高考导练数学·397

参考答案(简答)

第一章 集合与常用逻辑用语

主题一 集合及其基本运算

基础演练

1.C 2.A 3.D 4.B 5.B

例题精讲

【变式训练1】 解: 由A∩∁UB=∅,得A⊆B

2m-1≥m+1,

m+1≤-2, 2m-1≥5

即

m≥2,

m≤-3, m≥3

,不 等 式 组 无 解,故 不 存

在实数 m,使A∩∁UB=∅

【变式训练2】 (-∞,3]

主题二 命题及其充要条件

基础演练

1.A 2.B 3.C 4.B 5.C

主题三 全称量词与存在量词

基础演练

1.C 2.C 3.B 4.C 5.A

第二章 不等式

主题一 不等式的性质、代数式大小比较

与不等式的证明

基础演练

1.B 2.D 3.M>N 4.(5,8)

例题精讲

【变式训练1】 BCD

【变式训练2】 B

【变式训练3】 M>N

【变式训练4】 A

【变式训练5】 1

8

,7

3

主题二 一元二次不等式解法

基础演练

1.(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)×

2.A 3.D 4.(-3,0]

例题精讲

【变式训练1】 解:原不等式可化为12x

2-ax-a

2>0,

即(4x+a)(3x-a)>0,

令(4x+a)(3x-a)=0,解得x1=-

a

4

,x2=

a

3

.

当a>0时,

不等式的解集为 x x>

a

3

,x<-

a 4 ;

当a=0时,不等式的解集为{x|x<0,x>0};

当a<0时,

不等式的解集为 x x<

a

3

,x>-

a 4 .

【变式训练2】 解:因为ax

2-(a+2)x+2>0可化为

(ax-2)(x-1)>0,

当a=0时,不等式可化为-2x+2>0,则不等式解集

为{x|x<1};

当a>0时,(ax-2)(x-1)>0可化为 x2

a (x1)>0,

当 0 <

2

a

< 1,即 a > 2 时,可 得 不 等 式 解 集

为 x x<

2

a ,x>1 ;

当 2

a

=1,即a=2时,可得不等式解集为{x|x≠1};

当 2

a

>1,即0<a<2时,

可得不等式解集为 x x<1,x>

2 a ;

当a<0时,(ax-2)(x-1)>0可化为 x2

a (x1)<0,

此时显然 2

a

<1,

可得不等式解集为 x

2

a <x<1 ;

综上:当a>2时,

不等式解集为 x x<

2

a ,x>1 ;

当a=2时,不等式解集为{x|x≠1};

当0<a<2时,

不等式解集为 x x<1,x>

2 a ;

当a=0时,不等式解集为{x|x<1};

当a<0时,不等式解集为 x

2

a <x<1 .

【变式训练3】 D

主题三 基本不等式与函数的最值

基础演练

1.(1)× (2)× (3)× (4)×

2.

1

16

3.2+4 3 4.a=3 5.25

例题精讲

【变式训练1】 B

【变式训练2】 2 2+2

【变式训练3】 4

【变式训练4】 D

【变式训练5】 6

主题四 不等式模型及应用

基础演练

1.C 2.B 3.C 4.30

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高考导练数学·398

第三章 函数与导数

主题一 函数的概念与分段函数

基础演练

1.D 2.AC 3.A 4.B 5.

37

28

3+ 3

例题精讲

【变式训练1】 (-∞,0]∪(0,1]

【变式训练2】 B

【变式训练3】 x=3

主题二 函数的图象与函数的性质

基础演练

1.A 2.-1 3.A 4.D 5.D

例题精讲

【变式训练1】 D

【变式训练2】 A

【变式训练3】 A

【变式训练4】 1

【变式训练5】 B

主题三 二次函数与幂函数

基础演练

1.B 2.A 3.C 4.B 5.A

例题精讲

【变式训练1】 ABD

【变式训练2】 f(4)>f(1)>f(2)

【变式训练3】 (3,4)

【变式训练4】 B

主题四 指数与指数函数

基础演练

1.C 2.

1

2007

3.B 4.D 5.B

例题精讲

【变式训练1】 (1)(-2,1) (2)见解析

解析:(1)6

x

2+x-2<1=6

0,则x

2+x-2<0,整理得(x+

2)(x-1)<0,解得x∈(-2,1).

(2) 2

7

9

0.5

+0.1

-2 + 2

10

27

-

2

3

-3π

0 +

37

48

=

25

9

1

2

+10

2+ 27

64

2

3

-3+

37

48

=

5

3

+100+

9

16

-3+

37

48

=

3+97=100.

【变式训练2】 (1)B (2)D

【变式训练3】 C

【变式训练4】 -

3

2

【变式训练5】 D

主题五 对数与对数函数

基础演练

1.C 2.D 3.C 4.C 5.1

例题精讲

【变式训练1】 B

【变式训练2】 B

【变式训练3】 1

4

【变式训练4】 D

【变式训练5】 C

【变式训练6】 D

【变式训练7】 D

【变式训练8】 A

【变式训练9】 C

【变式训练10】 B

主题六 函数的零点与方程的根

基础演练

1.C 2.D 3.2 4.2 5.(1,2)

例题精讲

【变式训练1】 A

【变式训练2】 B

【变式训练3】 D

【变式训练4】 C

【变式训练5】 C

主题七 函数模型及其应用

基础演练

1.C 2.x=14.4F-0.2(F>0) 3.C 4.D 5.C

例题精讲

【变式训练1】 B

【变式训练2】 解:(1)当0≤t≤200时,设f(t)=k1t+

m1,则

f(0)=m1=300, f(200)=200k1+m1=100,

解得

k1=-1, m1=300,

所以f(t)=300-t;

当 200 <t ≤ 300 时,设 f (t)= k2t + m2,则

f(200)=200k2+m2=100, f(300)=300k2+m2=300,

解得

k2=2, m2=-300,

所以f(t)=2t-300;

综上所述,f(t)=

300-t,0≤t≤200, 2t-300,200<t≤300.

设g(t)=a(x-150)2+100(0≤t≤300),

所以g(250)=a(250-150)2+100=150,解得a=

1

200

,

所以g(t)=

1

200

(x-150)2+100(0≤t≤300).

(2)设从二月一日起的第t天的纯收益为h(t),由题意

知:h(t)=f(t)-g(t),

即h(t)=

-

1

200

t

2+

1

2

t+

175

2

,0≤t≤200,

-

1

200

t

2+

7

2

t1025

2

,200<t≤300.

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??

??

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高考导练数学·399

当0≤t≤200时,h(t)=-

1

200

(t-50)2+100,

所以当t=50 时,h(t)在 区 间 [0,200]上 取 得 最 大

值100;

当200<t≤300时,h(t)=-

1

200

(t-350)2+100,

所以当t=300时,h(t)在区间(200,300]上取得最大值

87.5;

综上可知,当t=50时,h(t)取得最大值,最大值为100,

即从二月一 日 开 始 的 第 50 天 上 市,能 使 黄 瓜 纯 收 益

最大.

【变式训练3】 C

【变式训练4】 C

【变式训练5】 ACD

【变式训练6】 解:(1)设比例系数为k,气体的流量速

率v关于管道半径r的函数解析式为v=kr

4.

(2)将r=3与v=400代入v=kr

4 中,有400=k×3

4.

解得k=

400

81

,

所以,气体通过半径为r的管道时,其流量速率v的表

达式为v=

400

81

r

4.

(3)当r=5时,v=

400

81

×5

4=

250000

81

≈3086cm

3/s.所

以,当气体通过的管道半径为5cm时,该气体的流量速率约

为3086cm

3/s.

【变式训练7】 解:如图,因 AB 与CD 平行,则 AB 与

CD 间距离为定值,设为h.

因 M 和N 为定点,则 MN 为定值,设为d.

又设 MK 为x,则S△EMK =

1

2

·a·x

d

·h=

ah

2d

·x.

注意到△EMK∽△FNK,相似比为 x

d-x

,又相似三角

形面积比为相似比平方.

则S△EMK +S△FNK =

ah

2d

·x 1+

(d-x)2

x 2 ,

又x 1+

(d-x)2

x 2 =x·2x

2+d

2-2dx

x

2 =2x+

d

2

x

-

2d≥2 2x·d

2

x

-2d=2(2-1)d,

当且仅当2x=

d

2

x

,即x=

2

2

d时取等号.

则S△EMK +S△FNK ≥

ah

2d

·2(2-1)d=(2-1)ah,

综上△EMK 与△FNK 的面积之和最小为(2-1)ah,

其中h为AB 与CD 间距离,此时MK

MN

=

2

2

.

主题八 导数的概念与导数的运算

基础演练

1.B

2.解:(1)y'=-3sinx-4cosx+2e

x ;

(2)y'=

1

xln2

-3

xln3;

(3)y'=2xsinx+x

2cosx2xsinx+cosx

2x x

;

(4)y'=

x-1

x

2 +

2

3

3x

.

3.D 4.C

例题精讲

【变式训练1】 (0,1)

【变式训练2】 (-∞,-4)∪(0,+∞)

主题九 导数与函数的单调性

基础演练

1. 0,1

2 ,(1,+∞)

2. -∞,-

1

2

3.C 4.A 5.D

例题精讲

【变式训练1】 解:(1)当a=-1时,f(x)= 1

x

-1

ln(1+x)的定义域为(-1,0)∪(0,+∞),f'(x)= -

1

x

2 ln

(1+x)+ 1

x

-1 · 1

1+x

,f(1)=0,f'(1)=-ln2,所以切

线方程为y-0=(-ln2)·(x-1),即(ln2)x+y-ln2=0.

(2)由 f(x)= 1

x

+a ln(1+x),可 得 f'(x)=

-

1

x

2 ln(1+x)+ 1

x

+a · 1

1+x

,满足题意时,则f'(x)

≥0在(0,+∞)上恒成立.即f'(x)= -

1

x

2 ·ln(1+x)+

1

x

+a · 1

1+x

≥0,

化简得-(1+x)ln(1+x)+(ax

2+x)≥0,令g(x)=-

(1+x)ln(1+x)+(ax

2+x),原问题等价于g(x)≥0在(0,

+∞)上恒成立,g'(x)=2ax-ln(1+x),当a≤0时,由于

2ax≤0,ln(1+x)>0,则g'(x)<0,所以g(x)在(0,+∞)上

单调递减,则当x>0时,g(x)<g(0)=0,不符合题意.当a

>0时,令h(x)=2ax-ln(1+x)(x>0),则h'(x)=2a1

1+x

,当a≥

1

2

时,即2a≥1时,由于 1

1+x

<1,所以h'(x)>

0,所以h(x)在(0,+∞)上为单调递增,即g'(x)在(0,+∞)

上为单调递增,则g'(x)>g'(0)=0,所以g(x)在(0,+∞)

上为单调递增,则g(x)>g(0)=0,符合题意.当0<a<

1

2

时,由h'(x)=0,可 得 x=

1

2a

-1,当 x∈ 0,1

2a

-1 时,

h'(x)<0,h(x)为 单 调 递 减 函 数,即 g'(x)单 调 递 减,则

g'(x)<g'(0)=0,所以g(x)单调递减,则g(x)<g(0)=0,

不符合题意,综上可知:a的范围为 1

2 ,+∞ .

【变式训练2】 解:由题意得,f'(x)=a

xlna-b,当b≤

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高考导练数学·400

0时,由于a>1,则a

xlna>0,故f'(x)>0恒成立,此时f(x)

在 R上单调递增;当b>0时,令f'(x)>0,解得x>loga

b

lna

,令f'(x)<0,解得x<loga

b

lna

,所以当b>0时,函数

f(x)在 -∞,loga

b

lna 单调递减,在 loga

b

lna

,+∞

单调递增;综上,当b≤0时,f(x)的单调递增区间为(-∞,

+∞);当b>0 时,f(x)的 单 调 递 减 区 间 为 - ∞,loga

b

lna ,单调递增区间为 loga

b

lna

,+∞ .

【变式训练3】 A

主题十 导数与函数极值和最值

基础演练

1.C 2.B 3.D 4.-3 5.B

例题精讲

【变式训练1】 BCD

【变式训练2】 C

【变式训练3】 解:f(x)=x

3-me

x 的定义域为(-∞,

+∞),f'(x)=3x

2-me

x ,

由题意得f'(x)=0有三个零点,即方程m

3

=

x

2

e

x 有三个

根.令g(x)=

x

2

e

x ,则g'(x)=

x(2-x)

e

x ,

g(x)在(-∞,0),(2,+∞)上单调递减,在(0,2)上单

调递增,g(0)=0,g(2)=

4

e

2 ,且 g(x)≥0 恒 成 立,当 x→

-∞时,则g(x)→+∞,x→+∞时,g(x)→0,所以m

3

∈ 0,

4

e

2 ,则 m∈ 0,12

e

2 .

主题十一 导数的几何意义

基础演练

1.5x-y+2=0 2.-

3

2

ln

3

2

3.C 4.D 5.8

例题精讲

【变式训练1】 10

10

.

【变式训练2】 AD

【变式训练3】 解:设P(x1,e

x1

-1),Q(x2,lnx2),由题意

得,f'(x)=e

x-1,g'(x)=

1

x

,函数y=f(x)在点 P 处的切

线方程为y-e

x1

-1 (x-x1),整理得:y=e

x1

-1x+(1-x1)

e

x1

-1①,

函数y=g(x)在点Q 处的切线方程为y-lnx2=

1

x2

(x

-x2),整理得:y=

1

x2

x+lnx2-1②,

比较①和②得:

e

x1

-1=

1

x2

③,

(1-x1)e

x1

-1 =lnx2-1④,

两曲线公

切线的条数即为该方程组解的组数,

由③得:lnx2 =1-x1,代入④整理得:(x1 -1)e

x1

-1 -

x1=0,

令h(x)=(x-1)e

x-1-x(x∈R),则h'(x)=xe

x-1-1,

所以h'(x)>0⇔x>1,h'(x)<0⇔x<1,从 而 h(x)在

(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,h(1)=-1

<0,

又因为h(-1)=1-

2

e

2 >0,h(2)=e-2>0,所以h(x)

在(-1,1)和(1,2)上各有1个零点,

从而h(x)共有2个零点,故f(x)与g(x)的图象有2条

公切线.

主题十二 导数与不等关系

基础演练

1.C 2.C 3.D 4.C

例题精讲

【变式 训 练】 解:解 法 一:令 F(x)=axsinx

cos

2x

+

sinx,则F(0)=0,F'(x)=a+

cos

4x+cos

2x-2

cos

3x

.

令t=cosx,x∈ 0,π

2 则t∈ (0,1),令 y=a+

t

4+t

2-2

t

3 =a+t+

1

t

-

2

t

3 ,则导函数为y'=1-

1

t

2 +

6

t

4 =

t

4-t

2+6

t

4 ,则 y' = t

2-

1

2

2

+

25

4

t

4 >0,函 数 y =a +

t

4+t

2-2

t

3 在(0,1)上为增函数,当a≤0时,y=a+

t

4+t

2-2

t

3

<a,所以F'(x)<0,所以F(x)在 0,π

2 为减函数,所以 F

(x)<F(0)=0,则x∈ 0,π

2 ,f(x)+sinx<0成立;当a

>0时,F'(0)=a>0,当x→ π

2

+

时,F'(x)→-∞,所以

存在一个 x0 ∈ 0,π

2 ,满 足 F'(x0)=0,且 当x∈(0,x0)

时,F'(x)>0,F(x)单调递增,则当x∈(0,x0)时,F(x)>

F(0)=0,不符合题意,综上:a的取值范围为(-∞,0].

解法二:f(x)+sinx=axsinx

cos

2x

+sinx=ax+sinx 1

-

1

cos

2x ,

当a≤0时,ax≤0,sinx>0,1-

1

cos

2x

<0,则f(x)+

sinx<0;当a>0时,因为x∈ 0,π

2 时满足sinx<x,所

以f(x)+sinx>asinx+sinx 1-

1

cos

2x

f(x)>sinx a+1-

1

cos

2x ,因为函数y=

1

cos

2x x∈

0,π

2 的值域为(1,+∞),a+1>1,所以对于任意大于0

的参数a,一定存在x0∈ 0,π

2 ,使得 1

cos

2x0

<a+1,

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高考导练数学·401

即存在x0∈ 0,π

2 ,使得f(x0)+sinx0>0,故a>0

不能确保f(x)+sinx<0,与题意矛盾,故a>0不成立,综

上:a取值范围为(-∞,0].

(解法二,巧妙的进行放缩,技巧性强,给我们提供了另

一种思路)

主题十三 导数与双变量

基础演练

1.A 2.A 3.b≥6 4.2

主题十四 导数与函数的零点

基础演练

1.D 2.C 3.①③④⑤ 4.-3

例题精讲

【变式训 练 1】 解:(1)函 数 f(x)的 定 义 域 为 (0,

+∞),f'(x)=lnx+1-a,令f'(x)=0,解得x=e

a-1,

当0<x<e

a-1时,f'(x)<0,当x>e

a-1时,f'(x)>0,所

以f(x)在(0,e

a-1)上单调递减,在(e

a-1,+∞)上单调递增.

(2)g(x)=xlnx-ax-2xsinx+x=x(lnx-a2sinx+1),设h(x)=lnx-2sinx+1-a,x∈(0,2π)则

g(x)在(0,2π)上的零点也是h(x)的零点,h'(x)=

1

x

-2cosx,

x∈ 0,1 2 时,则有h'(x)=

1

x

-2cosx≥2-2cosx>0,所

以h(x)在 0,1 2 上为增函数,又0<sin

1

2

<sin

π

6

=

1

2

,

a≤-1,h 1

2 =ln

1

2

-2sin

1

2

-a+1≥2-ln2-2sin

1

2

>1-ln2>0,由 于 0<e

a-1 ≤e

-2 <

1

2

,且h(e

a-1)=

-2sin(e

a-1)<0,所以存在唯一的x0∈ 0,1

2 ,使得h(x0)

=0,即h(x)在 0,1 2 上有1个零点.当x∈

1

2 ,1 时,设

p(x)=sinx-x,所以 p'(x)=cosx-1<0,所以 p(x)在

1

2

,1 上单调递减,又p 1

2 =sin

1

2

-

1

2

<sin

π

6

-

1

2

<0,所以当x∈

1

2 ,1 时,p(x)=sinx-x<0,即-sinx

>-x,所以当x∈

1

2 ,1 时,h(x)=lnx-2sinx+1-a>

lnx-2x+1-a≥lnx-2x+2,设t(x)=lnx-2x+2,x∈

1

2 ,1 ,所以t'(x)=

1

x

-2<0,则t(x)在 1

2 ,1 上单调

递减,所以当x∈

1

2 ,1 时t(x)≥t(1)=0,则h(x)>0,所

以h(x)在 1

2 ,1 上无零点;当x∈(1,2π)时,由于lnx>0,

a≤-1,所以h(x)>1-2sinx-a≥2-2sinx≥0,所以h(x)

在(1,2π)上无零点.综上可知,g(x)在(0,2π)上只有 1个

零点.

(该题找点比较难,难在使用放缩法,比如0<sin

1

2

<

sin

π

6

=

1

2

,0<e

a-1 ≤e

-2 <

1

2

,x∈

1

2 ,1 时sinx<x,在

此基础上在放缩h(x)=lnx-2sinx+1-a>lnx-2x+2,

还有当x∈(1,2π)时,由于lnx>0,a≤-1,所以h(x)>1-

2sinx-a≥2-2sinx≥0)

【变式训练2】 解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞),当a

=0时,f(x)=-

1

x

-lnx,则f'(x)=

1

x

2 -

1

x

=

1-x

x

2 ,当x

∈(0,1)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(1,+∞)时,

f'(x)<0,f(x)单调递减;所以f(x)max=f(1)=-1.

(2)f(x)=ax1

x

-(a+1)lnx,x>0,

则f'(x)=a+

1

x

2 -

a+1

x

=

(ax-1)(x-1)

x

2 ,当 a≤0

时,ax-1<0,所以当x∈(0,1)时,f'(x)>0,f(x)单调递

增;当x∈ (1,+ ∞)时,f'(x)<0,f(x)单 调 递 减;所 以

f(x)max=f(1)=a-1<0,此时函数无零点,不合题意;当0

<a<1时,1

a

>1,在(0,1), 1

a

,+∞ 上,f'(x)>0,f(x)

单调递增;在 1,1

a 上,f'(x)<0,f(x)单调递减;又f(1)

=a-1<0,由第一问得 1

x

+lnx≥1,即ln

1

x

≥1-x,所以

lnx<x,ln x< x,lnx<2x,当x>

1

a

时,f(x)=ax1

x

-

(a+1)lnx>ax1

x

-2(a+1)x>ax-(2a+3) x,则存

在 m= 3

a

+2

2

>

1

a

,使得f(m)>0,所以f(x)仅在 1

a

,

+∞ 有唯一零点,符合题意;当a=1时,f'(x)=

(x-1)2

x

2 ≥0,

所以f(x)单调递增,又f(1)=a-1=0,所以f(x)有唯一零点,

符合题意;当a>1 时,1

a

<1,在 0,1

a , 1

a

,+ ∞ 上,

f'(x)>0,f(x)单调递增;在 1

a

,1 上,f'(x)<0,f(x)单

调递减;此时f(1)=a-1>0,由第一问得当0<x<1时,

lnx>1-

1

x

,ln x>1-

1

x

,所以lnx>2 1-

1

x ,此时

f(x)=ax1

x

-(a+1)lnx<ax1

x

-2(a+1) 1-

1

x

<-

1

x

+

2(a+1)

x

,存在n=

1

4(a+1)2 <

1

a

,使得f(n)<0,

所以f(x)在 0,1

a 有一个零点,在 1

a

,+∞ 无零点,所

以f(x)有唯一零点,a的取值范围为(0,+∞).

(该题在使用零点存在性定理时巧妙的利用了第一问

得到一个不等关系 1

x

+lnx≥1,在此基础上进行放缩得到

lnx<x,再把x替换 x,得到lnx<2 x,以此为放缩基础

得到f(x)>ax-(2a+3) x,从而找到题中所得到的m;在

1

x

+lnx≥1基础上进行变形得到当0<x<1时,lnx>1-

1

x

,ln x>1-

1

x

,所以lnx>2 1-

1

x .以此为基础放缩

得到f(x)=ax1

x

-(a+1)lnx<ax1

x

-2(a+1) 1-

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高考导练数学·402

1

x <-

1

x

+

2(a+1)

x

,找到题中的n.

【变式训练3】 解:当f(x)=0时,2a=

x

e

x ,令h(x)=

x

e

x ,则h'(x)=

1-x

e

x ,当 x<1 时,h'(x)>0,当 x>1 时,

h'(x)<0,于是得h(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)

上单调递减,且h(x)max=h(1)=

1

e

,于是得h(x)在(-∞,

1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,且h(x)max=h(1)

=

1

e

,观察图象知,当0<2a<

1

e

,直线y=2a与函数y=h

(x)的图象有两个公共点,即方程f(x)0有两个不相等的实

数根,所以a的取值范围是 0,1

2e .

第四章 三角函数与解三角形

主题一 三角函数的基本概念、同角三角

函数与诱导公式

基础演练

1.A 2.B 3.D 4.A 5.A

例题精讲

【变式训练1】 二或四

【变式训练2】 一、三或四

【变式训练3】 C

主题二 三角函数的图象和性质

基础演练

1.C 2.B 3.C

4. -3,-

5π 6 ∪ -

π

6

,π

6 ∪

5π

6 ,3 5.D

6.解:(1)由表可知ymax=3,则A=3,

因为T=

5π

6

- -

π

6 =π,T=

2π

ω

,所以2π

ω

=π,解得ω

=2,即y=3sin(2x+φ),

因为函数图象过点 π

12

,3 ,则3=3sin 2×

π

12

+φ ,

即sin π

6

+φ =1,

所以 π

6

+φ=2kπ+

π

2

,k∈Z,解得φ=2kπ+

π

3

,k∈Z,

又因为|φ|<

π

2

,所以φ=

π

3

.

(2)由(1)可知y=3sin 2x+

π

3 .

因为3π

4

≤x≤

5π

4

,所以11π

6

≤2x+

π

3

≤

17π

6

,

因此,当2x+

π

3

=

11π

6

时,即x=

3π

4

时,y=-

3

2

,

当2x+

π

3

=

5π

2

时,即x=

13π

12

时,y=3.

所以该函数在区间 3π

4

,5π 4 上的最大值是3,最小值是

-

3

2

.

例题精讲

【变式训练1】 B

【变式训练2】 -

1

2 - 2,1

【变式训练3】 D

【变式训练4】 -3,-

π 2 ∪ 0,π

2

【变式训练5】 π

3

【变式训练6】 C

【变式训练7】 C

【变式训练8】 D

主题三 三角恒等变换

基础演练

1.-

5

5

. 2.B 3.B 4.C 5.D

例题精讲

【变式训练1】 A

【变式训练2】 A

【变式训练3】 C

【变式训练4】 解:(1)由已知根据同角三角函数的基

本关系可求得tanβ,根据tan2α=tan[(2α+β)-β]代入即

可求得求得结果.

(2)由(1)利用二倍角公式tan2α=

2tanα

1-tan

2α

=

4

3

,可求

得tanα,进而可得tan(α+β)=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

的值,根据角的

范围,即可确定结果.

(1)因β∈(0,π),且cosβ=

3 10

10

所以 sinβ= 1-cos

2β= 1- 3 10

10

2

=

10

10

,

tanβ=

sinβ

cosβ

=

1

3

又tan(2α+β)=3,所 以tan2α=tan[(2α+β)-β]=

tan(2α+β)-tanβ

1+tan(2α+β)tanβ

=

3-

1

3

1+3×

1

3

=

4

3

.

(2)tan2α=

2tanα

1-tan

2α

=

4

3

,2tan

2α+3tanα-2=0 得

tanα=

1

2

或tanα=-2,

又α∈ 0,π

2 ,所以tanα=

1

2

,

因tanβ=

1

3

,所 以 tan(α+β)=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=

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高考导练数学·403

1

2

+

1

3

1-

1

2

×

1

3

=1,

tanβ=

1

3

,且β∈(0,π),所以β∈ 0,π

2 ,

又α∈ 0,π

2 ,于是α+β∈(0,π),所以α+β=

π

4

.

【变式训练5】 解:需要依据正方形的面积,寻求正方

形边长间的关系,并用x建立边长与角之间的联系.

设原正方形钢板的边长为a,截后的正方形边长为b,则

a

2

b

2 =

3

2

,a

b

=

3

2

,

又a=GC+CF=bsinx+bcosx,

所以sinx+cosx=

6

2

,所以sin x+

π

4 =

3

2

.

因为x∈ 0,π

2 ,x+

π

4

∈ π

4

,3π

4 ,所以x+

π

4

=

π

3

或2π

3

,得x=

π

12

或5π

12

.

所以x=

π

12

或5π

12

.

主题四 三角函数面积与解三角形

基础演练

1.D

2.C

3.D

4.解:(1)由正弦定理可得, a

sinA

=

b

sinB

,即 39

sin120°

=

2

sinB

,解得:sinB=

13

13

;

(2)由余弦定理可得,a

2=b

2+c

2-2bccosA,即39=4+

c

2-2×2×c× -

1

2 ,

解得:c=5或c=-7(舍去).

(3)由正弦定理可得, a

sinA

=

c

sinC

,即 39

sin120°

=

5

sinC

,

解得:sinC=

5 13

26

,而A=120°,

所以 B,C 都 为 锐 角,因 此 cosC= 1-

25

52

=

3 39

26

,

cosB= 1-

1

13

=

2 39

13

,

sin(B-C)=sinBcosC-cosBsinC=

13

13

×

3 39

26

-

2 39

13

×

5 13

26

=-

7 3

26

.

例题精讲

【变式训练1】 2

【变式训练2】 分析:首先明确该实际问题可转化成什

么样的解三角形问题.

(1)三边一角,由余弦定理可以求小岛 A 到小岛C 的

距离;

(2)两边两角,由正弦定理可以求角.

解:(1)在△ABC 中,AB=60,BC=30 3-30

∠ABC=180°-75°+15°=120°,根据余弦定理得:

AC

2=AB

2+BC

2-2AB·BC·cos∠ABC

=60

2+(30 3-30)2-2×60×(30 3-30)·cos120°

=5400

AC=30 6.

所以小岛A 到小岛C 的最短距离是30 6海里.

(2)根 据 正 弦 定 理 得: AC

sin∠ABC

=

AB

sin∠ACB

,30 6

sin120°

=

60

sin∠ACB

解得sin∠ACB=

2

2

在△ABC 中,BC<AC,∠ACB 为 锐 角,∠ACB=45°,

∠CAB=180°-120°-45°=15°.

由75°-15°=60°得,游 船 应 该 沿 北 偏 东 60°的 方 向

航行.

第五章 平面向量与复数

主题一 平面向量的概念及其线性运算

基础演练

1.ABC 2.C 3.4 4.

8

3

5.-8

主题二 平面向量基本定理与坐标表示

基础演练

1.B 2.A 3.A 4.6 5.

8

5

主题三 平面向量数量积的运算

基础演练

1.× × × √

2.B

3.c=(1,1)(写出一个符合要求的答案即可)

4.B 5.C

主题四 平面向量与三角的综合问题

基础演练

1.120° 2.4

主题五 复数的概念及其四则运算

基础演练

1.B 2.C 3.B

主题六 复数的几何意义

基础演练

1.C 2.C 3.A

第六章 数列

主题一 数列的定义、通项与前n项和

基础演练

1.B 2.B 3.an=4n-5

4.

1

1023

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高考导练数学·404

例题精讲

【变式训练1】 an=

1

2

,n=1

-

1

2n(n-1)

,n≥2

?

?

?

??

??

【变式训练2】 an=2

n+1+1

主题二 等差数列及其通项与前n项和

基础演练

1.C 2.C

3.证明:因为

2Sn

n

+n=2an+1,即2Sn+n

2=2nan+n,①

当n≥2 时,2Sn-1 + (n-1)2 =2(n-1)an-1 + (n1),②

①-②得,2Sn +n

2 -2Sn-1 -(n-1)2 =2nan +n-2(n

-1)an-1-(n-1),

即2an+2n-1=2nan-2(n-1)an-1+1,

即2(n-1)an-2(n-1)an-1=2(n-1),

所以an-an-1=1,n≥2且n∈N

* ,

所以{an}是以1为公差的等差数列.

主题三 等比数列及其通项与前n项和

基础演练

1.C 2.C 3.D

4.证明:因为Sn 为{an}的前n项和,

又an+1=Sn-n+3,

所以an=Sn-1-(n-1)+3,(n≥2),

所以an+1-an=an-1,

所以an+1-1=2(an-1),(n≥2),

又a1=3,a2=a1+2=5,所以a2-1=2(a1-1),

所以an+1-1=2(an-1),(n∈N

* ),又a1 -1=2,所以

{an-1}是以2为首项,2为公比的等比数列.

主题四 等差数列与等比数列综合问题

基础演练

1.B

2.解:(1)2Sn=a

2

n+n,①

当n=1时,2S1=a

2

1+1=2a1,解得a1=1,

2Sn+1=a

2

n+1+n+1,②

②-①得2an+1=a

2

n+1-a

2

n+1,

所以(an+1-1)2=a

2

n,

因为a1=1,{an}是递增数列,所以an≥1,

所以an+1-1=an,即an+1-an=1,

所以数列{an}是首项为1,公差为1的等差数列,

所以an=1+(n-1)×1=n,

因为b1 =a1 =1,b4 =4a2 =4×2=8,bnbn+2 =b

2

n+1,n

∈N

* ,

所以数列{bn}是首项为1的等比数列,

所以b4=b1q

3,即q

3=8,可得q=2,

所以bn=b1q

n-1=2

n-1.

(2)由题意可知,Sn=

n(1+n)

2

,bn+1=2

n ,

由已知可得,cn=

(6n-7)2

n-1

(2n-1)(2n+3)

,n为奇数, n,n为偶数,

,

设{cn}的前2n项和中,奇数项的和为 Pn,偶数项的和

为Qn,

所以Pn=c1+c3+c5+…+c2n-1,

Qn=c2+c4+c6+…+c2n,

当n为奇数时,cn=

(6n-7)2

n-1

(2n-1)(2n+3)=

2

n+1

2n+3

-

2

n-1

2n-1

,

所以Pn=c1+c3+c5+…+c2n-1= 2

2

5

-

2

0

1 + 2

4

9

-

2

2

5 + 2

6

13

-

2

4

9 +…+ 2

2n

4n+1

-

2

2n-2

4n-3

=

4

n

4n+1

-1,

当n为偶数时,cn=n,

所以Qn=c2+c4 +c6 +…+c2n =2+4+6+…+2n=

(2+2n)n

2

=n(n+1),

由(-1)nλ+

4

n

4n+1

<T2n,得(-1)nλ+

4

n

4n+1

<

4

n

4n+1

-

1+n(n+1),

即(-1)nλ<-1+n(n+1),

当n为偶数时,λ<n

2 +n-1对一切偶数成立,所以λ

<5,

当n为奇数时,-λ<n

2 +n-1对一切奇数成立,所以

此时λ>-1,

故对一切n∈N

* 恒成立,则-1<λ<5,

所以λ的取值范围是(-1,5).

3.解:(1)由题意知,{an}为等差数列,设公差为d,{bn}

为等比数列,设公比为q(q>0),

又2a1=b1=2,a4=b2,b5=4b3,所以q

2=

b5

b3

=4,所以q

=2,bn=2

n .

所以a4=b2=4=a1+3d,d=1,所以an=n.

(2)由(1)可得,cn=

2n-1,n为奇数,

(3n-2)·2

n -2

(2

n +1)(2

n+2+1) ,n为偶数

=

2n-1,n为奇数,

n

2

n +1

-

n+2

2

n+2+1 ,n为偶数,

所以 ∑

2n+1

k=1

ck=(c1 +c3 +c5 +…+c2n+1)+(c2 +c4 +c6 +

…+c2n)

=[1+5+9+…(4n+1)]

+ 2

2

2 +1

-

4

2

4 +1 + 4

2

4 +1

-

6

2

6 +1 +…+ 2n

2

2n +1

-

2n+2

2

2n+2 +1

=

[1+(4n+1)](n+1)

2

+ 2

5

-

2n+2

2

2n+2+1

=(2n+1)(n+1)+

2

5

-

2n+2

2

2n+2+1

.

(3)1

a

3

n

=

1

n

3 =

1

n·n

2 <

1

n(n

2-1)

=

1

n(n+1)(n-1)

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高考导练数学·405

=

1

2

1

n(n-1)-

1 n(n+1) (n≥2),

所以 1

a

3

1

+

1

a

3

2

+

1

a

3

3

+ … +

1

a

3

n

≤1+

1

2

1

1×2

-

1

2×3

+

1

2×3

-

1

3×4

+…+

1

n(n-1)-

1

n(n+1)

=1+

1

2

1

2

-

1 n(n+1) =

5

4

-

1

2n(n+1)

(n≥2).

因为 1

2n(n+1)>0,所以当n≥2时,5

4

-

1

2n(n+1)<

5

4

成立,

n=1时,1<

5

4

也成立,

所以 1

a

3

1

+

1

a

3

2

+

1

a

3

3

+…+

1

a

3

n

<

5

4

.

4.解:(1)因为2Sn=nan,

当n=1时,2a1=a1,即a1=0;

当n=3时,2(1+a3)=3a3,即a3=2;

当n≥2时,2Sn-1 =(n-1)an-1,所以2(Sn -Sn-1)=

nan-(n-1)an-1=2an,

化简得(n-2)an=(n-1)an-1,当n≥3时,

an

n-1

=

an-1

n-2

=…=

a3

2

=1,即an=n-1,

当n=1,2时都满足上式,所以an=n-1(n∈N

* ).

(2)因为

an+1

2

n =

n

2

n ,所以Tn=1× 1

2

1

+2× 1

2

2

+

3× 1

2

3

+…+n× 1

2

n

,

1

2

Tn=1× 1

2

2

+2× 1

2

3

+3× 1

2

4

+…+(n

-1)× 1

2

n

+n× 1

2

n+1

,

两式相减得 1

2

Tn = 1

2

1

+ 1

2

2

+ 1

2

3

+ … +

1

2

n

-n× 1

2

n+1

=

1

2

× 1- 1

2

n

1-

1

2

-n× 1

2

n+1

=1- 1+

n

2 1

2

n

,

所以Tn=2-(2+n) 1

2

n

,n∈N

* .

主题五 数列中的创新问题

基础演练

1.D 2.D

第七章 立体几何与空间向量

主题一 简单几何体的表面积和体积

基础演练

1.

7 6

6

2.

1

3

3.39π 4.B 5.B

例题精讲

【变式训练1】 A

【变式训练2】 5

【变式训练3】 3

12

主题二 空间点、直线、平面之间的位置关系

基础演练

1.ABC 2.AB 3.p1,p4 4.BD 5.C

主题三 空间直线与直线、直线与平面、

平面与平面之间平行的判定和性质

基础演练

1.B 2.平行四边形 3.ABC 4.D 5.B

例题精讲

【变式训练1】 解:解法一:如图所示,作 PM∥AB 交

BE 于点M,作QN∥AB 交BC 于点N,连接 MN.

因为正方形ABCD 和正方形ABEF 有公共边AB,

所以AE=BD,又 AP=DQ,所以 PE=QB,又 PM∥

AB∥QN,

所以PM

AB

=

PE

AE

=

QB

BD

=

QN

DC

,所以PM

AB

=

QN

DC

,

又因为AB=DC,所以 PM=QN,则四边形 PMNQ 为

平行四边形,

所以 PQ∥ MN.又 因 为 MN ⊂ 平 面 BCE,PQ ⊄ 平

面BCE,

所以PQ∥平面BCE.

解法二:如图,在平面ABEF 内,

过点P 作PM∥BE 交AB 于点 M,连接 QM,因为 PM

∥BE,所以AP

PE

=

AM

MB

,

又因为AE=BD,AP=DQ,所以PE=BQ,

所以AP

PE

=

DQ

BQ

,所以AM

MB

=

DQ

QB

,

所以 MQ∥AD,又因为AD∥BC,所以 MQ∥BC,

又因为 MQ⊄平面BCE,BC⊂平面BCE,

所以 MQ∥平面BCE.同理PM∥平面BCE.

又因为PM∩MQ=M,所以平面 PMQ∥平面 BCE,又

因为PQ⊂平面PMQ,所以PQ∥平面BCE.

【变式训练2】 【解】 取PB 中点G,连接FG,EG,

因为PG=BG,PF=CF,

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高考导练数学·406

所以FG∥CB 且FG=

1

2

BC.

又因为 DE∥BC,且 DE=

1

2

BC,

所以 DE∥FG 且DE=FG,

所以四边形 DEGF 为平行四边形,

所以 DF∥GE.

又因为 DF⊄平面PBE,GE⊂平面 PBE,所以 DF∥平

面PBE.

又因为 DF⊂平面 PDC,平面 PDC∩平面 PBE=l,所

以 DF∥l.

【变式训练3】 ABD

【变式训练4】 25+95+2 13

3

基础演练

1.C 2.C 3.D 4.BC 5.C

6.证明:连接DE,AE(图略),

因为DC=DB,CE=BE,所以DE⊥BC.

因为∠ADB= ∠ADC=60°,DA=DA,DC=DB,所 以

△ADB≌△ADC,

则AC=AB,

又CE=BE,所以AE⊥BC,

因为DE∩AE=E,DE,AE⊂平面 ADE,所以 BC⊥平

面ADE,

又DA⊂平面ADE,所以BC⊥DA.

例题精讲

【变式训练1】 解:(1)因为 M,N 分别为BC,B1C1 的中

点,所以 MN∥CC1.又由已知得AA1∥CC1,故AA1∥MN.因

为△A1B1C1 是正三角形,所以B1C1⊥A1N.又B1C1⊥MN 且

A1N∩MN=N,故 B1C1 ⊥平面 A1AMN.因为 B1C1 ⊂平面

EB1C1F,所以平面A1AMN⊥平面EB1C1F.

(2)因为 AO∥平面 EB1C1F,AO⊂平面 A1AMN,平面

A1AMN∩平 面 EB1C1F=PN,故 AO∥PN.又 易 知 AP∥

ON,故四边形APNO 是平行四边形,所以 PN=AO=6,AP

=ON=

1

3

AM= 3,PM=

2

3

AM=23,EF=

1

3

BC=2.易得

BC∥平面EB1C1F,所以四棱锥 B-EB1C1F 的顶点 B 到底

面EB1C1F 的距离等于点 M 到底面EB1C1F 的距离.

如图,

作 MT⊥PN,垂足为T,则由(1)知,MT⊥平面EB1C1F,

故点 M 到底面EB1C1F 的距离即为 MT 的长,在 Rt△MPT

中,MT=PMsin∠MPN=3.梯 形 EB1C1F 的 面 积 为 1

2

×

(B1C1+EF)×PN=

1

2

×(6+2)×6=24.所以四棱锥 BEB1C1F 的体积为 1

3

×24×3=24.

【变式训练2】 6

2

解:如图所示,

该三棱锥的外接球即为长方体的外接球,球心为长方体

体对角线的中点,即外接球的半径为体对角线长的一半.设此

长方体的长、宽、高分别为x,y,z,则有

x

2+y

2=4,

y

2+z

2=5,

x

2+z

2 =3,

即x

2+y

2

+z

2=6,所以外接球的半径R=

1

2

x

2+y

2+z

2 =

6

2

.

【变式训练3】 3

2

π

【变式训练4】 7π

3

【变式训练5】 2

3

π

【变式训练6】 C

主题五 空间向量及其运算、空间角和

空间距离的计算

基础演练

1.C 2.A 3.B 4.

32

2

5.

1

2

6

3

3

3

例题精讲

【变式训练1】 C

【变式训练2】 22

【变式训练3】 解:(1)AC⊥EF.理由如下:

如图,连接DE,BE,

因为AD=DC,∠ADB=∠CDB,DB=DB,

所以△ADB≌△CDB,所以AB=BC.

因为E 是AC的中点,所以BE⊥AC.

因为AD=DC,所以DE⊥AC.

又BE∩DE=E,BE,DE⊂平面BDE.

所以AC⊥平面BDE,又EF⊂平面BDE,所以AC⊥EF.

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高考导练数学·407

(2)由 AD=CD,AD= 2,AC=2,可 得 AD

2 +CD

2 =

AC

2,所以∠ADC=90°.

因为E 是AC的中点,所以DE=1.

由(1)知AB=BC,且AB=AC=2,所以△ABC是等边三

角形,所以BE= 3.

由DE

2+BE

2=DB

2,可得BE⊥DE.

又DE⊥AC,AC∩BE=E,AC,BE⊂平面 ABC,所以 DE

⊥平面ABC.

以E 为坐标原点,EA,EB,ED 所在直线分别为x 轴,y

轴,z轴建立如图所示空间直角坐标系E-xyz,

由题可知A(1,0,0),B(0,3,0),C(-1,0,0),D(0,0,

1),

则A→B=(-1,3,0),C→B=(1,3,0),B→D=(0,- 3,1),

设B→F=tB→D=(0,- 3t,t)(0≤t≤1),

则C→F=C→B+B→F=(1,3,0)+(0,- 3t,t)=(1,3- 3

t,t).

设平面ABD 的法向量为m=(x,y,z),

则

m·A→B=0, m·B→D=0,

即

-x+ 3y=0, - 3y+z=0,

取x= 3,得y=1,z= 3,

则平面ABD 的一个法向量为m=(3,1,3),

则|cos<C→F,m>|=

|3+ 3- 3t+ 3t|

1

2+(3- 3t)2+t

2 × 7

=

43

7

,

即 23

4t

2-6t+4× 7

=

43

7

,

化简得(4t-3)2=0,解得t=

3

4

,

故满足题意的点F 在棱BD 上靠近点D 的四等分点处.

【变式训练4】 解:(1)由已知可得AE=BE= 2,又AB

=2,所以AE

2+BE

2=AB

2,所以BE⊥AE.

又平 面 PAE⊥ 平 面 ABCE,平 面 PAE∩ 平 面 ABCE

=AE,

所以BE⊥平面PAE.

因为BE⊂平面PBE,所以平面PAE⊥平面PBE.

(2)解法1(几何法):

取AE 的中点为F,则FM=

1

2

AC=

5

2

,

在 Rt△PFM 中,PM= PF

2+FM

2

=

1

2

+

5

4

=

7

2

,

在△AEM 中,AM

2 =AE

2 +EM

2 -2AE·EM·cos135°

=

13

4

,则AM=

13

2

.

在 △APM 中,cos ∠AMP =

AM

2+MP

2-AP

2

2AM·MP

=

13

4

+

7

4

-1

2×

13

2

×

7

2

=

8

91

,则sin∠AMP=

33

91

,

则S△APM =

1

2

×AM×PM×sin∠AMP=

1

2

×

13

2

×

7

2

×

33

91

=

33

8

,

设点B 到 平 面 PAM 的 距 离 d,根 据VP-BAM =VB-PAM

可得,

d=

S△ABM ·PF

S△APM

=

1

2

×2×1×

2

2

33

8

=

46

9

,

则sinθ=

d

BM

=

46

9

5

2

=

8 30

45

.

解法2(向量法):如图,取AE 的中点为O,连接PO.

因为PA=PE=1,所以PO⊥AE.

因为平面PAE⊥平面ABCE,平面PAE∩平面ABCE=

AE,所以PO⊥平面ABCE.

在平面ABCE 中,过点 O 分别作 AB 的平行线和垂线,

建立如图所示的空间直角坐标系 O-xyz,则 A 1

2

,-

1

2

,

0 ,B 1

2

,3

2

,0 ,P 0,0,2

2 ,M -

1

2

,1,0 ,则M→A= 1,

-

3

2

,0 ,M→B= 1,1

2

,0 ,M→P= 1

2

,-1,2

2 .

设平面PAM 的法向量为n=(x,y,z),

由

n·M→A=0, n·M→P=0,

得

x3

2

y=0,

1

2

x-y+

2

2

z=0,

?

?

?

??

??

取y=22,得x=32,z=1,

所以n=(32,22,1)为平面PAM 的一个法向量.

设直 线 BM 与 平 面 PAM 所 成 的 角 为θ,则 sinθ=

|n·M→B|

|n||M→B|

=

3 2+ 2

3 3×

5

2

=

8 30

45

,即直线 BM 与平面PAM 所

成角的正弦值为8 30

45

.

【变式训练5】 解:(1)如图,取AC 的中点G,连接EG.

因为ED∥AC,CG=

1

2

AC=ED,

所以CG∥ED,且CG=ED,

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高考导练数学·408

所以四边形EDCG 为平行四边形,所以EG=DC= 3.

又AG=

1

2

AC=1,AE=2,

所以AG

2+EG

2=AE

2,所以AG⊥EG.

又CD∥EG,所以AC⊥CD.

因为AC⊥BC,BC∩CD=C,BC,CD⊂平面BCD,所以

AC⊥平面BCD.

因为AC⊂平面ABC,所以平面BCD⊥平面ABC.

(2)在平面BCD 内过点C 作BC 的垂线l,

因为AC⊥平面BCD,所以l,CA,CB 三线两两垂直.

故以C 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,

则A(2,0,0),B(0,2,0),D(0,1,2),E(1,1,2),则

A→E=(-1,1,2),A→B=(-2,2,0).

设在棱BC 上存在点F(0,t,0)(0≤t≤2),使二面角 B

-AE-F 的余弦值为2 2

3

,则A→F=(-2,t,0).

设平面AEF 的法向量为n1=(x1,y1,z1),

则

A→E·n1=0, A→F·n1=0,

即

-x1+y1+ 2z1=0, -2x1+ty1=0,

不妨令y1=2,则x1=t,z1=

2(t-2)

2

,

所以n1= t,2,2(t-2)

2 为平面AEF 的一个法向量.

设平面ABE 的法向量为n2=(x2,y2,z2),

则

A→E·n2=0, A→B·n2=0,

即

-x2+y2+ 2z2=0, -2x2+2y2=0,

不妨令x2=1,则y2=1,z2=0,

所以n2=(1,1,0)为平面ABE 的一个法向量.

所以|cos<n1,n2>|=

|n1·n2|

|n1||n2|

=

|t+2|

2· t

2+2

2+

(t-2)2

2

=

2 2

3

,

化简得15t

2-68t+60=0,解得t=

6

5

或10

3

(舍去),故

F 0,6

5

,0 ,所以CF=

6

5

.

所以存在点F,当CF=

6

5

时,二面角 B-AE-F 的余

弦值为2 2

3

.

【变式训练6】 解:(1)由已知得 AD∥BE,CG∥BE,

(位于“折痕”同侧的点、线、面之间的位置关系不变)

所以AD∥CG,故AD,CG 确定一个平面,从而A,C,G,

D 四点共面.

由已知得AB⊥BE,AB⊥BC,(与“折痕”垂直的线段,

翻折前后垂直关系不变)

又BC∩BE=B,BC,BE⊂ 平 面 BCGE,故 AB⊥ 平 面

BCGE.

又AB⊂平面ABC,

所以平面ABC⊥平面BCGE.

(2)如 图,作 EH ⊥BC,垂 足 为 H.因 为 EH ⊂ 平 面

BCGE,平面BCGE⊥平面 ABC,平面 ABC∩平面 BCGE=

BC,所以EH⊥平面ABC.

由题设知,菱形 BCGE 的边长为2,∠EBC=60°,可求

得BH=1,EH= 3.以 H 为坐标原点,H→C的方向为x 轴的

正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,

则A(-1,1,0),C(1,0,0),G(2,0,3),C→G=(1,0 3),

A→C=(2,-1,0).

设 平 面 ACGD 的 法 向 量 为 n = (x,y,z),则

C→G·n=0, A→C·n=0,

即

x+ 3z=0, 2x-y=0,

令x=3,则y=6,z=- 3.

所以 可 得 平 面 ACGD 的 一 个 法 向 量 为 n = (3,6,

- 3).

易知 m=(0,1,0)为平面BCGE 的一个法向量,

则cos<n,m>=

n·m

|n||m|

=

3

2

.

由图可 知 二 面 角 B-CG-A 为 锐 角,因 此 二 面 角

B-CG-A的大小为30°.

【变式训练7】 解:(1)解法1:设点C 到平面C1MN 的

距离为d,

因 为 VC-C1

MN = VN-CC1

M ,所 以 d =

3S△CC1

M

S△C1

MN

=

3×

1

2

×8×4

1

2

×3×4 2

=4 2.

解法2:在△ABC 中,O 为BC 的中点,且 AO=

1

2

BC,

所以AB⊥AC.

连接CM,因为平面ABC⊥平面 ACC1A1,平面 ABC∩

平面ACC1A1=AC,

所以AB⊥平面ACC1A1.

又CM⊂平面ACC1A1,所以AB⊥CM.

因为 M,N 分别为AA1,BB1 的中点,所以 MN∥AB,

所以CM⊥MN.

因为△AMC 和△A1MC1 均为直角三角形,AM=A1M

=4,AC=A1C1=4,

所以△AMC≌ △A1MC1,所 以 CM =C1M = 16+16

=4 2,

所 以 CM

2 +C1M

2 =32+32=64=CC

2

1,所 以 CM

⊥C1M.

因为 MN∩C1M=M,MN,C1M⊂平面C1MN,

所以CM⊥平面C1MN,

所以点C 到平面C1MN 的距离为CM=4 2.

解法3:在△ABC 中,O 为BC 的中点,且 AO=

1

2

BC,

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高考导练数学·409

所以AB⊥AC.

又AA1⊥平面ABC,所以AB,AC,AA1 两两垂直,

连接CM,以 A 为坐标原点,AB,AC,AA1 所在直线分

别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,由题设可知C(0,

4,0),C1(0,4,8),M(0,0,4),N(3,0,4),

则C→M= (0,-4,4),C1→M = (0,-4,-4),C1→N= (3,

-4,-4).

设平面C1MN 的法向量为n=(x,y,z),

则

n·C1→M=0, n·C1→N=0,

即

-4y-4z=0, 3x-4y-4z=0,

令y=1,则z=-1,所以n=(0,1,-1)是平面C1MN

的一个法向量.

设点C 到平面C1MN 的距离为d,

则d=

|n·C→M|

|n|

=

|0×0-4×1+4×(-1)|

0

2+1

2+(-1)2

=4 2.

(2)以A 为坐标原点,建立空间直角坐标系如图(建系

过程同(1)解 法 3),则 A(0,0,0),B(3,0,0),C(0,4,0),

C1(0,4,8),M(0,0,4),B1(3,0,8),

所以AC→1=(0,4,8),B→C=(-3,4,0),BB→1=(0,0,8).

设平面BB1C1C 的法向量为n1=(x1,y1,z1),

则

n1·B→C=0, n1·BB→1=0,

即

-3x1+4y1=0, 8z1=0,

令x1=4,得y1=3,z1=0,

所以n1=(4,3,0)是平面BB1C1C 的一个法向量.

设P(x0,y0,z0),A→P=mAC→1 (0≤m≤1),则(x0,y0,

z0)=m(0,4,8),

所以P(0,4m,8m),所以M→P=(0,4m,8m-4).

设直线 MP 与平面BB1C1C 所成的角为θ,

则sinθ=

|n1·M→P|

|n1||M→P|

=

12m

5 16m

2+(8m-4)2

=

3m

5 5m

2-4m+1

.

若 m=0,则sinθ=0,此时点P 与点A 重合.

若 m≠0,令t=

1

m

(t≥1),

则sinθ=

3

5 5-4t+t

2 =

3

5 (t-2)2+1

≤

3

5

,

所以当t=2,即 m=

1

2

,P 为AC1 的中点时,sinθ取得

最大值,为 3

5

.

第八章 解析几何

主题一 直线和圆

基础演练

1.B 2.A 3.6 4.-3 5.C

例题精讲

【变式训练1】 (1)D (2) 1

3

,3 2

【变式训练2】 x=-1.

【变式训练3】 2

【变式训练4】 (1)C (2)B

【变式训练5】 2 2

3

主题二 椭圆

基础演练

1.C 2.A 3.D 4.C 5.B

例题精讲

【变式训练1】 B

【变式训练2】 ABD

【变式训练3】 24

主题三 双曲线

基础演练

1.

x

2

2

-

y

2

2

=1

2.A 3.C 4.

3

3

5.D

例题精讲

【变式训练1】 A

【变式训练2】 x

2

2

-y

2=λ(λ≠0)

【变式训练3】 AC

【变式训练4】 B

【变式训练5】 BD

主题四 抛物线

基础演练

1.D 2.C 3.

9

4

4.4 5 5.

5

2

例题精讲

【变式训练1】 解析:(1)如图,

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高考导练数学·410

过点B 作BQ 垂直于准线,交准线于点 Q,交抛物线于

点P1,连接P1F,则|P1Q|+|P1F|.又 F(1,0),则有|PB|

+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4,即|PB|+|PF|的最

小值为4.

(2)由 题 意 可 知 点 B(3,4)在 抛 物 线 的 外 部,|PB|+

|PF|的最小值即为B(3,4),F(1,0)两点之间的距离,|PB|

+|PF|≥|BF|=2 5,即|PB|+|PF|的最小值为2 5.

(3)如图,

易知抛物线的焦点为 F(1,0),准线是直线x=-1,由

抛物线的定义知点P 到直线x=-1的距离等于点 P 到点

F 的距离.于是,问题转化为在抛物线上求一点 P,使点 P

到点A(-1,1)的距离与点P 到F(1,0)的距离之和最小.连

接AF,其与抛物线相交的点即为满足题意的点,此时最小

值为 5.

【变式训练2】 y

2=4x.

【变式训练3】 25

9

【变式训练4】 ACD

主题五 直线与圆锥曲线的位置关系

基础演练

1.C 2.C 3.D 4.x+ 2y-2 2=0

5.13

主题六 圆锥曲线与其他知识综合问题

基础演练

1.D 2.A 3.D 4.

2

2

第九章 计数原理

主题一 两个计数原理

基础演练

1.C 2.B 3.B 4.D

例题精讲

【变式训练1】 12

【变式训练2】 13

【变式训练3】 B

【变式训练5】 420

【变式训练6】 C 【变式训练7】 B

主题二 排列与组合

基础演练

1.(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√

2.D 3.C 4.30

5.24

例题精讲

【变式训练1】 B 【变式训练2】 16

【变式训练3】 64

【变式训练4】 120

【变式训练5】 C

【变式训练6】 C

【变式训练8】 1560

主题三 二项式定理

基础演练

1.D 2.80 122 3.D 4.1

例题精讲

【变式训练1】 D

【变式训练2】 -28

【变式训练3】 30

【变式训练4】 4

【变式训练5】 B

【变式训练6】 ABD

【变式训练7】 D

【变式训练8】 280或560

第十章 概念与统计

主题一 抽样方法与总体估计

基础演练

1.B 2.B 3.C 4.C 5.14.5 17

例题精讲

【变式训练1】 75

主题二 古典概型与事件的独立性和互斥性

基础演练

1.D 2.C 3.B 4.C 5.A

例题精讲

【变式训练1】 C

【变式训练2】 B

【变式训练3】 BCD

【变式训练4】 解:(1)记事件 M:甲连胜四场,即4个

独立事件同时发生,则P(M)= 1

2

4

=

1

16

;

(2)记事件A 为甲输,事件B 为乙输,事件C 为丙输,则

四局内结束比赛的概率为

P'=P(ABAB)+P(ACAC)+P(BCBC)+P(BABA)

=4× 1

2

4

=

1

4

,

所以,需要进行第五场比赛的概率为P=1-P'=

3

4

;

(3)记事件A 为甲输,事件B 为乙输,事件C 为丙输,记

事件 M:甲 赢,记 事 件 N:丙 赢,则 甲 赢 的 基 本 事 件 包 括:

BCBC、ABCBC、ACBCB、BABCC、BACBC、BCACB、

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高考导练数学·397

参考答案

第一章 集合与常用逻辑用语

主题一 集合及其基本运算

基础演练

1.C 因为 N={x|x

2 -x-6≥0}=(-∞,-2]∪[3,

+∞),而 M={-2,-1,0,1,2},

所以 M∩N={-2}.故选 C.

2.A 由题意得:M={x|x+2≥0}={x|x≥-2},N=

{x|x-1<0}={x|x<1},

根据交集的运算可知,M∩N={x|-2≤x<1}.故选 A.

3.D M={x|0≤x<16},N= x x≥

1 3 ,故 M∩N

= x

1

3 ≤x<16 ,选 D.

4.B A∩B={x|-2<x<4}∩{2,3,4,5}={2,3},故

选 B.

5.B 当a-2=0,即a=2时,A={0,-2},B={1,0,

2},不符合题意;当2a-2=0,即a=1时,符合题意,综上:a

=1,故选 B.

例题精讲

【变式训练1】 解: 由A∩∁UB=∅,得A⊆B

2m-1≥m+1,

m+1≤-2, 2m-1≥5

即

m≥2,

m≤-3, m≥3

,不 等 式 组 无 解,故 不 存

在实数 m,使A∩∁UB=∅

【变式训练2】 (-∞,3]

解析:由A∪B=A 知,B⊆A.

当B=∅,即 m+1>2m-1时,解得 m<2,符合题意

当B≠∅,即

2m-1≥m+1,

m+1≥-2, 2m-1≤5

,解得2≤m≤3,

综上所述:实数 m 的取值范围为(-∞,3]

主题二 命题及其充要条件

基础演练

1.A 当x为整数时,2x+1必为整数;

当2x+1为整数时,x不一定为整数,

例如当2x+1=2时,x=

1

2

.

所以“x为整数”是“2x+1为整数”的充分不必要条件.

故选 A.

2.B 当sin

2α+sin

2β=1时,例如α=

π

2

,β=0但sinα

+cosβ≠0,

即sin

2α+sin

2β=1推不出sinα+cosβ=0,;

当sinα+cosβ=0时,sin

2α+sin

2β=(-cosβ)2 +sin

2β

=1,

即sinα+cosβ=0能推出sin

2α+sin

2β=1.

综上可知,甲是乙的必要不充分条件.故选 B.

3.C 充分性:因为xy≠0,且x+y=0,所以x=-y,

所以y

x

+

x

y

=

y

-y

+

-y

y

=-1-1=-2,

所以充分性成立;

必要性:因为xy≠0,且y

x

+

x

y

=-2,

所以x

2+y

2=-2xy,即(x+y)2=0,所以x+y=0

所以必要性成立.

所以“x+y=0”是“y

x

+

x

y

=-2”的充要条件.故选 C.

4.B 由a

2=b

2,则a=-b≠0,当a=-b≠0时,a

2+b

2

=2ab不成立,充分性不成立;

由a

2+b

2=2ab,则(a+b)2=0,即a=b,显然a

2=b

2 成

立,必要性成立;

所以a

2 =b

2 是 a

2 +b

2 =2ab 的 必 要 不 充 分 条 件.故

选 B.

5.C 设等差数列{an}的公差为d,则d≠0,记[x]为不

超过x的最大整数.

若{an}为单调递增数列,则d>0

若a1≥0,则当n≥2时,an>a1≥0;若a1<0,则an=a1

+(n-1)d,

由an =a1 + (n-1)d>0 可 得 n>1-

a1

d

,取 N0 =

1-

a1 d +1 ,则n>N0 时,an>0,

所以,{an}是 递 增 数 列 ⇒ “存 在 正 整 数 N0,当n>N0

时,an>0”

若存在正整数 N0,当n>N0 时,an >0,取k∈N

* 且k>

N0,ak>0,

假设d<0,令an=ak+(n-k)d<0可得n>kak

d

,且

kak

d

>k,

当n> kak d +1时,an <0,与题设矛盾,假设不成

立,则d>0,即数列{an}是递增数列.

所以,“{an}是递增数列”⇐“存在正整数 N0,当n>N0

时,an>0”.

所以,“{an}是递增数列”是“存在正整数 N0,当n>N0

时,an>0”的充分必要条件.故选 C.

主题三 全称量词与存在量词

基础演练

1.C 因为命题“∀x∈R,有x

2 +2x+3≥0”是全称量

词命题,所以其否定是存在量词命题,即“∃x0∈R,使得x

2

0

+2x0+3<0”.故选 C.

2.C 根据特称命题的否定形式可知命题“∃x∈R,x

2

+2x+2<0”的否定是“∀x∈R,x

2+2x+2≥0”.故选 C.

3.B 由x

2+2x+1=x,即x

2+x+1=0⇒ x+

1

2

2

+

3

4

=0,显然不可能成立,所以p为假命题,由存在量词命

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高考导练数学·398

题的否定为全称量词命题,则原命题的否定为∀x>0,x

2+

2x+1≠x.故选 B.

4.C 当a=0时,ax

2 +4ax+3=3>0对于x∈R恒成

立,满足;当a≠0时,ax

2 +4ax+3>0在x∈R 恒成立,则

a>0,

Δ=16a

2 -12a<0,

⇒0<a<

3

4

,满足;综上,0≤a<

3

4

.故

选 C.

5.A 命题“存在x∈{x|0<x<3},使得等式2x-m=

0成立”是假命题,即命题“存在x∈{x|0<x<3},使得等式

x=

m

2

成立”是假命题,即m

2

∉(0,3),所以 m

2

≤0,或 m

2

≥3,

解得 m≤0或 m≥6,即实数 m 的取值范围是{m|m≤0或 m

≥6}.故选 A.

第二章 不等式

主题一 不等式的性质、代数式大小比较

与不等式的证明

基础演练

1.B 如取a=4,b=3,c=2,d=-4,此时a+d<b+c,

故A 错误;

a+c>b+c>b+d,故B 正确;

取a=4,b= -1,c= -2,d= -3,此 时ad<bc,故 C

错误;

取a=4,b= -1,c= -2,d= -3,此 时ac<bd,故 D

错误.

2.D 若c<0,则a<b,所以ac

2 <bc

2,a+c<b+c,A,

B,C均错;

因为ac>bc,则c

2>0,因为ac>bc,则ac

c

2 >

bc

c

2 ,即a

c

>

b

c

,故 D正确.

3.M>N

解析:由 M-N=(x

2 -3x)-(-3x

2 +x-3)=4x

2 -

4x+3=(2x-1)2+2>0,得 M>N.

4.(5,8)

解析:由-2<b<-1得1<-b<2

由2<a<3得4<2a<6

故5<2a-b<8

例题精讲

【变式训练1】 BCD 由a>0>b,c<d<0,得ad<0,

bc>0,所以ad<bc.故 A 错误;

由0>b>-a得a>-b>0,由c<d<0得-c>-d>0

所以-ac>(-b)(-d)=bd即ac+bd<0,因为cd>0,所以

a

d

+

b

c

=

ac+bd

cd

<0,故 B正确;

由c<d得-c>-d,又因为a>b,所以a-c>b-d,故

C正确;

因为a>0>b,d-c>0,所以a(d-c)>b(d-c),故 D

正确.

【变式训练2】 B 此题 M,N 都是大于0的,可以通过

作商比较大小.

a

ab

b

a

bb

a= a

b

a-b

,当a>b>0时,a

b

>1,a-b

>0,所以 a

b

a-b

>1;当b>a>0时,0<

a

b

<1,a-b<0,

a

b

a-b

>1,综上,a

ab

b >a

bb

a .所以 M>N.

【变式训练3】 M>N

解 法 一: M - N =

e

2022+1

e

2023+1

-

e

2023+1

e

2024+1

=

(e

2022+1)(e

2024+1)-(e

2023+1)2

(e

2023+1)(e

2024+1)

=

e

2022+e

2024-2e

2023

(e

2023+1)(e

2024+1)

=

e

2022(e-1)2

(e

2023+1)(e

2024+1)

>0,故 M>N.

解法二:令f(x)=

e

x +1

e

x+1+1

=

1

e

+

1-

1

e

e

x+1+1

,显然f(x)

是 R上的减函数,

即f(2022)>f(2023),故 M>N.

【变式训练4】 A 构造函数比大小,要从“结构同构”

处入 手.M,N 作 商 可 得 M

N

=

ae

b

be

a =

e

b

b

e

a

a

,令f(x)=

e

x

x

,则

f'(x)=

e

x (x-1)

x

2 ,当x>1时,f'(x)>0,所以函数f(x)=

e

x

x

在(1,+∞)上单调递增,

由a>b>1,得e

b

b

<

e

a

a

,又e

b

b

>0,e

a

a

>0,

即M

N

=

e

b

b

e

a

a

<1,故 M<N.

【变式训练5】 1

8

,7

3

解析:由不等式性质直接求得.因为3<b<8,所以 1

8

<

1

b

<

1

3

.又因为1<a<7,所以 1

8

<

a

b

<

7

3

.

主题二 一元二次不等式解法

基础演练

1.(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)×

2.A 由题意得,A={x|x<2或x>3},B={x|x<1},

则A∩B={x|x<1},故选 A.

3.D 二次函数y=x

2 +(a-1)x+1(a>0)只有一个

零点,

则Δ=(a-1)2-4=0,解得a=3或a=-1(舍去),

所 以 不 等 式 化 为 3x

2 - 8x - 3 ≥ 0,解 得

x x≤-

1

3 ,x≥3 ,故选 D.

4.(-3,0]

解析:由题意得:当k=0时,-

3

8

<0恒成立;当k≠0

时,y=2kx

2+kx3

8

,

因为y<0恒成立,所以开口向下,抛物线与x 轴没有

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高考导练数学·399

公共点,即k<0且Δ=k

2 +3k<0,解得-3<k<0,综上所

述,k的取值范围为-3<k≤0.故答案是(-3,0].

例题精讲

【变式训练1】 解:原不等式可化为12x

2-ax-a

2>0,

即(4x+a)(3x-a)>0,

令(4x+a)(3x-a)=0,解得x1=-

a

4

,x2=

a

3

.

当a>0时,

不等式的解集为 x x>

a

3

,x<-

a 4 ;

当a=0时,不等式的解集为{x|x<0,x>0};

当a<0时,

不等式的解集为 x x<

a

3

,x>-

a 4 .

【变式训练2】 解:因为ax

2-(a+2)x+2>0可化为

(ax-2)(x-1)>0,

当a=0时,不等式可化为-2x+2>0,则不等式解集

为{x|x<1};

当a>0时,(ax-2)(x-1)>0可化为 x2

a (x1)>0,

当 0 <

2

a

< 1,即 a > 2 时,可 得 不 等 式 解 集

为 x x<

2

a ,x>1 ;

当 2

a

=1,即a=2时,可得不等式解集为{x|x≠1};

当 2

a

>1,即0<a<2时,

可得不等式解集为 x x<1,x>

2 a ;

当a<0时,(ax-2)(x-1)>0可化为 x2

a (x1)<0,

此时显然 2

a

<1,

可得不等式解集为 x

2

a <x<1 ;

综上:当a>2时,

不等式解集为 x x<

2

a ,x>1 ;

当a=2时,不等式解集为{x|x≠1};

当0<a<2时,

不等式解集为 x x<1,x>

2 a ;

当a=0时,不等式解集为{x|x<1};

当a<0时,不等式解集为 x

2

a <x<1 .

【变式训练3】 D 不等式x

2+px>4x+p-3可化为

(x-1)p+x

2-4x+3>0,

由已知可得(x-1)p+x

2-4x+3>0(0≤p≤4),

令f(p)=(x-1)p+x

2 -4x+3(0≤p≤4),等价于f

(p)min>0,

即

f(0)=x

2-4x+3>0,

f(4)=4(x-1)+x

2 -4x+3>0,

解得:x<-1或x>3,所以x 的取值范围是(-∞,-

1)∪(3,+∞).故选 D.

主题三 基本不等式与函数的最值

基础演练

1.(1)× (2)× (3)× (4)×

解析:(1)不等式a

2+b

2≥2ab成立的条件是x,y∈R,a

+b≥2 ab成立的条件是a>0,b>0.

(2)由于x∈(-∞,0)∪(0,+∞),故函数y=x+

9

x

无

最小值.

(3)y=sinx+

4

sinx

的最小值是5.

(4)y

x

+

x

y

≥2的充要条件是xy>0.

2.

1

16

解析:由正实数a,b满足a+4b=1,则ab=

1

4

×a·

(4b)≤

1

4

× a+4b

2

2

=

1

16

,当且仅当a=

1

2

,b=

1

8

时等号

成立.所以ab的最大值为 1

16

.故答案为 1

16

.

3.2+4 3

解析:因为x<0,

y=2-3x4

x

=2+ (-3x)+ -

4

x ≥2+2

(-3x)× -

4

x =2+4 3,所以当且仅当-3x=-

4

x

,

即x=-

2 3

3

时等号成立,所以函数y=2-3x4

x

的最小

值为2+4 3,

故答案为2+4 3.

4.a=3

解析:当x>2时,x-2>0,f(x)=x-2+

1

x-2

+2≥2

(x-2)×

1

x-2

+2=4,当且仅当x-2=

1

x-2

(x>2),即x

=3时取等号,即当f(x)取得最小值时,所以a=3.

5.25

解析:因为x>0,y>0,4x+y=1,

所以 1

x

+

9

y

=(4x+y) 1

x

+

9

y =13+

y

x

+

36x

y

≥

13+2 36=25,

当且仅当 y

x

=

36x

y

,所以y=6x 且 4x+y=1,即 x=

1

10

,y=

3

5

时,等号成立.

所以 1

x

+

9

y

的最小值为25,故答案为25.

例题精讲

【变式训练1】 B 由基本不等式可知,积(1+x)(2+

y)取最大值时,“(1+x)”与“(2+y)”的和需取定值,所以由

x+y=7,配凑(1+x)+(2+y)=10,再利用基本不等式的

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高考导练数学·400

变形“ab≤ a+b

2

2

”求得最值.因为x>0,y>0,由x+y=7

得:(1+x)+(2+y)=10,

所以(1+x)(2+y)≤ 1+x+2+y

2

2

=25,当且仅当1

+x=2+y且x+y=7,

即x=2,y=3时,等号成立.故选 B.

【变式训练2】 2 2+2

解析:因为a>0,b>0,且a+b=2,

所 以 b

a

+

4

b

=

b

a

+

2(a+b)

b

=

b

a

+

2a

b

+ 2≥

2

b

a

×

2a

b

+2=2 2+2,

当且仅当b

2=2a

2 且a+b=2,即a=2 2-2,b=-2 2

+4时,等号成立.所以b

a

+

4

b

的最小值为2 2+2

【变式训练3】 4

解析:因为x>1,y>

1

2

且x+2y=3,所以x-1+2y1=1,

则 1

x-1

+

1

2y-1

= 1

x-1

+

1

2y-1 (x-1+2y-1)=2

+

2y-1

x-1

+

x-1

2y-1

≥2+2=4,

当且仅当2y-1

x-1

=

x-1

2y-1

且x+2y=3,即x=

3

2

,y=

3

4

时,等号成立.

所以 1

x-1

+

1

2y-1

的最小值为4.

【变式训练4】 D

解析:由正实数x,y,z满足x

2-3xy+4y

2-z=0,得z

=x

2-3xy+4y

2.

所以xy

z

=

xy

x

2-3xy+4y

2

=

1

x

y

+

4y

x

-3

≤

1

2

x

y

·4y

x

-3

=1.

当且仅当x=2y>0时取等号,此时z=2y

2.

所以 2

x

+

1

y

-

2

z

=

2

2y

+

1

y

-

2

2y

2 =- 1

y

-1

2

+1≤

1,当y=1时取等号.

所以 2

x

+

1

y

-

z

z

的最大值为1.

【变式训练5】 6

解析:由 2xy=x+y+12 得:x+y+12=2xy≤

2 x+y

2

2

,当且仅当x=y=3时等号成立.

即[(x+y)-6][(x+y)+4]≥0,解得x+y≥6.所以x

+y的最小值为6.

主题四 不等式模型及应用

基础演练

1.C 该厂为了不亏本,日印图书至少为x 本,则利润

函数f(x)=10x-(5x+3000)≥0解得x≥600,所以该厂

为了不亏本,日印图书至少为600本,故选 C.

2.B 由题意得:x[45-3(x-15)]>600,则 -3x

2 +

90x-600>0,即

x

2-30x+200<0,解得10<x<20,又因为每盏最低售

价为15元,所以15≤x<20,故选 B.

3.C 如图所示:

在 Rt△ABC 中,A=90°,BC=2 2,

而直角三 角 形 周 长l=AB+BC+CA=AB+CA+

2 2,

由勾股定理可知AB

2+CA

2=BC

2=8,

若要 使l最 大,只 需 AB+CA 即 最 大 即 可,由(AB+

CA)2≤2(AB

2+CA

2)得:(AB+CA)2 ≤16即 AB+CA≤4

当且仅当AB=CA=2等号成立,

所以l≤4+2 2,此时,其面积为S=

1

2

AB·AC=

1

2

×2×2=2.故选 C

4.30

解析:总费用为4x+

600

x

×6=4 x+

900

x ≥4×2 900

=240当 且 仅 当 x=

900

x

,即 x=30 时 等 号 成 立.故 答 案

为30.

第三章 函数与导数

主题一 函数的概念与分段函数

基础演练

1.D 因为f(x)=

3-x

lgx

,所以

3-x≥0,

lgx≠0, x>0,

解得0<x<1或1<x≤3,故函数的定义域为(0,1)∪

(1,3].

2.AC A 中两个函数的定义域、对应关系、值域都相

同,所以是同一个函数;

B中f(x)的定义域是 R,g(x)的定义域是{x|x≠-1},

所以不是同一个函数;

C中两个函数的定义域、对应关系、值域都相同,所以是

同一个函数;

D中两个函数的对应关系不相同,f(-1)=1,g(-1)

=-1,所以不是同一个函数.

3.A 设f(x)=ax+b(a≠0),

则f[f(x)-2x]=f(ax+b-2x)=a(ax+b-2x)+b

=3,

整 理 得 (a

2 - 2a)x + ab + b - 3 = 0,所 以

a

2-2a=0, ab+b-3=0,

解得

a=2, b=1,

所以f(x)=2x+1,所以f(5)=2×5+1=11.

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高考导练数学·401

4.B y=2

x 的值域为(0,+∞),故 A 错误;

y=x

1

2 = x的定义域为[0,+∞),值域也是[0,+∞),

故 B正确;

y=tanx的值域为(-∞,+∞),故 C错误;

y=cosx的值域为[-1,1],故 D错误.

5.

37

28

3+ 3

解析:因为函数f(x)=

-x

2+2,x≤1,

x+

1

x -1,x>1,

所以f 1

2

=-

1

4

+2=

7

4

,

故f f 1

2 =f 7

4 =

7

4

+

4

7

-1=

37

28

;

作出函数f(x)的图象如图:

由图可知,若当x∈[a,b]时,1≤f(x)≤3,则b-a的最

大值是2+ 3-(-1)=3+ 3.

例题精讲

【变式训练1】 (-∞,0]∪(0,1]

解析:要 使 函 数 f(x)=

1

x

+ 1-x 有 意 义,则

x≠0, 1-x≥0,

解得x≤1且x≠0,

所以函数的定义域为(-∞,0)∪(0,1].

【变式训练2】 B 令 x+1=t,t≥1,则 x=t-1,x=

(t-1)2,

所以f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t

2-1(t≥1),所以f(x)

的解析式为f(x)=x

2-1(x≥1)

【变式训练3】 x=3

解析:当x≥0时,g(x)=log2(x+1)=2,解得x=3;

当x<0时,g(x)=f(-x)=2

x +1=2,解得x=0(舍去).

所以方程g(x)=2的解为3.

主题二 函数的图象与函数的性质

基础演练

1.A y=-3x在R上单调递减且为奇函数,A符合题意;

因为y=x

3 在R上是增函数,B不符合题意;

y=log3x,y=3

x 为非奇非偶函数,C,D不符合题意.

2.-1

解析:因为函数f(x)周期为1,所以f 3

2 =f 1

2 ,

因为当0<x≤1时,f(x)=log2x,所以f 1

2 =-1.

3.A y=f(x)=xcosx +sin x,则 f(-x)=

-xcosx-sinx=-f(x),

所以f(x)为奇函数,函数图象关于原点对称,故排除C,D,

当x=π时,y=f(π)=πcosπ+sinπ=-π<0,故排除B.

4.D 设t=x(x-a)=x

2-ax,对称轴为x=

a

2

,抛物线开

口向上,

因为y=2

t 是t的增函数,所以要使f(x)在区间(0,1)单调

递减,

则t=x

2-ax在区间(0,1)单调递减,即a

2

≥1,即a≥2,

故实数a的取值范围是[2,+∞).

5.D 因为定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减,

且f(2)=0,f(x)的大致图象如图:

所以f(x)在(0,+∞)上单调递减,且f(-2)=0,故f(-

1)<0;

当x=0时,不等式xf(x-1)≥0成立,

当x=1时,不等式xf(x-1)≥0成立,

当x-1=2或x-1=-2时,即x=3或x=-1时,不等

式xf(x-1)≥0成立,

当x>0时,不等式xf(x-1)≥0等价为f(x-1)≥0,

此时

x>0, 0<x-1≤2,

此时1<x≤3,

当x<0时,不等式xf(x-1)≥0等价为f(x-1)≤0,

即

x<0, -2≤x-1<0,

得-1≤x<0,

综上:-1≤x≤0或1≤x≤3,

即实数x的取值范围是[-1,0]∪[1,3].

例题精讲

【变式训练1】 D 由图象可知,f(x)图象关于y轴对

称,为偶函数,故 A,B错误,当x>0时,5(e

x +e

-x )

x

2+2

恒大于

0,与图象不符合,故 C错误.

【变式训练2】 A 令u(x)=x

2-ax-3,y=lnu为增

函数,故只要u(x)=x

2 -ax-3在(1,+∞)上单调递增即

可,只要

a

2

≤1, u(1)≥0,

解得a≤-2.

【变式训练3】 A 令g(x)=-(x-1)2,则g(x)开口向

下,对称轴为x=1,

因为 6

2

-1- 1-

3

2 =

6+ 3

2

-

4

2

,而(6+ 3)2-

4

2=9+6 2-16=6 2-7>0,

所以 6

2

-1- 1-

3

2 =

6+ 3

2

-

4

2

>0,即 6

2

-1>

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高考导练数学·402

1-

3

2

由二次函数性质知g 6

2 <g 3

2 ,

因为 6

2

-1- 1-

2

2 =

6+ 2

2

-

4

2

,而(6+ 2)2-

4

2=8+4 3-16=4 3-8=4(3-2)<0,

即 6

2

-1<1-

2

2

,所以g 6

2 >g 2

2 ,

综上,g 2

2 <g 6

2 <g 3

2 ,

又y=e

x 为增函数,故a<c<b,即b>c>a.

【变式训练4】 1

解法一:函数f(x)=x

3(a·2

x -2

-x )是偶函数,

y=x

3 为 R上的奇函数,

故y=a·2

x -2

-x 也为 R上的奇函数,

所以y|x=0=a·2

0-2

0=a-1=0恒成立,

所以a=1.

解法二:因为函数f(x)=x

3(a·2

x -2

-x )是偶函数,

所以f(-x)=f(x),

即-x

3(a·2

-x -2

x )=x

3(a·2

x -2

-x ),

即x

3(a·2

x -2

-x )+x

3(a·2

-x -2

x )=0,

即(a-1)(2

x +2

-x )x

3=0,

所以a=1.

【变式训练5】 B 因为函数f(x+2)为偶函数,所以

f(2+x)=f(2-x),因为f(2x+1)为奇函数,

所以f(1-2x)=-f(2x+1),用x替换上式中2x+1,

得f(2-x)=-f(x),

所以f(2+x)=-f(x),f(4+x)=-f(2+x)=f(x),

即f(x)=f(x+4),

故函数f(x)是以4为周期的周期函数,

因为f(2x+1)为奇函数,

所以f(1-2x)=-f(2x+1),即f(2x+1)+f(-2x

+1)=0,

用x替换上式中2x+1,可得,f(x)+f(2-x)=0,所

以f(x)关于(1,0)对称,

又因为f(1)=0,所以f(-1)=-f(2+1)=-f(1)

=0.

主题三 二次函数与幂函数

基础演练

1.B 设幂函数f(x)=x

α,

因为幂函数f(x)的图象过点 3,1

9 ,

所以3

α=

1

9

=3

-2,解得α=-2,即f(x)=x

-2,

易知f(x)=x

-2在(-∞,0)为增函数,在(0,+∞)为减

函数.

故f(x)的单调递减区间是(0,+∞).故选 B.

2.A 因为函数f(x)=(m

2-m-1)x

m 是幂函数,所以

m

2-m-1=1,解得 m=2或 m=-1.

若 m=2,则f(x)=x

2,函数f(x)在(0,+∞)上为增函

数,符合题意;

若m=-1,则f(x)=

1

x

,函数f(x)在(0,+∞)上为减

函数,不符合题意,舍去;

所以实数 m 的值是2.故选 A.

3.C 设f(x)=x

α,由题意得3

α=

1

9

,所以α=-2,故

f(x)=x

-2,

所以g(x)=(x-1)·x

-2 =- 1

x

2

+

1

x

,令t=

1

x

∈

1

3 ,1 ,

由于 y= -t

2 +t 在 区 间 1

3

,1 2 上 单 调 递 增,在

1

2 ,1 上单调递减,

所以(-t

2+t)max=- 1

2

2

+

1

2

=

1

4

,所以g(x)在区间

[1,3]上的最大值是 1

4

.故选 C.

4.B 对于 A,二次函数开口向下,所以a<0,此时g(x)

=x

a 与图中符合;

对于 B,二次函数开口向上,所以a>0,

此时g(x)=x

a 在(0,+∞)为增函数,不符合;

对于 C,二次函数开口向上,所以a>0,

此时g(x)=x

a 在(0,+∞)为增函数,符合;

对于 D,二次函数开口向上,所以a>0,

此时g(x)=x

a 在(0,+∞)为增函数,符合;故选 B.

5.A 函数y=(x-a)(x-b)的图象为开口向上的抛

物线,

如图,由已知可得与x轴交点的横坐标为a,b(a<b),

a在抛物线 的 对 称 轴 的 左 侧,b 在 抛 物 线 的 对 称 轴 的

右侧,

(x-a)(x-b)-2=0可化为(x-a)(x-b)=2,

可得α,β是函数y=(x-a)(x-b)的图象与直线y=2

的两个交点的横坐标,

由α<β可得函数α 在抛物线的对称轴的左侧,β在抛物

线的对称轴的右侧,

结合图象可得α<a<b<β.故选 A.

例题精讲

【变式训练1】 ABD 观察图象知,二次函数y=ax

2

+bx+c(a≠0)图象对称轴为x=-2,过点(1,0),

由对 称 性 得 该 图 象 还 过 点 (-5,0),于 是 y =

a(x+5)(x-1),即y=ax

2+4ax-5a,显然a>0,

因此b=4a,c=-5a,a>0,abc=-20a

3<0,16a-4b+

c=-5a<0,5a+c=0,C错误,AB正确;

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高考导练数学·403

当 m≠-2时,m(am+b)=a(m

2+4m)=a(m+2)2 -

4a>-4a,而2(2a-b)=-4a,

即 m(am+b)>2(2a-b),D正确.

【变式训练2】 f(4)>f(1)>f(2)

解析:由题意知f(x)的对称轴为x=2,故f(1)=f(3),

因为f(x)=x

2+bx+c在[2,+∞)上为增函数,

所以f(2)<f(3)<f(4),即f(2)<f(1)<f(4).

【变式训练3】 (3,4)

解析:幂函数f(x)=x

-

1

2 =

1

x

,所以f(x)定义域为(0,

+∞)且在定义域上单调递减,

所以需满足a-1>8-2a>0,解得3<a<4.

【变式训练4】 B 设函数f(x)=

(x-1)(x

2+x+1)

x

3 ,则f(x)=

x

3-1

x

3 =1-

1

x

3 在(0,+∞)上

单调递增,

故f(2022)<f(2023)<1,即b<c<1,又a>1,即b<

c<a.故选 B.

主题四 指数与指数函数

基础演练

1.C 因为函数f(x)=

1

1+2

x,所以f(-x)=

1

1+2

-x

=

2

x

2

x +1

,

所以f(-x)+f(x)=

1+2

x

1+2

x =1.

2.

1

2007

解析:因为f1(x)=x

1

2 ,f2(x)=x

-1,f3(x)=x

2,

所以f3(2007)=2007

2,

f2(f3(2007))=(2007

2)-1=2007

-2,

f1(f2(f3(2007)))(2007

-2)

1

2 =2007

-1=

1

2007

.

3.B 当x∈(0,+∞)时,y=a

x (0<a<1),所以f(x)

在(0,+∞)上递减,f(x)是偶函数,所以f(x)在(-∞,0)上

递增.注意到a

0=1,

所以 B选项符合.故选 B.

4.D 指数函数y=1.01

x ,在R上单调递增,0.6>0.5,

故1.01

0.6>1.01

0.5,所以b>a,

幂函数y=x

0.5,在[0,+∞)上单调递增,1.01>0.6,故

1.01

0.5>0.6

0.5,即a>c,所以b>a>c.故选 D.

5.B 函数y=2

x 是增函数,则不等式 1

2

<2

x+1<4,即

2

-1<2

x+1<2

2,

所以-1<x+1<2,即-2<x<1,

所以 N={x|-2<x<1,x∈Z}={-1,0},又 M =

{-1,1},

所以 M∩N={-1}.

故选 B.

例题精讲

【变式训练1】 (1)(-2,1) (2)见解析

解析:(1)6

x

2+x-2<1=6

0,则x

2+x-2<0,整理得(x+

2)(x-1)<0,解得x∈(-2,1).

(2) 2

7

9

0.5

+0.1

-2 + 2

10

27

-

2

3

-3π

0 +

37

48

=

25

9

1

2

+10

2+ 27

64

2

3

-3+

37

48

=

5

3

+100+

9

16

-3+

37

48

=

3+97=100.

【变式训练2】 (1)B (2)D

解析: (1)画 出 函 数 y= 1

2

x

与y= 1

3

x

的

图象,

当x<0 时,y= 1

2

x

的 图 象 在y= 1

3

x

的 图 象

下方,

当x>0 时,y= 1

2

x

的 图 象 在y= 1

3

x

的 图 象

上方,

当a<0,b<0时, 1

2

a

= 1

3

b

则a<b<0,

当a=b=0时, 1

2

a

= 1

3

b

成立,

当a>0,b>0时, 1

2

a

= 1

3

b

则a>b>0,

故③0<a<b,④b<a<0不成立.

故选 B.

(2)由图象可知,函数f(x)为减函数,

从而有0<a<1;

解法1:由f(x)=a

x-b 图象,函数与y 轴的交点纵坐标

y∈(0,1),

令x=0,得y=a

-b ,

由0<a

-b <1,即0<a

-b <a

0,解得b<0.

解法2:函数f(x)图象可看作是由y=a

x (0<a<1)向

左平移得到的,

则-b>0,即b<0.

故选 D.

【变式训练3】 C

解析:由y=0.6

x 在区间(0,+∞)是单调减函数可知,0

<0.6

1.5<0.6

0.6<1,又1.5

0.6>1,故选 C.

【变式训练4】 -

3

2

解析:若a>1 ,则f(x)在[-1,0]上为增函数,所以

a

-1+b=-1, 1+b=0,

此方程组无解;

若0<a<1 ,则 f(x)在 [-1,0]上 为 减 函 数,所 以

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高考导练数学·404

a

-1+b=0, 1+b=-1,

解得

a=

1

2

, b=-2,

所以a+b=-

3

2

.

【变式训练5】 D 令u=x(2x-a),因为y=3

u 是增

函数,

所以u=x(2x-a)=2x

2 -ax 在区间(-∞,1)上单调

递减,

所以a

4

≥1,解得a≥4,所以a的最小值为4.

主题五 对数与对数函数

基础演练

1.C 由2

a =5,log83=b,

可得8

b =2

3b =3,

则4

a-3b =

4

a

4

3b=

(2

a )2

(2

3b )2 =

5

2

3

2 =

25

9

,

2.D 对于 A,当 T=220,P=1026时,lgP>3,由图

可知二氧化碳处于固态,故 A 错误;

对于B,当T=270,P=128时,2<lgP<3,由图可知二

氧化碳处于液态,故 B错误;

对于 C,当T=300,P=9987时,lgP≈4,由图可知二

氧化碳处于固态,故 C错误;

对于 D,当T=360,P=729时,2<lgP<3,由图可知

二氧化碳处于超临界状态,故 D正确.

3.C 因为a=2

0.7>2

0=1,0<b= 1

3

0.7

< 1

3

0

=

1,c=log2

1

3

<log21=0,故a>b>c.

4.C 对于 A,因为函数是二次函数,属于二对一的映

射,根据函数的定义可得函数不存在反函数,A 错误;

对于 B,因为函数是三角函数,有周期性和对称性,属于

多对一的映射,根据函数的定义可得函数不存在反函数,B

错误;

对于 C,因为函数是单调递增的指数函数,属于一一映

射,所以函数存在反函数,C正确;

对于 D,因为函数是常数函数,属于多对一的映射,所以

函数不存在反函数,D错误.

故选 C.

5.1

解析:函 数 f(x)=4

x +log2x,所 以 f 1

2 =4

1

2 +

log2

1

2

=2-1=1.

例题精讲

【变式训练1】 B 由alog34=2可得log34

a =2,所以

4

a =9,

所以有4

-a =

1

9

.

【变式训练2】 B 因为log2(x

2+2x+1)=4,

所以x

2+2x+1=16,且x>0,解得x=3.故选 B.

【变式训练3】 1

4

解析:log2x-log1

24=0⇔log2x+log24=0,

即log2x=-2,解得x=

1

4

.

【变式训练4】 D 由题意可作出函数y=|f(x)|的图

象,和函数y=ax的图象,

由图象可知,函数y=ax的图象为过原点的直线,当直

线介于l和x 轴之间符合题意,直线l为曲线的切线,且此

时函数y=|f(x)|在第二象限的部分解析式为y=x

2-2x,

求其导数可得y'=2x-2,因为x≤0,故y'≤-2,故直

线l的斜率为-2,

故只需直线y=ax的斜率a 介于-2与0之间即可,即

a∈[-2,0].

【变式训练5】 C a=log52<log5 5=

1

2

=log82 2<

log83=b,即a<c<b.故选 C.

【变式训练6】 因为a=log20.3<log21=0,

b=log1

20.4=-log20.4>-log20.5=1,0<c=0.4

0.3

<0.4

0=1,

所以a<c<b,故选 D.

【变式训练7】 D 因为5

a =10

b ,所以lg5

a =lg10

b ,所

以alg5=b,所以b

a

=lg5=1-lg2.

【变式训练8】 A 设经过n层PP 棉滤芯过滤后的大

颗粒杂质含量为y,则y=80× 1-

1

3

n

=80× 2

3

n

,

令80× 2

3

n

≤2,解得 2

3

n

≤

1

40

,两边取常用对数

得nlg

2

3

≤lg

1

40

,即nlg

3

2

≥lg40,

即n(lg3-lg2)≥1+2lg2,因为lg2≈0.30,lg3≈

0.48,

所以(0.48-0.30)n≥1.60,解得n≥

80

9

,因为n∈N

* ,

所以n的最小值为9.

【变式训练9】 C f(x)=log1

2 x+

a

x 在[1,+∞)

单调递减上单调递减,

根据复合函数的单调性可得x+

a

x

在区间[1,+∞)上

单调递增,

当a>0时,x+

a

x

在[a,+ ∞)单 调 递 增,需 满 足 a

≤1,

当a=0满足题意,

当a<0时,x+

a

x

在(0,+∞)单调递增,则在区间[1,

+∞)上单调递增

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高考导练数学·405

又需满足真数x+

a

x

>0,则最小值1+

a

1

>0,即a>

-1,

综上,-1<a≤1.

【变式训练10】 B 根据题意,当x1>x2 时,

f(x1)-f(x2)

x1-x2

>1⇒f(x1)-f(x2)>x1 -x2 ⇒f(x1)

-x1>f(x2)-x2,

当x1<x2 时,

f(x1)-f(x2)

x1-x2

>1⇒f(x1)-f(x2)<x1 -x2 ⇒f(x1)

-x1<f(x2)-x2,

可得函数h(x)=f(x)-x在(0,+∞)单调递增.

则f(2log2x)-f(x)>log2x

2-x⇒f(log2x

2)-log2x

2

>f(x)-x

⇒log2x

2>x⇒log2x

2>log22

x ⇒x

2>2

x ,

在同一坐标系中画出y=x

2 与y=2

x 图象.

得2<x<4,则不等式的解集为(2,4),

故选 B.

主题六 函数的零点与方程的根

基础演练

1.C 因为函数f(x)=e

x +4x-3在 R上单调递增,

且

f 1

4 =e

1

4 +4×

1

4

-3=e

1

4 -2<0,

f 1

2 =e

1

2 +4×

1

2

-3=e

1

2 -1>0,

?

?

?

??

??

所以函数的零点在区间 1

4

,1

2 内,故选 C.

2.D 因为f(x)是定义在 R 上的奇函数,当x≥0时,

f(x)=x

2-3x,

所以f(x)=

x

2-3x,x≥0,

-x

2 -3x,x<0,

所以g(x)=

x

2-4x+3,x≥0,

-x

2 -4x+3,x<0,

由

x≥0,

x

2 -4x+3=0,

解得x=1或x=3;

由

x<0,

-x

2 -4x+3=0,

解得x=-2- 7或x=-2+ 7

(舍去),

所以函数g(x)=f(x)-x+3的零点的集合为{-2-

7,1,3}.

3.2

解析:因为2

-x =3-x

2,作出函数y=2

-x ,y=3-x

2 的

图象,从图像可以观察到两函数的图象有两个公共点,所以

方程2

-x +x

2=3的实数解的个数为2.

4.2

解析:设函数y1=logax,y2=-x+b,根据2<a<3<b

<4,对于函数y1=logax 在x=2时,一定得到一个值小于

1,在同一坐标系中画出两个函数的图象,判断两个函数的

图形的交点在(2,3)之间,所以函数f(x)的零点x0 ∈(n,n

+1)时,n=2.

5.(1,2)

解析:

在同一坐标系内分别作出函数y=f(x)与y=a|x|的

图 象,当 y =a|x| 与 y = f (x)的 图 象 相 切 时,

-ax=-x

2-5x-4, a>0,

解得a=1,所以y=a|x|与y=f(x)

的图象有4个交点时,1<a<2,故实数a的取值范围为(1,

2).

例题精讲

【变式训练1】 A f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c

-a)(c-b)>0,所以(b,c)有零点,排除 B,D 选项.当x>c

时,f(x)>0恒成立,没有零点,排除 C,故选 A.另外f(a)

=(a-b)(a-c)>0,也可知(a,b)内有零点.

【变式训练2】 B 函数f(x)=x

1

2 - 1

2

x

的零点,

即令f(x)=0,根据此题可得x

1

2 = 1

2

x

,在平面直角坐标

系中分别画出幂函数y=x

1

2 和指数函数y= 1

2

x

的图

象,可得交点只有一个,所以零点只有一个,故选 B.

【变式训练3】 D 设g(x)=f(x-2)=|x|+e

x +e

-x

+a,定义域为 R,

所以g(-x)=|-x|+e

-x +e

x +a=|x|+e

x +e

-x +a

=g(x),

故函数g(x)为偶函数,则函数f(x-2)的图象关于y

轴对称,

故函数f(x)的图象关于直线x=-2对称,

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高考导练数学·406

因为f(x)有唯一零点,

所以f(-2)=0,即a=-2.

【变式训练4】 C 画出函数f(x)的图象,y=e

x 在y

轴右侧的去掉,再画出直线y=-x,之后上下移动,

可以发现 当 直 线 过 点 A 时,直 线 与 函 数 图 象 有 两 个

交点,

并且向下可以无限移动,都可以保证直线与函数的图

象有两个交点,

即方程f(x)=-x-a有两个解,

也就是函数g(x)有两个零点,

此时满足-a≤1,即a≥-1,故选 C.

【变式训练5】 C 令t=g(x),t≥0,

当 m=1时,方程为f(t)+t-1=0,即f(t)=1-t,

作出函数y=f(t)及y=1-t的图象,

由图象可知方程的根为t=0或t=1,即|x(x-2)|=0

或|x(x-2)|=1,

作出函数g(x)=|x(x-2)|的图象,结合图象可得所

有根的和为5,不合题意,故 BD错误;

当 m=0时,方程为f(t)+t=0,即f(t)=-t,

由图象可知方程的根0<t<1,即|x(x-2)|=t∈(0,

1),

结合函数g(x)=|x(x-2)|的图象,可得方程有四个

根,所有根的和为4,满足题意,故 A 错误.

主题七 函数模型及其应用

基础演练

1.C 因为某厂1995年的产值为a 万元,预计产值每

年以5%递增,

所以该厂到1996年的产值(万元)为a×(1+5%),

该厂到1997年的产值(万元)为a×(1+5%)(1+5%)

=a×(1+5%)2,

该厂到1998年的产值(万元)为a×(1+5%)3,

所以该厂到2007年的产值(万元)为a×(1+5%)12.

2.x=14.4F-0.2(F>0)

解析:如图,结合表中数据绘出函数图象:

结合函数图象选择一次函数建立函数模型,

设函数解析式为x=kF+b,

取点(1,14.1)、(4,57.5)代入函数解析式中,

得

14.1=k+b, 57.5=4k+b,

解得k≈14.4,b≈-0.2,

故函数解析式为x=14.4F-0.2(F>0),经检验满足

题意.

3.C 设收入为S元,税款为 M 元,

当S≤800时,M=0;

当S∈[800,1300]时,M≤500×5%=25;

当S∈[1300,2800]时,M≤500×5%+1500×10%=

175;

由题设可知,M=26.78,

故可知,S=1300+(26.78-25)÷10%=1317.8.

4.D 设这两年年平均增长率为x,因此(1+p)(1+q)

=(1+x)2 解得x= (1+p)(1+q)-1.

5.C 由题意得,192=e

b ,48=e

22k+b ,两式相除得 4=

e

-22k ,解得k=-

ln4

22

=-

ln2

11

,b=ln192,

那么y=e

-

ln2

11

x+b ,当x=33时y=e

-

ln2

11

×33×e

b =2

-3 ×

192=

192

8

=24,故选 C.

例题精讲

【变式训练1】 B 设甲地销售x辆,依题意L1+L2=

5.06x-0.15x

2 +2(15-x)= -0.15x

2 +3.06x+30=

-0.15(x-10.2)2+45.606,所以当x取整数10时,最大利

润为45.6,故选 B.

【变式训练2】 解:(1)当0≤t≤200时,设f(t)=k1t+

m1,则

f(0)=m1=300, f(200)=200k1+m1=100,

解得

k1=-1, m1=300,

所以f(t)=300-t;

当 200 <t ≤ 300 时,设 f (t)= k2t + m2,则

f(200)=200k2+m2=100, f(300)=300k2+m2=300,

解得

k2=2, m2=-300,

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高考导练数学·407

所以f(t)=2t-300;

综上所述,f(t)=

300-t,0≤t≤200, 2t-300,200<t≤300.

设g(t)=a(x-150)2+100(0≤t≤300),

所以g(250)=a(250-150)2+100=150,解得a=

1

200

,

所以g(t)=

1

200

(x-150)2+100(0≤t≤300).

(2)设从二月一日起的第t天的纯收益为h(t),由题意

知:h(t)=f(t)-g(t),

即h(t)=

-

1

200

t

2+

1

2

t+

175

2

,0≤t≤200,

-

1

200

t

2+

7

2

t1025

2

,200<t≤300.

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??

??

当0≤t≤200时,h(t)=-

1

200

(t-50)2+100,

所以当t=50 时,h(t)在 区 间 [0,200]上 取 得 最 大

值100;

当200<t≤300时,h(t)=-

1

200

(t-350)2+100,

所以当t=300时,h(t)在区间(200,300]上取得最大值

87.5;

综上可知,当t=50时,h(t)取得最大值,最大值为100,

即从二月一 日 开 始 的 第 50 天 上 市,能 使 黄 瓜 纯 收 益

最大.

【变式训练3】 C 依题意,前2个小时过滤后剩余污

染物 数 量 为 70%N0,于 是 70%N0 =N0e

-2k ,解 得 e

-2k =

0.7,

因此前6小时过滤后剩余污染物数量为

N=N0e

-6k =N0(e

-2k )3=N0×0.7

3=0.343N0,

所以前6小时共能过滤掉污染物的

N0-0.343N0

N0

=65.7%.

故选 C.

【变式训练4】 C 由 A=lg

1

T

=Kbc,得 1

T

=10

A ,即

T= 1

10

A

,

保持 K,b 不 变,当 吸 光 物 质 的 浓 度 增 加 为 原 来 的 两

倍时,

则 Kb·2c=2A=lg

1

T'

,所 以 1

T'

=10

2A ,所 以 T'=

1

10

2A

= 1

10

A

2

=T

2,

所以透光度由原来的T 变为T

2.

【变式训练5】 ACD 设在第一级阶梯某处的海拔为

h1,则lnp0-lnp1=10

-4h1,即h1=10

4ln

p0

p1

.

因为h1≥4000,所以10

4ln

p0

p1

≥4000,解得p1 ≤

p0

e

0.4 ,

A 正确;

由lnp0-lnp=kh,得e

kh =

p0

p

.当h>0时,e

kh =

p0

p

>

1,即p0>p,所以p0>p3,B错误;

设在第二级阶梯某处的海拔为h2,在第三级阶梯某处

的海拔为h3,

则

lnp0-lnp2=10

-4h2,

lnp0-lnp3=10

-4 h3,

两 式 相 减 可 得 ln

p3

p2

=

10

-4(h2-h3).

因为h2∈[1000,2000],h3 ∈[200,1000],所以h2 -

h3∈[0,1800],则0≤ln

p3

p2

≤10

-4×1800=0.18,即1≤

p3

p2

≤e

0.18,故p2≤p3≤e

0.18p2,C,D均正确.

【变式训练6】 解:(1)设比例系数为k,气体的流量速

率v关于管道半径r的函数解析式为v=kr

4.

(2)将r=3与v=400代入v=kr

4 中,有400=k×3

4.

解得k=

400

81

,

所以,气体通过半径为r的管道时,其流量速率v的表

达式为v=

400

81

r

4.

(3)当r=5时,v=

400

81

×5

4=

250000

81

≈3086cm

3/s.所

以,当气体通过的管道半径为5cm时,该气体的流量速率约

为3086cm

3/s.

【变式训练7】 解:如图,因 AB 与CD 平行,则 AB 与

CD 间距离为定值,设为h.

因 M 和N 为定点,则 MN 为定值,设为d.

又设 MK 为x,则S△EMK =

1

2

·a·x

d

·h=

ah

2d

·x.

注意到△EMK∽△FNK,相似比为 x

d-x

,又相似三角

形面积比为相似比平方.

则S△EMK +S△FNK =

ah

2d

·x 1+

(d-x)2

x 2 ,

又x 1+

(d-x)2

x 2 =x·2x

2+d

2-2dx

x

2 =2x+

d

2

x

-

2d≥2 2x·d

2

x

-2d=2(2-1)d,

当且仅当2x=

d

2

x

,即x=

2

2

d时取等号.

则S△EMK +S△FNK ≥

ah

2d

·2(2-1)d=(2-1)ah,

综上△EMK 与△FNK 的面积之和最小为(2-1)ah,

其中h为AB 与CD 间距离,此时MK

MN

=

2

2

.

主题八 导数的概念与导数的运算

基础演练

1.B 因 为 limΔx→0

f(3-Δx)-f(3+Δx)

Δx

= 4,所 以

limΔx→0

f(3-Δx)-f(3)+f(3)-f(3+Δx)

Δx

=-lim-Δx→0

f(3-Δx)-f(3)

-Δx

-limΔx→0

f(3+Δx)-f(3)

Δx

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高考导练数学·408

=-2f'(3)=4,故f'(3)=-2.

2.解:(1)y'=-3sinx-4cosx+2e

x ;

(2)y'=

1

xln2

-3

xln3;

(3)y'=2xsinx+x

2cosx2xsinx+cosx

2x x

;

(4)y'=

x-1

x

2 +

2

3

3x

.

3.D 由f(x)=2f'(1)lnx+2x,得f'(x)=

2f'(1)

x

+

2,令x=1,则f'(1)=

2f'(1)

1

+2,

解得f'(1)=-2,所以f(x)=-4lnx+2x,f(e)=-4+

2e.故选 D.

4.C 设曲线y=

e

x

x+1

在点 1,e

2 处的切线方程为y

-

e

2

=k(x-1),因为y=

e

x

x+1

,所以y'=

e

x (x+1)-e

x

(x+1)2 =

xe

x

(x+1)2 ,所以k=y'|x=1=

e

4

,所以ye

2

=

e

4

(x-1),所

以曲线y=

e

x

x+1

在点 1,e

2 处 的 切 线 方 程 为y=

e

4

x+

e

4

.故选 C.

例题精讲

【变式训练1】 (0,1)

解析:当x>0时,f(x)=e

x -1,f'(x)=e

x ,在点 B(x2,

f(x2))处的切线斜率k=e

x2 .切线方程为y-(e

x2 -1)=e

x2

(x-x2),令x=0,可得y=e

x2 -1-x2e

x2 ,即 N(0,e

x2 -1-

x2e

x2 ),当x<0时,f(x)=1-e

x ,同理可求得 M(0,1-e

x1 +

x1e

x1 ),切线垂直得x1 +x2 =0,|AM|

|BN|

=

1+e

2x1 ·(-x1)

1+e

2x2 ·x2

=

1+e

-2x2

1+e

2x2

=

1

e

x2

∈(0,1).

【变式训练2】 (-∞,-4)∪(0,+∞)

解析:因为y=(x+a)e

x ,所以y'=(x+1+a)e

x ,设切点为

(x0,y0),则y0=(x0+a)e

x0 ,切线率k=(x0 +1+a)e

x0 ,切

线方程为:y-(x0+a)e

x0 =(x0+1+a)e

x0 (x-x0),因为切

线过原点,所以-(x0+a)e

x0 =(x0+1+a)e

x0 (-x0),整理

得:x

2

0+ax0-a=0,因为切线有两条,所以Δ=a

2+4a>0,解

得a<-4或a>0,所以a的取值范围是(-∞,-4)∪(0,

+∞),故答案为(-∞,-4)∪(0,+∞).

主题九 导数与函数的单调性

基础演练

1. 0,1

2 ,(1,+∞)

解析:f(x)=lnx+x

2-3x,定义域为(0,+∞),f'(x)=

1

x

+2x-3=

(2x-1)(x-1)

x

,由f'(x)>0,解得0<x<

1

2

或

x>1,函数f(x)的单调增区间为 0,1

2 ,(1,+∞)(特别

注意不能忽视函数的定义域).

2. -∞,-

1

2

解析:f'(x)=

2a+1

(x+2)2 ,因 为 在(-2,+ ∞)上 为 减 函

数,则f'(x)≤0,即2a+1≤0,解得a≤-

1

2

.而a=-

1

2

时,f(x)= -

1

2

为 常 函 数,显 然 不 对.所 以 a 的 范 围 为

-∞,-

1

2 .

(注意:若函数f(x)在(a,b)上单调递增,则当x∈(a,

b)时,f'(x)≥0恒成立;若函数f(x)在(a,b)上单调递减,则

当x∈(a,b)时,f'(x)≤0恒成立,特别强调导数为零的点不

能构成区间).

3.C 题可知f'(x)=ae

x -

1

x

≥0在(1,2)上恒成立,

显然a>0,所 以 xe

x ≥

1

a

,设 g(x)=xe

x ,x∈ (1,2)所 以

g'(x)=(x+1)e

x >0,所以g(x)在(1,2)上单调递增,g(x)

>g(1)=e,e≥

1

a

,即a≥

1

e

=e

-1,即a的最小值为e

-1.故

选 C.

4.A 由2

x -2

y <3

-x -3

-y 得2

x -3

-x <2

y -3

-y ,令

f(t)=2

t -3

-t ,容易判断函数f(t)在 R 上为增函数,则x<

y,y-x>0,所以y-x+1>1,ln(y-x+1)>0,则 A 正确,

B错误;而|x-y|与1的大小关系不确定,故 C、D 无法确

定.故选 A.

5.D 令g(x)=

f(x)

x

,x∈(-∞,0)∪(0,+∞),则g'(x)

=

xf'(x)-f(x)

x

2 ,因 为 当 x>0 时,xf'(x)-f(x)<0 即

g'(x)<0,g(x)在(0,+∞)单调递减,所以g(2)<g(1)<

g 1

2 ,所以f(2)

2

<

f(1)

1

<2f 1

2 ,即 f(2)<2f(1)<

4f 1

2 ,所以b<a<c.故选 D.

例题精讲

【变式训练1】 解:(1)当a=-1时,f(x)= 1

x

-1

ln(1+x)的定义域为(-1,0)∪(0,+∞),f'(x)= -

1

x

2 ln

(1+x)+ 1

x

-1 · 1

1+x

,f(1)=0,f'(1)=-ln2,所以切

线方程为y-0=(-ln2)·(x-1),即(ln2)x+y-ln2=0.

(2)由 f(x)= 1

x

+a ln(1+x),可 得 f'(x)=

-

1

x

2 ln(1+x)+ 1

x

+a · 1

1+x

,满足题意时,则f'(x)

≥0在(0,+∞)上恒成立.即f'(x)= -

1

x

2 ·ln(1+x)+

1

x

+a · 1

1+x

≥0,

化简得-(1+x)ln(1+x)+(ax

2+x)≥0,令g(x)=-

(1+x)ln(1+x)+(ax

2+x),原问题等价于g(x)≥0在(0,

+∞)上恒成立,g'(x)=2ax-ln(1+x),当a≤0时,由于

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高考导练数学·409

2ax≤0,ln(1+x)>0,则g'(x)<0,所以g(x)在(0,+∞)上

单调递减,则当x>0时,g(x)<g(0)=0,不符合题意.当a

>0时,令h(x)=2ax-ln(1+x)(x>0),则h'(x)=2a1

1+x

,当a≥

1

2

时,即2a≥1时,由于 1

1+x

<1,所以h'(x)>

0,所以h(x)在(0,+∞)上为单调递增,即g'(x)在(0,+∞)

上为单调递增,则g'(x)>g'(0)=0,所以g(x)在(0,+∞)

上为单调递增,则g(x)>g(0)=0,符合题意.当0<a<

1

2

时,由h'(x)=0,可 得 x=

1

2a

-1,当 x∈ 0,1

2a

-1 时,

h'(x)<0,h(x)为 单 调 递 减 函 数,即 g'(x)单 调 递 减,则

g'(x)<g'(0)=0,所以g(x)单调递减,则g(x)<g(0)=0,

不符合题意,综上可知:a的范围为 1

2 ,+∞ .

【变式训练2】 解:由题意得,f'(x)=a

xlna-b,当b≤

0时,由于a>1,则a

xlna>0,故f'(x)>0恒成立,此时f(x)

在 R上单调递增;当b>0时,令f'(x)>0,解得x>loga

b

lna

,令f'(x)<0,解得x<loga

b

lna

,所以当b>0时,函数

f(x)在 -∞,loga

b

lna 单调递减,在 loga

b

lna

,+∞

单调递增;综上,当b≤0时,f(x)的单调递增区间为(-∞,