师说

课时作业高中全程复习构想

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任高峰 主编

66套课时作业

/2套微专题

高三数学

学班姓 校级名北京出版集团北京教育出版社

目录

课时作业1 集合 课时作业33 平面向量的数量积及其应用 77
课时作业2 常用逻辑用语 3： 微专题7 平面向量中的最值、范围问题· 79
课时作业3 不等式的性质· 5： 课时作业34 复数· 81
课时作业4 基本不等式 课时作业35 数列的概念· 83
课时作业5 一元二次不等式 9 微专题8 数列的通项公式与递推关系 ：85
微专题1 一元二次不等式恒(能)成立问题 11 课时作业36 等差数列… 86
课时作业6 函数的概念及其表示 13 课时作业37 等比数列 ：88
课时作业7 函数的单调性与最值 15 课时作业38 数列求和… 90
课时作业8 函数的奇偶性、周期性 17 微专题9 重构数列问题· 92
微专题2 函数的对称性… 19 课时作业39 基本立体图形及表面积与体积… ：94
课时作业9 幂函数与二次函数 21 微专题10 空间几何体的外接球与内切球96
课时作业10 指数式与对数式的运算… 23 课时作业40 空间点、直线、平面之间的位置关系98
课时作业11 指数函数… 25 课时作业41 直线、平面平行的判定与性质100
课时作业12 对数函数 27 课时作业42 直线、平面垂直的判定与性质103
课时作业13 函数的图象… 29 课时作业43 空间向量的概念及运算 …105
课时作业14 函数与方程… 31 课时作业44 利用空间向量研究线、面位置关系107
课时作业45 利用空间向量求空间距离109
课时作业15 函数模型的应用· 33 课时作业46 利用空间向量求空间角 … 112
课时作业16 导数的概念、运算及几何意义 … 35 课时作业47 直线与方程 …115
微专题3 两曲线的公切线问题 37 课时作业48 两直线的位置关系· …117
课时作业17 导数与函数的单调性 39 课时作业49 圆的方程 ：119
微专题4 导数中的构造问题 41 课时作业50 直线与圆、圆与圆的位置关系121
课时作业18 导数与函数的极值、最值 43 课时作业51 椭圆 123
课时作业19利用导数研究不等式恒(能)成立问题 课时作业52 双曲线 ：125
45课时作业53 抛物线 …127
课时作业20 利用导数证明不等式… 47 课时作业54 直线与圆锥曲线的位置关系· … 129
课时作业21 利用导数研究函数的零点· 49 课时作业55 圆锥曲线中的最值、范围问题132
课时作业22任意角、弧度制及任意角的三角函数 课时作业56 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题
…134
课时作业23同角三角函数的基本关系式及诱导公式 课时作业57 圆锥曲线中的证明、探究性问题136
53课时作业58 随机抽样、统计图表 …138
课时作业24两角和与差的正弦、余弦、正切公式及 课时作业59 用样本估计总体… …140
二倍角公式… 55 课时作业60 成对数据的统计分析· …143
课时作业25 简单的三角恒等变换 57课时作业61 计数原理… … 146
课时作业26 三角函数的图象与性质 59微专题11 排列组合问题的几种特殊解法148
课时作业27 函数 \scriptstyle { y = A \sin ( \omega x + \varphi ) } 的图象及应用61 课时作业62 二项式定理 ：149
微专题5 三角函数中 \omega 的范围问题 63课时作业63 随机事件与概率 ：151
课时作业28 余弦定理和正弦定理… 65课时作业64 事件的相互独立性、条件概率与全概率
课时作业29 解三角形中的综合问题 67 公式… …153
微专题6 解三角形中的"三线"问题 …69课时作业65 离散型随机变量及其分布列、数字特征
课时作业30 解三角形应用举例 71 … 155
课时作业31 平面向量的概念与线性运算 73课时作业66二项分布、超几何分布与正态分布157
课时作业32 平面向量基本定理及坐标表示75微专题12 统计与概率的综合问题 … 159

课时作业1 集合

（分值：83分）

一、单项选择题(每小题5分，共40分)

1.(2026·蚌埠模拟)已知集合 U = \{ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 \} .A = \{ 1 , 2 \} , B = \{ x | x = 2 n + 1 , n \in \mathbf { N } \} ，则（ \complement _ { U } A ) \cap B = （ ）

A. \{ 1 \} （204号 B. \{ 3 , 5 \} （204号 C.{1,3,5} D.{1,3,4,5}

5.(2026·中山模拟)已知集合 A = \{ x \mid - 3 < x <=slant 2 \} , B = \{ x \vert - 2 <=slant x < 3 \} ，则 A \cup B = （ ）

A. \{ x \mid - 2 < x < 2 \} B. \{ x \mid - 2 { <=slant } x { <=slant } 2 \} C. \{ x \mid - 2 { < } x { <=slant } 3 \} D. \{ x \mid - 3 { < x < 3 } \} （204号

2.已知集合 A , B 满足 A \cap B = \left\{ 1 , 2 \right\} , A \cup B = \{ 1 , 2 , 3 , 4 \} ，若 4 \not \in A ，则必有 （ ）

A. 3 \in A （204号 （204号 { B } . 3 \notin A （204号 C. 4 \in B （20 D.4B

6.(2026·潍坊二模)已知集合 A = \{ x \in \mathbf { N } | x ^ { 3 } < 2 7 \} ， 则 A 的子集的个数是 （ 1

A.4 B.8
C.16 D.32

3.(2026·牡丹江模拟)已知集合A={a一2，a²+\{ 4 a , 1 2 \} ，且一 3 \in A ，则 a = （ ）

A. - 3 或-1 B.-3
C.1 D.3

7.(2026·许昌模拟)已知集合 A = \{ - 1 , 0 , 1 , 2 \} .B { = } \{ y \vert y { = } { - } x { + } 1 , x { < } 0 \} ，则 ( ）

4.(2026·张家口一模)设集合 A = \{ - 2 , - 1 , 0 , 1 \} ，B { = } \{ y \vert y { = } x ^ { 3 } , x { \in } A \} ，则 A \cap B = （ ）

A. \{ 0 , 1 \} （20 B. \{ - 1 , 0 \} C. \{ - 1 , 0 , 1 \} D. \left\{ 0 \right\} （204号

8.(2026·驻马店模拟)已知集合 \scriptstyle M = \{ x \mid - 3 < x < 2 \} ，N = \{ x | a < x < 4 \} ，若 M \cup N = \{ x \mid - 3 < x < 4 \} ，则实数 \mathbf { α } _ { a } 的取值范围为 （ ）

A.[-3,2) B.（-3,2] C.[-3,2] D.[2,4)

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二、多项选择题(每小题6分，共18分)

9.若集合 A = \{ 1 , n \} B = \{ n ^ { 2 } , 2 \} ，且 A \cap B \neq \emptyset ，则n 的值可以是 （ ）

A.-1 B.0 C.1 D.2

10.(2026·开封二模)已知集合 A = \left\{ x \vert - 3 { < } 2 x { - } 1 { < } \right.
3}， \complement _ { \mathbf { R } } B \subseteq A ，则 （ ）

A.-1B B.2∈B C. - 1 \in A \cup B D.2∈A∩B

11.(2026·萍乡二模)已知全集 U = \{ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 \} .集合 A \subseteq U , B \subseteq U ，且满足 A \cap B = \{ 3 , 5 \} .（ \complement _ { U } A ) \bigcap ( \complement _ { U } B ) = \{ 2 , 4 \} ，则下列说法正确的为（ ）

A. 4 \in A （204号
B. 6 \in A \cup B （204号
C.集合 A 可能是 \left\{ 1 , 3 , 5 , 6 \right\}
D. ( \complement _ { U } A ) \bigcup { \big ( } \complement _ { U } B ) = \{ 1 , 2 , 4 , 6 \}

三、填空题(每小题5分，共15分)

12.已知集合 A = \left\{ x \vert - 2 < x < 2 \right\} , B = \left\{ - 2 , 0 , 1 , 2 \right\} 则 A \cap B = 得分

13.(2026·温州模拟)设集合 M = \left\{ 1 , 2 , 3 \right\} ，则 M 的非空子集个数为 得分

14. \mathbf { \Gamma } _ { a , b \in \mathbf { R } } ，集合 \{ 1 , a + b , a \} = \left\{ 0 , { / { b } { a } } , b \right\} ，则 a ^ { 2 } ^ { 0 2 4 } + 62025= 得分

优生选做题 (共10分)

15.(5分)已知集合 A = \left\{ x \in { \mathbf { N } } \mid ( x - 2 ) ( x - 3 ) <=slant \right\} \scriptstyle 0 \} , B = \{ x \mid a x - 2 = 0 \} ，若 A \cup B { = } A ，则 \mathbf { α } _ { a } 的取值构成的集合为 （ ）

A. \{ 0 \} （204号 B.{0,1}· （204号 \left\{ 1 , { / { 2 } { 3 } } \right\} { D } . \left. 0 , 1 , / { 2 } { 3 } \right.

[答题区]

16.（5分）（2026·河北多校联考）已知集合 A = \{ ( x , y ) \mid 0 < x < 2 , 0 <=slant y <=slant 1 \} , B = \{ ( x , y ) \mid ( x - y ) 1 ) ^ { 2 } + ( y - 2 ) ^ { 2 } = r ^ { 2 } \} ，若 A \cap B 内有无穷个元素，则 \boldsymbol { r } 的取值范围是 得分

课时作业2 常用逻辑用语

（分值：83分）

一、单项选择题(每小题5分，共40分)

1.下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是一

A. \forall x \in \mathbf { R } , x ^ { 2 } + 2 x - 1 >=slant 0 B. x \in \mathbf { N } , 2 x + 1 为奇数C.所有菱形的四条边都相等D. π 是无理数

2.(2026·太原模拟)已知命题 \rho \colon \forall x > 0 , x ^ { 3 } > x ^ { 2 } + 1 ，则 \lnot p 是 （

A. \forall x > 0 , x ^ { 3 } <=slant x ^ { 2 } + 1 B. \forall x { < } 0 , x ^ { 3 } { > } x ^ { 2 } { + } 1 （ \ : . \ : \exists x { > } 0 , x ^ { 3 } { <=slant } x ^ { 2 } + 1 \ : D. \exists x > 0 , x ^ { 3 } > x ^ { 2 } + 1

3.已知命题 p : \exists x \in \mathbf { R } , 7 x + 3 = 0 ，则 （

A. \boldsymbol { \mathbf { \mathit { \Sigma } } } _ { { P } } 为假命题， \boldsymbol { \mathbf { \mathit { \Pi } } } _ { { P } } 的否定为“ \forall x \in \mathbf { R } , 7 x + 3 \neq 0 ； B. \boldsymbol { \mathbf { \mathit { \Pi } } } _ { { P } } 为假命题， \boldsymbol { \mathbf { \mathit { \Pi } } } _ { { P } } 的否定为“ \exists x \in \mathbf { R } , 7 x + 3 \neq 0 ^ { , } ， C. \mathbf { \Psi } _ { P } 为真命题， \boldsymbol { \mathbf { \mathit { \Sigma } } } _ { { P } } 的否定为“ \forall x \in \mathbf { R } , 7 x + 3 \neq 0 ^ { : } ， D. \boldsymbol { \mathbf { \mathit { \Sigma } } } _ { { P } } 为真命题， \boldsymbol { \mathbf { \mathit { \Sigma } } } _ { { P } } 的否定为“ x \in \mathbf { R } , 7 x + 3 \neq 0 ^ { , } 0

4.已知 P \left( m , { / { sqrt { 3 } } { 2 } } \right) 为角 α 终边上一点，“ m = / { 1 } { 2 } ”是"sinα α { = } / { sqrt { 3 } } { 2 } ”的 ）

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

5.(2026·齐齐哈尔模拟)已知 \mathbf { \Gamma } _ { a } , b \in \mathbf { R } ，则 \scriptstyle * _ { a } > b ”是
4 2 ^ { a } > 2 ^ { b } ”的 （ ）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.(2026·重庆模拟)已知集合 A = \left\{ a , 0 , 1 \right\} , B = \{ x \in \mathbf { R } | x ^ { 2 } <=slant 1 \} ，则“ \dot { \boldsymbol { a } } = - 1 ”是“ * { \cal A } \subseteq { \cal B } ”的（ ）

A.充要条件
B.既不充分也不必要条件
C.充分不必要条件
D.必要不充分条件

7.(2026·深圳模拟)某市评选市级三好学生，申报条件之一为：申报者须获得校级三好学生资格.则"同学甲是校级三好学生"是“同学甲是市级三好学生"的 （ ）

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

8.(2026·安阳模拟)已知命题 \boldsymbol { \mathscr { p } } \colon \forall \boldsymbol { \mathscr { x } } { \in } \mathbf { R } , | \boldsymbol { \mathscr { x } } + 1 | >
1;命题 q : \exists x > 0 , / { 1 } { x - 1 } { > } 1 ，则 （ ）

A. \boldsymbol { \mathscr { p } } 和 \boldsymbol { q } 都是真命题B. \lnot p 和 q 都是真命题C. \boldsymbol { \mathbf { \mathit { \Sigma } } } _ { { P } } 和 \neg q 都是真命题D. \lnot p 和 \neg q 都是真命题

二、多项选择题(每小题6分，共18分)

9.已知命题 \boldsymbol { \mathbf { \mathit { \Sigma } } } _ { { P } } ： \boldsymbol { x } \in \mathbf { N } ^ { * } ， x ^ { 3 } - 4 x = 0 ，命题 q ：所有能被4整除的数都是偶数，则 （ ）

A. \boldsymbol { \mathbf { \mathit { \Sigma } } } _ { { P } } 是存在量词命题，是真命题B. \boldsymbol { \mathbf { \mathit { \Sigma } } } _ { { P } } 是存在量词命题，是假命题C. q 是全称量词命题，是真命题D. q 是全称量词命题，是假命题

10.下列命题中为真命题的是

A. \forall x \in \mathbf { R } , x ^ { 2 } + 1 >=slant 2 x
B.3 x \in \mathbf { R } , 2 x { > } x ^ { 3 } （204号
C.若 a \in \mathbf { R } ，则 \scriptstyle * _ { a } > 1 ”是 \scriptstyle { / { 1 } { a } } < 1 ”的充要条件
D.若 \boldsymbol a \in \mathbf { R } ，则 _ a - 2 是无理数”是“ \dot { \mathbf { \zeta } } _ { a } 是无理数” 的充要条件

三、填空题(每小题5分，共15分)

12.‘ m { < } / { 1 } { 4 } "是“一元二次方程 x ^ { 2 } + x + m = 0 有实数解”的 条件.（填“充分不必要"或“必要不充分") 得分

11.(2026·延边模拟)下列“若 \boldsymbol { \mathbf { \mathit { \Sigma } } } _ { { P } } ，则 it { q } "形式的命题中， \boldsymbol { \mathscr { p } } 是 q 的必要条件的有 （ ）

A.若 x ^ { 2 } = 1 ，则 \scriptstyle x = 1
B.若 a { < } 2 ，则方程 x ^ { 2 } - 2 x + a = 0 有实根
C.若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形 是平行四边形
D.若 m n 为无理数，则 \mathbf { \Delta } _ { m , n } 均为无理数

13.(2026·广安模拟)若“ x \in \left[ { / { 1 } { 2 } } , 1 \right] / { 1 } { x } < a ”为假命题，则实数 \mathbf { α } _ { a } 的最大值为

14.已知集合 A = \{ x \vert x { > } 3 \} ，集合 B = \{ x | x > a \} ，若中 { { \Pi } } _ { x \in A } ”是“ { \bf \Phi } _ { x \in B } ”的充分条件，则实数 \mathbf { α } _ { a } 的取值范围是 得分

优生选做题 (共10分)

15.(5分)(2026·衡阳模拟)命题“ \forall x \in [ 1 , 2 ] ，x²-a { <=slant } 0 "为真命题的一个充分不必要条件是（ ）

A. a { >=slant } 4 （20 B.a≤4
C. a { > } 4 （204号 D.a<4

[答题区]

16.(5分)已知命题 p : \forall x \in \mathbf { R } , x ^ { 2 } - a >= 0 ；命题 q 王 | x \in \mathbf { R } , x ^ { 2 } + 2 a x + 2 - a = 0 .若命题 \rho , q 都是 真命题，则实数 \mathbf { α } _ { a } 的取值范围为

课时作业3 不等式的性质

（分值：100分）

一、单项选择题(每小题5分，共40分)

1.设 \mathbf { \Psi } _ { a } \boldsymbol { b } \in \mathbf { R } ，则下列条件可断定 | a | < b 的是

7.(2026·沧州模拟)已知 2 < a <=slant 4 , - 1 < b <=slant 0 ，则2 a - b 的取值范围是 （ ）

A.[4,9) B.(4,9) C.(5,8] D.(5,8)

A. a < b 且一 * a < b B. a { < } b 或 - a < b C. a { < } b 且 a < - b （20 D. a { < } b 或 a < - b （204号

8.已知 \scriptstyle 0 < b < a , a + b = 1 ，则 【

2.若 \mathbf { \Psi } _ { x } x , y \in [ 2 , + ∞ ) ，则 \scriptstyle { p = x y + 2 } 与 q = 2 x + y 的大小关系是 （ ）

A. \scriptstyle { p >=slant q } （204号 B. \scriptstyle { p <=slant q } （204号 C. _ { p > q } （204号 D. p<q

二、多项选择题(每小题6分，共12分)

3.(2026·六安模拟）若 \scriptstyle a > b > 0 , c > d ，则 （

9.(2026·日照模拟)已知 a < b < 0 , c \in \mathbf { R } ，则下列不等式成立的是 （ ）

4.若 a < b < c ，则 / { 1 } { c - b } + / { 1 } { a - c } 的值为

A 1 1 B.ac³<bc³ b a
C. a ^ { 2 } > b ^ { 2 } （204号 b a

A.正数 B.负数C.非正数 D.非负数

10.(2026·广州模拟)已知 6 < a < 6 0 , 1 5 < b < 1 8 .则下列正确的是 （ ）

5.（2026·驻马店模拟） * _ { b > 0 > a } ”是“ a ^ { 2 } > a b ”的 （

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

三、填空题(每小题5分，共10分)

6.下列命题为真命题的是

11.若 \scriptstyle x < y < 0 ，设 M = ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) ( x - y ) , N = ( x ^ { 2 } - y ^ { 2 } ) \ ( \ x + y ) ，则 M , N 的大小关系是得分

A.若 / { 1 } { a } { > } / { 1 } { b } 则 a < b （20 B.若 a < b ，则 a ^ { 2 } < b ^ { 2 } C.若 a { > } b { > } 0 ，则 sqrt { a } < sqrt { b } （204号 D.若 a { > } b { > } 0 则 / { b } { a } < / { a } { b } （204号

12.已知有三个条件： { 1 } a c ^ { 2 } > b c ^ { 2 } ; { 2 } / { a } { c } > / { b } { c } ; { 3 } a ^ { 2 } > b ^ { 2 } 其中能成为 a > b 的充分条件的是(填序号) 得分

四、解答题(共28分)

13.(13分)(1)比较 : { sqrt { 2 } } - 1 与 2 - { sqrt { 3 } } 的大小，

(2)已知 c > a > b > 0 ，比较 / { a } { c - a } / { b } { c - b } 的大小.

14.(15分)(1)已知 a > b > 0 , c < d < 0 , e < 0 ，求证：{ / { e } { a - c } } { > } { / { e } { b - d } } .

(2)设 \quad _ { a , b , c \in \mathbf { R } , a + b + c } = 0 , a b c = 1 ，证明：a b + b c + c a < 0 . 得分

优生选做题 (共10分)

15.(5分)设 { p = ( a ^ { 2 } + a + 1 ) ^ { - 1 } } q { = } a ^ { 2 } - a + 1 ，则 （

A.p>q B \scriptstyle { p < q } （20 C. \scriptstyle { p >=slant q } （204号 D. p≤q

[答题区]

16.(5分)(2026·武汉模拟)若实数 { \mathbf { \Omega } } _ { a , b } 满足 - 1 < a + b < 3 , 2 < a - b < 4 ，则 3 a + b 的取值范围为得分

课时作业4 基本不等式

（分值：100分）

一、单项选择题(每小题5分，共40分)

1.（2026·顺义模拟)下列命题为真命题的是（

2.已知 _ { x , y > 0 } ，且 2 x + y = 4 ，则 x y 的最大值为

A.22 B.2
C.4 sqrt { 2 } （204号 D.4

3.已知 x { > } 0 ，则 / { 4 } { 1 + x } + x 的最小值是

A.1 B.2
C.3 D.4

4.(2026·岳阳模拟)已知函数 f ( x ) = 3 - x - { / { 2 } { x } } 则当 x { < } 0 时， f ( x ) 有 ( ）

A.最大值 3 + 2 { sqrt { 2 } } B.最小值 3 + 2 { sqrt { 2 } } C.最大值 \mathsf { 3 } - \mathsf { 2 } sqrt { \mathsf { 2 } } （204号 D.最小值 \mathsf { 3 } - 2 sqrt { 2 }

5.(2026·上饶模拟)已知 x > 0 , y > 0 , x + 2 y = 1 则 / { 1 } { x } + / { 1 } { y } 的最小值为 （ ）

{ A } . 3 { + } 2 { sqrt { 2 } } B.12
（204号 C . 8 { + } 4 { sqrt { 3 } } （204号 D.6

6.（2026·揭阳模拟)“物竞天择，适者生存"是大自然环境下选择的结果，森林中某些昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌.经某生物小组研究表明某类昆虫在水平速度为 \mathbf { \sigma } _ { v } , （单位：分米/秒）时的跳跃高度 H （单位：米)近似满足 \ v ^ { 2 } = \ / { 4 H } { 1 - H v ^ { 2 } } 的等量关系，则该类昆虫的最大跳跃高度约为 （）

A.0.2米 B.0.25米C.0.45米 D.0.7米

7.(2026·昆明模拟)已知 x > 0 , y > 0 ，且 x + y - x y + 8 = 0 ，则 x y 的最小值为 （ ）

A.4 B.8
C.16 D.32

8.函数 f ( x ) = { / { x ^ { 2 } + x + 1 } { x - 1 } } ( x { > } 1 ) 的最小值为（

A.23 （204号 { B } . 3 + 2 { sqrt { 3 } } （204号 C.2+2√2 D.5

二、多项选择题(每小题6分，共12分)

9.已知正数 { \bf \Pi } _ { a , b } ，则下列说法正确的是 （

{ A } . { sqrt { a ^ { 2 } + 2 } } + { / { 1 } { sqrt { a ^ { 2 } + 2 } } } 的最小值为2
B.(a+b)(=+)≥4
a²+6²
C ≥2√ab√ab
{ D } . / { 2 a b } { a + b } { > } sqrt { a b }

10.(2026·毫州模拟)已知 x { > } 0 , y { > } 0 ，且 x + 3 y =
1，则下列选项正确的是 （ ）

A. _ y 的取值范围为 \left( 0 , { / { 1 } { 3 } } \right) B x y 的最大值为 / { 1 } { 1 2 } C / { 1 } { x } + / { 3 } { y } 的最小值为16D. x ^ { 2 } + 9 y ^ { 2 } 的最小值为2

三、填空题(每小题5分，共10分)

11.若函数 f ( x ) = x + { / { 1 } { x - 3 } } ( x { > } 3 ) 在 \scriptstyle x = a 处取最小值，则 a = \_ 得分

12.(2026·吕梁一模)正数 ^ { } { } _ { x , y } 满足 x + y = x y ，则x + 9 y 的最小值是 得分

四、解答题(共28分)

13.（13分)（2026·河南名校联考)已知正数 { \bf \Pi } _ { a , b } 满 足 ( 3 a + b ) ^ { 2 } - 1 0 = 2 a b

(1)求 3 a + b 的取值范围；(2)证明： 9 a ^ { 2 } + b ^ { 2 } >=slant 6

14.(15分)围建一个面积为 3 6 0 ~ { m ^ { 2 } } 的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需要维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2{ ~ m ~ } 的进出口，如图所示.已知旧墙长30米，旧墙的维修费用为45元/ { \Delta } _ { { m } } ，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为 x rm { m } ,修建此矩形场地围墙的总费用为 y 元

(1)写出 _ y 关于 x 的函数解析式，并写出函数的定义域；

（2）试确定 \mathbf { \Psi } _ { x } ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用. 得分

优生选做题 (共10分)

15.(5分)已知 a > 0 , b > 0 ，若不等式 / { m } { a + b } { <=slant } / { 4 a + 9 b } { a b } 恒成立，则实数 \mathbf { λ } _ { m } 的最大值为 （ ）

A.64 B.25 C.13 D. 12

[答题区]

16.(5分)已知 x { < } 0 ，且 x - y = 1 ，则 x + / { 1 } { 2 y + 1 } 的最大值为 得分

课时作业5 一元二次不等式

（分值：100分）

一、单项选择题(每小题5分，共40分)

1.(2026·秦皇岛二模)已知集合 A { = } \{ x | x ^ { 2 } { - } x { - } 6 { < } 0 \} ，B { = } \{ x \mid | x | { > } 1 \} ，则 A \cap B = （）

A. \{ x | - 2 { < } x { < } - 3 \}
B. \{ x \vert - 1 { < x < } 1 \} （20
C. \{ x \mid - 2 < x < - 1 ，或 1 { < } x { < } 3 ) D. \{ x \vert - 3 < x < - 1 ，或 1 { < x < } 2 \}

2.已知关于 \mathbf { \Psi } _ { x } 的不等式 x ^ { 2 } - ( a - 1 ) x + a - 2 <=slant 0 的解集为 \{ x \mid 1 { <=slant } x { <=slant } 3 \} ，则 a = （）

A.4 B.5 C.6 D.7

3.(2026·沙坪坝模拟)不等式 / { x } { x ^ { 2 } - 4 } > 0 的解集是一

A. ( - ∞ , - 2 ) \cup ( 0 , + ∞ ) B. ( 2 , + ∞ ) 0
C.(-2,0)
D. ( - 2 , 0 ) \cup ( 2 , + ∞ ) （204号

4.不等式 x ^ { 2 } - \left| { \boldsymbol { x } } \right| - 2 < 0 的解集是 （

A. \{ x | - 2 < x < 2 \} （204号 B. \{ x \vert x < - 2 ，或 \scriptstyle x > 2 ⟩ （20 C. \{ x | - 1 { < x < } 1 \} （204号 D. \{ x \vert x < - 1 ，或 \vert x { > } 1 ⟩ （204号

5.如图所示，已知二次函数 \scriptstyle ( y = a x ^ { 2 } + b x + c 的图象，则不等式 a x ^ { 2 } + b x + c > 0 的解集是 （）

A.(-2,1)
B. ( - ∞ , - 2 ) \cup ( 1 , + ∞ ) C.[-2,1]
D. ( - ∞ , - 2 ] \cup [ 1 , + ∞ ) （204号

6.已知不等式： { 1 } x ^ { 2 } - 4 x + 3 < 0 , { 2 } x ^ { 2 } + x - 6 < 0 { 3 } 2 x ^ { 2 } - 5 x + m < 0 ,若要同时满足不等式 ① ② 的x 也满足不等式 ③ ，则有 （ ）

A. m { > } 2 B. \scriptstyle m = 2 （204号 C. m { <=slant } 2 （20 { D } , 0 { < } m { < } 2

7.(2026·驻马店模拟)不等式4 / { 4 } { x + 2 } { <=slant } 1 的解集为 （

A. ( - ∞ , - 2 ] \cup [ 2 , + ∞ ) （204号 B.(-2,2)
C. ( - ∞ , - 2 ) \cup [ 2 , + ∞ ) （204号 D.[-2,2]

8.(2026·徐州模拟)已知不等式 a x ^ { 2 } + b x - 3 > 0 （204号的解集为{x|x>1,或x<-3），则不等式0的解集为 （ ）

二、多项选择题(每小题6分，共12分)

9.下列说法错误的是

A * \ \{ x \mid - 1 < x \ll 2 \} \qquad { ~ B . ~ } \{ x \mid - 2 < x < 2 \} C. \{ x \mid - 1 { <=slant } x { <=slant } 2 \} D. \{ x \vert x > 1 ，或 \scriptstyle x < - 2 \}

A. a x ^ { 2 } > 0 ( a > 0 ) 的解集为R
B.不等式 x ^ { 2 } + x + 1 < 0 的解集为 \varnothing
C.如果 a x ^ { 2 } + b x + c = 0 中 a < 0 , \Delta = 0 ，则 a x ^ { 2 } + b x + c >=slant 0 的解集是 \left\{ x \bigg \vert x \neq - / { b } { 2 a } \right\}
D. x ^ { 2 } + 3 x - 4 > 0 的解集和不等式组 \left\{ { \begin{array} { l } { x - 1 > 0 , } \\ { x + 4 > 0 } \end{array} } \right. 的解集相同

10.(2026·信阳模拟)已知关于 \mathbf { \Psi } _ { x } 的一元二次不等式 a x ^ { 2 } + b x + c <=slant 0 的解集为 \{ x \mid x <=slant - 1 ，或\scriptstyle x >=slant 2 \} ，则 （ ）

三、填空题(每小题5分，共10分)

11. a x + b < 0 的解集为 ( - ∞ , - 1 ) ，则 \left( a x - b \right) \left( x + \right. 2 ) < 0 的解集为 得分

12.如图，在长为 8 { ~ m ~ } ，宽为 6 { ~ m ~ } 的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪，如果要求草坪外侧四周的花卉带的宽度都相同，且草坪的面积不超过总面积的一半，则花卉带的宽度至少应为m.

花卉带
花卉带 草坪 花卉带
花卉带

四、解答题(共28分)

13.（13分）集合 A = \left\{ x \bigg | / { 2 x - 1 } { x + 1 } { <=slant } 1 , x { \in } \mathbf { R } \right\} ，集合B { = } \{ x \mid \mid x { - } a \mid { <=slant } 2 , x { \in } \mathbf { R } \} .

(1)求集合 A ： (2)若 B \cap \ \ell _ { \mathbf { R } } A = B ,求实数 \mathbf { α } _ { a } 的取值范围.

14.(15分)解关于 x 的不等式 a x ^ { 2 } + 5 x - 2 > a x - x + 4 · 得分

优生选做题 (共10分)

15.(5分)已知集合 M = \{ x \mid x ^ { 2 } - 2 m x - 3 m ^ { 2 } <=slant 0 \} ，N { = } \{ x | x ^ { 2 } { + } m x { - } 2 m ^ { 2 } { <=slant } 0 \} ，定义 b - a 叫做集合 \{ x \mid a <=slant x <=slant b \} 的长度，若集合 M \cap N 的长度为2，则 M \cup N 的长度为 （）

A.3 B.4
C.5 D.10

[答题区]

16.(5分)若关于 x 的不等式 x ^ { 2 } - ( m + 1 ) x + m < 0 的解集中恰有3个整数，则实数 \mathbf { \Sigma } _ { m } 的取值范围是 得分

微专题1 一元二次不等式恒(能)成立问题

（分值：80分）

一、单项选择题(每小题5分，共30分)

1.已知不等式 x ^ { 2 } - m x + 4 < 0 的解集为空集，则 \mathbf { \Psi } _ { m } 的取值集合为 （ ）

A.(-4,4)
B. ( - ∞ , - 4 ) \cup ( 4 , + ∞ ) C.(18，-4]U[4,+) D.[-4,4]

2.(2026·临沂模拟)若关于 \mathbf { \Psi } _ { x } 的不等式 m x ^ { 2 } - 5 x + m { <=slant } 0 的解集为R，则实数 \mathbf { \Psi } _ { m } 的取值范围是一 ）

6.当 1 { <=slant } x { <=slant } 3 时，关于 x 的不等式 x ^ { 2 } - a x + 4 >= 0 有解，则实数 \scriptstyle a 的取值范围是 （ J

3.已知当 1 { <=slant } x { <=slant } 2 时， x ^ { 2 } - a x > 0 恒成立，则实数\scriptstyle a 的取值范围是 （ ）

A. a { <=slant } 4 （204号 B. a <=slant - 4 或 a { >=slant } 4 C. a { <=slant } 5 （204号 D \scriptstyle λ , a <=slant { / { 1 3 } { 3 } }

二、多项选择题(每小题6分，共12分)

7.若关于 \mathbf { \Psi } _ { x } 的不等式 x ^ { 2 } - 6 x + 2 - a > 0 在区间[0，5]内有解，则实数 \mathbf { α } _ { a } 的取值可以是 （ ）

A. a { >=slant } 1 （204号 B.a>1
C.a≤1 D.a<1

4.若不等式 a x ^ { 2 } + 2 a x - 4 < 2 x ^ { 2 } + 4 x 对任意实数 x 均成立，则实数 \mathbf { α } _ { a } 的取值范围是 （ ）

A.0 B.1
C.2 D.3

A. - 2 { < } a { < } 2 B. a < - 2 或 a { > } 2 C.-2<a≤2 D.a≤-2

5.(2026·青岛模拟)若集合 A = \{ x \in \mathbf { N } ^ { * } \mid x ^ { 2 } + x + \scriptstyle a <=slant 0 \} 非空集，则 \mathbf { α } _ { a } 的取值范围是 （

8.“关于 x 的不等式 a x ^ { 2 } - 2 a x + 1 > 0 对 \forall \boldsymbol { x } \in \mathbf { R } 恒成立"的充分不必要条件有 （ 1

A \therefore \left( - ∞ , { / { 1 } { 4 } } \right] （204号 B.（-0,0] C.（-,-1] D.（-0,-2]

A.0<a<1 B.0≤a<1 1
C.0≤a< D.-1≤a<1 2

[答题区]

三、填空题(每小题5分，共10分)

9.命题 \boldsymbol { \mathbf { \mathit { \Sigma } } } _ { { P } } ：“3 x \in [ - 1 , 3 ] ， x ^ { 2 } - 2 x - m { <=slant } 0 ”是假命题，则 \mathbf { \Sigma } _ { m } 的取值范围是 得分

10.若命题" \exists a \in [ - 1 , 3 ] , a x ^ { 2 } - ( 2 a - 1 ) x + 3 - a < 0 ^ { , } A 为假命题，则实数 \mathbf { \Psi } _ { x } 的取值范围为

四、解答题(共28分)

11.(13分)已知关于 \mathbf { \Psi } _ { x } 的不等式2x-1>m(x²-1).

(1)是否存在实数 \mathbf { \Sigma } _ { m } ，使不等式对任意 x \in \mathbf { R } 恒成立，并说明理由；

(2)若不等式对于 x \in ( 1 , + ∞ )恒成立，求 \mathbf { λ } _ { m } 的取值范围；

(3)若不等式对于 m \in [ - 2 , 2 ] 恒成立，求实数 \mathbf { \Psi } _ { x } 的取值范围. 得分

12.（15分）（2026·保定模拟）已知函数 f ( x ) = a x ^ { 2 } - a x , \left( a \in \mathbf { R } \right) ,

(1)若 f ( x ) < 2 对任意 \boldsymbol { x } \in \mathbf { R } 恒成立，求实数 \mathbf { α } _ { a } 的取值范围.

(2)若存在 x \in [ 0 , 2 ] ，使得 f ( x ) < - a + 4 成立，求此时实数 \scriptstyle a 的取值范围. 得分

课时作业6 函数的概念及其表示

（分值：100分）

一、单项选择题(每小题5分，共40分)

1.函数 f ( x ) = { / { 1 } { x - 1 } } { + } { l n } ( 2 x { + } 2 ) 的定义域为 1

A. ( 1 , + ∞ ) P ^ 3 * ( - ∞ , - 1 ) \cup ( 1 , + ∞ ) C. ( - ∞ , 1 ) （204号 { D } . ( - 1 , 1 ) \bigcup ( 1 , + ∞ )

2.如图是某高一学生晨练时离家距离 ( \boldsymbol { y } ) 与行走时间 ( x ) 之间的函数关系的图象.若用黑点表示该学生家的位置，则该同学散步行走的路线可能是（）

6.已知函数 f ( 1 - x ) = / { 1 - x ^ { 2 } } { x ^ { 2 } } ( x \neq 0 ) ，则 f ( x ) = （ ）

{ A } . { / { 1 } { ( x - 1 ) ^ { 2 } } } { - } 1 ( x \not = 0 ) \quad { B } . { / { 1 } { ( x - 1 ) ^ { 2 } } } { - } 1 ( x \not = 1 ) { C . } / { 4 } { ( x - 1 ) ^ { 2 } } { - 1 } ( x { \neq } 0 ) \quad { D . } / { 4 } { ( x - 1 ) ^ { 2 } } { - 1 } ( x { \neq } 1 )

7.已知函数 f ( x ) = x ( x ^ { 2 } - 2 ) + 1 ，若 f ( a ) = - 1 则 f ( - a ) = （ ）

8.已知函数 y = f ( x ) 的定义域为[一5,3]，则函数\scriptstyle y = { / { f ( x - 1 ) } { x + 1 } } f（x-1)的定义域为 （ ）

A. [ - 6 , - 1 ) \cup ( - 1 , 2 ] B * \left[ - 4 , - 1 ) \cup ( - 1 , 4 ] \right] C.[-4,4] \operatorname { D } . \left[ - 5 , - 1 \right) \cup ( - 1 , 3 ]

二、多项选择题(每小题6分，共12分)

9.(2026·长治模拟)设集合 P = \left\{ x | 0 { <=slant } x { <=slant } 4 \right\} , Q { = } \{ y \vert - 2 { <=slant } y { <=slant } 2 \} ，则下列曲线能表示从集合 P 到集合 Q 的函数关系的有 （）

3.(2026·商丘模拟)已知 f { \Bigl ( } { / { x } { 2 } } - 1 { \Bigr ) } = 2 x + 3 ，则 f ( 6 ) = 【

A.31 B. 17 C.15 D.7

4.下列四组函数中，两个函数表示的是同一个函数的是 （）

f ( x ) = { / { x ^ { 2 } - 2 } { x - { sqrt { 2 } } } } -2²与f（x）=x+√2 （20 B f ( x ) = { / { 1 } { 2 } } { l o g } _ { 3 } x ^ { 2 } 与 f ( x ) = \log _ { 3 } x C. f ( x ) = { sqrt { x ^ { 2 } } } 与 f ( x ) = x D. f ( x ) { = } sqrt [ 3 ] { ( x - 1 ) ^ { 3 } } 与 f ( x ) = x - 1 （204号

5.(2026·成都模拟)已知函数 f ( x ) = \left\{ { / { x ^ { 2 } - 1 , x <=slant 1 } { \displaystyle { / { 1 } { x - 1 } } , x > 1 } } , \right. 则 f ( f ( - 2 ) ) =

A.8 B. / { 1 } { 2 } C. - { / { 3 } { 4 } } D. - { / { 1 0 } { 9 } }

10.已知 f ( x ) = / { 1 - x ^ { 2 } } { 1 + x ^ { 2 } } ，则

A. f ( 0 ) { = } 1
B. f ( - x ) { = } f ( x )
C. f ( - x ) = - f ( x ) （204号
\operatorname { D } , f { \Big ( } { / { 1 } { x } } { \Big ) } = - f ( x ) ( x \neq 0 ) （204号

三、填空题(每小题5分，共10分)

11.设 x \neq 0 ，函数 f ( x ) 满足 2 f ( x ) + f \Big ( / { 1 } { x } \Big ) = 1 0 ^ { x } 函数 f ( x ) 的解析式为 得分

12.已知函数 f \left( x \right) = \left\{ { { - x ^ { 2 } } , x { <=slant 0 } , } \right. 若f(a)+ f ( - 1 ) = 2 ，则 a = \_ 得分

四、解答题(共28分)

13.（13分)（2026·郑州模拟)已知函数 f ( x ) = / { 2 x + 1 } { 2 x - 1 } ( x \neq / 1 2 ) . （20

(1)求 f { \Big ( } { / { 1 } { 3 } } { \Big ) } 和 f { \Big ( } { / { 2 } { 3 } } { \Big ) } , f ( 0 ) 和 f ( 1 ) 的值.

(2)猜想一下 f ( x ) 与 f ( 1 - x ) 有什么关系？并证明. 得分

14.（15分)已知函数 f ( x ) = x + 1 , g ( x ) = ( x + 1 ) ^ { 2 } { \boldsymbol { x } } \in \mathbf { R } (1)在同一直角坐标系中画出函数 f \left( x \right) , g \left( x \right) 的图象；(2) \forall \boldsymbol { x } \in \mathbf { R } ，用 M ( x ) 表示 f ( x ) , g ( x ) 中的较大者，记为 M ( x ) = \operatorname* { m a x } \{ f ( x ) , g ( x ) \} . 请分别用图象法和解析法表示函数 M ( x ) 得分

优生选做题 (共10分)

15.(5分)若函数 f ( x ) = / { x ^ { - } 3 } { ( a - 1 ) x ^ { 2 } + ( a - 1 ) x ^ { - } 1 } 的定义域为 bf { R } ，则实数 \mathbf { α } _ { a } 的取值范围为 （ ）

A. ( - 3 , - 1 ) { B } , [ - 3 , - 1 ] C.(-3,1] D.[-3,1)

[答题区]

16.(5分)已知函数 f ( x ) { = } \left\{ { { x } ^ { + } } { { 2 } , { x } { > } 0 } \right. 若 f ( f ( f ( m ) ) ) ）= / { 2 5 } { 4 } ，则 f ( m ) = 得分

课时作业7 函数的单调性与最值

（分值：100分）

一、单项选择题(每小题5分，共40分)

1.(2026·龙岩模拟)下列函数 f ( x ) 中，满足“对任意的 x _ { 1 } , x _ { 2 } \in ( 0 , + ∞ ) 时，均有 ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) \big [ f ( x _ { 1 } ) - f ( x _ { 2 } ) ] { > } 0 ^ { : } 的是 （ ）

A. f ( x ) = { / { 1 } { 2 } } { B } . f ( x ) = x ^ { 2 } - 4 x + 4 C. f ( x ) = 2 x （204号 \operatorname { D } _ { * } f ( x ) = \log _ { / { 1 } { 2 } } ^ { } x （204号

2.函数 f ( x ) = - x + / { 1 } { x } 在 \left[ - 2 , - / { 1 } { 3 } \right] 上的最大值是 （ ）

8.如果函数 \scriptstyle y = f ( { \boldsymbol { \chi } } ) 在区间 I 上是减函数，且函数\scriptstyle y = { / { f ( \mathbf { \boldsymbol { x } } ) } { \boldsymbol { x } } } 在区间I上是增函数,那么称函数y=f ( x ) 是区间 I 上的“可变函数”，区间 I 叫作“可变区间”.若函数 f ( x ) = x ^ { 2 } - 4 x + 2 是区间 I 上的"可变函数”，则“可变区间” \mathit { \Pi } _ { \overline { { I } } } 为 （ ）

A.（18, - sqrt { 2 } ] 和[√2,2]
B. [ { sqrt { 2 } } , 2 ] （204号
{ C } , ( 0 , sqrt { 2 } ]
（204号 { D } , [ 1 , sqrt { 3 } ] （204号

A. { { B } } . - { / { 8 } { 3 } } C.-2 D.2

3.已知定义域为 bf { R } 的函数 f ( x ) , \forall x _ { 1 } , x _ { 2 } \in \mathbf { R } , x _ { 1 } { < } \vdots x _ { 2 } ,都有 ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) \big [ f ( x _ { 1 } ) - f ( x _ { 2 } ) \big ] { < } 0 ，则 （ ）

A. f ( 3 ) { < } f ( π ) { < } f ( 2 ) \quad { B . ~ } f ( π ) { < } f ( 3 ) { < } f ( 2 )
C. f ( 2 ) { < } f ( π ) { < } f ( 3 ) \quad { D . ~ } f ( π ) { < } f ( 2 ) { < } f ( 3 )

二、多项选择题(每小题6分，共12分)

9.下列说法正确的是

4.已知 f ( x ) 为 bf { R } 上的减函数，则满足 f ( x ^ { 2 } - 2 x ) < f ( 3 ) 的实数 x 的取值范围是 （）

A.[-1,3]
B. ( - ∞ , - 1 ) \cup ( 3 , + ∞ ) （204号C.(-3,3)
D. ( - ∞ , - 3 ) \cup ( 1 , + ∞ ) （204号

5.“函数 f ( x ) = ( k - 1 ) x - 3 在 bf { R } 上为增函数"是
4 * _ { k > 2 } ”的 （）

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

6.函数 f ( x ) = 3 x - 1 0 + { sqrt { x - 5 } } 的值域为 （ ）

A.若 \scriptstyle y = f ( x ) 在区间 I 上，随着自变量的减小，函数值反而增大，则 \scriptstyle y = f ( x ) 在 I 上单调递减
B.函数 f ( x ) = x ^ { 2 } 在 [ 0 , + ∞ )上单调递增
C.函数 f ( x ) = - { / { 1 } { x } } 在定义域内为增函数
D.函数 f ( x ) = { / { 1 } { x } } 的单调递减区间为 ( - ∞ , 0 ) U( 0 , + ∞ )

A. [ 5 , + ∞ ) （204号 { B } . [ 6 , + ∞ ) C. [ 7 , + ∞ ) （204号 D.[10,+00)

10.已知函数 f ( x ) = - x ^ { 2 } + 2 | x | + 1 ，则下列说法 正确的是 【

A. ( - ∞ , - 1 ] { B } _ { * } \left[ - 1 , + ∞ \right) （204号C.(-,1] D \scriptstyle * \left[ 1 , + ∞ \right) （204号

A.函数 \scriptstyle y = f ( { \boldsymbol { x } } ) 在 ( - ∞ , - 1 ] 上单调递增B.函数 \scriptstyle y = f ( x ) 在 [ - 1 , 0 ] 上单调递减C.当 \scriptstyle x = 0 时，函数 \scriptstyle y = f ( x ) 有最小值D.当 x = - 1 或 \scriptstyle x = 1 时，函数 y = f ( x ) 有最大值

三、填空题(每小题5分，共10分)

7.若函数 y = x - / { k } { x } + / { k } { 3 } 在(1,+00)上单调递增，则实数 k 的取值范围是 （ ）

11.能说明“函数 f ( x ) 的图象在区间[0，2]上是一条连续不断的曲线，若 f _ { { m i n } } \left( x \right) = f \left( 2 \right) ，则 f ( x ) 单调递减"为假命题的一个函数为

12.函数 f ( x ) = \mid x ( x - 2 ) \mid 的单调递减区间是得分

四、解答题(共28分)

13.（13分)已知函数f(x)=2x-3.

(1)函数单调性的定义证明：函数 f ( x ) 在 ( - 1 业+ ∞ )上单调递增；

(2)求函数 f ( x ) 在区间[1，4]上的最大值和最小值. 得分

14.(15分)已知函数 f ( x ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { 2 a x + 3 , x <=slant 1 { { ~ } } } \\ { a x ^ { 2 } + x , x > 1 { { . } } } \end{array} \right. } （204号

(1)若 a { > } 0 ，求 f ( x ) 的值域； (2)若 f ( x ) 在 bf { R } 上单调递减，求实数 \mathbf { α } _ { a } 的取值 范围. 得分

优生选做题 (共10分)

15.(5分)函数 f ( x ) = sqrt { x - 4 } + sqrt { x ^ { 2 } - 2 x } 的最小值为

A.0 B.4
C. sqrt { 2 } （20 D.22

[答题区]

16.(5分)已知函数 f ( x ) = \left\{ { \begin{array} { l } { { x ^ { 2 } - x - 2 , x { <=slant } - 1 } } \\ { { - 2 x - 2 , x { > } - 1 } , } \end{array} } \right. 若f ( 2 t ^ { 2 } - 1 ) > f ( t + 2 ) ,则实数 \mathbf { \Psi } _ { t } 的取值范围为得分

课时作业8 函数的奇偶性、周期性

（分值：100分）

一、单项选择题(每小题5分，共40分)

1.下列函数中是奇函数的为

A. _ { y } = \sin { x } * { e } ^ { x } E \displaystyle { 3 . y = x ^ { 3 } - x ^ { 2 } } （20 { C . } ~ y = \cos ~ 2 x \qquad { D . } ~ y = \log _ { 2 } ~ { / { 1 + x } { 1 - x } }

2.若函数 f ( x ) 满足 f ( x + 4 ) = f ( x ) ，且当 x \in [ - 2 , 0 ] 时， f ( x ) = 3 ^ { - x } + 1 ，则 f ( 2 \ 0 2 6 ) = （ ）

A / { 1 0 } { 9 } B.10
C.4 D.2

3.(2026·长春二模)已知函数 f ( x ) = ( x + a - 2 ) ·( x ^ { 2 } + a - 1 ) 为奇函数，则 \mathbf { α } _ { a } 的值是 （ ）

A.3 B.1或3
C.2 D.1或2

4.(2026·衡阳模拟)若 f ( x ) 为定义在R上的奇函数，且 f ( - a ) + 3 f ( a ) + 4 >= 0 ，则 （ 1

A. f ( a ) 的最小值为一4
B. f ( a ) 的最小值为－2
C. f ( a ) 的最大值为－4
D. f ( a ) 的最大值为2

5.设函数 y = f ( x ) - x ^ { 2 } 是奇函数.若函数 g ( x ) = f ( x ) + 5 , f ( 4 ) = 9 ，则 g ( - 4 ) = （ ）

A.28 B.33
C.38 D.43
A.2 B.4
C.6 D.8

6.已知奇函数 f ( x ) 在 bf { R } 上单调递减，若 f ( 2 m ) + f ( m + 2 ) { < } f ( 0 ) ，则 \mathbf { λ } _ { m } 的取值范围为 （ ）

7.设 f ( x ) 是定义在 bf { R } 上且周期为2的奇函数，当2 { <=slant } x { <=slant } 3 时， f ( x ) = x ^ { 2 } - 5 x + 6 ，则 f { \big ( } - { / { 1 } { 2 } } { \big ) } = 【

8.(2026·湛江模拟)已知函数 f ( x ) = { / { 3 x ^ { 2 } + x + 3 } { x ^ { 2 } + 1 } } 的最大值为 M ，最小值为 \mathbf { \Sigma } _ { m } ，则 { \boldsymbol { M } } + { \boldsymbol { m } } = { { ~ ~ \omega ~ } } ( { { ~ ~ \omega ~ } } )

二、多项选择题(每小题6分，共12分)

9.若函数 f ( x ) 为定义在R上的奇函数，且 f ( - 2 ) = 1 ，则下列说法正确的有 （ ）

A. f ( 0 ) = 0 （204号
B . f ( 2 ) = - 1
C. f ( x ) 的图象关于 _ y 轴对称D. f ( x ) * f ( - x ) 为偶函数

10.(2026·毫州模拟)已知函数 f ( x ) 是定义在R上的奇函数，当 \scriptstyle x <=slant 0 时， f ( x ) = x ^ { 2 } + x + a ，则下列说法正确的是 （ ）

A. a = 0 （204号
B.当 x { > } 0 时， f ( x ) = - x ^ { 2 } - x
C.函数 f ( x ) 的单调递减区间为 \big ( - ∞ , - / { 1 } { 2 } \big ) 和 \big ( / { 1 } { 2 } , + ∞ \big )
D.不等式 f ( x ) { < } 0 的解集为 ( - 1 , 0 ) \bigcup ( 1 , + ∞ ) （204

三、填空题(每小题5分，共10分)

11.已知 { \mathbf { \psi } } _ { a } , { \mathbf { \psi } } _ { b } 为实数，且函数 y = x ^ { 2 } + a x + 1 , x \in \left[ 4 b , b ^ { 2 } \right] 是偶函数，则 a - b =

A.1 { { B } } . - { / { 1 } { 4 } }
C.2 D.-2

12.设 f ( x ) 是定义在 bf { R } 上的奇函数，且 f { \Bigl ( } { / { 3 } { 2 } } - x { \Bigr ) } = f \big ( - / { 3 } { 2 } - x \big ) , 当 - \ 1 <=slant x < 0 时， f ( x ) = \log _ { 3 } ( - 6 x + 3 ) ，则 f ( 2 \ 0 2 6 ) 的值为

四、解答题(共28分)

13.(13分）设 f ( x ) 是定义在 ( - ∞ , + ∞ )上的函数，且对一切 { \boldsymbol { x } } \in \mathbf { R } 均有 f ( x ) + f ( x + 2 ) = 0 ，当- 1 { < } x { <=slant } 1 时 , f ( x ) = 2 x - 1

(1)求当 1 { < } x { <=slant } 3 时，函数 f ( x ) 的解析式；
(2)求当 9 { < } x { <=slant } 1 1 时，函数 f ( x ) 的解析式.

14.（15分）（2026·三明模拟)已知函数 f ( x ) = m + / { 2 } { { e } ^ { x } + 1 } .

(1)若函数 f ( x ) 为奇函数，求实数 \mathbf { \Sigma } _ { m } 的值.

(2)当 m = 1 时，求 f ( - 4 ) + f ( - 3 ) + f ( - 2 ) + f ( - 1 ) + f ( 0 ) + f ( 1 ) + f ( 2 ) + f ( 3 ) + f ( 4 ) 的值. 得分

优生选做题 (共10分)

15.(5分)(2026·南通模拟)已知函数 f ( x ) 是定义在 bf { R } 上的偶函数，且 f { \Bigl ( } x + { / { 1 } { 2 } } { \Bigr ) } 是奇函数，当1 { <=slant } x { <=slant } 2 时 , f ( x ) = 3 - 2 x ，则 f { \big ( } - { / { 1 } { 3 } } { \big ) } = （

A.-1 { B } . - { / { 1 1 } { 3 } } C. / { 5 } { 3 } { { D } } . { / { 1 1 } { 3 } }

[答题区]

16.（5分）（2026·保定模拟）定义在 bf { R } 上的函数f ( x ) 满足 f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) ，当 x { > } 0 时，f ( x ) { < } 0 ，则不等式 f ( 5 - x ^ { 2 } ) + f ( 3 x - x ^ { 2 } ) < 0 的解集为 得分

微专题2 函数的对称性

（分值：73分）

一、单项选择题(每小题5分，共40分)

1.已知函数 y = \left| x \right| 的图象与函数 y = \left| x - m \right| 的图象关于直线 x = 1 对称，则 m = （ ）

A.0.5 B.1
C. 1.5 D.2

5.(2026·绥化模拟)已知函数 f ( x + 1 ) 是定义在R上的偶函数，且 f ( x ) 在区间 [ 1 , + ∞ )上单调递增,则 f ( - 1 ) , f ( 1 ) , f ( 2 ) 的大小关系是（）

A \dots f ( - 1 ) { < } f ( 1 ) { < } f ( 2 ) 全 8 . f ( 1 ) { < } f ( 2 ) { < } f ( - 1 ) C.f(1)<f(-1)<f(2) D.f(2)<f(1)<f(-1)

2.函数 y = 3 ^ { x } 与 y = 3 ^ { 2 - x } 的图象 【

A.关于 x { = } / { 1 } { 4 } 1对称 B.关于 \scriptstyle x = { / { 1 } { 2 } } 对称C.关于 \scriptstyle x = 1 对称 D.关于 \scriptstyle x = 2 对称

6.(2026·沈阳模拟)已知奇函数 f ( x ) 的定义域为R,且函数 y = f ( x ) 图象关于直线 x = 2 对称.当x \in [ 0 , 2 ] 时， f ( x ) = x ，则 f ( 1 3 ) = （ ）

3.已知 f ( x ) 为定义在R上的奇函数，且 f ( x ) 的图象关于直线 x = 2 对称，当 0 < x <=slant 2 时， f ( x ) = 2 ^ { x } ，则 f ( 6 ) = （ ）

A.1 B.-1
C.2 D.-2
A.2 B.-2
C.-4 D.4

7.我们知道，函数 \scriptstyle y = f ( x ) 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 y = f ( x ) 为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数 y = f ( x ) 的图象关于点 P ( a , b ) 成中心对称图形的充要条件是函数 \ b { y } = \ b { f } ( \ b { x } + \ b { a } ) - \ b { b } 为奇函数，则函数f ( x ) = 2 x ^ { 3 } + 6 x ^ { 2 } 图象的对称中心为 （ ）

4.若曲线 f ( x ) = { / { a } { 3 ^ { x - 1 } + 1 } } 关于点 ( 1 , - 2 ) 中心对称，则 a =

A.3 B.4
C.-3 D.-4

A.(-1，4) B.(-1,-4) C.(1,4) D.(1,-4)

8.(2026·六安模拟)已知函数 f ( x ) 的定义域为 bf { R } f ( - x + 1 ) - f ( x + 1 ) = 0 ，函数 y = \left( x + { / { 1 } { 2 } } \right) * f ( x ) 的图象关于直线 \scriptstyle x = - { / { 1 } { 2 } } 对称，则²≥f(i)=（

A.-2028 B.0
C.1 014 D.2028

_ { y _ { 2 } _ { 0 2 6 } ) } ，则下列叙述中正确的是

A. f ( x ) 的图象关于点(2,2)对称B. g ( x ) 的图象关于点(1，2)对称（20 { { C } } , x _ { 1 } + x _ { 2 } + *s + x _ { 2 } { { ~ } } _ { 0 2 6 } = 2 { { ~ } } 0 2 6 （20号 0 . { _ { y } } _ { 1 } + { _ { y } } _ { 2 } + *s + { _ { y } } _ { 2 } { _ { 0 2 6 } } = 2 \ 0 2 6

二、多项选择题(每小题6分，共18分)

9.下列函数的图象中，是中心对称图形的是（ ）

（204号 { { A . ~ } } y = \cos \left( x + { / { π } { 3 } } \right) \qquad { { B . ~ } } y = x + { / { 1 } { x } } { C . } { \mathit { y } = } | { \mathit { x } } | { \mathit { \Sigma } } { D . } { \mathit { y } = } { \mathit { x } } ^ { 3 } - { \mathit { x } } + 1

[答题区]

三、填空题(每小题5，共15分)

12.已知奇函数 y = f ( x ) 的图象关于直线 \scriptstyle x = 2 对称，且 f ( m ) = 3 ，则 f ( m - 4 ) 的值为

10.设函数 f ( x ) = 2 ^ { x - 1 } + 2 ^ { 1 - x } ,则下列说法错误的是（

A. f ( x ) 在 ( 0 , + ∞ )上单调递增B. f ( x ) 为奇函数C. f ( x ) 的图象关于直线 \scriptstyle x = 1 对称D. f ( x ) 的图象关于点(1，0)对称

13.已知函数 _ { y = f ( x ) } 满足 f ( 2 ) > 5 ，且以(1，1)点为对称中心，写出一个符合条件的函数 y = 得分

11.(2026·南阳模拟)已知函数 y = f ( x + 1 ) - 2 为定义在R上的奇函数，又函数g(x)=2x-1, ，且f ( x ) 与 g ( x ) 的函数图象恰好有2026个不同的交点 P _ { 1 } ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) , P _ { 2 } ( x _ { 2 } , y _ { 2 } ) , *s , P _ { 2 _ { 0 2 6 } } ( x _ { 2 _ { 0 2 6 } } , （204号

14.（2026·周口模拟)若函数 f ( x ) = ( x - 1 ) ·{ \big ( } { / { b } { { e } ^ { x - 1 } + 1 } } - 1 { \big ) } 的图象关于直线 x = 1 对称，则b= 得分

课时作业9 幂函数与二次函数

（分值：100分）

一、单项选择题(每小题5分，共40分)

1.关于函数 f ( x ) = x ^ { - 2 } ，下列说法错误的是（

A.函数的定义域为 ( - ∞ , 0 ) \cup ( 0 , + ∞ ) （204
B.函数的值域为 ( 0 , + ∞ ) ）
C.函数在 ( - ∞ , 0 ) 上单调递减，在 ( 0 , + ∞ )上单调递增
D.函数是偶函数

2.已知二次函数 y = x ^ { 2 } - 2 m x + m ^ { 2 } + 2 m + 3 的图象不经过三、四象限，且当 x { > } / { 1 } { 2 } 1时，y随x的增大而增大，则实数 \mathbf { λ } _ { m } 的取值范围是 （ ）

A * m > - / { 3 } { 2 } { B } . m { <=slant } / { 1 } { 2 } { C . } - / { 3 } { 2 } { < m { <=slant } / { 1 } { 2 } } \qquad \quad { D . } - / { 3 } { 2 } { <=slant } m { <=slant } / { 1 } { 2 }

3.函数 f ( x ) = a x ^ { 2 } + 2 x + 1 与 g \left( x \right) = x ^ { a } 在同一直角坐标系中的图象不可能为 （）

4.(2026·齐齐哈尔模拟)已知点 { \left( { m , 9 } \right) } 在幂函数f ( x ) = ( m - 2 ) x ^ { α } 的图象上，设 a = f \big ( / { α + 1 } { m } \big ) , b = f ( \ln 2 ) , c = f ( 3 ^ { sqrt { 2 } } ) ，则 （ ）

A. a { < } b { < } c { B } , { \it { c } } { < } a { < } b C. b { < } a { < } c D * c { < } b { < } a

5.若 f ( x ) = ( m ^ { 2 } - m - 1 ) x ^ { m } 为幂函数，且函数 y = f ( x { + } 1 ) 的图象关于直线 x = - 1 对称，则 m = （

6.若函数 f ( x ) = x ^ { 2 } - 2 x + 3 在区间 [ m , n ] 上的值域为[2,18]，则 n - m 的最大值为 （）

A.2 B.4
C.6 D.8

7.(2026·宜昌模拟)已知函数 f ( x ) = x ^ { 2 } - m x + 1 与函数 g ( x ) 的图象关于直线 x = 1 对称.若 g ( x ) 在区间 ( - 2 , - 1 ) 上单调递增，则实数 \mathbf { \Sigma } _ { m } 的取值范围为 （）

A. ( - ∞ , 2 ] { B } , [ 4 , + ∞ ) C s ( - ∞ , 6 ] （204号 { D } . [ 8 , + ∞ ) （204号

8.设函数 f ( x ) = x ^ { 2 } + x + a ( a > 0 ) ，若 f ( m ) { < } 0 ，则（ ）

二、多项选择题(每小题6分，共12分)

9.(2026·太原模拟)已知函数 f ( x ) = ( m ^ { 2 } + m - 1 ) x ^ { m } 是幂函数，则 （ ）

A. f ( 1 ) = 1
B. m ^ { 2 } + m = 2
C. f ( x ) 是偶函数
D.当 f ( 2 ) { < } 2 时， \mathbf { \nabla } * f ( x ) = x ^ { - 2 } （20

10.(2026·南昌模拟)如图为二次函数 _ { y } = a x ^ { 2 } + b x + c 的图象，则下列代数式的值为负数的是）

A. \boldsymbol { c } （20 B. 2 a + b C. b ^ { 2 } - 4 a c （204号 { D } . a - b + c

三、填空题(每小题5分，共10分)

11.已知二次函数 f ( x ) = x ^ { 2 } + b x + c 满足 f ( 1 + x ) = f ( 1 - x ) ，则 f ( - 1 ) 与 f ( 4 ) 的大小关系是得分

12.已知函数 f ( x ) = ( m ^ { 2 } - m - 1 ) x ^ { m + 2 } 是幂函数，且该函数是偶函数，则 f ( { sqrt { 2 } } ) 的值是

A. - 1 B. 1
C. - 2 （204号 D.2

四、解答题(共28分)

13.(13分)已知二次函数 f ( x ) = a x ^ { 2 } + b x + 1 ，且f ( 1 ) = 0 .

(1)若函数 f ( x ) 的图象关于直线 x = / { 2 } { 3 } 对称，求f ( x ) 的解析式；

(2)若函数 f ( x ) 在[一1,2]上单调，求 \scriptstyle a 的取值范围. 得分

14.（15分)已知幂函数 f ( x ) = ( m ^ { 2 } - 3 ) x ^ { 3 m - 4 } 在( 0 , + ∞ ) 上单调递增.(1)求 \mathbf { \Sigma } _ { m } 的值；(2)当 x \in [ - 1 , 3 ] 时,求函数 g ( x ) = f ( x ) - t x （204号的最小值. 得分

优生选做题 (共10分)

15.(5分)已知函数 f ( x ) = ( m ^ { 2 } - m - 1 ) { x ^ { m } } ^ { 2 } + m - 3 是幂函数，对任意 x _ { 1 } , x _ { 2 } \in ( 0 , + ∞ ) ，且 x _ { 1 } \neq x2，满足 f（x1）-f(x2）>0.若a,b∈R,且f ( a ) + f ( b ) 的值为负数，则下列结论不能成立的是 （

A. a + b < 0 , a b = 0 1 { B } , a + b { < } 0 , a b { > } 0
C * a + b < 0 , a b < 0 （204号 1 ) . a + b > 0 , a b > 0

[答题区]

16.(5分)若二次函数的图象关于 x = 2 对称，设自变量为 a , 0 , 1 时对应的函数值分别为 { } _ { y _ { a } } , { } _ { y _ { 0 } } ，y _ { 1 } ，且 y _ { a } < y _ { 0 } < y _ { 1 } ，则实数 \mathbf { α } _ { a } 的取值范围是得分

课时作业10 指数式与对数式的运算

（分值：100分）

一、单项选择题(每小题5分，共40分)

1.已知 2 ^ { a } = 3 , \log _ { 2 } 5 = b ，则 2 ^ { a - b } 的值为 （

A. 15 { B } . { / { 5 } { 3 } }
{ C } . / { 3 } { 5 } D.-2

2.(2026·临汾模拟)已知 2 ^ { \log _ { 2 } a } = 3 , \log _ { 5 } 5 ^ { b } = 2 ，则a - b = （ ）

A.3 B.1
C. - 1 D.-3

3.已知 2 ^ { a } = 5 , \log _ { 8 } 9 = b ，则 4 ^ { 3 b } - 3 * 4 ^ { a } = （

A.6 B.4
C.2 D.1

4.（2026·新乡二模） { \big ( } { / { 8 } { 2 ^ { sqrt { 5 } } } } { \big ) } ^ { 3 + { sqrt { 5 } } } =

A.16 （204号 { B } . 8 { sqrt { 2 } } （20
C.32 { { D } } . 1 6 { sqrt { 2 } }

5.已知 a > 0 , b > 0 且 a b = 4 ，则

8.“绿色出行，低碳环保”已成为新的时尚.近几年相关部门相继出台了一系列的环保政策，在汽车行业提出了重点扶持新能源汽车的计划，为新能源汽车行业的发展开辟了广阔的前景.新能源汽车主要指电动力汽车，其能量来源于蓄电池.已知蓄电池的容量 c （单位： { ~ A ~ } * { ~ h ~ } 、放电时间\mathbf { \Psi } _ { t } （单位：h）、放电电流 I （单位：A)三者之间满足关系 C = I ^ { \log _ { 1 . 5 } 2 } * t . 假设某款电动汽车的蓄电池容量为 3 0 7 4 { ~ A ~ } * { ~ h ~ } ，正常行驶时放电电流为15A，那么该汽车能持续行驶的时间大约为（参考数据： 6 x 1 0 ^ { { l o g } _ { 1 . 5 } 3 } \approx 3 \ 0 7 4 ) （204号 （）

{ A } , 6 0 { ~ h ~ } （204号 B. 4 5 { ~ h ~ } （204号{ { C } . 3 0 \ h } （204号 { 1 D . 1 5 ~ h ~ } （204号

二、多项选择题(每小题6分，共12分)

9.下列各式中一定成立的有{ A . } \left( { / { n } { m } } \right) ^ { 7 } = n ^ { 7 } m ^ { / { 1 } { 7 } } \qquad { B . } { sqrt [ { 1 2 } ] { ( - 3 ) ^ { 4 } } } = { sqrt [ { 3 } ] { 3 } } { C } . { sqrt [ { 4 } ] { x ^ { 3 } + y ^ { 4 } } } = ( x + y ) ^ { / { 3 } { 4 } } \quad { D } . { sqrt [ { 3 } ] { 9 } } = { sqrt [ { 3 } ] { 3 } }

6.（2026·广安模拟）已知 a b \neq 1 . \log _ { a } m = / { 1 } { 2 } \log _ { b } m = / { 1 } { 3 } ，则 \log _ { a b } m = （ ）

A.5 { { B } } . { / { 1 } { 5 } }
C.6 { { D } } . { / { 1 } { 6 } }

7.在光纤通信中，发射器发出光信号的功率传输后会逐渐变弱，衰减后的光功率（单位：W)可表示为 P ( z ) = P _ { { 0 } } { e } ^ { - α z } ,其中 P _ { 0 } 为初始光功率， α 为常数， z 为接收信号处与发射器之间的距离（单位：{ k m } , ，已知距离发射器 3 ~ { k m } 处的光功率衰减为初始光功率的一半，若某处光功率衰减为初始光功率的 / { 1 } { 4 } ，则此处到发射器的距离为 （）

10.(2026·南通模拟)已知 \scriptstyle | { sqrt { a } } + { / { 1 } { sqrt { a } } } = 3 ，则 1 { A } . a + { / { 1 } { a } } = 7 \qquad { B } . a ^ { 2 } + { / { 1 } { a ^ { 2 } } } = 4 7 { C . } { / { a ^ { / { 1 } { 2 } } - a ^ { - { / { 1 } { 2 } } } } { a + a ^ { - 1 } } } { = } { / { sqrt { 5 } } { 7 } } \qquad { D . ~ } a ^ { / { 3 } { 2 } } + a ^ { - { / { 3 } { 2 } } } = 1 8

三、填空题(每小题5分，共10分)

11.已知 2 ^ { x } = 2 4 ^ { y } = 3 ，则 { / { 1 } { y } } - { / { 3 } { x } } =

A. / { 3 } { 2 } km B.6 km C. { sqrt { 3 } } \ { k m } （204号 D.9 km

12.某科研团队研究某种放射性物质的衰减规律，发现剩余质量 M ( t ) (单位：克)随时间 \mathbf { \chi } _ { t } （单位：天)的变化规律满足 \boldsymbol { M } ( t ) = \boldsymbol { M } _ { 0 } * 2 ^ { - / { t } { 4 } } ,其中 M _ { 0 } （204号为初始质量.若初始质量 M _ { 0 } 满足 \log _ { 2 } M _ { 0 } = 6 ，则t=12时,log/（M(t）） 的值为

四、解答题(共28分)

13.(13分)(2026·南阳模拟)已知 P { = } 8 ^ { 0 . 2 5 } x sqrt [ { 4 } ] { 2 } + \Big ( / { 2 7 } { 6 4 } \Big ) ^ { / { 1 } { 3 } } - ( - 2 0 2 4 ) ^ { 0 } , Q = 2 { l o g } _ { 3 } 2 - { l o g } _ { 3 } / { 3 2 } { 9 } + { l o g } _ { 3 } 8 .

(1)分别求 P 和 Q ： (2)若 2 ^ { a } = 5 ^ { b } = m 且 { / { 1 } { a } } + { / { 1 } { b } } = Q 求 \mathbf { \Sigma } _ { m }

14.(15分)对数运算与指数幂运算是两类重要的运算.18世纪，瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，并进一步指出：对数源于指数.然而对数的发明先于指数，这成为数学史上的珍闻.

（1)试利用对数运算性质计算lg3（lg8+lg16的值；

(2)已知x,y,x为正数,若3=4y=6²，求ー的值；

(3)定义：一个自然数的数位的个数称为位数，例如23的位数是 2 , 2 \ 0 2 6 的位数是4，试判断2 ^ { 2 { \ 0 2 } 6 } 的位数.（注： { ~ l ~ g ~ } 2 \approx 0 . 3 0 1 ） 得分

优生选做题 (共10分)

15.(5分)(2026·泰安模拟)已知 3 ^ { x } = 4 ^ { y } = 6 ^ { z } ，则3 x , 4 y , 6 z 的大小关系不可能为 （）

A. 3 x = 4 y = 6 z E \phantom { } 3 . \phantom { } 3 x { } < 4 y { } < 6 z C. 3 x { > } 4 y { > } 6 z D \phantom { } 0 . 3 x { < } 6 z { < } 4 y

[答题区]

16.(5分)已知 a , b , c > 0 ，且 \boldsymbol { a } , \boldsymbol { b } , \boldsymbol { c } \neq 1 ，则 a ^ { \log _ { b } c } + b ^ { \log _ { a } } + c ^ { \log _ { a } b } - a ^ { \log _ { c } b } - b ^ { \log _ { a } c } - c ^ { \log _ { b } a } = （204号

课时作业11 指数函数

（分值：100分）

一、单项选择题(每小题5分，共40分)

1.已知函数f(x)=ax+1-3 f ( x ) = a ^ { x + 1 } - { / { 3 } { 4 } } ( a > 0 ，且 a \neq 1 的图象过定点 ( m , n ) ，则 \big ( / { 1 6 } { 8 1 } \big ) ^ { m n } = （ ）

A / { 3 } { 2 } \begin{array} { c } { { B . } / { 2 } { 3 } } \\ { { D . } / { 8 } { 2 7 } } \end{array} C. / { 2 7 } { 8 } （204号

2.如图所示，若 0 { < } a { < } 1 ，函数 y = a ^ { x } 与 \scriptstyle y = x + a 的图象可能是 （ ）

3.已知 a = 1 . 5 ^ { 0 . 6 } \mathit { b } { = } 1 . 5 ^ { 0 . 7 } c = 0 .70.6，则 ^ { a , b , c } 的大小关系是 （ ）

A. a { > } b { > } c 一 3 . c > a > b \complement , b > a > c D.b>c>a

4.函数 f ( x ) = \left( { / { 1 } { 2 } } \right) ^ { x } + 2 , x \in [ - 1 , 2 ] 的最大值为

7.(2026·石家庄模拟)若函数 \scriptstyle y = a ^ { x } + b - 1 ( a > 0 a \neq 1 )的图象经过第二、三、四象限，则一定有（ ）

A. style 0 < a < 1 ，且 b { > } 0 B. a { > } 1 ，且 b { > } 0 C \scriptstyle 0 < a < 1 ，且 b { < } 0 D. a { < } 1 ，且 b { > } 0 （204号

8.(2026·南昌二模)若函数 f ( x ) = 2 \ 0 2 5 ^ { | x - a | } 在区间 [ 2 \ 0 2 6 , + ∞ )上单调递增，则 \mathbf { α } _ { a } 的取值范围为 （）

A. [ 2 ~ 0 2 6 , + ∞ ) B.(0,2026] C. ( - ∞ , 2 \ 0 2 6 ) （204号 D _ { . \ ( - ∞ , 2 \ 0 2 6 ] }

二、多项选择题(每小题6分，共12分)

9.(2026·忻州模拟)已知函数 f ( x ) = \Big ( / { 1 } { 2 } \Big ) ^ { x } - 1 则正确的是 （ ）

A.4 B.3 c / { 5 } { 2 } { { D } } . { / { 9 } { 4 } }

5.函数 f ( x ) = 0 , 3 ^ { x ^ { 2 } - 2 x } 的单调递增区间是（ ）

A. ( - ∞ , 1 ) B. ( 1 , + ∞ ) C.(0,1) D.(1,2)

A. f ( x ) 的值域为 ( - 1 , + ∞ ）
B. f ( x + 1 ) { > } 1 的解集为 ( - 2 , + ∞ )
C. f ( x ) 的图象与 g ( x ) = 2 ^ { x } - 1 的图象关于 _ y 轴对称
D.函数 y { = } f ( x ) { - } f ( - x ) 是偶函数

10.已知函数 f ( x ) = a ^ { x } - \Bigl ( / { 1 } { a } \Bigr ) ^ { x } ( a > 0 ，且 a \neq 1 ，则下列结论中正确的是 （ ）

A.函数 f ( x ) 的图象过定点(0，1)
B.函数 f ( x ) 在其定义域上有零点
C.函数 f ( x ) 是奇函数
D.当 a = 2 时，函数 f ( x ) 在其定义域上单调递增

三、填空题(每小题5分，共10分)

6.已知函数 f ( x ) = { / { 2 ^ { x - 1 } } { 2 ^ { x } + 1 } } ，则下列函数中为奇函数的是 （ ）

11.函数 \scriptstyle y = a ^ { x } ( a > 0 ，且 \scriptstyle a \neq 1 )，在[2，3]上的最大值比最小值大%， ，则 a =

12.已知函数f（x)=e²+ae 为奇函数，则 a = 得分

四、解答题(共28分)

13.(13分)已知指数函数 f ( x ) = a ^ { x } 0 \scriptstyle \left( a > 0 \right) ，且 a \neq 1)的图象过点 ( - 2 , 9 ) ·

(1)求 \mathbf { α } _ { a } 的值；

(2)若 f ( m ) = 2 , f ( n ) = / { 9 } { 2 } ，求m+n的值；

(3)求不等式 f ( x ^ { 2 } - 5 x - 6 ) { > } 1 的解集.

14.(15分)已知函数 f ( x ) = a \bullet 2 ^ { x } + b 的图象过点(0，2)，且无限接近直线 y = 1 ，但又不与该直线相交.

(1)求 f ( x ) 的解析式；

(2)设函数 g \left( x \right) = \binom { f \left( x \right) , x < 0 , } { f \left( - x \right) , x >=slant 0 , } 在平面直角坐标系中画出 \scriptstyle y = g ( x ) 的图象，并根据图象写出该函数的单调递增区间. 得分

优生选做题 (共10分)

15.(5分)已知函数 f ( x ) = { sqrt { - x ^ { 2 } + 2 x } } 的定义域是A ,则函数 g ( x ) = 4 ^ { x } - 2 ^ { x + 2 } \left( x { \in } A \right) 的最大值是（ ）

A.-4 B.0
C.32 D.60

[答题区]

16.(5分)已知函数 f ( x ) = / { 1 } { 4 ^ { x } } - 4 ^ { x } - x + 5 ,若 f ( m - 1 2 ) + f ( m ^ { 2 } ) { > } 1 0 ，则 \mathbf { \Sigma } _ { m } 的取值范围为

课时作业12 对数函数

（分值：100分）

一、单项选择题(每小题5分，共40分)

7.(2026·太原模拟)函数 y = \log ( 1 0 x - x ^ { 2 } ) 的单调递增区间是 （ ）

1.若函数 y = \log _ { / { 1 } { a } } ( x - 2 ) + 5 ( a > 0 且 \scriptstyle a \neq 1 的图象恒过点 A ( m , n ) ，则 \log _ { sqrt { 2 } } ( m + n ) = （ ）

A.(0,5) B.(-0,5) C.(5,10) D.(5,+)

A.2 B.4
C.6 D.8

2.函数 y = \log _ { / { 1 } { 2 } } x , x \in \left( 0 , 8 \right] 的值域是

8.(2026·厦门模拟)若函数 f ( x ) = \ln ( 1 2 - a x ) 在区间(3，6)上单调递减，则 \scriptstyle a 的取值范围是( ）

3.设 \scriptstyle a = \log _ { 5 } 3 , b = \log _ { 6 } { sqrt { 6 } } , c = \log _ { 7 } 8 ，则 （

A.(18,0) B.(-2,0) C.(0,2) D.(0,2]

二、多项选择题(每小题6分，共12分)

9.已知 a { > } 0 且 \scriptstyle a \neq 1 ,则函数 f ( x ) = \log _ { a } { ( x + a ) } 的图象必经过 （ ）

4.（2026·邯郸二模)已知函数 f \left( x \right) = \log _ { a } x 在( 0 , + ∞ )上单调递增，且 f ( 8 ) = / { 1 } { f ( 4 ) } - / { 5 } { 2 } ，则a = （ ）

A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限

A.4 B.16
C.32 D.64

10.已知 f ( x ) = \ln \left( x + 1 \right) , g \left( x \right) = \ln \left( 1 - x \right) ，令F ( x ) = f ( x ) - g ( x ) ，则下列结论正确的是( ）

5.不等式 \log _ { 2 } x { < } 1 { - } x 的解集为 （

A.(0,1) B \mathbf { \nabla } _ { * } \left( 1 , + ∞ \right) C. ( 0 , + ∞ ) D.(-8,1)

A. F ( x ) 的定义域是 ( - 1 , 1 )
B. f ( x ) { \ > } g ( x ) 的解集为(0，1)
C. F ( x ) 是奇函数
D. F ( x ) 在区间 ( - 1 , 0 ) 上单调递增，在区间(0，1)上单调递减

6.已知函数 f ( x ) = x ( 2 - 2 x ) ，当 \scriptstyle x = m 时， f ( x ) 取得最大值 \mathbf { \Omega } _ { n } ,则函数 g ( x ) = \log _ { m } \left| x + n \right| 的大致图象为 ( ）

三、填空题(每小题5分，共10分)

11.已知对数函数 f ( x ) 过点 \left( { / { 1 } { 4 } } , - 2 \right) ，则 f ( x ) 的解析式为 得分

12.已知常数 a { > } 0 ，且 a \neq 1 ,若函数 y = 1 + \log _ { a } x 的定义域和值域都是[1,2]，则 a =

四、解答题(共28分)

13.(13分)已知函数 f ( x ) = | \log _ { 4 } x |

(1)求 f ( x ) 的单调区间；

(2)若 a { < } b ，且 f ( a ) = f ( b ) ，求 \displaystyle a + 3 b 的取值范围.

14.(15分)已知函数 f ( x + 1 ) { = } \lg ( x { + } 3 ) ：

(1)求不等式 0 { < } f ( x ) { < } 1 的解集；

(2)若函数 g ( x ) { = } f ( x ) { + } f ( - x { + } a { - } 2 ) 的图象经过点 { ( 1 , \lg 3 ) } ，求 g ( x ) 的最大值.

优生选做题 (共10分)

15.(5分)已知函数 f ( x ) = ( \log _ { 2 } x ) ^ { 2 } + 3 \log _ { 2 } x - m 在区间[1，2]的最大值与最小值的和为 2 m ，则\mathbf { \Sigma } _ { m } 的取值为 （ ）

A.0 B.1
C.2 D.3

[答题区]

16.(5分)(2026·秦皇岛模拟)已知函数 f ( x ) = \log _ { 2 } { sqrt { x } } + \log _ { 4 } { ( 4 - a x ) } 的值域为 ( - ∞ , 1 ] ，则 实数 \mathbf { α } _ { a } 的值为 得分

课时作业13 函数的图象

（分值：83分）

一、单项选择题(每小题5分，共40分)

1.为了得到函数 y = \ln ( \exp x ) 的图象，只需把函数 y = \ln x 的图象上所有的点 （ ）

A.向上平移1个单位长度B.向下平移1个单位长度C.向左平移e个单位长度D.向右平移e个单位长度

2.已知函数 f ( x ) 的图象如图 ① 所示，则图 ② 所表示的函数是 （ ）

A. \ b _ { 1 } - \ b { f } ( \ b _ { x } ) （20 B.-f(2-x) C. f ( - x ) - 1 D.1-f(-x)

5.(2026·安庆模拟)已知函数 f ( x ) = { / { \sin x } { 2 - \cos x } } \ln ( sqrt { x ^ { 2 } + 1 } + 1 ) ，则 \scriptstyle y = f ( x ) 的图象大致为（ ）

6.(2025·天津卷)已知函数 y = f ( x ) 的图象如图所示，则 f ( x ) 的解析式可能为 （）

y 1 1 1 ！ T9N A

3.函数f(x)= f ( x ) = { / { | x ^ { 2 } - 1 | } { x } } 的大致图象为 （

4.如图是函数 f ( x ) = { / { sqrt { x + a } } { x ^ { b } } } ( a \in \mathbf { R } , b \in \mathbf { N } ^ { * } 的部分图象，则 （ ）

A. { \Phi } _ { a > 0 , b } 是奇数 B. \scriptstyle a < 0 , b 是奇数C. { \Phi } _ { a > 0 , b } 是偶数 D. \scriptstyle a < 0 , b 是偶数{ { A . ~ } } f ( x ) = { / { x } { 1 - \left| x \right| } } \qquad { { B . ~ } } f ( x ) = { / { x } { \left| x \right| - 1 } } \operatorname { C } _ { * } f ( x ) = { / { \left| x \right| } { 1 - x ^ { 2 } } } \qquad { { D } } . f ( x ) = { / { \left| x \right| } { x ^ { 2 } - 1 } }

7.已知定义在 bf { R } 上的函数 f ( x ) 的图象是一条连续不断的曲线，且 f ( x ) 满足 f ( x ) = f ( 4 - x ) , f ( x ) 在区间 ( - ∞ , 2 ) 上单调递减， f ( 4 ) + f ( 0 ) = 0 ，则关于x的不等式f（） / { f ( x ) } { 2 - x } < 0 的解集为 （ ）

A.(0,2) B. ( 0 , 2 ) \bigcup ( 2 , 4 ) （20C.(2,4) D. ( 0 , 2 ) \bigcup { } ( 4 , + ∞ ) （204号

8.（2026·南阳模拟）已知函数 f \ ( \boldsymbol { \mathscr { x } } ) \ = \left\{ \begin{array} { l l } { - 2 x ^ { 2 } + 4 x , x <=slant 2 , } \\ { / { x - 2 } { x + 1 } , x > 2 , } \end{array} \right. 若存在三个不相等的实数x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } 使 f ( x _ { 1 } ) { } = f ( x _ { 2 } ) = f ( x _ { 3 } ) ，则 f ( x _ { 1 } + x _ { 2 } + x _ { 3 } )的取值范围是 （ ）

A \ldots \left( { / { 2 } { 5 } } , 1 \right) { B } . \left( { / { 2 } { 5 } } , + ∞ \right) { C } . \left( { / { 2 } { 5 } } , 2 \right) D.(2,+)

二、多项选择题(每小题6分，共18分)

f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { ( 2 a - 2 ) x + 5 , x { <=slant } 1 } \\ { \qquad \hfill } \\ { \displaystyle / { a + 2 } { x } , x { > } 1 } \end{array} \right. ，9.已知函数 在 bf { R } 上单调递减，则函数 g ( x ) = \ln ( \mid x \mid + a ) 的大致图象可能为 （ ）

11.已知函数 f ( x ) = { / { 1 - x } { 1 + x } } 1-x,下列选项正确的是（{ { A . ~ } } \forall x { \in } \left\{ x \left| x { \neq } { - } 1 \right. \right\} , f { \Big ( } / { 1 } { x } { \Big ) } = - f ( x ) B.函数 f ( x ) 在定义域内是减函数C.若 x \in [ 0 , 2 ] 时，则 f ( x ) 的值域为 [ - / { 1 } { 3 } , 1 ] D. f ( x ) 的图象关于 ( - 1 , 1 ) 对称

10.已知函数 f ( x ) = { / { a x + b } { ( x + c ) ^ { 2 } } } 的图象如图所示，则下列说法正确的是 （ ）

A. a < 0 （204号 B.a>0
C. b { < } 0 （20 D.c>0

三、填空题(每小题5分，共15分)

12.把函数 f ( x ) = \ln \left| x - a \right| 的图象向左平移2个单位长度，所得函数在 ( 0 , + ∞ ) 上单调递增，则\mathbf { α } _ { a } 的最大值为 得分

13.如图，函数 f ( x ) 的图象为折线 A C B ，且线段BC的中点坐标为（1，1)，则不等式f ( x ) { \mathop { >= } } { l o g } _ { 2 } ( x + 1 ) 的解集是

14.给定函数 f ( x ) = \mid x ^ { 2 } + x \mid , g ( x ) = x + { / { 1 } { x } } , 用M ( x ) 表示 f ( x ) , g ( x ) 中的较大者，记 M ( x ) = \operatorname* { m a x } \{ f ( x ) , g ( x ) \} .若函数 \boldsymbol { y } = \boldsymbol { M } ( \boldsymbol { x } ) 的图象与\scriptstyle y = a 有3个不同的交点，则实数 \mathbf { α } _ { a } 的取值范围是 得分

优生选做题 (共10分)

15.（5分）（2026·杭州二模）下列可以作为方程x ^ { 3 } + y ^ { 3 } = 4 x y 的图象的是 （ ）

[答题区]

16.(5分)已知定义在 bf { R } 上的奇函数 y = f ( x ) 满足f ( x + 2 ) + f ( 4 - x ) = 0 ，且当 x \in ( 0 , 3 ] 时，f ( x ) = { sqrt { 3 x - x ^ { 2 } } } .函数 g ( x ) = \log _ { 4 } \left| x + { / { 3 } { 2 } } \right| 与函数 \scriptstyle y = f ( x ) 的图象的所有交点的横坐标之和为得分

课时作业14 函数与方程

（分值：83分）

一、单项选择题(每小题5分，共40分)

5.函数 \scriptstyle { y = x + { / { 1 } { x } } - 3 } 的一个零点在(0,1)内,另一个零点在( )内.

1.已知函数 \scriptstyle y = f ( x ) 的图象是连续不间断的，有如下对应表：

A.(4,5) B.(3,4) C.(2,3) D.(1,2)

则函数 f ( x ) 在区间[1,6]上的零点

6.（2026·沈阳模拟）已知函数 f \ ( \boldsymbol { \mathscr { x } } ) \ = -lnx，0<x≤1，g ( x ) { = } f ( x ) { - } m , g ( x ) 的零点1，x>1，X有两个，则 \mathbf { \Sigma } _ { m } 的取值范围是 （ ）

A.只有2个 B.至多3个C.只有3个 D.至少3个

2.函数 f ( x ) { = } 4 ^ { x } { - } \log _ { 3 } { ( - x ) } 的零点个数是（ ）

A.(1,+00) B.(0,1] C.(0,1) D.[0,1)

A.3 B.2
C.1 D.0

3.函数 f ( x ) = { / { 1 } { x } } - \log _ { 2 } x - { / { 1 } { 2 } } 的零点所在区间为

7.函数 f ( x ) = \log _ { 2 } x + x ^ { 2 } + m 在区间(2,4)上存在零点，则实数 \mathbf { \Sigma } _ { m } 的取值范围是 （ ）

A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(4,5)

8.已知方程 2 ^ { x } + x = 0 的实根为 a , \log _ { 2 } x = 2 - x 的实根为 b , \log _ { / { 1 } { 2 } } ^ { _ { 1 } } x = x 的实根为 it { c } ，则 _ { a , b , c } 的大小关系是 （ ）

4.已知函数 f ( x ) = x ^ { 3 } - 3 x + 1 在区间(0，1)内有且仅有1个零点，在利用二分法求函数零点的近似值时，经过3次二分法后确定的零点所在区间为（ ）

A b > c > a （204号 B.c>b>a C. a > b > c D.b>a>c

二、多项选择题(每小题6分，共18分)

9.已知函数 f ( x ) = \ln x - 2 ^ { x } + x ^ { 2 } ，下列区间中存在函数 f ( x ) 零点的是 （ ）

\mathbf { \nabla } * \bigl ( / { 1 } { 8 } , / { 1 } { 4 } \bigr ) 1 3 A B. 4 8 { C } . \bigl ( / { 3 } { 8 } , / { 1 } { 2 } \bigr ) { D } . \bigl ( / 1 2 , / { 5 } { 8 } \bigr )

A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(4,5)

10.已知函数 f ( x ) = x ^ { 2 } - 2 \mid x \mid ( x < a ) ，若函数F ( x ) = f ( x ) - x 存在两个零点，则 \mathbf { α } _ { a } 的取值可能是 （ ）

A. - 1 （20 B.1
C.2 D.3

三、填空题(每小题5分，共15分)

12.已知函数 f \left( x \right) = \left\{ { { x } ^ { 2 } } + { x } - 2 , { x } { { <=slant } 0 } , \right. 则函数（204号f ( x ) 的零点个数为 得分

11.已知函数 f \left( x \right) = \left\{ \begin{array} { l l } { \left| x + 1 \right| , x { <=slant } 2 , } \\ { } \\ { \qquad \quad \hfill \left\{ x ^ { 2 } - 4 x + 1 , x { \ > } 2 \right. } \end{array} \right. 若存在，\scriptstyle x _ { 1 } < x _ { 2 } < x _ { 3 } ，使得 f ( x _ { 1 } ) = f ( x _ { 2 } ) = f ( x _ { 3 } ) ，则x _ { 1 } + x _ { 2 } + x _ { 3 } 的取值可以是 （ ）

A. sqrt { 3 } （204号 B.3
C. sqrt { 5 } （204号 D. sqrt { 6 } （20

13.(2026·盐城模拟)函数 f ( x ) = \ln ( 2 x ) - { / { 1 } { x } } 的零点在区间 ( k , k + 1 ) 内，则正整数 k =

14.（2026·廊坊模拟）已知函数 f \ ( x ) = x²+2x,x≤1,若函数 y = f ( x ) - k 恰有三个x-1,x>1，不同的零点，则实数 k 的取值范围是

优生选做题 (共10分)

15.(5分)（2026·中山模拟）函数 f \left( x \right) = ; \left\{ { \begin{array} { l } { x ^ { 2 } + x - 2 , x <=slant 0 , } \\ { } \\ { - 1 + \ln x , x > 0 , } \end{array} } \right. 则函数 y = f ( f ( x ) ) 的零点（204号个数为 ( ）

A.3 B.4
C.5 D.6

[答题区]

f ( x ) = \left\{ { \begin{array} { l l } { x ^ { 2 } + 2 x , x < - 2 { \bmod { \hat { x } } } , x } \\ { { sqrt { 1 2 - 3 x ^ { 2 } } } , - 2 { <=slant x } <=slant } \end{array} } \right. x { > } 1 16.(5分)已知函数g ( x ) = f ( x ) = a ，其中 a \in \mathbf { R }

(1)若函数 g \left( x \right) 无零点，则 \mathbf { α } _ { a } 的一个取值为

(2)若函数 g ( x ) 有4个零点 x _ { i } ( i = 1 , 2 , 3 , 4 ) ，则x _ { 1 } + x _ { 2 } + x _ { 3 } + x _ { 4 } = . 得分

课时作业56 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题

（分值：60分）

1.（13分)已知双曲线 { / { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } - { / { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } } = 1 ( a > 0 , b > 0 ) , O 为坐标原点，离心 率 e = 2 ，点 M ( { sqrt { 5 } } , { sqrt { 3 } } ) 在双曲 线上.

(1)求双曲线的方程；

2.(15分)已知抛物线 c 关于 x 轴对称，它的顶点在原点 \mid O 并且经过点 ( 2 , - 2 { sqrt { 2 } } ) ·(1)求抛物线 c 的标准方程；(2)设直线 l : x = m y + 2 与 c （204号交于 ^ { A , B } 两点，过点 A , B 分别作抛物线 C 的切线交于点 P ，证明：点 P 在定直线 x = - 2 上.

(2)如图，若直线 \mathbf { \xi } _ { l } 与双曲线的左、右两支分别交于点Q,P,且OP·OQ=0.求证:[OP|²+[OQ|2为定值. 得分

班级： 姓名： 学号：

3.(15分)（2026邢台模拟)已知椭圆 \boldsymbol { \mathbf { \mathit { E } } } / { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + / { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 \left( a > b > 0 \right) )的一个焦点为 F ( 1 , 0 ) ,其短轴长为2.

(1)求椭圆 \boldsymbol { \mathbf { \mathit { E } } } 的方程；(2)过坐标原点 \mid O 的直线 \mathbf { \xi } _ { l } 与椭圆 E 交于不同的两点 ^ { A , B } ，若直线 A { \cal F } , B { \cal F } 分别与椭圆 E 交于点M , N ，证明：直线 M N 过定点. 得分

优生选做题 （共17分)

4.(17分）（2026·南阳模拟)已知 A , B 是双曲线 \colon / { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - / { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > 0 , b > 0 ) 的左、右顶点， | A B | = 4，点 ( - { sqrt { 5 } } , 2 ) 在 c 上.

(1)求 c 的方程.

( 2 ) M 是 c 左支上一点（异于点 \boldsymbol { \mathscr { A } } )，设直线 \mathbf { \nabla } A M 交直线 x = - 1 于点 P ，连接 P B ，直线 P B 与 c 的另一个交点为 N ，设直线 B M , B N 的斜率分别为 k _ { 1 } , k _ { 2 } ：

(i）证明： \mathbf { \Psi } _ { k _ { 1 } k _ { 2 } } 为定值.
（ii）证明：直线 M N 恒过定点.

课时作业57 圆锥曲线中的证明、探究性问题

（分值：60分）

1.(13分)（2026·河南多校联考)在平面直角坐标系 O x y 中，抛物线 E : y ^ { 2 } = 2 p x ( p > 0 ) 的焦点为F ,其图象上两点 A , B 满足 \mid F A \mid + \mid F B \mid = 1 0 .其中点 A 在第一象限，点 B 在第四象限， A B 不与 x 轴垂直，且当 \mid F A \mid = 3 时，点 B 的横坐标为6.

(1)求抛物线 \boldsymbol { E } 的标准方程；(2)记点 C ( 6 , 0 ) , M ( 4 , y ) 为 A B 上一点，求证：A B \bot M C 得分

2.(15分)已知点 A ( 2 , 1 ) 关于坐标原点的对称点为B ，动点 P 满足直线 P A , P B 的斜率之积为 - { / { 1 } { 4 } } ，记动点 P 的轨迹为曲线 c ：

(1)求 c 的方程；

(2)判断 c 上是否存在点 P ，使得 \triangle P A B 为等腰直角三角形，若存在，求出点 P 坐标；若不存在，请说明理由. 得分

班级： 姓名： 学号：

3.(15分)已知双曲线 \boldsymbol { { \Gamma } } { / { x ^ { 2 } } { 4 } } - { / { y ^ { 2 } } { 5 } } = 1 的左、右焦点分别为 F _ { 1 } , F _ { 2 } , O 为坐标原点.(1)求 F _ { 1 } , F _ { 2 } 的坐标及双曲线 \boldsymbol { { \Gamma } } 的渐近线方程；(2)是否存在过点 F _ { 2 } 的直线 \mathbf { \xi } _ { l } 与 \boldsymbol { { \cal T } } 的左、右两支分别交于 ^ { A , B } 两点，使得 \angle F _ { 1 } A B = \angle F _ { 1 } B { A } . 若存在，求直线 \mathbf { \xi } _ { l } 的方程;若不存在，请说明理由.

优生选做题 (共17分)

\boldsymbol { \mathbf { \mathit { E } } } style { / { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } + / { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > b > 0 ) ,左、右焦点分别为 F _ { 1 } , F _ { 2 } ，左、右顶点分别为A1,A，离心率为， 2，点（ { \bigl ( } { sqrt { 3 } } , { / { 1 } { 2 } } { \bigr ) } 在椭圆 \boldsymbol { E } 上.(1)求椭圆 \boldsymbol { \mathbf { \mathit { E } } } 的标准方程；(2)若直线 l : x = m y + n 与椭圆 \boldsymbol { E } 交于 M , N 两点，直线 \mathbf { \xi } _ { l } 不过原点、椭圆顶点且不垂直于 x 轴（i)设直线 A _ { 2 } M 和 A _ { 2 } N 的斜率分别为 k _ { 1 } , k _ { 2 } ，用m，n表示1+1（2号（ii）设点 M 关于原点的对称点为 s 点，直线A _ { 1 } S 与直线 A _ { 2 } N 交于 T 点，直线 O T 与直线 \mathbf { \xi } _ { l } 交于 \boldsymbol { Q } 点，其中 \scriptscriptstyle { O } 为坐标原点，证明：点 Q 在一条定直线上. 得分

课时作业58 随机抽样、统计图表

（分值：73分）

一、单项选择题(每小题5分，共40分)

1.下列抽取样本的方式是简单随机抽样的是（

A.从无限多个个体中抽取100个个体作为样本
B.盒子里共有 80个零件，从中逐个不放回地选出5个零件进行质量检验
C.从100部手机中一次性抽取5部进行质量检验
D.某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛

2.(2026·大同模拟)某校高三年级有1200名学生，其中男生有660人，现按男女生人数比例采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为40的样本，则男生应抽取的人数是 （）

A.22 B.18 C.16 D. 14

3.某校有700名高一学生，400名高二学生，400名高三学生，高一数学兴趣小组欲采用按比例分配的分层抽样的方法在全校抽取15名学生进行某项调查，则下列说法正确的是 （）

A.高一学生被抽到的概率最大B.高三学生被抽到的概率最大C.高三学生被抽到的概率最小D.每位学生被抽到的概率相等

4.总体由编号为 { 0 1 , 0 2 , *s , 2 0 } 的20个个体组成.用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第9列的数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为（）

7816 6572 0802 6314 0219 4308 9714 0198
3208 9216 4936 8200 3623 4869 6938 7181

A.08 B.14 C.16 D.19

5.某小区对小区内的2000名居民进行走访调查，各年龄段男、女居民人数如下表.已知在小区的居民中随机抽取1人，抽到20岁 ~ 5 0 岁女居民的概率是0.19.现用分层随机抽样的方法在全小区抽取200名居民，则应在50岁以上的居民中抽取的女居民人数为 （）

A.75 B.50 C.25 D.20

6.(2026·萍乡一模)某中学有初中生600名，高中生200名，为保障学生的身心健康，学校举办了“校园安全知识"竞赛.现按比例分配的分层随机抽样的方法，分别抽取初中生 \mathbf { \Psi } _ { m } 名，高中生 \mathbf { \Omega } _ { n } 名，经统计： m + n 名学生的平均成绩为74分，其中\mathbf { \Sigma } _ { m } 名初中生的平均成绩为72分， n 名高中生的平均成绩为 x 分，则 x = （）

A. 74 B.76 C.78 D.80

7.(2026·阜阳模拟)某校为了解学生的身高情况，随机对部分学生进行抽样调查，已知抽取的样本中，男生、女生人数相同，分组情况为（单位： {cm } ）A : x < 1 5 5 , B : 1 5 5 <=slant x < 1 6 0 , C : 1 6 0 <=slant x < 1 6 5 ，D : 1 6 5 <=slant x < 1 7 0 , E : x >=slant 1 7 0 ，利用所得数据绘制如下统计图表：

男生身高情况直方图

女生身高情况扇形统计图

根据图表提供的信息，可知样本数据中下列信息正确的是 （）

A.身高在 1 5 5 { <=slant } x { \ < } 1 6 0 区间的男生比女生多3人
B.B组中男生和女生占比相同
C.超过一半的男生身高在 1 6 5 \ {cm } 以上
D.女生身高在 \boldsymbol { E } 组的有2人

8.(2026·长沙模拟)工厂组织全体员工就作业能力进行测试，全体员工得分均在[30，150]内，将其分成[30,50)，[50，70)，[70,90)，[90，110)，[110，130)，[130，150]共六组，数据绘制成如图所示的频率分布直方图，若该工厂共有200名员工，则估计得分少于70分的人数为 （）

A.30 B.35 C.40 D.45学号：

二、多项选择题(每小题6分，共18分)

9.某高中学校从有120名学生的“航天"社团中随机抽取30名参加一个交流会，若按社团中高一、高二、高三年级的成员人数比例分层随机抽样，则高一年级抽取10人；若按性别比例分层随机抽样，则男生抽取18人，则下列结论正确的有（）

A.样本量为30B.120名社团成员中男生有72人C.高二与高三年级的社团成员共有85人D.高一年级的社团成员中女生最多有48人

10.（2026·来宾模拟)某城市收集并整理了该市2023年1月份至10月份每月最低气温与最高气温（单位： { ^ \circ } { C } )的数据，绘制了如图所示的折线图.已知该市每月的最低气温与当月的最高气温两变量具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论正确的是 （）

A.每月的最低气温与当月的最高气温两变量为正相关
B.10月份的最高气温不低于5月份的最高气温
C.月温差(最高气温减最低气温)的最大值出现在1月份
D.最低气温低于 0 ~ { { ^ \circ C } } 的月份有4个

11.(2026·南充模拟)为了庆祝国庆节我校组织三个年级的学生进行党史知识竞赛.经统计，得到前200名学生分布的扇形图(如图)和前200名中高一学生排名分布的频率条形图（如图），则下列命题正确的是 （ ）

频率0.4高二 0.330% 高一 0.2高三 45% 0.125% 0 1-5051-100 101-150 151-200排名前200 名学生 前200 名中高一学生排名分布的饼状图 分布的频率条形图

A.成绩前200名的学生中，高一人数比高二人数多30
B.成绩前100名的学生中，高一人数不超过50
C.成绩前50名的学生中，高三人数不超过32
D.成绩第51名到第100名的学生中，高二人数比高一人数多

[答题区]

三、填空题(每小题5分，共15分)

12.2025年9月3日，是中国人民抗日战争暨世界反法西斯胜利80周年纪念日.北京天安门广场举行了盛大的阅兵式.阅兵式结束后，某学校组织学生写阅兵观后感，高一、高二、高三年级分别有1000人、800人、600人参加，现用分层随机抽样的方法从三个年级中抽取容量为120人的样本，则从高二年级抽取的人数为

13.某校高中部高一、高二、高三人数之比为 5 : 4 ：3,其中女生有600人，现准备从该校所有高中学生中抽取容量为120的样本.若根据年级采用按比例分配的分层随机抽样，抽取的高三学生为 \mathbf { \Omega } _ { n } 个人；若根据性别采用按比例分配的分层随机抽样，抽取的女生为 \mathbf { λ } _ { m } 个人，且 m - n = 10，则该校高中部学生人数为

14.从某网络平台推荐的影视作品中抽取200部，统计其评分数据，将所得200个评分数据分为6 组：[65,70)，[70,75)，[75,80],[80,85],[85,90]，[90，95]，并整理得到如下的频率分布直方图：

则评分在区间[80，90]内的影视作品数量是部. 得分

课时作业59 用样本估计总体

（分值：100分）

一、单项选择题(每小题5分，共40分)

1.(2025·全国Ⅱ卷)样本数据2，8，14，16，20的平均数为 （ ）

A.极差为8
B.平均数为26
C.众数为26
D. 80 % 分位数为27
A.8 B.9
C.12 D.18

5.（2026·衡水模拟)一组数据从小到大排列为1，3,5,x,10，12，若这组数据的中位数比 80 % 分位数小3，则 x 的值为 （ ）

2.(2026·河北多校联考)为响应“全民健身 ^ + 电竞"融合潮流，某电竞馆举办“运动达人电竞赛”，赛前通过简单随机抽样，获得了18名选手1分钟内健身操动作完成数，结合电竞互动得分换算后如下(单位：分)：

A.6 B.7
C.8 D.9
105112118 120 123 125 127129 130 132 135
137139141143145147150

6.(2026·昆明模拟)已知某总体分为两层，第一层总体数量为 N _ { 1 } = 8 0 ,第二层总体数量为 N _ { 2 } = 120，采用分层随机抽样抽取样本，第一层样本平均数为 \overline { { x } } _ { 1 } = 5 ;第二层样本平均数为 \overline { { x } } _ { 2 } = 7 ,则该总体平均数的估计值为 （）

这18名选手1分钟内健身操动作完成得分的第60百分位数为 （ ）

A.132 B.133.5
C.135 D.136
A.5.5 B.6.0
C.6.2 D.7. 0

3.有一组数据：2，4，5，7，6，7，x，10，这组数据的平均数为6,则这组数据的方差为 （ ）

A.5 B.6
C.7 D.8

7.(2026·南通模拟)已知互不相等的数据 x _ { 1 } , x _ { 2 } ，（20 x _ { 3 } , x _ { 4 } , x _ { 5 } ,t的平均数为 \mathbf { \chi } _ { t } ，方差为 s _ { 1 } ^ { 2 } ，数据 \mathbf { \Psi } _ { x _ { 1 } } ，x2,x，x4，x5的方差为s²，则s²，s²的大小关系为 （ ）

A. s _ { 1 } ^ { 2 } { > } s _ { 2 } ^ { 2 } （204号 B. s _ { 1 } ^ { 2 } = s _ { 2 } ^ { 2 } （20 C. s _ { 1 } ^ { 2 } { < } s _ { 2 } ^ { 2 } （20 D.无法判断

4.2025年11月25日中国神舟二十二号载人飞船成功发射，为了弘扬航天人顽强拼搏的精神，某校航天课外小组举行了一次航天知识竞赛，随机抽取获得了6名同学的分数(满分30分)分别为：22，24，26，26，28，30，关于这组数据，下列说法错误的是 （ ）

8.李老师家有3名人员，3名人员的年龄与2年后的年龄相比较，一定不会发生变化的是（）

A.平均数 B.中位数C.方差 D.众数

班级： 姓名： 学号：

二、多项选择题(每小题6分，共12分)

9.（2026·保定模拟)现有一组数据10,20，30,30，
50,60,80，则 （ ）
A.该组数据的极差为70
B.该组数据的众数为30
C.该组数据的第60百分位数为40
D.该组数据的平均数为60

10.(2026·潍坊模拟)如图是某市2025年1月至7月全社会用电量(单位：亿千瓦时)的折线图，则（ ）

A.1月至7月全社会用电量逐月增加
B.1月至7月全社会用电量的极差是20.7
C.1月至7月全社会用电量的第75百分位数是64.3
D.1月至3月全社会用电量的方差比4月至6月的方差大

三、填空题(每小题5分，共10分)

|1.(2026·沙坪坝模拟)某零件厂共有编号分别为一、二、三、四的四个生产车间，已知 2026 年1月份第一、四车间生产的零件数分别为73万件和145 万件,若四个车间产量随编号增加而增加，且四个车间产量的中位数与平均数相等，则2026 年1月份该厂生产的零件总数为 万件.

12.已知9个数据的平均数为6，方差为4，现又加入一个新数据6，此时这10个数据的方差为得分

四、解答题(共28分)

13.(13分)文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.中山市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：[40，50)，[50，60)，…，[90，100]得到如图所示的频率分布直方图.

(1)求频率分布直方图中 \mathbf { α } _ { a } 的值；(2)求样本成绩的众数，样本成绩的第75百分位数和平均数. 得分

14.（15分)某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率.甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为x _ { i } , y _ { i } ( i = 1 , 2 , *s , 1 0 ) .试验结果如下：

记 z _ { i } = x _ { i } - y _ { i } ( i = 1 , 2 , *s , 1 0 ) ，记 z _ { 1 } , z _ { 2 } , *s , z _ { 1 0 } 的样本平均数为 \bar { z } ,样本方差为 s ^ { 2 }

(1)求 _ { z , s ^ { 2 } } ^ { - } ：

(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高.（如果 \bar { z } { >= } 2 sqrt { / { s ^ { 2 } } { 1 0 } } 21，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高

优生选做题 (共10分)

15.(5分)(2026·佛山模拟)考虑一组数据 \{ 3 , x ，^ { | { x , 4 , 5 } \} } ,其中 \mathbf { \Psi } _ { x } 是一个正整数，有下列描述：I.该组数据的平均数是一个整数.Ⅱ.该组数据的中位数不小于3.Ⅲ.该组数据的众数与上四分位数相等.其中正确的是 （ ）

A.只有Ⅱ B.只有ⅢC.只有I及Ⅱ D.只有Ⅱ及Ⅲ

[答题区]

16.(5分)(2026·淮南模拟)高一某班有24名男生和40名女生，某次数学测试中，男生的平均分与女生的平均分之差为4，若男生分数的方差为94，全班分数的方差为84，则女生分数的方差为得分

课时作业60 成对数据的统计分析

（分值：100分）

一、单项选择题(每小题5分，共35分)

1.（2026·鞍山一模)下列选项中，相关系数最小的是 （）

2.已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是 （）

A.气候温度高，海水表层温度就高 B.气候温度高，海水表层温度就低 C.随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势 D.随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降 趋势

3.(2026·宿迁模拟)变量 _ y 关于变量 x 的经验回归方程为 { \hat { y } } = 2 x + 5 . 若 _ { x = 1 } 时， _ y 的实际观测值为8，则此时的残差为 （）

A. - 2 （204号 B.-1 C.1 D.2

4.(2026·恩施模拟)根据分类变量 x 与 _ y 的观测数据,计算得到 \chi ^ { 2 } \approx 0 . 8 3 7 ,依据小概率值 \mathbf { \Psi } _ { α } = 0 . 1 ( x _ { 0 . 1 } = 2 . 7 0 6 ) 的独立性检验，则 （）

A.变量 x 与 _ y 不独立
B.变量 x 与 _ y 独立
C.变量 x 与 _ y 不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.1
D.变量 x 与 y 独立，这个结论犯错误的概率不超过0.1

5.（2026·成都模拟)某市环保部门研究近十年空气质量数据，得到以下结论：结论一： { P M } _ { 2 . 5 } 浓度与机动车保有量的样本相关系数 r _ { 1 } = 0 . 9 2 ：结论二;绿化覆盖率与呼吸道疾病发病率的样本相关系数 r _ { 2 } = - 0 . 1 2 ·结论三：工业能耗与近地面臭氧浓度的样本相关系数 r _ { 3 } = 0 . 7 5

下列说法正确的是

A.由结论一可知，机动车保有量增加是 { P M } _ { 2 . 5 } 浓度升高的直接原因
B.由结论二可知，绿化覆盖率与呼吸道疾病发病率无关联
C.结论三表明工业能耗与近地面臭氧浓度呈正相关，且线性相关性比结论一更强
D.结论一中 \mid r _ { 1 } \mid 接近1，说明 { P M } _ { 2 . 5 } 浓度与机动车保有量存在极强的线性相关关系

6.某公司研发新产品投人金额 \mathbf { \Psi } _ { x } （单位：万元）与该产品的收益(单位：万元)的5组统计数据如下表所示.由表中数据用最小二乘法求得投入金额x 与收益 _ y 满足经验回归方程 \hat { y } = 2 . 5 x ^ { + } \hat { a } ，则下列结论不正确的是 （）

A. \hat { a } = 4 （204
B. _ { x = 1 1 } 时，残差为0.5
C. x 与 _ y 有正相关关系
D.当新产品投入金额为5万元时，该产品的收益大约为16.5万元

7.(2026·白城模拟)针对"中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关"作了一次调查，调查样本中女生人数是男生人数的男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的 / { 2 } { 3 } ,若在犯错误的概率不超过 5 % 的前提下认为是否追星和性别有关，则调查样本中男生至少有 （）

A.12人 B.11人 C.10人 D.18人

二、多项选择题(每小题6分，共12分)

8.（2026·长沙模拟)下列说法中，正确的是（

A.回归直线 \hat { \boldsymbol { y } } = \hat { \boldsymbol { b } } \boldsymbol { x } + \hat { \boldsymbol { a } } 可以不经过样本中心
B.可以用相关系数 \boldsymbol { r } 刻画两个变量的相关程度强弱， \boldsymbol { r } 值越大两个变量的相关程度越强
C.残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高
D.根据分类变量 X 与 Y 的成对样本数据，计算得到 \chi ^ { 2 } = 4 . 7 1 2 ,根据小概率值 α = 0 . 0 5 的 \chi ^ { 2 } 独立性检验 ( x _ { 0 . 0 5 } = 3 . 8 4 1 ) ，可判断 X 与 Y 有关联，此推断犯错误的概率不超过0.05

9.随着科技的进步和人民生活水平的提高，电脑已经走进了千家万户，成为人们生活、学习、娱乐的常见物品，便携式电脑(俗称“笔记本")也非常流行.某公司为了研究“台式机”与“笔记本"的受欢迎程度是否与性别有关，随机抽取了50人调查研究，调查数据如下表所示.

由上述数据给出下列结论，其中正确的是（

A.没有充分证据证明“台式机”与“笔记本”的受欢迎程度与性别有关
B.有 90 % 的把握认为“台式机”与“笔记本"的受欢迎程度与性别有关
C.没有 9 5 % 的把握认为“台式机”与“笔记本"的受欢迎程度与性别有关
D.没有 9 9 % 的把握认为“台式机”与“笔记本”的受欢迎程度与性别有关

[答题区]

三、填空题(每小题5分，共10分)

10.近几年，我国新能源汽车产业进入了加速发展的阶段，呈现市场规模、发展质量“双提升"的良好局面.新能源汽车的核心部件是动力电池，其中的主要成分是碳酸锂.下表是某地2023年3月1日至2023年3月5日电池级碳酸锂的价格与日期的统计数据：

根据表中数据，得出 _ y 关于 x 的经验回归方程为 \hat { y } = - 0 . 0 5 x + a ,根据数据计算出在样本点(3,3.8)处的残差为 - \ : 0 . \ : 1 ，则 a - m 的值为得分

11.某社区居民计划暑假去海南或厦门旅游，经统计得到如下列联表：

若依据小概率值 α = 0 . \ 0 1 的独立性检验认为去海南还是厦门旅游与年龄有关，则正整数 \mathbf { \Sigma } _ { m } 的最小值为 得分

四、解答题(共28分)

12.（13分)(2026·秦皇岛模拟)为了检测AI智能与手工制作同一种产品质量的差异性，现要求用这两种方式分别制作100件产品，产品质量情况统计如下表：

（1)记AI智能、手工制作的产品中优良品的概率分别为 { \boldsymbol { p } } _ { 1 } , { \boldsymbol { p } } _ { 2 } ，求 { \boldsymbol { p } } _ { 1 } , { \boldsymbol { p } } _ { 2 } 的估计值；(2)根据小概率值 α = 0 . \ 0 1 的独立性检验，能否认为AI智能与手工制作的产品质量有差异？

班级： 姓名： 学号：

13.（15分）(2026·杭州模拟)新型抗生素是近年来针对耐药菌感染研发的抗菌药物.通过创新机制或结构改良，对抗传统抗生素难以治疗的超级细菌.实验人员用感染肺炎的小白鼠对一种新型抗生素进行实验，并对使用该种抗生素后，小白鼠血液中的肺炎链球菌值 _ y （单位：个/ \mathbf { \mu } _ { \mu } \mathbf { l } ）进行检验，并统计得到了下表：

并计算得 \sum _ { i = 1 } ^ { 5 } ( { y _ { i } } - { \overline { { y } } } ) ^ { 2 } = 5 8 2 , \sum _ { i = 1 } ^ { 5 } ( { x _ { i } } - { \overline { { x } } } ) ( { y _ { i } } - { \overline { { y } } } ) = - 7 6 ：

(1)计算变量 x 和变量 _ y 的样本相关系数 \boldsymbol { r } ，并说明两变量线性的相关程度（结果保留两位小数)；
(2)若小白鼠血液中的肺炎链球菌值在区间(0，18)内，则说明肺炎已治愈，用最小二乘法求_ y 关于 x 的经验回归方程 \hat { \boldsymbol { y } } = \hat { b } \boldsymbol { x } + \hat { a } ，并预测该小白鼠至少需要服药多少天才能痊愈.
参考数据： sqrt { 1 0 } \approx 3 . 2 . sqrt { 5 8 2 } \approx 2 4 . 1

优生选做题 (共15分)

14.（15分）（2026·烟台模拟)近年来，新能源汽车因其动力充沛、提速快、用车成本低等特点得到民众的追捧.某机构为研究汽油价格 \mathbf { \Psi } _ { x } （单位：元/升)与新能源汽车的月销售量 y （单位：万辆）之间的关系，收集整理得到如下数据：

(1)若用模型 \scriptstyle y = b \ln x + a 模拟 x 与 _ y 之间关系，求出经验回归方程；
(2)根据建立的经验回归方程，预测当汽油价格上涨至9元/升时，新能源汽车的销量.
参考数据和公式： { ~ l n ~ } 3 { \approx } 1 . 1 \sum _ { i = 1 } ^ { 5 } ( x _ { i } - { \overline { { x } } } ) ( y _ { i } - { \overline { { y } } } ) （20号= 6 . 5 5 , \sum _ { i = 1 } ^ { 5 } ( x _ { i } - { \overline { { x } } } ) ^ { 2 } = 2 . 5 .
令 \ln x _ { i } = u _ { i } , \sum _ { i = 1 } ^ { 5 } u _ { i } = 9 . 7 , \sum _ { i = 1 } ^ { 5 } ( u _ { i } - { \bar { u } } ) ( y _ { i } - { \bar { y } } ) = （204号0 . 9 3 , \sum _ { i = 1 } ^ { 5 } ( u _ { i } - \overline { { u } } ) ^ { 2 } = 0 . \ : 0 5
对于一组数据 ( x _ { i } , y _ { i } ) ( i = 1 , 2 , 3 , *s , n ) ,其经验回归方程 \hat { \boldsymbol { y } } = \hat { b } \boldsymbol { x } + \hat { a } 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 \hat { b } = / { \overset { \underset { i = 1 } { \overset { n } { \sum } } } ( x _ { i } - \overset { - } { x } ) ( y _ { i } - \overset { - } { y } ) } { \overset { n } { \underset { i = 1 } { \overset { n } { \sum } } } ( x _ { i } - \overset { - } { x } ) ^ { 2 } } , \overset { \hat { a } = \overset { - } { y } - \hat { b } \overset { - } { x } . }

课时作业61 计数原理

（分值：83分）

一、单项选择题(每小题5分，共40分)

A.18 B.24
C.27 D.64

1.用1,2，3,4,5，6可以组成 N 个无重复数字的六位奇数，则 N = （ ）

A.360 B.400
C.420 D.450

5.某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”"雨水”“惊蛰”“春分”“清明”“谷雨"六张知识展板放置在六个并列的文化橱窗里，要求“立春"和“春分”两块展板相邻，且“清明”和“惊蛰"两块展板不相邻，则不同的放置方式种数为（ ）

2.从 A , B , C , D , E 这5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、外语竞赛，其中A不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案有（ )种.

A.24 B.48
C.72 D.120
A.24 B.48
C. 144 D.240

3.(2026·长治模拟)游戏《黑神话：悟空》在山西的取景地共27处，包括长治市的崇庆寺、观音堂，大同市的云冈石窟等，具体分布如下：

6.(2026·南京模拟)书架上有6本不同的书，再往书架放另外3本不同的书，要求不改变原来书架上6本书的左右顺序,则不同的放法有（ ）

A.504种 B.84种C.1008种 D.168种

7.（2026·东莞模拟)将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有 （ ）

某游客计划从中选5处景点游玩，其中长治、晋城各选一处，大同选两处，且云冈石窟必选，共有（ )种不同的选法.

A.12种 B.18种C.36种 D.54种

A.26 B.450
C.480 D.1440

8.一支军事特别任务部队由18名士兵组成，当中共有6名女士兵，其余的是男士兵.若从该部队中随机选出8名士兵，则选出不多于4名女士兵的种数是 （ ）

4.某班准备从甲、乙、丙、丁4位同学中挑选3人，分别担任2026年元旦晚会的主持人、记分员和秩序员，每个职务最多一人担任且每个职务必须有一人担任，已知甲同学不能担任主持人，则不同的安排方法有（ ）种.

A.1386 B.8811
C.34 947 D.42 372

班级： 姓名： 学号：

二、多项选择题(每小题6分，共18分)

9.盒子内有 20个大小相同的球，其中有15个蓝球，5个红球，现从中取出3个球，则 （ ）

A.取出的3个球中恰好有1个蓝球的取法有{ C _ { 1 5 } ^ { 1 } C _ { 5 } ^ { 2 } } 种
B.取出的3个球中恰好有1个蓝球的取法有{ C _ { 5 } ^ { 1 } C _ { 1 5 } ^ { 2 } + C _ { 5 } ^ { 2 } C _ { 1 5 } ^ { 1 } } 种
C.取出的3个球中至少有2个蓝球的取法有{ C _ { 1 5 } ^ { 2 } C _ { 5 } ^ { 1 } + C _ { 1 5 } ^ { 3 } C _ { 5 } ^ { 0 } } 种
D.取出的3个球中至少有1个红球的取法有{ C _ { 2 0 } ^ { 3 } - C _ { 1 5 } ^ { 3 } } 种

10.现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画，则下列说法正确的是 （ ）

A.从中任选1幅画布置房间，有14种不同的选法
B.从这些国画、油画、水彩画中各选1幅画布置房间，有70种不同的选法
C.从这些画中选出2幅不同种类的画布置房间，有59种不同的选法
D.从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有12种不同的挂法

11.(2026·邢台模拟)由1，2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，则所有组成的五位数中（）

A.奇数有60个
B.能被5整除的有24个
C.1在万位而2不在个位的有18个
D.比12345大的有108个

三、填空题(每小题5分，共15分)

12.(2026·江西多校联考)从4个红球、3个黄球中一次性摸取3个球，则摸到的球中至少有 2个黄球的方法数为 .(用数字作答）

13.某电视台有6个不同的节目准备当天播出，每半天播出3个节目，其中某电视剧和某专题报道必须在上午播出，则不同播出方案的种数为.（用数字作答） 得分

14.(2026·镇江模拟)某数学兴趣小组的6名同学排成一排照相，其中甲、乙两名同学必须彼此相邻，丙不在队伍两头的安排方式共有（用数字作答)种. 得分

优生选做题 (共10分)

15.(5分)如图所示，六个不同的自然 ABC数排成三角形，且每一行中最小的 （204号 bf { it { D } } _ { E } ^ { * } ~ { } _ { F } （204号数均大于下一行中最小的数，则这样的排列共有 （ ）

A.36种 B.240种C.120种 D.60种

[答题区]

16.（5分)（2026·西安模拟)现有五种不同的颜料可用，从这五种染料中选取染料给四棱锥P-ABCD的五个顶点染色，要求同一条棱上的两个顶点不同色，问满足条件的染色方案有种. 得分

微专题11 排列组合问题的几种特殊解法

（分值：61分）

一、单项选择题(每小题5分，共25分)

1.10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有( )种不同的分配方案.

A.9 B.36
C.84 D.120

[答题区]

2.世界第三届无人驾驶智能大赛在天津召开，现在要从小张、小赵、小季、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、安保、礼仪、服务四项不同工作，若小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（)种.

A. 120 B.60
C.24 D.36

3.(2026·郴州一模)“湘超”足球比赛正在如火如茶进行中，某企业赞助一批足球训练设备给甲、乙、丙三个球队.这批设备分别为6个相同的跳箱和3箱相同的药球.要求每队至少有一个跳箱，且药球不能全部分配给同一球队，则不同的分配方案有 （）

A.35种 B.70种C.140种 D.210种

4.(2026·武汉模拟)将4个不同的小球放入4个不同的盒子中，则恰有两个盒子为空的放法种数为 （）

A.72 B.84
C.96 D.108

5.现将《西游记》《红楼梦》《水浒传》《三国演义》《史记》《资治通鉴》6本不同的书籍分发给甲、乙、丙3人，每人至少分得1本，已知《西游记》分发给了甲，则不同的分发方式种数是 （）

A.180 B.150
C.120 D.210

二、多项选择题(每小题6分，共6分)

6.(2026·成都模拟)将6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少分得1本，则下列说法正确的是（）

A.若甲分得1本，乙分得2本，丙分得3本，则有 60种方案
B.若每人分得2本，则有90种方案
C.若三人分得书本数互不相同，则有360种方案
D.共有450种分配方案

三、填空题(每小题5分，共30分)

7.5名同学站成一排，甲身高最高，排在中间，其他4名同学身高均不相等，甲的左边和右边均由高到低排列，共有 种排法．得分

8.(2026·哈尔滨模拟)从2到7这6个数字中任意取出3个数，组成一个没有重复数字的三位数，从百位到个位数字依次增大，则满足条件的三位数的个数是 得分

9.(2026·长沙模拟)学校开展班级轮值活动，高二某班有 A , B , C , D 四个轮值小组负责甲、乙、丙三个地点的站岗值班任务，每个小组负责一个地点，每个地点至少有一个小组负责，且 \boldsymbol { A } 小组不去甲地点，则不同的任务分配方法种数为.(用数字作答） 得分

10.(2026·沧州模拟)现有6个形状、大小完全相同但颜色均不相同的小球，甲、乙两人采用不同方式分别从中拿取3个球：甲从所有球中一次性随机抽取3个；乙将小球平均分为 A , B 两堆后，先从 A 堆中一次性取 i 个，再从 B 堆中一次性取 3 - i 个 \left( 0 { <=slant } i { <=slant } 3 \right. )，则乙的不同取法种数比甲多 得分

11.（2026·山东多校联考)现将 A , B , C , D , E , 5 位民警派往甲、乙、丙、丁、戊5个学校进行“反校园欺凌"普法宣讲，每人只到1个学校，每个学校只去1人.已知民警 A 不能去甲学校， ^ { } { \mathbf { } _ { B , C } } 两位民警不能到乙学校，则不同的分派方法共有种. 得分

12.（2026·广东多校联考）为了表扬三位乐于助人的同学，班主任购买了4个价钱相同的礼盒全部分给这3名同学，若购买的4个礼盒仅有2个相同，按一人2个礼盒，另两人各1个礼盒进行分配，共有 种分法.(用数字作答)

课时作业62 二项式定理

（分值：100分）

一、单项选择题(每小题5分，共40分)

1.(2026·乐山模拟)求 x ( 1 + x ) ^ { 1 0 } 的展开式中 x ^ { 4 } （204号 的系数为 （

A.45 B.90
C.120 D.210

2.在 \left( x - { / { 1 } { x } } \right) ^ { 4 } 的展开式中，常数项为 一

A.-12 B.-6
C.6 D.12

3.已知二项式 ( 3 x - 1 ) ^ { n } 的展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则 n 为 （ ）

A.15 B.10
C.9 D.8

4.若 ( sqrt { x + 1 } ) ^ { n } ( n \in \mathbf { N } ^ { * } )的展开式中 x 与 x ^ { 2 } 项的系数相等，则 n = （ ）

A.8 B.7
C.6 D.5

8.(2026·聊城模拟) ( x + y + 1 ) ^ { 6 } 的展开式中 x ^ { 3 } y ^ { 2 } （204号项的系数为 一 ）

二、多项选择题(每小题6分，共12分)

A.120 B.90
C.60 D.45

5.若 ( 1 + x ) ^ { n } = a _ { 0 } + a _ { 1 } x + a _ { 2 } x ^ { 2 } + *s + a _ { n } x ^ { n } (n∈\mathbf { N } ^ { * } )且 a _ { 1 } + a _ { 2 } = 2 8 ,则在展开式中各项系数的最大值为 （ ）

A.42 B.35
C.28 D.21

6.(2026·贵阳模拟)在 ( 3 - 2 x ^ { 2 } ) ( 1 + 2 x ) ^ { 5 } 的展开式中， x ^ { 3 } 的系数为 （ ）

A.260 B.-260
C.-220 D.220

9.下列关于 \big ( / { 1 } { x } - 2 x \big ) ^ { 1 0 } 的二项展开式，说法正确的是

A.10 B.32
C.40 D.80

A.展开式共有10项
B.展开式的二项式系数之和为1024C.展开式的常数项为8064
D.展开式的第6项的二项式系数最大

10.已知 ( x - 1 ) ^ { 9 } = a _ { 0 } + a _ { 1 } x + a _ { 2 } x ^ { 2 } + *s + a _ { 9 } x ^ { 9 } ，则

A. a _ { 0 } = 1 （204号 B a _ { 0 } + a _ { 1 } + a _ { 2 } + *s + a _ { 9 } = 0 { C } . a _ { 0 } - a _ { 1 } + a _ { 2 } - a _ { 3 } + *s + a _ { 8 } - a _ { 9 } = - 5 1 2 D * a _ { 0 } + a _ { 2 } + a _ { 4 } + a _ { 6 } + a _ { 8 } = 2 5 6

三、填空题(每小题5分，共10分)

11.(2025·天津卷）在 ( x - 1 ) ^ { 6 } 的展开式中， x ^ { 3 } 项的系数为 得分

7.(2026·蚌埠模拟)已知 { \Big ( } 2 x ^ { 2 } + { / { 1 } { x } } { \Big ) } ^ { n } 的展开式中所有项的系数之和为243，则展开式中 \mathbf { \Psi } _ { x } 的系数为（

12.(2026·徐州模拟)若 ( 1 + x ) ^ { n } ( n \in \mathbf { N } ^ { * } )的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比为 2 : 3 ，则n= 得分