四、解答题(共28分)

13.（13 分)已知二项展开式 ( 3 - 2 x ) ^ { 2 } ^ { 0 2 5 } = a _ { 0 } + a1(x-1)+a2(x-1)²+…+a2 025(x-1)2025.

(1)求 / { a _ { 1 } } { 2 } + / { a _ { 2 } } { 2 ^ { 2 } } + / { a _ { 3 } } { 2 ^ { 3 } } + *s + / { a _ { 2 } \ 0 2 5 } { 2 ^ { 2 \ 0 2 5 } } a2025的值；
(2)求 | a _ { 0 } | + | a _ { 1 } | + | a _ { 2 } | + *s + | a _ { 2 0 2 5 } | 的值.

14.(15分)已知 { \bigl ( } 2 { sqrt { x } } + { / { 1 } { sqrt { x } } } { \bigr ) } ^ { n } 的展开式中第三项的系数是第二项系数的2倍.

(1)求 n 的值；(2)求展开式中二项式系数最大的项；(3)求 ( 1 + x ) ^ { 3 } + ( 1 + x ) ^ { 4 } + *s + ( 1 + x ) ^ { n + 2 } 的展开式中含 x ^ { 2 } 项的系数(结果用数值表示).

15.(5分)(2026·邯郸模拟)若(2x-√a \left( 2 x ^ { 3 } - { / { sqrt { a } } { x } } \right) ^ { 6 } 的展开式中 x ^ { 1 0 } 的系数比 x ^ { 2 } 的系数小300，则实数 a = （ ）

16.(5分)(2026·开封模拟)已知 { \Bigl ( } x + { / { 1 } { 2 x ^ { 2 } } } { \Bigr ) } ^ { \prime } （204号 ( n >=slant 4 \mathbf { \Phi } _ { : , n \in \mathbf { N } } \ast \mathbf { \Phi } _ { { ~ , ~ } } 的展开式中，第5项与第3项的二项式系数之比为 1 5 : 2 ，展开式中系数最大项是得分

A.5 B.4
C.3 D.2

[答题区]

课时作业63 随机事件与概率

（分值：100分）

一、单项选择题(每小题5分，共40分)

1.将颜色分别为红、白、蓝的3个小球随机分给甲、乙、丙3个人，每人1个，则与事件“甲分得红球”互为对立事件的是 （）

A.乙分得红球 B.丙分得红球C.甲分得白球或蓝球D.乙分得白球或蓝球

2.某人从湖里打了一网鱼，共60条，做上记号再放入湖中，数日后又打了一网共100条，其中做记号的15条，根据频率的稳定性，估计湖中有鱼（）条.

A.150 B.300 C.400 D.600

3.打靶3次，记事件 A _ { i } 表示“共击中 i 发”，其中 i =
0,1,2,3,那么 A _ { 0 } \cup A _ { 1 } 表示 （）

A.“全部击中” B.“至少击中1次”C.“至多击中1次” D.“至少击中2次”

4.某人欲寄出三封信，现有两个邮筒供选择，则三封信都投到同一个邮筒的概率是 （）

A / { 1 } { 2 } { B . / { 3 } { 4 } \qquad } { C . / { 1 } { 3 } \qquad } { D . / { 1 } { 4 } }

5.(2026·焦作模拟)从编号为1，2，3，4的4张卡片中随机一次性抽取2张，则抽到的2张卡片编号之和为奇数的概率为 （）

6.某比赛为两运动员制定下列发球规则：规则一：投掷一枚硬币，出现正面向上，甲发球，反面向上，乙发球；规则二：从装有2个红球与2个黑球的布袋中随机地取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球；规则三：从装有3个红球与1个黑球的布袋中随机取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球.上述规则对甲、乙公平的有 （）

A.规则一，规则二 B.规则一，规则三 C.规则二，规则三 D.规则一，规则二,规则三

7.袋子中有一些大小质地完全相同的红球、白球和黑球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或白球的概率为0.59，摸出的球是红球或黑球的概率为0.74，则摸出的球是红球的概率为 （）

A.0.47 B.0.43 C.0.33 D.0.26

8.现有大小和质地相同的6个球，其中有3个红球（标号分别为1、2、3)，3个绿球(标号分别为1、2、3)，按一定方式抽取两球，标号之和大于4即为取球成功.现有三种抽取方式：方式 ① 有放回依次抽取两球；方式 ② 不放回依次抽取两球；方式③ 按颜色等比例分层抽取两球.记这三种方式取球成功的概率分别为 \boldsymbol { \phi } _ { 1 } , \boldsymbol { \phi } _ { 2 } , \boldsymbol { \phi } _ { 3 } .则 （）

A. \rho _ { 1 } { > } p _ { 2 } { > } p _ { 3 } （204号 B. \smash { p _ { 3 } > p _ { 2 } > p _ { 1 } }
C. \phi _ { 3 } > p _ { 1 } = \phi _ { 2 } （20 D. { p _ { 1 } = p _ { 2 } = p _ { 3 } }

二、多项选择题(每小题6分，共12分)

9.从装有2双一次性筷子和2双正常筷子的口袋中任取2双,那么互斥而不对立的两个事件是（）

A.恰有1双一次性筷子与恰有2双一次性筷子B.至少有1双正常筷子与都是一次性筷子C.恰有2双一次性筷子与恰有2双正常筷子D.至少有1双一次性筷子与至少有1双正常筷子

10.下列叙述正确的是

A.A与B为对立事件是 A 与B为互斥事件的充分不必要条件
B.不透明的袋子中有3个大小质地完全相同的球，其中2个红球，1个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则两次都摸到红球的概率为
C.不透明的袋子中有3个大小质地完全相同的球，其中2个红球，1个黄球，从中有放回地依次随机摸出2个球，则两次都摸到红球的概率为
D.从集合 A = \{ 1 , 2 , 3 \} 中任取一个数记为 \mathbf { α } _ { a } ，从集合 B = \{ 4 , 5 , 6 \} 中任取一个数记为 it { b } ，则 ^ { a + } b>7的概率为

三、填空题(每小题5分，共10分)

11.甲乙丙三位同学之间相互踢键子.假设他们相互间传递键子是等可能的，并且由甲开始传，则经过3次传递后，键子传到丙处的概率为得分

12.有2人在一座6层大楼的底层进入电梯，他们每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则他们在不同楼层离开电梯的概率是得分

四、解答题(共28分)

13.(13分)某班级有5名学生，其中男生3人，女生2人.现随机抽取2人参加活动.

（1)求抽到的2人中恰有1名男生的概率；
(2)求抽到的2人中至少有1名女生的概率；
（3)求抽到的2人中男生人数不少于女生的概率.

14.(15分)某环保组织进行了关于生态文明建设的知识竞赛，随机调查了100名参与者，统计了这100人答对的题数，将统计数据分为[0，20），[20,40)，[40，60)，[60，80)，[80，100)，[100，120]六个小组，得到的频率分布直方图如图所示，已知答对题数在[20，40)内的人数是答对题

优生选做题 （共10分）

数在[0，20)内的人数的5倍.

(1)求频率分布直方图中 { \mathbf { α } } _ { a , b } 的值，并估计这100人答对题数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)设成绩在前 2 5 % 的答题者被认定为“环保知识小达人”，按是否为“环保知识小达人”用分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中抽取2人，求这2人中至少有1人为“环保知识小达人"的概率.

15.(5分)已知甲乙丙3名同学从学校的2个科技类社团，2个艺术类社团，1个体育类社团中选择报名参加，每人只能报名参加一个社团，则有人报名参加体育类社团且仅有一人报名科技类社团的概率为 （）

A / { 1 } { 5 } B / { 6 } { 2 5 } c / { 3 } { 2 5 } D. / { 2 } { 5 }

[答题区]

16.(5分)(2026·潍坊模拟)已知一个正整数 n ，若能找到正整数 it { a } , it { b } ，使得 \scriptstyle n = a + b + a b ，则称 n 为一个“好数”.现在从1到20这20个正整数中任取一个数，取到"好数"的概率为

课时作业64 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式

（分值：100分）

一、单项选择题(每小题5分，共40分)

1.甲、乙两人独立破译一份密码，已知两人能破译的概率分别是，， ，，则恰有一人成功破译的概率为 （）

2.已知事件 A 与事件 B 相互独立，且 P \left( A \right) = / { 1 } { 5 } P ( B ) = { / { 5 } { 6 } } ，则P（AB)= （ ）

3.已知 A , B 是一个随机试验中的两个随机事件，若 P ( A ) { = } P ( B ) { = } { / { 1 } { 3 } } , P ( A B ) { = } { / { 1 } { 9 } } ，则 （ ）

A. A 与 B 相互独立且 P \left( A + B \right) = { / { 2 } { 3 } } B. A 与 B 不相互独立且 P \left( A + B \right) = / { 2 } { 3 } C.A与 B 相互独立且 P \left( A + B \right) = / { 5 } { 9 } D. A 与 B 不相互独立且 P \left( A + B \right) = / { 5 } { 9 }

4.（2026·南充模拟)同时投掷两枚质地均匀的骰子，设事件 \boldsymbol { A } 为第一枚骰子投出的点数为奇数，事件 B 为两枚骰子点数之和为8，则 P ( B \mid A ) = （）

5.某校积极开展社团活动，学期结束时，社团老师对参加社团的同学进行选择性考核.某社团有小明、小刚等5位同学参加，现选3位同学参加考核，则在小明被选中的条件下，小刚被选中的概率为 （）

/ { 1 } { 3 } 1 2 2 A B. C. D.

6.（2026·西安模拟）小张一家打算去西安市或汉中市旅游，去西安市与汉中市的概率分别为0.7，0.3，在西安市去游乐园的概率为0.6，在汉中市去游乐园的概率为0.4，则小张一家去游乐园的概率为 （）

A.0.48 B.0.49 C.0.52 D.0.54

7.某公司升级了智能客服系统，当输入的问题表达清晰时,智能客服的回答被采纳的概率为 当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为 为,已知输入的问题表达不清晰的概率为 * { } ^ { / { 1 } { 4 } } .则智能客服的回答被采纳的概率为（）

8.设甲、乙两人每次投进篮球的概率分别为 与 / 1 3 / { 2 } { 3 } ，两人约定如下投篮：每次由一人投篮，若投（204号进，下一次由另一人投篮;若没有投进，则继续投篮，甲、乙两人首次投篮的可能性相同，则前4次中甲恰好投篮3次的概率为 （）

/ { 4 } { 2 7 } / { 8 } { 2 7 } 10 20
A前 B. C. 27 D. 27

二、多项选择题(每小题6分，共12分)

9.如图，一个质地均匀的正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷这个八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为 \varOmega = \{ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 \} . A 表示事件“数字为质数”，B 表示事件“数字为偶数”， c 表示事件“数字大于4”， D 表示事件“数字为 8 ^ { \prime \prime } ，则 （）

A. A 与 B 相互独立 B. B 与 c 相互独立C. A 与 c 相互独立 D. B 与 D 相互独立

10.有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为 6 % , 5 % , 4 % ，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数的比为 5 : 6 : 9 ，现任取一个零件，记事件 A _ { i } = “零件为第 i 台车床加工” ( i = 1 , 2 , 3 ) ，事件 B = “零件为次品”，则 （）

{ { A } } . { \mathit { P } } ( A _ { 1 } ) { = } { 0 } . { 2 } { 5 } { { ~ } } \qquad { { B } } . { \mathit { P } } ( B | A _ { 2 } ) { = } { / { 3 } { 2 0 0 } } { ~ C . ~ } P ( B ) = 0 . 0 4 8 \qquad { ~ D . ~ } P ( A _ { 1 } \mid B ) = / { 5 } { 1 6 }

三、填空题(每小题5分，共10分)

11.“青年大学习"是共青团中央发起的青年学习行动，每期视频学习过程中一般有两个问题需要点击回答.某期学习中假设同学小华答对第一、二个问题的概率分别为 ，且两题是否答对互不影响.则小华恰好答对一个问题的概率为得分

12.班主任安排班干部在暑假给教室的绿植浇一次 水，若不浇水，绿植枯萎的概率为0.7；若浇水， 绿植枯萎的概率为0.15，而班干部浇水的概率 为0.9，则开学返校时绿植枯萎的概率为 得分

四、解答题(共28分)

13.（13分)甲、乙两人组成“星队"参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为 / { 3 } { 4 } ,乙每轮猜对的概率为 / { 2 } { 3 } ，在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响.(1)求甲在两轮活动中，至少猜对一个成语的概率；(2)求"星队"在两轮活动中猜对3个成语的概率.

14.(15分)甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球.(1)从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，求2个球都是红球的概率；(2)掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱中随机抽出1个球，若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率. 得分

优生选做题 (共10分)

15.(5分)某学校组织数学竞赛活动，准备了两组题目分别放在 A , B 两个箱子中. A 箱中有4道代数题和2道几何题， B 箱中有3道代数题和3道几何题.参赛选手先在两个箱子中任选一个箱子，然后从选中的箱子中依次抽取2道题（不放回)作答.若乙同学选择 A 箱，答题结束后工作人员失误将乙抽取的题目放回了 B 箱，接着丙同学选择从 B 箱抽取题目，则丙抽取的2道题中至少有一道代数题的概率为 （）

/ { 1 1 } { 1 4 } 4 25 / { 8 6 } { 1 0 5 } A. B. C. D. （204号 15 28

[答题区]

16.(5分)(2026·秦皇岛模拟)甲、乙、丙3名学生各自回答同一个问题，回答正确与否互不影响.已知： ① 甲回答正确的概率为 / 1 3 { 2 } 3 名学生至少有1人回答正确的概率为 / { 3 } { 4 } { 3 } 乙回答正确且丙回答错误的概率为 / { 1 } { 4 } .则甲、乙、丙均回答

正确的概率为

课时作业65 离散型随机变量及其分布列、数字特征

（分值：100分）

一、单项选择题(每小题5分，共40分)

1.已知随机变量 X 服从 0 - 1 分布，且 P ( X = 1 ) = 2 P ( X = 0 ) - 1 ，则 P ( X = 0 ) = （）

A. / 1 3 B. / { 1 } { 2 } C / { 3 } { 5 } { { D } } . { / { 2 } { 3 } }

2.若随机变量 \boldsymbol { \xi } 的分布如下表：

则 P ( \mid \xi \mid < 2 ) 的值为

A.0.3 B.0.4
C.0.55 D.0.85

3.已知随机变量 X 的取值为0，1,2，若 P ( X = 0 ) = ,E(X)=1,则标准差为 （ ）

A. / { 2 } { 5 } B.{ C . } { / { sqrt { 1 0 } } { 5 } } { D . } { / { 2 { sqrt { 5 } } } { 5 } } （204号

4.已知随机变量 X 的分布列如下：

若 E ( X ) = 0 ，则 D ( 3 X + 1 ) =

7.已知随机变量 \hat { \xi } _ { i } 满足 P \left( \xi _ { i } = 1 \right) = p _ { i } P ( \xi _ { i } = 0 ) = 1 - p _ { i } , i = 1 , 2 . 若 0 { < } p _ { 1 } { < } p _ { 2 } { < } / { 1 } { 2 } ，则 （ ）

\scriptstyle { A } . E ( ±b { \xi } _ { 1 } ) < E ( ±b { \xi } _ { 2 } ) , D ( ±b { \xi } _ { 1 } ) < D ( ±b { \xi } _ { 2 } ) { B } . E ( ±b { \xi } _ { 1 } ) { < } E ( ±b { \xi } _ { 2 } ) , D ( ±b { \xi } _ { 1 } ) { > } D ( ±b { \xi } _ { 2 } ) { C } _ { \bullet } E ( ±b { \xi } _ { 1 } ) { > } E ( ±b { \xi } _ { 2 } ) , D ( ±b { \xi } _ { 1 } ) { < } D ( ±b { \xi } _ { 2 } ) { D } . E ( ±b { \xi } _ { 1 } ) { > } E ( ±b { \xi } _ { 2 } ) , D ( ±b { \xi } _ { 1 } ) { > } D ( ±b { \xi } _ { 2 } )

8.已知随机变量 X 有三个不同的取值，分别是0，^ { 1 , x } ,其中 x \in ( 0 , 1 ) ，又 P ( X = 0 ) = / { 1 } { 2 } , P ( X = 1 ) = / { 1 } { 4 } ,随机变量 X 的方差的最小值为 （ ）

A. / { 1 } { 6 } { { B } } . { / { 1 } { 3 } }
C. / { 1 } { 2 } D. / { 2 } { 3 }

二、多项选择题(每小题6分，共12分)

9.已知随机变量 X 的分布列为下列结论正确的是

A B.7
C.21 D.22

5.设离散型随机变量 \boldsymbol { \xi } 可能取的值为1，2，3，且P ( \xi = k ) = a k + b ( k = 1 , 2 , 3 ) ，又 \boldsymbol { \xi } 的数学期望E ( \xi ) = 3 ，则 a b 的值为 （）

A. m = 0 . 1 5 （204 B . E ( X ) = 2 . 5 （20
C . E ( 2 X ) = 6 （204号 D . D ( X ) = 2 （2

A. / { 1 } { 2 } { B } . - { / { 2 } { 3 } } C （204号 / { 1 } { 3 } { D } . - { / { 1 } { 3 } }

6.（2026·邯郸模拟）一袋子里有大小形状完全相同的3个红球，2个白球，1个黄球，现从袋子里这6个球中随机摸球，每次摸一球，不放回，摸到红球就结束摸球， X 表示摸球次数，则 X 的数学期望 E ( X ) = （）

A / { 7 } { 4 } { B } . / { 8 } { 3 } c / { 9 } { 4 } { { D } } . { / { 1 0 } { 3 } }

10.设随机变量 X 的分布列为 P \left( X = k \right) = / { a } { k + 1 } ( k = 1 , 2 , 5 ) , a \in { \mathbf { R } } , E ( X ) , D ( X ) 分别为随机变量X 的均值与方差,则下列结论正确的是（）

\operatorname { A } . { \cal P } ( 0 < X < 3 ) = { / { 2 } { 3 } } \quad \operatorname { B } . { \cal E } ( 3 X + 2 ) = 8 { C } . D ( X ) = 2 \qquad { D } . D ( 3 X + 1 ) = 7

三、填空题(每小题5分，共10分)

11.已知随机变量 X 的分布列为 P \stackrel { * } { ( \boldsymbol { X } = i ) } = / { i } { a } ( i = 1,2,3)，则 E ( a X + 4 ) =

12.抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上得2分，反 面向上得一1分.若连续抛掷2次，记所得总分 为随机变量 X ，则 E ( X ) =

四、解答题(共28分)

I3.(13分)（2026·深圳模拟）“读万卷书，行万里路”，小茗同学利用假期时间从所居住的 A 城市到 ^ { } B , C 两个城市旅行，行程为：先从 A 城市到B 城市，再从 B 城市到 C 城市，最后从 c 城市返回 A 城市.在每两个城市之间都只能选择高铁、飞机、大巴三种交通工具中的一种.为了体验沿途的不同风光，她决定不连续两次乘坐同一种交通工具.已知在每次乘坐高铁后，下一次乘坐飞机的概率为 / { 1 } { 3 } ;在每次乘坐飞机后，下一次乘坐高铁的概率为 / { 1 } { 4 } ;在每次乘坐大巴后，下一次乘坐飞机的概率为 / { 3 } { 5 } =

(1)若小茗乘坐飞机从 A 城市到 B 城市，求她从 c 城市返回 A 城市乘坐高铁的概率；(2)在小茗乘坐高铁从 \boldsymbol { A } 城市到 B 城市的前提下，求她此次旅行乘坐高铁的次数 \boldsymbol { \xi } 的分布列和数学期望. 得分

14.（15分)某学校组织“一带一路"知识竞赛，有 A .B 两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束. A 类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答 A 类问题的概率为0.8，能正确回答 B 类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.

（1)若小明先回答 A 类问题，记 X 为小明的累计得分，求 X 的分布列.

(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？请说明理由. 得分

优生选做题 (共10分)

15.(5分)(2026·郑州模拟)已知随机变量 X , Y 均服从两点分布，且 P ( X = 1 ) = { / { 1 } { 2 } } 0 P ( Y = 1 ) = / { 2 } { 3 } （2若 P ( X Y = 0 ) { = } { / { 3 } { 5 } } ,则 P(Y=1|X=0)=（ ）

[答题区]

16.（5分)有3个分别标有数字1，2，3的小球，从中有放回地随机取4次，每次取1个球.记 X 为这3个球中至少被取出1次的球的个数，则 X 的数学期望 E ( X ) = 得分

课时作业66 二项分布、超几何分布与正态分布

（分值：100分）

一、单项选择题(每小题5分，共40分)

1.随机变量 X 服从二项分布 X ~ B \left( 1 0 , / { 1 } { 2 } \right) ，则E ( X ) 等于

A.5 { ~ B . ~ } / { 5 } { 2 } \qquad { ~ C . ~ 1 ~ } \qquad { ~ D . ~ 0 ~ } （20

2.一包装箱内有12件产品，其中有10件合格品.现从中随机取出4件，设取出的4件产品中有 X 件合格品，则 E ( X ) = （）

3.已知三个正态分布密度函数 \varphi _ { i } = { / { 1 } { \sigma _ { i } { sqrt { 2 π } } } } { e } ^ { - { / { ( x - { \mu } ^ { i } ) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { i } } } } ( x \in \mathbf { R } , i = 1 , 2 , 3 ) （其中，e为自然对数的底数)的图象如图所示，则下列结论正确的是

A. \sigma _ { 1 } { = } \sigma _ { 2 } { > } \sigma _ { 3 } B . \mu _ { 1 } > \mu _ { 3 } （204号 （ \therefore \sigma _ { 2 } { < } \sigma _ { 3 } （204号 \operatorname { D } _ { * \mu _ { 1 } } = _ { \mu _ { 2 } } （204号

4.(2026·眉山模拟)设随机变量 X ~ N \left( 2 , \sigma ^ { 2 } \right) .P ( 0 < X < 4 ) = 0 . 3 则 P ( X { < } 0 ) = （）

A.0.25 B.0.35 C.0.65 D.0.70

5.如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点 \mid O 处出发，每隔1秒等可能地向左或向右移动一个单位，共移动5次，则质点位于－1的位置的概率为 （）

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

/ { 5 } { 3 2 } 5 5 1
A. B.16 C. 8 D. 4

6.若随机变量 X { ~ } N \big ( \mu , / { 4 } { 9 } \big ) ,随机变量 Y ~ B ( 3 , \phi ) 且 P ( X { >=slant } 1 ) = { / { 1 } { 2 } } E ( X ) = E ( Y ) ，则 P ( Y { <=slant } 1 ) = （ ）

8.在 \mathbf { \Omega } _ { n } 重伯努利试验中，每次试验发生的概率均为（204号 \boldsymbol { \mathbf { \mathit { \Sigma } } } _ { { P } } ,且2次试验中恰好发生1次的概率为 / { 4 } { 9 } ,若随机变量 X { ~ } B ( 6 , p ) ，则 X 的方差为 D \left( X \right) = （ ）

二、多项选择题(每小题6分，共12分)

9.(2026·九龙坡模拟)已知随机变量 X 服从正态分布 N ( 2 , \sigma ^ { 2 } ) ，则下列说法正确的是 （）

\ { A } . \ E ( X ) = { sqrt { 2 } }
B.当 \sigma { = } 0 . 2 时， D ( 2 X + 1 ) = 0 . 1 6
\operatorname { C } _ { * } P ( X < 1 . 8 ) + P ( X < 2 . 2 ) = 1
D.随机变量 X 落在(1.9，2.2)与落在(1.8，2.1)的概率相等

10.某高中为了让同学们了解有关半导体芯片的内容，并同时增加同学们对芯片行业的兴趣，特地举办了一次半导体芯片知识竞赛，统计结果显示，学生成绩(满分100分） X ~ N ( 7 0 , \sigma ^ { 2 } ) ,其中不低于60分为及格，不低于80分为优秀，且优秀率为 20 % .若从全校参与竞赛的学生中随机选取5人，记选取的5人中知识竞赛及格的学生人数为Y，则 （）

A.该知识竞赛的及格率为 60 %
B , P ( Y = 2 ) = { / { 3 2 } { 6 2 5 } }
{ C } . E ( Y ) = 4
D \phantom { - } 0 ( Y ) = 0 . 8

三、填空题(每小题5分，共10分)

11.某研究所在试验一批种子，已知该批种子的发芽率是， ，从中随机选择4粒种子进行播种，则恰有3粒种子发芽的概率是

A. / { 7 } { 2 7 } Bä / { 8 } { 2 7 } 12 27 D / { 2 0 } { 2 7 }

7.盒中有10个玩具，其中有3个是坏的，先从盒中随机地抽取4个,则下列事件概率是 * / { 1 } { 6 } 的是（）

A.恰有1个是坏的 B.4个全是好的C.恰有2个是坏的 D.至多有2个是坏的

12.袋装食盐标准质量为 _ { rm { 4 0 0 } rm { g } } ，规定误差的绝对值不超过 _ { ~ 4 ~ g ~ } 就认为合格.假设误差服从正态分布，随机抽取100袋食盐，误差的样本均值为0，样本方差为4.由此可估计这批袋装盐的合格率为 得分

四、解答题(共28分)

13.(13分)某市今年举办的创业大赛吸引了众多优质项目参与，经评审某领域有8个项目进入最终角逐，其中科技类项目5个，文创类项目3个.从上述8个项目中随机抽取2个进行路演展示.

(1)求抽出的两个项目中至少有一个是文创类项目的概率；

(2)记路演展示项目中抽中的科技类项目的个数为 X ，求 X 的分布列. 得分

回答4个问题，每答对一个得10分，答错不得分.第一阶段，每个问题选手甲答对的概率都是;第二阶段,若选手甲进入高分组，每个问题答对的概率都是 ,若选手甲进入低分组，每个问题答对的概率都是.

(1)求选手甲第一阶段不被淘汰的概率；（2)求选手甲在该次比赛得分数为40分的概率；(3)已知该次比赛选手甲进入了高分组，记选手甲在该次比赛中得分数为 X ，求随机变量 X 的分布列和期望值. 得分

14.（15分）（2026·郑州模拟)为宣扬中国文化，某校组织古诗词知识比赛.比赛分为两阶段，第一阶段为基础知识问答，每位选手都需要回答3个问题，答对其中至少2个问题，进入第二阶段，否则被淘汰；第二阶段分高分组和低分组，第一阶段3个问题都答对的选手进入高分组，共回答4个问题，每答对一个得20分，答错不得分；第一阶段答对2个问题的选手进入低分组，共

优生选做题 (共10分)

15.(5分)甲、乙两人玩一种扑克游戏，每局开始前每人手中各有6张扑克牌，点数分别为 1 ~ 6 ，两人各随机出牌1张，当两张牌的点数之差为偶数时，视为平局，当两张牌的点数之差为奇数时，谁的牌点数大谁胜，重复上面的步骤，游戏进行到一方比对方多胜2次或平局4次时停止，记游戏停止时甲、乙各出牌 X 次，则 P ( X = 4 ) = （）

[答题区]

16.(5分)某工厂生产的产品的质量指标服从正态分布 X ~ N ( 1 0 , \sigma ^ { 2 } ) ，质量指标介于8至12之间的产品为良品，为使这种产品的良品率达到9 9 . 7 % ,则需调整生产工艺，使得 \sigma 至多为得分

微专题12 统计与概率的综合问题

（分值：60分）

1.(13分)某工厂的一个生产车间举行了生产技能测试（满分100分），经统计，全部测试成绩均位于[50，100]内，按区间[50，60)，[60，70），[70，80)，[80，90)，[90，100]分成5组，绘制频率分布直方图如图，其中在[90，100]内的人数为6.

(1)求 \mathbf { α } _ { a } 的值，并估计参加测试的职工的平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值代替)；(2)现将[50，60)和[90，100]内的所有职工的工号贴在形状、大小和质地均相同的小球上(每个小球贴一个工号)，并放入盒内，从盒中随机抽取两个小球，若抽出的两人成绩差不小于30，称这两人为“黄金搭档组”.若抽取4次，每次取出2个球，记下工号后再放回盒内.记取得“黄金搭档组"的次数为 X ，求X { = } 2 的概率和 X 的数学期望. 得分

2.(15分)某中学为了解高二年级学生对“数学建模竞赛"的参与意愿与性别是否有关，现从学校中随机抽取了100名学生进行调查，得到如下列联表：

(1)根据小概率值 α = 0 . \ 0 5 的独立性检验，能否认为“愿意参与数学建模竞赛与性别有关联”?（2)从样本中“愿意参与"的学生中按性别采用分层抽样的方法抽取11人，再从这11人中随机抽取3人作为竞赛种子选手，记3人中女生的人数为 X ，求 X 的分布列和数学期望.

3.（15分)全面建成小康社会取得了伟大历史成就，决战脱贫攻坚取得了决定性胜利，某脱贫县实现脱贫奔小康的目标，该县经济委员会积极探索区域特色经济，引导商家利用多媒体的优势，对本地特产进行广告宣传，取得了社会效益和经济效益的双丰收.

(1)该县经济委员会为精准了解本地特产广告宣传的导向作用，在购买该县特产的客户中随机抽取300人进行广告宣传作用的调研，对因广告宣传导向而购买该县特产的客户统计结果是：客户群体中青年人约占 1 5 % ，其中男性为 20 % ；中年人约占 50 % ，其中男性为 3 5 % ；老年人约占 3 5 % ，其中男性为 5 5 % .以样本估计总体，视频率为概率.

① 在所有购买该县特产的客户中随机抽取一名客户，求抽取的客户是男性的概率；
② 在所有购买该县特产的客户中随机抽取一名客户是男客户，求他是中年人的概率(精确到0.0001)；(2)该县经济委员会统计了某6至12月这7个月的月广告投入 \mathbf { \Psi } _ { x } （单位：万元）； _ y （单位：万件）的数据如表所示：请根据相关系数 \boldsymbol { r } 说明相关关系的强弱.（若| r | >=slant 0 . 7 5 ，则认为两个变量有很强的线性相关性， \boldsymbol { r } 值精确到0.001)
参考数据： \stackrel { i = 1 } { \underset { 7 } { \sum } } x _ { i } y _ { i } = 1 ~ 3 5 4 , \stackrel { i = 1 } { \underset { 7 } { \sum } } ( y _ { i } - \stackrel { - } { y } ) ^ { 2 } = 8 2 0 sqrt { 1 \ 4 3 5 } { \approx } 3 7 . \ 8 8
参考公式：相关系数 r = / { \underset { n } { \overset { i = 1 } { \sum } } x _ { i } y _ { i } - n \overline { { x } } \bullet \overline { { y } } } { sqrt { \underset { n } { \overset { i = 1 } { \sum } } x _ { i } ^ { 2 } - n \overline { { x } } ^ { 2 } } \bullet sqrt { \underset { n } { \overset { i = 1 } { \sum } } y _ { i } ^ { 2 } - n \overline { { y } } ^ { 2 } } } .

优生选做题 (共17分)

4.（17分)（2026·沧州模拟)“你好！我是DeepSeek，很高兴见到你！我可以帮你写代码，读文件，写作各种创意内容，请把你的任务交给我吧”，DeepSeek从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋，好助手”，AI大模型正在改变着我们的工作和生活的方式.为了了解不同学历人群对DeepSeek的使用情况，随机调查了200人，得到如下数据：

单位：人

(1)依据小概率值 α = 0 . \ 0 1 的独立性检验，能否认为DeepSeek的使用情况与学历有关?

（2)某校组织“AI模型"知识竞赛，甲、乙两名选手在决赛阶段相遇，决赛阶段共有3道题目，甲、乙同时依次作答，3道试题作答完毕后比赛结束.规定：若对同一道题目，两人同时答对或答错，每人得0分；若一人答对另一人答错，答对的得10分，答错的得一10分，比赛结束累加得分为正数者获胜，两人分别独立答题互不影响，每人每次的答题结果也互不影响，若甲，乙两名选手正确回答每道题的概率分别为号,1.

（i)求比赛结束后甲获胜的概率；（i)求比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率. 得分

悟规范 夺高分 悟规范 保领先 悟规范 补短板

同样是做題，在这里，你必将有不一样的收获！

随书配送