或x≤-1}。因为B⊆A,显然B≠ ⌀,所以4
-a≤-1或-a≥3,解得a≥5或a≤-3,故实数a 的
取值范围是(-∞,-3]∪[5,+∞)。
类型三 集合的运算 ………………………… 微专题
角度❶:集合的基本运算
【例2】 (1)(2023·天津卷)已知集合U={1,2,3,4,5},
A={1,3},B={1,2,4},则A∪(∁UB)= (A )
A.{1,3,5} B.{1,3}
C.{1,2,4} D.{1,2,4,5}
解析 因为U={1,2,3,4,5},B={1,2,4},所以∁UB
={3,5}。又A={1,3},所以A∪(∁UB)={1,3}∪{3,
5}={1,3,5}。故选 A。
(2)(2023·全国乙卷)设集合U=R,集合 M={x|x<
1},N={x|-1<x<2},则{x|x≥2}= (A )
A.∁U (M∪N) B.N∪(∁UM)
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003
赢在微点 高考复习顶层设计 数学
教
师
用
书
C.∁U (M∩N) D.M∪(∁UN)
解析 由题意可得 M∪N ={x|x<2},则∁U (M ∪N)
={x|x≥2},选项 A 正确;∁UM ={x|x≥1},则 N ∪
∁UM={x|x>-1},选项 B错误;M ∩N={x|-1<x
<1},则∁U (M∩N)={x|x≤-1或x≥1},选项 C错
误;∁UN={x|x≤-1或x≥2},则 M∪∁UN={x|x<
1或x≥2},选项 D错误。故选 A。
集合运算的常用方法
1.若集合中的元素是离散的,则常用 Venn图求解。
2.若集合中的元素是连续的实数,则用数轴求解,
此时要注意端点的取舍。
角度❷:利用集合的运算求参数
【例3】 (2024· 盐 城 模 拟)已 知 集 合 A = x
x-1
x-a
<
0 ,若A∩N
* =⌀,则实数a 的取值范围是 (D )
A.{1} B.(-∞,1)
C.[1,2] D.(-∞,2]
解析 由题意,得A={x|(x-1)(x-a)<0},当a>1
时,A={x|1<x<a},因为 A∩N
* =⌀,所以1<a≤
2;当a<1时,A={x|a<x<1},因为 A∩N
* =⌀,所
以a<1;当a=1时,A=⌀,满足题意。综上所述,实
数a 的取值范围为(-∞,2]。故选 D。
利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法
1.与不等式有关的集合,一般利用数轴解决,要注
意端点值能否取到。
2.若集合中的元素能一一列举,则一般先用观察法
得到不同集合中元素之间的关系,再列方程(组)求解。
角度❸:集合的新定义问题
【例4】 (2024·高三名校模拟)对于非空集合A={a1,a2,
a3,…,an}(ai≥0,i=1,2,3,…,n),其所有元素的几何平
均数记为E(A),即E(A)=
na1·a2·a3·…·an 。若非
空数 集 B 满 足 下 列 两 个 条 件:①B ⫋A;②E(B)=
E(A),则称B 为 A 的 一 个 “保 均 值 真 子 集”,则 集 合
A={1,2,4,8,16}的“保均值真子集”的个数为 (C )
A.2 B.4 C.6 D.8
解析 因 为 集 合 A = {1,2,4,8,16},则 E (A)=
5
1×2×4×8×16=4,所以,集合{1,2,4,8,16}的“保
均值真子集”有:{4},{1,16},{2,8},{1,4,16},{2,4,
8},{1,2,8,16},共6个。故选 C。
解决集合新定义问题的关键
解决 新 定 义 问 题 时,一 定 要 读 懂 新 定 义 的 本 质 含
义,紧扣题目所给定义,结合题目所给定义和要求进行
恰当转化,切忌同已有概念或定义相混淆。
【题组对点练】
题号 1 2 3 4
角度 ❶ ❶ ❷ ❸
1.(2024·武汉市质检)若集合 A={x∈N
*|x 是4与10
的公倍数},B={x∈R|x
2≤1000},则A∩B= (C )
A.⌀ B.{-20,20}
C.{20} D.{20,30}
解析 因 为 A={x∈N
*|x 是 4 与 10 的 公 倍 数}=
{x∈N
*|x=20k,k∈N
* }={20,40,60,…},B={x∈
R|x
2≤1000},20
2 =400≤1000,40
2 =1600>1000,
所以A∩B={20}。故选 C。
2.(2023·苏北四市调研)若非空且互不相等的集合 M,
N,P 满足:M∩N=M,N∪P=P,则 M∪P= (C )
A.M B.N C.P D.⌀
解析 因为 M∩N=M,所以 M⊆N,因为 N∪P=P,
所以 N⊆P,所以 M⊆P,所以 M∪P=P。故选 C。
3.已知集合 A={x∈Z|x
2 -4x-5<0},B={x|4
x >
2
m },若A∩B 有三个元素,则实数 m 的取值范围是
(C )
A.[3,6) B.[1,2)
C.[2,4) D.(2,4]
解析 因为 A={x∈Z|-1<x<5}={0,1,2,3,4},
B= x x>
m
2 ,A∩B 有三个元素,所以1≤
m
2
<2,即
2≤m<4。故选 C。
4.设有限集合A={a1,a2,…,an},则∑
n
i=1
ai 叫做集合A 的
和,记作SA 。若集合 P={x|x=2n-1,n∈N
* ,n≤
4},集合P 的含有3个元素的全体子集分别为 P1,P2,
…,Pk,则∑
k
i=1
SPi = 48 。
解析 由题意知集合 P={1,3,5,7},其三元素子集为
{1,3,5},{1,3,7},{1,5,7},{3,5,7},故∑
k
i=1
SPi =9+11
+13+15=48。
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004
第一章 集合与常用逻辑用语、不等式
微
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赢
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行
间
学生用书 P004
容斥原理
教材人教 A 版必修第一册第15页“阅读与思考”介
绍了容斥原理的相关内容,目的是确定有关集合的元素
个数问题。
容斥原理:容斥原理实质上就是一种计数方法,在计
数时我们先不考虑重叠的情况,把包含于某内容中的所
有对象的数目先计算出来,然后把计数时重复计算的数
目排斥出去,最终使得计算结果既无遗漏又无重复。
(1)二元容斥原理
card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)
(2)三元容斥原理
card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-
card(A∩B)-card(B∩C)-card(C∩A)+card(A∩B∩C)。
【典例】 “生命在于运动”,某学校教师在普及程度比较高
的三个体育项目———乒乓球、羽毛球、篮球中,会打乒乓
球的教师人数为30,会打羽毛球的教师人数为60,会打
篮球的教师人数为20,若会至少其中一个体育项目的教
师人数为80,且三个体育项目都会的教师人数为5,则会
且仅会其中两个体育项目的教师人数为 。
【解析】 首先设A={x|x 是会打乒乓球的教师},B=
{x|x 是会打羽毛球的教师},C={x|x 是会打篮球的
教师},根 据 题 意 得 到 card(A)=30,card(B)=60,
card(C)=20,card(A∪B∪C)=80,card(A∩B∩C)=
5,再使用三元容斥原理得card(A∪B∪C)=card(A)
+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-
card(C∩A)+card(A ∩B ∩C),有 card(A ∩B)+
card(B∩C)+card(C∩A)=35,而 card(A ∩B)+
card(B∩C)+card(C∩A)中把A∩B∩C 的区域计算
了3次,于是要减掉这3次,才能得到会且仅会其中两
个体育项目的教师人数。因此会且仅会其中两个体育
项目的教师人数为35-3×5=20。
【答案】 20
【训练】 某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有96%
的学生喜欢足球或游泳,60%的学生喜欢足球,82%的
学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生
数占该校学生总数的比例是 (C )
A.62% B.56% C.46% D.42%
解析 设该中学的学生总数为 m,喜欢足球的学生组
成集合A,喜欢游泳的学生组成集合 B,则card(A)=
60%m,card(B)=82%m,card(A∪B)=96%m,所以
card(A ∩B)=card(A)+card(B)-card(A∪B)=
46%m。故选 C。
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第二节 常用逻辑用语
【课程标准】 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义;理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学
定义与充要条件的关系;2.理解全称量词与存在量词的意义;能正确地对全称量词命题和存在量词命题进行否定。
主干知识 整 合 回扣知识·基础落实 学生用书 P005
【基础梳理】
1.充分条件与必要条件
(1)命题的概念:用语言、符号或式子表达的,可以判
断真假的陈述句叫做命题。判断为真的语句是真命题,判
断为假的语句是假命题。
(2)充分条件与必要条件
①若p⇒q 且q/⇒p,则p 是q 的充分不必要条件。
②若q⇒p 且p/⇒q,则p 是q 的必要不充分条件。
③若p⇒q 且q⇒p,则p 是q 的充要条件。
④若p/⇒q 且q/⇒p,则p 是q 的既不充分也不必要
条件。
[微点清] 若 p,q 以集合的形式出现,即 A={x|
p(x)},B={x|q(x)}。区分 A 是B 的充分不必要条件
(A⇒B 且B/⇒A)与A 的充分不必要条件是B(B⇒A 且A
/⇒B)两者的不同。若A⫋B,则p 是q的充分不必要条件,q
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005
赢在微点 高考复习顶层设计 数学
教
师
用
书
是p 的必要不充分条件。若A=B,则p 是q的充要条件。
2.全称量词与存在量词
(1)全称量词与存在量词
全称量词:短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫
做全称量词,并用符号“∀”表示。
存在量词:短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通
常叫做存在量词,并用符号“∃”表示。
[微点清] 全称量词是“全部”的含义,不能有例外;
存在量词是“部分”的含义,不能是“全部”。
(2)全称量词命题和存在量词命题
名称 全称量词命题 存在量词命题
结构
对 M 中 任 意 一 个 x,
p(x)成立
存在 M 中 的 元 素x,
p(x)成立
简记 ∀x∈M,p(x) ∃x∈M,p(x)
否定 ∃x∈M,?p(x) ∀x∈M,?p(x)
[微点清] 含有一个量词的命题的否定规律是“改量
词,否结论”。对省略了全称量词的命题否定时,要对原命
题先加上全称量词再对其否定。
【知识延伸】
1.若p 是q 的充分不必要条件,则q 是p 的必要不
充分条件。
2.p 是q 的充分不必要条件,等价于?q 是?p 的充
分不必要条件。
3.命题p 和?p 的真假性相反,若判断一个命题的
真假有困难时,可判断此命题的否定的真假。
【小题自测】
1.已知p:x(x-1)=0,q:x=1,则p 是q 的 (B )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 x(x-1)=0⇒x=0或x=1,因此由p:x(x1)=0不一定能推出q:x=1,但是由q:x=1一定能推
出p:x(x-1)=0,所以p 是q 的必要不充分条件。故
选 B。
2.命题“∀x∈R,e
x -1≥x”的否定是 (C )
A.∃x∈R,e
x -1≥x B.∀x∈R,e
x -1≤x
C.∃x∈R,e
x -1<x D.∀x∈R,e
x -1<x
解析 由 题 意 得 命 题“∀x∈R,e
x -1≥x”的 否 定 是
“∃x∈R,e
x -1<x”。故选 C。
3.(教材改编)命题“三角形是等边三角形”是命题“三角形
是等腰三角形”的 (A )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 由“三角形是等边三角形”可得到“该三角形一定
是等腰三角形”,但反之不成立。故选 A。
4.(教材改编)命题“有一个偶数是素数”的否定是 任意一
个偶数都不是素数 。
5.使-2<x<2成立的一个充分条件是 0<x<2(答案
不唯一)。(答案不唯一,写出一个即可)
解析 只要是{x|-2<x<2}的一个子集都是使-2<
x<2成立的充分条件,如-2<x<2,或0<x<2等。
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关键能力 突 破 考向探究·题型剖析 学生用书 P006
类型一 充分条件、必要条件的判定
【例1】 (1)(2024·广州市调研)已知p:(x+2)(x-3)
<0,q:|x-1|<2,则p 是q 的 (B )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 由题意知p:-2<x<3,q:-1<x<3。因为
(-1,3)⫋(-2,3),所以q 是p 的充分不必要条件,p
是q 的必要不充分条件。故选 B。
(2)(2023· 全 国 甲 卷)“sin
2α+sin
2
β=1”是 “sinα+
cosβ=0”的 (B )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 当sin
2α+sin
2
β=1时,例如α=
π
2
,β=0,此时
sinα+cosβ≠0,即 sin
2α+sin
2
β=1 推 不 出 sinα+
cosβ=0;当 sinα +cosβ=0 时,sin
2α +sin
2
β=
(-cosβ)2+sin
2
β=1,即sinα+cosβ=0能推出sin
2α
+sin
2
β=1。综 上 可 知,“sin
2α+sin
2
β=1”是“sinα+
cosβ=0”的必要不充分条件。故选 B。
充分、必要条件的两种判定方法
1.定义法:根 据 p⇒q,q⇒p 进 行 判 断,适 用 于 定
义、定理判断性问题。
2.集合法:根据p,q 对应的集合之间的包含关系进
行判断,多适用于条件中涉及参数范围的推断问题。
【变式训练】 (1)(2023·天津卷)“a
2 =b
2”是“a
2 +b
2 =
2ab”的 (B )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
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006
第一章 集合与常用逻辑用语、不等式
微
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C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 由a
2=b
2 得|a|=|b|,即a=b或a=-b;由a
2
+b
2=2ab得a
2+b
2-2ab=(a-b)2 =0,即a=b。因
为a
2=b
2 不能推断a
2+b
2=2ab,但a
2+b
2=2ab能推
断a
2=b
2,所以“a
2=b
2”是“a
2 +b
2 =2ab”的必要不充
分条件。故选 B。
(2)设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,则“a1 <0
且0<q<1”是“对于任意n∈N
* 都有an+1>an”的
(A )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 因为an+1=anq,所以“a1 <0且0<q<1”⇒“对
于任意n∈N
* 都有an+1 >an”;“对于任意n∈N
* 都有
an+1>an”推不出“a1<0且0<q<1”,如an =2
n ,满足
an+1>an,n∈N
* ,但a1=2,q=2,所以“a1 <0且0<q
<1”是“对于任意n∈N
* 都有an+1 >an”的充分不必要
条件。故选 A。
类型二 充分条件与必要条件的应用
【例2】 (1)(2023·苏北四市调研)设p:4x-3<1;q:x
-(2a+1)<0。若p 是q 的充分不必要条件,则 (A )
A.a>0 B.a>1 C.a≥0 D.a≥1
解析 p:x<1,q:x<2a+1。依题意得2a+1>1,解
得a>0。故选 A。
(2)(2024·济南市学情检测)“x>y”的一个充分条件
可以是 (D )
A.2
x-y >
1
2
B.x
2>y
2
C.
x
y
>1 D.xt
2>yt
2
解析 因为由xt
2 >yt
2 可得x>y,但由x>y 不能得
xt
2>yt
2,所以xt
2 >yt
2 是x>y 的充分条件,所以选
项 D符合题意。由2
x-y >
1
2
=2
-1,得x-y>-1,当x
=1,y=
3
2
时 成 立,所 以 由 2
x-y >
1
2
不 能 推 出 x>y。
由x
2>y
2 可得|x|>|y|,不一定能推出x>y,例如当
x=-3,y=2时,x
2>y
2 成立,但x>y 不成立。若
x
y
>1,当y<0时,可得x<y。因此,选项 A,B,C均不符
合题意。故选 D。
充分条件、必要条件的应用一般表现在参数的求解
问题上,解题时通常把充分条件、必要条件或充要条件
转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出
关于参数的不等式(或不等式组)求解。解题过程中要
注意检验区间的端点值。
【变式训练】 (1)“a·b=|a||b|”是“a 与b 共线”的
(A )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 因为a·b=|a||b|cos<a,b>=|a||b|,所 以
cos<a,b>=1,因为<a,b>∈[0,π],所以<a,b>=0,所以
a 与b 共线,当a 与b 共线时,<a,b>=0或<a,b>=π,
所以a·b=|a||b|cos<a,b>=|a||b|或a·b=
|a||b|cos<a,b>=-|a||b|,所以“a·b=|a||b|”是
“a 与b 共线”的充分不必要条件。故选 A。
(2)已知集合 A= x
x-2
x+1
≤0 ,x∈A 的一个必要条
件是x≥a,则实数a 的取值范围为 (C )
A.a<0 B.a≥2
C.a≤-1 D.a≥-1
解析 解 不 等 式
x-2
x+1
≤0,即
(x+1)(x-2)≤0, x+1≠0,
得
-1<x≤2,故A={x|-1<x≤2}。因为x∈A 的一
个必要条件是x≥a,所以A={x|-1<x≤2}⊆{x|x
≥a},所以a≤-1。故选 C。
类型三 全称量词与存在量词 …………… 微专题
角度❶:含有量词的命题的否定
【例3】 (1)已知命题p:∃n∈N,n
2 ≥2n+5,则p 的否
定为 (C )
A.∀n∈N,n
2≥2n+5 B.∃n∈N,n
2≤2n+5
C.∀n∈N,n
2<2n+5 D.∃n∈N,n
2=2n+5
解析 由存在量词命题的否定可知,p 的否定为∀n∈
N,n
2<2n+5。所以 C正确,A,B,D错误。故选 C。
(2)命题“奇函数的图象关于原点对称”的否定是 (C )
A.所有奇函数的图象都不关于原点对称
B.所有非奇函数的图象都关于原点对称
C.存在一个奇函数的图象不关于原点对称
D.存在一个奇函数的图象关于原点对称
解析 全称量词命题“所有奇函数的图象关于原点对
称”的否定是存在量词命题,所以命题“奇函数的图象关
于原点对称”的否定是“存在一个奇函数的图象不关于
原点对称”。故选 C。
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007
赢在微点 高考复习顶层设计 数学
教
师
用
书
全称量词命题与存在量词命题的否定
1.改写量词:确定命题所含量词的类型,若命题中
无量词,则要结合命题的含义加上量词,再对量词进行
改写。
2.否定结论:对原命题的结论进行否定。
角度❷:由命题的真假求参数的取值范围
【例4】 (1)命题“∀x∈(1,2),log2x-a<0”为真命题的
一个充分不必要条件是 (B )
A.a≥0 B.a≥2 C.a≥1 D.a≤4
解析 由题意得,当x∈(1,2)时,a>log2x 恒成立,则
a≥1,结合选项,命题是真命题的一个充分不必要条件
是a≥2。故选 B。
(2)若命题“∃x∈R,x
2+2ax+2-a=0”是假命题,则
实数a 的取值范围是 (-2,1)。
解析 因为命题“∃x∈R,x
2 +2ax+2-a=0”是假命
题,所以∀x∈R,x
2 +2ax+2-a≠0,所以 Δ=4a
2 -
4(2-a)<0,即a
2+a-2<0,所以-2<a<1。
根据全称、存在量词命题的真假求参数的方法
1.巧用三个转化
(1)全称量词命题可转化为恒成立问题;
(2)存在量词命题可转化为存在性问题;
(3)全称量词命题、存在量词命题为假命题可转化
为它的否定为真命题。
2.准确计算
通过解方程(组)或不等式(组)求出参数的值或取
值范围。
【题组对点练】
题号 1 2
角度 ❶ ❷
1.(2024·大连市双基测试)已知命题p:∃x∈R,x
2 -x
+1<0,则?p 是 (B )
A.∃x∈R,x
2-x+1≥0 B.∀x∈R,x
2-x+1≥0
C.∀x∈R,x
2-x+1<0 D.∀x∈R,x
2-x+1>0
解析 由存在量词命题的否定为全称量词命题,知命题
p:∃x∈R,x
2 -x+1<0的否定?p:∀x∈R,x
2 -x
+1≥0。故选 B。
2.若“∃x∈[1,2],2x
2 -λx+1<0”是假命题,则实数λ
的取值范围是 (C )
A.(-∞,2 2] B. 2 2,
9
2
C.(-∞,3] D.
9
2
,+∞
解析 若“∃x∈[1,2],2x
2 -λx+1<0”是假命题,则
“∀x∈[1,2],2x
2 -λx+1≥0”是真命题,即∀x∈[1,
2],λ≤2x+
1
x
。令 f(x)=2x+
1
x
,x∈ [1,2],则
f'(x)=2-
1
x
2 =
2x
2-1
x
2 >0,则f(x)在[1,2]上单调递
增,所以f(x)min=f(1)=3,则λ≤3。故选 C。
易错分析:隐含量词的命题的否定
在全称量词与存在量词命题的否定中隐含量词的命
题的否定是一个易错点,这种问题首先补出量词再进行
否定,以避免出错。
【源于教材】 (人教 A 版必修第一册第32页第6题)在
数学中,有 很 多“若 p,则q”形 式 的 命 题,有 的 是 真 命
题,有的是假命题。例如:
①若x>1,则2x+1>5;(假命题)
②若四边形为等腰梯形,则这个四边形的对角线相等。
(真命题)
这里,命题①②都是省略了量词的全称量词命题。
有人认为,①的否定是“若x>1,则2x+1≤5”,②的否
定是“若四边形为等腰梯形,则这个四边形的对角线不
相等”。你认为对吗? 如果不对,请你正确地写出命题
①②的否定,并判断真假。
【错误分析】 ①中“若x>1”指的是“对任意实数x>1”,
其否定时应为“存在一个实数x,满足x>1”;②中“若
四边形是 等 腰 梯 形”指 的 是 “四 边 形 中 所 有 的 等 腰 梯
形”,其否定应为“存在一个四边形,它为等腰梯形”。总
之,合理补全量词再进行否定才是正确的解法。
【正确解答】 解 ①存在一个实数x,满足x>1,但2x
+1≤5;真命题。
②存在一个四边形,它为等腰梯形,但它的对角线不相
等;假命题。
写出下列命题的否定并判断真假:
(1)若x∈R,则sinx≥0;(2)菱形的对角线互相垂直;
(3)若b>a>0,m>0,则
b
a
>
b+m
a+m
。
解 (1)∃x∈R,使sinx<0,真命题;(2)存在一个菱
形,它的对角线不互相垂直,假命题;(3)存在实数a,b,
m,满足b>a>0,m>0,使
b
a
≤
b+m
a+m
成立,假命题。
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008
第一章 集合与常用逻辑用语、不等式
微
在
字
里
赢
在
行
间
第三节 等式性质与不等式性质
【课程标准】 1.梳理等式的性质,理解不等式的概念;2.会比较两个数(式)的大小;3.理解不等式的性质,掌握不
等式性质的简单应用。
主干知识 整 合 回扣知识·基础落实 学生用书 P009
【基础梳理】
1.两个实数比较大小的方法
作差法
a-b>0⇔a>b,
a-b=0⇔a=b,
a-b<0⇔a<b。
?
?
?
??
??
(a,b∈R)
2.等式的性质
性质1 对称性:如果a=b,那么b=a;
性质2 传递性:如果a=b,b=c,那么a=c;
性质3 可加(减)性:如果a=b,那么a±c=b±c;
性质4 可乘性:如果a=b,那么ac=bc;
性质5 可除性:如果a=b,c≠0,那么
a
c
=
b
c
。
3.不等式的性质
性质1 对称性:a>b⇔b<a;
性质2 传递性:a>b,b>c⇒a>c;
性质3 可加性:a>b⇔a+c>b+c;
性质4 可乘性:a>b,c>0⇒ac>bc;a>b,c<0⇒
ac<bc;
性质5 同向可加性:a>b,c>d⇒a+c>b+d;
性质6 同向同正可乘性:a>b>0,c>d>0⇒ac>
bd;
性质7 同正可乘方性:a>b>0⇒a
n >b
n (n∈N,
n≥2)。
【知识延伸】
不等式性质的拓展结论:
(1)若ab>0,且a>b⇔
1
a
<
1
b
。
(2)若a>b>0,m>0⇒
b
a
<
b+m
a+m
;
若b>a>0,m>0⇒
b
a
>
b+m
a+m
。
【小题自测】
1.设 M=2a(a-2),N=(a+1)(a-3),则有 (A )
A.M>N B.M≥N
C.M<N D.M≤N
解析 因为 M-N=2a(a-2)-(a+1)(a-3)=a
2-
2a+3=(a-1)2+2>0,所以 M>N。故选 A。
2.如果ac>bc,那么下列不等式中,一定成立的是 (D )
A.ac
2>bc
2 B.a>b
C.a+c>b+c D.
a
c
>
b
c
解析 若c<0,则a<b,所以ac
2 <bc
2,a+c<b+c,
A,B,C均错;因为ac>bc,又c
2 >0,则
ac
c
2 >
bc
c
2 ,即
a
c
>
b
c
,故 D正确。
3.如果x+y<0,且y>0,那么下列不等式成立的是
(D )
A.y
2>x
2>-xy B.x
2>y
2>-xy
C.x
2<-xy<y
2 D.x
2>-xy>y
2
解析 因为x+y<0,y>0,所以x<-y<0<y。在
不等式x<-y 两边同时乘以x,得x
2>-xy。在不等
式x<-y 两边同时乘以y,得xy< -y
2,则 -xy>
y
2。所以x
2>-xy>y
2。故选 D。
4.已知 M=x
2-3x,N =-3x
2 +x-3,则 M,N 的大小
关系是 M>N 。
解析 M -N =(x
2 -3x)-(-3x
2 +x-3)=4x
2 -
4x+3=(2x-1)2+2>0,所以 M>N。
5.已知-1<a<2,-3<b<5,则a+2b 的取值范围是
(-7,12)。
解析 因为-3<b<5,所以-6<2b<10,又-1<a<
2,所以-7<a+2b<12。
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关键能力 突 破 考向探究·题型剖析 学生用书 P010
类型一 数(式)的大小比较
【例1】 (1)已知p∈R,M =(2p+1)(p-3),N =(p6)(p+3)+10,则 M,N 的大小关系为 (B )
A.M<N B.M>N
C.M≤N D.M≥N
解析 因为 M-N=(2p+1)(p-3)-[(p-6)(p+
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009
赢在微点 高考复习顶层设计 数学
教
师
用
书
3)+10]=p
2-2p+5=(p-1)2 +4>0,所以 M >N。
故选 B。
(2)若a>b>1,P=ae
b ,Q=be
a ,则 P,Q 的大小关系
是 (C )
A.P>Q B.P=Q
C.P<Q D.不能确定
解析 P,Q 作商可得
P
Q
=
ae
b
be
a =
e
b
b
e
a
a
,令f(x)=
e
x
x
,则
f'(x)=
e
x (x-1)
x
2 ,当x>1时,f'(x)>0,所以f(x)
=
e
x
x
在(1,+∞)上单调递增,因为a>b>1,所以
e
b
b
<
e
a
a
,又
e
b
b
>0,
e
a
a
>0,所以
P
Q
=
e
b
b
e
a
a
<1,所以 P<Q。故
选 C。
比较大小的常用方法
1.作差法:(1)作差;(2)变形;(3)定号;(4)得出结论。
2.作商法:(1)作商;(2)变形;(3)判断商与1的大
小关系;(4)得出结论。
3.构造函数,利用函数的单调性比较大小。
【变式训练】 (1)已知a,b为不相等的实数,记 M =a
2-
ab,N=ab-b
2,则 M 与N 的大小关系为 (A )
A.M>N B.M=N
C.M<N D.不确定
解析 因为 M-N=(a
2 -ab)-(ab-b
2)=(a-b)2,
又a≠b,所以(a-b)2>0,即 M>N。故选 A。
(2)若a=
ln3
3
,b=
ln2
2
,则a与b的大小关系是 a>b 。
解析 (作商法)因为a=
ln3
3
>0,b=
ln2
2
>0,所以
a
b
=
ln3
3
·
2
ln2
=
2ln3
3ln2
=
ln9
ln8
=log89>1,所以a>b。
类型二 不等式的性质
【例2】 (1)已知a>b>c>0,下列结论正确的是 (D )
A.2a<b+c B.a(b-c)>b(a-c)
C.
1
a-c
>
1
b-c
D.(a-c)3>(b-c)3
解析 因为a>b>c>0,所以2a>b+c,故 A 错误;取
a=3>b=2>c=1>0,则a(b-c)=3<b(a-c)=4,
故 B错误;由a>b>c>0可知,a-c>b-c>0,所以
1
a-c
<
1
b-c
,(a-c)3 >(b-c)3,故 C 错 误,D 正 确。
故选 D。
(2)(多选题)若a>0>b>-a,c<d<0,则下列结论
正确的是 (BCD )
A.ad>bc B.
a
d
+
b
c
<0
C.a-c>b-d D.a(d-c)>b(d-c)
解析 因为a>0>b,c<d<0,所以ad<0,bc>0,所
以ad<bc,故 A 错误;因为0>b>-a,所以a>-b>
0,因为c<d<0,所 以 -c> -d>0,所 以a(-c)>
(-b)(-d),所以ac+bd<0,cd>0,所以
ac+bd
cd
=
a
d
+
b
c
<0,故 B 正确;因为c<d,所 以 -c> -d,因 为
a>b,所以a+(-c)>b+(-d),即a-c>b-d,故 C
正确;因为a>0>b,d-c>0,所以a(d-c)>b(dc),故 D正确。故选 BCD。
解决此类题目常用的3种方法
1.直接利用不等式的性质逐个验证。
2.利用特殊值法排除错误答案,利用不等式的性质
判断不等式是否成立时要特别注意前提条件。
3.利用函数的单调性,当直接利用不等式的性质不
能比较大小时,可以利用指数函数、对数函数、幂函数等
函数的单调性进行判断。
【变式训练】 (1)已知a>b,则下列不等式中一定成立的
是 (D )
A.
1
a
<
1
b
B.a
2>b
2
C.lna>lnb D.2
a-b >1
解析 当a=1,b=-1时,
1
a
>
1
b
,故 A 错误;当a=
1,b=-1时,a
2 =b
2,故 B 错误;当a=1,b= -1时,
lna>lnb不成立,故 C错误;由a>b,得a-b>0,则
2
a-b >1,故 D正确。故选 D。
(2)(多选题)若
c
3
a
<
c
3
b
<0,则 (ACD)
A.|a|<|b| B.ac<bc
C.
a-b
c
>0 D.0<
a
b
<1
解析 由
c
3
a
<
c
3
b
<0得c≠0。当c>0时,由
c
3
a
<
c
3
b
<
0,得
1
a
<
1
b
<0,即b<a<0,可得0<
a
b
<1;当c<0
时,由
c
3
a
<
c
3
b
<0,得
1
a
>
1
b
>0,即b>a>0,所以0<
a
b
<1,故 A,D 正 确;由
c
3
a
<
c
3
b
<0,得
c
3
a
-
c
3
b
=
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010
第一章 集合与常用逻辑用语、不等式
微
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赢
在
行
间
c
3(b-a)
ab
<0,且a 与b 同号,即ab>0,所以c 与b-a
异号,即c与a-b 同号,故 C正确;由ac<bc,得(ab)c<0,故 B错误。故选 ACD。
类型三 不等式性质的应用
【例3】 (1)已知-1<x<4,2<y<3,则x-y 的取值范
围是 (-4,2),3x+2y 的取值范围是 (1,18)。
解析 因为-1<x<4,2<y<3,所以-3<-y<-2,
所以-4<x-y<2。由-1<x<4,2<y<3,得-3<
3x<12,4<2y<6,所以1<3x+2y<18。
(2)已知3<a<8,4<b<9,则
a
b
的取值范围是
1
3
,2 。
解析 因为4<b<9,所以
1
9
<
1
b
<
1
4
,又3<a<8,所
以
1
9
×3<
a
b
<
1
4
×8,即
1
3
<
a
b
<2。
利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围,但
应注意两点:一是必须严格运用不等式的性质;二是在
多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范
围。解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围
的整体的等量关系,最后通过“一次性”不等关系的运算
求解范围。
【变式训练】 (1)已知0<β<α<
π
2
,则α-β的取值范围
是 0,
π 2 。
解析 因为0<β<
π
2
,所以π
2
<-β<0,又0<α<
π
2
,所以π
2
<α-β<
π
2
,又β<α,所以α-β>0,即0
<α-β<
π
2
。
(2)已知a>b>c,2a+b+c=0,则
c
a
的 取 值 范 围 是
(-3,-1)。
解析 因为a>b>c,2a+b+c=0,所以a>0,c<0,
b=-2a-c,因为a>b>c,所以-2a-c<a,即3a>
-c,解得
c
a
>-3,将b=-2a-c代入b>c中,得-2a
-c>c,即a<-c,得
c
a
<-1,所以-3<
c
a
<-1。
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第四节 基本不等式
【课程标准】 1.了解基本不等式的证明过程;2.掌握基本不等式 ab≤
a+b
2
(a,b>0),会用基本不等式解决简单
的最大(小)值问题。
主干知识 整 合 回扣知识·基础落实 学生用书 P011
【基础梳理】
1.基本不等式: ab≤
a+b
2
(1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0。
(2)等号成立的条件:当且仅当a=b时,等号成立。
(3)其中,
a+b
2
叫做正数a,b 的算术平均数, ab叫
做正数a,b的几何平均数。
[微点清] 在运用基本不等式及其变形时,一定要验
证等号是否成立。
2.几个重要的不等式
(1)a
2+b
2≥2ab(a,b∈R)。
(2)
b
a
+
a
b
≥2(ab>0)。
(3)ab≤
a+b 2
2
(a,b∈R)。
(4)
a
2+b
2
2
≥
a+b 2
2
(a,b∈R)。
以上不等式等号成立的条件均为a=b。
3.利用基本不等式求最值
(1)已知x,y 都是正数,如果积xy 等于定值P,那么
当x=y 时,和x+y 有最小值2 P 。
(2)已知x,y 都是正数,如果和x+y 等于定值S,那
么当x=y 时,积xy 有最大值
1
4
S
2。
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011
赢在微点 高考复习顶层设计 数学
教
师
用
书
[微点清] ①利用基本不等式求最值应满足三个条
件“一正、二定、三相等”。
②利用基本不等式求最值简记:积定和最小,和定积
最大。
【知识延伸】
1.ab≤
a+b
2
2
≤
a
2+b
2
2
。要根据两数积、两数和、
两数平方和选择合适的形式。
2.在利用不等式求最值时,一定要尽量避免多次使用
基本不等式。若必须多次使用,则一定要保证它们等号成
立的条件一致。
【小题自测】
1.函数f(x)=
x
2+x+1
x
(x>0)的最小值是 (B )
A.2 B.3 C.4 D.5
解析 f(x)=
x
2+x+1
x
=x+
1
x
+1≥2+1=3,当且
仅当x=1时,等号成立,故f(x)的最小值为3。故选
B。
2.函数y=x(3-x)的最大值为 (B )
A.3 B.
9
4
C.
9
2
D.
9
8
解析 y=x(3-x)≤
x+3-x
2
2
=
9
4
,当且仅当x=
3-x,即x=
3
2
时等号成立。故选 B。
3.设a>0,则9a+
1
a
的最小值为 (C )
A.4 B.5 C.6 D.7
解析 因为a>0,所以9a+
1
a
≥2 9a×
1
a
=6,当且
仅当9a=
1
a
,即a=
1
3
时等号成立,所以9a+
1
a
的最小
值为6。故选 C。
4.当x≥2时,x+
4
x+2
的最小值为 3 。
解析 设x+2=t,则x+
4
x+2
=t+
4
t
-2。又由x≥
2得t≥4,而函数y=t+
4
t
-2在[4,+∞)上单调递
增,因此当t=4时,t+
4
t
-2即x+
4
x+2
取得最小值,
最小值为4+
4
4
-2=3。
5.用一段长为36m 的篱笆围成一个矩形菜园,则这个矩
形菜园的面积最大为 81m
2 。
解析 设矩形菜园的长和宽分别为x m,y m,则x>
0,y>0,由题意有2(x+y)=36,所以x+y=18,所以
矩形菜园的面积S=xy≤
(x+y)2
4
=
18
2
4
=81(m
2),当
且仅当x=y=9时取等号,所以当矩形菜园的长和宽
都为9m 时,矩形菜园的面积最大,为81m
2。
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关键能力 突 破 考向探究·题型剖析 学生用书 P012
类型一 基本不等式求最值………………… 微专题
角度❶:配凑法求最值
【例1】 (1)(2024·湖北武汉模拟)当x>1时,x+
4
x-1
的最小值为 5 。
解析 因为x>1,所以x-1>0,由基本不等式得x+
4
x-1
=(x-1)+
4
x-1
+1≥2 (x-1)·
4
x-1
+1=
5,当且仅当x=3时,等号成立。因此,x+
4
x-1
的最小
值为5。
(2)已知0<x<
2
2
,则x 1-2x
2 的最大值为
2
4
。
解析 因为0<x<
2
2
,所以1-2x
2 >0,x 1-2x
2 =
2
2
· 2x 1-2x
2 ≤
2
2
·
2x
2+1-2x
2
2
=
2
4
,当且仅
当2x
2=1-2x
2,即x=
1
2
时等号成立。
基本不等式具有 将“和 式”转 化 为“积 式”和 将“积
式”转化为“和式”的放缩功能,利用基本不等式求最值
时,要根据式子的特征灵活变形,先配凑出积、和为常数
的形式,再利用基本不等式求解。
角度❷:常值代换法求最值
【例2】 已知两个正数x,y 满足x+2y=8xy,则4x+2y
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012
第一章 集合与常用逻辑用语、不等式
微
在
字
里
赢
在
行
间
的最小值为 (C )
A.
7
4
B.2 C.
9
4
D.
5
2
解析 将x+2y=8xy 两边同时除以xy,得
2
x
+
1
y
=
8,则4x+2y=
1
8
(4x+2y)
2
x
+
1
y =
1
8 10+
4y
x
+
4x
y ≥
1
8 10+2
4y
x
×
4x
y =
9
4
,当且仅当
4y
x
=
4x
y
,
即y=x=
3
8
时取等号。故4x+2y 的最小值为
9
4
。故
选 C。
常值代换法就是利用常数的变形以及代数式与“1”
的积、商都是自身的性质,通过代数式的变形构造和式
或积式为定值,然后利用基本不等式求最值。
角度❸:消元法求最值
【例3】 已知x>0,y>0,x+3y+xy=9,则x+3y 的最
小值为 6 。
解析 由x+3y+xy=9,得x=
9-3y
1+y
,所以x+3y=
9-3y
1+y
+ 3y =
9-3y+3y(1+y)
1+y
=
9+3y
2
1+y
=
3(1+y)2-6(1+y)+12
1+y
=3(1+y)+
12
1+y
-6≥
2 3(1+y)·
12
1+y
-6=12-6=6。当且仅当3(1+
y)=
12
1+y
,即y=1时取等号。即x+3y的最小值为6。
消元法利用基本不等式求最值的策略
当所求最值的代数式中的变量比较多时,通常是考
虑利用已 知 条 件 消 去 部 分 变 量 后,凑 出“和 为 常 数”或
“积为常数”,最后利用基本不等式求最值。
【题组对点练】
题号 1 2 3 4
角度 ❶ ❷ ❷ ❸
1.若x<
2
3
,则f(x)=3x+1+
9
3x-2
有 (C )
A.最大值0 B.最小值9
C.最大值-3 D.最小值-3
解析 因为x<
2
3
,所以3x-2<0,f(x)=3x-2+
9
3x-2
+ 3 = - (2 - 3x )+
9
2-3x + 3 ≤
-2 (2-3x)·
9
2-3x
+3=-3。当且仅当2-3x=
9
2-3x
,即x=-
1
3
时取“=”。故选 C。
2.已知正实数a,b满足a+b=2,则
4
b
+
1
a
的最小值是
(B )
A.
7
2
B.
9
2
C.5 D.9
解析
4
b
+
1
a
=
1
2
4
b
+
1
a (a+b)=
1
2
4a
b
+
b
a
+
5 ≥
1
2
×(4+5)=
9
2
,当且仅当
4a
b
=
b
a
时等号成立。
故选 B。
3.已知0<x<1,则
1
x
+
4
1-x
的最小值是 9 。
解析 由0<x<1,得1-x>0。
1
x
+
4
1-x
=
1
x
+
4
1-x [x + (1-x)]=5+
1-x
x
+
4x
1-x
≥5+
2
1-x
x
·
4x
1-x
=9,当且仅当
1-x
x
=
4x
1-x
时取等号,
所以
1
x
+
4
1-x
的最小值是9。
4.设a>0,b>0,且 5ab+b
2 =1,则a+b 的 最 小 值 为
4
5
。
解析 因为5ab+b
2 =1,所以a=
1-b
2
5b
=
1
5b
-
b
5
,所
以a+b=
1
5b
-
b
5
+b=
1
5b
+
4b
5
≥2
1
5b
·
4b
5
=
4
5
,当
且仅当a=
3
10
,b=
1
2
时,等号成立,所以a+b的最小值
为
4
5
。
类型二 基本不等式的实际应用
【例4】 (2023·广东茂名五校联考)《九章算术》是中国
传统数学重要的著作之一,其中记载:“今有邑,东西七
里,南北九里,各中开门。出东门十五里有木,问出南门
几何步而见木?”若一小城,如图中长方形所示,出东门
1200步有树,出南门750步能见到此树(注:1里=300
步),则该小城的周长最小值为 8 10 里。
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013
赢在微点 高考复习顶层设计 数学
教
师
用
书
解析 设GF=x 步,EF=y 步,由△BEF∽△FGA 得
BE
GF
=
EF
GA
,即
1200
x
=
y
750
,所以y=
900000
x
,故该小城
的周长为2(2x+2y)=4 x+
900000
x ≥2400 10
(步)=8 10(里 ),当 且 仅 当 x =
900000
x
,即 x =
300 10时取等号,所以该小城的周长最小值为8 10里。
利用基本不等式解决实际问题的策略
1.根据实际问题抽象出函数的解析式,再利用基本
不等式求得函数的最值。
2.解应用题时,一定要注意变量的实际意义及其取
值范围。
3.在 应 用 基 本 不 等 式 求 函 数 最 值 时,若 等 号 取 不
到,可利用函数的单调性求解。
【变式训练】 (2024·广东名校联考)在中国,最早发现勾
股定理的人是西周时期的数学家商高,根据记载,商高
曾经和周公讨论过这个定理的有关问题。如果一个直
角三角形的斜边长等于2 2,则当这个直角三角形的周
长取得最大值时,其面积为 (C )
A.2 B.1 C.2 D.6
解析 记该直角三角形的斜边长为c=2 2,直角边长
分别为a,b,则 a
2 +b
2 =8,因 为 a
2 +b
2 ≥2ab,所 以
2(a
2+b
2)≥(a+b)2,即(a+b)2 ≤16,当且仅当a=b
=2时等号成立,因为a>0,b>0,所以a+b≤4,所以
该直角三角形的周长为a+b+c≤4+c=4+2 2,故
当这个直角三角形的周长取得最大值时,其面积为
1
2
×2×2=2。故选 C。
基本不等式链:
2
1
a
+
1
b
≤ ab≤
a+b
2
≤
a
2+b
2
2
【源于教材】 (人教 A 版必修第一册第58页第10题)购
买同一种物品,可以用两种不同的策略,第一种是不考
虑物品价格的升降,每次购买这种物品的数量一定;第
二种是不考虑物品价格的升降,每次购买这种物品所
花的钱数一定。哪种购物方式比较经济?
【提示】 本题的结果是当两次购买同一种商品时,按第
二种策略购物比较经济,理论依据源于
a+b
2
≥
2
1
a
+
1
b
(a>0,b>0)。
【推广结论】
2
1
a
+
1
b
≤ ab≤
a+b
2
≤
a
2+b
2
2
(a>0,b
>0),当 且 仅 当 a=b 时 等 号 成 立。以 上 不 等 式 中,
2
1
a
+
1
b
, ab,
a+b
2
,
a
2+b
2
2
分别称为正实数a,b 的
调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数。利
用这个基本不等式链可以使得某些判断数(式)的大小
问题、最值类问题的求解更加简便。
【典例】 (1)(多选题)设正实数a,b满足a+b=1,则
(ACD)
A. ab有最大值
1
2
B.
1
a+2b
+
1
2a+b
有最小值3
C.a
2+b
2 有最小值
1
2
D.a+ b有最大值 2
解析 对于 A,由基本不等式可得 ab≤
a+b
2
=
1
2
,当
且仅 当 a =b=
1
2
时 取 “= ”,A 正 确;对 于 B,由
2
1
a+2b
+
1
2a+b
≤
(a+2b)+(2a+b)
2
=
3(a+b)
2
=
3
2
,
得
1
a+2b
+
1
2a+b
≥
4
3
,当 且 仅 当 a+2b=2a+b,即
a=b=
1
2
时等号成立,B 错误;对于 C,由
a
2+b
2
2
≥
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014
第一章 集合与常用逻辑用语、不等式
微
在
字
里
赢
在
行
间
a+b
2
=
1
2
,得a
2 +b
2 ≥
1
2
,当且仅当a=b=
1
2
时等号
成立,C正确;对于 D,由
a+ b
2
≤
a+b
2
=
1
2
,得
a+ b≤ 2,当且仅当a=b=
1
2
时等号成立,D正确。
故选 ACD。
(2)已 知 a,b,c 都 是 非 负 实 数,求 证: a
2+b
2 +
b
2+c
2 + c
2+a
2 ≥ 2(a+b+c)。
证明 因 为
a
2+b
2
2
≥
a+b
2
。即 a
2+b
2 ≥
2
2
(a+
b),同理,b
2+c
2 ≥
2
2
(b+c),c
2+a
2 ≥
2
2
(c+a),
相加可得 a
2+b
2 + b
2+c
2 + c
2+a
2 ≥
2
2
(a+b)
+
2
2
(b+c)+
2
2
(c+a)= 2(a+b+c),当 且 仅 当
a=b=c时等号成立。
(1)当1
2
<x<
5
2
时,函数y= 2x-1+
5-2x的最大值为 2 2 。
解析 由
a+b
2
≤
a
2+b
2
2
,得a+b≤2
a
2+b
2
2
,则
y= 2x-1+ 5-2x ≤2
2x-1+5-2x
2
=2 2,
当且仅当 2x-1= 5-2x,即x=
3
2
时等号成立。
(2)已知x,y 均为正实数,且
1
x+2
+
1
y+2
=
1
6
,则x+
y 的最小值为 20 。
解析
x+y
2
=
(x+2)+(y+2)
2
-2≥
2
1
x+2
+
1
y+2
-2
=
2
1
6
-2=10,当且仅当x=y=10时取等号,所以x+
y 的最小值为20。
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第五节 一元二次方程、不等式
【课程标准】 1.会判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数,了解函数的零点与方程根的关系;2.会求解一
元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集;3.了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系。
主干知识 整 合 回扣知识·基础落实 学生用书 P014
【基础梳理】
二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
类别 Δ>0 Δ=0 Δ<0
y=ax
2 +
bx+c(a>
0)的图象
ax
2+bx+
c=0(a>0)
的根
有 两 个 不 相
等 的 实 数 根
x1,x2 (x1 <
x2)
有两个相等的
实 数 根 x1 =
x2=-
b
2a
没有实数根
ax
2+bx+
c>0(a>0)
的解集
{x|x<x1,或
x>x2}
x x≠
-
b
2a
R
续表
类别 Δ>0 Δ=0 Δ<0
ax
2+bx+
c<0(a>0)
的解集
{x|x1 <x<
x2}
⌀ ⌀
[微点清] 对于不等式ax
2+bx+c>0,求解时不要
忘记a=0时的情形。
【知识延伸】
1.分式不等式的解法
(1)
f(x)
g(x)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)。
(2)
f(x)
g(x)≥0(≤0)⇔
f(x)g(x)≥0(≤0), g(x)≠0。
2.两个恒成立的充要条件
(1)一元二次不等式ax
2 +bx+c>0对任意实数x
恒成立⇔
a>0,
b
2 -4ac<0。
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015
赢在微点 高考复习顶层设计 数学
教
师
用
书
(2)一元二次不等式ax
2 +bx+c<0对任意实数x
恒成立⇔
a<0,
b
2 -4ac<0。
【小题自测】
1.已知A={x|x
2-3x-4≤0,x∈N},B={x|2x
2-x6>0,x∈Z},则A∩B 的真子集个数为 (B )
A.2 B.3 C.7 D.8
解析 A={x|(x-4)(x+1)≤0,x∈N}={x|-1≤x
≤4,x∈N}={0,1,2,3,4},B={x|(2x+3)(x-2)>
0,x∈Z}= x x<-
3
2
,或x>2,x∈Z ,所以 A∩B
={3,4},其真子集个数为2
2-1=3。故选 B。
2.若0<m<1,则不等式(x-m)x1 m <0的解集为
(D )
A.x
1
m <x<m B.x x>
1
m ,或x<m
C.x x>m,或x<
1 m D.x m<x<
1 m
解析 当0<m<1时,m<
1
m
,所以不 等 式 的 解 集 为
x m<x<
1 m 。故选 D。
3.已知集合A={x|x
2≤25},B= x
x+1
x-7
≥0 ,则 A∩
B= (D )
A.(-∞,-5] B.[-5,-1)
C.[-5,-1]∪[5,7) D.[-5,-1]
解析 因为x
2 ≤25,所以集合 A={x|-5≤x≤5}。
因为
x+1
x-7
≥0,则
(x+1)(x-7)≥0, x-7≠0,
解得x>7或x≤
-1,所以集合 B={x|x>7或x≤-1}。所以 A∩B
=[-5,-1]。故选 D。
4.已知 二 次 函 数 y=ax
2 +bx+4 图 象 的 顶 点 坐 标 为
-
1
2
,
9
2 ,则不等式bx
2+4x+a≥0的解集为 {1}。
解析 二次函 数y=ax
2 +bx+4 图 象 的 顶 点 坐 标 为
-
1
2
,
9
2 ,则
-
b
2a
=-
1
2
,
16a-b
2
4a
=
9
2
,
?
?
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??
??
解得a=b=-2,不等式
bx
2+4x+a≥0,-2x
2+4x-2≥0,即x
2-2x+1=(x
-1)2≤0,所以x=1,所以所求不等式的解集为{1}。
5.若不等式ax
2+ax+a+3≥0在 R上恒成立,则实数a
的取值范围是 {a|a≥0}。
解析 当a=0时,不等式为3>0,满足题意;当a≠0
时,需 满 足
a>0,
Δ=a
2 -4a(a+3)≤0,
解 得a>0,综 上 可
得,a 的取值范围为{a|a≥0}。
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关键能力 突 破 考向探究·题型剖析 学生用书 P015
类型一 一元二次不等式的解 …………… 微专题
角度❶:不含参数的一元二次不等式的解法
自练自悟
……………
………………………………………………
1.不等式-2x
2+x+3<0的解集为 (B )
A. -1,
3
2
B.(-∞,-1)∪
3
2
,+∞
C. -
3
2
,1
D. -∞,-
3
2 ∪(1,+∞)
解析 -2x
2 +x+3<0可化为2x
2 -x-3>0,解得
x<-1或x>
3
2
。故选 B。
2.不等式
2x+5
x-2
<1的解集为 (-7,2)。
解析
2x+5
x-2
<1,即
2x+5
x-2
-1<0,即
x+7
x-2
<0,解 得
-7<x<2,因此不等式的解集为(-7,2)。
3.不等式-1<x
2 +2x-1≤2的解集为 {x|-3≤x<
-2或0<x≤1}。
解 析 原 不 等 式 等 价 于
x
2+2x-1>-1,
x
2 +2x-1≤2,
即
x
2+2x>0,①
x
2 +2x-3≤0,②
由① 得 x< -2 或 x>0;由 ② 得
-3≤x≤1。画出数轴,如图,
可得原不等式的解集为{x|-3≤x<-2或0<x≤1}。
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016
第一章 集合与常用逻辑用语、不等式
微
在
字
里
赢
在
行
间
解一元二次不等式的一般步骤是:①化为标准形式
(a>0);②确定判别式Δ 的符号,若Δ≥0,则求出该不
等式对应的一元二次方程的根,若Δ<0,则对应的一元
二次方程无根;③结合二次函数的图象得出不等式的解
集。特别地,若一元二次不等式的左边能因式分解,则
可直接写出不等式的解集。
角度❷:含参数的一元二次不等式的解法
【例1】 已知函数f(x)=ax
2+(2-4a)x-8。
(1)若不等式f(x)<0的解集为 x -
2
3
<x<4 ,求
a 的值;
(2)当a<0时,求关于x 的不等式f(x)>0的解集。
解 (1)不等式f(x)<0,即ax
2 +(2-4a)x-8<0,
可化为(ax+2)(x-4)<0。因为f(x)<0的解集是
x -
2
3
<x<4 ,所以a>0且2
a
=-
2
3
,解得a=3。
(2)不等式f(x)>0,即ax
2 +(2-4a)x-8>0,因为
a<0,所以不等式可化为 x+
2
a (x-4)<0,当4<
-
2
a
,即1
2
<a<0时,原不等式的解集为 4,-
2
a ;
当4=-
2
a
,即a= -
1
2
时,原 不 等 式 的 解 集 为 ⌀;当
4>-
2
a
,即a<-
1
2
时,原不等式的解集为 -
2
a
,4 。
综上所述,当 -
1
2
<a<0 时,原 不 等 式 的 解 集 为 4,
-
2
a ;当a= -
1
2
时,原 不 等 式 的 解 集 为 ⌀;当a<
-
1
2
时,原不等式的解集为 -
2
a
,4 。
对含参的不等式,应对参数进行分类讨论,常见的
分类有
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类。
(2)根据判别式Δ 与0的关系判断根的个数。
(3)有两个根时,有时还需根据两根的大小进行讨
论。
【变式训练】 (1)(2024·山东潍坊抽测)若a∈R,则关于
x 的不等式4x
2-4ax+a
2-1<0的解集为 (C )
A. x x<
a-1
2
或x>
a+1
2
B. x x<-
a+1
2
或x>-
a-1
2
C. x
a-1
2
<x<
a+1
2
D. x -
a+1
2
<x<-
a-1
2
解析 由题可知,原不等式可转化为[2x-(a+1)][2x
-(a-1)]<0,因 为
a+1
2
>
a-1
2
,所 以 不 等 式 的 解 为
a-1
2
<x<
a+1
2
。故选 C。
(2)解不等式12x
2-ax>a
2(a∈R)。
解 原 不 等 式 可 化 为 12x
2 -ax-a
2 >0,即 (4x+
a)(3x-a)>0,令 (4x+a)(3x-a)=0,解 得 x1 =
-
a
4
,x2 =
a
3
。当a>0 时,不 等 式 的 解 集 为 - ∞,
-
a
4 ∪
a
3
,+∞ ;当 a=0 时,不 等 式 的 解 集 为
(-∞,0)∪ (0,+∞);当 a<0 时,不 等 式 的 解 集 为
-∞,
a
3 ∪ -
a
4
,+∞ 。
类型二 三个“二次”的关系
【例2】 (1)不等式ax
2+bx+2>0的解集为{x|-1<x
<2},则不等式2x
2+bx+a>0的解集为 (A )
A. x x<-1,或x>
1
2
B. x -1<x<
1
2
C.{x|-2<x<1}
D.{x|x<-2,或x>1}
解析 不等式ax
2+bx+2>0的解集为{x|-1<x<
2},所以-1,2是方程ax
2 +bx+2=0的两个实数根,
且a<0,则
-1+2=-
b
a
,
-1×2=
2
a
,
?
?
?
??
??
解 得
a=-1, b=1。
故 不 等 式
2x
2+bx+a>0即2x
2+x-1>0,解得x<-1或x>
1
2
,所以不等式2x
2+bx+a>0的解集为 x x<-1,
或x>
1
2 。故选 A。
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017
赢在微点 高考复习顶层设计 数学
教
师
用
书
(2)已知函数f(x)=x
2 -4ax+a
2(a>0)的两个零点
分别为x1,x2,则x1+x2+
a
x1x2
的最小值为 (C )
A.8 B.6 C.4 D.2
解析 由题意得x1 +x2 =4a,x1x2 =a
2,故x1 +x2 +
a
x1x2
=4a+
1
a
≥2 4a·
1
a
=4,当 且 仅 当a=
1
2
时
“=”成立。故选 C。
1.一定要牢记二次函数的基本性质。
2.含参的问题注意利用根与系数的关系找关系进
行代换。
【变式训练】 (1)(2023·辽源检测)不等式ax
2 +bx+2
>0的解集是 -
1
2
,
1 3 ,则a-b= (C )
A.-4 B.14 C.-10 D.10
解析 因为ax
2+bx+2>0的解集是 -
1
2
,
1 3 ,所以
-
1
2
,
1
3
是 方 程ax
2 +bx+2=0 的 根,所 以a<0 且
1
4
a1
2
b+2=0,
1
9
a+
1
3
b+2=0,
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??
??
解得a=-12,b=-2,所以a-b=
-10。故选 C。
(2)关于x 的方程x
2 -(a+1)x+a=0的两个不等根
x1,x2 都在(0,2)之内,则实数a 的取值范围为 (D )
A.(0,2) B.(0,1)
C.(1,2) D.(0,1)∪(1,2)
解析 因为方程x
2 -(a+1)x+a=0的两个不等根
x1,x2 都在(0,2)之内,所以函数f(x)=x
2-(a+1)x
+ a 在 (0,2 ) 内 有 两 个 零 点, 所 以
Δ=(a+1)2-4a>0,
0<
a+1
2
<2,
f(0)=a>0,
f(2)=4-2(a+1)+a>0,
?
?
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????
????
解得 0<a<2 且 a≠1。
故选 D。
类型三
一元二次不等式恒(能)成立问题
微专题
………
……………………………………
角度❶:不等式恒成立
【例3】 (1)若不等式(a-2)·x
2+4(a-2)x+3>0的解
集为 R,则实数a 的取值范围是 2,
11
4 。
解析 当a-2=0,即a=2时,不等式为3>0恒成立,
故a=2符合题意;当a-2≠0,即a≠2时,不等式(a2)x
2 + 4 (a - 2)x + 3 > 0 的 解 集 为 R,则
a-2>0,
Δ=[4(a-2)]2 -4(a-2)×3<0,
解 得 2<a <
11
4
。
综上可得,实数a 的取值范围是 2,
11
4 。
(2)已知函数 f(x)=mx
2 -mx-1。若 对 于 x∈[1,
3],f(x)<5-m 恒 成 立,则 实 数 m 的 取 值 范 围 为
-∞,
6 7 。
解析 f(x)<-m+5在x∈[1,3]上恒成立,即 m(x
2
-x+1)-6<0在x∈[1,3]上恒成立。因为x
2-x+
1= x1 2
2
+
3
4
>0,又因为 m(x
2-x+1)-6<0在
x∈[1,3]上恒成立,所以 m<
6
x
2-x+1
在x∈[1,3]上
恒成立。令y=
6
x
2-x+1
,因为函数y=
6
x
2-x+1
=
6
x1 2
2
+
3
4
在[1,3]上的最小值为
6
7
,所以只需 m<
6
7
即可。所以 m 的取值范围是 -∞,
6 7 。
恒成立问题求参数范围的解题策略
1.弄清楚自变量、参数,一般情况下,求谁的范围,
谁就是参数。
2.一元二次不等式在 R 上恒成立,可用判别式 Δ,
一元二次不 等 式 在 给 定 区 间 上 恒 成 立,不 能 用 判 别 式
Δ,一般分离参数求最值或分类讨论。
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018
第一章 集合与常用逻辑用语、不等式
微
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字
里
赢
在
行
间
角度❷:不等式能成立问题
【例4】 (1)(2024·陕西宝鸡质检)若存在实数x,使得
mx
2-(m-2)x+m<0成立,则实数 m 的取值范围为
(C )
A.(-∞,2) B.(-∞,0]∪
1
3
,
3
2
C. -∞,
2
3 D.(-∞,1)
解析 ①当m=0时,不等式化为2x<0,解得x<0,符
合题意;②当 m>0时,y=mx
2-(m-2)x+m 的图象
开口向上,则Δ=(m-2)2-4m
2=-3m
2-4m+4>0,
解得0<m<
2
3
;③当 m<0时,y=mx
2 -(m-2)x+
m 的图象开口向下,则必存在实数x,使得 mx
2-(m2)x+m <0 成 立。综 上 所 述,实 数 m 的 取 值 范 围 为
-∞,
2
3 。故选 C。
(2)(2023·广东揭阳二中模拟)若关于x 的不等式x
2
-4x-a>0在区间(1,5)内有解,则实数a 的取值范围
是 (A )
A.(-∞,5) B.(5,+∞)
C.(-4,+∞) D.(-∞,-4)
解析 解法一:不等式x
2 -4x-a>0在区间(1,5)内
有解,即a<x
2-4x 在(1,5)内有解。设f(x)=x
2 -
4x=(x-2)2 -4,x∈(1,5),f(x)<f(5)=5,故a<
5。故选 A。
解法二:设f(x)=x
2 -4x-a=(x-2)2 -a-4,其图
象的对称轴方程为x=2,若不等式x
2 -4x-a>0在
区间 (1,5)内 有 解,则 需 满 足 Δ =16+4a ≤0 或
Δ=16+4a>0, f(5)=5-a>0,
解得a≤-4或-4<a<5,即a<5。
故选 A。
不等式有解求参数范围
方法1:分离参数转化函数最值问题。
方法2:数形结合转化一元二次方程根的分布问题。
【题组对点练】
题号 1 2 3
角度 ❶ ❶ ❷
1.若不等式(a-1)x
2+(a-1)x+a>0对任意x∈R 恒
成立,则实数a 的取值范围是 (C )
A.a<-
1
3
或a>1 B.a>1
C.a≥1 D.-
1
3
<a≤1
解析 当a=1 时,不 等 式 化 为 1>0,恒 成 立,符 合 题
意;当a≠1时,由题得a-1>0且Δ=(a-1)2-4(a1)a<0,所以a>1。综上,a≥1。故选 C。
2.已知f(x)=-2x
2+bx+c,不等式f(x)>0的解集为
(-1,3)。若对任意的x∈[-1,0],f(x)+m≥4恒成
立,则 m 的取值范围是 (D )
A.(-∞,2] B.(-∞,4]
C.[2,+∞) D.[4,+∞)
解析 由题知-1,3是方程-2x
2 +bx+c=0的两根,
得
-1+3=-
b
(-2)=
b
2
,
(-1)×3=-
c
2
,
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??
??
所以b=4,c=6,所以f(x)
=-2x
2+4x+6。因为对任意的x∈[-1,0],f(x)+
m≥4恒成立,所以对任意的x∈[-1,0],m≥2x
2-4x
-2恒成立,因为y=2x
2-4x-2在[-1,0]上的最大
值为4,所以 m≥4。故选 D。
3.(2024·北京第五中学高三开学考试)设a∈R,若关于
x 的不等式x
2-ax+1≥0在1≤x≤2上有解,则
(C )
A.a≤2 B.a≥2
C.a≤
5
2
D.a≥
5
2
解析 由x
2-ax+1≥0在1≤x≤2上有解,得
x
2+1
x
≥a 在1≤x≤2上有解,则a≤
x
2+1
x max
,由于
x
2+1
x
=x+
1
x
,而x+
1
x
在1≤x≤2上单调递增,故当x=2
时,x+
1
x
取最大值
5
2
,故a≤
5
2
。故选 C。
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019
教
师
用
书
第 二 章
函 数 与 基 本 初 等 函 数
第一节 函数的概念及其表示
【课程标准】 1.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;2.在实际情境中,会根据不同的需要选
择恰当的方法(如解析法、列表法、图象法)表 示 函 数,理 解 函 数 图 象 的 作 用;3.了 解 简 单 的 分 段 函 数,并 能 简 单
应用。
主干知识 整 合 回扣知识·基础落实 学生用书 P018
【基础梳理】
1.函数的有关概念
(1)函数的概念
[微点清] (1)在函数定义中,集合B 不一定是函数
的值域,它包含了函数的值域,即值域是集合 B 的子集;
(2)若两函数的值域与对应关系相同,则两函数不一定相
同,如:y=x
2(x≥0)与y=x
2。
(2)函数的表示法
表示函数的常用方法:解析法、图象法、列表法。
2.分段函数
若函数在其定义域的 不同 子集上,因对应关系不同
而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函
数。
[微点清] 分段函数是一个函数,而不是几个函数,
分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值
域的并集。
【知识延伸】
1.直线x=a 与函数y=f(x)的图象至多有1个交
点。
2.在函数的3种表示法中,不是所有函数都能用3种
方法表示。
3.注意以下几种特殊函数的定义域:
(1)分式型函数,分母不为零的实数集合。
(2)偶次方根型函数,被开方式非负的实数集合。
(3)f(x)为对数式时,函数的定义域是真数为正数、
底数为正且不为1的实数集合。
(4)若f(x)=x
0,则定义域为{x|x≠0}。
【小题自测】
1.若函数y=f(x)的定义域为 M ={x|-2≤x≤2},值
域为 N={y|0≤y≤2},则函数y=f(x)的图象可能
是 (B )
A B C D
解析 A 中函数定义域不是[-2,2];C 中图形不表示
函数;D中函数值域不是[0,2]。故选 B。
2.已知函数f(x)=
3
x (x≤0), log3x(x>0),
则f f
1 2 =(D )
A.-1 B.2 C.3 D.
1
2
解析 因 为 f
1 2 =log3
1
2
<0,所 以 f f
1 2 =
f log3
1 2 =3
log3
1
2 =
1
2
。故选 D。
3.函数f(x)=
1
x+1
+lnx 的定义域是 (0,+∞)。
解析 要使函数有意义,需满足
x+1≠0, x>0,
所以函数的
定义域为(0,+∞)。
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020
第二章 函数与基本初等函数
微
在
字
里
赢
在
行
间
4.设函数f(x)=
x
2+1,x≤0, -x+3,x>0,
则使得f(x)≥2的自变
量x 的取值范围为 (-∞,-1]∪(0,1]。
解析 因为f(x)是分段函数,所以f(x)≥2应分段求
解。当x≤0时,f(x)≥2即为x
2+1≥2,解得x≤-1
或x≥1,所 以 x≤-1。 当 x>0 时,f(x)≥2 即 为
-x+3≥2,即 x≤1,所 以 0<x≤1。综 上 所 述,x∈
(-∞,-1]∪(0,1]。
5.已知函数f(x)=
x
2+2,x≤1,
1
x ,x>1,
则f(x)的值域为 (0,
1)∪[2,+∞)。
解析 当 x≤1 时,f(x)=x
2 +2,所 以 f(x)∈ [2,
+∞);当x>1时,f(x)=
1
x
,所以f(x)∈(0,1)。综
上,f(x)的值域为(0,1)∪[2,+∞)。
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关键能力 突 破 考向探究·题型剖析 学生用书 P019
类型一 函数的概念 ……………………… 自练自悟
1.已知集合A={x|-2<x≤1},B={x|0<x≤4},则下
列对应关系中是从集合A 到集合B 的函数是 (B )
A.f:x→y=x+1 B.f:x→y=e
x
C.f:x→y=x
2 D.f:x→y=|x|
解析 对于 A,当x=-1时,由f:x→y=x+1得y=
0,但0∉B,故 A 错误;对于 B,因为从 A={x|-2<x
≤1}中任取一个元素,通过f:x→y=e
x 在B={x|0<
x≤4}中都有唯一的元素与之对应,故 B正确;对于 C,
当x=0时,由f:x→y=x
2 得y=0,但0∉B,故 C错
误;对于 D,当x=0时,由f:x→y=|x|得y=0,但0
∉B,故 D错误。故选 B。
2.(多选题)下列各图中,能表示函数y=f(x)的图象的
是 (ACD)
A B
C D
解析 选项 B中图象,对于x≠0的一个x 值,有两个
y 值与之对应,故不是函数图象;选项 A,C,D 中图象,
均满足函数定义,故是函数图象。故选 ACD。
3.(多选题)下列各组函数是同一函数的为 (AC)
A.f(x)=x
2-2x-1,g(s)=s
2-2s-1
B.f(x)=x-1,g(x)=
x
2-1
x+1
C.f(x)= x
2 ,g(x)=
x,x≥0, -x,x<0
D.f(x)= -x
3 ,g(x)=x -x
解析 同一函数需满足:①定义域相同;②对应关系相
同,只有 A、C满足。
1.函数的定义要求非空数集 A 中的任何一个元素
在非空数集B 中有且只 有 一 个 元 素 与 之 对 应,即 可 以
“多对一”,不能“一对多”,而 B 中有可能存在与A 中元
素不对应的元素。
2.构成函数的三要素中,定义域和对应关系相同,
则值域一定相同。
类型二 函数的定义域
【例1】 (1)函数y=
ln(x+1)
-x
2-3x+4
的定义域为 (C )
A.(-4,-1) B.(-4,1)
C.(-1,1) D.(-1,1]
解析 由题意得
x+1>0,
-x
2 -3x+4>0,
解得-1<x<1,故
定义域为(-1,1)。故选 C。
(2)已知函数f(x)的定义域为(-4,-2),则函数g(x)
=f(x-1)+ x+2的定义域为 [-2,-1)。
解析 因为f(x)的定义域为(-4,-2),要使g(x)=
f(x-1)+ x+2有 意 义,则
-4<x-1<-2, x+2≥0,
解 得
-2≤x<-1,所以函数g(x)的定义域为[-2,-1)。
1.无论抽象函数的形式如何,已知定义域还是求定
义域,均是指其中的x 的取值集合。
2.若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复合函数
f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出。
3.若复合函数f(g(x))的定义域为[a,b],则函数
f(x)的定义域为g(x)在[a,b]上的值域。
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021
赢在微点 高考复习顶层设计 数学
教
师
用
书
【变式训练】 (1)函数f(x)=
1
ln(x-1)+ 3-x的定义
域为 (B )
A.(1,3] B.(1,2)∪(2,3]
C.(1,3)∪(3,+∞) D.(-∞,3)
解析 由题意知
x-1>0,
x-1≠1,
3-x≥0,
?
?
?
??
??
所以1<x<2或2<x≤3,
所以函数的定义域为(1,2)∪(2,3]。故选 B。
(2)已知函数f(x)的定义域为[-1,2],则函数g(x)=
f(2x)+ 1-2
x 的定义域为 (D )
A.[0,1] B.[-1,0]
C. -
1
2
,1 D. -
1
2
,0
解析 由题意得
-1≤2x≤2,
1-2
x ≥0,
解得1
2
≤x≤0,即函
数g(x)的定义域为 -
1
2
,0 。故选 D。
类型三 函数的解析式 ……………………… 微专题
角度❶:求函数的解析式
【例2】 (1)已知f(1-sinx)=cos
2x,则f(x)= 2xx
2,x∈[0,2];
解析 (换元法)设1-sinx=t,t∈[0,2],则sinx=1
-t,因为f(1-sinx)=cos
2x=1-sin
2x,所以f(t)=
1-(1-t)2 =2t-t
2,t∈[0,2]。即 f(x)=2x-x
2,
x∈[0,2]。
(2)已知f x+
1
x =x
2 +
1
x
2 ,则f(x)= x
2 -2,x∈
(-∞,-2]∪[2,+∞);
解析 (配凑法)因为f x+
1
x =x
2+
1
x
2 = x+
1
x
2
-2,所以f(x)=x
2-2,x∈(-∞,-2]∪[2,+∞)。
(3)已知f(x)是一次函数且3f(x+1)-2f(x-1)=
2x+17,则f(x)= 2x+7 。
解析 待定系数法:因为f(x)是一次函数,可设f(x)
=ax+b(a≠0),所以3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+
b]=2x +17。 即 ax + (5a +b)=2x +17,所 以
a=2, 5a+b=17,
解得
a=2, b=7。
所以f(x)的解析式是f(x)
=2x+7。
函数解析式的求法
(1)配凑法;(2)待定系数法;(3)换元法;(4)解方程
组法。
角度❷:抽象函数
【例3】 (多选题)(2023·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)的
定义域为 R,f(xy)=y
2f(x)+x
2f(y),则 (ABC)
A.f(0)=0
B.f(1)=0
C.f(x)是偶函数
D.x=0为f(x)的极小值点
解析 对于选项 A,令x=0,y=0,f(0)=0,所以 A 项
正确;对于选项 B,令x=1,y=1,f(1×1)=1
2 ×f(1)
+1
2×f(1)=2f(1)⇒f(1)=0,所以 B项正确;对于选
项 C,令x=-1,y=-1,f[(-1)×(-1)]=(-1)2×
f(-1)+(-1)2 ×f(-1)=2f(-1)⇒f(-1)=0,再
令x= -1,y=x,f[(-1)×x]=x
2 ×f(-1)+
(-1)2×f(x)⇒f(-x)=f(x),所以 C项正确;对于
选项 D,由于f(0)=0,且函数f(x)为偶函数,所以函
数f(x)的图象关于y 轴对称,所以x=0可能为函数
f(x)的极小值点,也可能为函数f(x)的极大值点,也
可能不是 函 数 f(x)的 极 值 点,所 以 D 项 错 误。故 选
ABC。
抽象函数求值要根据题意恰当地赋值,有时也可以
找出符合题意的具体函数求解相关问题,比如f(x+y)
=f(x)·f(y)可以设f(x)=a
x (a>0,且a≠1)。
【题组对点练】
题号 1 2 3
角度 ❶ ❶ ❷
1.已知f(x+1)=x-2 x,则f(x)= x
2 -4x+3(x
≥1)。
解析 解法 一(换 元 法):令t= x +1,则t≥1,x=
(t-1)2,代入原式有f(t)=(t-1)2-2(t-1)=t
2-4t
+3,所以f(x)=x
2-4x+3(x≥1)。
解法二(配凑法):f(x +1)=x+2 x +1-4 x -4
+3=(x+1)2-4(x+1)+3,因为 x +1≥1,所以
f(x)=x
2-4x+3(x≥1)。
2.已知f(x)+3f(-x)=2x+1,则f(x)= -x+
1
4
。
解析 由已知得f(-x)+3f(x)=-2x+1,解方程组
f(x)+3f(-x)=2x+1, f(-x)+3f(x)=-2x+1,
得f(x)=-x+
1
4
。
3.(2024·东北三省四市联合体模拟)已知对于每一对正
实数x,y,函数f(x)满足:f(x)+f(y)=f(x+y)-
xy-1,若f(1)=1,则满足f(n)=n(n∈N)的n 的个
数是 (A )
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022
第二章 函数与基本初等函数
微
在
字
里
赢
在
行
间
A.1 B.2 C.3 D.4
解析 令y=1,则f(x+1)=f(x)+x+2,即f(x+
1)-f(x)=x+2,所 以 f(x)-f(x-1)=x+1,
f(x-1)-f(x-2)=x,…,f(2)-f(1)=3,累加得
f(x)-f(1)=
x
2+3x-4
2
,则f(x)=
x(x+3)
2
-1,所
以f(n)=
n(n+3)
2
-1,又f(n)=n,所以解得n=-2
或n=1,又n∈N,所以n=1。故选 A。
类型四 分段函数 …………………………… 微专题
角度❶:分段函数求值
【例4】 设函数f(x)=
log2(6-x),x<1,
2 x-1,x≥1,
则f(-2)+
f(log26)= (B )
A.2 B.6 C.8 D.10
解析 根 据 题 意 得 f(-2)=log28=3,f(log26)=
2
log26-1
=3,所以f(-2)+f(log26)=6。故选 B。
根据分段函数解析式求函数值,首先确定自变量的
值属于哪个区间,其次选定相应的解析式代入求解。
角度❷:分段函数与方程、不等式
【例 5】 (1)(2024· 唐 山 模 拟 )设 函 数 f (x)=
x
2+1,x≤0, lgx,x>0。
若f(a)=0,则a= 1 。
解析 当a≤0时,a
2 +1≥1≠0(舍去);当a>0 时,
lga=0,a=1,故实数a 的值为1。
(2)设函数f(x)=
x+1,x≤0,
2 x ,x>0,
则满足f(x)+f x1
2 >1的x 的取值范围是 -
1
4
,+∞ 。
解析 由题意得,当x>
1
2
时,2
x +2
x1
2 >1恒成立,即
x>
1
2
满足题意;当0<x≤
1
2
时,2
x + x1
2 +1>1
恒成立,即0<x≤
1
2
满足题意;当x≤0时,x+1+ x
-
1
2 +1=2x+
3
2
>1,所以x>-
1
4
,即1
4
<x≤0。
综上,x 的取值范围是 -
1
4
,+∞ 。
已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范
围时,应根据每一段的解析式分别求解,但要注意检验
所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取
值范围。
易错提醒 当分段函数的自变量范围不确定时,应
分类讨论。
【题组对点练】
题号 1 2 3
角度 ❶ ❷ ❸
1.(2024 · 潍 坊 市 统 考 )已 知 函 数 f (x )=
sinx,x≥sinx, x,x<sinx,
则f
π
6 = (B )
A.
π
6
B.
1
2
C.
3
2
D.
π
3
解析 因为sin
π
6
=
1
2
,所以
π
6
>sin
π
6
,所以f
π
6
=sin
π
6
=
1
2
。故选 B。
2.(2023 · 广 东 省 一 模 )已 知 函 数 f (x )=
2
x ,x≥0,
-
1
2
x
,x<0,
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??
??
若f(a)<f(6-a),则实数a 的取值
范围是 (D )
A.(-3,+∞) B.(-∞,-3)
C.(3,+∞) D.(-∞,3)
解析 显然f(x)在R上单调递增,故f(a)<f(6-a)
可化为a<6-a,解得a<3。故选 D。
3.(拓展延伸)已知函数f(x)=
x+1,x≤a,
2 x ,x>a,
若f(x)的
值域是 R,则实数a 的取值范围是 (B )
A.(-∞,0] B.[0,1]
C.[0,+∞) D.(-∞,1]
解析 因为函数y=2
x 是 R上的增函数,且值域为(0,
+∞),函数y=x+1是 R上的增函数,且值域也是 R,
所以要使函数f(x)的值域为 R,需满足2
a ≤a+1。在
同一平面直角坐标系中作出函数y=2
x 与y=x+1的
图象,如图所示,由图可知,当0≤x≤1时,2
x ≤x+1,
所以实数a 的取值范围为[0,1]。故选 B。
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023
赢在微点 高考复习顶层设计 数学
教
师
用
书
第二节 函数的单调性与最值
【课程标准】 借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值,理解它们的作用和实际意义。
主干知识 整 合 回扣知识·基础落实 学生用书 P022
【基础梳理】
1.函数的单调性
(1)增函数、减函数
增函数 减函数
定
义
一般地,设函数f(x)的定义域为D,区间I⊆D:如果
∀x1,x2∈I,当x1<x2 时
都有f(x1)<f(x2),那
么 就 称 函 数 f(x)在 区
间I 上单调递增。特别
地,当函数f(x)在它的
定义 域 上 单 调 递 增 时,
就称它是增函数
都有f(x1)>f(x2),那
么就称函数f(x)在区间
I 上 单 调 递减。特 别 地,
当函数f(x)在它的定义
域上单调递减时,就称它
是减函数
图
象
描
述
(2)单调区间的定义
如果函数y=f(x)在 区 间I 上 单 调 递 增 或 单 调 递
减,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单
调性,区间I 叫做y=f(x)的单调区间。
[微点清] ①求函数单调区间或讨论函数单调性必
须先求函数的定义域;②一个函数的同一种单调区间用
“和”或“,”连接,不能用“∪”连接;③函数在某个区间上是
单调函数,但在整个定义域上不一定是单调函数。
2.函数的最值
前提
设函数y=f(x)的定义域为 D,如果存在实数 M
满足
条件
∀x∈D,都有f(x)≤M;
∃x0∈D,使得f(x0)=M
∀x∈D,都 有 f(x)≥
M;∃x0 ∈ D,使 得
f(x0)=M
结论
M 是 函 数y=f(x)的
最大值
M 是函 数y=f(x)的
最小值
【知识延伸】
1.∀x1,x2 ∈I 且x1 ≠x2,有
f(x1)-f(x2)
x1-x2
>0(<
0)或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0(<0)⇔f(x)在区间
I 上单调递增(减)。
2.在公共定义域内,增函数+增函数=增函数,减函
数+减函数=减函数。
3.函数y=f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义
域内与y=-f(x),y=
1
f(x)
的单调性相反。
4.复合函数的单调性:同增异减。
【小题自测】
1.(多选题)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是
(AB)
A.y=-
1
x+1
B.y=x
1
3
C.y=2
-x D.y=log1
2
(x+1)
解析 对于 A,y=-
1
x+1
在(-1,+∞)上单调递增,
符合题意;对于 B,y=x
1
3 在 R 上单调递增,符合题意;
对于 C,y=2
-x =
1
2
x
在 R 上 单 调 递 减,不 符 合 题
意;对于 D,y=log1
2
(x+1)在(-1,+∞)上单调递减,
不符合题意。故选 AB。
2.已知函数f(x)的定义域为 R,设甲:f(x)在[0,2]上单
调递增,乙:f(x)满足f(1)<f(2),则甲是乙的 (A )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 若函数f(x)的定义域为 R,f(x)在[0,2]上单
调递增,则f(x)满足f(1)<f(2),所以甲是乙的充分
条件;因为f(x)仅满足f(1)<f(2),并不满足单调性
定义中的“任意性”要求,所以f(x)在[0,2]上不一定
单调递增,故甲不是乙的必要条件。综上所述,甲是乙
的充分不必要条件。故选 A。
3.对于任意的实数x,已知函数f(x)=
x,x≤1,
2-x 2,x>1,
则
f(x)的最大值为 (C )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
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024
第二章 函数与基本初等函数
微
在
字
里
赢
在
行
间
解析 因为f(x)=
x,x≤1,
2-x 2,x>1,
函数图象如图所示,
由函数图象可知,当x=1时,函数取得最大值f(x)max
=f(1)=1。故选 C。
4.(教材改 编)已 知 函 数 f(x)=
2
x-1
(x∈ [2,6]),则
f(x)的最小值为
2
5
,最大值为 2 。
解析 由于f(x)=
2
x-1
在[2,6]上单调递减,故f(x)
的最大值为f(2)=2,最小值为f(6)=
2
5
。
5.函数y=log1
2
(x
2 +2x-3)的单调递增区间是 (-∞,
-3)。
解析 由x
2+2x-3>0,解得x<-3或x>1,即函数
的定义域为(-∞,-3)∪(1,+∞)。令t=x
2 +2x3,则y=log1
2
t,因为y=log1
2
t为减函数,t=x
2+2x3在(-∞,-3)上为减函数,在(1,+∞)上为增函数,
所以函数 y=log1
2
(x
2 +2x-3)的 单 调 递 增 区 间 为
(-∞,-3)。
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关键能力 突 破 考向探究·题型剖析 学生用书 P023
类型一 确定函数的单调性(区间) …… 自练自悟
1.下列函数中,在区间(-1,1)上为减函数的是 (A )
A.y=2
-x B.y=|x|
C.y=ln(x+1) D.y=cosx
解析 由于y=2
-x =
1
2
x
在区间(-1,1)上为减函
数,故 A 正确;y=|x|在区间(-1,0)上单调递减,在区
间[0,1)上单 调 递 增,故 B 错 误;y=ln(x+1)在 区 间
(-1,1)上单调递增,故 C 错误;由余弦函数的图象和
性质,可得y=cosx 在区间(-1,0)上单调递增,在区
间[0,1)上单调递减,故 D错误。故选 A。
2.函数f(x)=log0.5(x+1)+log0.5(x-3)的单调递减区
间是 (A )
A.(3,+∞) B.(1,+∞)
C.(-∞,1) D.(-∞,-1)
解析 由已知易得
x+1>0, x-3>0,
即x>3,f(x)=log0.5(x
+1)+log0.5(x-3)=log0.5[(x+1)(x-3)],其定义域
为(3,+∞)。令t=(x+1)(x-3),则函数t 在区间
(3,+∞)上单调递增。又0<0.5<1,所以f(x)在区
间(3,+∞)上单调递减。故选 A。
3.函数f(x)=|x-2|x 的单调递减区间是 [1,2]。
解析 f(x)=
x
2-2x,x≥2,
-x
2 +2x,x<2。
画
出f(x)的大致图象(如图所示),
由图知 f(x)的 单 调 递 减 区 间 是
[1,2]。
4.函数y=
1-x
1+x
的单调递减区间是 (-∞,-1),(-1,
+∞)。
解析 因为y=
1-x
1+x
=-1+
2
1+x
,故其单调递减区间
为(-∞,-1),(-1,+∞)。
5.函数y= x+ x+4的最小值是 2 。
解 析 由
x≥0, x+4≥0,
得 x ≥0。 又 函 数 y = x +
x+4在[0,+∞)上是增函数,所以函数的最小值为
0+ 4=2。
函数单 调 性 的 判 断 方 法 有:① 定 义 法;② 图 象 法;
③利用已知函数的单调性;④导数法。
类型二 函数单调性的判断与证明
【例1】 试讨论函数f(x)=
ax
x-1
(a≠0)在(-1,1)上的
单调性。
解 解法一:设-1<x1 <x2 <1,f(x)=a
x-1+1
x-1
=a 1+
1
x-1 ,则f(x1)-f(x2)=a 1+
1
x1-1 -
a 1+
1
x2-1 =
a(x2-x1)
(x1-1)(x2-1)
,由于-1<x1 <x2 <
1,所以x2-x1>0,x1-1<0,x2-1<0,故当a>0时,
f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2),函 数 f(x)在
(-1,1)上单调递减;当a<0时,f(x1)-f(x2)<0,即
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025
赢在微点 高考复习顶层设计 数学
教
师
用
书
f(x1)<f(x2),函数f(x)在(-1,1)上单调递增。
解 法 二:f' (x )=
(ax)'(x-1)-ax(x-1)'
(x-1)2 =
a(x-1)-ax
(x-1)2 =-
a
(x-1)2 。当a>0时,f'(x)<0,函
数f(x)在(-1,1)上单调递减;当a<0时,f'(x)>0,
函数f(x)在(-1,1)上单调递增。
函数单调性的证明方法
1.用定义法证明函数单调性的一般步骤为:设元、
作差、变形、判断符号、得出结论。
2.导 数 法:利 用 导 数 值 的 正 负 确 定 函 数 的 单 调 区
间。
【变式训练】 判断函数f(x)=
x
1+x
2 在区间[1,+∞)上
的单调性,并利用单调性的定义证明你的结论。
解 函数f(x)=
x
1+x
2 在区间[1,+∞)上单调递减。
证明如 下:设 任 意 x1,x2 ∈ [1,+∞),且 x1 <x2,则
f(x1)-f(x2)=
x1
1+x
2
1
-
x2
1+x
2
2
=
x1(1+x
2
2)-x2(1+x
2
1)
(1+x
2
1)(1+x
2
2)
=
(x1-x2)(1-x1x2)
(1+x
2
1)(1+x
2
2)
。因为x1,x2∈[1,+∞),且x1
<x2,所以x1 -x2 <0,1-x1x2 <0。又(1+x
2
1)(1+
x
2
2)>0,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所
以f(x)=
x
1+x
2 在[1,+∞)上单调递减。
类型三 函数单调性的应用………………… 微专题
角度❶:比较大小
【例2】 (2024·成都模拟)已知函数f(x)为 R上的偶函
数,对任意x1,x2∈(-∞,0),均有(x1-x2)[f(x1)-
f(x2 )]<0 成 立,若 a=f(ln 2),b=f(3
1
3 ),c=
f(e
1
3 ),则a,b,c的大小关系是 (B )
A.c<b<a B.a<c<b
C.a<b<c D.c<a<b
解析 因为对任意x1,x2 ∈(-∞,0),均有(x1 -x2)
[f(x1)-f(x2)]<0成立,所以函数在区间(-∞,0)
上单调递减,因为f(x)是偶函数,所以当x∈(0,+∞)
时,f(x)单调递增,又y=x
1
3 在x∈(0,+∞)上单调递
增,所以1<e
1
3 <3
1
3 ,又0<ln 2<1,所以ln 2<e
1
3 <
3
1
3 ,所以f(ln2)<f e
1
3 <f 3
1
3 ,即a<c<b。故
选 B。
利用函数的单调性比较大小的方法
比较函数值的大小时,若自变量的值不在同一个单
调区间内,则要利用函数的性质,将自变量的值转化到
同一个单调 区 间 上 再 进 行 比 较,或 采 用 插 值 法 比 较 大
小。
角度❷:解不等式
【例3】 (1)已 知 函 数 f(x)=
2-x,x<0,
2-x 2,x≥0,
则 不 等 式
f(2a+1)>f(3a-4)的解集为 (D )
A. -∞,-
1
2 B. -
1
2
,+∞
C.(-∞,5) D.(5,+∞)
解析 因 为 f(x)=
2-x,x<0,
2-x 2,x≥0,
所 以 函 数 f(x)在
(-∞,+∞)上 是 减 函 数,所 以 2a+1<3a-4,解 得
a>5。故选 D。
(2)(2023·山东潍坊模拟)已知函数f(x)=lnx+e
x
-sinx,则不等式f(x-1)≤f(1)的解集为 (1,2]。
解析 f(x)的定义域为(0,+∞),所以f'(x)=
1
x
+
e
x -cosx。因为x>0,所以e
x >1,所以f'(x)>0,所
以f(x)在(0,+∞)上单调递增,又f(x-1)≤f(1),
所以0<x-1≤1,即1<x≤2,则原不等式的解集为
(1,2]。
利用函数单调性解不等式的具体步骤
1.将函数不等式转化为f(x1)>f(x2)的形式。
2.确定函数f(x)的单调性。
3.根据函数f(x)的单调性去掉对应关系“f”,转化
为形如“x1>x2”或“x1<x2”的不等式,从而得解。
角度❸:求函数的最值与参数范围
【例4】 (1)函数f(x)=
x
2-2
x
-ln(4-x)在x∈[1,3]
上的最大值为
7
3
。
解析 y=
x
2-2
x
=x2
x
在[1,3]上单调递增,y=ln(4
-x)在[1,3]上单调递减,所以f(x)在[1,3]上单调递
增,所以f(x)max=f(3)=
9-2
3
-0=
7
3
。
(2)已知函数f(x)=
(3a-1)x+4a(x<1),
a
x (x≥1),
满足对任
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026
第二章 函数与基本初等函数
微
在
字
里
赢
在
行
间
意的实数x1,x2 且x1 ≠x2,都有[f(x1)-f(x2)](x1
-x2)<0,则实数a 的取值范围为
1
6
,
1
3 。
解析 由题易知,对任意的实数x1,x2 且x1 ≠x2,都有
f(x1)-f(x2)
x1-x2
<0成立,则函数f(x)是减函数,从而
可得
3a-1<0,
a>0,
3a-1+4a≥a,
?
?
?
??
??
解得a∈
1
6
,
1
3 。
1.利用函数单调性求最值:先确定函数的单调性,
再由单调性求最值。
2.利用单调性求参数的取值(范围):根据其单调性
直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到
其图象的升降,再结合图象求解。对于分段函数,要注
意衔接点的取值。
【题组对点练】
题号 1 2 3 4
角度 ❶ ❷ ❸ ❸
1.设函 数 f(x)=
3
2
|x|
+x
2,若 a=f(ln3),b=
f(-log52),c=f
1
e (e为自然对数的底数),则(D )
A.a>b>c B.c>b>a
C.c>a>b D.a>c>b
解析 由题意知f(-x)=f(x),所以f(x)是 R 上的
偶函数,当x>0时,f(x)=
3
2
x
+x
2 单调递增,则b
=f(-log52)=f(log52),ln3>1,0<log52<log5 5=
1
2
,1>
1
e
>
1
2
,即ln3>
1
e
>log52,则f(ln3)>f
1
e
>f(log52),即f(ln3)>f
1
e >f(-log52),故a>
c>b,故选 D。
2.已知函数f(x)=
2
x
-log2x,则不等式f(x)>0的解集
是 (D )
A.(0,1) B.(-∞,2)
C.(2,+∞) D.(0,2)
解析 f(x)=
2
x
-log2x 的定义域为(0,+∞),且函数
y=
2
x
和y=-log2x 在(0,+∞)上均为减函数,所以
f(x)=
2
x
-log2x 在(0,+∞)上单调递减。又f(2)=
2
2
-log22=0,所以不等式f(x)>0的解集是(0,2)。
故选 D。
3.(2023· 张 家 口 二 模 )函 数 f (x)=2
x
2-4x+4 +
x
2-2x的最小值为 1 。
解析 由
x
2-4x+4≥0,
x
2 -2x≥0
得 函 数 f(x)的 定 义 域 为
(-∞,0]∪[2,+∞)。y=x
2 -4x+4在(-∞,0]上
单调递减,在[2,+∞)上单调递增,y=2
x 在 R 上单调
递增,故y=2
x
2-4x+4 在(-∞,0]上 单 调 递 减,在[2,
+∞)上单调递增,又y= x
2-2x 在(-∞,0]上单调
递减,在[2,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,0]
上单调递减,在[2,+∞)上单调递增。f(0)=4,f(2)
=1,所以函数f(x)的最小值为1。
4.已知 函 数 f(x)=
x
2+
1
2
a-2,x≤1,
a
x -a,x>1,
?
?
?
??
??
若 f(x)在(0,
+∞)上单调递增,则实数a 的取值范围为 (1,2]。
解析 由题意,得1
2+
1
2
a-2≤0,则a≤2,又y=a
x -
a(x>1)是增函数,故a>1,所以a的取值范围为(1,2]。
由教材引出的三类函数及应用
一、对勾函数
【源于教材】 (人教 A 版必修第一册第79页例3)“根据
定义证 明 函 数 y=x+
1
x
在 区 间 (1,+∞)上 单 调 递
增”,第92页的“探究与发现”呈现了对勾函数的图象与
性质。
【拓展】 (1)对勾函数的定义与图象
对勾函数是指形如:y=ax+
b
x
(ab>0)的一类函数,因
其图象形态极像对勾,因此被称为“对勾函数”,又被称
为“双勾函数”“勾函数”“耐克函数”或“耐克曲线”。
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027
赢在微点 高考复习顶层设计 数学
教
师
用
书
(2)对勾函数y=ax+
b
x
(a>0,b>0)的性质
①定义域:(-∞,0)∪(0,+∞)。
②值域:(-∞,-2 ab]∪[2 ab,+∞)。
③奇偶性:在定义域内为奇函数。
④单调性: -∞,-
b
a ,
b
a
,+∞ 上是增函数;
-
b
a
,0 , 0,
b
a 上是减函数。
(3)y=ax+
b
x
(a>0,b>0)的 单 调 区 间 的 分 界 点:
±
b
a
。求分界点方法:令ax=
b
x
⇒x=±
b
a
。特
殊的,a>0时,y=x+
a
x
的单调区间的分界点:± a。
【典例1】 (1)已知函数f(x)=
x
2+5
x
2+4
,则函数f(x)的
值域是
5
2
,+∞ ;
解 析 f (x)=
(x
2+4)+1
x
2+4
=
x
2+4+
1
x
2+4
,令t= x
2+4,
则t≥2,且y=t+
1
t
,图 象 如 图 所
示。因为y=t+
1
t
在[2,+∞)上单调递增,所以y≥2
+
1
2
=
5
2
。故所求函数的值域为
5
2
,+∞ 。
(2)已知函数f(x)=
x
x
2+x+2
,x∈[2,+∞),则函数
f(x)的值域是 0,
1
4 。
解析 f(x)=
1
x+
2
x
+1
(x≥2),令f(x)=x+
2
x
(x
≥2),则f(x)在[2,+∞)上单调递增,所以f(x)≥3,
所以f(x)=
1
x+
2
x
+1
≤
1
4
,且f(x)>0。故所求函数
的值域为 0,
1
4 。
(1)(2024· 安 庆 市 模 拟)函 数 f(x)=
x+
4
x+1
在区间 -
1
2
,2 上的最大值为 (B )
A.
10
3
B.
15
2
C.3 D.4
解析 设t=x+1,则t∈
1
2
,3 ,问题转化为求函数
g(t)=t+
4
t
-1在区间
1
2
,3 上的最大值。根据对
勾函数的 性 质,得 函 数 g(t)在 区 间
1
2
,2 上 单 调 递
减,在 区 间 [2,3]上 单 调 递 增,所 以 g (t)max =
max g
1
2 ,g(3) =max
15
2
,
10 3 =
15
2
。故选 B。
(2)关于函数f(x)=lg
x
2+1
|x|
有下列命题:
①其图象关于y 轴对称;
②函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,在(-∞,0)上单
调递减;
③函数f(x)的最小值为lg2;
④函数f(x)在(-1,0),(2,+∞)上单调递增;
其中所有正确结论的序号是 ①③④ 。
解析 函 数 的 定 义 域 为
{x |x ≠ 0}。 又 有
f(-x)=f(x),所 以 函
数为偶函数,所以函数图
象关于y 轴对称,所以①
正 确;当 x>0 时,可 令
g(x)=
x
2+1
|x|
=x+
1
x
,
再根据对称性,可以画出g(x)图象,如图,所以在(0,
+∞)上,g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调
递增。所以由复合函数单调性可知,f(x)在(0,1)上单
调递减,在(1,+∞)上单调递增。由函数对称性,f(x)
在(-1,0)上单调递增,在(-∞,-1)上单调递减,所以
②不正确,④正确。又因为函数g(x)的最小值为2,所
以f(x)的最小值为lg2,所以③正确。
二、飘带函数
【源于教材】 (人教 A 版必修第一册第101页第12题)
试讨论 函 数y=x1
x
的 定 义 域、值 域、单 调 性、奇 偶
性,并画出函数图象。
【拓展】 (1)飘带函数的定义与图象:飘带函数是指形如:
y=ax+
b
x
(ab<0)的一类函数,其图形极像随风飘舞
的“飘带”,故而叫做飘带函数,以y=ax+
b
x
(a>0,b
<0)为例:
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028
第二章 函数与基本初等函数
微
在
字
里
赢
在
行
间
(2)函数y=ax+
b
x
(a>0,b<0)的性质:
①定义域:(-∞,0)∪(0,+∞);
②值域:R;
③奇偶性:奇函数;
④单调性:(-∞,0),(0,+∞)单调递增;
⑤渐近线:y=ax 与x=0。
【典例2】 已知函数f(x)=3
x -
1
3
x
,x∈[1,2],则函
数f(x)的值域是
8
3
,
80
9 。
解析 令t=3
x ∈[3,9],y=t1
t
在[3,9]上单调递
增,所以y∈
8
3
,
80
9 。
设函数f(x)=e
x +ae
-x (a 为常数,e是
自然对数的底数),若f(x)是奇函数,则a= -1 ,若
f(x)在 R上单调递增,则a 的取值范围是 (-∞,0]。
解析 若f(x)是奇函数,则f(-x)=-f(x),即e
-x
+ae
x =-(e
x +ae
-x ),即(a+1)(e
x +e
-x )=0,对任意
的x 恒成立,所以a+1=0,a=-1(也可利用特殊值
f(0)=0求得a=-1);令t=e
x ,则f(x)=y=t+
a
t
(t>0),当a>0时,由对勾函数的性质知不成立;当a
=0时,f(x)=e
x 是 R 上 增 函 数,符 合 题 意;当a<0
时,函数y=t+
a
t
是飘带函数,由飘带函数的性质知y
=t+
a
t
在(0,+∞)上单调递增,又t=e
x 也是增函数,
由复合函数的性质知f(x)=e
x +ae
-x 是 R 上的增函
数。综上所述,a 的取值范围是(-∞,0]。
三、双曲函数(分式一次型函数)
【源于教材】 (人教 A 版必修第一册第81页例5)已知函
数f(x)=
2
x-1
(x∈[2,6]),求函数的最大值和最小
值。
【拓展】 (1)双曲函数(分式一次型函数)的定义与图象:
双曲函数是指形如:y=
ax+b
cx+d
(c≠0)的函数称分式型
函数,通过分离常数可转化成y=m+
t
x+n
(t≠0)的形
式,故它的图象可由反比例函数y=
t
x
(t≠0)的图象通
过平移得到,其形状与反比例函数y=
t
x
(t≠0)的图象
的形状一样,都是双曲线。故又称其为“双曲”函数。
(2)双曲函数(分式一次型函数)的性质:
①对称中心是(-n,m);
②定义域为{x|x≠ -n};
③值域为{y|y≠m};
④当t>0时,函数在(-∞,-n)和(-n,+∞)上单调
递减;
⑤当t<0时,函数在(-∞,-n)和(-n,+∞)上单调
递增。
【典例3】 画出函数y=
3-2x
x-3
的图象,写出函数的单调
区间,并求出函数在区间[-1,2]上的值域。
解 y=
3-2x
x-3
=
(6-2x)-3
x-3
=-2-
3
x-3
。设f(x)
=
-3
x
,则y=
3-2x
x-3
=f(x-3)-
2。根据 平 移 变 换 的 规 则 知,将 函
数f(x)=
-3
x
的图象先向右平移3
个单位长度,再向下平移2个单位
长度,即得函数y=
3-2x
x-3
的图象,如图所示。由图象
知,其单调递增区间是(-∞,3)和(3,+∞)。由于函数
在[-1,2]上单调递增,且y|x=-1 =-
5
4
,y|x=2 =1,所
以其值域是 -
5
4
,1 。
若函数f(x)=
x-1
x+a
,在(-∞,-1)上是
减函数,则a 的取值范围是 (-∞,-1)。
解析 因为f(x)=
x-1
x+a
=1+
-a-1
x+a
在(-∞,-1)上
是减函数,则
-a-1>0, -a≥-1,
即a<-1。
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029
关爱辛勤园丁 点亮健康人生
———健康专家给老师的N条养生建议
“学高为师,德高为范”,教师被誉为智慧和品德的完美化身而备受推崇。人们将教师比喻为园丁、春
蚕、蜡烛,默默耕耘、无私奉献、饱含爱心,教师的职业角色更多地被抽象为一种精神意义。教师不仅是一
种职业角色,也是一种生命个体。他们有酸甜苦辣,有喜怒哀乐,有专业成长的烦恼,也有社会生活的压
力。我们在提倡教师职业精神的同时,更应关注教师的健康人生。
教师养生之一、口干舌燥
1.练习丹田发音:丹田约在肚脐正中下四横指距离,再向肚内约三横指距离的位置。开始先练习呼
吸,吸气到丹田后吐出,以后讲话时小腹微收,讲话停顿时松腹。养成习惯后,就不会总使用喉咙喊话。
2.舌头轻抵上颚:不说话时养成舌头轻抵上颚的习惯,使任督二脉接起来,易生津,此时金津玉液小
口吞服,勿大口喝水,易呛气伤咽,一时进水太多,细胞不易得到滋润,会持续处在口干舌燥的状态。
3.平日配合按穴:讲话紧张发音不顺者,按合谷穴。讲话过多口干舌燥或声音沙哑喉痛者,按中渚穴。
教师养生之二、肩膀僵硬
1.按摩:四指并拢,从后脑枕骨沿着颈椎,一直按摩到肩部,在肩膀的两椎间停留并多按几下。
2.敲剁:用手掌小指外侧的肌肉,从头部轻轻剁向肩部,9次最好。
3.拍打:手掌密合无缝,掌心微凹,从头部至肩部,力道速度均匀,一次拍一侧,勿同时拍两侧易头晕。
4.耸肩:耸动肩部上下、左右、前后转动,若有流汗要先擦汗,小口喝杯温开水,颈肩一松,全身就感觉轻快。
教师养生之三、手臂酸痛
1.甩手:先甩手腕,再甩肘,先从直方向甩动,后作平直方向甩摇,各做9次。
2.握拳:两手握拳,从指尖到肩,同时用力5秒后,瞬间放松,做9次。
3.揉肌:用掌心从指尖揉到肩膀,力度一致,速度均匀,做9次。
4.拍筋:手掌密合无缝,掌心稍凹,掌背弓起,从手指往上分成三纵向拍打,拍完外侧后拍内侧。
5.按揉:手肘、手腕、手指的酸痛加重按合谷、中渚、曲池穴,整个手臂酸痛,加按风池穴。
以上动作平日可随时间选择2~3种运用,若有空闲做完整套最好。
教师养生之四、腰酸背痛
1.拍揉丹田:先食指叠中指上,揉压丹田36下,再五指并拢,掌心微凹,空掌拍108下,力道均匀,速
度一致,这是古代养生家的秘方,持之以恒,身轻不易老。拍揉最佳时机是凌晨3~5点。
2.揉摩命门:命门穴在肚脐正对腰部脊中的位置,先将两手掌搓热,再敷命门穴5~10秒,敷后揉摩
命门穴36下,再停下来用掌敷命门穴5秒。
3.轻轻捶腰:两手握空拳,由背开始往下捶至臀部,再捶脊柱,力道勿太用力,捶完,握空拳,放命门两
旁约二横指处,放着不动,脚作原地踏步36下,再做转腰动作(两手插腰或两手放两旁甩)。
4.按穴转腰:当下闪腰、腰扭伤,或是平时的腰酸背痛,揉按中渚穴,一边按,一边转腰(按对侧穴位,
如左腰痛按右中渚)。平日保养腰背可加按阳陵泉、太冲、足三里穴。
教师养生之五、膝脚酸痛
1.转摇关节:手扶椅或墙,将髋、膝、踝各关节,作圆形、前后转
动,最后作踢腿动作。
2.握空拳拍腿:手握空拳,由腿的上方往下拍,外侧面分三行,
正面分二行,内侧面分三行拍打。
3.并膝转动:双膝并拢,膝微向前弯曲,双掌放膝盖,向左9下,向
右9下旋转,转完,在膝的上下左右各拍打2分钟或各拍打36下。
4.捏揉腿肌:四指并拢,从腿的上方到下方,揉、捏、拉、推、按、
摩腿肌,可通经活络及预防肌肉松弛、萎缩。
